Selectividad matemáticas Andalucía 2000-2009

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ÐÐ Ö ØÓ ¾¼¼½º Å Ø Ñ Ø × ÁÁº ÅÓ ÐÓ ½ ½

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ÐÐ Ö ØÓ ¾¼¼½º Å Ø Ñ Ø × ÁÁº ÅÓ ÐÓ ½ ¾

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ÐÐ Ö ØÓ ¾¼¼½º Å Ø Ñ Ø × ÁÁº ÅÓ ÐÓ ¾ ÂÍÆÁÇ

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ÐÐ Ö ØÓ ¾¼¼½º Å Ø Ñ Ø × ÁÁº ÅÓ ÐÓ ¾ ÂÍÆÁÇ

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ÐÐ Ö ØÓ ¾¼¼½º Å Ø Ñ Ø × ÁÁº ÅÓ ÐÓ ¿

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Ó×º


ÐÐ Ö ØÓ ¾¼¼½º Å Ø Ñ Ø × ÁÁº ÅÓ ÐÓ ¿

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ÐÐ Ö ØÓ ¾¼¼½º Å Ø Ñ Ø × ÁÁº ÅÓ ÐÓ ½¼

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ÐÐ Ö ØÓ ¾¼¼½º Å Ø Ñ Ø × ÁÁº ÅÓ ÐÓ ½½

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ÐÐ Ö ØÓ ¾¼¼½º Å Ø Ñ Ø × ÁÁº ÅÓ ÐÓ ½

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´ µ ½³ ÔÙÒØÓ× Ð ÙÐ ¸ × × ÔÓ× Ð ¸ Ð Ñ ØÖ Þ ÒÚ Ö× Ô Ö ¾º


ÐÐ Ö ØÓ ¾¼¼½º Å Ø Ñ Ø × ÁÁº ÅÓ ÐÓ Ë ÈÌÁ Å Ê ½

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´ µ ½ ÔÙÒØÓ ×ØÙ Ð ÖÚ Ð º

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ÐÐ Ö ØÓ ¾¼¼½º Å Ø Ñ Ø × ÁÁº ÅÓ ÐÓ Ë ÈÌÁ Å Ê ½

Ù×Ø ¬ Ó×º

ÇÔ ÓÒ
Ö Ó ½º ¾³ ÔÙÒØÓ× Ð ÙÐ Ð Ö Ò ÖÖ ÒØÖ Ð ÙÖÚ Ý Ü¿ Ü Ý Ð × × ×º

Ö Ó ¾º ¾³ ÔÙÒØÓ× Ø ÖÑ Ò « × Ò Ó ÕÙ Ü ×Ø Ý × ¬Ò ØÓ Ð Ð Ñ Ø

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BACHILLERATO
UNIVERSIDADES DE ANDALUC´ IA
PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ´
MATEMATICAS II

a) Duraciń: 1 hora y 30 minutos.
o

b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la
´
Opciń A o realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opciń B.
o ´ o

c) La puntuaciń de cada pregunta est´ indicada en las mismas.
o a
Instrucciones:
d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.

e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gr´fica), pero
a
todos los procesos conducentes a la obtenciń de resultados deben estar sufi-
o
cientemente justificados.

Opciń A
o

Ejercicio 1. [2’5 puntos] Calcula
Ln(1 + x) − sen x
lim ,
x→0 x · sen x
siendo Ln(1 + x) el logaritmo neperiano de 1 + x.

Ejercicio 2. Sea f : R −→ R la funciń definida por f (x) = ex/3 .
o

(a) [1 punto] ¿En qu´ punto de la gr´fica de f la recta tangente a ´sta pasa por el origen de coordenadas?
e a e
Halla la ecuaciń de dicha recta tangente.
o

(b) [1’5 puntos] Calcula el ´rea del recinto acotado que est´ limitado por la gr´fica de f , la recta
a a a
tangente obtenida y el eje de ordenadas.

Ejercicio 3. Considera las matrices
     
1 0 0 0 1 1 1 0 0
A =  1 m 0 , B= 1 0 0  y C =  0 1 0 .
1 1 1 0 0 0 1 0 1

(a) [1’25 puntos] ¿Para qu´ valores de m tiene soluciń la ecuaciń matricial A·X + 2B = 3C ?
e o o

(b) [1’25 puntos] Resuelve la ecuaciń matricial dada para m = 1.
o

Ejercicio 4. Se sabe que los puntos A(1, 0, −1), B(3, 2, 1) y C(−7, 1, 5) son v´rtices consecutivos de un
e
paralelogramo ABCD.

