Este documento resume los conceptos clave de los métodos numéricos. Explica 1) la importancia de usar métodos numéricos para resolver problemas complejos de manera eficiente, 2) los tipos de errores que surgen al realizar cálculos numéricos como errores absolutos y relativos, y 3) cómo conceptos como la estabilidad, condicionamiento y redondeo afectan la precisión de los resultados.
2. Los Métodos Numéricos, Importancia
De Utilizar Métodos Numéricos
• Consiste en procedimientos que resuelven problemas y
realizan cálculos puramente aritméticos. Utilizando los
instrumentos de calculo
(calculadora, computadora), evitando así la necesidad de
hacer cálculos complicados y no tener que caer
en suposiciones de simplificación o a técnicas lentas. Es
utilizado desde la economía a la industria aeroespacial.
3. Definición de Número Máquina
Binario Decimal
Es un sistema numérico que Son aquellos números cuya
consta de dos dígitos: Ceros representación viene dada de
(0) y unos (1) de base 2. la siguiente forma:
este tipo de representación ± 0,d1 d2 d3 ... dk x 10 n, 1£
requiere de menos dígitos, d1 £ 9, 1£ dk £ 9
pero en lugar de un número para cada i=2, 3, 4, ..., k"
decimal exige de más lugares
4. Errores Absolutos y Relativos
• En algunos casos al realizar estos procedimientos de
forma numérica en una computadora se generan
situaciones de error. Tales situaciones de error se
denominan ’errores numéricos’.
Los errores asociados con los cálculos y medidas se
pueden caracterizar observando su exactitud y precisión.
La precisión se refiere a qué tan cercano está un valor
individual medido o calculado con respecto a los otros.
El Error Absoluto es la diferencia entre el valor exacto y
su valor calculado o redondeado
5. Cota de Errores Absolutos y Relativos
• Normalmente no se conoce p y, por tanto, tampoco se
conocerá el error absoluto, de tomar p* como una
aproximación de p. Se pretende encontrar cotas
superiores de esos errores. Cuanto más pequeñas sean
esas cotas superiores, mejor. Sea f una función derivable
en I,[a, b] Í I, P la solución exacta de la ecuación f(x)=0 y
Pn una aproximación a P. Supongamos |f ’(x)| ³ m > 0, "
x Î [a, b], donde Pn, P Î [a, b].
Mientras mas cercano a 0 sea Pn mas confiable sera.
6. Redondeo y Truncamiento
• Errores de truncamiento, que resultan de representar
aproximadamente un procedimiento matemático exacto.
• Errores de redondeo, que resultan de representar
aproximadamente números exactos.
El resultado real viene dado por:
Valor verdadero = valor aproximado + error
Error Exacto= valor verdadero - valor aproximado
7. Error De Redondeo
• Se debe a la naturaleza discreta del sistema numérico de
máquina de punto flotante, el cual a su vez se debe a su
longitud de palabra finita.
Cada número real se reemplaza por el número de máquina
más cercano..
Cualquier número real positivo Y puede ser normalizado a:
• y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n.
El procedimiento se basa en agregar 5 x 10 n - (k+1) a Y y
después truncar para que resulte un número de la forma
• Fl(y) = 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n.
8. Error De Truncamiento
• Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a:
• y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n.
Si y está dentro del rango numérico de la máquina, la
forma de punto flotante de Y, que se representará por fl ,
se obtiene terminando la mantisa de Y en K cifras
decimales. Existen dos formas de llevar a cabo la
terminación. Un método es simplemente truncar los
dígitos dk+1, dk+2, . . . para obtener
• fl(y) = 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n.
9. Errores De Una Suma Y Una Resta
• En esta sección estudiamos el problema de sumar y restar
muchos números en la computadora.
Como cada suma introduce un error, proporcional al epsilon
de la máquina, queremos ver como estos errores se acumulan
durante el proceso. El análisis que presentamos generaliza al
problema del cálculo de productos interiores. En la práctica
muchas computadoras realizarán operaciones aritméticas en
registros especiales que más bits que los números de
máquinas usuales. Estos bits extras se llaman bits de. Se
deben evitar situaciones en las que la exactitud se puede ver
comprometida al restar cantidades casi iguales o la división de
un número muy grande entre un número muy pequeño, lo
cual trae como consecuencias valores de errores relativos y
absolutos poco relevantes.
10. Estabilidad e Inestabilidad
• La condición de un problema matemático relaciona a su
sensibilidad los cambios en los datos de entrada. Puede
decirse que un cálculo es numéricamente inestable si la
incertidumbre de los valores de entrada aumentan
considerablemente por el método numérico. Un proceso
numérico es inestable cuando los pequeños errores que
se producen en alguna de sus etapas, se agrandan en
etapas posteriores y degradan seriamente la exactitud
del cálculo en su conjunto.
11. Condicionamiento
• El condicionamiento se usa de manera informal para
indicar cuan sensible es la solución de un problema
respecto de pequeños cambios relativos en los datos de
entrada. Un problema está mal condicionado si
pequeños cambios en los datos pueden dar lugar a
grandes cambios en las respuestas. Para ciertos tipos de
problemas se puede definir un número de condición:
"Un número condicionado puede definirse como la razón
de los errores relativos".
