Euler's function

1. Euler’s Formula We know the exponential function = 𝑒 𝑥 = 1 + 𝑥 1! + 𝑥2 2! + 𝑥3 3! + ⋯ , −∞ < 𝑥 < ∞ & trigonometic function : sin 𝜃 = 𝜃 − 𝜃3 3! + 𝜃5 5! − …………….∞………………………(1) 𝐶𝑂𝑆𝜃 = 1 − 𝜃2 2! + 𝜃4 4 − ⋯∞………..(2)

2. Now, we put x=i𝜃 in the equation (1), then  eⅈ𝜃 = 1 + ⅈ𝜃 1! + ⅈ2 𝜃2 2! + ⅈ3 𝜃3 3! + ⅈ4 𝜃4 4 + ⅈ5 𝜃5 5! + ⋯ . . … … ∞ = 1 + i𝜃 1! − 𝜃2 2! − i𝜃3 3! + 𝜃4 4! + 𝑖𝜃5 5! − ⋯ … … . . .∞ =(1 − 𝜃2 2! + 𝜃4 4! − ⋯ ⋅ ⋯ ∞ ) +i( 𝜃 − 𝜃3 3! + 𝜃5 5! − …. ∞) =cos 𝜃+isin 𝜃 =cis 𝜃