NOTA

Universidad Autónoma Metropolitana
DIVISIÓN DE CIENCIAS SOCIALES Y HUMANIDADES
DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA
LICENCIATURA EN ADMINISTRACIÓN
NOTAS DE CURSO
ADMINISTRACIÓN FINANCIERA I
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
ELABORADAS POR:
MARÍA TERESA MONTOYA FLORES
2022

NOTAS DE CURSO DE ADMINISTRACIÓN FINANCIERA I
Profesora: María Teresa Montoya Flores Trimestre 22-P
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T E M A R I O
1. MATEMÁTICAS FINANCIERA
1.1. Conceptos básicos
1.2. Interés Simple
1.3. Interés Compuesto
1.4. Anualidades
1.5. Amortizaciones
1.5.1. Tablas de amortización
1.6. Técnicas de Evaluación de Inversiones en Activos a Largo Plazo
1.7. Ejercicio práctico en equipo
TEMA 1.1 Conceptos básicos de finanzas
Costo de capital, costo de oportunidad
Tasa de interés, tasa de rendimiento, tasa real, tasa equivalente efectiva, tasa
equivalente nominal, tasa de inflación
Lecturas
Inversión, Rendimiento, Riesgo, Liquidez
TEMA 1.2 Interés y Descuento Simple
Interés Simple
Descuento Simple
Ecuaciones de valor
Ejercicios
TEMA 1.3 Interés Compuesto
Relación entre Interés Simple e Interés Compuesto
Valor presente, valor futuro, tasa de interés, tiempo
Ecuaciones de Valor
Ejercicios
TEMA 1.4 Anualidades
Clasificación de las anualidades
Anualidades Anticipadas, anualidades vencidas
Renegociación de deudas
Ejercicios
TEMA 1.5 Amortizaciones
Formas de pago
Tablas de amortización a tasas fijas
Tablas de amortización a tasas variables
Tablas de amortización en UDI’s
Ejercicios

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TEMA 1.6 Introducción a la evaluación financiera de proyecto
Principales métodos de evaluación financiera de proyectos de
inversión
Ejercicios

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FINANZAS
Las finanzas se consideran una rama de la economía. Se definen como el conjunto de
actividades que tienen relación con el dinero. El término finanzas proviene del francés
finance, el cual a su vez proviene del latín finis, que significa “fin”, refiriéndose a dar
por terminado un trato de carácter económico o comercial; por ejemplo, terminar de
pagar un crédito.
Las finanzas se clasifican en:
1. Finanzas corporativas. Aquellas que se enfocan en la toma de decisiones de
inversión y en cómo conseguir los recursos financieros que necesitan las
empresas para su financiamiento. El objetivo fundamental de las finanzas
corporativas consiste en maximizar el valor de la empresa para sus
propietarios.
2. Finanzas internacionales. Se refiere a las actividades financieras relacionadas
con las transacciones bancarias y bursátiles a nivel internacional.
3. Finanzas públicas. Aquellas que se enfocan en la forma en la que el gobierno
obtiene sus ingresos y en cómo efectúa sus gastos.
4. Finanzas personales. Son aquellas que se refieren al ámbito personal o familiar
y están relacionadas con la obtención, administración y gestión de los bienes
personales.
CONCEPTOS

FINANZAS
Conjunto
de
técnicas
y
conceptos
que
buscan
optimizar
la

administración
de
los
recursos
monetarios
de
una

organización.

Funciones
Financieras

Financiamiento

Inversión

Dividendos

La
forma
de
allegarse
recursos,
buscando
conseguirlos
en
los

montos
necesarios,
al
costo
mínimo.

La
aplicación
de
recursos
a
los
renglones
más
productivos.

La
retribución
a
los
accionistas
por
su
inversión
en
la

empresa.

Objetivo
financiero
de

las
empresas

Maximizar
el
valor
de
la
empresa,
tomando
en
consideración

el
valor
presente
de
los
flujos
de
las
utilidades
futuras
y/o

dividendos.

Riesgo
La
incertidumbre
de
algún
resultado

Rendimiento
Relación
que
compara
lo
que
se
gana
entre
la
cantidad

invertida

Fuente:
Monto
Flores,
M.
T.
(2020)

5
Las finanzas se dividen en tres grandes áreas (Ochoa S., G. 2010):
1. Inversiones
Esta rama estudia cómo administrar una inversión en activos financieros, pero
particularmente, que hacer con los excedentes de dinero cuando se desea
invertirlo en el mercado financiero. El área de inversiones, además de
involucrar al inversionista como el principal proveedor de recursos para iniciar
la operación de una entidad económica o ampliar su capacidad actual, implica
la búsqueda de la mejor combinación o portafolio de activos financieros para
invertir los fondos excedentes de una persona física o moral.
Se habla de dos entidades: aquellas que son dueñas del excedente y aquellas
que buscan o sugieren donde invertir dichos sobrantes y que reciben el nombre
de corredores, promotores o analistas de inversiones.
2. Instituciones y mercados financieros. Las instituciones financieras que se
especializan en la compra, venta y creación de títulos de crédito, que son
activos financieros para los inversionistas y pasivos para las empresas que
toman los activos financieros . La labor de estas instituciones financieras es
transformar activos financieros de una forma a otra.
Los mercados financieros son los espacios en los cuales actúan las instituciones
financieras para comprar y vender títulos de crédito.
3. Finanzas corporativas o administración financiera de las empresas. La
administración financiera estudia tres aspectos:
a. La inversión en activos reales –inmuebles, equipo, inventarios, etc.-, la
inversión en activos financieros –cuentas y documentos por cobrar-, y
las inversiones de excedentes temporales de efectivo.
b. La obtención de fondos necesarios para las inversiones en activos, y
c. Las decisiones relacionadas con la reinversión de las utilidades y el
reparto de dividendos.
Dado que casi todas las decisiones de negocios se evalúan en términos
financieros, el gerente financiero juega un papel operativo clave; todos los
responsables de puestos clave dentro de las organizaciones, necesitan un
conocimiento general de finanzas para entender cómo cuantificar las consecuencias
de sus acciones.
EL DINERO
El dinero surge como una alternativa al trueque, es decir, el intercambio directo de un
producto por otro. A lo largo de la historia se ha utilizado como dinero diversos
objetos, como el marfil, plumas de aves exóticas (quetzal), sal, metales preciosos

