SISTEMAS DE COMUNICACIONES. FOURIER :EJERCICIOS DE SERIES y TRANSFORMADAS _ESPECTRO DE FRECUENCIA
1. Universidad de Falcon .
INGENIERIA ELECTRONICA.
Catedra: SISTEMAS DE COMUNICACIÓN I.
1 Prof AvinadadMendez
EJEMPLOS DE OBTENCION DE SERIES DE FOURIER Y DE
TRASNFORMADAS DE FOURIER..
o EJERCICIO NUMERO 1 : Serie de Fourier
Dada la definiciónde laSerie de FourierensuformaExponencial(véaseidentidadde Euler) ,noutilizaremos
, solopara referencialarepresentacióntrigonométrica.
2. 2 Prof AvinadadMendez
1. Encuentre la expresión en Serie de Fourier (Expresión Exponencial) de la onda Rectificada de la
figura, sabiendo que la frecuencia de la señal antes de rectificar era fant = 60 Hz . y cuyo Tant = 1/60
Seg , por lo que el Periodo T de la ya, rectificada es T= Tant /2 y frecuencia fo= 2x60Hz =
120Hz.. estopara ser tomadoencuentaa lahora de hacer la representación de Fourier de la onda
rectificada completa.
2. Dibuje el Espectrode Frecuenciade laSeñal de salida , hasta una frecuencia de 5 o 6 vecesla
frecuenciabase de laseñal rectificada.
3. Si se hace pasar esta Señal rectificadaporunfiltropasaBajode 0 Hz a 500 Hz , cuya gananciasea 1 ,
que componentesde frecuencia, se podríantenerala salidade este..
4. Si es una señal de Voltaje, cuál seríael Voltajeefectivo alaSalidade este.
5. Si recordamosque una señal periódicae infinitaenel tiemposuenergíatambiénesinfinita, se
hablaentoncesde señalesde Potencia, que se tendría comopotenciade la señal, yaa la salidadel
filtro( uso del teoremade Parseval )
Resolución del ejercicio no 1.
3. 3 Prof AvinadadMendez
Del enunciadodel ejercicio,loprimeroque debemoshacer,esidentificarel periodode laseñal que
queremosrepresentar, el cual llamaremosTo o T .. debidoaque se trata de una señal periódica,loque
implicaque se vaa represetarmedianteseriesde Fourier,,,
Tambienantesde rectificarlaseñal vemosque lafrecuenciaerade f = fred = 60 Hz ,,con lo que el periodode
la redera o es Tred=1/fred 1/60Hz = 0.0166seg = 16 mSeg=0.0166 Seg
Ya este calculoinicial ,y por inspecciónde lafigurapodemosverque nuestroTde laseñal y rectificadaesla
mitaddel Tred ..
Con loque nuestroTo =Tred/ 2 , oseanuestro To = 0.0083333 seg con este cálculo,.sabemos cuálesserían
loslímitesde integración ,(-To/2 , + To/2 ) o integral enel intervalo( -0.00416 , +0.004166 )
Tambiénnuestranuevafrecuenciafo=1/To loque implicafo=120 Hz
Tambienpodemoscalcularloslimitessabiendoal observarlagraficaque debohallarlosvaloresde tiempo(t)
donde lafuncióncosenose hace cero.
110*1.4142* Cos(2*π*60*t )=0
Al resolvercos(2*π*60*t)=0 enotras palabrasen - π/2 Rad ( -90 grados) y + π/2 Rad ( +90 grados)
+90 grados,,recuerde expresarsiempre enradianes,
En otras palabras
2*π*60*t =+- π/2 === t= +- 1 /(2*2*60) o loque es lomismot= +- .00416 seg y loque habíamos
oseadebemosintegral enel intervalo( -0.00416 , + 0.0416 seg) lo que arroja que To, nuestrollamado
periodoes To = +0.004166 - (-0.00416) = To= 0.0083 seg. Mismoresultadoporel métodoanterior..
OseanuestroperiodoesTo= 0.0083seg con loque la frecuenciafundamental de laexpresiónde Fouriervaa
serfo=1/To == fo= 120 Hz, observe que lafrecuenciadespuésdel rectificadorde ondacompletaes2
veceslafrecuenciade red.
