1. 1 Escribe en forma potencial las siguientes expresiones:
x  x3 x 5  x 2 x/ x x /x
a) b) c) d)
Solución:
1 1 7
3
x  x3  x 2  x3  x 2  x2
a) Expresando los radicales en forma potencial se tiene:
5 5 1
2
x 5  x 2  x 2  x 2  x 2  x2
b) Operando similarmente al caso anterior se tiene:
1 1 1
1
x/ x  x/x 2  x 2  x2
c) Análogamente:
1
 1
 
1
1 
x /x  x/ x  x 2  x 2
 
 
x/ x y x /x
d) Como son inversos uno de otro, tendremos
2 Un cubo tiene de volumen 729 cm3. Determina el área de todas sus caras.
Solución:
V  x3  x  3 V
El volumen V de un cubo en función de su arista es: ; como el volumen V es conocido podemos
3
x  3 729  3 6  3 6 / 3  3 2  9 cm .
determinar la medida de su arista:
Como un cubo tiene seis caras y cada una de ellas es un cuadrado de lado la arista x del cubo, tendremos para el
área S de las seis caras del cubo, el valor:
S  6  x 2  6  9 2  486 cm2
3 Cada una de las 9 esferas del Atomiun, símbolo de la exposición universal de 1.958 de Bruselas, tiene un
volumen de 523,6 m3. ¿Podrías calcular su radio? ¿Qué área tienen cada una de esas esferas? Utiliza la
calculadora científica.
Solución:
4 3V 3V
V π x 3  x 3  x3
3 4π 4π
El volumen V de una esfera de radio x, es: , de esta última igualdad
3  523,6
x3  5 m.
4  3,14
podemos determinar el radio x de una de las esferas del Atomiun, cuyo valor es
S  4 πx 2
Como la superficie de una esfera de radio x, es: , podemos calcular el valor de la superficie, para ello
tomaremos una aproximación por defecto con dos decimales (la misma aproximación, con la que hemos calculado
el radio x), se tiene:
S  4 π 5 2  4  3,14  25  314 m2
2
4 Dado un cuadrado de 100 m de área, se quiere construir otro cuadrado cuya área sea doble.

2. a) ¿Por cuánto hay que multiplicar el lado del primer cuadrado?
b) ¿Qué sucede si multiplicamos el lado del primer cuadrado por 2?
Solución:
a) Como el área de un cuadrado es igual al cuadrado de su lado, siendo a y b los lados del primer y segundo
b2  2 a2  b  2 a2  b  2  a
cuadrado respectivamente, se tendrá: . Tendremos que multiplicar el lado del
2
primer cuadrado por , operación que tendremos que realizar con la aproximación que deseemos.
S  2 a  4  a 2
2
b) Si multiplicamos el lado a del primer cuadrado por 2, tendremos un cuadrado cuya área es y
2
a
como representa el área del primer cuadrado, obtendremos un cuadrado de área cuádruple, es decir de 400
2
m de área.
5 a 1/n
Simplifica las siguientes expresiones hasta escribirlas en la forma :
5
5
3 2  10
3 6
5
2
5
6
3 5
a) b)
Solución:
 
1/ 5
3  21 / 3 1 / 2  21/ 30 2
1/ 30
 
2
5
 3 1/ 6    
6
3  
31/ 30 3
a)
5
3 2  10
5
6
3  2 1/ 2 1/ 5 51/ 10
61/ 10  6
1/ 10 1/ 10
5
 1
5
5 5  1/ 5 1/ 2
5 1/ 10 1/ 10
6
b)
6 Demuestra que la raíz cuadrada de la raíz cúbica de un número positivo es igual a la raíz cúbica de la raíz
cuadrada de dicho número, las cuales son a su vez iguales a la raíz sexta del número dado. Aplica el
6
15625
resultado anterior para calcular .
Solución:


 
 3 x  x 1/ 3 1/ 2
 x 1/ 6  6
x


  
3 x  x 1/ 2
1/ 3
 x 1/ 6  6
x

Sea x un número positivo cualquiera, se tiene: de modo que igualando se tiene:
3
x 6x 3 x
6
15625  5 6  6 15625  5 6  5
Descomponiendo en factores 15.625, tendremos: .

3. 7 n
a
Escribe los siguientes números en la forma :
1/3
3
1/3  3 3
3/2
     
4  4 4
5 2/7
a) b) c) d)
Solución:
7
52
a)
3
3
4
b)
1/ 3 1/ 3
 3  4 4
     3
 4  3 3
c)
3
3
 
4
d)
8 Simplifica:
3 2  6 3  2 4  12 3 3 2 a 3 b 3 (6a 4 b 2 ) 3
9 5  18 2 (4a 2 b) 3 (5a) 2
a) b)
Solución:
23 52
37 2 9  3 a13 b12
a) b)
9 Escribe en forma potencial las siguientes expresiones:
3 5 3
x x
5x  7x  2x x
a) b) c) d)
Solución:
5 x  7 x  2 x  5  7  2  70 x
x
a)
1
 1 2 1
x  x 2   x 4
 
 
b) Pasando las raíces a forma potencial, se tiene:
 