6
(oro, plata), etc. En el México prehispánico y en los primeros años de la colonización,
el cacao se utilizó como dinero.
Existen dos tipos de dinero:
• El dinero mercancía es aquel bien, que además de ser utilizado como dinero,
tiene un valor intrínseco, es decir, un valor en sí mismo, por ejemplo el oro, la
plata y el cacao.
• Cuando el dinero carece de valor intrínseco, entonces se tiene dinero fiduciario,
que es aquel cuyo valor depende de la confianza de que sea aceptado como
medio de pago.
Las monedas y billetes utilizados en la actualidad son dinero fiduciario, ya que estas
monedas no tienen un valor por sí mismos. Así, por ejemplo, un billete de $50.00 vale
$50.00 simplemente porque así está escrito en el papel.
El dinero cumple con tres funciones básicas:
1. Medio de pago. Sirve para adquirir bienes y servicios;
2. Unidad de cuenta. Actúa como la unidad a través de la cual se fijan los precios
de los bienes y servicios.
3. Depósitos de valor. El dinero es una forma de acumular riqueza (poder
adquisitivo) hasta el momento en que se necesite.

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MATEMÁTICAS FINANCIERAS
En la actualidad el estudio de las matemáticas financieras se han convertido en
una necesidad, ya que el uso de los servicios financieros son parte fundamental de
nuestra cotidianidad, por ejemplo, el sueldo que recibimos lo manejamos a través
de una tarjeta de débito, ahorramos o invertimos dinero a través de diversos
instrumentos bancarios o de bolsa de valores y, el uso del crédito que recibimos de
la banca, permite que se tenga acceso a una serie de bienes que de otra forma no
se podrían adquirir, como un automóvil o una casa.
Por lo tanto, las matemáticas financieras, proporcionan conceptos y herramientas
necesarios para entender y manejar el valor del dinero en el tiempo y, así, poder
comprender los aspectos financieros y comerciales a nivel internacional.
La importancia de las matemáticas financieras radica en su aplicación en las
operaciones bancarias y bursátiles, en temas económicos y en muchas áreas de las
finanzas, ya que favorecen la adecuada toma de decisiones. De igual manera, son
la base de casi todo análisis de evaluación de proyectos de inversión, ya que
siempre es necesario conocer el efecto de interés que opera en las cantidades de
efectivo con el paso del tiempo.
Costo de Capital, costo de oportunidad
Costo de capital es el costo de oportunidad de los fondos empleados en un
proyecto de inversión.
Entendemos así al costo de oportunidad como al sacrificio de un beneficio
como consecuencia de decidir a favor de una alternativa determinada:

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Aquellas para las que nos es
posible determinar los costos
anticipadamente: depreciación,
utilidades retenidas, etc.
Fuentes de
Financiamiento

Este
costo
está
representado
por
lo
que
fue
sustituido
o
desplazado

Escogida
la
alternativa
se
convierte
en
Inversión,
la
cual
tiene
un
costo

(Costo
de
capital,
costo
de
inversión)

Aquellas fuentes que previamente
especifican los costos, intereses o
dividendos: préstamos bancarios,
venta de acciones preferentes, etc.
Costo
de
oportunidad

(desplazamiento
o
sustitución)

Fuentes
de
Financiamiento

9
Para fines de evaluación de proyectos de inversión, el costo de capital es la tasa de
descuento que sirve de límite mínimo para la asignación de recursos financieros a
nuevos proyectos.
El costo de capital es la tasa de retorno que se necesita para justificar el uso de
capital en un proyecto determinado.
Una de las tareas más importantes de la función financiera es decidir los modos
de financiamiento de una empresa:

Conceptos básicos financieros: Inversión, interés, riesgo, rendimiento
Inversionista
Dedica
sus
recursos
a:
Tipo
de
inversión

Personas
Físicas

a) Satisfacción
de
sus
necesidades

b) Generación
de

beneficios

económicos
en
el
futuro

a) Inversiones
fijas

b) Inversiones
de
sus
recursos

excedentes

• Persona

Física
con

Actividad

Empresarial

Personas
Morales

a) Inversiones
necesarias
para
la

adquisición
de
activos
para
que

pueda
llevar
a
cabo
su
operación.

b) Inversiones
temporales
que
le

generaran
beneficios
en
el
futuro,
los

cuales
posteriormente
serán

utilizados
para
la
adquisición
de

nuevos
activos,
pago
de
pasivos,
etc.

a) Inversiones
fijas

b) Inversiones
de
sus
recursos

excedentes

Fuente: Elaborado por Montoya Flores, María Teresa, con base en Ochoa Setzer, Guadalupe (2017).
DECISIONES SOBRE LOS
MODOS DE
FINANCIAMIENTO
DE UNA EMPRESA
a) Desde un plano general de
estructura de capital (relación
pasivo/capital), con sus implicaciones en
el costo de las fuentes de financiamiento
y en la rentabilidad del capital propio
b) Analizando el costo de capital, que
servirá para analizar proyectos de
inversión. Un proyecto se acepta cuando
la rentabilidad que ofrece iguala o
excede el costo que implica financiarlo.
Determina el costo real del
financiamiento de una inversión.
Rentabilidad Costo

