Komputasi untuk Sains dan Teknik

Komputasi untuk Sains dan Teknik
-Menggunakan Matlab-

Supriyanto Suparno
( Website: http://supriyanto.ﬁsika.ui.ac.id )
( Email: supri@ﬁsika.ui.ac.id atau supri92@gmail.com )
Edisi IV
Revisi terakhir tgl: 23 Desember 2011

Departemen Fisika-FMIPA, Univeristas Indonesia
Dipublikasikan pertama kali pada September 2007

Untuk
Muﬂih Syamil
Hasan Azmi
Farah Raihanah
Nina Marliyani

Usia bukan ukuran kedewasaan
(Supriyanto, 2006)

Ketekunan adalah jalan yang terpercaya untuk mengantarkan kita menuju kesuksesan
(Supriyanto, 2007)

Kata Pengantar

Perubahan adalah suatu keniscayaan. Aksioma itu berlaku juga pada buku ini — yang mulai
ditulis pada tahun 2005. Mulai 24 juli 2010, edisi ke-4 ini diluncurkan dalam rangka mengubah
sasaran tujuan dari buku edisi ke-3.
Penekanan penulisan edisi ke-3 adalah ingin memperkenalkan sebanyak mungkin metode
numerik kepada mahasiswa tingkat sarjana di Departemen Fisika, Universitas Indonesia. Hasil
evaluasi proses perkuliahan menunjukkan bahwa diskusi matematis terlalu dominan dibandingkan diskusi aplikasi metode numerik pada masalah ﬁsika. Oleh karena itu saya memutuskan untuk memperbesar porsi pembahasan aplikasi metode numerik sehingga beberapa
metode numerik yang diulas pada edisi ke-3 dengan sengaja dihilangkan dalam edisi ke-4 ini.
Rujukan utama buku edisi-4 ini tetap bersumber pada buku teks standar yang sangat populer di dunia komputasi, yaitu buku yang ditulis oleh Richard L. Burden dan J. Douglas Faires
dengan judul Numerical Analysis edisi ke-7, diterbitkan oleh Penerbit Brooks/Cole, Thomson
Learning Academic Resource Center. Namun demikian, buku ini telah dilengkapi dengan sejumlah contoh aplikasi komputasi pada upaya penyelesaian problem-problem ﬁsika.
Walaupun buku ini masih jauh dari sempurna, namun semoga ia dapat menyumbangkan
kontribusi yang berarti untuk kebangkitan ilmu pengetahuan pada diri anak bangsa Indonesia
yang saat ini sedang terpuruk. Saya wariskan buku ini untuk siswa dan mahasiswa Indonesia
dimanapun mereka berada. Anda berhak memanfaatkan buku ini. Saya izinkan anda untuk
meng-copy dan menggunakan buku ini selama itu ditujukan untuk belajar dan bukan untuk tujuan komersial. Bagi yang ingin berdiskusi, memberikan masukan, kritikan dan saran, silakan
dikirimkan ke email: supri92@gmail.com
Akhirnya saya ingin mengucapkan rasa terima kasih yang tak terhingga kepada Dede
A
Djuhana yang telah berkenan memberikan format L TEX-nya sehingga tampilan tulisan pada

buku ini benar-benar layaknya sebuah buku yang siap dicetak. Tak lupa, saya pun berterima kasih kepada seluruh mahasiswa yang telah mengambil mata kuliah Komputasi Fisika
dan Anaisis Numerik di Departemen Fisika, FMIPA, Universitas Indonesia atas diskusi yang
berlangsung selama kuliah. Kepada seluruh mahasiswa dari berbagai universitas di Timur dan
di Barat Indonesia juga saya ungkapkan terima kasih atas pertanyaan-pertanyaan yang turut
memperkaya isi buku ini.

Depok, 24 Juli 2010
Supriyanto Suparno

iii

Daftar Isi

Lembar Persembahan

i

Kata Pengantar

iii

Daftar Isi

iii

Daftar Gambar

viii

Daftar Tabel

x

1 Pendahuluan

1

1.1

Inisialisasi variabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Perhitungan yang berulang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3

Mengenal cara membuat grafik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.4

Baris-baris pembuka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.5

Membuat 2 grafik dalam satu gambar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.6

Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2 Matrik dan Komputasi

15

2.1

Mengenal matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.2

Vektor-baris dan vektor-kolom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.3

Inisialisasi matrik dalam memori komputer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.4

Macam-macam matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.4.1

Matrik transpose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.4.2

Matrik bujursangkar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.4.3

Matrik simetrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.4.4

Matrik diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.4.5

Matrik identitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.4.6

Matrik upper-triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.4.7

Matrik lower-triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.4.8

Matrik tridiagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.4.9

Matrik diagonal dominan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.4.10 Matrik positive-definite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Operasi matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.5.1

Penjumlahan matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.5.2

Komputasi penjumlahan matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.5.3

Perkalian matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.5.4

Komputasi perkalian matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.5

v

vi
2.5.5

Perkalian matrik dan vektor-kolom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.5.6

Komputasi perkalian matrik dan vektor-kolom . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.6

Penutup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.7

Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

3 Fungsi

41

3.1

Fungsi internal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

3.2

Fungsi eksternal penjumlahan matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

3.3

Fungsi eksternal perkalian matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.4

Fungsi eksternal perkalian matrik dan vektor-kolom . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

3.5

Penutup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

3.6

Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

4 Integral Numerik

51

4.1

Metode Trapezoida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

4.2

Metode Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

4.3

Peran faktor pembagi, n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

4.3.1

Source code metode integrasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

4.4

Metode Composite-Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

4.5

Adaptive Quardrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

4.6

Gaussian Quadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

4.6.1

Contoh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

4.6.2

Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

5 Diferensial Numerik

61

5.1

Metode Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

5.2

Metode Runge Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

5.2.1

Aplikasi: Pengisian muatan pada kapasitor . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

5.3

Latihan I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

5.4

Metode Finite Difference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

5.4.1

Script Finite-Difference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

5.4.2

Aplikasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

5.5

Latihan II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

5.6

Persamaan Diferensial Parsial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

5.7

PDP eliptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

5.7.1

Contoh pertama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

5.7.2

Script Matlab untuk PDP Elliptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

5.7.3

Contoh kedua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

PDP parabolik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

5.8.1

Metode Forward-difference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

5.8.2

Contoh ketiga: One dimensional heat equation . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

5.8.3

Metode Backward-difference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.8

vii
5.8.4
5.9

Metode Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

PDP Hiperbolik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.9.1

Contoh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.10 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6 Metode Iterasi

113

6.1

Kelebihan Vektor-kolom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.2

Pengertian Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.2.1
6.2.2

Script perhitungan norm tak hingga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6.2.3
6.3

Script perhitungan norm dua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Perhitungan norm-selisih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Iterasi Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.3.1
6.3.2

Stopping criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.3.3
6.4

Script metode iterasi Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Fungsi eksternal iterasi Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Iterasi Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.4.1
6.4.2

Algoritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

6.4.3
6.5

Script iterasi Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Script iterasi Gauss-Seidel dalam Fortran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Iterasi dengan Relaksasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.5.1

Algoritma Iterasi Relaksasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

7 Metode Eliminasi Gauss

143

7.1

Sistem persamaan linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

7.2

Teknik penyederhanaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7.2.1
7.2.2

7.3

Cara menghilangkan sebuah variabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Permainan indeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

Triangularisasi dan Substitusi Mundur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.3.1
7.3.2

7.4

Contoh pertama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Contoh kedua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Matrik dan Eliminasi Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.4.1

Matrik Augmentasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

7.4.2

Penerapan pada contoh pertama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

7.4.3

Source-code dasar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

7.4.4

Optimasi source code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

7.4.5

Pentingnya nilai n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

7.4.6

Jangan puas dulu.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

7.4.7

Pivoting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

7.5

Function Eliminasi Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

7.6

Contoh aplikasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
7.6.1

Menghitung arus listrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

7.6.2

Mencari invers matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

viii
7.7

Penutup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

8 Aplikasi Eliminasi Gauss pada Masalah Inversi
8.1

Inversi Model Garis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
8.1.1

8.2

177

Script matlab inversi model garis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

Inversi Model Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
8.2.1

Script matlab inversi model parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

8.3

Inversi Model Bidang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

8.4

Contoh aplikasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
8.4.1

Menghitung gravitasi di planet X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

9 Metode LU Decomposition

195

9.1

Faktorisasi matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

9.2

Algoritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

10 Interpolasi

205

10.1 Interpolasi Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
10.2 Interpolasi Cubic Spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
11 Metode Newton

217

11.1 Deﬁnisi akar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
11.2 Metode Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
11.3 Script metode Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
11.4 Fungsi ber-input vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
11.5 Fungsi ber-output vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
11.6 Fungsi ber-output matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
11.7 Metode Newton untuk sistem persamaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
11.8 Aplikasi: Mencari pusat gempa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
12 Metode Monte Carlo

229

12.1 Penyederhanaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
13 Inversi

233

13.1 Inversi Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
13.2 Inversi Non-Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
Daftar Pustaka

238

14 Lampiran

241

14.1 Script Iterasi Jacobi, jcb.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
14.2 Script Iterasi Gauss-Seidel, itgs.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
Indeks

243

Daftar Gambar

1.1

Data perubahan kecepatan terhadap waktu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Data perubahan kecepatan terhadap waktu dengan keterangan gambar . . . . .

4

1.3

Grafik gelombang berfrekuensi 5 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4

Grafik yang dilengkapi dengan keterangan sumbu-x dan sumbu-y serta judul . .

7

1.5

Grafik yang dilengkapi dengan font judul 14pt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.6

Dua buah grafik dalam sebuah gambar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.7

Tiga buah grafik dalam sebuah gambar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

4.1

Metode Trapezoida. Gambar sebelah kiri menunjukkan kurva fungsi f (x) dengan batas
bawah integral adalah a dan batas atas b. Gambar sebelah kanan menunjukan cara
metode Trapesoida menghitung integral dengan cara menghitung luas area integrasi,
dimana luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f (x) dalam
batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan teliti, ada area kecil dibawah garis
kurva dan diatas garis miring yang berada diluar bidang trapesium. Metode Trapesoida
tidak menghitung luas area kecil tersebut. Disinilah letak kelemahan metode trapezoida.

4.2

52

Metode Simpson. Gambar sebelah kiri menunjukkan kurva fungsi f (x) dengan batas
bawah integral adalah a dan batas atas b. Gambar sebelah kanan menunjukan cara
metode Simpson menghitung luas area integrasi, dimana area integrasi di bawah kurva

4.3

f (x) dibagi 2 dalam batas interval a − x1 dan x1 − b dengan lebar masing-masing adalah h 53
Metode Composite Simpson. Kurva fungsi f (x) dengan batas bawah integral adalah a
dan batas atas b. Luas area integrasi dipecah menjadi 8 area kecil dengan lebar masingmasing adalah h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1

56

Kiri: Kurva y(t) dengan pasangan titik absis dan ordinat dimana jarak titik absis sebesar h. Pasangan t1 adalah y(t1 ), pasangan t2 adalah y(t2 ), begitu seterusnya. Kanan:
Garis singgung yang menyinggung kurva y(t) pada t=a, kemudian berdasarkan garis
singgung tersebut, ditentukan pasangan t1 sebagai w1 . Perhatikan gambar itu sekali
lagi! w1 dan y(t1 ) beda tipis alias tidak sama persis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2

62

Kurva biru adalah solusi exact, dimana lingkaran-lingkaran kecil warna biru pada kurva
menunjukkan posisi pasangan absis t dan ordinat y(t) yang dihitung oleh Persamaan
(5.9). Sedangkan titik-titik merah mengacu pada hasil perhitungan metode euler, yaitu
nilai wi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3

66

Kurva biru adalah solusi exact, dimana lingkaran-lingkaran kecil warna biru pada kurva
menunjukkan posisi pasangan absis t dan ordinat y(t) yang dihitung oleh Persamaan
(5.9). Sedangkan titik-titik merah mengacu pada hasil perhitungan metode Runge Kutta
orde 4, yaitu nilai wi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ix

70

DAFTAR GAMBAR

x
5.4

Rangkaian RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

5.5

Kurva pengisian muatan q (charging) terhadap waktu t . . . . . . . . . . . . . . .

76

5.6

Kurva suatu fungsi f (x) yang dibagi sama besar berjarak h. Evaluasi kurva yang
dilakukan Finite-Difference dimulai dari batas bawah X0 = a hingga batas atas
x6 = b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

5.7

Skema grid lines dan mesh points pada aplikasi metode Finite-Difference . . . . . .

88

5.8

Susunan grid lines dan mesh points untuk mensimulasikan distribusi temperatur
pada lempeng logam sesuai contoh satu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.9

90

Sebatang logam dengan posisi titik-titik simulasi (mesh-points) distribusi temperatur.
Jarak antar titik ditentukan sebesar h = 0, 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

5.10 Interval mesh-points dengan jarak h = 0, 1 dalam interval waktu k = 0, 0005 . . . . . . .

97

5.11 Posisi mesh-points. Arah x menunjukkan posisi titik-titik yang dihitung dengan forwarddifference, sedangkan arah t menunjukkan perubahan waktu yg makin meningkat . . . .