1/ 3
x   x 1/ 2 
3 1/ 2
   x 1/ 12
 
c) Análogamente:

4. 1/ 2

  
1/ 5
x    x 1/ 3 
1/ 2
5 3   x 1/ 60
  
  
d) Análogamente a los dos casos anteriores:
10 3
1728
¿Cómo puedes calcular ? Razona el método que vas a utilizar. Siguiendo el método anterior ¿cómo
calcularías la arista de un cubo cuyo volumen es 343 cm3?
Solución:
3
1728
Para calcular basta con descomponer 1728 en un cubo perfecto. Descomponiendo en factores se tiene:
1728  2 6  3 3  2 2  3  3
 123  3 1728  123  12
3
V  x 3  x 3  343  x  3 343
El volumen de un cubo de arista x, es: , descomponiendo 343 en factores
se tiene:
3
x  3 343  7 3  7 cm .
11 Racionaliza y simplifica:
 x 5
3 2 3
x 2x 4 ab 2
a) b)
Solución:
3 3
 x 22 x  x 22 x 3
46 x
  
3
x 2 x2
3
22 x 2 x2 2x
a)
3 3
5 a 2b 5 a 2b
 
3
4 ab 2
3
a 2b 4 ab
b)
20
12 ¿Cómo calcular 1,123 si sólo disponemos de una calculadora que eleva al cuadrado?
Solución:
20 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2
1,123 =(1,123 ·1,123 ·1,123 ) =((1,123 ) (1,123 ) 1,123 )
13 Racionaliza y simplifica:
3 3 9 2 2 2
 
3 3 2 3 2 3 2 3
a) b)
Solución:

5. 45 3
2
a)
42 2 2 3
b)
14 Racionaliza y simplifica:
5
5 2
1
5 1 3 2
27  3 32  12  13 2
a) b)
Solución:
11 5  15
19
a)
b) -1
15 Los materiales radiactivos se desintegran a una velocidad proporcional a la cantidad de material. Es decir,
c0
2
si inicialmente tenemos una cantidad c0 que en un tiempo t se convierte en , en un tiempo 2t se
c0 c0 c0 c0
 2  3
4 2 8 2
convertirá en , en un tiempo 3t en ... Teniendo esto en cuenta, y sabiendo que el carbono
14 pierde la mitad de su masa en 5700 años, ¿cuánto queda hoy de 1 gramo de carbono 14 del año 20000
a.C.?
Solución:

20000 2008
 1 5700
 
2
Quedará 1 · gramos.
16 Los materiales radiactivos se desintegran a una velocidad proporcional a la cantidad de material. Es decir,
c0
2
si inicialmente tenemos una cantidad c0 que en un tiempo t se convierte en , en un tiempo 2t se
c0 c0 c0 c0
 2  3
4 2 8 2
convertirá en , en un tiempo 3t en ... Teniendo esto en cuenta, y sabiendo que el carbono
14 pierde la mitad de su masa en 5700 años, ¿cuánto quedará dentro de 28500 años si inicialmente hay 10
gramos?
Solución:

6. 5
 1
1  
2 2
A los 5700 años hay 10 · = 5 gramos. A los 28500 = 5700· 5 años, habrá 10 · gramos.
17 3
3
Calcula aproximando a las décimas y utilizando la calculadora
Solución:
17
17
 17  10  17 
3  1,7  1,7 1,7
    10    2.465
 10   10 
18 Expresa como una única raíz, simplifica y saca factores:
2
x 3 · x 7 
4 6
 
  2 ·4 32
3 5
x 3
4 2 ·6 8
a) b)
Solución:
x2 4
x
a)
1
24
x
b)
19 Racionaliza y simplifica el resultado:
10 7

10  7 10  7
a)
8 3

2 3 2
b)
Solución:
17 7  3 10
3
a)
2 3 3
b)
20 Simplifica

7. 2
 1  3 1
 4x 3 a 3 
 
5
x  x2  x 5  x3
2
 
 64x 5 a 3  3
  x 15  x2
3
a) b)
Solución:
16
24 x 3
2
a3
91
30
a) b) x
21 Un folio tiene 5 mm de grosor. Supongamos que podemos doblarlo 25 veces, ¿qué grosor tendrá el folio al
final? ¿Más de 1 metro?
Solución:
25
Tendrá 5·2 =167772160 mm =167, 77216 km
22 a n/m
Simplifica las siguientes expresiones hasta dejarlas en la forma :
6
 111/5 115/2 
 
 
111/2
115/2 23/5
 3 3/5  5 3/5  2/3
2 1/2
 3 1/2  5 1/2  3
a) b)
Solución:
6
  1 5  1/ 2 
 52  
 111/ 5 115 / 2 
6  11  






   