(a) [1 punto] Calcula las coordenadas del punto D.

(b) [1’5 puntos] Halla el ´rea del paralelogramo.
a

BACHILLERATO
MATEMATICAS II

o

´
o ´ o

o a
Instrucciones:

a
o

Opciń B
o

Ejercicio 1. [2’5 puntos] Sea f : (0, +∞) −→ R la funciń definida por f (x) = (x − 1)Ln(x), donde
o
Ln(x) es el logaritmo neperiano de x. Calcula la primitiva de f cuya gr´fica pasa por el punto (1, −3/2).
a

Ejercicio 2. [2’5 puntos] Estudia la derivabilidad de la funciń f : R −→ R definida por
o
 x
 si x = −1 y x = 1,
f (x) = 1 − |x|

0 si x = −1 o x = 1.

   
−2 −2 1 x
Ejercicio 3. Considera las matrices A =  −2 1 −2  y X =  y .
1 −2 −2 z

(a) [1’25 puntos] Siendo I la matriz identidad de orden 3, calcula los valores de λ para los que la matriz
A + λI no tiene inversa.

(b) [1’25 puntos] Resuelve el sistema A·X = 3X e interpreta geom´tricamente el conjunto de todas
e
sus soluciones.

Ejercicio 4. [2’5 puntos] Los puntos A(1, 1, 0) y B(2, 2, 1) son v´rtices consecutivos de un rectńgulo
e a
ABCD. Adem´s, se sabe que los v´rtices C y D estń contenidos en una recta que pasa por el origen de
a e a
coordenadas. Halla C y D.

BACHILLERATO
MATEMATICAS II

o

´
o ´ o

o a
Instrucciones:

a
o

Opciń A
o

Ejercicio 1. En la figura adjunta puedes ver representada parte de la gr´fica de una funciń f que est´
a o a
definida en el intervalo (−3, 3) y que es sim´trica respecto al origen de coordenadas.
e
(a) [0’75 puntos] Razona cu´l debe ser el valor
a ¢

de f (0).
¡

(b) [0’75 puntos] Completa la gr´fica de f .
a

(c) [1 punto] Halla f (x) para los x ∈ (−3, 3) en
los que dicha derivada exista.
¢ ¡ ¡ ¢

- - -

-
¡

-
¢

-

Ejercicio 2. [2’5 puntos] Se sabe que la funciń f : R −→ R definida por f (x) = ax2 + bx + c
o
tiene m´ximo absoluto en el punto de abscisa x = 1, que su gr´fica pasa por el punto (1, 4) y que
a a
3
32
f (x) dx = . Halla a, b y c.
−1 2

Ejercicio 3. [2’5 puntos] Determina razonadamente los valores de m para los que el sistema de
ecuaciones 
2x + y + z = mx 
x + 2y + z = my

x + 2y + 4z = mz
tiene m´s de una soluciń.
a o

Ejercicio 4. [ 2’5 puntos] Halla la ecuaciń de la recta que pasa por el punto (3, 1, −1), es paralela al
o
plano 3x − y + z = 4 y corta a la recta intersecciń de los planos x + z = 4 y x − 2y + z = 1.
o

BACHILLERATO
MATEMATICAS II

o

´
o ´ o

o a
Instrucciones:

a
o

Opciń B
o

Ejercicio 1. [2’5 puntos] Se sabe que la funciń f : R −→ R definida por f (x) = ax3 + bx2 + cx + d es
o
tal que f (0) = 4 y que su gr´fica tiene un punto de inflexiń en (1, 2). Conociendo adem´s que la recta
a o a
tangente a la gr´fica de f en el punto de abscisa x = 0 es horizontal, calcula a, b, c y d.
a

Ejercicio 2. [2’5 puntos] En la figura adjunta puedes ver representada en el intervalo [0, 2] la gr´fica
a
de la par´bola de ecuaciń y = x2 /4. Halla el valor de m para el que las ´reas de las superficies rayadas
a o a
son iguales.

¡

¢

Ejercicio 3.
(a) [1 punto] Se sabe que el determinante de una matriz cuadrada A de orden 3 vale -2 ¿Cuńto vale
a
el determinante de la matriz 4A?
 