4. 4 Prof AvinadadMendez
Ya con estoy la definición
Puedoencontrarlosvaloresde Xn, para n= - ∞ hastan =∞ , realmente al sacar
Para n=0 , lo que se llamaríala componente Xo
Para n=+1 la componente X1
Para n=+2 la componente X2
Para n=+3 la componente X3
Para n=+4 la componente X4 y asi sucesivamente ,nosvamosa dar cuentaque la componente Xn vaa ir
disminuyendocontendenciahacia0 …por estarazón podríamossolosacar la componentesrealmenteque
contribuyen,,
Igual pasa con lascomponentesnegativas,odonde n=-1 , -2 , -3 , -4 ……….. -∞
Para n=-1 la componente X-1
Para n=-2 la componente X-2
Para n=-3 la componente X-3
Para n=-4 lacomponente X-4 y asi sucesivamente ,nosvamosa dar cuentaque la componente X –n va a ir
disminuyendocontendenciahacia0 …por estarazón podríamossolosacar la componentesrealmenteque
contribuyen,,
6. 6 Prof AvinadadMendez
Recordandoque fo= 1/To To =1/fo con lo que To f=1/2 , también extrayendo el factor comunenel denominador
(−2 𝑖 𝑝𝑖 𝑓) , y haciendolassimplificacionesenlos exponentes.
Xn =
𝐴𝑜
2 𝑇𝑜 (−2 𝑖 𝜋 𝑓)
(
𝑒
−2𝑖 (2𝑛−1)∗
𝜋
4
(2𝑛−1)
+
𝑒
−2𝑖 (2𝑛+1)∗
𝜋
4
(2𝑛+1)
−
𝑒
+2𝑖 (2𝑛−1)∗
𝜋
4
(2𝑛−1)
−
𝑒
+2 𝑖 (2𝑛+1)∗
𝜋
4
(2𝑛+1)
) =
𝐴𝑜 𝑖
4 𝑇𝑜 𝑓 𝜋
(
𝑒
−𝑖2 (2𝑛−1)∗
𝜋
4 (2𝑛+1)+ 𝑒
−𝑖 2(2𝑛+1)∗
𝜋
4 (2𝑛−1)− 𝑒
+𝑖2(2𝑛−1)
𝜋
4 (2𝑛+1)− 𝑒
+ 𝑖2 (2𝑛+1)
𝜋
4 (2𝑛−1)
(2𝑛−1) (2𝑛+1)
)
Xn=
𝐴𝑜 𝑖
4
1
2
𝜋
(
(+ 𝑒−𝑖 (2𝑛−1)∗𝜋/2
+ 𝑒−𝑖 (2𝑛+1)∗𝜋/2
− 𝑒+𝑖 (2𝑛 −1)∗𝜋/2
− 𝑒+ 𝑖 (2𝑛+1)𝜋/2 )2𝑛 + 1∗ ( 𝑒−𝑖 (2𝑛−1)𝜋/2
− 𝑒−𝑖 (2𝑛+1)𝜋/2
− 𝑒+𝑖 (2𝑛−1)𝜋/2
+ 𝑒+ 𝑖 (2𝑛+1)𝜋/2 )
(2𝑛−1) (2𝑛+1)
)
𝐗𝐧 =
𝐴𝑜 𝑖
2 𝜋 (2𝑛−1) (2𝑛+1)
( −2 𝑖 ( sin(
(2𝑛−1)𝜋
2
) + sin(
(2𝑛+1)𝜋
2
) ) ∗ 2𝑛 + 2 𝑖 ∗ ( − sin(
(2𝑛−1)𝜋
2
)+ sin(
(2𝑛+1)𝜋
2
) ) )
+1 + -1 - (+1 ) (-1)
-1 + 1 - (+1 ) (-1)
Si tomamos encuenta que n toma desde valoresque van desde n=- ∞ hasta n =∞ , realmente al sacar
Saquemos Xn, para algunosvaloresde n