11  27 / 10 3

1181/ 10
 1191/ 10
11 1/ 2
 15 
112 2 
1/ 2
11  2 1/ 2 11 1
115 / 2  
 
a)
23/5
 33 / 5  53 / 5  2/3

30 
3/5 2/3

30 2 / 5
 30 5
2 3

2  30 11/ 10
2 1/ 2
3 1/ 2
5 1/ 2 3
 30 
1/ 2 3 30 3/2
b)
23 El número 365 que indica los días del año es un número muy curioso. Es el único número que es suma de
los cuadrados de tres números naturales consecutivos y que además es suma de los cuadrados de los dos

8. números siguientes. ¿Sabrías hallarlos?
Solución:
Veamos la primera parte del enunciado:
Sean x-1, x y x+1 los tres números naturales consecutivos tales que la suma de sus cuadrados es igual a 365,
tendremos:
365  2
(x  1)2  x 2  (x  1)2  365  x 2  2 x 1  x 2  x 2  2 x  1  365  x 2   x  121  11
3
de modo que los tres números son: 10, 11 y 12.
La segunda parte del enunciado la comprobaremos simplemente, los dos números naturales que siguen a los
números anteriores son respectivamente 13 y 14, de modo que verifican:
132  142  169  196  365
24 5
5
Calcula aproximando a las décimas y utilizando la calculadora
Solución:
22
22
 22  10  22 
5  2,2  2,2 2,2
    10    5.667
 10   10 
25 Los materiales radiactivos se desintegran a una velocidad proporcional a la cantidad de material. Es decir,
c0
2
si inicialmente tenemos una cantidad c0 que en un tiempo t se convierte en , en un tiempo 2t se
c0 c0 c0 c0
 2  3
4 2 8 2
convertirá en , en un tiempo 3t en ... Teniendo esto en cuenta, y sabiendo que el carbono
14 pierde la mitad de su masa en 5700 años, ¿cuánto habría hace 17100 años si hoy hay 1 gramo?
Solución:
3
 1
c    1
2
Como 17100=5700·3, entonces si c es la cantidad desconocida , , luego c=8 gramos.
26 Racionaliza las siguientes expresiones:
1 7
3 2 5 7 3 2
a) b)
Solución:
1 3 2 5 3 2 5 3 2 5 6 18  12  30
·    
3 2 5 3 2 5 322 6 5 2 6 6 12
a)

9. 7 7 3 2 7  21  14 7  21  14 6  2 14 14  8 14  6 21  14 6
    
7 3 2 7 3 2 7  2  3  2 14 6  2 14 6  2 14  20
b)
27 Opera, racionaliza y simplifica:
2 5 2
3 2 5 2
3 2 1
2 3 2 1
a) b)
Solución:

6 2 3 2 2 3 6 
6
a)
121 84 2
23
b)
28 Demuestra las siguientes identidades
7  48  2  3
a)
8  2 15  5  3
b)
Solución:
2
 7  48   7  4 3
 
 
a) Ambos son positivos y
2  3  2
74 3
2
 8  2 15   8  2 15
 
 
b) Ambos son positivos y
 5  3 2
 8  2 15
29
Encuentra el valor de a para que:
84 3  84 3  a
Solución:
2
 8  4 3  8  4 3   8  4 3  8  4 3  2 8  4 3 8  4 3  16  2 64  48  8
 
 

10. Por lo que a = 8.
30 Racionaliza y simplifica el resultado:
3 8
 2 3  3 27  5 48
3 3
a)
4b 3 5b 4

7 7
b2 b9
b)
Solución:
9  6 2  63 3  2 6
6
a)
9
4 7 b19  5 b 29
b)
31 Calcula los siguientes radicales
3 4
3  0,027 4 0,0256 270000 0,01 256b8
a) b) c) d)
Solución:
a) -0.3 b) 0.4 c) 30 d) 2b
32
5 x  5 x
¿Existe algún valor entero de x tal que sea entero?
Solución:
2
y 2   5  x  5  x   5  x  5  x  2 25  x
 
 
es entero si x = 0, x = 9, x = 16, x = 21, x = 24 o x = 25,
pero y es entero sólo para x = 16.
33 Halla dos números racionales tales que
72 6  a  b
a)
10  5 3  a  b
b)
Solución:
7  2 6  a b 2 ab
a) Elevando al cuadrado:
a b  7

ab  6 
a = 1, b = 6 ó a = 6, b = 1
10  5 3  a b 2 ab
b) Elevando al cuadrado:

11. a b  10
  a  15 , b  5
4 ab  75
2 2
34 Demuestra las siguientes identidades
4 - 12  3  1
a)
9  2 14  7  2
b)
Solución:
2
 4  12   4  2 3
 
 
a) Ambos son positivos y
 3  1 2
 42 3
2
 9  2 14   9  2 14
 
 
b) Ambos son positivos y
 7  2 2
 9  2 14
35 a  ba 2  ab  b 2   a 3  b 3
Utiliza la igualdad para racionalizar las siguientes expresiones:
5 333
3
2 34 333
a) b)
Solución:

5 3 4  2  3 16 
6
a)
4
5
b)