1. Ing. Greiza Lucena
PROBABILIDADES
UNIVERSIDAD CENTROCCIDENTALUNIVERSIDAD CENTROCCIDENTAL
“LISANDRO ALVARADO”“LISANDRO ALVARADO”
DECANATO DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍASDECANATO DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍAS
DEPARTAMENTO DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Y ESTADÍSTICADEPARTAMENTO DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Y ESTADÍSTICA
CATEDRA ESTADÍSTICA ICATEDRA ESTADÍSTICA I
BARQUISIMETOBARQUISIMETO

2. TEORÍA DE PROBABILIDAD
La teoría de la probabilidad es un modelamiento matemático del fenómeno del azar o
aleatoriedad. Entre los conceptos básicos se tienen:
 Experimento:
Es toda acción o proceso que produce resultados bien definidos.
Ejemplos:
Experimento Resultado: Lanzar una moneda Cara o Sello; Seleccionar una parte para
inspeccionar la Defectuosa o no defectuosa; Lanzar un dado1, 2, 3, 4, 5, 6; Jugar un partido de
fútbol Ganar, perder, empatar
 Experimentos aleatorios:
Son aquellos experimentos en los cuales los resultados no son esencialmente los mismos a
pesar de que las condiciones sean aproximadamente idénticas. Diremos que un experimento es
aleatorio si se verifican las siguientes condiciones:
- Se puede repetir indefinidamente, siempre en las mismas condiciones.
- Se conocen todos los posibles resultados antes de realizar el experimento.
- Antes de realizarlo, no se puede predecir el resultado que se va a obtener.
- Se genera una función que indica el comportamiento de la variable en el experimento.

3. TEORÍA DE PROBABILIDAD
 Espacio muestral:
Es aquel conjunto que contiene a todos los resultados de un experimento
aleatorio. Se denota por la letra S, E o la letra griega . De acuerdo a la cantidad deΩ
elementos que posee el espacio muestral, se puede clasificar en: finito o infinito:
 Finito o
 Infinito: Numerable (discreto) y No Numerable (continuo).
 Punto muestral:
Es cada uno de los elementos del espacio muestral (S).
 Suceso o evento:
Es cualquier subconjunto de resultados contenido en el espacio muestral.
Ejemplo: Si se lanza una moneda al aire 2 veces, el hecho de que sólo resulte
cara es un suceso del espacio muestral.

4. TEORÍA DE PROBABILIDAD
Tipos de sucesos:
 Suceso cierto o seguro: es aquel que siempre ocurre.
 Suceso imposible: es aquel que no puede ocurrir.
 Sucesos mutuamente excluyentes: son aquellos que no pueden ocurrir
simultáneamente, por lo que no tienen elementos comunes.
Ejemplo: lanzar una moneda al aire, el obtener cara o sello es un suceso mutuamente
excluyente.
 Sucesos independientes: son aquellos donde la ocurrencia de uno no afecta la
ocurrencia del otro.

5. TEORÍA DE PROBABILIDAD
Sucesos complementarios: dos sucesos son complementarios si
la no aparición de uno de ellos obliga a que ocurra el otro.
Ejemplo: Si A es el suceso de sacar un número par con un
dado, el complemento es sacar un número impar.
Sucesos colectivamente exhaustivos: los eventos A1, A2, ...,
An son colectivamente exhaustivos si la unión de ellos da el espacio
muestral.
Evento elemental o simple: es un evento formado por un solo
punto del espacio muestral.
Eventos solapados: se dice que dos eventos A y B son solapados si
tienen uno o varios puntos en común.

