El documento presenta una serie de ejercicios de cálculo integral correspondientes a un examen de matemáticas de 2o de bachillerato. Incluye 8 ejercicios que van desde encontrar la función primitiva de una función dada hasta calcular el área delimitada por diferentes funciones. El profesor explica brevemente cada ejercicio y proporciona la resolución detallada.
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profesorjano@gmail.com – 668805224 Prof. VÄCTOR M. VITORIA
Bachillerato - Universidad
EJERCICIOS DE EXAMEN DE C€LCULO INTEGRAL
2 bachillerato
A continuaci‚n se presentan un conjunto de ejercicios de examen de cƒlculo integral
correspondiente a la asignatura de matemƒticas I de 2 de bachillerato. La correcci‚n
estƒ en las pƒginas siguientes.
1) Encuentra la funci‚n primitiva de
x
2
que vale 2 en x = 0.
f(x) 2
x 3x 2
2
2) Calcula:
0
sen3x dx
2
dx
3) Calcula:
0
x2 4
1
4) Calcula:
0
x e2x dx
5) Calcula el ƒrea limitada por f(x) = x2, g(x) = 2x2 y h(x) = 2x
6) El rectƒngulo de v„rtices A(0,0), B (A, 0), C (A, -A2) y D (0, -A2) queda dividido en dos partes
por f(x) = x2 – Ax. Haz un dibujo y calcula el ƒrea de los dos recintos.
7) Calcula el valor de A si el ƒrea comprendida entre f(x) = 2x – x2 y g(x) = Ax, vale 1/6,
siendo A > 0.
8) Define suma superior y suma inferior de una funci‚n en un intervalo y correspondiente a
una partici‚n. Apl†calo a f(x) = x2 – 4 en [-3, 2] para P = {-3, -1, 1, 2}.
RESOLUCIÄN
Al principio de cada soluci‚n hay unas pistas. Si no sabes c‚mo empezar cons‡ltalas pero ten
en cuenta que eso significa que tienes a‡n mucho por estudiar y aprender.
Si ya has hecho el ejercicio, es el momento de comprobarlos consultando las respuestas.
1) Encuentra la funci‚n primitiva de
x
2
que vale 2 en x = 0.
f(x) 2
x 3x 2
Se trata de una funci€n que es un cociente
de polinomios. Como el grado del
numerador es igual al del denominador,
primero se efecta la divisi€n y se aplica
la relaci€n que dice que el esa divisi€n es
igual al cociente m‚s el resto entre el
divisor.
A continuaci€n quedar‚ un fracci€n que habr‚ que
descomponer en otras m‚s simples para que su funci€n
primitiva sea de tipo logaritmo neperiano.
Para terminar habrƒa que aplicar el teorema
fundamental del c‚lculo (Regla de Barrow)
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Se efect‡a la divisi‚n x2 : (x2 + 3x + 2). El cociente es 1 y el resto (-3x-
2).
Por lo tanto:
3x 2
2
2 2
x 3x 2
1
x
x 3x 2
x2 + 3x + 2 = 0 ]
x 2
1
x 1
3 1
2
3 9 8
2
x
2
3x 2
B
2 2
3x 2
x 3x 2
A x 1 B x 2
x 2 x 1
x 1
A
(x 2)
x 3x 2
Para X = -1 -1 = B
Para x = - 2 -4 = -A ; A = 4
As† 2
Hay varios m„todos para calcular A y B.
Uno de ellos es dar tantos valores a “x” como
coeficientes haya. Se obtienen asƒ las
ecuaciones suficientes para el c‚lculo de A, B,
... Se procura elegir valores que faciliten el
c‚lculo.
4
1
3x 2
dx
x 1
dx
x 2
dx
x 3x 2
La integral pedida serƒ: (observa que se ha cambiado el signo del resto, por eso se ha indicado
con un signo menos
dx x 4 Lnx 2 Lnx 1 C
1
I dx dx
x
1
4
x 2
Ahora aplicamos las condiciones del problema: para x = 0, I(x) = 2
2 = 0 – 4 . Ln 2 + Ln 1 + C C = 2 + 4 . Ln 4 – Ln 3
I(x) = x – 4. Ln (x+2) + Ln (x+1) + 2 + 4 . Ln 4 – Ln 3
2
2) Calcula:
0
sen3x dx
Una integral se puede resolver de
varias maneras. Un camino es el de
convertir esta integral en
inmediata, sabiendo que
sen3x = sen2x . sen x.
sen2x = 1 – cos2x
La integral resultante se dividir‚ en dos
inmediatas, siendo una de ellas del tipo un.u’.
