Análisis de movimiento de usuarios en redes celulares y optimización de recursos

Análisis del movimiento de usuarios en redes celulares y optimización de recursos.
Especialidad: Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica, Subespecialidad Telecomunicaciones,
Gran Reto de la Ingeniería Mexicana: Modelos Matemáticos en Redes Celulares
,1
ANÁLISIS DEL MOVIMIENTO DE USUARIOS
EN REDES CELULARES Y OPTIMIZACIÓN DE
RECURSOS
Especialidad: Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica
Subespecialidad: Telecomunicaciones
Gran Reto de la Ingeniería Mexicana: Modelos Matemáticos en
Redes Celulares
Ramón Martín Rodríguez Dagnino
Doctor en Ingeniería Eléctrica: Telecomunicaciones
Fecha de ingreso (17, 03, 2016)
Monterrey, Nuevo León

,2
Contenido
Resumen ejecutivo 3-4
1. Objetivos, Alcances, Introducción 5
2. Contenido del trabajo 6
3. Conclusiones 16
4. Referencias 17

,3
RESUMEN EJECUTIVO
La optimización de recursos en redes celulares inalámbricas es de suma importancia
para tener un apropiado dimensionamiento de dichas redes. En un ambiente celular se
debe de tener una adecuada localización de las terminales móviles en las diferentes
áreas de localización (LAs) para un manejo aceptable de las llamadas con los niveles de
calidad requeridos. Existen muchos estudios que se enfocan a optimizar la potencia de
la señal y asegurarse que se cubran, con los niveles normados de potencia, las áreas
asignadas para el servicio. Nuestro enfoque en este trabajo es hacia otros aspectos de
las redes celulares que tiene que ver con el movimiento de usuarios, arquitecturas de
red, protocolos y estrategias para hacer un uso óptimo de recursos. Por ejemplo, el
movimiento de los usuarios ocurre generalmente en un plano o en tres dimensiones,
pero con algunas restricciones, por ejemplo, usuarios en un centro comercial con
edificios de varios niveles o los usuarios que van dentro de los automóviles en una
ciudad. En la actualidad no existen modelos estocásticos definitivos que capturen dicho
movimiento, pero si hay una variedad grande de modelos que aproximan
razonablemente el comportamiento real. Hay varios elementos aleatorios que hacen
difícil la construcción de modelos matemáticos, uno de ellos es que la duración de las
llamadas es aleatoria, el tiempo que permanecen en una célula, los usuarios de la red
celular, también es aleatoria. Asimismo, el número de usuarios en una célula es
aleatorio. Como una consecuencia se tiene que dichos modelos son necesariamente
probabilísticos. Otro aspecto de optimización que se debe de abordar es el de la
minimización del tráfico generado para mantener conectados y localizados a los
diferentes usuarios, este tipo de tráfico es de servicio de la red de telecomunicaciones,
y se cataloga como tráfico de señalización y voceo. Se han propuesto varias
arquitecturas, protocolos de red, y estrategias para tratar con estos problemas.
Se han estudiado básicamente tres estrategias para la localización de usuarios, y la
administración de esta información dentro de una red celular: La primera se basa en
estimar la distancia que ha viajado el usuario, la segunda pide confirmación de
localización una vez que ha transcurrido un tiempo periódico, y la tercera se basa en la
detección del movimiento, es decir, el usuario envía información de localización una vez
que ha cruzado la frontera de una célula. Para cada uno de estos esquemas se han
especificado funciones de costo que se deben de optimizar, e incluso para esquemas
híbridos que consideran un par de dichas estrategias.
Una de las estrategias más atractivas, debido a su facilidad en el manejo de la
información y que no genera gran cantidad de información de señalización es la que se
basa en el movimiento de usuarios. Para esta estrategia es necesario tener modelos
matemáticos que nos ayuden a predecir y contar el número de cruces de células
inalámbricas (handovers) que ocurren durante la duración aleatoria de una llamada, o
en los intervalos en que no hay llamadas. Una buena parte de mis contribuciones han
sido en estos modelos utilizando la teoría matemática de renovación y procesos de
Markov. Voy a describir algunos de estos modelos en este trabajo.

,4
ABSTRACT
Resources optimization in wireless cellular networks is very important for dimensioning. In
addition, it is relevant to have an appropriate scheme for location of users in a given service
area or location area (LA). These issues help to maintain a certain quality of service for a
service level agreement. Most of the studies in cellular networks are focused to the signal
power optimization to ensure the signal covering area. Our goal in this work is to deal with
users’ movement modeling, and the minimization of paging and signaling traffic. For
instance, the movements occur in a plane (2D) or sometimes in 3D with some restrictions,
e.g., users in a shopping mall or inside buildings. Nowadays, there are no definitive stochastic
models to capture this behavior, however, there are many proposed models to approximate
the motion in different scenarios. There are several stochastic elements making this modeling
construction as a difficult task. One of them is the random duration of a session or call,
another one is the residence time in a wireless cell, the number of users in the cellular
network, etc. Moreover, the number of users in a wireless cell is also random. As a
consequence of these facts, the models need to be stochastic. There are several proposals for
architectures, network protocols, and strategies to deal with these issues.
There are basically three strategies for users’ location, and the management of this
information in a cellular network. The first one is to estimate the distance travelled by a
particular user, the second one is based on periodic time stamps, and the third one detects the
movement of users through cell crossing detection. To each of these schemes there are cost
functions proposals to do optimization of signaling and paging traffic. There are also hybrid
schemes to deal with these problems as well.
The dynamic movement strategy is one of the most efficient and less complex to be
implemented. In this strategy we need to have mathematical models to predict and count the
number of cell crossings (handovers) occurring during a random session or call, or between
to calls. Most of my contributions in this topic have been in building more realistic
mathematical models. These models are based on the stochastic renewal theory and Markov
processes. The foundations of these models are described in this work.
Palabras clave: Redes celulares, optimización de recursos, conteo de handovers, modelos
matemáticos, aleatoriedad