98

8.1

Sebaran data observasi antara suhu dan kedalaman . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

8.2

Kurva hasil inversi data observasi antara suhu dan kedalaman . . . . . . . . . . . 181

8.3

Kurva hasil inversi data observasi antara suhu dan kedalaman . . . . . . . . . . . 186

8.4

Grafik data pengukuran gerak batu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

8.5

Grafik hasil inversi parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

10.1 Sejumlah titik terdistribusi pada koordinat kartesian. Masing-masing titik memiliki pasangan koordinat (x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
10.2 Kurva interpolasi cubic spline yang menghubungkan semua titik . . . . . . . . . 209
10.3 Sejumlah polinomial cubic yaitu S0 , S1 , S2 ... dan seterusnya yang saling sambungmenyambung sehingga mampu menghubungkan seluruh titik . . . . . . . . . . . 209
10.4 Profil suatu object . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
10.5 Sampling titik data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
10.6 Hasil interpolasi cubic spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
10.7 Hasil interpolasi lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
11.1 Fungsi dengan dua akar yang ditandai oleh lingkaran kecil berwarna merah,
yaitu pada x = −2 dan x = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

11.2 Fungsi dengan satu akar yang ditandai oleh lingkaran kecil berwarna merah,

yaitu pada x = −1, 2599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
12.1 Lingkaran dan bujursangkar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
12.2 Dart yang menancap pada bidang lingkaran dan bujursangkar . . . . . . . . . . . 230
12.3 Dart yang menancap pada bidang 1/4 lingkaran dan bujursangkar . . . . . . . . 231

Daftar Tabel

4.1

Polinomial Legendre untuk n=2,3,4 dan 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1

Solusi yang ditawarkan oleh metode euler wi dan solusi exact y(ti ) serta selisih
antara keduanya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2

70

Perbandingan antara hasil perhitungan numerik lewat metode Runge Kutta dan
hasil perhitungan dari solusi exact, yaitu persamaan (5.16) . . . . . . . . . . . . .

5.4

65

Solusi yang ditawarkan oleh metode Runge Kutta orde 4 (wi ) dan solusi exact
y(ti ) serta selisih antara keduanya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3

58

75

Hasil simulasi distribusi panas bergantung waktu dalam 1-dimensi. Kolom ke-2 adalah
solusi analitik/exact, kolom ke-3 dan ke-5 adalah solusi numerik forward-difference. Kolom
ke-4 dan ke-6 adalah selisih antara solusi analitik dan numerik . . . . . . . . . . . . . . 101

5.5

Hasil simulasi distribusi panas bergantung waktu dalam 1-dimensi dengan metode backwarddifference dimana k = 0, 01

5.6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Hasil simulasi distribusi panas bergantung waktu (t) dalam 1-dimensi dengan
metode backward-difference dan Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.1

Hasil akhir elemen-elemen vektor x hingga iterasi ke-10 . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.2

Hasil perhitungan norm2-selisih hingga iterasi ke-10 . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.3

Hasil Iterasi Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

6.4

Hasil perhitungan iterasi Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

6.5

Hasil perhitungan iterasi Relaksasi dengan ω = 1, 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

8.1

Data suhu bawah permukaan tanah terhadap kedalaman . . . . . . . . . . . . . . 177

8.2

Data suhu bawah permukaan tanah terhadap kedalaman . . . . . . . . . . . . . . 182

8.3

Data ketinggian terhadap waktu dari planet X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

11.1 Data Gempa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

xi

Bab 1

Pendahuluan

Objektif :
⊲ Mengenal cara inisialisasi variabel.
⊲ Mengenal operasi matematika.
⊲ Mengenal fungsi-fungsi dasar.
⊲ Mengenal cara membuat graﬁk.

1.1

Inisialisasi variabel

Salah satu perbedaan utama antara komputer dan kalkulator adalah pemanfaatan variabel
dalam proses perhitungan. Kebanyakan kalkulator tidak menggunakan variabel dalam proses
perhitungan; sebaliknya, komputer sangat memanfaatkan variable dalam proses perhitungan.
Misalnya kita ingin mengalikan 2 dengan 3. Dengan kalkulator, langkah pertama yang
akan kita lakukan adalah menekan tombol angka 2, kemudian diikuti menekan tombol ×, lalu
menekan tombol angka 3, dan diakhiri dengan menekan tombol =; maka keluarlah hasilnya

berupa angka 6. Kalau di komputer, proses perhitungan seperti ini dapat dilakukan dengan
memanfaatkan variabel. Pertama-tama kita munculkan sebuah variabel yang diinisialisasi1
dengan angka 2, misalnya A = 2. Kemudian kita munculkan variabel lain yang diinisialisasi
dengan angka 3, misalnya B = 3. Setelah itu kita ketikkan A ∗ B; maka pada layar monitor

akan tampil angka 6. Bahkan kalau mau, hasil perhitungannya dapat disimpan dalam variabel
yang lain lagi, misalnya kita ketiikan C = A ∗ B; maka hasil perhitungan, yaitu angka 6 akan

disimpan dalam variable C. Script2 matlab untuk melakukan proses perhitungan seperti itu
adalah sebagai berikut
A = 2;
B = 3;
C = A * B
1
2

inisialisasi adalah proses memberi nilai awal pada suatu variabel
Script adalah daftar baris-baris perintah yang akan dikerjakan (di-eksekusi) oleh komputer

1

BAB 1. PENDAHULUAN

2

Nama suatu variabel tidak harus hanya satu huruf, melainkan dapat berupa sebuah kata.
Misalnya kita ingin menyatakan hukum Newton kedua, yaitu F = ma, dimana m adalah massa, a adalah percepatan dan F adalah gaya. Maka, script matlab dapat ditulis seperti berikut
ini
massa = 2;
percepatan = 3;
gaya = massa * percepatan

Atau bisa jadi kita memerlukan variabel yang terdiri atas dua patah kata. Dalam hal ini, kedua
kata tadi mesti dihubungkan dengan tanda underscore. Misalnya begini
besar_arus = 2;
beda_potensial = 3;
nilai_hambatan = beda_potensial / besar_arus

Semua contoh di atas memperlihatkan perbedaan yang begitu jelas antara penggunaan
komputer dan kalkulator dalam menyelesaikan suatu perhitungan. Saya akan tunjukkan perbedaan yang lebih tegas lagi pada bagian berikut ini.

1.2

Perhitungan yang berulang

Di dalam matlab, suatu variabel dapat diinisialisasi dengan urutan angka. Misalnya jika variabel t hendak diinisialisasi dengan sejumlah angka yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dan 10, caranya
sangat mudah, cukup dengan mengetikkan
t = 0:10;

Angka 0 pada script di atas merupakan nilai awal; sedangkan angka 10 adalah nilai akhir.
Contoh lainnya, jika anda hanya menginginkan bilangan genap-nya saja, cukup ketikkan
t = 0:2:10;

Disini, angka 2 bertindak sebagai nilai interval dari 0 sampai 10. Sehingga angka-angka yg
muncul hanyalah 0, 2, 4, 6, 8 dan 10. Andaikata anda menginginkan urutan angka yang terbalik, maka yang perlu anda lakukan adalah
t = 10:-2:0;

sehinggan angka yang muncul adalah 10, 8, 6, 4, 2 dan 0. Adakalanya proses perhitungan
meminta kita untuk memulainya dari angka kurang dari nol, misalnya
t = -10:3:4;

maka angka-angka yang tersimpan pada variabel t adalah -10, -7, -4, -1 dan 2.
Dengan adanya kemampuan dan sekaligus kemudahan inisialisasi urutan angka seperti
ini, maka memudahkan kita melakukan perhitungan yang berulang. Sebagai contoh, kita ingin mensimulasikan perubahan kecepatan mobil balap yang punya kemampuan akselerasi 2
m/dt2 . Rumus gerak lurus berubah beraturan sangat memadai untuk maksud tersebut
v = vo + at

(1.1)

1.3. MENGENAL CARA MEMBUAT GRAFIK

3

Jika kita hendak mengamati perubahan kecepatan mobil balap dari detik pertama disaat
sedang diam hingga detik ke-5, kita dapat menghitung perubahan tersebut setiap satu detik,
yaitu
pada t = 1

⇒

v1 = (0) + (2)(1)

⇒ 2m/dt

pada t = 2

⇒

v2 = (0) + (2)(2)

⇒ 4m/dt

pada t = 3

⇒

v3 = (0) + (2)(3)

⇒ 6m/dt

pada t = 4

⇒

v4 = (0) + (2)(4)

⇒ 8m/dt

pada t = 5

⇒

v5 = (0) + (2)(5)

⇒ 10m/dt

Script matlab untuk tujuan di atas adalah
a = 2;
t = 1:5;
vo = 0;
v = vo + a * t

Jarak tempuh mobil juga dapat ditentukan oleh persamaan berikut
1
s = vo t + at2
2

(1.2)

Untuk menentukan perubahan jarak tempuh tersebut, script sebelumnya mesti ditambah satu
baris lagi
1
2
3
4

a = 2;
t = 1:5;
vo = 0;
s = vo * t + 1/2 * a * t.^2

Ada hal penting yang perlu diperhatikan pada baris ke-4 di atas, yaitu penempatan tanda
ˆ
titik pada t.2. Maksud dari tanda titik adalah setiap angka yang tersimpan pada variabel t
ˆ
harus dikuadratkan. Jika anda lupa menempatkan tanda titik, sehingga tertulis t2, maka script
tersebut tidak akan bekerja.

1.3

Mengenal cara membuat graﬁk

Seringkali suatu informasi lebih mudah dianalisis setelah informasi tersebut ditampilkan dalam
bentuk graﬁk. Pada contoh mobil balap tadi, kita bisa menggambar data perubahan kecepatan
mobil terhadap waktu dengan menambahkan satu baris lagi seperti ditunjukkan oleh script
dibawah ini
1
2
3
4
5

a = 2;
t = 1:5;
vo = 0;
v = vo + a * t
plot(t,v,’o’)

BAB 1. PENDAHULUAN

4
10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Gambar 1.1: Data perubahan kecepatan terhadap waktu
Jika script tersebut di-run, akan muncul Gambar 1.1. Untuk melengkapi keterangan gambar,
beberapa baris perlu ditambahkan

2
3
4
5
6
7
8

a = 2;
t = 1:5;
vo = 0;
v = vo + a * t;
plot(t,v,’o’);
xlabel(’Waktu (dt)’);
ylabel(’Kecepatan (m/dt)’)
title(’Data Kecepatan vs Waktu’)

Data Kecepatan vs Waktu
10
9
8
Kecepatan (m/dt)

1

7
6
5
4
3
2

1

1.5

2

2.5

3
Waktu (dt)

3.5

4

4.5

5

Gambar 1.2: Data perubahan kecepatan terhadap waktu dengan keterangan gambar

1.4. BARIS-BARIS PEMBUKA

1.4

5

Baris-baris pembuka

Ketika anda membuat script di komputer, anda mesti menyadari bahwa script yang sedang
anda buat akan memodifikasi isi memory komputer. Oleh karena itu saya menyarankan agar
sebelum kalkulasi anda bekerja, maka anda harus pastikan bahwa memory komputer dalam
keadaan bersih. Cara membersihkannya, di dalam matlab, adalah dengan menuliskan perintah clear. Alasan yang sama diperlukan untuk membersihkan gambar dari layar monitor.
Untuk maksud ini, cukup dengan menuliskan perintah close. Sedangkan untuk membersihkan
teks atau tulisan di layar monitor, tambahkan saja perintah clc. Saya biasa meletakkan ketiga
perintah tersebut pada baris-baris awal sebagai pembukaan bagi suatu script matlab. Inilah
contohnya,
1
2
3

clear
close
clc

4
5
6
7
8
9
10
11
12

a = 2;
t = 1:5;
vo = 0;
v = vo + a * t;
plot(t,v,’o’);
xlabel(’Waktu (dt)’);
ylabel(’Kecepatan (m/dt)’)
title(’Data Kecepatan vs Waktu’)

1.5

Membuat 2 grafik dalam satu gambar

Misalnya, sebuah gelombang dinyatakan oleh persamaan
y = A sin(2πf t + θ)
dimana A = amplitudo; f = frekuensi; t = waktu; θ = sudut fase gelombang. Jika suatu gelombang beramplitudo 1 memiliki frekuensi tunggal 5 Hz dan sudut fase-nya nol, maka script
untuk membuat grafik gelombang tersebut adalah
1
2
3

clc
clear
close

4
5
6
7
8
9

A = 1; % amplitudo
f = 5; % frekuensi
theta = 0; % sudut fase gelombang
t = 0:0.001:1; % t_awal = 0; t_akhir = 1; interval = 0.001
y = A * sin(2*pi*f*t + theta); % persamaan gelombang

10
11

plot(t,y)

% menggambar grafik persamaan gelombang

Grafik di atas muncul karena ada fungsi plot(t,y) yang diletakkan dibaris paling akhir pada
script. Modifikasi script perlu dilakukan untuk memberi penjelasan makna dari sumbu-x dan
sumbu-y serta memberikan judul grafik

BAB 1. PENDAHULUAN

6

1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Gambar 1.3: Grafik gelombang berfrekuensi 5 Hz

1
2
3

clc
clear
close

4
5
6
7
8
9

A = 1; % amplitudo
f = 5; % frekuensi
theta = 0; % sudut fase gelombang
t = 0:0.001:1; % t_awal = 0; t_akhir = 1; interval = 0.001
y = A * sin(2*pi*f*t + theta); % persamaan gelombang

10
11
12
13
14

plot(t,y) % menggambar grafik persamaan gelombang
xlabel(’Waktu, t (detik)’);
% melabel sumbu-x
ylabel(’Amplitudo’);
% melabel sumbu-y
title(’Gelombang berfrekuensi 5 Hz’); % judul grafik

Untuk memperbesar font judul grafik, tambahkan kata fontsize(14) pada title(), contohnya
title(’fontsize{14} Gelombang berfrekuensi 5 Hz’); % judul grafik

Bila kita perlu menggambar dua buah grafik, contoh script berikut ini bisa digunakan
1
2
3

clc
clear
close

4
5

t = 0:0.001:1;