1 2 0
(b) [1’5 puntos] Dada la matriz B =  λ 0 1 , ¿para qu´ valores de λ la matriz 3B + B 2 no
e
0 1 −2
tiene inversa?

x+y−z = 1
Ejercicio 4. Considera la recta r ≡ y el plano π ≡ x − 2y + z = 0.
y = 2
(a) [1 punto] Calcula el haz de planos que contienen a la recta r.
(b) [1’5 puntos] Halla el plano que contiene a la recta r y corta al plano π en una recta paralela al
plano z = 0.

BACHILLERATO
MATEMATICAS II

o

´
o ´ o

o a
Instrucciones:

a
o

Opciń A
o

Ejercicio 1. [2’5 puntos] Se sabe que la funciń f : R −→ R definida por f (x) = x3 + ax2 + bx + c
o
tiene un punto de derivada nula en x = 1 que no es extremo relativo y que f (1) = 1. Calcula a, b y c.

Ejercicio 2. Sea f : R −→ R la funciń definida por f (x) = x2 − 2x + 2.
o

(a) [0’75 puntos] Halla la ecuaciń de la recta tangente a la gr´fica de f en el punto de abscisa x = 3.
o a

(b) [1’75 puntos] Calcula el ´rea del recinto limitado por la gr´fica de f , la recta tangente obtenida y
a a
el eje OY.

Ejercicio 3. [2’5 puntos] Dadas las matrices
   
−1 1 0 −5 0 3
A =  3 −2 0  y B =  1 −1 1 ,
1 5 −1 −2 4 −3

halla la matriz X que cumple que A·X = (B ·At )t .

x+y+z+2 = 0
Ejercicio 4. Considera el punto P (−2, 3, 0) y la recta r ≡
2x − 2y + z + 1 = 0.

(a) [1 punto] Halla la ecuaciń del plano que pasa por P y contiene a la recta r.
o

(b) [1’5 puntos] Determina el punto de r m´s pr´ximo a P .
a o

BACHILLERATO
MATEMATICAS II

o

´
o ´ o

o a
Instrucciones:

a
o

Opciń B
o

Ejercicio 1. [2’5 puntos] Se sabe que la funciń f : (0, 3) −→ R es derivable en todo punto de su
o
dominio, siendo
x−1 si 0 < x ≤ 2,
f (x) =
−x + 3 si 2 < x < 3,
y que f (1) = 0. Halla la expresiń anal´
o ıtica de f .

Ejercicio 2. Sea f : R −→ R la funciń continua definida por
o
|2 − x| si x < a,
f (x) =
x2 − 5x + 7 si x ≥ a,
donde a es un n´mero real.
u
(a) [0’5 puntos] Determina a.
(b) [2 puntos] Halla la funciń derivada de f .
o

 
1 1 1
Ejercicio 3. Dada la matriz A =  m2 1 1 , se pide:
m 0 1
(a) [1 punto] Determina los valores de m para los que la matriz A tiene inversa.
(b) [1’5 puntos] Calcula, si es posible, la matriz inversa de A para m = 2.

Ejercicio 4. Considera una recta r y un plano π cuyas ecuaciones son, respectivamente,
 
x=t  x=α 
y=t (t ∈ R) y=α (α, β ∈ R).
 
z=0 z=β
(a) [1’25 puntos] Estudia la posiciń relativa de la recta r y el plano π.
o
(b) [1’25 puntos] Dados los puntos B(4, 4, 4) y C(0, 0, 0), halla un punto A en la recta r de manera
que el trińgulo formado por los puntos A, B y C sea rectńgulo en B.
a a

BACHILLERATO
MATEMATICAS II

o

´
o ´ o

o a
Instrucciones:

a
o

Opciń A
o

Ejercicio 1. [2’5 puntos] Sea Ln(1 − x2 ) el logaritmo neperiano de 1 − x2 y sea f : (−1, 1) −→ R la
funciń definida por f (x) = Ln(1 − x2 ). Calcula la primitiva de f cuya gr´fica pasa por el punto (0, 1).
o a

Ejercicio 2. [2’5 puntos] Se sabe que la funciń f : R −→ R definida por f (x) = x3 + ax2 + bx + c
o
tiene un extremo relativo en el punto de abscisa x = 0 y que su gr´fica tiene un punto de inflexiń en el
a o
1
punto de abscisa x = −1. Conociendo adem´s que
a f (x) dx = 6, halla a, b y c.
0

Ejercicio 3. Considera los vectores − = (1, 1, 1), − = (2, 2, a) y − = (2, 0, 0).
→
u →
v →
w

(a) [1’25 puntos] Halla los valores de a para los que los vectores − , − y − son linealmente indepen-
→ → →
u v w
dientes.

