Este documento presenta información sobre inecuaciones lineales y cuadráticas con una incógnita, así como ecuaciones exponenciales y logarítmica. Explica cómo resolver este tipo de ecuaciones aplicando propiedades de desigualdades, potencias y logarítmos. También incluye ejemplos resueltos paso a paso para ilustrar los métodos.

1. •INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS CON
UNA INCÓGNITA.
•ECUACIONES EXPONENCIALES Y
LOGARÍTMICAS.
Prof. Saúl QUISPE CHINO

2. UN PROBLEMA DE
PESO SIN PESAS
• Una bolsa contiene 27 bolas de billar que parecen
idénticas en peso. Sin embargo, nos han asegurado que
hay una defectuosa que pesa más que las otras.
Disponemos de una balanza, pero no de un juego de
pesas, de manera que lo único que podemos hacer es
comparar pesos. Demuestra que se puede localizar la
bola defectuosa con sólo tres pesadas.

3. Definición de
inecuación
Hay enunciados que se traducen mediante
desigualdades. Las relaciones que se expresan
mediante desigualdades se llaman inecuaciones
y en ellas pueden aparecer una o más incógnitas.
Son desigualdades en las que aparecen letras y
números con las operaciones usuales. Las letras
son las variables o incógnitas de las
inecuaciones.

4. Propiedades de las desigualdades
• Si a los dos miembros de una
desigualdad se les suma un mismo
número, la desigualdad se conserva
en el mismo sentido, es decir:
• Si a los dos miembros de una desigualdad se los multiplica o
divide por un mismo número positivo, la desigualdad no cambia de
sentido.
Si: a < b a · c < b · c (si c > 0)
• Si a los dos miembros de una desigualdad se los multiplica o divide por
un mismo número negativo, la desigualdad cambia de sentido.
Si: a < b a · c > b · c (si c < 0)

5. Propiedades de las desigualdades
• Dados cuatro números reales a, b,
c y d cualesquiera, se cumple la
compatibilidad de la ordenación con
la suma, es decir:
• Dados dos números reales, si
el primero es menor que el
segundo, el inverso del primero
es mayor que el del segundo y
viceversa, es decir:
• Si un número real es menor que
otro, con los opuestos de ambos
la desigualdad cambia de sentido,
es decir:

6. Resolver una inecuación
Resolver una inecuación significa
hallar el conjunto de valores que la
hacen verdadera. A este conjunto se
lo llama conjunto solución o intervalo
solución.
Es importante realizar la
interpretación gráfica de las
inecuaciones, para tener mayor
claridad en la tendencia de las
variables y las soluciones.

7. INECUACIONES LINEALES
CON UNA INCÓGNITA
Para resolver una
Una inecuación de primer grado inecuación lineal
con una incógnita,
es una expresión de la forma: se procede a
ax + b < 0; ax + b > 0; despejar ésta,
ax + b ≤ 0 o ax + b ≥ 0; teniendo en
cuenta las
Con a ≠ 0. a y b ∈ |R propiedades de
las desigualdades.

8. Ejemplo:
3 1- x
Ejemplo: Encontrar el conjunto solución de:
3 x -5 < x +
4 3
Solución:
- Multiplicamos a la inecuación por 12: 36 x - 60 < 9x + 4 − 4 x
- Transponemos términos: 36 x + 4 x - 9x < 4 + 60
- Simplificamos términos semejantes: 31 x < 64
64
- Dividimos entre 31:
x< = 2 , 06
31
de donde: x ∈ ]-∝; 2,06[

9. Ejemplo:

10. Ejemplo:

11. INECUACIONES
CUADRÁTICAS CON UNA Para resolver una
INCÓGNITA. inecuación
cuadrática:
Se calculan las
Una inecuación de segundo soluciones de la
ecuación:
grado es una expresión de la ax2 + bx + c = 0.
forma: x1 y x2
Se determinan tres
ax2 + bx + c < 0; intervalos en la recta
ax2 + bx + c > 0; real, a saber (-∝; x1);
(x1; x2) y (x2;+ ∝),
ax2 + bx + c ≤ 0; Se comprueba
ax2 + bx + c ≥ 0; cuáles intervalos
son solución de la
Con a ≠ 0, a, b y c ∈ |R inecuación.

12. Ejemplo:
Juanito multiplica un número dos veces para luego, al resultado
obtenido, quitarle el triple de dicho número obteniendo siempre un
valor superior a -2 y a veces igual a este valor. ¿Con qué números esta
efectuando estas operaciones, Juanito?.

13. Ejemplo: (CONTINUACIÓN)

14. Interpretación bidimensional de la solución de
una inecuación de segundo grado.
Para resolver e interpretar la solución
de la inecuación: x2 – 3x + 2 ≥ 0, es
preciso graficar en el plano cartesiano la
ecuación: y = x 2 – 3x + 2 .
Entonces: el conjunto
solución de “x” para los
cuales “y” sea positiva es
decir mayor que cero es la
que está comprendida desde
-1 para la izquierda,
conjuntamente que desde 2
hacia la derecha.
] –∝; 1] [2; +∝[

15. ECUACIONES
EXPONENCIALES.
Una ecuación exponencial es
Para resolver
aquella ecuación en la que la ecuaciones
incógnita aparece en el exponenciales
vamos a tener en
exponente. cuenta las
ax + k = 0 propiedades de las
potencias:
con a > 0; a ≠ 1 y k ∈ |R

16. PROPIEDADES DE LAS
POTENCIACIÓN
a0 = 1 a≠0 n n
a ⎛a⎞
a1 = a
=⎜ ⎟
bn ⎝ b ⎠
am . an = am+n
(am)n = am . n
am
= am ‐ n
an an . b n = (a . b) n
1
= a ‐1
a

17. Ejemplo caso 01:
Solución:

18. Ejemplo caso 02:
Solución:

19. Ejemplo caso 03:
Solución:

20. ECUACIONES
LOGARÍTMICAS.
El logaritmo de un número, en
una base dada, es el exponente Para resolver
ecuaciones
al cual se debe elevar la base exponenciales
para obtener el número. vamos a tener en
Logax = y ⇒ ay = x ,
cuenta las
propiedades de los
∀a>0ya≠1
logarítmos:

21. Propiedades de los
logarítmos
1. El logaritmo de un producto es
igual a la suma de los logaritmos
de los factores.
2. El logaritmo de un cociente es
igual al logaritmo del dividendo
menos el logaritmo del divisor.
3. El logaritmo de una
potencia es igual al producto
del exponente por el logaritmo
de la base.

22. Propiedades de los
logarítmos
4. El logaritmo de una raíz es
igual al cociente entre el
logaritmo del radicando y el
índice de la raíz.
5. Cambio de base:

23. Ejemplo:
¿Cuáles son los valores de x que satisfacen la siguiente ecuación?
log 2 + log (11 – x2) = 2 log (5 – x)
Solución:
log [2.(11 – x2)] = log (5 – x)2 Verificación:
11 – x2 > 0 y 5–x>0
[2.(11 – x2)] = (5 – x)2 11 – 32 > 0 y 5–3>0
2>0 y 2>0
22 – 2x2 = 25 – 10x + x2
11 – x2 > 0 y 5–x>0
3x2– 10x + 3 = 0 11 – (1/3)2 > 0 y 5 – (1/3) > 0
98/9 > 0 y 14/3 > 0
x1 = 3 y x2 = 1/3