% t_awal = 0; t_akhir = 1; interval = 0.001

6
7
8
9
10

A1 = 1; % amplitudo gelombang 1
f1 = 5; % frekuensi gelombang 1
theta1 = 0; % sudut fase gelombang 1
y1 = A1 * sin(2*pi*f1*t + theta1); % persamaan gelombang 1

11
12
13

A2 = 1;
f2 = 3;

% amplitudo gelombang 2
% frekuensi gelombang 2

1.5. MEMBUAT 2 GRAFIK DALAM SATU GAMBAR

7

Gelombang berfrekuensi 5 Hz
1
0.8
0.6

Amplitudo

0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5
Waktu, t (detik)

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Gambar 1.4: Graﬁk yang dilengkapi dengan keterangan sumbu-x dan sumbu-y serta judul

1
0.8
0.6

Amplitudo

0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5
Waktu, t (detik)

0.6

0.7

0.8

Gambar 1.5: Graﬁk yang dilengkapi dengan font judul 14pt

0.9

1

BAB 1. PENDAHULUAN

8
14
15

theta2 = pi/4; % sudut fase gelombang 2

16
17

figure

18
19
20
21
22
23

subplot(2,1,1)
plot(t,y1) % menggambar grafik persamaan gelombang 1
title(’fontsize{14} Gelombang berfrekuensi 5 Hz’);

24
25
26
27
28
29

subplot(2,1,2)
title(’fontsize{14} Gelombang berfrekuensi 3 Hz, fase pi/4’);

Amplitudo

1
0.5
0
−0.5
−1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5
Waktu, t (detik)

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.8

0.9

1

Gelombang berfrekuensi 3 Hz, fase pi/4
Amplitudo

1
0.5
0
−0.5
−1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5
Waktu, t (detik)

0.6

0.7

Gambar 1.6: Dua buah graﬁk dalam sebuah gambar
Sekarang, jika kita ingin melihat tampilan superposisi kedua gelombang di atas, maka script
berikut ini bisa digunakan
1
2
3

clc
clear
close

4
5

t = 0:0.001:1;

% t_awal = 0; t_akhir = 1; interval = 0.001

6
7
8
9
10

theta1 = 0; % sudut fase gelombang 1

11
12
13
14
15

theta2 = pi/4; % sudut fase gelombang 2

1.5. MEMBUAT 2 GRAFIK DALAM SATU GAMBAR

9

16
17

y3 = y1 + y2;

% superposisi gelombang

18
19

figure

20
21
22
23
24
25

subplot(3,1,1)
title(’fontsize{14} Gelombang berfrekuensi 5 Hz’);

26
27
28
29
30
31

subplot(3,1,2)
title(’fontsize{14} Gelombang berfrekuensi 3 Hz, fase pi/4’);

32

36
37

Amplitudo

35

subplot(3,1,3)
plot(t,y3) % menggambar grafik superposisi gelombang
title(’fontsize{14} Superposisi gelombang 5 Hz dan 3 Hz’);

1
0
−1

0

0.2

0.4
0.6
Waktu, t (detik)

0.8

1

Gelombang berfrekuensi 3 Hz, fase pi/4
Amplitudo

34

1
0
−1

0

0.2

0.4
0.6
Waktu, t (detik)

0.8

1

Superposisi gelombang 5 Hz dan 3 Hz
Amplitudo

33

2
0
−2

0

0.2

0.4
0.6
Waktu, t (detik)

0.8

Gambar 1.7: Tiga buah graﬁk dalam sebuah gambar

1

BAB 1. PENDAHULUAN

10

1.6

Latihan

1. Jarak tempuh mobil balap yang bergerak dengan percepatan 2 m/dt2 dari posisi diam
ditentukan oleh rumus berikut

1
s = vo t + at2
2

Buatlah script untuk menggambarkan graﬁk jarak tempuh terhadap waktu dimulai dari
t = 0 hingga t = 20 dt.
2. Sebuah elektron memasuki area yang dipengaruhi oleh medan listrik seperti gambar
berikut dimana diketahui besar muatan elektron = 1,6×10−19 C, massa elektron = 9,11×10−31

kg, kecepatan v = 3×106 m/dt, kuat medan listrik E = 200 N/C , dan panjang plat ℓ = 0,1
meter. Posisi koordinat elektron memenuhi persamaan
x = vt

y=−

1 eE 2
t
2 m

dimana percepatan

a=

eE
m

Buatlah script untuk menentukan variasi posisi elektron (x, y) terhadap waktu (t), mulai
dari t = 0 detik hingga t = 3,33×10−8 detik dengan interval waktu 3,33×10−10 detik.
3. Berkali-kali bola ditendang dari depan gawang ke tengah lapangan oleh penjaga gawang
yang sedang berlatih. Misalnya bola ditendang sedemikian rupa sehingga bola selalu
bergerak dengan kecepatan awal 5 m/dt. Diketahui konstanta gravitasi adalah 9,8 m/dt2 .
(a) Plot variasi ketinggian maksimum bola bila sudut tendangan bervariasi dari 30o
hingga 60o dengan interval 5o . Persamaan untuk menghitung ketinggian maksimum adalah
hmaks =

2
vo sin2 α
2g

(1.3)

(b) Plot variasi jangkauan maksimum bola bila sudut tendangan bervariasi dari 30o
hingga 60o dengan interval 5o . Persamaan untuk menghitung jangkauan maksimum
adalah
xmaks =

2
vo sin 2α
g

(c) Buatlah fungsi eksternal untuk masing-masing persamaan di atas.

(1.4)

1.6. LATIHAN

11

4. Sebuah bola konduktor pejal memiliki jari-jari sebesar 0,75 meter. Kuat medan listrik
yang terukur pada permukaan kulit bola diketahui sebesar 890 N/C dan mengarah ke
pusat bola. Dengan memanfaatkan hukum Gauss, tentukan:
(a) Tuliskan script matlab untuk menggambarkan kurva kuat medan listrik vs jarak,
mulai dari 0 meter hingga 10 meter.
(b) Plot gambar kurva-nya
5. Tuliskan sebuah script untuk menggambar superposisi gelombang yang terbentuk dari 9
gelombang berfrekuensi 9 Hz, 18 Hz, 27 Hz, 35 Hz, 47 Hz, 57 Hz, 65 Hz, 74 Hz dan 82
Hz.
6. Sebuah kapasitor 8 µF dan sebuah induktor sebesar 25 mH, masing-masing dihubungkan
ke sumber tegangan bolak-balik 150 Volt dengan frekuensi 60 Hz.

(a) Tentukan nilai reaktansi kapasitif pada rangkaian (a); dan reaktansi induktif pada
rangkaian (b).
(b) Tuliskan script matlab untuk menggambarkan kurva arus dan tegangan pada rangkaian (a); kemudian plot gambar kurva-nya.
(c) Tuliskan script matlab untuk menggambarkan kurva arus dan tegangan pada rangkaian (b); kemudian plot gambar kurva-nya.
7. Muatan Q1 sebesar 4µC terletak pada x = -1; sementara Q2 = 4µC terletak pada x = 1.
Buatlah script matlab untuk tujuan:
(a) menghitung medan listrik pada x = -2
(b) menghitung medan listrik pada x = 0 (cek: dititik ini, medannya harus NOL)
(c) menghitung medan listrik pada x = 2 (cek: besar medan harus sesuai dengan point
pertanyaan (a))
(d) menghitung medan listrik pada -1 x 1 dengan interval 0.1
(e) plot kurva perhitungan di atas. (cek: nilai medan terkecil ada di x = 0; dan nilai
medan meningkat ketika mendekati x = -1 atau x = 1)
(f) menghitung medan listrik pada -10 x -1 dengan interval 0.1

BAB 1. PENDAHULUAN

12

(g) plot kurva perhitungan di atas. (cek: nilai medan harus meningkat ketika mendekati
x = -1)
(h) menghitung medan listrik pada 1 x 10 dengan interval 0.1
(i) plot kurva perhitungan di atas. (cek: nilai medan harus meningkat ketika mendekati
x = 1)
(j) plot kurva medan listrik dari x = -10 hingga x = 10 dengan interval 0.1
(a) plot kurva medan listrik dari x = -10 hingga x = 10 dengan interval 0.1
(b) menghitung medan listrik pada x = 0 (cek: dititik ini, medannya TIDAK NOL; dimanakah posisi yang medannya NOL ?)
(c) mencari titik x yang medan-nya nol pada -1 x 1
(d) mencari titik-titik x yang medannya bernilai 20000
(a) menghitung potensial listrik pada x = -2
(b) menghitung potensial listrik pada x = 0
(c) menghitung potensial listrik pada x = 2 (cek: besar potensial harus sama dengan
point pertanyaan (a))
(d) menghitung medan listrik pada -1 x 1 dengan interval 0.1
(e) plot kurva perhitungan di atas. (cek: nilai potensial listrik terkecil ada di x = 0; dan
nilai potensial listrik meningkat ketika mendekati x = -1 atau x = 1)
(f) menghitung potensial listrik pada -10 x -1 dengan interval 0.1
(g) plot kurva perhitungan di atas. (cek: nilai potensial listrik harus meningkat ketika
mendekati x = -1)
(h) menghitung potensial listrik pada 1 x 10 dengan interval 0.1
(i) plot kurva perhitungan di atas. (cek: nilai potensial harus meningkat ketika mendekati
x = 1)
(j) plot kurva potensial listrik dari x = -10 hingga x = 10 dengan interval 0.1
10. Muatan Q1 sebesar 4µC terletak pada x = -1; sementara Q2 = -20µC terletak pada x = 1.
(a) plot kurva potensial listrik dari x = -10 hingga x = 10 dengan interval 0.1
(b) menghitung potensial listrik pada x = 0

1.6. LATIHAN

13

11. Sebuah bola pejal memiliki jari-jari sebesar 0,75 meter. Kuat medan listrik yang terukur
pada permukaan bola diketahui sebesar 890 N/C dan mengarah keluar bola. Dengan
memanfaatkan hukum Gauss, tentukan:
(a) Total muatan yang terdapat pada kulit bola
(b) Apakah muatan-nya positif atau negatif ?
(c) Kuat medan listrik pada jarak 1 meter dari pusat bola
(d) Kuat medan listrik pada jarak 0,5 meter dari pusat bola
(e) Buatlah script matlab untuk menggambarkan kurva kuat medan listrik terhadap
jarak mulai dari pusat bola sampai ke jarak 3 meter

Bab 2

Matrik dan Komputasi

Objektif :
⊲ Mengenalkan matrik, vektor dan jenis-jenis matrik.
⊲ Mendeklarasikan elemen-elemen matrik ke dalam memori komputer.
⊲ Mengenalkan operasi penjumlahan dan perkalian matrik.
⊲ Membuat script operasi matrik.

2.1

Mengenal matrik

Notasi suatu matrik berukuran n x m ditulis dengan huruf besar dan dicetak tebal, misalnya
An×m . Huruf n menyatakan jumlah baris, dan huruf m jumlah kolom. Suatu matrik tersusun
atas elemen-elemen yang dinyatakan dengan huruf kecil lalu diikuti oleh angka-angka indeks,
misalnya aij . Indeks i menunjukkan posisi baris ke-i dan indeks j menentukan posisi kolom
ke-j.




a11

a12

. . . a1m


 a21
A = (aij ) =  .
 .
 .

a22
.
.
.


. . . a2m 
. 
. 
. 

(2.1)

an1 an2 . . . anm

Pada matrik ini, a11 , a12 , ..., a1m adalah elemen-elemen yang menempati baris pertama. Sementara a12 , a22 , ..., an2 adalah elemen-elemen yang menempati kolom kedua.
Contoh 1: Matrik A2×3
A=

3 8 5
6 4 7

dimana masing-masing elemennya adalah a11 = 3, a12 = 8, a13 = 5, a21 = 6, a22 = 4, dan
a23 = 7.
15

BAB 2. MATRIK DAN KOMPUTASI

16
Contoh 2: Matrik B3×2



1 3


B = 5 9
2 4

dimana masing-masing elemennya adalah b11 = 1, b12 = 3, b21 = 5, b22 = 9, b31 = 2, dan
b32 = 4.