10
Las inversiones de recursos excedentes se realizan en los mercados de dinero y
capital, son los mecanismos por medio de los cuales se obtiene financiación a
corto, mediano y largo plazo.
• Mercado de dinero, oferentes y demandantes de fondos a corto plazo, los
oferentes de recursos que realizan inversiones temporales, con el fin de
obtener una utilidad y por otro lado, hay demandantes de recursos temporales
o estacionales adicionales. Instrumentos de corto plazo: Cetes, papel comercial,
aceptaciones bancarias, tramitadas a través de casas de bolsa. Inversiones a
plazo fijo: depósitos retirables en días preestablecidos, certificados de inversión
con rendimientos retirables al vencimiento, se tramitan en la banca múltiple.
• Mercado de capitales, se origina de la oferta y la demanda de fondos para ser
utilizados en el largo plazo (crecimiento de la organización). Mercado accionario
o de renta variable y mercado de obligaciones, petrobonos, bonos de
indemnización bancaria, valores de renta fija.
Las inversiones que se realizan en estos mercados están representadas por títulos
de valor, en los cuáles se señala:
• Instrumento de inversión
• Monto de la inversión
• Emisor
• Plazo
• Tasa de interés (rendimiento que genera)
• Nominativa o al portador, si es nominativa se debe señalar en nombre del
titular.
Es importante que el inversionista elija la mejor inversión, para lo cual debe
basarse en:
• Rendimiento, ya sea tasa de interés, dividendo, ganancia de capital o una
combinación de las anteriores. Representa la recompensa para el
inversionista y el costo para el emisor.
• Riesgo, posibilidad para el inversionista de que el rendimiento esperado no
llegue a realizarse. Existen dos tipos de riesgo.
o Riesgo de la inversión, posibilidad de que el emisor resulte
financieramente incapaz de pagar el rendimiento y/o el principal de
la inversión.
o Riesgo de mercado, cambio potencial, en el tiempo, en el valor de
mercado de una inversión, debido a cambios en el medio ambiente
macroeconómico.

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• Vencimiento, periodo de tiempo que el inversionista ha de esperar para
recibir el rendimiento de la inversión y/o el principal.
• Negociabilidad, posibilidad de recuperar los fondos invertidos en la inversión
antes de la fecha de vencimiento, debiéndose considerar lo siguiente:
o Costo de recuperación de los fondos invertidos
o Tiempo que toma recuperar los fondos invertidos
Existen instrumentos negociables y otros que no lo son y la recuperación de
los fondos depende de la fuerza y la demanda; la negociación se realiza a
través de:
o Mercado primario, es cuando se negocia el título por primera vez,
entre emisor y primer adquiriente.
o Mercado secundario, cuando el título se negocia con personas físicas
o morales, diferentes al emisor.
• Liquidez, facilidad de convertir la emisión en efectivo rápidamente y sin
costo para el inversionista.
Relación entre los parámetros de las inversiones:
Ø A mayor plazo, mayor riesgo
Ø A mayor riesgo, mayor rendimiento
Ø A mayor rendimiento, mayor precio de mercado esperado
Ø A mayor liquidez, menor riesgo y, por lo tanto, menor rendimiento.
Cada inversionista elegirá el instrumento de inversión que más le convenga, de
acuerdo a sus necesidades y preferencias, siendo muy variadas éstas. Por ejemplo:
si se tiene necesidad de liquidez, entonces es posible que el inversionista sacrifique
rendimiento (actitud conservadora); Hay quienes busquen el mejor rendimiento
con poco riesgo, y finalmente, hay quienes pueden realizar inversiones
permanentes y si son arriesgados, buscan los instrumentos que den los mejores
rendimientos aunque sean riesgosos.
En el siguiente cuadro se muestran algunos instrumentos de inversión y sus
parámetros:

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INSTRUMENTOS
DE
INVERSIÓN
Y
SUS
PARÁMETROS

Instrumento
Rendimiento
Riesgo
Vencimiento
Negociabilidad
Tipo
de

Inversión

Inversión
Mercado
Rendimiento
Principal

CETES
Ganancia

de

capital

No
No
Si
Si
100%
Totalmente

segura
*

DEPÓSITOS

BANCARIOS

Tasa
de
interés

No

No

Si

Si

No

Totalmente

segura
*

PAPEL
COMERCIAL

Tasa
de
interés
Si
Si
Si
Si
Según
empresa

emisora

Medianamente

Segura
**

OBLIGACIONES

Tasa
de
interés

Si

Si

Si

No

Según
empresa

emisora

Medianamente

Segura
(1)

Acciones

Comunes

Dividendo
variable

y

Ganancia
de

capital

Si

Si
No
No
Según
empresa

emisora

Riesgosa
***

Fuente:
Elaborado
por
Montoya
Flores,
María
Teresa,

con
base
en

Ochoa
Setzer,
Guadalupe
(2009).

(1)

Totalmente
seguras
las
obligaciones
convertibles
emitidas
por
los
bancos
y
medianamente
seguras
las
obligaciones
emitidas

por
empresas
privadas

*

El
inversionista
conoce
con
certeza
el
plazo
y
el
rendimiento

**

Depende
del
capital
de
la
empresa
para
hacerle
frente
a
las
obligaciones,
ya
que
para
la
empresa
emisora
son
pasivos.
Deben

analizarse
a
las
empresas
emisoras
con
respecto
a
su
liquidez
y
a
su
rentabilidad.

***
Representadas
por
acciones
de
la
empresa,
se
considera
riesgosa
porque
el
inversionista
es
el
último
en
obtener
rendimientos

como
dividendos
sobre
la
utilidad
neta.
Debe
calcularse
el
rendimiento
sobre
utilidad/inversión.