n= -2 donde (2n-1)= -5 y 2n+1= -3
la primera parte dentro del colchete es 0, 𝑠𝑖𝑛(−
5𝜋
2
) = -1 y 𝑠𝑖𝑛(−
3𝜋
2
)= + 1
la segunda parte dentro del colchete es o +2 o -2 , −𝑠𝑖𝑛(−
5𝜋
2
) =- (+1) y 𝑠𝑖𝑛(−
3𝜋
2
)=+ 1 igual a + 2
n= -1 donde (2n-1) = -3 y 2n+1= -1
la primera parte dentro del colchete es 0, 𝑠𝑖𝑛(−
3𝜋
2
) = +1 y 𝑠𝑖𝑛(−
1 𝜋
2
)
= - 1
la segunda parte dentro del colchete es o +2 o -2 , −𝑠𝑖𝑛(−
3𝜋
2
) =- (+1) y 𝑠𝑖𝑛(−
1𝜋
2
)= - 1 igual a - 2
n= -0 donde (2n-1) = -1 y 2n+1= +1
la primera parte dentro del colchete es 0, 𝑠𝑖𝑛(−
1𝜋
2
) = -1 y 𝑠𝑖𝑛(+
1𝜋
2
)= + 1
la segunda parte dentro del colchete es o +2 o -2 , −𝑠𝑖𝑛(−
1𝜋
2
) =- (+1) y 𝑠𝑖𝑛(+
1𝜋
2
)=+ 1 igual a + 2
n= 1 donde (2n-1) = 1 y 2n+1= 3
la primera parte dentro del colchete es 0, 𝑠𝑖𝑛(+
1𝜋
2
) = +1 y 𝑠𝑖𝑛(+
3 𝜋
2
)
= - 1
la segunda parte dentro del colchete es o +2 o -2 , −𝑠𝑖𝑛(+
1𝜋
2
) =- (+1) y 𝑠𝑖𝑛(+
3𝜋
2
)= - 1 igual a - 2
n= 2 donde (2n-1)= 3 y 2n+1= 5
la primera parte dentro del colchete es 0, 𝑠𝑖𝑛(+
3𝜋
2
) = -1 y 𝑠𝑖𝑛(+
5 𝜋
2
)= + 1
la segunda parte dentro del colchete es o +2 o -2 , −𝑠𝑖𝑛(
3𝜋
2
) =- (-1) y 𝑠𝑖𝑛(
5𝜋
2
)=+- 1 igual a + 2
+2
-2
0
7. 7 Prof AvinadadMendez
de lo anterior podemos inferir que el resultadosiemprees elnumero 2 , con signo (+) en n par, y signo (-) en n impar , osea podemos decirque
toda la expresión en los paréntesis dondeestabanlos senos el resultadoes :: 2 *(−1)𝑛
al sustituir .. nos quedan los Xn
𝐗𝐧 =
𝐴𝑜 𝑖 ( 𝑖 2 (−1)𝑛
)
2 𝜋 (2𝑛−1) (2𝑛+1)
=
𝐴𝑜 ( 𝑖∗𝑖) ∗ (−1)𝑛
)
𝜋 (2𝑛−1) (2𝑛+1)
=
𝐴𝑜 ( −1) ∗ (−1)𝑛
𝜋 (2𝑛−1) (2𝑛+1)
=
𝑨𝒐 (−𝟏)𝒏+𝟏
𝝅 (𝟒𝒏𝟐−𝟏)
𝐗𝐧 =
𝑨𝒐 (−𝟏)𝒏+𝟏
𝝅 (𝟒𝒏𝟐−𝟏)
de aquí nos damos cuenta que siempre es un valor real , esto es porque la señal rectificadaes
una función par,
la representación de Fourier de la función Rectificada es entonces.