2.2

Vektor-baris dan vektor-kolom

Notasi vektor biasanya dinyatakan dengan huruf kecil dan dicetak tebal. Suatu matrik dinamakan vektor-baris berukuran m, bila hanya memiliki satu baris dan m kolom, yang dinyatakan sebagai berikut
a = a11 a12 . . . a1m = a1 a2 . . . am

(2.2)

Sedangkan suatu matrik dinamakan vektor-kolom berukuran n, bila hanya memiliki satu kolom
dan n baris, yang dinyatakan sebagai berikut


a11





a1



   
 a21   a2 
a= . = . 
 .  .
 .  .
an1
an

2.3

(2.3)

Inisialisasi matrik dalam memori komputer

Sebelum dilanjutkan, saya sarankan agar anda mencari tahu sendiri bagaimana cara membuat
m-file di Matlab dan bagaimana cara menjalankannya. Karena semua source code yang terdapat
dalam buku ini ditulis dalam m-file. Walaupun sangat mudah untuk melakukan copy-paste, namun dalam upaya membiasakan diri menulis source code di m-file, saya anjurkan anda menulis
ulang semuanya.
Dalam Matlab terdapat 3 cara inisialisasi matrik. Cara pertama1 , sesuai dengan Contoh 1,
adalah
clear all
clc

1
2
3

A(1,1)
A(1,2)
A(1,3)
A(2,1)
A(2,2)
A(2,3)
A

4
5
6
7
8
9
10

1

=
=
=
=
=
=

3;
8;
5;
6;
4;
7;

Cara ini bisa diterapkan pada bahasa C, Fortran, Pascal, Delphi, Java, Basic, dll. Sementara cara kedua dan cara
ketiga hanya akan dimengerti oleh Matlab

2.4. MACAM-MACAM MATRIK

17

Sedangkan untuk matrik B3×2 , sesuai Contoh 2 adalah
clear all
clc

1
2
3

B(1,1)
B(1,2)
B(2,1)
B(2,2)
B(3,1)
B(3,2)
B

4
5
6
7
8
9
10

=
=
=
=
=
=

1;
3;
5;
9;
2;
4;

Cara kedua relatif lebih mudah dan benar-benar merepresentasikan dimensi matriknya, dimana jumlah baris dan jumlah kolom terlihat dengan jelas.
clear all
clc

1
2
3

A=[ 3 8 5
6 4 7 ];

4
5
6

B=[ 1 3
5 9
2 4 ];

7
8
9

Cara ketiga jauh lebih singkat, namun tidak menunjukkan dimensi matrik lantaran ditulis
hanya dalam satu baris.
clear all
clc

1
2
3

A=[ 3 8 5 ; 6 4 7 ];
B=[ 1 3 ; 5 9 ; 2 4];

4
5

2.4

Macam-macam matrik

2.4.1 Matrik transpose
Operasi transpose terhadap suatu matrik akan menukar elemen-elemen kolom menjadi elemenelemen baris. Notasi matrik tranpose adalah AT atau At .
Contoh 3: Operasi transpose terhadap matrik A

A=

3 8 5
6 4 7



3 6


AT = 8 4
5 7

Dengan Matlab, operasi transpose cukup dilakukan dengan menambahkan tanda petik tunggal di depan nama matriknya


18
1
2

clear all
clc

3
4
5

A=[ 3 8 5
6 4 7 ];

6
7

AT = A’;

2.4.2 Matrik bujursangkar
Matrik bujursangkar adalah matrik yang jumlah baris dan jumlah kolomnya sama.
Contoh 4: Matrik bujursangkar berukuran 3x3 atau sering juga disebut matrik bujursangkar
orde 3



1 3 8


A = 5 9 7
2 4 6

2.4.3 Matrik simetrik
Matrik simetrik adalah matrik bujursangkar yang elemen-elemen matrik transpose-nya bernilai sama dengan matrik asli-nya.
Contoh 5: Matrik simetrik


2 −3 7 1


−3 5 6 −2


A=
6 9 8
7

1 −2 8 10



2


−3
A =
7

T

1

−3 7

1




6 −2

6 9 8

−2 8 10
5

2.4.4 Matrik diagonal
Matrik diagonal adalah matrik bujursangkar yang seluruh elemen-nya bernilai 0 (nol), kecuali
elemen-elemen diagonalnya.
Contoh 6: Matrik diagonal orde 3

11 0

A =  0 29
0

0

0




0

61

2.4.5 Matrik identitas
Matrik identitas adalah matrik bujursangkar yang semua elemen-nya bernilai 0 (nol), kecuali
elemen-elemen diagonal yang seluruhnya bernilai 1.
Contoh 7: Matrik identitas orde 3


1 0 0


I = 0 1 0
0 0 1

2.4. MACAM-MACAM MATRIK

19

2.4.6 Matrik upper-triangular
Matrik upper-tringular adalah matrik bujursangkar yang seluruh elemen dibawah elemen diagonal bernilai 0 (nol).
Contoh 8: Matrik upper-triangular

3

0
A=
0

0


6 2 1

4 1 5

0 8 7

0 0 9

2.4.7 Matrik lower-triangular
Matrik lower-tringular adalah matrik bujursangkar yang seluruh elemen diatas elemen diagonal bernilai 0 (nol).
Contoh 9: Matrik lower-triangular

0


 32 −2 0 0


A=
8
7 11 0


−5 10 6 9


12

0

0

2.4.8 Matrik tridiagonal
Matrik tridiagonal adalah matrik bujursangkar yang seluruh elemen bukan 0 (nol) berada disekitar elemen diagonal, sementara elemen lainnya bernilai 0 (nol).
Contoh 10: Matrik tridiagonal


3 6 0 0


2 −4 1 0 

A=
0 5 8 −7


0 0 3 9
2.4.9 Matrik diagonal dominan
Matrik diagonal dominan adalah matrik bujursangkar yang memenuhi
n

|aii |

j=1,j=i

|aij |

(2.4)

dimana i=1,2,3,..n. Coba perhatikan matrik-matrik berikut ini


7 2 0


A = 3 5 −1
0 5 −6




−3


B =  4 −2 0 
−3 0
1
6

4


20

Pada elemen diagonal aii matrik A, |7| |2|+|0|, lalu |5| |3|+|−1|, dan |−6| |5|+|0|. Maka

matrik A disebut matrik diagonal dominan. Sekarang perhatikan elemen diagonal matrik B,

|6| |4| + | − 3|, | − 2| |4| + |0|, dan |1| | − 3| + |0|. Dengan demikian, matrik B bukan matrik

diagonal dominan.

2.4.10 Matrik positive-definite
Suatu matrik dikatakan positive-definite bila matrik tersebut simetrik dan memenuhi
xT Ax 0

(2.5)

Contoh 11: Diketahui matrik simetrik berikut


2


A = −1
0

−1

0

2




−1
−1 2

untuk menguji apakah matrik A bersifat positive-definite, maka

xT Ax =

x1 x2 x3

=

x1 x2 x3



 
x1

 
−1 2 −1 x2 
0 −1 2
x3


2x1 − x2


−x1 + 2x2 − x3 
−x2 + 2x3
2

−1

0

= 2x2 − 2x1 x2 + 2x2 − 2x2 x3 + 2x2
1
2
3

= x2 + (x2 − 2x1 x2 + x2 ) + (x2 − 2x2 x3 + x2 ) + x2
1
1
2
2
3
3

= x2 + (x1 − x2 )2 + (x2 − x3 )2 + x2
1
3

Dari sini dapat disimpulkan bahwa matrik A bersifat positive-definite, karena memenuhi
x2 + (x1 − x2 )2 + (x2 − x3 )2 + x2 0
1
3
kecuali jika x1 =x2 =x3 =0.

2.5

Operasi matematika

2.5.1 Penjumlahan matrik
Operasi penjumlahan pada dua buah matrik hanya bisa dilakukan bila kedua matrik tersebut
berukuran sama. Misalnya matrik C2×3
C=

9 5 3
7 2 1

2.5. OPERASI MATEMATIKA

21

dijumlahkan dengan matrik A2×3 , lalu hasilnya (misalnya) dinamakan matrik D2×3
D=A+C

3 8 5

D =

6 4 7

+

9 5 3
7 2 1

3+9 8+5 5+3

=

6+7 4+2 7+1
12 13 8

=

13

6

8

Tanpa mempedulikan nilai elemen-elemen masing-masing matrik, operasi penjumlahan antara
matrik A2×3 dan C2×3 , bisa juga dinyatakan dalam indeks masing-masing dari kedua matrik
tersebut, yaitu
d11 d12 d13
d21 d22 d23

=

a11 + c11 a12 + c12 a13 + c13
a21 + c21 a22 + c22 a23 + c23

Dijabarkan satu persatu sebagai berikut
d11 = a11 + c11
d12 = a12 + c12
d13 = a13 + c13

(2.6)

d21 = a21 + c21
d22 = a22 + c22
d23 = a23 + c23
Dari sini dapat diturunkan sebuah rumus umum penjumlahan dua buah matrik
dij = aij + cij

(2.7)

dimana i=1,2 dan j=1,2,3. Perhatikan baik-baik! Batas i hanya sampai angka 2 sementara
batas j sampai angka 3. Kemampuan anda dalam menentukan batas indeks sangat penting
dalam dunia programming.
2.5.2 Komputasi penjumlahan matrik
Berdasarkan contoh operasi penjumlahan di atas, indeks j pada persamaan (2.7) lebih cepat
berubah dibanding indeks i sebagaimana ditulis pada 3 baris pertama dari Persamaan (2.6),
d11 = a11 + c11
d12 = a12 + c12
d13 = a13 + c13


22

Jelas terlihat, ketika indeks i masih bernilai 1, indeks j sudah berubah dari nilai 1 sampai 3.
Hal ini membawa konsekuensi pada script pemrograman, dimana looping untuk indeks j harus
diletakkan di dalam looping indeks i. Aturan mainnya adalah yang looping-nya paling cepat
harus diletakkan paling dalam; sebaliknya, looping terluar adalah looping yang indeksnya
paling jarang berubah.
Bila anda masih belum paham terhadap kalimat yang dicetak tebal, saya akan berikan contoh source code dasar yang nantinya akan kita optimasi selangkah demi selangkah. OK, kita
mulai dari source code paling mentah berikut ini.
1
2

clear all
clc

3
4

A=[3 8 5; 6 4 7];

% inisialisasi matrik A

C=[9 5 3; 7 2 1];

% inisialisasi matrik B

5
6
7
8
9
10
11
12
13
14

% ---proses penjumlahan matrik---D(1,1)=A(1,1)+C(1,1);
D(1,2)=A(1,2)+C(1,2);
D(1,3)=A(1,3)+C(1,3);
D(2,1)=A(2,1)+C(2,1);
D(2,2)=A(2,2)+C(2,2);
D(2,3)=A(2,3)+C(2,3);

15
16
17
18
19

% ---menampilkan matrik A, C dan D---A
C
D

Tanda % berfungsi untuk memberikan komentar atau keterangan. Komentar atau keterangan tidak akan diproses oleh Matlab. Saya yakin anda paham dengan logika yang ada pada
bagian % —proses penjumlahan matrik—- dalam source code di atas. Misalnya pada baris ke-9,
elemen d11 adalah hasil penjumlahan antara elemen a11 dan c11 , sesuai dengan baris pertama
Persamaan 2.6.
Tahap pertama penyederhanaan source code dilakukan dengan menerapkan perintah for end untuk proses looping. Source code tersebut berubah menjadi
1
2

clear all
clc

3
4

A=[3 8 5; 6 4 7];


C=[9 5 3; 7 2 1];


5
6
7
8
9
10
11

% ---proses penjumlahan matrik---for j=1:3
D(1,j)=A(1,j)+C(1,j);
end

12
13
14
15

for j=1:3
D(2,j)=A(2,j)+C(2,j);
end


23

16
17
18
19
20

C
D

Pada baris ke-9 dan ke-13, saya mengambil huruf j sebagai nama indeks dimana j bergerak
dari 1 sampai 3. Coba anda pikirkan, mengapa j hanya bergerak dari 1 sampai 3?
Modiﬁkasi tahap kedua adalah sebagai berikut
1
2

clear all
clc

3
4

A=[3 8 5; 6 4 7];


C=[9 5 3; 7 2 1];


5
6
7
8
9
10
11
12

% ---proses penjumlahan matrik---i=1
for j=1:3
D(i,j)=A(i,j)+C(i,j);
end

13
14
15
16
17

i=2
for j=1:3
end

18
19
20
21
22

C
D

Saya gunakan indeks i pada baris ke-9 dan ke-14 yang masing-masing berisi angka 1 dan 2.
Dengan begitu indeks i bisa menggantikan angka 1 dan 2 yang semula ada di baris ke-11 dan
ke-16. Nah sekarang coba anda perhatikan, statemen pada baris ke-10, ke-11 dan ke-12 sama
persis dengan statemen pada baris ke-15, ke-16 dan ke-17, sehingga mereka bisa disatukan
kedalam sebuah looping yang baru dimana i menjadi nama indeksnya.
1
2

clear all
clc

3
4

A=[3 8 5; 6 4 7];


C=[9 5 3; 7 2 1];


5
6
7
8
9
10
11
12
13

% ---proses penjumlahan matrik---for i=1:2
for j=1:3
end
end

14
15

% ---menampilkan matrik A, C dan D----


24
16
17
18

A
C
D

Coba anda pahami dari baris ke-9, mengapa indeks i hanya bergerak dari 1 sampai 2?
Source code di atas memang sudah tidak perlu dimodiﬁkasi lagi, namun ada sedikit saran
untuk penulisan looping bertingkat dimana sebaiknya looping terdalam ditulis agak menjorok
kedalam seperti berikut ini

1
2

clear all
clc

3
4

A=[3 8 5; 6 4 7];


C=[9 5 3; 7 2 1];


5
6
7
8
9
10
11
12
13

for j=1:3
end
end

14
15
16
17
18

C
D

Sekarang anda lihat bahwa looping indeks j ditulis lebih masuk kedalam dibandingkan looping indeks i. Semoga contoh ini bisa memperjelas aturan umum pemrograman dimana yang
looping-nya paling cepat harus diletakkan paling dalam; sebaliknya, looping terluar adalah
looping yang indeksnya paling jarang berubah. Dalam contoh ini looping indeks j bergerak
lebih cepat dibanding looping indeks i.