CONCEPTOS BÁSICOS
Interés El costo por el uso del dinero
Tasa de interés El precio que se asigna por el uso del dinero
Inflación Crecimiento de precios generalizado y sostenido.
Pérdida de poder
adquisitivo
Efecto de la inflación
Rendimiento Relación que compara lo que se gana entre la cantidad
invertida
Fuente: Elaboración propia

13
Diferentes conceptos:
1. Interés, cantidad devengada sobre un capital en el transcurso de tiempo. Es el costo del dinero.
2. Tasa de interés, es la tasa a devengar sobre una inversión o a pagar sobre un préstamo,
expresada como un porcentaje aplicable durante un tiempo dado. Puede ser nominal o efectiva.
3. Tasa nominal, Es la tasa que sirve para concretar operaciones expresadas en plazo anual
4. Tasa efectiva, Tasa de interés por período de conversión.
5. Interés simple, Interés devengado que no se acumula al capital.
6. Interés compuesto, Interés devengado que en cada intervalo de tiempo se agrega al capital.
7. Anualidades, Es la disposición de flujos de efectivo (rendimientos o intereses) fijos a intervalos
de tiempo iguales.
8. Amortizaciones, representación gráfica de los pagos de un crédito, que muestra la amortización
de la deuda y los intereses en intervalos iguales de tiempo.
9. Actualizar, información de años pasados valorada en precios de años recientes
10. Deflactar, valoración de información de años recientes en precios de años pasados
11. Valor presente, valor de la inversión en el tiempo 0, valor antes de la fecha de vencimiento.
12. Valor futuro, valor de la inversión del préstamo más los intereses, valor después de la fecha de
negociación.
13. Inflación,
14. Reexpresión, presentación de las cifras a valores actuales para efectos de cuantificar realmente
crecimiento, utilidades, recursos
15. Descuento es el diferencial entre los precios de compra y venta o redención de un valor. Los
instrumentos que se manejan a descuento tienen tasa de descuento y tasa de rendimiento. El
precio es la variable a determinar y está en función de los días que faltan para su vencimiento,
así como la tasa de descuento
Regla
General
de
las
Políticas
de
Inversión
y
Financiamiento

• El
rendimiento
que
se
obtenga
de
las
inversiones
en
activos

debe
ser
superior
a
los
costos
de
las
fuentes
de

financiamientos.

• Las
necesidades
permanentes
(capital
de
trabajo
y
activos

fijos)
deben
financiarse
con
fuentes
de
largo
plazo

• Las
necesidades
temporales
(activo
circulante
fluctuante)

deben
financiarse
con
fuentes
de
financiamiento
de
corto

plazo
(pasivo
circulante)

• Las
fuentes
de
financiamiento
de
mayor
plazo
tienen
costos

más
elevados
por
el
riesgo
de
no
pago.

Fuente:
Elaboración
propia

14
16. Rendimiento, utilidad generada en la inversión, la cual, expresada en términos porcentuales es
el rendimiento. Este rendimiento puede ser efectivo o nominal.
17. Para que la información monetaria en tiempos de inflación sea comparable es necesario hacerle
equivalente a los mismos periodos, para lo cual se debe trabajar en pesos constantes o en
pesos corrientes.
18. Pesos constantes, cuando la información a analizar está expresada en pesos con poder
adquisitivo de un año base.
19. Pesos corrientes. Cuando la información a analizar está expresada en pesos con poder
adquisitivo del año en que se recibe.

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TEMA 1.2 INTERÉS Y DESCUENTO SIMPLE
2.1 Interés Simple
Toda persona que obtiene un préstamo, queda obligada a pagar un rédito (renta
de un capital) o interés por el uso del dinero tomado en préstamo. El dinero
genera dinero, acumulando valores que varían con el tiempo; el análisis de las
causas de la acumulación del dinero en el tiempo es el problema fundamental de
las finanzas.
En las operaciones financieras de crédito e inversión en las que se aplica el interés
simple, el capital o base de la operación no cambia a través del tiempo , y los
rendimientos del mismo dependen del capital, del tiempo y de la tasa de interés
aplicada.
Nomenclatura:
Capital C
Representa el capital inicial, es la cantidad de
dinero que se invierte o presta al inicio de una
transacción, es el valor presente.
Monto M
Representa el capital final, es el monto o dinero
incrementado por los intereses, es el valor futuro
del capital: M=C+I
Interés I
Alquiler o rédito que se conviene pagar por un
dinero tomado en préstamo, el cual está regido por
leyes, entre prestatarios y prestamistas. I=M-C
Tasa r
Expresión del precio en %, es el tipo de interés de
la operación y siempre se da anualmente, salvo que
se indique lo contrario.
Tasa efectiva i
Representa la tasa de interés efectiva por el
periodo, expresada al tanto por uno, que se paga
por cada unidad monetaria
Tiempo t
Periodo del dinero tomado en préstamo, es el
tiempo que dura una transacción
Periodo de la
operación n
Periodo que permanece un capital invertido o
prestado, en relación a un año.

16
Fórmulas:
a) Interés: I = Cin
b) Monto o valor futuro a interés simple:
M = C(1+in), M = C + I
c) Capital o valor presente:
C = M / (1+in), C = M – I, C = I / in
d) Tasa de interés: ((i = I/Cn)100)12 = r
e) Tiempo: (n = I/Ci)/12 = T
Ejercicios:
EJERCICIO 1.
Nos financian un capital de $1,000.00, a una tasa del 26%. Determinar el pago
final.
M = C(1+in) = 1000*(1+(0.021667*12)) = $1,260.00
r = 26%
i = (26/100)/12 = 0.021667 mensual
n = 12 meses
C = 1,000.00
I = Cin
i=(26/100)/12 =0.021667
n= 12 meses
I = 1,000X(0.021667X12)
I = 1000 X 0.260004 = 260.00
M = 1000 +260 = $ 1,260.00
EJERCICIO 2.
Obtuvimos un financiamiento por $20,000.00; a un año tres meses debemos pagar
$30,000.00 a interés simple. Determinar la tasa de interés.
I = Cin
i = I/Cn
I = M – C

17
I = 30,000- 20,000 = 10,000
T = 1 año 3 mesesn =
i = 10,000 / 20,000X1.25
i = 0.40
r = 0.40 X 100 = 40%
i = (M/Cn)-(1/n)
i = (30,000/20000X1.25)-(1/1.25)
i = (30,000/25,000)-(0.8)
i = 1.2-0.8
i = 0.4
r = 0.4X100= 40%
C = M / (1+in),
EJERCICIO 3.
¿Cuál es el valor de un prestamo a un año, que a una tasa de interés del 18%,
produce un monto de $27,500.00?
C = 27,500/ (1+(0.18X1)) Valores anualizados
C = 27,500/1.18 = 23,305.08
C = 27,500/ (1+(0.18/12)X12)) Valores mensuales
C = 27,500/ 1+ (.015X12)
C = 27,500/1.18 = 23,305.08
EJERCICIO 4.
Determinar el valor los Intereses de un préstamo bancario por $15,000.00, a una
tasa del 26%, a un plazo de año y medio.
I = Cin,
I =15,000X0.26X1.5 = 5,850.09 Valores anualizados
I = 15,000X (0.26/12)X18
I = 15,000 X (0.021667X18) = 5,850.09 Valores mensuales
EJERCICIO 5.
El banco nos ofrece un financiamiento por $250,000 a 3.5 años, al finalizar el plazo
debemos pagar $360,000, determinar la tasa de interés que nos cobra el banco.
EJERCICIO 6.