,5
OBJETIVO
Describir mis contribuciones más relevantes en la creación de modelos de movilidad de
usuarios celulares e ilustrar uno de sus usos en la reducción en el costo de señalización para
el acceso a las bases de datos de los teléfonos celulares.
ALCANCES
Este trabajo se enfoca a la elaboración de los modelos matemáticos y no necesariamente se
detallan todas sus consecuencias en aplicaciones a la industria de las redes celulares, pero
cabe mencionar que estos fundamentos han sido la base para algunos algoritmos utilizados
en la práctica.
INTRODUCCIÓN
El desarrollo de las redes celulares ha sido impresionante en los últimos 30-40 años, y su
evolución se clasifica en generaciones tecnológicas, desde los primeros sistemas analógicos
(1G) hasta los modernos 4G y 5G. A partir de la segunda generación aparecen los sistemas
basados en tecnología de transmisión digital, y en la actualidad se han hecho muy sofisticados
con el fin de hacer un uso más eficiente del espectro radioeléctrico y proporcionar un ancho
de banda más amplio, apropiado para los nuevos servicios de video, imágenes, y datos de
alta velocidad. Se ha tomado ventaja de la evolución paralela en la electrónica que ha
permitido niveles de integración muy altos, que impacta en el bajo consumo de potencia y el
reducido tamaño físico de los dispositivos, además de agregar muchas más funciones. Desde
el punto de vista de transmisión se han incorporado una gran variedad de esquemas de
modulación, los cuales han evolucionado en gran medida y la inteligencia que se le ha
proporcionado a la red es significativa.
Sin embargo, un aspecto que se ha mantenido con pocas variaciones a través de los años es
la arquitectura básica del sistema celular, que consta de una distribución de celdas o células
que cubren una ciudad, así como las bases de datos utilizadas para localizar y validar a los
usuarios. Una de estas bases de datos sufre pocos cambios ya que tiene la información de los
usuarios que han contratado el servicio, y se llama HLR (Home Location Register). Aquí es
donde reside la información de validación de servicio nacional para los clientes. Las otras
bases de datos son más dinámicas y se conocen como VLR (Visitor Location Register) y su
función es almacenar información temporal correspondiente a los usuarios que residen en
cierta área o región. El sistema de señalización celular contempla peticiones a dichas bases
de datos. Dado que dichos intercambios de información se dan en el establecimiento, durante,
y en la conclusión de la llamada, resulta importante optimizar los costos de dicha
señalización. Nuestros modelos matemáticos están orientados a esta optimización, y dado
que se enfocan en la arquitectura genérica, estos modelos son válidos incluso para las
generaciones más recientes.

,6
DESARROLLO DEL TEMA
1) Algunos métodos para contar el número de cruces de células
Durante cada cruce de celda o célula en un ambiente celular se debe de transferir el control
de la llamada de la célula de origen a la célula de destino. La red celular tiene que asignar
nuevos recursos a la llamada entrante en la célula destino y liberar los recursos de la célula
de origen para permitir el manejo de nuevas conversaciones. Para que este proceso sea
transparente al usuario y no se interrumpa la llamada se descansa en los protocolos de
señalización. En una ciudad, donde se tiene un conjunto de células es conveniente contar con
las estadísticas de cruces de células de los diferentes usuarios con el fin de hacer una mejor
planeación de recursos en esa área. Desde el punto de vista de modelos probabilísticos este
problema ha sido retador para los investigadores, dado que consiste en encontrar la
distribución de probabilidad del proceso de conteo de cruces de células, es decir, se debe de
contar el número de cruces dado que el tiempo de residencia en una célula es aleatorio, y se
puede representar por la variable aleatoria 𝑋 𝑘, para el tiempo de residencia en la célula k-
ésima, y también se tiene la aleatoriedad de la duración de la llamada, que representamos por
la variable aleatoria 𝑇. Los primeros esfuerzos en este sentido consideraron variables
aleatorias exponenciales para los tiempos de residencia en las células y para la duración de
las llamadas. Desde el punto de vista analítico dichos modelos fueron tratables debido a las
propiedades de falta de memoria de dichas variables aleatorias, pero con limitaciones
prácticas para capturar situaciones más realistas (Nanda, 1993; Lin, Mohan, Noerpel, 1994).
Por ejemplo, en ambientes multimedia se cuenta con una variedad grande de servicios
celulares, tales como voz, video, Internet, transferencia de datos, descarga de datos, vídeos,
y audio, etc. Cada uno de estos servicios tiene diferentes estadísticas de duración de llamada
o CHT (Call Holding Time). Por otro lado, el tiempo en que un usuario reside en una célula
o CRT (Cell Residence Time) también depende de varios factores, entre ellos podemos
mencionar el tamaño de la célula, la velocidad a la que viaja el móvil, densidad de tráfico, la
trayectoria en particular de que se trate, etc. No existe un consenso general de cuáles son las
distribuciones de probabilidad más adecuadas bajo todos estos factores. Ha habido algunas
mediciones reportadas, por ejemplo, Jedrzycki & Leung, 1996 y F. Barceló & J. Jordán, 2000,
que han sido valiosas en dar una mejor idea de la situación, y han corroborado que los
modelos exponenciales no son válidos para muchos de los escenarios, por ello ha sido
necesario desarrollar modelos más generales y que sean tratables analíticamente. En este
sentido me ha tocado participar activamente en el desarrollo de modelos probabilísticos
basados en la teoría de la renovación. En este trabajo elaboraré más sobre estos modelos y su
importancia.
En los ochenta se reportan algunos avances donde el CRT no es exponencial, por ejemplo,
Guérin en 1986 realizó estudios analíticos del tiempo de residencia en la celda para
geometrías hexagonales, mientras que Hong y Rappaport lo hicieron para geometrías
circulares. Al menos en el caso hexagonal los resultados no fueron muy populares debido a
su gran complejidad analítica que dificultaba el análisis posterior de costos.