2.5.3 Perkalian matrik
Operasi perkalian dua buah matrik hanya bisa dilakukan bila jumlah kolom matrik pertama
sama dengan jumlah baris matrik kedua. Jadi kedua matrik tersebut tidak harus berukuran
sama seperti pada penjumlahan dua matrik. Misalnya matrik A2×3 dikalikan dengan matrik
B3×2 , lalu hasilnya (misalnya) dinamakan matrik E2×2

E2×2 = A2×3 .B3×2


E =

=
=

25


1 3
3 8 5 

5 9
6 4 7
2 4

3.1 + 8.5 + 5.2 3.3 + 8.9 + 5.4
6.1 + 4.5 + 7.2 6.3 + 4.9 + 7.4
53 101
40

82

Tanpa mempedulikan nilai elemen-elemen masing-masing matrik, operasi perkalian antara
matrik A2×3 dan B3×2 , bisa juga dinyatakan dalam indeks masing-masing dari kedua matrik
tersebut, yaitu
e11 e12
e21 e22

=

a11 .b11 + a12 .b21 + a13 .b31 a11 .b12 + a12 .b22 + a13 .b32
a21 .b11 + a22 .b21 + a23 .b31 a21 .b12 + a22 .b22 + a23 .b32

Bila dijabarkan, maka elemen-elemen matrik E2×2 adalah
e11 = a11 .b11 + a12 .b21 + a13 .b31

(2.8)

e12 = a11 .b12 + a12 .b22 + a13 .b32

(2.9)

e21 = a21 .b11 + a22 .b21 + a23 .b31

(2.10)

e22 = a21 .b12 + a22 .b22 + a23 .b32

(2.11)

Sejenak, mari kita amati perubahan pasangan angka-angka indeks yang mengiringi elemen
e, elemen a dan elemen b mulai dari persamaan (2.8) sampai persamaan (2.11). Perhatikan
perubahan angka-indeks-pertama pada elemen e seperti berikut ini
e1.. = ..
e1.. = ..
e2.. = ..
e2.. = ..
Pola perubahan yang sama akan kita dapati pada angka-indeks-pertama dari elemen a
e1.. = a1.. .b... + a1.. .b... + a1.. .b...
e1.. = a1.. .b... + a1.. .b... + a1.. .b...
e2.. = a2.. .b... + a2.. .b... + a2.. .b...
e2.. = a2.. .b... + a2.. .b... + a2.. .b...
Dengan demikian kita bisa mencantumkan huruf i sebagai pengganti angka-angka indeks


26
yang polanya sama

ei.. = ai.. .b... + ai.. .b... + ai.. .b...
ei.. = ai.. .b... + ai.. .b... + ai.. .b...
ei.. = ai.. .b... + ai.. .b... + ai.. .b...
ei.. = ai.. .b... + ai.. .b... + ai.. .b...
dimana i bergerak mulai dari angka 1 hingga angka 2, atau kita nyatakan i=1,2. Selanjutnya, masih dari persamaan (2.8) sampai persamaan (2.11), marilah kita perhatikan perubahan
angka-indeks-kedua pada elemen e dan elemen b,
ei1 = ai.. .b..1 + ai.. .b..1 + ai.. .b..1
ei2 = ai.. .b..2 + ai.. .b..2 + ai.. .b..2
ei1 = ai.. .b..1 + ai.. .b..1 + ai.. .b..1
ei2 = ai.. .b..2 + ai.. .b..2 + ai.. .b..2
Dengan demikian kita bisa mencantumkan huruf j sebagai pengganti angka-angka indeks
yang polanya sama
eij = ai.. .b..j + ai.. .b..j + ai.. .b..j
dimana j bergerak mulai dari angka 1 hingga angka 2, atau kita nyatakan j=1,2. Selanjutnya,
masih dari persamaan (2.8) sampai persamaan (2.11), mari kita perhatikan perubahan angkaindeks-kedua elemen a dan angka-indeks-pertama elemen b, dimana kita akan dapati pola
sebagai berikut
eij = ai1 .b1j + ai2 .b2j + ai3 .b3j
Dan kita bisa mencantumkan huruf k sebagai pengganti angka-angka indeks yang polanya


27

sama, dimana k bergerak mulai dari angka 1 hingga angka 3, atau kita nyatakan k=1,2,3.
eij = aik .bkj + aik .bkj + aik .bkj
Kemudian secara sederhana dapat ditulis sebagai berikut

(2.12)

Selanjutnya dapat ditulis pula formula berikut
3

aik bkj

eij =

(2.13)

k=1

dimana i=1,2; j=1,2; dan k=1,2,3.
Berdasarkan contoh ini, maka secara umum bila ada matrik An×m yang dikalikan dengan matrik Bm×p , akan didapatkan matrik En×p dimana elemen-elemen matrik E memenuhi
m

aik bkj

eij =

(2.14)

k=1

dengan i=1,2,. . . ,n; j=1,2. . . ,p; dan k=1,2. . . ,m.

2.5.4 Komputasi perkalian matrik
Mari kita mulai lagi dari source code paling dasar dari operasi perkalian matrik sesuai dengan
contoh di atas.

1
2

clear all
clc

3
4
5

A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A
B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matrik B

6
7
8
9
10
11

% ---proses perkalian matrik---E(1,1)=A(1,1)*B(1,1)+A(1,2)*B(2,1)+A(1,3)*B(3,1);
E(1,2)=A(1,1)*B(1,2)+A(1,2)*B(2,2)+A(1,3)*B(3,2);
E(2,1)=A(2,1)*B(1,1)+A(2,2)*B(2,1)+A(2,3)*B(3,1);
E(2,2)=A(2,1)*B(1,2)+A(2,2)*B(2,2)+A(2,3)*B(3,2);

12
13
14
15
16

% ---menampilkan matrik A, B dan E---A
B
E


28

Sejenak, mari kita amati dengan cermat statemen dari baris ke-9 sampai ke-12 sambil dikaitkan
dengan bentuk umum penulisan indeks pada perkalian matrik yaitu

(2.15)

Dari sana ada 4 point yang perlu dicatat:
• elemen e memiliki indeks i dan indeks j dimana indeks j lebih cepat berubah dibanding
indeks i.
• pada baris statemen ke-8 sampai ke-11 ada tiga kali operasi perkalian dan dua kali operasi penjumlahan yang semuanya melibatkan indeks i, indeks j dan indeks k. Namun indeks k selalu berubah pada masing-masing perkalian. Jadi indeks k paling cepat
berubah dibanding indeks i dan indeks j.
• elemen a memiliki indeks i dan indeks k dimana indeks k lebih cepat berubah dibanding
indeks i.
• elemen b memiliki indeks k dan indeks j dimana indeks k lebih cepat berubah dibanding
indeks j.
Tahapan modiﬁkasi source code perkalian matrik tidak semudah penjumlahan matrik. Dan
mengajarkan logika dibalik source code perkalian matrik jauh lebih sulit daripada sekedar
memodiﬁkasi source code tersebut. Tapi akan saya coba semampu saya lewat tulisan ini walau
harus perlahan-lahan. Mudah-mudahan mudah untuk dipahami.
Saya mulai dengan memecah operasi pada statemen baris ke-8 yang bertujuan menghitung
nilai E(1, 1)
1
2

clear all
clc

3
4
5


6
7
8
9
10
11

% ---proses perkalian matrik---% ---E(1,1) dihitung 3 kali
E(1,1)=A(1,1)*B(1,1);
E(1,1)=E(1,1)+A(1,2)*B(2,1);
E(1,1)=E(1,1)+A(1,3)*B(3,1);

12
13
14
15
16

% ---E(1,2); E(2,1); dan E(2,2) masih seperti semula
E(1,2)=A(1,1)*B(1,2)+A(1,2)*B(2,2)+A(1,3)*B(3,2);
E(2,1)=A(2,1)*B(1,1)+A(2,2)*B(2,1)+A(2,3)*B(3,1);
E(2,2)=A(2,1)*B(1,2)+A(2,2)*B(2,2)+A(2,3)*B(3,2);

17
18
19
20
21

B
E

Agar baris ke-9 memiliki pola yang sama dengan baris ke-11 dan ke-12, upaya yang dilakukan
adalah


1
2

29

clear all
clc

3
4
5


6
7
8
9
10
11
12

% ---proses perkalian matrik---% ---E(1,1) dihitung 3 kali
E(1,1)=0;
E(1,1)=E(1,1)+A(1,1)*B(1,1);
E(1,1)=E(1,1)+A(1,2)*B(2,1);
E(1,1)=E(1,1)+A(1,3)*B(3,1);

13
14
15
16
17

E(1,2)=A(1,1)*B(1,2)+A(1,2)*B(2,2)+A(1,3)*B(3,2);
E(2,1)=A(2,1)*B(1,1)+A(2,2)*B(2,1)+A(2,3)*B(3,1);
E(2,2)=A(2,1)*B(1,2)+A(2,2)*B(2,2)+A(2,3)*B(3,2);

18
19
20
21
22

B
E

Dari sini kita bisa munculkan indeks k
1
2

clear all
clc

3
4
5


6
7
8
9
10
11

% ---proses perkalian matrik---E(1,1)=0;
for k=1:3
% k bergerak dari 1 sampai 3
E(1,1)=E(1,1)+A(1,k)*B(k,1);
end

12
13
14
15
16

E(1,2)=A(1,1)*B(1,2)+A(1,2)*B(2,2)+A(1,3)*B(3,2);
E(2,1)=A(2,1)*B(1,1)+A(2,2)*B(2,1)+A(2,3)*B(3,1);
E(2,2)=A(2,1)*B(1,2)+A(2,2)*B(2,2)+A(2,3)*B(3,2);

17
18
19
20
21

B
E

Kemudian cara yang sama dilakukan pada E(1, 2), E(2, 1), dan E(2, 2). Anda mesti cermat
dan hati-hati dalam menulis angka-angka indeks!!!
1
2

clear all
clc

3
4
5
6


30
7
8
9
10
11


% ---proses perkalian matrik---E(1,1)=0;
for k=1:3
E(1,1)=E(1,1)+A(1,k)*B(k,1);
end

12
13
14
15
16

E(1,2)=0;
for k=1:3
E(1,2)=E(1,2)+A(1,k)*B(k,2);
end

17
18
19
20
21

E(2,1)=0;
for k=1:3
E(2,1)=E(2,1)+A(2,k)*B(k,1);
end

22
23
24
25
26

E(2,2)=0;
for k=1:3
E(2,2)=E(2,2)+A(2,k)*B(k,2);
end

27
28
29
30
31

B
E

Inisialisasi elemen-elemen matrik E dengan angka nol, bisa dilakukan diawal proses perkalian
yang sekaligus memunculkan indeks i dan j untuk elemen E
1
2

clear all
clc

3
4
5


6
7
8
9
10
11
12

% ---proses perkalian matrik---for i=1:2
% i bergerak dari 1 sampai 2
for j=1:2
% j bergerak dari 1 sampai 2
E(i,j)=0;
end
end

13
14
15
16

for k=1:3
E(1,1)=E(1,1)+A(1,k)*B(k,1);
end

17
18
19
20

for k=1:3
E(1,2)=E(1,2)+A(1,k)*B(k,2);
end

21
22
23
24

for k=1:3
E(2,1)=E(2,1)+A(2,k)*B(k,1);
end

25
26
27
28
29

for k=1:3
E(2,2)=E(2,2)+A(2,k)*B(k,2);
end

30
31
32
33

31

B
E

Sekarang coba anda perhatikan statemen pada baris ke-15 dan ke-19, lalu bandingkan indeks
i dan indeks j pada elemen E. Indeks mana yang berubah? Ya. Jawabannya adalah indeks j.
Dengan demikian kita bisa munculkan indeks j
1
2

clear all
clc

3
4
5


6
7
8
9
10
11
12

for j=1:2
E(i,j)=0;
end
end

13
14
15
16
17

j=1;
for k=1:3
E(1,j)=E(1,j)+A(1,k)*B(k,j);
end

18
19
20
21
22

j=2;
for k=1:3
E(1,j)=E(1,j)+A(1,k)*B(k,j);
end

23
24
25
26

for k=1:3
E(2,1)=E(2,1)+A(2,k)*B(k,1);
end

27
28
29
30

for k=1:3
E(2,2)=E(2,2)+A(2,k)*B(k,2);
end

31
32
33
34
35

B
E

Lihatlah, statemen dari baris ke-15 sampai ke-17 memiliki pola yang sama dengan statemen
dari baris ke-20 sampai ke-22, sehingga mereka bisa disatukan kedalam looping indeks j
1
2

clear all
clc

3
4
5


6
7
8



32
for j=1:2
E(i,j)=0;
end

9
10
11
12


end

13
14
15
16
17
18

for j=1:2
for k=1:3
E(1,j)=E(1,j)+A(1,k)*B(k,j);
end
end

19
20
21
22

for k=1:3
E(2,1)=E(2,1)+A(2,k)*B(k,1);
end

23
24
25
26

for k=1:3
E(2,2)=E(2,2)+A(2,k)*B(k,2);
end

27
28
29
30
31

B
E

Sekarang coba sekali lagi anda perhatikan statemen pada baris ke-21 dan ke-25, lalu bandingkan indeks i dan indeks j pada elemen E. Indeks mana yang berubah? Ya. Jawabannya
tetap indeks j. Dengan demikian kita bisa munculkan juga indeks j disana
1
2

clear all
clc

3
4
5


6
7
8
9
10
11
12

for j=1:2
E(i,j)=0;
end
end

13
14
15
16
17
18

for j=1:2
for k=1:3
E(1,j)=E(1,j)+A(1,k)*B(k,j);
end
end

19
20
21
22
23

j=1;
for k=1:3
E(2,j)=E(2,j)+A(2,k)*B(k,j);
end

24
25
26
27
28
29

j=2;
for k=1:3
E(2,j)=E(2,j)+A(2,k)*B(k,j);
end

30
31
32
33

33

B
E

Cermatilah, statemen dari baris ke-21 sampai ke-23 memiliki pola yang sama dengan statemen
dari baris ke-25 sampai ke-27, sehingga mereka pun bisa disatukan kedalam looping indeks j
1
2

clear all
clc

3
4
5


6
7
8
9
10
11
12

for j=1:2
E(i,j)=0;
end
end

13
14
15
16
17
18

for j=1:2
for k=1:3
E(1,j)=E(1,j)+A(1,k)*B(k,j);
end
end

19
20
21
22
23
24

for j=1:2
for k=1:3
E(2,j)=E(2,j)+A(2,k)*B(k,j);
end
end

25
26
27
28
29

B
E

Akhirnya kita sampai pada bagian akhir tahapan modiﬁkasi. Perhatikan baris ke-16 dan ke-22.
Indeks i pada elemen E dan A bergerak dari 1 ke 2, sehingga indeks i bisa dimunculkan
1
2

clear all
clc

3
4
5


6
7
8
9
10
11
12

for j=1:2
E(i,j)=0;
end
end

13
14
15

i=1;
for j=1:2


34
for k=1:3
E(i,j)=E(i,j)+A(i,k)*B(k,j);
end

16
17
18
19

end

20
21
22
23
24
25
26

i=2;
for j=1:2
for k=1:3
end
end

27
28
29
30
31

B
E

Sekarang, statemen dari baris ke-15 sampai ke-19 memiliki pola yang sama dengan statemen
dari baris ke-22 sampai ke-26. Mereka bisa disatukan oleh looping indeks i
1
2

clear all
clc

3
4
5


6
7
8
9
10
11
12

for j=1:2
E(i,j)=0;
end
end

13
14
15
16
17
18
19
20

for i=1:2
for j=1:2
for k=1:3
end
end
end

21
22
23
24
25

B
E

Inilah hasil akhir dari tahapan-tahapan modiﬁkasi yang selanjutnya saya sebut sebagai proses
optimasi. Upaya yang baru saja saya perlihatkan, sebenarnya penuh dengan jebakan-jebakan
kesalahan, terutama jika anda kurang cermat membaca indeks dan pola. Upaya seperti itu
memerlukan konsentrasi dan perhatian yang tidak sebentar. Upaya semacam itu tidak semudah meng-copy hasil akhir optimasi. Walaupun bisa di-copy, namun saya menyarankan agar
anda mencoba melakukan proses optimasi itu sekali lagi di komputer tanpa melihat catatan ini
dan tanpa bantuan orang lain. Kalau anda gagal, cobalah berﬁkir lebih keras untuk mencari
jalan keluarnya. Jika masih tetap gagal, silakan lihat catatan ini sebentar saja sekedar untuk