Ya ves que conviene que tengas en la memoria
las relaciones trigonom„tricas b‚sicas.
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I sen3x dx sen x 1 cos2 x dx sen x dx sen x cos2 x dx
C
2
cos x
3
cos x
2
3
2
3
1
3
0 0 1
2
cos x
3
cos x
2
0
2
dx
3) Calcula:
0
x2 4
Siempre que veas un x2 en el denominador fuera de una raƒz
sumado a un nmero y otro nmero en el numerador, tienes
que pensar que puede tratarse de un arcotangente. Para ello
habr‚ que operar con constantes hasta llegar a la expresi€n
de la integral inmediata.
Se comienza operando para obtener un “1” en vez del 4, para lo que dividimos entre “4”
numerador y denominador.
1
1
1
arctg 1
0
2
2
2 4 8
2
2
dx x
2
2
1
arctg
2
dx
2
x
2
1
1
1
2
dx
4
x
2
4
4
1
2
x 4
0
0
2
0
2
0
1
4) Calcula:
0
x e2x dx
x = u dx = du
e2x.dx = dv
Se trata de una tƒpica integral por partes. En este caso es importante asignar
correctamente qu„ es lo que hay que derivar y qu„ es lo que habr‚ que integrar de
cada parte. Derivaremos “x”, porque si derivamos e2x la expresi€n no se va a
simplificar.
e v
e2x dx dv 2x 2x
1
2
2 e dx
1
2
1
1
1
1
1
x
1
x
1
1
2x e
2x 2x 2x 2x
0
2x 2x
0
0
0
4
e
2
2 e dx
4
e
2
e dx
2
e
2
x e dx x
=
1
2x
1 2 2
e 1
4
1
4
e
4
1
2
1
1
2
1
2
1
e
2
1
2
e x
2
2x
0
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5) Calcula el ƒrea limitada por f(x) = x2, g(x) = 2x2 y h(x) = 2x
x 0
En estos ejercicios es fundamental hacer la
representaci€n gr‚fica. Para ello hay que
calcular los puntos de corte que tendr‚n mucho
que ver con los lƒmites de integraci€n.
f(x) x
2 2 1
x 2
x 2x x 2x 0 x x 2 0
2
h(x) 2x
2
x 0
g(x) 2x
2 1
x 1
2x 2x 2x x 1
h(x) 2x
2
2
1
1
3
x
1
2
dx x dx x x 2 A
1 u
0
0
2
1
0
2 2
3
3
2
2 2 3
2x
x
8
1
2
2
dx x x 2 A
2 u
1
1
2
3
3
1
3
4
3
2
2
1
A A
A = 2
1 2 1 u
3
3
En este caso, el ‚rea resultante habr‚ que
obtenerla calculando ‚reas parciales y luego
operando con ellas para conseguir la superficie
pedida.
6) El rectƒngulo de v„rtices A(0,0), B (A, 0), C (A, -A2) y D (0, -A2) queda dividido en dos partes
por f(x) = x2 – Ax. Haz un dibujo y calcula el ƒrea de los dos recintos.
De nuevo la representaci€n gr‚fica es imprescindible y habr‚ que hacerla en funci€n del
par‚metro A. No ser‚ exacta pero si posible. Te recuerdo que cuando una funci€n polin€mica
de segundo grado tiene el coeficiente de “x2” > 0, sus ramas est‚n hacia arriba. Si es <0, sus
ramas estar‚n hacia abajo.
Hagamos unos cƒlculos previos para poder representar la grƒfica de la parƒbola.
M†nimo de f(x)
2 2 2
f’(x) = 2x – A = 0 ; x = A/2 ;
A
2
A
2
A
4
2
f A
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Cortes con los ejes (y = 0)
x 0
2 1
x A
0 x Ax x x A
2
3 2
2
3 3 3 3 3
A
6
S 0 x Ax
2A 3A
6
A
2
A
3
Ax
2
x
3
A
0
1
Como S es un rectƒngulo, para calcular S2 sustraemos
S1 al ƒrea total del rectƒngulo.
