Cơ học lượng tử. Tải thêm nhiều tài liệu khác miễn phí tại www.mientayvn.com

1. TẠP CHÍ HTTP://WWW.VATLYVIETNAM.ORG
TẬP 1, SỐ 1, NĂM 2007
11
PHƯƠNG TRÌNH SÓNG SCHRÖDINGER
Nguyễn Anh Tuấn *
(Opendoor2507)
Bài viết được dịch từ bài giảng Math 55: Differential Equations của Gabriel Peterson, College of the Redwoods
(Có thể tham khảo bản gốc tại http://online.redwoods.edu/depts/science/chem/storage/Schrod/index.htm)
Mục đích của bài này là giới thiệu một cách sơ lược về phương trình sóng Schrodinger, một trong những trụ cột của cơ học
lượng tử. Để đảm bảo tính khúc triết và đơn giản, tác giả chỉ nhắc đến các phương trình sóng một chiều độc lập thời gian bằng
cách hướng tới tiến trình lịch sử phát sinh ra phương trình này - một phần không thể thiếu của cơ học lượng tử.
*
E-mail: anhtuanb1@yahoo.co.uk
1. MỞ ĐẦU
Khi buổi bình minh của thế kỷ mới tới gần, các nhà vật lý
đang say sưa với cái mà các nhà thông thái Hilạp gọi là hubris
– một sự kiêu căng tiêu cực, tự phụ, và sai trái. Quả thực là,
Max Planck một chàng thanh niên đang hăm hở theo đuổi vật
lý, đã được chủ nhiệm Khoa Vật lý, Đại học Munich khuyên
rằng: “Các khám phá quan trọng trong vật lý đều đã được
thực hiện. Đừng mất công vào vật lý làm gì (Kotz và Treichel,
320).” May thay, anh chàng đã không để ý tới lời khuyên này.
Vật lý cổ điển – nghĩa là, cơ học Newton và lý thuyết điện từ
Maxwell – dường như đã giải thích cho mọi hiện tượng tự
nhiên quan sát được. Đó là một vũ trụ tất định. Các hành tinh,
không ngừng quay với sự chính xác khó hiểu của chúng; sự
lên xuống của thuỷ triều; sự dao động của con lắc; cách thức
các vật trao đổi năng lượng và momentum; các sóng ánh sáng
lan truyền trong không gian – lẽ nào tất cả chúng không tuân
theo mô hình xác định luận? Chỉ cần đưa ra một vài điều kiện
ban đầu của vũ trụ, tất cả các hành vi tương lai của nó sẽ được
tính toán.
Than ôi, như thường thấy trong khoa học, một cơn khủng
hoảng đã xảy đến với vật lý cổ điển: nó sai lầm khi giải thích
một hiện tượng quan trọng. Đó là tai biến tử ngoại, và đứng ở
trung tâm của tai biến này chính là chàng trai đã nản với việc
theo đuổi vật lý vì lý do: người ta đã khám phá gần hết ngoại
trừ một vài chi tiết phụ, chàng thanh niên đó là Max Planck.
Một vật hấp thụ tất cả các bức xạ chiếu tới gọi là vật đen
tuyệt đối. Một vật đen gần như tuyệt đối có thể tạo ra bằng
cách dùng một hốc có khe hở rất nhỏ. Chỉ một phần không
đáng kể bức xạ đi vào hốc thoát được ra ngoài. Sự bức xạ
năng lượng đặc trưng của vật đen – đúng như tên gọi của nó –
là không thấy được, mà nó nằm trong vùng hồng ngoại của
phổ điện từ. Trong vật lý cổ điển, hàm phân bố phổ được cho
bởi định luật Raleigh-Jeans,
4
8
( , )
kT
P T
π
λ
λ
= (1.1)
Trong đó lambda là bước sóng, T là nhiệt độ, và k là hằng
số Boltzmann. Giá trị rút ra từ định luật phù hợp rất tốt với
thực nghiệm trong vùng bước sóng dài. Tuy nhiên, khi
lambda xấp xỉ không, công thức trên cho thấy vật sẽ bức xạ
một lượng vô cùng lớn năng lượng tại các bước sóng cực
ngắn, ở vùng tử ngoại.