35

mencari tahu dimana letak kesalahannya. Hanya dengan cara begitu ilmu programming ini
akan bisa menyatu pada diri anda.

2.5.5 Perkalian matrik dan vektor-kolom

Operasi perkalian antara matrik dan vektor-kolom sebenarnya sama saja dengan perkalian antara dua matrik. Hanya saja ukuran vektor-kolom boleh dibilang spesial yaitu m x 1, dimana
m merupakan jumlah baris sementara jumlah kolomnya hanya satu. Misalnya matrik A, pada contoh 1, dikalikan dengan vektor-kolom x yang berukuran 3 x 1 atau disingkat dengan
mengatakan vektor-kolom x berukuran 3, lalu hasilnya (misalnya) dinamakan vektor-kolom y
y = Ax

y =

=
=

 
2
3 8 5  
3
6 4 7
4

3.2 + 8.3 + 5.4

6.2 + 4.3 + 7.4
50
52

Sekali lagi, tanpa mempedulikan nilai elemen-elemen masing-masing, operasi perkalian antara
matrik A dan vektor-kolom x, bisa juga dinyatakan dalam indeksnya masing-masing, yaitu
y1
y2

=

a11 .x1 + a12 .x2 + a13 .x3
a21 .x1 + a22 .x2 + a23 .x3

Bila dijabarkan, maka elemen-elemen vektor-kolom y adalah
y1 = a11 .x1 + a12 .x2 + a13 .x3
y2 = a21 .x1 + a22 .x2 + a23 .x3
kemudian secara sederhana dapat diwakili oleh rumus berikut
3

aij xj

yi =
j=1

dimana i=1,2.
Berdasarkan contoh tersebut, secara umum bila ada matrik A berukuran n x m yang dikalikan
dengan vektor-kolom x berukuran m, maka akan didapatkan vektor-kolom y berukuran n x 1


36
dimana elemen-elemen vektor-kolom y memenuhi
m

aij xj

yi =

(2.16)

j=1

dengan i=1,2,. . . ,n.
2.5.6 Komputasi perkalian matrik dan vektor-kolom
Mari kita mulai lagi dari source code paling dasar dari operasi perkalian antara matrik dan
vektor-kolom sesuai dengan contoh di atas
1
2

clear all
clc

3
4
5

A = [3 8 5; 6 4 7];
x = [2; 3; 4];

% inisialisasi vektor x

6
7
8
9

% ---proses perkalian matrik dan vektor---y(1,1)=A(1,1)*x(1,1)+A(1,2)*x(2,1)+A(1,3)*x(3,1);
y(2,1)=A(2,1)*x(1,1)+A(2,2)*x(2,1)+A(2,3)*x(3,1);

10
11
12
13
14

x
y

Sejenak, mari kita amati dengan cermat statemen dari baris ke-8 dan ke-9 sambil dikaitkan
dengan bentuk umum penulisan indeks pada perkalian antara matrik dan vektor-kolom yaitu
yi1 = aij .xj1 + aij .xj1 + aij .xj1

(2.17)

Dari sana ada 3 point yang perlu dicatat:
• elemen y dan elemen x sama-sama memiliki indeks i yang berpasangan dengan angka 1.
• pada baris statemen ke-8 dan ke-9 ada tiga kali operasi perkalian dan dua kali operasi
penjumlahan yang semuanya melibatkan indeks i dan indeks j. Namun indeks j selalu
berubah pada masing-masing perkalian. Jadi indeks j lebih cepat berubah dibanding
indeks i.
• elemen a memiliki indeks i dan indeks j dimana indeks j lebih cepat berubah dibanding
indeks i.
Kita mulai dengan memecah operasi pada statemen baris ke-8 yang bertujuan menghitung
nilai y(1, 1)
1
2
3

clear all
clc

4
5

A = [3 8 5; 6 4 7];
x = [2; 3; 4];

37


6
7
8
9
10

% ---proses perkalian matrik dan vektor---y(1,1)=A(1,1)*x(1,1);
y(1,1)=y(1,1)+A(1,2)*x(2,1);
y(1,1)=y(1,1)+A(1,3)*x(3,1);

11
12

y(2,1)=A(2,1)*x(1,1)+A(2,2)*x(2,1)+A(2,3)*x(3,1);

13
14
15
16
17

x
y

Agar baris ke-8 memiliki pola yang sama dengan baris ke-9 dan ke-10, upaya yang dilakukan
adalah
1
2

clear all
clc

3
4
5

A = [3 8 5; 6 4 7];
x = [2; 3; 4];


6
7
8
9
10
11

% ---proses perkalian matrik dan vektor---y(1,1)=0;
y(1,1)=y(1,1)+A(1,1)*x(1,1);
y(1,1)=y(1,1)+A(1,2)*x(2,1);
y(1,1)=y(1,1)+A(1,3)*x(3,1);

12
13

y(2,1)=A(2,1)*x(1,1)+A(2,2)*x(2,1)+A(2,3)*x(3,1);

14
15
16
17
18

x
y

Dari sini kita bisa munculkan indeks j
1
2

clear all
clc

3
4
5

A = [3 8 5; 6 4 7];
x = [2; 3; 4];


6
7
8
9
10
11

for j=1:3
y(1,1)=y(1,1)+A(1,j)*x(j,1);
end

12
13

y(2,1)=A(2,1)*x(1,1)+A(2,2)*x(2,1)+A(2,3)*x(3,1);

14
15
16
17
18

x
y


38

Dengan cara yang sama, baris ke-13 dimodiﬁkasi menjadi
1
2

clear all
clc

3
4
5

A = [3 8 5; 6 4 7];
x = [2; 3; 4];


6
7
8
9
10
11

for j=1:3
y(1,1)=y(1,1)+A(1,j)*x(j,1);
end

12
13
14
15
16

y(2,1)=0;
for j=1:3
y(2,1)=y(2,1)+A(2,j)*x(j,1);
end

17
18
19
20
21

x
y

Inisialisasi vektor y dengan angka nol dapat dilakukan diawal proses perkalian, sekaligus
memunculkan indeks i
1
2

clear all
clc

3
4
5

A = [3 8 5; 6 4 7];
x = [2; 3; 4];


6
7
8
9
10

% ---proses perkalian matrik dan vektor---for i=1:2
y(i,1)=0;
end

11
12
13
14

for j=1:3
y(1,1)=y(1,1)+A(1,j)*x(j,1);
end

15
16
17
18

for j=1:3
y(2,1)=y(2,1)+A(2,j)*x(j,1);
end

19
20
21
22
23

x
y

Kemudian, untuk menyamakan pola statemen baris ke-13 dan ke-17, indeks i kembali dimunculkan
1
2
3

clear all
clc

2.6. PENUTUP
4
5

A = [3 8 5; 6 4 7];
x = [2; 3; 4];

39

6
7
8
9
10

y(i,1)=0;
end

11
12
13
14
15

i=1;
for j=1:3
y(i,1)=y(i,1)+A(i,j)*x(j,1);
end

16
17
18
19
20

i=2;
for j=1:3
y(i,1)=y(i,1)+A(i,j)*x(j,1);
end

21
22
23
24
25

x
y

Akhir dari proses optimasi adalah sebagai berikut

1
2

clear all
clc

3
4
5

A = [3 8 5; 6 4 7];
x = [2; 3; 4];


6
7
8
9
10

y(i,1)=0;
end

11
12
13
14
15
16

for i=1:2
for j=1:3
y(i,1)=y(i,1)+A(i,j)*x(j,1);
end
end

17
18
19
20
21

x
y

2.6

Penutup

Demikianlah catatan singkat dan sederhana mengenai jenis-jenis matrik dasar dan operasi penjumlahan dan perkalian yang seringkali dijumpai dalam pengolahan data secara numerik. Semuanya akan dijadikan acuan atau referensi pada pembahasan topik-topik numerik yang akan
datang.


40

2.7

Latihan

1. Diketahui matrik A, matrik B, dan vektor x sebagai berikut


1

3

−6

−2





5
9
7
5.6 


A=
2
4
8
−1 


2.3 1.4 0.8 −2.3



8

1

4

21





3
10
5
0.1


B=
7
−2
9
−5


2.7 −12 −8.9 5.7



0.4178





−2.9587


x=
56.3069 


8.1

(a) Buatlah script untuk menyelesaikan penjumlahan matrik A dan matrik B.
(b) Buatlah script untuk menyelesaikan perkalian matrik A dan matrik B.
(c) Buatlah script untuk menyelesaikan perkalian matrik A dan vektor x.
(d) Buatlah script untuk menyelesaikan perkalian matrik B dan vektor x.

Bab 3

Fungsi

Objektif :
⊲ Mengenalkan fungsi internal.
⊲ Membuat fungsi ekstenal.
⊲ Membuat fungsi ekternal untuk penjumlahan matrik.
⊲ Membuat fungsi ekternal untuk perkalian matrik.

3.1

Fungsi internal

Pada bab terdahulu kita sudah melakukan proses optimasi penjumlahan matrik dengan source
code akhir seperti ini
1
2

clear all
clc

3
4
5

A=[3 8 5; 6 4 7];
C=[9 5 3; 7 2 1];


6
7
8
9
10
11
12

for j=1:3
end
end

13
14
15
16
17

C
D

Pertanyaan yang segera muncul adalah apakah source code tersebut bisa digunakan untuk
menyelesaikan penjumlahan matrik yang dimensinya bukan 2x3 ? Misalnya
D=A+C
41

BAB 3. FUNGSI

42

 

4 3 8 6
2 6 7 2

 

D = 5 1 2 3 + 9 1 3 8
6 7 9 1
5 8 4 7

Tentu saja bisa, asal indeks i bergerak dari 1 sampai 3 dan indeks j bergerak dari 1 sampai 4.
Lihat source code berikut
1
2

clear all
clc

3
4
5

A=[4 3 8 6; 5 1 2 3; 6 7 9 1];
C=[2 6 7 2; 9 1 3 8; 5 8 4 7];


6
7
8
9
10
11
12

for j=1:4
end
end

13
14
15
16
17

C
D

Walaupun bisa digunakan, namun cara modifikasi seperti itu sangat tidak fleksibel dan beresiko salah jika kurang teliti. Untuk menghindari resiko kesalahan dan agar lebih fleksibel,
source code tersebut perlu dioptimasi sedikit lagi menjadi
1
2

clear all
clc

3
4
5

A=[4 3 8 6; 5 1 2 3; 6 7 9 1];
C=[2 6 7 2; 9 1 3 8; 5 8 4 7];


6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

% ---proses penjumlahan matrik---dim=size(A);
n=dim(1);
m=dim(2);
for i=1:n
for j=1:m
end
end

16
17
18
19
20

C
D

Perhatikan, ada tambahan 3 statemen yaitu mulai dari baris ke-8 sampai ke-10. Sementara
baris ke-11 dan ke-12 hanya mengalami sedikit perubahan. Statemen di baris ke-8 bermaksud
mendeklarasikan variabel dim untuk diisi oleh hasil perhitungan fungsi internal yang bernama

3.2. FUNGSI EKSTERNAL PENJUMLAHAN MATRIK

43

size. Matrik A dijadikan parameter input fungsi size. Fungsi size berguna untuk menghitung
jumlah baris dan jumlah kolom dari matrik A. Hasilnya adalah dim(1) untuk jumlah baris
dan dim(2) untuk jumlah kolom. Pada baris ke-9, variabel n dideklarasikan untuk menerima
informasi jumlah baris dari dim(1), sementara variabel m diisi dengan informasi jumlah kolom
dari dim(2) pada baris ke-10. Adapun baris ke-11 dan ke-12 hanya mengubah angka indeks
batas atas, masing-masing menjadi n dan m.
Sekarang kalau kita balik lagi menghitung penjumlahan matrik dari contoh sebelumnya
yang berukuran 2x3, maka source code akan seperti ini
1
2

clear all
clc

3
4
5

A=[3 8 5; 6 4 7];
C=[9 5 3; 7 2 1];


6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

% ---proses penjumlahan matrik---dim=size(A);
n=dim(1);
m=dim(2);
for i=1:n
for j=1:m
end
end

16
17
18
19
20

C
D

Ajaib bukan!? Tidak ada statemen yang berubah kecuali hanya pada baris ke-4 dan ke-5. Perubahan itu tidak bisa dihindari karena memang di kedua baris itulah deklarasi elemen-elemen
matrik A dan matrik C dilakukan.

