El documento contiene 21 problemas de matemáticas resueltos. Los problemas incluyen ecuaciones, combinatoria, probabilidad y otros temas. Se proporcionan las soluciones detalladas para cada problema.

1. 1 Vx, 2  VR x ,2  66.
Resuelve la ecuación
Solución:
11
Vx,2  VRx,2  66  x( x  1)  x 2  66  2x 2  x  66  0  x  6, x   .
2
La única solución válida es x = 6.
2 La final de 1500 de la Olimpiada la corren 12 atletas. Calcular como pueden repartirse las medallas de oro,
plata y bronce.
Solución:
V12,3  12  11 10  1320.
3 Pn  6Pn 2 .
Resuelve la ecuación
Solución:
Pn  6Pn  2  n!  6(n  2)!  n(n  1)  6  n 2  n  6  0  n  3, n  2
La única solución valida es n = 3.
4 Un quinielista tiene una corazonada y cree que en una cierta jornada van a salir 5 unos,4 equis y 6 doses.
Calcula cuántas apuestas ha de validar para asegurarse el pleno al quince.
Solución:
15!
PR15 
5,4,6
 630630
5!4!6!
qapuestas.
5 Calcula cuantos números naturales menores que mil hay con tres cifras distintas.
Solución:
Son todos, excepto los que empiezan por 0.
V10,3  V9,2  10  9  8  9  8  720  72  648
números.
6 Vx ,2  Vx 2,2  Vx  4,2  98
Resuelve la ecuación .
Solución:
Vx,2  Vx 2,2  Vx 4,2  98  x( x  1)  ( x  2)( x  3)  ( x  4)( x  5)  98 
x 2  x  x 2  5x  6  x 2  9x  20  98
3 x 2  15 x 72  0  x 2  5 x 24  0  x  8, x  3.
La única solución válida es x = 8.
7 Calcula de cuántas formas pueden ordenarse 4 monedas de 1 euro y 4 monedas de 2 euros.
Solución:
8! 8765
PR8 
4,4
  70.
4!4! 4  3  2  1
8 Calcula cuántos coches pueden matricularse con el nuevo sistema europeo de matriculación, consistente
en 4 cifras y 3 consonantes.
Solución:

2. VR10,4 VR20,3  104  203  80.000.000
Pueden matricularse coches.
9 Calcula cuantos números de 7 cifras son capicúas.
Solución:
Es el mismo problema que calcular cuantos números hay de 4 cifras, por tanto habrá
VR10,4 VR10,3  104  103  10000  1000  9000
capícuas de 7 cifras.
10 Una peña quinielística quiere asegurarse el pleno al 15. ¿Cuántas apuestas han de jugar?
Solución:
VR3,15  315  14348907
Han de jugar apuestas.
11 Calcula cuántos números de 5 cifras pueden formarse con 1 y 2 siempre con dos cifras consecutivas
iguales.
Solución:
5
Son todos, excepto 12121 y 21212, por tanto hay VR2,5 = 2 - 2 = 32 - 2 = 30 números.
12 Una liga de fútbol la juegan 5 equipos con jornadas de ida y vuelta. Calcula cuántas jornadas hay que jugar.
Solución:
V5,2  5  4  20
partidos. Como cada jornada se pueden jugar dos partidos, entonces se juegan 10 jornadas.
13 A una pista de baile acuden 5 chicos y 7 chicas. Calcula cuántos bailes distintos, 5 chicos y 5 chicas,
pueden darse.
Solución:
Fijamos a las cinco chicas. Se trata de distribuir a los 7 chicos entre las 7 chicas. Por tanto habrá
V7,5  7  6  5  4  3  2520
bailes distintos.
6 7
14 Calcula todos los números comprendidos entre 10 y 10 que pueden formarse utilizando 3 veces el 4, dos
veces el 6 y dos veces el 0.
Solución:
Se calculan todos los números que se pueden formar con esas cifras y se restan los que empiezan por 0, por tanto
habrá
7! 6!
PR7  PR6 
3,2,2 3,2
  210  60  150
3!2!2! 3!2!
números diferentes.
15 De todas las reordenaciones de la palabra ABRACADABRA, calcula cuántas tienen las 5 A juntas.
Solución:
En primer lugar vamos a ver cuantos casos genéricos hay con las 5 A seguidas. Hay 7 casos. Si fijamos un caso,
6!
PR 2,2   180
6
2!2!
tendremos palabras. En total, 1260 palabras.
16 ¿Cuántas palabras con las letras de ISABEL pueden formarse sin vocales ni consonantes juntas?
Solución:
Como hay 3 vocales y 3 consonantes, sólo hay 2 posibilidades: vcvcvc o cvcvcv. La respuesta será
2  3!3!  2  6  6  72.

3. 17 Calcula los números mayores que un millón que se pueden formar con las cifras 0, 2, 2, 3, 3 y 4.
Solución:
5!
PR5 
2
 60
2!
Empiezan por 2 números.
5!
PR5   60
2
2!
Empiezan por 3 números.
5!
PR 2, 2
5   30
2!2!
Empiezan por 4 números.
En total, 150 números.
18 Calcula la suma de todos los números de cuatro cifras distintas que se pueden formar con las cifras 1, 2, 3,
4 y 5.
Solución:
V5,4  5  4  3  2  120
Son números.
De estos números hay V4, 3 = 4 · 3 · 2 = 24 que acaban en 1. Lo mismo ocurre para los que terminan en 2, 3, 4 y 5 y
con las cifras de las decenas, centenas y unidades de millar.
La suma de todos los números será:
Unidades: 24 · (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 24 · 15 = 360
Decenas: 24 · (1 + 2+ 3 + 4 + 5) = 24 · 15 = 360
Centenas: 24 · (1 + 2+ 3 + 4 + 5) = 24 · 15 = 360
Unidades de millar: 24 · (1 + 2+ 3 + 4 + 5) = 360
Total suma: 330 + 10 · 360 + 100 · 360 + 1000 · 360 = 399960
19 ¿De cuántas maneras pueden ordenarse 10 libros de distinto tamaño con la condición de que el mayor y el
menor estén siempre separados?
Solución:
Hay que quitar los casos en los cuales el libro mayor y el menor estén juntos, que pueden estarlo en 18 posiciones.
Por tanto pueden ordenarse de 10! - 18 · 8! = (90 - 18) · 8! = 72 · 8! = 2903040 formas.
20 ¿En cuántos ceros acaba 80! ?
Solución:
Hay que calcular los múltiplos de 5 que hay en 80!. Hay 16 múltiplos de 5, pero también hay 3 múltiplos de 25.
Entonces habrá 19 ceros.
21 Calcula cuántos números de 3 cifras distintas pueden formarse con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5 con la
condición de que sean múltiplos de 6.
Solución:
Tiene que ser múltiplo de 3 y par. Para ser múltiplo de 3 siempre la suma de las cifras debe ser múltiplo de 3.
Si la última cifra es 2, las otras dos pueden ser 1 o 3; por tanto hay 2 múltiplos de 6 que terminan en 2.
Si la última cifra es 4, las otras dos pueden ser 1 o 3, 2 o 3, 3 o 4. En total 6 númros.
Hay 8 múltiplos de 6.