18
Obtuvimos un préstamo bancario por $500,000, a interés simple. Al vencimiento
del plazo debemos pagar $725,000 a una tasa del 21%. Determinar el plazo del
financiamiento.
Descuento
El descuento es el diferencial entre los precios de compra y venta o redención de
un valor. Existen Algunos préstamos o instrumentos de inversión que se manejan
bajo el régimen de descuento financiero.
El descuento financiero consiste en cobrar los intereses al inicio de la operación, a
diferencia del régimen de intereses donde se cobran al final.
Descuento financiero
Descuento bancario Descuento Racional
Crédito Quirografario
Descuento bancario, es el que más se usa, el interés se cobra o se paga sobre el
monto o valor nominal de la operación (valor final), esta modalidad se usa en
préstamos bancarios a corto plazo, factoraje, cetes, papel comercial, entre otros.
En el descuento racional el interés se cobra sobre el capital o valor inicial de la
operación, es poco usado en los mercados financieros, se aplica la fórmula de
interés simple, cobrándose los intereses al principio de la operación
Descuento Bancario, como los intereses se cobran al principio, sobre el monto, el
interés por descuento se calcula con la siguiente fórmula:

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FORMULAS
1. Descuento: D = Mdn
Donde: D = Descuento bancario
M = Monto, valor futuro
d = tasa efectiva de descuento del periodo
n = número de periodos que va a durar la inversión o el préstamo
2. Monto = M; M = D / dn, M = C / (1-dn)
Donde: C = Valor presente o valor a recibir
3. tasa de descuento: d = D / Mn
4. tiempo: n = D / Md
5. Valor a recibir = C; C = M(1-dn)
Ejercicio 1. Obtuvimos un préstamo bancario con intereses descontados por
$185,000.00, a seis meses. El banco aplica una tasa de interés del 20%.
Determinar El Descuento que aplica el banco y el valor a recibir
a) Descuento = D = Mdn
D = 185,000X(0.016667X6) = $18,500.37
d = (20/100)/12 = 0.016667
n = 6

20
b) Valor a Recibir
C = M –D = 185,000 – 18,500.37 = $166,499.63
C = M(1-dn) = 185,000 X (1- (0.016667X6) = $166,499.63
n = D / Md = 18,500.37 / 185,000 X 0.016667 = 6
Ejercicio2. El Banco nos otorga un crédito a 2.5 años a una tasa de descuento del
26%, recibimos $500,000.00. Determinar el Monto a pagar al finalizar el plazo.
M = C / (1-dn)
M = 500,000/ 1- (0.26X2.5)
M = 500,000 / 1- 0.65
M = 500,000 / 0.35
M = 1,428, 571
i = (26/100)/12 = 0.0216667
n = 2.5 X 12 = 30
TEMA 1.3 INTERÉS COMPUESTO
1. Existen Instrumentos de Inversión y financiamiento que se concertan
con base en el interés compuesto, también llamado interés capitalizable.
En el interés compuesto, el interés que genera un capital se va
acumulando sobre una nueva base a medida que se capitalizan. Las
variables que intervienen para determinar el rendimiento o los intereses
son:
Capital C
Representa el capital inicial, es la cantidad de dinero
que se invierte o presta al inicio de una transacción, es
el valor presente.
Monto S
Representa el capital final, es el monto o dinero
incrementado por los intereses, es el valor futuro del
capital: S=C+I
Tasa de interés r
Expresión del precio en %, es el tipo de interés de la
operación y siempre se da anualmente, salvo que se
indique lo contrario.
Tasa efectiva i
Representa la tasa de interés efectiva por periodo de
capitalización, expresada al tanto por uno.
Periodos de
capitalización n
Número de periodos que se va a usar un capital o se va
a invertir

21
Frecuencia de la
capitalización
Número de veces en un año que se va a acumular los
intereses al capital (meses, bimestres, trimestres, etc.)
Fórmulas a aplicar en interés capitalizable
S = C(1+i) ^n
Donde: i = (r/100)/frecuencia de capitalización un año
n = t* frecuencia de capitalización un año
C = S /(1+i) ^n
C = S(1+i) ^-n
i = [(S/C) ^1/n
]-1 (n√(M/C))-1
n = ln(S/C)/(ln(1+i)
(VER LÍNEA DEL TIEMPO EN EXCEL)
Ejercicio 1. Monto de un capital de $250,000.00 al 21% con capitalizaciones
trimestrales en un plazo de seis meses.
S = 250,000 (1.0525)^2 = 276,939.06
n = 6/3 = 2
i = (21/100)/4 = 0,0525

22
Cálculo
de
la
tasa
efectiva
=
r
efectiva

Tasa
anual

CAPITALIZACIONES

MENS
BIMES
TRIM
CUATRIM
SEMEST
ANUAL

24%
=24%/12=2%

=24%/6=

4%
=24%/4=6%
=24%/3=8%
=24%/2=12%
=24%/1=24%

36%

3%
6%

9%

12%

18%

36%

20%

1.6666%
3.333%

5%

6.6666%

10%

20%

18%

1.5%

3%

4.5%

6%

9%

18%

21%

1.75%

3.5%

5.25%

7%

10.7%

21%

30%

2.5%

5%

7.5%

10%

15%

30%

15%

1.25%

2.5%

3.75%

5%

7.5%

15%

Ejercicio 2. Cuál es el monto de un capital de $579,634.05 invertido a 1.5 años al
24% con capitalizaciones bimestrales.
S = C*(1+i) ^n
C = 579,634.05
i= 24/100= 0.24/6 = 0.04
n = 18 /2 = 9
S = 825,000
Cálculo
periodos
de
capitalización
=
n