Ý tưởng của mô hình này là các bức xạ lan truyền trong
không gian và trao đổi năng lượng giống như một sóng. Nghĩa
là, nó liên tục, không định xứ, và lan toả. Newton đã từng có ý
kiến đối lập cho rằng nó truyền đi như các hạt rời rạc gọi là
corpuscles. Tuy vậy, các thí nghiệm sau đó về giao thoa và
nhiễu xạ đã cho thấy ánh sáng là sóng. Phương pháp của
Planck là phải thay đổi mô hình. Vì mụch tiêu phát triển một
mô hình chính xác, giả thiết rằng năng lượng bức xạ hay hấp
thụ bởi vật đen theo các phần gián đoạn gọi là quanta, giống
như các hạt. Ông đã xác định được hệ thức năng lượng như
sau:
. .E n h f= (1.2)
Năng lượng được cho bởi một số nguyên n nhân với hằng
số Panck h và tần số bức xạ f. Tuy nhiên ông nhấn mạnh đây
không phải là cách thức thực tế của tự nhiên, nó chỉ đơn thuần
là mô hình. Quả thực, vài năm sau đó khi Einstein sử dụng
nguyên lý này để giải thích hiệu ứng quang điện, Planck đã
nghi ngờ tính đúng đắn của luận cứ này.
Mặc dù ban đầu ông không đánh giá đúng về nó, nhưng
Planck đã mở cánh cửa cho một mô hình mới mà hầu như
không một lĩnh vực khoa học nào không động tới nói: cơ học
lượng tử. Cụ thể, ông đã vấp phải một vấn đề gai góc đó là
lưỡng tính sóng hạt. Ánh sáng có vẻ lan truyền giống như
sóng và trao đổi năng lượng như là hạt. Einstein đã bình luận
về tính phản trực giác của sự lưỡng phân này như sau:"50
năm nghiền ngẫm cũng không đưa tôi đến giải đáp cho câu
hỏi, “lượng tử sáng là cái gì?” Tất nhiên ngày nay mọi người
đều nghĩ rằng ông ấy biết câu trả lời, ông ấy chỉ tự dối mình
(Knight, 442)".
Một chàng trai trẻ tới từ Pháp, một sinh viên Vật Lý mới
ra trường, Louis-Victor de Broglie. Cho rằng khái niệm lượng
tử ánh sáng của Planck và Einstein được mở rộng. Là gì nếu
không chỉ ánh sáng thể hiện lưỡng tính sóng hạt? Là gì nếu
một điện tử hay một proton hoặc một quả bóng chầy hay một
hành tinh thể hiện tính chất lưỡng tính này? Và điều này chỉ

2. TẠP CHÍ HTTP://WWW.VATLYVIETNAM.ORG
TẬP 1, SỐ 1, NĂM 2007
12
cho chúng ta biết điều gì về bản chất của vật chất? Câu trả lời
của de Broglie là lưỡng tính sóng hạt không chỉ giới hạn trong
trường hợp của ánh sáng. Tất cả các vật từ vi mô đến vĩ mô
đều có tính chất này. Ông cho rằng bước sóng của chúng - gọi
là sóng vật chất - được cho bởi:
h
p
λ = (1.3)
Trong đó h là hằng số Planck, p là xung lượng cho bởi p =
m.v, với m là khối lượng, và v là vận tốc.
Hình 1. Hiện tượng nhiễu xạ của điện tử trên các tấm kim loại mỏng
thể hiện tính sóng của chùm hạt điện tử1
.
Nguyên lý này nhanh chóng được xác nhận bằng cách
dùng tinh thể học x-ray để kiểm tra hành vi của các điện tử.