3.2

Fungsi eksternal penjumlahan matrik

Saatnya kita memasuki topik tentang pembuatan fungsi eksternal. Dari source code yang terakhir tadi, mari kita ambil bagian proses penjumlahan matrik-nya saja
1
2
3
4
5
6
7
8

dim=size(A);
n=dim(1);
m=dim(2);
for i=1:n
for j=1:m
end
end

Kita akan jadikan potongan source code ini menjadi fungsi eksternal, dengan menambahkan
statemen function seperti ini

BAB 3. FUNGSI

44

1
2
3
4
5
6
7
8
9

function D=jumlah(A,C)
dim=size(A);
n=dim(1);
m=dim(2);
for i=1:n
for j=1:m
end
end

kemudian ia harus di-save dengan nama jumlah.m. Sampai dengan langkah ini kita telah membuat fungsi eksternal dan diberi nama fungsi jumlah. Sederhana sekali bukan? Untuk menguji
kerja fungsi eksternal tersebut, coba jalankan source code berikut ini
1
2

clear all
clc

3
4
5

A=[3 8 5; 6 4 7];
C=[9 5 3; 7 2 1];


6
7
8

% ---proses penjumlahan matrik---D=jumlah(A,C)

9
10
11
12
13

C
D

atau anda jalankan source code yang berikut ini
1
2

clear all
clc

3
4
5

A=[4 3 8 6; 5 1 2 3; 6 7 9 1];
C=[2 6 7 2; 9 1 3 8; 5 8 4 7];


6
7
8

% ---proses penjumlahan matrik---D=jumlah(A,C)

9
10
11
12
13

C
D

atau coba iseng-iseng anda ganti matrik-nya menjadi
1
2

clear all
clc

3
4
5

V=[4 3; 5 1];
W=[2 6; 9 3];

% inisialisasi matrik V
% inisialisasi matrik W

6
7
8

% ---proses penjumlahan matrik---U=jumlah(V,W)

3.3. FUNGSI EKSTERNAL PERKALIAN MATRIK

45

9
10
11
12
13

% ---menampilkan matrik V, W dan U---W
V
U

Periksa hasilnya, betul atau salah? Pasti betul! Kesimpulannya adalah setelah fungsi eksternal
berhasil anda dapatkan, maka seketika itu pula anda tidak perlu menggubrisnya lagi. Bahkan
anda tidak perlu mengingat nama matrik aslinya yang tertulis di fungsi jumlah yaitu matrik
A, matrik C dan matrik D. Ditambah lagi, source code anda menjadi terlihat lebih singkat dan
elegan. Dan kini, perhatian anda bisa lebih difokuskan pada deklarasi matrik-nya saja.

3.3

Fungsi eksternal perkalian matrik

Mari kita beralih ke perkalian matrik. Kita akan membuat fungsi eksternal untuk perkalian
matrik. Berikut ini adalah source code perkalian matrik hasil akhir optimasi yang telah ditulis
panjang lebar pada bab sebelumnya
1
2

clear all
clc

3
4
5


6
7
8
9
10
11
12

for j=1:2
E(i,j)=0;
end
end

13
14
15
16
17
18
19
20

for i=1:2
for j=1:2
for k=1:3
end
end
end

21
22
23
24
25

B
E

Source code tersebut digunakan untuk menghitung perkalian matrik berikut
E2×2 = A2×3 · B3×2
Dan kita bisa sepakati simbol indeks m, n, dan p untuk men-generalisir dimensi matrik
Em×n = Am×p · Bp×n

46

BAB 3. FUNGSI

Dengan demikian, source code tersebut dapat dioptimasi menjadi
1
2

clear all
clc

3
4
5


6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17

% ---proses perkalian matrik---dim=size(A);
m=dim(1);
p=dim(2);
dim=size(B);
n=dim(2);
for i=1:m
for j=1:n
E(i,j)=0;
end
end

18
19
20
21
22
23
24
25

for i=1:m
for j=1:n
for k=1:p
end
end
end

26
27
28
29
30

B
E

Selanjutnya kita ambil bagian proses perkalian matrik nya untuk dibuat fungsi eksternal
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

function E=kali(A,B)
dim=size(A);
m=dim(1);
p=dim(2);
dim=size(B);
n=dim(2);
for i=1:m
for j=1:n
E(i,j)=0;
end
end

12
13
14
15
16
17
18
19

for i=1:m
for j=1:n
for k=1:p
end
end
end

lalu di-save dengan nama kali.m, maka terciptalah fungsi eksternal yang bernama fungsi kali.
Kemudian coba anda uji fungsi kali tersebut dengan menjalankan source code berikut

3.4. FUNGSI EKSTERNAL PERKALIAN MATRIK DAN VEKTOR-KOLOM

1
2

47

clear all
clc

3
4
5


6
7
8

% ---proses perkalian matrik---E = kali(A,B)

9
10
11
12
13

B
E

Silakan anda periksa hasil perhitungannya. Pasti betul! Anda bisa mencoba perkalian matrik lainnya dengan menggunakan source code tersebut. Bahkan anda bisa mengganti nama
matriknya untuk selain A, B dan E.

3.4

Fungsi eksternal perkalian matrik dan vektor-kolom

Mari kita beralih ke perkalian matrik dan vektor-kolom. Kita akan membuat fungsi eksternal
untuk perkalian matrik dan vektor-kolom. Berikut ini adalah source code perkalian matrik dan
vektor-kolom hasil akhir optimasi yang telah ditulis panjang lebar pada bab sebelumnya
1
2

clear all
clc

3
4
5

A = [3 8 5; 6 4 7];
x = [2; 3; 4];


6
7
8
9
10

y(i,1)=0;
end

11
12
13
14
15
16

for i=1:2
for j=1:3
y(i,1)=y(i,1)+A(i,j)*x(j,1);
end
end

17
18
19
20
21

x
y

Source code tersebut digunakan untuk menghitung perkalian matrik dan vektor-kolom berikut
y2×1 = A2×3 · x3×1
Dan kita bisa sepakati simbol indeks m dan n untuk men-generalisir dimensi matrik
ym×1 = Am×n · xn×1

BAB 3. FUNGSI

48
Dengan demikian, source code tersebut dapat dioptimasi menjadi
1
2

clear all
clc

3
4
5

A = [3 8 5; 6 4 7];
x = [2; 3; 4];


6
7
8
9
10
11
12
13

% ---proses perkalian matrik dan vektor---dim=size(A);
m=dim(1);
n=dim(2);
for i=1:m
y(i,1)=0;
end

14
15
16
17
18
19

for i=1:m
for j=1:n
y(i,1)=y(i,1)+A(i,j)*x(j,1);
end
end

20
21
22
23
24

x
y

Selanjutnya kita ambil bagian proses perkalian matrik dan vektor nya untuk dibuat fungsi eksternal
1
2
3
4
5
6
7

function y=kalivektor(A,x)
dim=size(A);
m=dim(1);
n=dim(2);
for i=1:m
y(i,1)=0;
end

8
9
10
11
12
13

for i=1:m
for j=1:n
y(i,1)=y(i,1)+A(i,j)*x(j,1);
end
end

lalu di-save dengan nama kalivektor.m, maka terciptalah fungsi eksternal yang bernama fungsi
kalivektor. Kemudian coba anda uji fungsi kalivektor tersebut dengan menjalankan source code
berikut
1
2

clear all
clc

3
4
5

A = [3 8 5; 6 4 7];
x = [2; 3; 4];


6
7

% ---proses perkalian matrik dan vektor----

3.5. PENUTUP
8

49

y = kalivektor(A,x);

9
10
11
12

x

Silakan anda periksa hasil perhitungannya. Pasti betul! Anda bisa mencoba perkalian matrik dan vektor-kolom dengan angka elemen yang berbeda menggunakan source code tersebut.
Bahkan anda bisa mengganti nama matrik dan vektor nya untuk selain A, x dan y.

3.5

Penutup

Ada tiga pilar yang harus dikuasai oleh seorang calon programmer. Pertama, ia harus tahu
bagaimana cara mendeklarasikan data. Kedua, ia harus tahu bagaimana mendayagunakan
flow-control, yang dalam bab ini dan bab sebelumnya menggunakan pasangan for-end. Dan
ketiga, ia harus bisa membuat fungsi eksternal.
Tidak ada yang melarang anda beralih ke Fortran, atau ke Delphi, atau ke C++, atau ke
Python, atau bahasa pemrograman apa saja. Saran saya, ketika anda berkenalan dengan suatu
bahasa pemrograman, yang pertama kali anda lakukan adalah menguasai ketiga pilar itu. Insya Allah ia akan membantu anda lebih cepat mempelajari bahasa pemrograman yang sedang
anda geluti.
Penguasaan atas ketiga pilar tersebut akan mengarahkan programmer untuk membuat source
code yang bersifat modular atau extention. Ini adalah modal untuk memasuki apa yang disebut
object oriented programming.
Sesungguhnya Matlab memiliki banyak fungsi internal yang bisa langsung dipakai. Anda
bisa coba sendiri suatu saat nanti. Kekuatan bahasa pemrograman salah satunya terletak pada
seberapa kaya dia memilik banyak fungsi. Library adalah kata lain untuk fungsi. Jadi, suatu
bahasa pemrograman akan semakin unggul bila dia memiliki semakin banyak library. Menurut
saya, yang terdepan saat ini masih dimenangkan oleh Python. Dengan Python, source code anda
akan bisa berjalan di Windows, Linux dan Machintos serta beberapa platform lainnya.

3.6

Latihan

1. Diketahui gelombang elektromagnetik bergerak dari medium 1 (permitivitas ǫ1 = 1) ke
medium 2 (permitivitas, ǫ2 = 80) dengan sudut datang (θI ) bervariasi dari 0 o hingga 70 o .
Persamaan koefisien refleksi gelombang elektromagnetik adalah sbb:
EoR
=
EoI

α−β
α+β

=

ǫ2
ǫ1

cos θI −

ǫ2
ǫ1

− sin2 θI

ǫ2
ǫ1

cos θI +

ǫ2
ǫ1

− sin2 θI

(a) Buatlah script untuk menghitung koefisien refleksi dengan interval sudut per 5 o
(b) Buatlah gambar grafik Koefisien Refleksi vs Sudut
(c) Buatlah fungsi eksternal untuk perhitungan koefisien refleksi tersebut.

BAB 3. FUNGSI

50

2. Diketahui gelombang elektromagnetik bergerak dari medium 1 (permitivitas ǫ1 = 1) ke
medium 2 (permitivitas, ǫ2 = 80) dengan sudut datang (θI ) bervariasi dari 0 o hingga 70 o .
Persamaan koefisien transmisi gelombang elektromagnetik adalah sbb:
EoT
=
EoI

2
α+β

=

2
ǫ2
ǫ1

cos θI +

ǫ2
ǫ1

− sin2 θI

(a) Buatlah script untuk menghitung koefisien transmisi dengan interval sudut per 5 o
(b) Buatlah gambar grafik Koefisien Transmisi vs Sudut
(c) Buatlah fungsi eksternal untuk perhitungan koefisien transmisi tersebut.
3. Soal berikut ini berkaitan dengan superposisi gelombang
(a) Buatlah script untuk mem-plot gelombang sinusoidal berfrekuensi 200 Hz dengan
amplitudo 10 dalam fungsi waktu (t) dari 0 ms sampai 10 ms.
(b) Lanjutkan script yang tadi dengan menambahkan script baru untuk menggambar
gelombang sinusoidal berfrekuensi 500 Hz dengan amplitudo 6; kemudian di-plot
pada grafik yang sama.
(c) Lanjutkan script yang tadi dengan menambahkan script baru untuk menggambar
gelombang sinusoidal berfrekuensi 1000 Hz dengan amplitudo 6; kemudian di-plot
pada grafik yang sama.
(d) Lanjutkan script yang tadi dengan menambahkan script baru untuk menggambar
superposisi ketiga gelombang di atas; kemudian di-plot pada grafik yang sama.
(e) Buatlah fungsi eksternal hanya untuk ketiga persamaan gelombang-nya saja. Sementara perhitungan superposisi dan plot grafik tetap ditulis pada main program.