Plazo

Valores
de
n

MENS
BIMES
TRIM
CUATRIM
SEMEST
ANUAL

2
años
=2x12=24
=2X6=
12
=2X4=
8
=2X3=
6
=2x2
=
4

=2X1
=
2

3.5
años

42

21

14

10.5

7

3.5

18
meses
18
9
6
4.5
3
1.5

5
años

60

30

20

15

10

5

23
12
meses

12

6

4

3

2

1

4
años

48

24

16

12

8

4

6
años

72

36

24

18

12

6

Ejercicio 3. ¿Cuál es valor al vencimiento de un financiamiento por $725,000.00 a
una tasa de interés del 21% con capitalizaciones bimestrales, a 0.5 años?
21% cap bimestrales i=(21/100)/6 = 0.035; n= 6/2 = 3
Valor al Vencimiento:
S=725,999 (1.035)^3
S = 803,820.4
Ejercicio 4. ¿Cuál es la tasa de interés de un financiamiento por $1,125,000.00,
que con capitalizaciones mensuales produjo un monto de $1,470,000.00, 1.5 años?
i = [(S/C) ^1/n
]-1
C = 1,125,000
T = 1.5 años
S = 1,470,000
r= ? cap mensuales
n = 1.5 X 12 = 18
i = [(1,470,000/1,125,000)^1/18] – 1
i = 0.014970
r = (0.014970 X 100) X12 = 17.964 % aprox. al 18%
Ejercicio 5. ¿En qué tiempo un financiamiento por $950,000, que a una tasa de
interés del 10% con capitalizaciones trimestrales produjo un monto de
$1,157,482.75?
S = 1,157,482.75

24
C = 950,000
i= 10% cap. trimestrales = 10/100)/4 = 0.025
n = ?; T ?
n = (ln(S/C))/(ln(1+i))
n = [ln(1,157,482.75/ 950,000)] /ln (1.025)
n = (0.197540) / 0.024693
n = 8.00 trimestres
T = 8/4 = 2 años
EJERCICIO 6.
FINANCIAMIENTO POR 325,000
PAGO FINAL 520,000
TASA DE INTERÉS 24% CAP SEMESTRALES
¿CUÁNTO TIEMPO DURA EL CRÉDITO?
n = (lnS/C)/(ln(1+i)
i= (24/100)/2 = 0.12
n = 1.6/1.12
n = 4.12 semestres
T = 2.07 años
EJERCICIO 7.
V. F. = 305, 428.70
V. P. = 25,000.00
T = 9 MESES
TASA DE INTERES??

25
i = [(S/C)1/n
]-1
i = ((305, 428.70/250000)^1/9)-1
i = 0.0225
r = (0.0225 X 100) 12 =27%
RENEGOCIACION DE DEUDAS ( ECUACIONES DE VALOR)
Ejercicio 1.
DEUDAS D1 D2
100 250
0 6 9 18
V.P. V. F
PAGOS P=X
TASA DE RENEGOCIACIÓN 26% CAP MENSUALES
i = (26/100)/ 12 = 0.021667
DEUDAS = PAGOS
D1 + D2 = P
FECHA FOCAL DEL DIA DEL PAGO
100 (1.021667)^12+250(1.021667)^9 = x
X= 432.53

26
FECHA FOCAL DEL DIA DE LA RENEGOCIACION
100 (1.021667)^-6 +250(1.021667)^-9 = X(1.021667)^-18
X = 294.06825/0.679878
X = 432.53
COMPROBACIÓN
100 (1.021667)^-6 +250(1.021667)^-9 = X(1.021667)^-18
100 (1.021667)^-6 +250(1.021667)^-9 = 432.53(1.021667)^-18
294.07 = 294.07
Ejercicio 2.
Préstamos por:
a. 280,000 vto. en 3 meses
b. 400,000 vto. En 2 meses
c. 120,000 vto. En 1 mes
Se renegocia la deuda en dos pagos:
1. el primero el dia de hoy, por 100,000 y
2. el segundo, por el resto, en 1.5 años.
A una tasa de renegociación del 25% con capitalizaciones mensuales.
Determinar el valor del Segundo pago y el valor de la deuda al día de la
renegociación.

27
TEMA 1.4 ANUALIDADES
No solo las operaciones financieras relacionadas con préstamos o con inversiones
se realizan a través de un solo pago o de pagos de diferentes importes, a veces se
usan instrumentos financieros donde las cantidades que se reciben o se pagan son
periódicos y/o iguales. A las cantidades iguales que se presentan en forma
consecutiva y por un cierto tiempo para cubrir un préstamo o inversión se les llama
en matemáticas financieras anualidades.
El nombre de una anualidad no significa necesariamente que el pago igual se
realice cada año, ya que este puede ser también semestral, mensual, bimestral y
hasta diario. Las anualidades pueden darse al principio o al final de cada periodo.
Cuando el pago se recibe o se cubre al principio de cada periodo, se dice que son
Anualidades Anticipadas, se usan generalmente para fondos de inversión, para
pagos de rentas, etc.