f(t) = ∑ 𝑨𝒐 (−𝟏)𝒏+𝟏
𝝅 (𝟒𝒏𝟐−𝟏)
𝑒+𝑖 2∗ 𝑛 ∗𝜋∗(2∗𝑓) 𝑡
= ∑ 𝑨𝒐 (−𝟏)𝒏+𝟏
𝝅 (𝟒𝒏𝟐−𝟏)
𝑒+𝑖 2 ∗ 𝑛 ∗𝜋∗( 2∗60) 𝑡
=
+𝑛
−𝑛
+𝑛
−𝑛
∑ 𝑨𝒐 (−𝟏)𝒏+𝟏
𝝅 (𝟒𝒏𝟐−𝟏)
𝑒+ 𝑖2 ∗𝜋∗𝑛∗ ( 120 )𝑡
+𝑛
−𝑛
de donde se ve que la frecuencia fundamental es 120 Hz,,, se deben conseguir los armónicos fundamentales
sustituyendo n por algunos valores queden resultado significativo
f(t)=
120∗√2
𝝅
*( … + X-3 𝑒+ 𝑖 2 ∗𝜋∗(−3)∗ ( 120 ) 𝑡
+ X-2 𝑒+ 𝑖 2 ∗𝜋∗(−2)∗ ( 120 ) 𝑡
+ X—1 𝑒+ 𝑖 2 ∗𝜋∗(−1)∗ ( 120 )𝑡
+
+ X0 𝑒+ 𝑖 2 ∗𝜋∗(0)∗ ( 120 )𝑡
+ X1 𝑒+ 𝑖 2 ∗𝜋∗(1)∗ ( 120 )𝑡
+ X2 𝑒+ 𝑖 2 ∗𝜋∗(2)∗ ( 120 )𝑡
+ X3
𝑒+ 𝑖 2 ∗𝜋∗(3)∗ ( 120 )𝑡
+ ++ .. )
Esta sería la representacionde lafuncióncon tresarmónicos, ósea n=+/- 1 , 2 , 3 y n=0 que es la
componente directaoDC…
FaltariaCalcularlos 7 ValoresXn , para graficarel espectro, unagrafica con eje horizontal f y eje
Vertical
El valorabsolutode /Xn / que no es más, que el valorabsoluto del Xn encontradoporque solotiene
parte real. Tambiéneneste casoXn= X-n
La graficava en ( n ) veceslafrecuenciafundamental ,esdecir f= + - 0 , 120 , 240, 480 , que deben
serlas componentesrealmente significativas.
8. 8 Prof AvinadadMendez
o EJERCICIO NUMERO 2 : Transformada de
Fourier.
o Base matemática de la Transformadade Fourier.
Dada una función,noperiódicax( t) , y recordandola expresión, de la serie de fourieranterior
Si no es periódica,puede considerarse que Ttiende ainfinito,yque lasumatoriavaa tenderaser la Integrar
desde -∞ ≤ t ≤ + ∞
Con loque x (t) puede expresarsecomo
Donde X(f) sonloque enla serie eranlosX(n) , y comoel periodose consideróinfinito, lasfrecuenciase
fueronacercandoinfinatmente ,haciendoaX(f) unafuncióncontinuade lafrecuencia,esdecirel Espectro,
escontinuo..
Y esta X(f) ,puede calcularse comolaintegral de :
9. 9 Prof AvinadadMendez
o Ejercicio pratico de obtención de la Transformada de Fourier.
1. Dada la función x(t) = 𝐴 cos(2 𝜋 𝑓𝑐 𝑡 ) para t definido soloenel intervalo
- Ʈ/2 ≤ t ≤ Ʈ /2 , recuerde que Ʈ esuna constante.,para nuestroejemplo,cosidere que
Ʈ = 2 Seg, y que la frecuencia fc= 1 Khz. , asi mismolaaltura o magnitudmáximade la
señal esde 24 .
Nota: el símbolo Ʈ esuna constante, mientrasque t es lavariable tiempo, estosignifica
que x(t) vadesde el tiempo -Ʈ/2hasta el tiempoƮ/2 , y su duracióntotal es Ʈ
Verfigura:
(a) Encuentre latransformadade Fourier X(f) , de la funciónoseñal x(t) ,utilice la
definición. Recuerde que estafunciónotrende la señal cosenoidal, puede ser
consideradocomolamultiplicacióndel unafuncióncosenoidal porunamuyconocida
como señal pulsocuyatransformadade Fourierestatabulada,
u(t) = {
1 para −
Ʈ
2
≤ t ≤ Ʈ
2
donde la duración es Ʈ
0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜(−Ʈ,+Ʈ)
(b) Dibuje el Espectrode frecuencia ,de la transformadaencontrada.
(c) Encuentre ahorala Transformadadelafunción,utilizandolasproπedadesde traslación
de frecuencia o multiplicaciónpor ( 𝑒−𝑎𝑡 )
ResolucionEjercicioNo2
1. Encuentre latransformadade Fourier X(f) , de lafuncióno señal x(t) ,utilice ladefinición.Recuerde
que estafuncióno trende la señal cosenoidal, puede serconsideradocomolamultiplicacióndel unafunción
cosenoidal porunamuyconocida comoseñal pulsocuyatransformadade Fourierestatabulada