Như thấy trong hình, các điện tử thể hiện một dạng nhiễu xạ
đặc trưng của sóng. Có nghĩa là, khi chúng truyền đi, chúng
giao thoa với các sóng khác. Sự giao thoa chỉ có thể xuất hiện
nếu chúng có tính sóng. Do vậy, vật chất – không chỉ ánh
sáng – truyền đi như sóng và trao đổi năng lượng giống như
hạt. Vấn đề lưỡng phân sóng hạt của lượng tử sáng là không
thể tránh khỏi. Nó có mặt ở khắp nơi trong tự nhiên: một
lượng các lượng tử sáng, các photon; trong hạt hạ nguyên tử
như electron và proton; trong cú bay của quả bóng chày; trong
quỹ đạo của một hành tinh. Tuy nhiên bước sóng của các vật
thể vĩ mô, ví như bóng bầu dục và hành tinh, nó quá nhỏ để có
thể đo được.
2. PHƯƠNG TRÌNH SÓNG SCHRÖDINGER
Ấn tượng mạnh bởi sóng vật chất của DeBroglie, Erwin
Schrodinger muốn có thời gian để suy nghĩ, để cân nhắc về tất
cả sự dính líu này. Schrodinger, một nhà vật lý Áo được biết
đến qua các công trình của ông về vật lý của các dây, đã bắt
chuyến bay tới biệt thự tại Thuỵ sĩ vào năm 1925, bỏ lại người
vợ để sống với một cô nàng gốc Viennese. Điều đem lại của
thời kì êm ả trong tư duy này sẽ thay đổi mãi mãi quang cảnh
của nền vật lý. Quả vậy, nó đã làm thay đổi cách chúng ta
quan niệm về vũ trụ mà chúng ta đang sống.
Mô hình nguyên tử Bohr khi đó được phát triển từ một mô
hình hệ mặt trời vi mô trong đó các điện tử quay quanh hạt
nhân giống như các hành tinh và ngôi sao. Trong trường hợp
của nguyên tử Hydro sự phù hợp giữa tiên đoán lý thuyết và
các quan sát thực nghiệm là khá tốt. Tuy nhiên với các nguyên
tử nhiều điện tử hơn, thậm chí với Helium chỉ với 2 electron,
tiên đoán và thực nghiệm chẳng ăn khớp gì với nhau cả.
Schrodinger mong muốn phát triển một mô hnhf phù hợp với
các bằng chứng thực nghiệm. Kết quả của kỳ nghỉ lén lút tại
Swiss Alps là một mô hình không bắt nguồn từ các mô hình
trước đó, một mô hình có thể gọi là một cảm nhận trực giác,
một bước nhẩy trong tưởng tượng, một mô hình chính xác đến
kinh ngạc.
Trong khuôn khổ bài này vì mục đích đơn giản xúc tích,
chúng tôi sẽ chỉ nhắc tới phương trình sóng Schrodinger một
chiều, không phụ thuộc thời gian. Chúng tôi không nói tới
phương trình đầy đủ trong sự chói lọi huy hoàng của nó.
Phương trình sóng Schrodinger không phụ thuộc thời gian, lẽ
ra nên gọi cho đúng là định luật Schrodinger, được cho bởi
phương trình vi phân.
[ ]
2
2 2
( ) 2
( ) . ( )
d x m
E U x x
dx
ϕ
ϕ= − − (2.1)
với là hàm sóng, là hằng số Planck rút gọn, E là năng
lượng, U(x) là hàm thế năng của hạt. Để tìm nghiệm tổng quát
của phương trình này, các điều kiện biên phải được thiết lập.
Các điều kiện nguyên tắc cần phải được tuân thủ là:
1. ϕ(x) → 0 khi x → ∞
2. ϕ(x) = 0 nếu ở vị trí bất khả về mặt vật lý (hay nói
cách khác là không có tính vật lý).
3. ϕ(x) là hàm liên tục và chuẩn hóa (xác suất tìm thấy
hạt trong toàn không gian bằng 1).
Trong bài này, lại một lần nữa để đơn giản và xúc tích,
chúng ta xem xét trường hợp hạt nằm trong hộp một chiều,
với tường thế cao vô hạn. Cho họp có độ dài L. Như thấy
trong hình, hàm thế năng là:
1. U(x) = 0 khi hạt trong hộp (0 ≤ x ≤ L)
2. U(x) = ∞ khi x < 0 hoặc x > L
Đây là bài toán hạt trong giếng thế cao vô hạn (xem hình
vẽ).