Este ƒrea serƒ: S = A . A2 = A3
3 3
5A
A
A
S = S1 + S2 ; S2 = S – S1 = 3 u
2
6
6
Seg‡n el profesor, igual te pide que S2 lo obtengas
tambi„n mediante cƒlculo integral. En ese caso:
2 2
S x Ax A dx
cqd
3 3 3 3
5A
6
2A 3A 6A
6
A 3
0
A 3 3
A
2
A
3
2
A x
3 2
x
A
2
x
3
0
2
7) Calcula el valor de A si el ƒrea comprendida entre f(x) = 2x – x2 y g(x) = Ax, vale 1/6,
siendo A > 0.
De nuevo hay que hacer la gr‚fica, s€lo que en este caso es abierta ya
que depende del par‚metro A. Esto significa que haremos una
representaci€n gr‚fica posible pero puede que no sea la exacta. Esto no
debe preocuparte ya que cuando conozcas el par‚metro A podr‚s
hacer la representaci€n correcta.
Vamos a hacer los cƒlculos previos para conseguir la aproximaci‚n grƒfica.
Mƒximo de f(x): f’(x) = 2 – 2x = 0 ;
x 0
1 ; f(1) = 1 ; M (1, 1)
x 1
2 1 x 0
2
Cortes con OX: f(x) = 0 2x – x2 = 0
x 0
1
x 2
x 2 x 0
2
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Cortes con g(x):
y Ax
y 2x x2
Ax =2x – x2
0 = x . (2 – A) – x2
x 0
1
x 2 A
0 x 2 A x
2
Por lo tanto, el ƒrea amarilla pedida serƒ:
x
2
3
x 1
3 2
x
2
A
x
3
x
0 2 3 2
x
2
A
x
3
2x
2
2
2x x Ax dx
0
2 A
2
0
2 A
2 6 4 2A 3A
2 4 A 2
4A
3 2
A 6A 12A 9 0
6
1
6
4 A 4A
2 3 2 3 2
A 6A 12A 8
6
A
2
2 A
3
2 A
0 2 A 1
8 2A 8A 4A A 4A
6
0
2 A
2 A
6
A
2
Habr‚s observado que he puesto como valor del ‚rea -1/6
y no 1/6. Eso es debido a que tal y como he planteado el
dibujo el ‚rea queda por debajo del eje OX. El dibujo
provisional tambi„n ha condicionado el orden de los lƒmites
de integraci€n.
1 -6 12 -9
3 3 -9 9
1 -3 3 0 . Por lo tanto A = 3
Se resuelve: x2 - 3 9
12
3x + 3 = 0 ; x ... soluciones imaginarias.
2
Pero supongamos que la grƒfica previa fuese:
‰C€mo resolver la ecuaci€n de
tercer grado?. En primer lugar
no asustarse, y en segundo
aplicar Ruffini.
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Resolvamos de nuevo el problema pero cambiando de estrategia algebraica de modo que el
cƒlculo resulte mƒs sencillo (se podr†a haber utilizado este mismo m„todo en el caso anterior)
2 A
2 3
2x x 2
Ax
dx 2 x x x 2
dx 2 A
1
2 A 1 A
1
6
3 3
2 A
3
2 A
0
2 A
2
x
3
x
2
2 A
0
0
8) Define suma superior y suma inferior de una funci‚n en un intervalo y correspondiente a
una partici‚n. Apl†calo a f(x) = x2 – 4 en [-3, 2] para P = {-3, -1, 1, 2}.
La definici€n de suma superior e inferior la puedes encontrar en cualquier
libro de texto o en internet.
[ -3,2] para P = { -3, -1, 1, 2 }
Hallamos el Mƒximo y el m†nimo para cada partici‚n o subintervalo, fijƒndonos en la grƒfica:
[-3,1] Mƒx = 5 ; m†n = -3 Suma superior = la suma de los rectƒngulos de base
[-1,1] Mƒx = -3 ; m†n = -4 la longitud del intervalo y de
[1, 2] Mƒx = 0 ; m†n = -3 altura el Mƒximo
Suma inferior = las alturas el m†nimo
Suma superior = 2.5 + 2.(-3) + 1.0 = 4
Suma inferiror = 2.(-3) + 2.(-4) + 1.(-3) = -17
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