28
Cuando el pago se recibe o se cubre al final de cada periodo, se llaman
Anualidades Vencidas Ciertas u Ordinarias, se usan generalmente para el
pago de algunos préstamos bancarios, créditos para adquisición de bienes muebles
e inmuebles, etc.
Las anualidades anticipadas y vencidas pueden ser ciertas o contingentes:
a) Anualidades ciertas, son aquellas cuya fecha inicial y/o terminal se
conocen, por estar estipuladas en forma concreta.
b) Anualidades contingentes o eventuales, son aquellas en que la
fecha inicial y/o terminal depende de algún suceso previsible, es decir,
la fecha de realización no puede establecerse de antemano.
Variables que intervienen en las anualidades:
Valor presente A
Valor de una anualidad calculado al comienzo del plazo
de la operación.
Valor futuro S
Valor de una anualidad calculado a su terminación, es el
monto de la anualidad.
Renta R Pago periódico de una anualidad, llamado también
renta.
Tasa de interés r
Expresión del precio en %, es el tipo de interés de la
operación y siempre se da anualmente, salvo que se
indique lo contrario.
Tasa efectiva i
Representa la tasa de interés efectiva por periodo de
capitalización, expresada al tanto por uno.
Periodos de
capitalización m
Número capitalizaciones que se realizan al año (meses,
bimestres, trimestres, etc.)
Número de
periodos de
pago
n
El número de periodos de pago se calcula multiplicando
el plazo(t), por el número de capitalizaciones que se
realizan en un año (m).

29
Anualidades Ciertas Vencidas
n Valor futuro
El valor futuro de las anualidades vencidas es la suma de los todos los pagos a
valor futuro al final del plazo de la operación y a una cierta tasa de interés.
Fórmula
Valor futuro de la anualidad = S 5000000
Donde: S = R[((1+i)n
-1)/i]
R = (Si)/((1+i)n
-1) ¿??
n = {Log[(Si/R)+1]}/(Log(1+i)) 6 años, dep mens venc
i = Interpolación: 8%
S/R = [(1+i)n
-1]/i
n Valor presente
El valor presente de una serie de pagos iguales vencidos, es la suma del valor
presente de cada uno de ellos, a una cierta tasa de interés a un cierto plazo de
actualización.
Fórmula
Valor presente de la anualidad = A 300000
Donde: A = R[(1-(1+i)-n
)/i]
R = (Ai)/(1-(1+i)-n
) ????
n = {Log[1/[1-(Ai/R)]}/(Log(1+i)) t= 1 año pagos bim
i = Interpolación: 21%
A/R = [1-(1+i)-n
]/i

ANUALIDADES
VENCIDAS

C

1,200,000

n
4X2
=
8

30

T
4
años

A
=

1,200,000

r
21%

i
=
0.105

Pagos
semestrales

??

n
=
8

Fórmula
A = R[(1-(1+i)-n
)/i]

R = (Ai)/(1-(1+i)-n
) -‐1,200,000.00

R=

229,043.13

229,043.13

229,043.13

n = {Log[1/[1-(Ai/R)]}/(Log(1+i))
229,043.13

n=
log(1/(1-‐Ai/R))/log(1+i)

229,043.13

(1-‐Ai/R)
0.449885272

229,043.13

log(1/0.449885)
0.346898

229,043.13

log(1+0.105)

0.043362

229,043.13

n=

8.00

229,043.13

i
10.5%

10.5000%

Tablas de Amortización
Al concertar un crédito bancario o cualquier otro tipo de crédito, , frecuentemente,
el deudor siente que no cubre capital con sus pagos y que lo único que está
pagando son intereses. Amortizar es ir saldando la deuda, el capital.
La gran mayoría de deudores bancarios y financieros olvidan que su crédito debe
cubrir intereses y al recibir su saldo insoluto (capital pendiente de pago), se
sienten defraudados, pues solo restan sus pagos al capital sin tomar en cuenta el
costo (intereses), los cuales deben también ser pagados con cada pago que se
realiza.
Existen varios modelos de amortización de créditos y cualquiera que sea el modelo
que se adopte, cada pago incluye capital más intereses, por lo que es conveniente
que se realice una tabla de amortización del crédito, en donde se visualiza la forma
en que el pago cubre capital sobre intereses, los cuales deben ser calculados sobre
saldos insolutos, de acuerdo al tipo de tasa de interés que se este pactando, la
cual puede ser fija o variable
La tabla de amortización, es la representación numérica en forma de cuadro, de
los pagos que se realizan sobre un financiamiento, y su distribución a pago de
capital e intereses. La representación gráfica se realiza de acuerdo a la forma en
que se va a ir saldando la deuda:

31
Existen 4 formas de pago de financiamientos, tanto a tasas fijas (estáticas), como
variables (dinámicas).
Tasas fijas, son aquellas que no varían durante el plazo de la deuda o
financiamiento.
Tasas variables, son las que van variando de acuerdo a determinadas variables de
la economía.
Las cuatro formas, a tasas fijas y/o tasas variables, son:
1. Pagos iguales o anualidades. El interés de los primeros pagos es mayor debido
a que el saldo insoluto (lo que se debe) es mayor, cantidad sobre la cual se
hacen los cálculos para el pago total de la deuda e interés, y la amortización va
en aumento en proporción de la tasa de interés que se utilice.
2. Amortizaciones iguales más intereses sobre saldos insolutos (I/SI). La
amortización de capital es igual período a período y el interés sobre saldos
insolutos se reduce conforme se va amortizando el capital.
3. Pago de intereses periódicos y el capital al vencimiento. Era comúnmente
utilizado en el pago de bonos y obligaciones. Actualmente las obligaciones se
amortizan en México a partir de la mitad de su vigencia. Podemos considera a
esta forma de pago como el periodo de gracia con pago solo intereses.
4. Pagos con intereses capitalizables (Aficorcado). Consiste en el pago aficorcado
o con interés capitalizable. Se emplea en obligaciones capitalizables y Bondis.
Implica que los pagos iniciales sean bajos y se aumenten proporcionalmente a
la tasa de interés.
A continuación se presenta un ejercicio de tablas de amortización, a tasas fijas y
tasas variables.
FORMAS DE PAGO A TASAS FIJAS
Ejercicio
Se obtiene un préstamo por $1,000,000.00 con intereses capitalizables a 6 años, el
día 1º de enero de 2020, una tasa del 36%, la forma de pago se realizaría con:
1. Pagos iguales semestrales. Elaborar la tabla de amortización
correspondiente a tasa fija.
Fórmula A = R[(1-(1+i)-n)/i]; R = (Ai)/(1-(1+i)-n)
Datos A = $1,000,000.00
T = 6 años
r = 36%, fija