,7
2.1 CRT generales y CHT Erlang
Denotaremos como N(T) el número de cruces de células o celdas en un intervalo aleatorio
(0,T], donde T es una variable aleatorio denotando el CHT y que consideraremos
independiente de los tiempos de residencia en las células. Cabe mencionar que dicho
problema fue formulado originalmente por Cox (Cox, 1962, Sección 3.4) para un proceso
de renovación ordinario cuando T se asume con una distribución de probabilidad k-Erlang,
con función de densidad de probabilidad (fdp)
𝑓𝑇(𝑡) =
𝜃 𝑘
𝑡 𝑘−1
(𝑘 − 1)!
𝑒−𝜃𝑡
; 𝑡 ≥ 0.
La función generatriz de N(T) viene dada por
𝐺 𝑁(𝑇)(𝑧) =
𝜃 𝑘
(𝑘 − 1)!
(−
𝜕
𝜕𝑠
)
𝑘−1
{𝐺 𝑁(𝑇)
∗
(𝑠, 𝑧)}|
𝑠=𝜃
= ∫ 𝐺 𝑁(𝑇)
∞
𝑡=0
(𝑡, 𝑧)𝑓𝑇(𝑡)𝑑𝑡
donde
𝐺 𝑁(𝑇)(𝑡, 𝑧): = 𝐄[𝑧 𝑁(𝑇)
|𝑇 = 𝑡] = ∑ 𝑃[𝑁(𝑇) = 𝑗|𝑇 = 𝑡] 𝑧 𝒋
∞
𝑗=0
es la función generatriz de 𝑁(𝑡), es decir, el número de cruces de células en un intervalo
determinístico (0,t]. También 𝐺 𝑁(𝑇)
∗
(𝑠, 𝑧) es la transformada de Laplace de 𝐺 𝑁(𝑇)(𝑡, 𝑧).
Una gran ventaja de esta metodología es que la función de masa de probabilidad de N(T) se
encuentra a partir de derivadas parciales en lugar de realizar la transformada inversa de
Laplace directamente. El caso especial de variables aleatorias exponenciales para CHT se
obtiene fácilmente haciendo k=1.
A partir de 𝐺 𝑁(𝑇)(𝑧) se puede encontrar la función de masa de probabilidad para el número
de cruces de células como
𝑃[𝑁(𝑇)] = 𝑚] =
1
𝑚!
𝑑 𝑚
𝑑𝑧 𝑚
𝐺 𝑁(𝑇)(𝑧)|
𝑧=0
𝑚 = 0,1,2, … .
Para el caso especial de k=1 y un proceso de renovación ordinario se tiene
𝑃[𝑁(𝑇) = 𝑚] = {
1 − 𝜌[1 − 𝑓𝑋
∗(𝜃)], 𝑚 = 0
𝜌[1 − 𝑓𝑋
∗(𝜃)]2
[𝑓𝑋
∗(𝜃)] 𝑚−1
, 𝑚 = 1,2, …
donde 𝑓𝑋
∗(𝜃) es la transformada de Laplace de la fdp de los tiempos de residencia en las
células. Este resultado ha sido obtenido por Lin, Mohan, Noerpel, 1994, por un método