(b) [1’25 puntos] Determina los valores de a para los que los vectores − + − y → − − son ortogonales.
→ → − →
u v u w

Ejercicio 4. [2’5 puntos] Sabiendo que las rectas

 x = 1+µ
r≡x=y=z y s≡ y = 3+µ

z = −µ

se cruzan, halla los puntos A y B, de r y s respectivamente, que estń a m´
a ınima distancia.

BACHILLERATO
MATEMATICAS II

o

´
o ´ o

o a
Instrucciones:

a
o

Opciń B
o

Ejercicio 1. Dadas la par´bola de ecuaciń y = 1 + x2 y la recta de ecuaciń y = 1 + x, se pide:
a o o
´
(a) [1’5 puntos] Area de la regiń limitada por la recta y la par´bola.
o a

(b) [1 punto] Ecuaciń de la recta paralela a la dada que es tangente a la par´bola.
o a

Ejercicio 2. Considera la funciń f : R −→ R definida por f (x) = (x + 3) e−x .
o

(a) [0’5 puntos] Halla las as´
ıntotas de la gr´fica de f .
a

(b) [1’5 puntos] Determina los extremos relativos de f y los puntos de inflexiń de su gr´fica.
o a

(c) [0’5 puntos] Esboza la gr´fica de f .
a

Ejercicio 3. Sean C1 , C2 y C3 las columnas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz
cuadrada A de orden 3 cuyo determinante vale 5. Calcula, indicando las propiedades que utilices:

(a) [0’5 puntos] El determinante de A3 .

(b) [0’5 puntos] El determinante de A−1 .

(c) [0’5 puntos] El determinante de 2A.

(d) [1 punto] El determinante de una matriz cuadrada cuyas columnas primera, segunda y tercera son,
respectivamente, 3C1 − C3 , 2C3 y C2 .

x−1 y+1 z
Ejercicio 4. [2’5 puntos] Determina el punto P de la recta r ≡ = = que equidista de
2 1 3
los planos 
 x = −3 + λ
π1 ≡ x + y + z + 3 = 0 y π2 ≡ y = −λ + µ

z = −6 − µ.

BACHILLERATO
MATEMATICAS II

o

´
o ´ o

o a
Instrucciones:

a
o

Opciń A
o

Ejercicio 1. Sea la funciń f : R −→ R definida por
o

x2 + 3 si x ≤ 1,
f (x) =
2− x2 si x > 1.

(a) [1’25 puntos] Calcula, si es posible, las derivadas laterales de f en x = 1.

(b) [1’25 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la funciń f .
o

Ejercicio 2. [2’5 puntos] Determina el valor positivo de λ para el que el ´rea del recinto limitado por
a
la par´bola y = x
a 2 y la recta y = λx es 1.

Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones:

x + my − z = −2 + 2my 
mx − y + 4z = 5 + 2z

6x − 10y − z = −1.

(a) [1’5 puntos] Discute las soluciones del sistema segń los valores de m.
u

(b) [1 punto] Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado.

Ejercicio 4. Se sabe que el plano Π corta a los semiejes positivos de coordenadas en los puntos A,
B y C, siendo las longitudes de los segmentos OA, OB y OC de 4 unidades, donde O es el origen de
coordenadas.

(a) [0’75 puntos] Halla la ecuaciń del plano Π.
o

(b) [1 punto] Calcula el ´rea del trińgulo ABC.
a a

(c) [0’75 puntos] Obtń un plano paralelo al plano Π que diste 4 unidades del origen de coordenadas.
e

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MATEMATICAS II

o

´
o ´ o

o a
Instrucciones:

a
o

Opciń B
o

√
Ejercicio 1. Sea f : R −→ R la funciń definida por f (x) =
o 3
x.