Bab 4

Integral Numerik

Objektif :
⊲ Mengenalkan metode Trapezoida
⊲ Mengenalkan metode Simpson
⊲ Mengenalkan metode Composite-Simpson
⊲ Mengenalkan metode Adaptive Quardrature
⊲ Mengenalkan metode Gaussian Quadrature

4.1

Metode Trapezoida

Integral terhadap suatu fungsi, f(x), yang dievaluasi dari a hingga b dapat dinyatakan oleh
rumus berikut ini

b

f (x)dx

(4.1)

a

Pendekatan numerik yang paling dasar dalam memecahkan masalah integral adalah metode
Trapezoida, yang dirumuskan sebagai berikut
b

f (x)dx =
a

h3
h
[f (x0 ) + f (x1 )] − f ′′ (ξ)
2
12

(4.2)

dimana x0 = a, x1 = b dan h = b − a. Akan tetapi, suku yang terakhir pada ruas kanan
dimana terdapat faktor turunan ke-2, f ′′ , seringkali diabaikan dengan tujuan agar persamaan
(4.2) menjadi lebih sederhana.
b

f (x)dx =
a

h
[f (x0 ) + f (x1 )]
2

(4.3)

Akibatnya pendekatan Trapezoida hanya bekerja efektif pada fungsi-fungsi yang turunan keduanya bernilai nol (f ′′ = 0). Gambar (4.1) memperlihatkan prinsip metode trapezoida dalam
bentuk graﬁk. Sementara, script berikut ini dibuat berdasarkan persamaan (4.3).
51

BAB 4. INTEGRAL NUMERIK

52

f(x)

f(x)

f(x1)
f(x0)

x0=a

x1=b

x0=a

x1=b

Gambar 4.1: Metode Trapezoida. Gambar sebelah kiri menunjukkan kurva fungsi f (x) dengan batas
bawah integral adalah a dan batas atas b. Gambar sebelah kanan menunjukan cara metode Trapesoida menghitung integral dengan cara menghitung luas area integrasi, dimana luas area integrasi sama
dengan luas trapesium di bawah kurva f (x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan
teliti, ada area kecil dibawah garis kurva dan diatas garis miring yang berada diluar bidang trapesium.
Metode Trapesoida tidak menghitung luas area kecil tersebut. Disinilah letak kelemahan metode trapezoida.

1
2

clear all
clc

3
4
5

a = ...
b = ...

%batas bawah integral;
%batas atas integral;

6
7
8
9

x0 = a;
x1 = b;
h = b-a;

10
11
12

% -- metode trapezoida -Int_trapezoida = h/2*(f(x0)+f(x1))

Dengan fungsi eksternal fungsi f(x) adalah
1
2

function y = f(x)
y = ... % rumus fungsi yang di-integralkan;

4.2

Metode Simpson

Metode pendekatan yang lebih baik dibanding metode Trapezoida dalam integral numerik
adalah metode Simpson yang diformulasikan sebagai berikut
b

f (x)dx =
a

h
h5
[f (x1 ) + 4f (x2 ) + f (x3 )] − f 4 (ξ)
3
90

(4.4)

dengan x1 = a, x3 = b, dan x2 = a + h dimana h = (b − a)/2. Jika suku terakhir diabaikan,
maka

b

f (x)dx =
a

h
[f (x1 ) + 4f (x2 ) + f (x3 )]
3

(4.5)

Gambar (4.2) memperlihatkan prinsip metode trapezoida dalam bentuk graﬁk. Sementara,
script berikut ini dibuat berdasarkan persamaan (4.5).

4.2. METODE SIMPSON

53

f(x)

f(x)

f(x2)
f(x1)
f(x0)
h
h

x0=a

x1=b

x0=a

x1

x2=b

Gambar 4.2: Metode Simpson. Gambar sebelah kiri menunjukkan kurva fungsi f (x) dengan batas
bawah integral adalah a dan batas atas b. Gambar sebelah kanan menunjukan cara metode Simpson
menghitung luas area integrasi, dimana area integrasi di bawah kurva f (x) dibagi 2 dalam batas interval
a − x1 dan x1 − b dengan lebar masing-masing adalah h

1
2

clc
clear all

3
4
5

a = ... %batas bawah integrasi ;
b = ... %batas atas integrasi ;

6
7
8
9
10

x1 = a;
x3 = b;
h = (b-a)/2;
x1 = a + h;

11
12
13

% -- metode simpson -Int_simpson = h/3*(f(x1)+4*f(x2)+f(x3))

Contoh
Metode Trapezoida untuk fungsi f pada interval [0,2] adalah
2
0

f (x)dx ≈ f (0) + f (2)

dimana x0 = 0, x1 = 2 dan h = 2 − 0 = 2. Sedangkan metode Simpson untuk fungsi f pada
interval [0,2] adalah

2
0

f (x)dx ≈

1
[f (0) + 4f (1) + f (2)]
3

dengan x0 = 0, x2 = 2, dan x1 = a + h = 1 dimana h = (b − a)/2 = 1.

Tabel berikut ini memperlihatkan evaluasi integral numerik terhadap beberapa fungsi dalam
interval [0,2] beserta solusi exact-nya. Jelas terlihat, metode Simpson lebih baik dibanding
Trapezoida. Karena hasil intergral numerik metode Simpson lebih mendekati nilai exact
f (x)
Nilai exact
Trapezoida
Simpson

x2
2,667
4,000
2,667

x4
6,400
16,000
6,667

1/(x + 1)
1,099
1,333
1,111

√

1 + x2
2,958
3,236
2,964

sin x
1,416
0,909
1,425

ex
6,389
8,389
6,421


54

4.3

Peran faktor pembagi, n

Kalau diamati lebih teliti, akan kita dapatkan bahwa interval [0,2] telah dibagi 2 pada metode
Simpson, sementara pada metode Trapesoida tidak dibagi sama sekali. Sebenarnya dengan
membagi interval lebih kecil lagi, maka error -nya akan semakin kecil. Misalnya, banyaknya
pembagian interval dinyatakan dengan n
ketika n = 1: Trapesioda
x2

h
h3
[f (x1 ) + f (x2 )] − f ′′ (ξ)
2
12

(4.6)

h
h5
[f (x1 ) + 4f (x2 ) + f (x3 )] − f 4 (ξ)
3
90

(4.7)

f (x)dx =
x1

ketika n = 2: Simpson
x3

f (x)dx =
x1

ketika n = 3: Simpson tiga-per-delapan
x4

f (x)dx =
x1

3h
3h5 4
[f (x1 ) + 3f (x2 ) + 3f (x3 ) + f (x4 )] −
f (ξ)
8
80

(4.8)

ketika n = 4:
x5

f (x)dx =
x1

8h7 6
2h
[7f (x1 ) + 32f (x2 ) + 12f (x3 ) + 32f (x4 ) + 7f (x5 )] −
f (ξ)
45
945

4.3.1 Source code metode integrasi
Source code untuk persamaan (4.8) disajikan sebagai berikut
1
2

clc
clear all

3
4
5
6

% -- batas integrasi -a = 0;
b = 2;

7
8
9
10
11
12
13

x0 = a;
x3 = b;
h = (b-a)/3;
x1 = a + h;
x2 = a + 2*h;
% ---------------------

14
15
16

% -- metode simpson 3/8 -Int_38 = 3*h/8*(f(x0)+3*f(x1)+3*f(x2)+f(x3))

Sementara, source code untuk persamaan (4.9) disajikan sebagai berikut
1
2
3

clc
clear all

(4.9)

4.4. METODE COMPOSITE-SIMPSON
4
5
6

55

% -- batas integrasi -a = 0;
b = 2;

7
8
9
10
11
12
13
14

x0 = a;
x4 = b;
h = (b-a)/4;
x1 = a + h;
x2 = a + 2*h;
x3 = a + 3*h;
% ---------------------

15
16
17

% -- metode simpson n=4 -Int_n4 = 2*h/45*(7*f(x0)+32*f(x1)+12*f(x2)+32*f(x3)+7*f(x4))

Perbandingan tingkat akurasi hasil perhitungan seluruh metode integral numerik yang sudah dibahas adalah sebagai berikut
x2
2,667
4,000
2,667
2,667
2,667

f (x)
Nilai exact
Trapezoida
Simpson n=2
Simpson n=3
Simpson n=4

x4
6,400
16,000
6,667
6,519
6,400

1/(x + 1)
1,099
1,333
1,111
1,105
1,099

√

1 + x2
2,958
3,236
2,964
2,960
2,958

sin x
1,416
0,909
1,425
1,420
1,416

ex
6,389
8,389
6,421
6,403
6,389

Keempat bentuk persamaan integral numerik di atas dikenal dengan closed Newton-Cotes
formulas. Keterbatasan metode Newton-Cotes terlihat dari jumlah pembagian interval. Di
atas tadi pembagian interval baru sampai pada n = 4. Bagaimana bila interval evaluasinya
dipersempit supaya solusi numeriknya lebih mendekati solusi exact? Atau dengan kata lain
n 4.

4.4

Metode Composite-Simpson

Persamaan (4.9) terlihat lebih rumit dibandingkan persamaan-persamaan sebelumnya. Bisakah
anda bayangkan bentuk formulasi untuk n = 5 atau n = 6 dan seterusnya? Pasti akan lebih
kompleks dibandingkan persamaan (4.9).
Metode Composite Simpson menawarkan cara mudah menghitung intergal numerik ketika
nilai n 4. Perhatikan contoh berikut, tentukan solusi numerik dari

4 x
0 e dx.

Metode Simpson

dengan h = 2 (atau interval evaluasi integral dibagi 2 , n = 2) memberikan hasil
4
0

ex dx ≈

2 0
e + 4e2 + e4 = 56, 76958
3

Padahal solusi exact dari integral tersebut adalah e4 − e0 = 53, 59815, artinya terdapat er-

ror sebesar 3,17143 yang dinilai masih terlampau besar untuk ditolerir. Bandingkan dengan


56

f(x)

h

x0=a x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7 xn=b

Gambar 4.3: Metode Composite Simpson. Kurva fungsi f (x) dengan batas bawah integral adalah a
dan batas atas b. Luas area integrasi dipecah menjadi 8 area kecil dengan lebar masing-masing adalah
h.

metode yang sama namun dengan h = 1 (atau interval evaluasi integral dibagi 4 , n = 4)
4

2

ex dx =

ex dx

2

0

0

4

ex dx +

1 0
1 2
e + 4e + e2 +
e + 4e3 + e4
3
3
1 0
e + 4e + 2e2 + 4e3 + e4
=
3
= 53, 86385
≈

Hasil ini memperlihatkan error yang makin kecil, yaitu menjadi 0,26570. Jadi dengan memperkecil h, error menjadi semakin kecil dan itu artinya solusi integral numerik semakin mendekati
solusi exact. Sekarang kita coba kecilkan lagi nilai h menjadi h =

1
2

(atau interval evaluasi in-

tegral dibagi 8 , n = 8),
4

1

ex dx =

3

ex dx +
2

1

0

0

2

ex dx +

4

ex dx +

ex dx

3

1 0
1
e + 4e1/2 + e +
e + 4e3/2 + e2 +
6
6
1 2
1 3
e + 4e5/2 + e3 +
e + 4e7/2 + e4
6
6
1 0
e + 4e1/2 + 2e + 4e3/2 + 2e2 + 4e5/2 + 2e3 + 4e7/2 + e4
=
6
= 53, 61622
≈

dan seperti yang sudah kita duga, error -nya semakin kecil menjadi 0,01807.
Prosedur ini dapat digeneralisir menjadi suatu formula sebagai berikut
n/2

x2j

j=1

b

x2j−2

f (x)dx =
a

f (x)dx
n/2

=
j=1

h5
h
[f (x2j−2 ) + 4f (x2j−1 ) + f (x2j )] − f (4) (ξj )
3
90

(4.10)

4.5. ADAPTIVE QUARDRATURE

57

dimana h = (b − a)/n dan xj = a + jh, untuk j = 1, ..., n/2, dengan x0 = a dan xn = b. Formula

ini dapat direduksi menjadi
b

f (x)dx =
a



h
f (x0 ) + 2
3

(n/2)−1



n/2

f (x2j ) + 4
j=1

j=1

f (x2j−1 ) + f (xn ) −

h5
90

n/2

f (4) (ξj )

(4.11)

j=1

Formula ini dikenal sebagai metode Composite Simpson.

4.5

Adaptive Quardrature

Metode composite mensyaratkan luas area integrasi dibagi menjadi sejumlah region dengan
jarak interval yang seragam yaitu sebesar nilai h. Akibatnya, bila metode composite diterapkan
pada fungsi yang memiliki variasi yang tinggi dan rendah sekaligus, maka interval h yang kecil
menjadi kurang efektif, sementara interval h yang besar mengundang error yang besar pula.
Metode Adaptive Quadrature muncul untuk mendapatkan langkah yang paling efektif dimana
nilai interval h tidak dibuat seragam, melainkan mampu beradaptasi sesuai dengan tingkat
variasi kurva fungsinya.
Misalnya kita bermaksud mencari solusi numerik dari integral

b
a f (x)dx

dengan toleransi

ǫ 0. Sebagai langkah awal adalah menerapkan metode Simpson dimana step size h = (b −
a)/2

b
a

f (x)dx = S(a, b) −

h5 (4)
f (µ)
90

(4.12)

dengan
h
[f (a) + 4f (a + h) + f (b)]
3

S(a, b) =
Langkah berikutnya adalah men
b

h
f (a) + 4f
6

f (x)dx =
a

h
2

−

4.6

4

a+

h
2

+ 2f (a + h) + 4f

a+

3h
2

+ f (b)

(b − a) (4)
f (˜)
µ
180

(4.13)

Gaussian Quadrature

Suatu integral dapat ditransformasi kedalam bentuk Gaussian quadrature melalui formulasi
berikut

1

b

f

f (x)dx =
a

−1

(b − a)t + (b + a)
2

(b − a)
dt
2

(4.14)

dimana perubahan variabel memenuhi
t=

2x − a − b
1
⇔ x = [(b − a)t + a + b]
b−a
2

Berikut adalah table polinomial Legendre untuk penyelesaian Gaussian quadrature

(4.15)

Komputasi untuk Sains dan Teknik

Komputasi untuk Sains dan Teknik

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Was ist angesagt? (20)

Ähnlich wie Komputasi untuk Sains dan Teknik

Ähnlich wie Komputasi untuk Sains dan Teknik (20)

Mehr von Kira R. Yamato

Mehr von Kira R. Yamato (20)

Komputasi untuk Sains dan Teknik