,8
diferente. Ello sirve para corroborar la consistencia de los resultados, pero el método de Cox
es mucho más general, y es el que vamos a extender para aplicaciones más ambiciosas. El
parámetro 𝜌 se define como la razón de movilidad (Nanda, 1993)
𝜌 ∶=
Valor esperdo de CHT
Valor esperado de CRT
=
𝐄[𝑇]
𝐄[𝑋]
.
Al conocer la función generatriz 𝐺 𝑁(𝑇)(𝑧) también podemos conocer los momentos
estadísticos binomiales de 𝑁(𝑇), y por consiguiente valores medios y varianzas.
Estos resultados fundamentales para procesos de renovación ordinarios los hemos extendidos
a los casos más realistas de procesos de renovación de equilibrio en Rodríguez-Dagnino,
Takagi, 2003, y al caso de procesos de renovación modificados en Rodríguez-Dagnino,
Takagi, 2005. Para una definición precisa de estas variantes de los procesos de renovación
se recomienda consulta el libro de Cox, 1962. Esta nueva formulación para tratar este
problema fue propuesta y elaborada en sus aspectos básicos en Rodríguez-Dagnino, 1998.
Otras publicaciones donde se presentan avances en esta metodología se reportan en
Rodríguez-Dagnino, Hernández-Lozano y H. Takagi, 2000, Rodríguez-Dagnino y C.A.
Leyva-Valenzuela, 1999, Rodríguez-Dagnino y H. Takagi, 2001, Rodríguez-Dagnino y H.
Takagi, 2002. Resultados más elaborados se presentan en Rodríguez-Dagnino y H. Takagi,
2007, y en Takagi y Rodríguez-Dagnino, 2007, para el caso discreto, con aplicaciones en la
segmentación de paquetes en las redes de datos. Una revisión detallada de todos estos
métodos se puede consultar en Rodríguez-Dagnino y H. Takagi, 2010.
Algunas de nuestras fórmulas para la función de masa de probabilidad para 𝑁(𝑇) resultan
sofisticadas y muy elaboradas. Por ejemplo, para los procesos de renovación modificados se
tiene
𝑃[𝑁(𝑇) = 𝑚] =
{
1 −
𝜃 𝑘
(𝑘 − 1)!
(−
𝜕
𝜕𝑠
)
𝑘−1
𝑓𝑋1
∗ (𝑠)
𝑠
|
𝑠=𝜃
; 𝑚 = 0
𝜃 𝑘
(𝑘 − 1)!
(−
𝜕
𝜕𝑠
)
𝑘−1
𝑓𝑋1
∗
(𝑠)
𝑠
[1 − 𝑓𝑋
∗(𝑠)][𝑓𝑋
∗
(𝑠)] 𝑚−1
|
𝑠=𝜃
; 𝑚 = 1,2, …
.
Con desarrollos matemáticos resueltos en forma cerrada para los momentos binomiales de
𝑁(𝑇) tales como
𝐄 [(
𝑁(𝑇)
𝑙
)] =
𝜃 𝑘
(𝑘 − 1)!
(−
𝜕
𝜕𝑠
)
𝑘−1
𝑓𝑋1
∗ (𝑠)[𝑓𝑋
∗(𝑠)]𝑙−1
𝑠[1 − 𝑓𝑋
∗(𝑠)]𝑙
|
𝑠=𝜃
𝑙 = 1,2, … .
Para apreciar lo general que resultan estas fórmulas debemos de notar que se obtiene el caso
particular de los procesos de renovación ordinarios cuando 𝑓𝑋1
∗ (𝑠) ≡ 𝑓𝑋
∗(𝑠). Asimismo,
cuando definimos

,9
𝑓𝑋1
∗ (𝑠) ≡
1 − 𝑓𝑋
∗
(𝑠)
𝑠𝐄[𝑋]
,
se tiene el caso particular de los procesos de renovación de equilibrio. Adicionalmente,
hemos desarrollado expresiones matemáticas para el caso en que todas las distribuciones de
probabilidad para residencia en las células son diferentes, ver en este caso Rodríguez-
Dagnino y Takagi, 2005. Otras extensiones presentadas en la literatura ha sido hacia mixturas
de distribuciones Erlang y sumas de hiper-exponenciales (SOHYP) para el CHT (Orlik and
Rappaport, 1998), pero su análisis es un caso especial de nuestro análisis.
Hemos demostrado que mediante nuestro análisis podemos incorporar distribuciones de colas
pesadas que cuentan con una transformada de Laplace. En particular, hemos estudiado la
distribución Pareto con fdp
𝑓𝑋(𝑡) =
𝛼𝛽 𝛼
𝑡 𝛼−1
; 𝛽 > 0, 𝛼 > 0, 𝑡 > 𝛽, 1 < 𝛼 < 2
y transformada de Laplace
𝑓𝑋
∗(𝑠) = 𝛼 (𝑠𝛽)
𝛼−1
2 𝑒−
𝑠𝛽
2 𝑊
−
(𝛼+1)
2
,−
𝛼
2
(𝑠𝛽); 𝑠𝛽 > 0
where 𝑊𝑎,𝑏(𝑥) is the Whittaker function (Rodríguez-Dagnino, Takagi, 2003). En este punto
vale la pena mencionar que hay otra representación para esta transformada de Laplace basada
en la función hiper-geométrica (Brennan, Reed y Sollfrey, 1968).
Si se cuenta con fdp’s que no se conocen sus transformadas de Laplace en forma cerrada,
pero cuentan con momentos finitos de todos los órdenes entonces es posible usar nuestro
método mediante la representación de la expansión de Taylor
𝑓𝑋
∗(𝑠) = ∑
(−𝑠) 𝑘
𝑘!
𝐄[𝑋 𝑘
]
∞
𝑘=0
.
Algunos ejemplos importantes en este sentido se encuentran en Rodríguez-Dagnino y Takagi,
2005, para procesos de renovación modificados. También, el caso de la fdp gama
generalizada de Zonoozi y Dassanayake, 1997, puede analizarse mediante nuestra
metodología. Similarmente, el caso cuando el móvil viaja en una línea recta a través de una
célula circular (Hong y Rappaport, 1986, Coleman, 1969).
Es decir, nuestra metodología es suficientemente flexible como para capturar funciones de
densidad de probabilidad muy variadas que se pueden encontrar en la práctica. En lugar de
ajustar el análisis para una cierta fdp lo hemos generalizado para cualquier CRT con una fdp
que cuente con una transformada de Laplace o que tenga una expansión en series de Taylor.