(a) [0’5 puntos] Calcula la recta tangente a la gr´fica de f en el punto de abscisa x = 1.
a

(b) [0’5 puntos] Esboza el recinto limitado por la gr´fica de f y la recta tangente obtenida.
a

(c) [1’5 puntos] Calcula el ´rea del recinto descrito en el apartado anterior.
a

2x2 + 2
Ejercicio 2. Considera la funciń f definida para x = −2 por f (x) =
o .
x+2
(a) [1’25 puntos] Halla las as´
a

(b) [1’25 puntos] Estudia la posiciń relativa de la gr´fica de f respecto de sus as´
o a ıntotas.

Ejercicio 3. Considera la matriz  
2x 0 0
M (x) =  0 1 x  ,
0 0 1
donde x es un n´mero real.
u

(a) [1’5 puntos] ¿Para qu´ valores de x existe (M (x))−1 ? Para los valores de x obtenidos, calcula la
e
matriz (M (x))−1 .

(b) [1 punto] Resuelve, si es posible, la ecuaciń M (3)·M (x) = M (5).
o

Ejercicio 4. [2’5 puntos] Halla la perpendicular comń a las
u rectas
 
 x=1+α  x=β
r≡ y=α y s≡ y = 2 + 2β
 
z = −α z = 0.

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MATEMATICAS II

o

´
o ´ o

o a
Instrucciones:

a
o

Opciń A
o

Ejercicio 1. [2’5 puntos] Sea la funciń f : R −→ R definida por f (x) = 2x3 − 6x + 4. Calcula el
o
´rea del recinto limitado por la gr´fica de f y su recta tangente en el punto de abscisa correspondiente
a a
al m´ximo relativo de la funciń.
a o

x3
Ejercicio 2. Dada la funciń f definida para x = −1 por f (x) =
o , determina:
(1 + x)2
(a) [1’5 puntos] Las as´
a

(b) [1 punto] Los puntos de corte, si existen, de dicha gr´fica con sus as´
a ıntotas.

Ejercicio 3. Considera las matrices
     
1 0 −1 1 x
A= 0 m 3 , B =  −1  y X =  y .
4 1 −m 3 z

(a) [0’75 puntos] ¿Para qu´ valores de m existe la matriz A−1 ?
e

(b) [1 punto] Siendo m = 2, calcula A−1 y resuelve el sistema A·X = B.

(c) [0’75 puntos] Resuelve el sistema A·X = B para m = 1.

x − 3y + z = 0
Ejercicio 4. Considera el plano π ≡ x − 2y + 1 = 0 y la recta r ≡
x − y + az + 2 = 0.

(a) [1’25 puntos] Halla el valor de a sabiendo que la recta est´ contenida en el plano.
a

x − 3y + z = 0
(b) [1’25 puntos] Calcula el ńgulo formado por el plano π y la recta s ≡
a
x − y + z + 2 = 0.

BACHILLERATO
MATEMATICAS II

o

´
o ´ o

o a
Instrucciones:

a
o

Opciń B
o

Ejercicio 1. [2’5 puntos] De entre todos los rectńgulos que tienen uno de sus v´rtices en el origen de
a e
2x2
coordenadas, el opuesto de este v´rtice en la curva y = 2
e (x > 1), uno de sus lados situado sobre
x −1
el semieje positivo de abscisas y otro lado sobre el semieje positivo de ordenadas, halla el que tiene ´rea
a
m´ınima.

Ejercicio 2. Considera las funciones f, g : R −→ R definidas por

f (x) = 6 − x2 y g(x) = |x|.

(a) [0’75 puntos] Dibuja el recinto acotado que est´ limitado por las gr´ficas de f y g.
a a

(b) [1’75 puntos] Calcula el ´rea del recinto descrito en el apartado anterior.
a

Ejercicio 3. [2’5 puntos] Una empresa cinematogr´fica dispone de tres salas, A, B y C. Los precios
a
de entrada a estas salas son de 3, 4 y 5 euros, respectivamente. Un d´ la recaudaciń conjunta de las
ıa o
tres salas fue de 720 euros y el n´mero total de espectadores fue de 200. Si los espectadores de la sala A
u
hubieran asistido a la sala B y los de la sala B a la sala A, se hubiese obtenido una recaudaciń de 20
o
euros m´s. Calcula el n´mero de espectadores que acudi´ a cada una de las salas.
a u o

Ejercicio 4. [2’5 puntos] Halla la ecuaciń de una circunferencia que pase por el punto (−1, −8) y sea
o
tangente a los ejes coordenados.

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