32
1. ANUALIDADES – Pagos iguales.
Los
Girasoles
S.A
de
C.V

Crédito:1,000,000

Plazo:
6
años

Tasa
de
interés
FIJA:
36%

1.
Forma
de
pago:
Anualidades

Cap.
Semestrales

CIFRAS
EN
MILES
DE
PESOS

Fecha
Periodo

Capital
Intereses

Pago

Amort.
de

C.F

Inicial
i
$
Capital

30/06/20
1

1,000.00

0.18

180.00

208.63

28.63

971.37

31/12/20
2

971.37

0.18

174.85

208.63

33.78

937.59

30/06/21
3

937.59

0.18

168.77

208.63

39.86

897.73

31/12/21
4

897.73

0.18

161.59

208.63

47.04

850.69

30/06/22
5

850.69

0.18

153.12

208.63

55.50

795.19

31/12/22
6

795.19

0.18

143.13

208.63

65.49

729.70

30/06/23
7

729.70

0.18

131.35

208.63

77.28

652.41

31/12/23
8

652.41

0.18

117.43

208.63

91.19

561.22

30/06/24
9

561.22

0.18

101.02

208.63

107.61

453.61

Operación

n
6X2=12

T
6
años

r
36%

i
(36/100)/2=
.18

Pagos
semestrales

??

Fórmula
A = R[(1-(1+i)-n
)/i]

R = (Ai)/(1-(1+i)-n
)

180,000/0.862780

R=

208,627.81

33
31/11/24
10

453.61

0.18

81.65

208.63

126.98

326.64

30/06/25
11

326.64

0.18

58.79

208.63

149.83

176.80

31/12/25
12

176.80

0.18

31.82

208.63

176.80

-‐0.00

SUMAS

1,503.53

2,503.53

1,000.00

Características de esta forma de pago:
• Intereses decrecientes
• Amortizaciones de capital crecientes
• Pagos iguales
2. AMORTIZACIONES IGUALES MÁS INTERESES SOBRE SALDOS INSOLUTOS
Los
girasoles
S.A
de
C.v

Crèdito:
$1,000.00

Plazo:
6
años
Tasa
de
interés
fija:
36%

Forma
de
pago:
Amortizaciones
iguales
+
intereses
s/
saldos

inslutos
Cap.
Semestrales

CIFRAS
EN
MILES
DE
PESOS

Fecha
Pago

Capital
Intereses

Pago

Amortización
Capital

Inicial
i
$
Capital
Final

01/06/20
1
1000.00
0.18
180.00
263.33
83.33
916.67

30/11/20
2
916.67
0.18
165.00
248.33
83.33
833.33

01/06/21
3
833.33
0.18
150.00
233.33
83.33
750.00

30/11/21
4
750.00
0.18
135.00
218.33
83.33
666.67

01/06/22
5
666.67
0.18
120.00
203.33
83.33
583.33

30/11/22
6
583.33
0.18
105.00
188.33
83.33
500.00

01/06/23
7
500.00
0.18
90.00
173.33
83.33
416.67

30/11/23
8
416.67
0.18
75.00
158.33
83.33
333.33

01/06/24
9
333.33
0.18
60.00
143.33
83.33
250.00

30/11/24
10
250.00
0.18
45.00
128.33
83.33
166.67

01/06/25
11
166.67
0.18
30.00
113.33
83.33
83.33

30/11/25
12
83.33
0.18
15.00
98.33
83.33
0.00

34
SUMAS

1170.00
2170.00
1000.00
5500.00

• Intereses decrecientes
• Amortizaciones de capital igual
• Pagos decrecientes
3. PAGO DE INTERESES Y CAPITAL AL VENCIMIENTO (PERIODO DE GRACIA)

Los
girasoles
S.A
de
C.V

Crédito:
$1,000,000

Plazo:
6
años
Tasa
de
interés
fija:
36%

3.
Forma
de
pago:
Pago
de
intereses
y
capital
al
vencimiento
Cap.
Semestrales

CIFRAS
EN
MILES
DE
PESOS

Fecha
Pago

Capital
Intereses

Pago

Amortización
Capital

Inicial
i
$
Capital
Final

01/06/11
1

1,000

18%

180

180

-‐

1000.000

30/11/11
2

1,000

18%

180

180

-‐

1000.000

01/06/12
3

1,000

18%

180

180

-‐

1000.000

30/11/12
4

1,000

18%

180

180

-‐

1000.000

01/06/13
5

1,000

18%

180

180

-‐

1000.000

30/11/13
6

1,000

18%

180

180

-‐

1000.000

01/06/14
7

1,000

18%

180

180

-‐

1000.000

30/11/14
8

1,000

18%

180

180

-‐

1000.000

01/06/15
9

1,000

18%

180

180

-‐

1000.000

30/11/15
10

1,000

18%

180

180

-‐

1000.000

01/06/16
11

1,000

18%

180

180

-‐

1000.000

30/11/16
12

1,000

18%

180

1,180

1,000

0.000

SUMAS

2,160

3,160

1,000

• Intereses iguales
• Amortizaciones de capital al final
• Pagos iguales y capital al final

35
1. INTERESES CAPITALIZABLES – AFICORCADO
CALCULO
DEL
PAGO

BASE
83333.33333
i
0.18

Pago
Càlculo

Pago

1
83333,33*(1.18)1

98,333.33

2
83333,33*(1.18)2

116,033.33

3
83333,33*(1.18)3

136,919.33

4
83333,33*(1.18)4

161,564.81

5
83333,33*(1.18)5

190,646.48

6
83333,33*(1.18)6

224,962.85

7
83333,33*(1.18)7

265,456.16

8
83333,33*(1.18)8

313,238.27

9
83333,33*(1.18)9

369,621.15

10
83333,33*(1.18)10

436,152.96

11
83333,33*(1.18)11

514,660.50

12
83333,33*(1.18)12

607,299.39

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