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2.2 CHT Generales
Tomando otra perspectiva, ahora suponemos que los CRT’s 𝑋 se pueden modelar por una
fdp exponencial con parámetro 𝜇, por lo que el proceso de renovación es de Poisson. Para
este caso la función generatriz del proceso de conteo {𝑁(𝑡)}, en un intervalo determinístico
(0,t], se puede expresar, tanto para los procesos de renovación ordinarios y de equilibrio,
como
𝐺 𝑁(𝑇)(𝑡, 𝑧) = ∑
(𝜇𝑡) 𝑛
𝑛!
∞
𝑛=0
𝑒−𝜇𝑡
𝑧 𝑛
= 𝑒−𝜇(1−𝑧)𝑡
.
Como una consecuencia, la función generatriz del proceso de conteo en un intervalo de
duración aleatoria, {𝑁(𝑇)}, se puede expresar para cualquier fdp de CHT como
𝐺 𝑁(𝑇)(𝑧) = ∫ 𝑒−𝜇(1−𝑧)𝑡
∞
𝑡=0
𝑓𝑇(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑓𝑇
∗[𝜇(1 − 𝑧)].
Es interesante constatar que la función de masa de probabilidad presenta una expresión
compacta y simple
𝑃[𝑁(𝑇) = 𝑚] =
(−𝜇) 𝑚
𝑚!
𝑓𝑇
∗(𝑚)
(𝜇); 𝑚 = 0,1,2, … .
También resultan compactas y simples las expresiones para los momentos binomiales,
valores medios y varianzas. Es decir,
𝐄 [(
𝑁(𝑇)
𝑙
)] =
𝜇 𝑙
𝑙!
𝐄[𝑇 𝑙]; 𝑙 = 1,2, … .
De aquí obtenemos el valor medio
𝐄[𝑁(𝑇)] = 𝜇𝐄[𝑇] = 𝜌
y la varianza
𝐕𝐚𝐫[𝑁(𝑇)] = 𝜇2
𝐄[𝑇2 ] + 𝜌(1 − 𝜌).
La generalización al caso de los procesos de renovación modificados es posible, como lo
demostramos en nuestro trabajo en Rodríguez-Dagnino y Takagi, 2005. El caso de Pareto
CHT puede aplicarse fácilmente en este caso también.
No existe a la fecha una solución para el caso de CRT y CHT generales y solo algunos casos
especiales hemos resuelto. Por ejemplo, en Rodríguez-Dagnino y Takagi, 2003, presentamos
la solución cuando ambos, el CHT y CRT se consideran con una fdp 2-Erlang para procesos
de renovación de equilibrio.

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Una metodología un tanto diferente ha sido propuesta por Fang, Chlamtac, and Lin, 1997a,
and Fang, 2005, donde ellos sugieren el uso de la fórmula de inversión compleja de la
transformada de Laplace, sin embargo, no resuelven casos que no se puedan resolver por
nuestra metodología, y su concepto de distribuciones “generales” es que se puedan
representar como una razón de polinomios, por lo tanto, la inversión de la transformada de
Laplace es relativamente fácil. Pueden consultarse los trabajos de Fang, Chlamtac, y Lin,
1997b, Fang, Chlamtac, y Lin, 1998, Fang y Chlamtac, 1999, y Fang, 2001, 2002, 2003.
Otros resultados nuestros que generalizan esta metodología se pueden encontrar en
Rodríguez-Dagnino y Takagi, 2010.
3. Administración de la Movilidad
En un ambiente de telecomunicaciones inalámbricas celulares los usuarios se mueven sin
restricciones impuestas por la red, solo por la geografía del lugar. Para mantener conectados
a dichos usuarios es necesario tenerlos localizados al nivel de cada célula. Por ejemplo,
cuando el usuario se encuentra activo en una conversación se le deben de asignar recursos de
red en esa célula en particular, y la red también debe de localizar a los usuarios cuando estén
inactivos con el fin de recibir llamadas entrantes.
Con el fin de localización se pueden asignar grupos de células y se renombran como áreas de
localización (LA, location areas) para que las atienda un centro de conmutación (MSC,
Mobile Switching Center). Aquí es necesario introducir un concepto nuevo llamado LART
(Location Area Residence Time). Es decir, el fin de la administración de la localización es
contar con procedimientos eficientes para hacer los registros de localización en una LA, y
mecanismos efectivos en costos de señalización para la entrega de llamadas entrantes a los
usuarios de esa LA cuando no están activos. En este contexto resulta importante considerar
la variable aleatoria que nos da el tiempo entre el final de una llamada y el inicio de la próxima
llamada para un usuario, y lo llamaremos ICT (Inter-Call Time). De hecho, desde el punto
de vista matemático el ICT es completamente equivalente al CHT. El problema ahora se
reduce a contar el número de cruces de células (CRTs) de un usuario móvil durante el tiempo
aleatorio de un ICT, pero ahora tomando en cuenta también cruces de las fronteras de los
LA’s. Se tiene la interacción de un MSC y las dos bases de datos VLR y HLR, que
intercambian mensajes a través del sistema de señalización número 7 (SS7).
En una topología de red se tiene típicamente una base de datos HLR que cuenta con los
perfiles de todos los usuarios, y varias bases de datos VLR que atienden las actualizaciones
de las terminales móviles. Debido al gran número de usuarios los mensajes de señalización
representan una carga de tráfico importante por lo que se deben de minimizar. Hay varias
estrategias para hacer esto en la literatura, una de ellas está basada en estampas de tiempo a
intervalos regulares (TiB) y el problema consiste en optimizar dicho intervalo de tiempo. Es
decir, intervalos muy largos implican que se pueda perder la localización de los usuarios e
intervalos muy cortos generan grandes cantidades de tráfico de señalización (Bar-Noy,
Kessler, Sidi, 1994). Otro de los esquemas se basa en la distancia recorrida por los móviles
(DiB) y se busca hacer las actualizaciones en las bases de datos VLR una vez que se haya