Hình 2. Hạt trong giếng thế cao vô hạn.

3. TẠP CHÍ HTTP://WWW.VATLYVIETNAM.ORG
TẬP 1, SỐ 1, NĂM 2007
13
Điều kiện 1 có nghĩa là hạt không thể vượt ra ngoài hộp
(do có rào thế năng). Điều này làm đơn giản hoá đáng kể hàm
sóng, với sự thu gọn của biểu thức U(x). Do đó, hàm sóng
tương ứng với hạt trong hộp được cho bởi:
2
2 2
2
( )
d m
E x
dx
ϕ
ϕ= − (2.2)
Để đơn giản ta đặt:
2
2
2mE
B = (2.3)
Khi đó phương trình sóng trở thành
2
2
2
( )
d
B E x
dx
ϕ
ϕ= − (2.4)
Cái này giống như phương trình dao động điều hoà, vì vậy
nghiệm phi(x) sẽ có dạng một hàm sine hoặc hàm cosine. Do
vậy:
( ) sinx Bxϕ = (2.5)
Theo điều kiện biên 1, ta có:
( ) sin 0x L BLϕ = = =
Do đó:
n
BL n B
L
π
π= ⇒ = (2.6)
Trong đó n = 1,2,3 .... Chính xác hơn chúng ta phải đưa
vào biên độ A:
n .x
( ) Asin
L
x
π
ϕ =
Trong đó A là biên độ của hàm. Để xác định biên độ, ta
dùng điều kiện biên cơ sở thứ 3, ϕ(x) là hàm chuẩn hoá. Biểu
diễn toán học dưới dạng:
2
0
( ) 1
L
xϕ =∫ (2.7)
Nó được phát biểu là: xác suất tìm thấy hạt trên trục x
bằng 1. Lắp vào chúng ta nhanh chóng thu được:
2
A
L
= (2.8)
Như vậy sau một hồi biến đổi chúng ta đã mò ra được
nghiệm của phương trình sóng của trạng thái lượng tử thứ n
trong hộp kín:
2 n .x
( ) .sin
L
x
L
π
ϕ = (2.9)
với 0 ≤ x ≤ L
và ϕ(x) = 0 khi x < 0 hoặc x > L.
Ý nghĩa của nghiệm này ở chỗ là xác suất tìm thấy hạt tại
vị trí x được cho bởi bình phương của ϕ(x).
2 22 .
( ) ( ) sinn
n x
P x x
L L
π
ϕ= = (2.10)
Chúng ta có thể thấy rõ điều này qua biểu diễn bằng đồ thị.
Xét một hạt trong trạng thái lượng tử thứ ba.
Ta có thể thấy thằng có những nơi mà xác suất tìm thấy
hạt bằng không – nên gọi là các nút. Cái này không chỉ là một
mô hình đơn giản hoá hạt ở trong một hộp kín. Nó được quan
sát trong các hệ phức tạp hơn ví dụ như mô hình về một điện
tử quay quanh hạt nhân.
Hình 3. Hàm sóng và xác suất tìm thấy hạt khi ở trạng thái có số
lượng tử n = 3.
Từ phương trình sóng của Schrodinger, hàm xác suất cho
các quỹ đạo electrons xung quanh hạt nhân có thể được phát
triển. Có các vỏ điện tử gọi là mật độ xác suất hoặc orbitals,
các đám mây xác suất để chỉ nơi nào có thể có mặt điện tử,
nơi nào bị cấm. Điều này được minh chứng trong hình minh
hoạ trên, nó cho thấy orbital 2Px và một sóng xác suất tương
tứng khả năng điện tử nằm ở toạ độ x. Tuy vậy, đấy không
phải là cái vỏ cứng, mà là vỏ mềm nơi có xác suất tìm thấy
điện tử là 80 đến 90 phần trăm. Vì là xác suất cho nên một vài
điện tử quanh một hạt nhân nào đó có thể nằm ở khoảng cách
cực lớn: mặt bên kia của hành tinh, biên của hệ mặt trời, hay ở
một vài nhánh nào đó trên dải Ngân Hà...