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recorrido cierta distancia. También hay que optimizar el valor de la distancia más apropiada
para hacer las actualizaciones, pero se corre el riesgo de no saber bien la dirección que ha
tomado el usuario móvil ni contar con buenos estimadores de distancia en topologías de red
irregulares (Ng, Chan, 2006). Una tercera estrategia ha sido la más recomendable a la fecha
y consiste en vigilar cuando el usuario móvil cruza una célula, esta se conoce como basada
en movimiento (MoB), ver por ejemplo Akyildiz, Ho, Lin, 1996. En la actualidad ha habido
propuestas interesantes donde se combinan algunas de estas estrategias, pero el esquema
MoB es el que mejor logra el compromiso entre complejidad, exactitud y costo de
implementación por lo que nos enfocaremos en este esquema.
3.1 Cálculo del costo incluyendo el costo de voceo (paging)
Tenemos dos tipos de costos que vamos a considerar: costo por la entrega de llamadas y un
costo por actualizaciones de localización. Además, el costo por las actualizaciones se divide
en actualizaciones de la base de datos HLR, que denotaremos como 𝛿 𝐻𝐿𝑅, y el costo por las
actualizaciones de las bases de datos VLR, digamos 𝛿 𝑉𝐿𝑅. En estos costos se pueden incluir
aspectos de costo de cómputo para procesar las actualizaciones de localización, el uso del
ancho de banda y otros recursos de redes, tanto inalámbricas como alámbricas. En general se
tiene que 𝛿 𝐻𝐿𝑅 > 𝛿 𝑉𝐿𝑅 debido a que la base de datos HLR se localiza a una distancia mucho
mayor que las bases de datos VLR. Adicionalmente debemos de considerar el costo de voceo
(paging, polling) para buscar a un usuario en una célula. Lo denotaremos simplemente como
𝛿 𝑝𝑜𝑙𝑙 y dependerá de la estrategia de búsqueda. Algunas de estas estrategias de voceo han
sido propuestas en Krishnamachari, Gau, Wicker, Hass, 2004, Rose, 1996. En el caso
específico de la estrategia MoB dinámica con una configuración hexagonal de células se
encuentra que el número de células en el proceso de voceo es igual a 1 + 3𝑑(𝑑 − 1) donde
d es el umbral definido para el esquema MoB, Li, Kameda, Li, 2000.
Por lo tanto, podemos considerar que el costo total promedio, 𝑇𝐶, puede definirse como
𝑇𝐶 = 𝛿 𝐻𝐿𝑅 𝐄[𝑁(𝑇𝑐𝐻)] + 𝛿 𝑉𝐿𝑅 𝐄[𝑁(𝑇𝑐𝑉)] + 𝛿 𝑝𝑜𝑙𝑙 [1 + 3𝑑(𝑑 − 1)]
donde 𝐄[𝑁(𝑇𝑐𝐻)] es el valor medio del número de actualizaciones de localización en la base
de datos HLR y 𝐄[𝑁(𝑇𝑐𝑉)] es el valor medio del número de actualizaciones de localización
en las bases de datos VLR. Es necesario calcular estos dos valores medios para obtener 𝑇𝐶.
Los valores medios 𝐄[𝑁(𝑇𝑐𝐻)] y 𝐄[𝑁(𝑇𝑐𝑉)] dependen de las distribuciones de probabilidad
de LARTs, CRTs e ICT. En particular, el caso de considerar nada más distribuciones
exponenciales fue estudiado en Li, Pan, Jia, 2002, mientras que el caso CRTs generales,
LARTs hiper-exponenciales e ICT exponencial fue desarrollado en Rodríguez-Dagnino,
Takagi, 2007. Dicha generalización no es trivial y se tuvo que hacer uso de los procesos
estocásticos de renovación para llegar a resultados cerrados. Asimismo, el caso de LARTs y
CRTs con fdp con transformada de Laplace racional e ICT exponencial fue resuelto en Wang,
Fan, Li, Pan, 2008. Finalmente, el caso de ICT hiper-exponencial, LARTs exponenciales y
CRTs generales fue tratado en Rodríguez-Dagnino, Takagi, 2009. Describiremos enseguida
algunos de los puntos fundamentales para resolver estos problemas.

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Enseguida vamos a dar las ideas principales del caso resuelto en Rodríguez-Dagnino, Takagi,
2010, donde se hizo una ligera generalización al considerar LARTs hiper-exponenciales.
Vamos a considerar ICT hiper-exponencial con parámetros 𝜑 𝑘 para cada una de las
exponenciales y parámetro de mezcla 𝑞 𝑘, tal que ∑ 𝑞 𝑘 = 1𝑁
𝑘=1 , entonces la fdp se puede
escribir como
𝑓𝑇𝑐
(𝑡) = ∑ 𝑞 𝑘 𝜑 𝑘 𝑒−𝜑 𝑘 𝑡
𝑁
𝑘=1
con valor medio
𝐄[𝑇𝑐] = ∑
𝑞 𝑘
𝜑 𝑘
.
𝑁
𝑘=1
De una manera enteramente similar podemos definir la fdp hiper-exponencial para los
LARTs
𝑓𝑇 𝐿
(𝑡) = ∑ 𝑝 𝑘 𝜃 𝑘 𝑒−𝜃 𝑘 𝑡
𝑀
𝑘=1
con ∑ 𝑝 𝑘 = 1𝑁
𝑘=1 y valor medio
𝐄[𝑇𝐿] = ∑
𝑝 𝑘
𝜃 𝑘
= 𝐿.
𝑀
𝑘=1
Una de las ventajas de esta formulación es que las transformadas de Laplace de estas fdp’s
son fáciles de obtener y tienen una forma matemática racional. Las denotaremos como 𝑓𝑇𝑐
∗ (𝑠)
y 𝑓𝑇 𝐿
∗ (𝑠). Los CRTs tienen una fdp general 𝑓𝑋(𝑡) con transformada de Laplace 𝑓𝑋
∗(𝑠).
3.1 Valor medio de actualizaciones de localización en la base de datos HLR
Supongamos que 𝑁(𝑇𝑐𝐻) denota la variable aleatoria que cuenta el número de actualizaciones
de la base de datos HLR en un tiempo aleatorio, que sería el tiempo entre dos llamadas, es
decir un ICT de duración 𝑇𝑐. Por otro lado, debemos de suponer que el inicio del intervalo de
tiempo 𝑇𝑐 puede ocurrir en cualquier lugar dentro del primer LART, entonces el número de
variables aleatorias 𝑇𝐿 que ocurren en la duración 𝑇𝑐 constituye un proceso de renovación de
equilibrio, el cual fue estudiado extensivamente en este contexto en Rodríguez-Dagnino,
Takagi, 2003, ahí se demostró que para fdp´s que tienen un primer momento finito, la relación
entre los valores medios viene dada por
𝐄[𝑁(𝑇𝑐𝐻)] =
𝐄[𝑇𝑐]
𝐄[𝑇𝐿]
.

,14
Debido a este resultado fundamental entonces el cálculo de 𝐄[𝑁(𝑇𝑐𝐻)] es sumamente
sencillo.
3.2 Valor medio del número de actualizaciones de localización en las bases de datos
VLR
Es mucho más complicado calcular este valor medio, dado que puede haber varias bases de
datos VLR. Para ello denotaremos como 𝑁(𝑇𝑐𝑉) la variable aleatoria que nos cuenta el
número de actualizaciones en las bases de datos VLR durante un intervalo aleatorio ICT con
una duración dada por la variable aleatoria 𝑇𝑐. El valor medio de 𝑁(𝑇𝑐𝑉) está dado por
𝐄[𝑁(𝑇𝑐𝑉)] = ∑ 𝑛 𝑣,𝑚 𝑃[𝑁(𝑇𝑐𝐻) = 𝑚]
∞
𝑚=0
donde la función de masa de probabilidad de 𝑁(𝑇𝑐𝐻) puede calcularse de acuerdo al análisis
de Rodríguez-Dagnino, Takagi, 2003, y se puede expresar como
𝑃[𝑁(𝑇𝑐𝐻) = 𝑚] =
{
1 −
1
𝐿
∑
𝑞 𝑘
𝜑 𝑘
[1 − 𝑓𝑇 𝐿
∗ (𝜑 𝑘)];
𝑁
𝑘=1
𝑚 = 0
1
𝐿
∑
𝑞 𝑘
𝜑 𝑘
[1 − 𝑓𝑇 𝐿
∗ (𝜑 𝑘)]
2
[𝑓𝑇 𝐿
∗ (𝜑 𝑘)]
𝑚−1
;
𝑁
𝑘=1
𝑚 = 1,2, … .
Definamos el número promedio de actualizaciones en las bases de datos VLR 𝑛 𝑣,𝑚. En el
esquema MoB para el cálculo de esta variable suponemos que hay m cruces de LARTs
durante 𝑇𝑐. La primer propuesta para calcular esta variable fue de los autores Li, Pan, Jia,
2002, y se hicieron algunas adecuaciones en Rodríguez-Dagnino, Takagi, 2007, y Wang,
Fan, Li, Pan, 2008. Algunas de las adecuaciones han consistido en modificar el cálculo de
las probabilidades 𝜖 𝑛(𝑘), 𝑛 = 1,2,3,4 y las defino enseguida de acuerdo a nuestro
planteamiento del problema:
𝜖1(𝑘) es la probabilidad de que hay k cruces de células dentro del primer LART. En este caso
suponemos que 𝑇𝑐 está completamente contenido en el primer LART.
𝜖2(𝑘) es la probabilidad de que hay k cruces de células dentro del primer LART pero la
llamada previa y la actual se reciben en diferentes LARTs. Es decir, existe al menos un cruce
de LART durante 𝑇𝑐. Por tanto, necesitamos contar el número de CRTs durante 𝑇𝑅, que es
definido como el tiempo de vida residual de 𝑇𝐿.
𝜖3(𝑘) es la probabilidad de que hay k cruces de células en un intervalo de tiempo 𝑇𝐿. En este
caso, la llamada previa llega en cualquiera de los (m-1) LARTs y entra al LART m-ésimo