Hình 4. Đám mây orbitan của vỏ điện tử 2Px2
.

4. TẠP CHÍ HTTP://WWW.VATLYVIETNAM.ORG
TẬP 1, SỐ 1, NĂM 2007
14
Một thể loại mới của thế giới vi mô. Một loại mới của các
xác suất. Một dạng mới mà vị trí của một điện tử so với hạt
nhân được cho bởi đám mây xác suất mờ ảo, thiếu vắng sự
xác định rõ ràng, gọi là mật độ xác suất. Một dạng mới được
gọi là vật lý lượng tử.
3. KẾT LUẬN
Tay của Schrodinger và vô số các vĩ nhân khác theo thời
gian đã động chạm hầu hết mọi lĩnh vực khoa học: Vật lý, hoá
học, sinh học, ... Quả thực, nó đã âm thầm thẩm thấu vào văn
hoá đại chúng. Thế giới lượng tử đã truyền cảm hứng tôn
sùng huyền bí từ nó. Tất nhiên không một nghị luận tốt nào có
thể hoàn thành mà thiếu một vài trích dẫn huyền bí, một số nỗ
lực liên hệ tính lưỡng tính của thế giới hạ nguyên tử với thế
giới hằng ngày quanh ta. Nhưng giống cũng như Einstein
hoang mang về lượng tử sáng trong nhiều năm liền mà không
thu được gì, chúng ta chỉ còn lại lòng biết ơn với thế giới
lượng tử vốn trái ngược với trực giác thông thường. Theo
cách nói của Richard Feynman: "Các vật nhỏ bé không cư xử
như những kinh nghiệm trực quan của bạn. Chúng không như
sóng. Chúng cũng không như hạt. Chúng cũng không cư xử
như các đám mây hay như các quả bóng bida hoặc quả nặng
treo trên lò xo hay như bất cứ cái gì bạn từng biết".
Lời cảm ơn (của tác giả bài giảng)
Trong việc viết bài báo này, cả tiến sĩ David Mills và TS.
David Arnold đều là vô giá. TS. Mills đã chỉ tôi các nguồn tài
liệu thích hợp liên quan tới phương trình sóng Schrodinger và
kiên nhẫn giải đáp những câu hỏi của tôi về vật lý lượng tử.
Còn Dave Arnold đã cho phép tôi tự do thay đổi chủ đề một
chút của lớp học phương trình vi phân. Tôi nghĩ, kết quả này
có giá trị đấy. Thêm vào đó, các ảnh động GIF được sử dụng
để minh hoạ vài điểm then chốt lấy từ Saunders Interactive
Chemistry CD-ROM. Tuy vậy, chúng là dạng quicktime
movies và tôi đã chuyển chúng thành GIF động cho bài báo
này.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Feynman, Richard P. Six Easy Peices: The Feynman Lectures
on Physics, New York, New York: Addison-Wesley, 1994.
[2] Knight, Randall D. Physics: A Contemporary Perspective.
Preliminary Edition, New York, New York: Addison-Wesley,
1997.
[3] Kotz, John C. and Vininng, William J. Saunders Interactive
Chemistry CD-ROM, Harcourt Brace & Co., 1996.
[4] Kotz, John C. and Treichel, Paul, Chemistry and Chemical
Reactivity, Third Edition. Harcourt Brace & Co., 1996.
[5] Tipler, Paul. Physics for Scientists and Engineers, Volume II.
Third Edition. New York, New York: Worth Publishing, 1991.
1
Hình ảnh minh họa là ảnh động có thể xem tại http://online.redwoods.edu/depts/science/chem/storage/Schrod/elecwave.gif
2
Xin vui lòng xem ảnh minh hoạt tại http://online.redwoods.edu/depts/science/chem/storage/Schrod/swave.gif