,15
donde reside por un tiempo mayor que 𝑇𝐿. Básicamente, necesitamos contar el número de
cruces de células durante 𝑇𝐿.
𝜖4(𝑘) es la probabilidad de que hay k cruces de células durante el último LART (donde la
llamada actual se origina ), es decir, necesitamos contar el número de CRTs durante el tiempo
aleatorio 𝑇𝐴, que representa la edad del tiempo de inter-arribo 𝑇𝐿.
Una vez definidas estas probabilidades básicas podemos evaluar 𝑛 𝑣,𝑚 como
𝑛 𝑣,𝑚 =
{
∑ 𝑖
∞
𝑖=1
∑ 𝜖1(𝑘);
(𝑖+1)𝑑−1
𝑘=𝑖𝑑
𝑚 = 0
∑ 𝑖
∞
𝑖=1
∑ {𝜖2(𝑘) + (𝑚 − 1)𝜖3(𝑘) + 𝜖4(𝑘)};
(𝑖+1)𝑑−1
𝑘=𝑖𝑑
𝑚 = 1,2, …
.
También tenemos que
𝑓𝑇 𝑅
(𝑡) =
1
𝐿
∫ 𝑓𝑇 𝐿
(𝜏) 𝑑𝜏
∞
𝜏=𝑡
=
1
𝐿
∑ 𝑝 𝑘 𝜃 𝑘 𝑒−𝜃 𝑘 𝑡
𝑀
𝑘=1
= 𝑓𝑇 𝐴
(𝑡).
El cálculo detallado de las probabilidades 𝜖1(𝑚), 𝜖2(𝑚), 𝜖3(𝑚), 𝜖4(𝑚) se puede ver en
Rodríguez-Dagnino, Takagi, 2010 para varios escenarios de interés. Para el caso que nos
ocupa en este trabajo se tiene el siguiente resultado:
𝐄[𝑁(𝑇𝑐𝑉)] =
𝜑
𝐿
∑
𝑝 𝑘
𝜃 𝑘
1 − 𝑓𝑋
∗(𝜑 + 𝜃 𝑘)
(𝜑 + 𝜃 𝑘)2 𝐄[𝑋]
𝑀
𝑘=1
[𝑓𝑋
∗(𝜑 + 𝜃 𝑘)] 𝑑−1
1 − [𝑓𝑋
∗(𝜑 + 𝜃 𝑘)] 𝑑
+
2𝐵
𝜑𝐿2
∑
𝑝 𝑘
𝜃 𝑘
1 − 𝑓𝑋
∗(𝜃 𝑘)
𝜃 𝑘 𝐄[𝑋]
𝑀
𝑘=1
[𝑓𝑋
∗(𝜃 𝑘)] 𝑑−1
1 − [𝑓𝑋
∗(𝜃 𝑘)] 𝑑
+
𝐴
𝜑𝐿
∑ 𝑝 𝑘
1 − 𝑓𝑋
∗(𝜃 𝑘)
𝜃 𝑘 𝐄[𝑋]
𝑀
𝑘=1
[𝑓𝑋
∗(𝜃 𝑘)] 𝑑−1
1 − [𝑓𝑋
∗(𝜃 𝑘)] 𝑑
, (3.2.1)
donde 𝐴 = 1 − 𝐵 = ∑ 𝑝 𝑘
𝜃 𝑘
𝜃 𝑘+𝜑
𝑀
𝑘=1 .
Asimismo se presentan algunas simulaciones para ejemplificar estas ecuaciones en dicho
artículo.

,16
4. bla bla
5. Conclusiones
Hemos dado una descripción somera de los aspectos matemáticos que constituyen este
problema y su importancia para la optimización de recursos en las redes de
telecomunicaciones. Cabe mencionar que algunos de nuestros modelos han sido citados por
patentes recientes otorgadas en los Estados Unidos de Norteamérica. Ello nos puede dar una
idea de la relevancia del tema. Este tipo de optimizaciones beneficia en principio a las
compañías proveedoras de servicios celulares, pero al tener ellos redes más eficientes
también puede bajar los costos en los usuarios, además de contar con una mejor calidad de
servicio. El hecho de ofrecer modelos matemáticos que sean más generales permite capturar
el comportamiento de una gran variedad de servicios en estas redes, por lo que estos modelos
se hacen cada vez más atractivos para las redes con servicios multimedia. Nuestros modelos
matemáticos permiten algo que los otros modelos no pueden, es decir, incorporar algunas
funciones de densidad de probabilidad de colas pesadas, como Pareto.
Otro aspect interesante de nuestros modelos es que permiten encontrar soluciones cerradas
para muchos escenarios. Es decir, los problemas son complicados y no nos enfocamos a
resolverlos de manera aproximada sino de manera exacta desde el punto de vista analítico.
Aunque nosotros no lo exploramos directamente, nuestros resultados también pueden ser de
ayuda en el dimensionamiento de la capacidad de las redes celulares en el sentido de
Yamazaki y Toshimitsu (2001) para aproximaciones de tráfico ligero y de Machihara y
Saitoh (2008) para clientes que realizan reintentos de llamada bajo suposiciones de tráfico
PASTA (o modelos que se aproximan a un comportamiento de Poisson).
Hemos hecho algunas modificaciones relevantes en las funciones de costo para las
actualizaciones de localización en las bases de datos HLR y VLR. Estas funciones incluyen
el costo de voceo (o paging) y proporcionamos expresiones matemáticas exactas para dichas
optimizaciones. Algunas otras propuestas de costo se pueden ver en Ma y Fang, 2002, 2004,
sin embargo su análisis de costo es mucho más limitado que el nuestro.
Agradecimientos
Se agradece al Tecnológico de Monterrey por el apoyo para realizar este trabajo. También a
mi colega y amigo Dr. Hideaki Takagi por todos estos años de convivencia e interés en
nuestro trabajo conjunto, y a mis estudiantes.

,17
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