6. TEORÍA DE CONJUNTOS
Unión: se llama unión o reunión de dos conjuntos A y B, al conjunto C
formado por los elementos que pertenezcan a A o a B.
Notación simbólica: AυB = {x | x є A o x є B}
 Intersección: se llama intersección de dos conjuntos A y B, al conjunto C
formado por los elementos comunes a A y a B.
Notación simbólica: A∩B = {x | x e A y x e B}

Diferencia: se llama diferencia de dos conjuntos A y B, en este orden, al
conjunto C formado por los elementos que pertenecen a A pero no a B.
Notación simbólica: A - B = {x | x e A y x э B}

7. TEORÍA DE CONJUNTOS
 Complemento de un conjunto: el complemento de un conjunto A, se
denota por AC o A’ y es el conjunto de elementos que pertenecen al
conjunto universal pero que no pertenecen a A.
Nota: se supone que todos los conjuntos bajo investigación en cualquier
aplicación de una teoría de conjuntos están contenidos en algún conjunto
grande fijo denominado conjunto universal.
Notación simbólica: Ac
= {x | x e U y x э A}
NOTA: Un evento no es otra cosa que un CONJUNTO. Por lo tanto,
los conceptos de teoría de conjuntos se emplearán construir nuevos eventos
a partir de eventos dados.

8. MÉTODOS DE CONTEO
 REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN:
Si una operación se puede llevar a cabo en n1 formas, y si para cada una
de éstas se puede realizar una segunda operación en n2 formas, entonces las dos
operaciones se pueden ejecutar de n1n2 formas. Esto es, si A y B son
conjuntos finitos, entonces, el número de elementos del producto cartesiano A
x B está dado por:
n1(A) x n2(B)
La extensión de la regla de la multiplicación con k
experimentos se puede expresar en términos de conjuntos como
sigue:
Si A1,A2,..,Ak son k conjuntos finitos, entonces, el número de
elementos del producto cartesiano A1 x A2 x…Ak es igual a:
n1(A1) x n2(A2 )x… x nk(Ak )

9. MÉTODOS DE CONTEO
PERMUTACIÓN:
Es un arreglo de todo o parte de un conjunto de objetos. El
número de permutaciones de n objetos diferentes es
n!=1*2* . .*n
Como la primera casilla se puede llenar de cualquiera de las
n maneras, la segunda de cualquiera de las (n-1) maneras,…, y la
última casilla de sólo una manera. Entonces aplicando la regla de la
multiplicación, se tiene que la caja se puede llenar de n(n-1)(n-
2)...1 maneras.
Así, el número de permutaciones de n objetos diferentes
está dado por
nPn = n!

10. MÉTODOS DE CONTEO
Variación sin repetición (importa el orden de
colocación de los objetos):
Si se consideran n objetos diferentes y se escogen r de estos
objetos, con 0 ≤ r ≤ n y permutamos el r elegido. Entonces se
tendrá:
n(n-1)(n-2)...(n-(r-1))
maneras de arreglar los objetos seleccionados. Así, el número de
maneras de elegir r objetos entre n objetos diferentes viene dado
por
nPr =
( )!
!
rn
n
−

11. MÉTODOS DE CONTEO
 Permutaciones cunado no todos los objetos son
diferentes:
El número de formas de partir o permutar un conjunto de n
objetos en r celdas con n1 elementos en la primera celda, n2
elementos en la segunda, y así sucesivamente, es
donde, n1 + n2 +…+ nr = n
!!...!
!
,...,, 2121 rr nnn
n
nnn
n
=






12. MÉTODOS DE CONTEO
COMBINACIONES sin repeticiones:
Consideremos nuevamente n objetos diferentes. Esta
vez interesa contar el número de combinaciones en que
podemos escoger r de esos n objetos sin considerar el orden.
( )!!
!
rnr
n
r
n
Crn
−
=





=

13. TEORÍA DE PROBABILIDAD
 Probabilidad:
Es la medida de la oportunidad con la que podemos esperar que un suceso ocurra, asignando un
número entre 0 y 1 a dicha medida.
 Tipos de enfoques:
- Enfoque clásico o a priori de la probabilidad: este enfoque se aplica cuando se usa la hipótesis
de resultados igualmente probables como la base para asignar probabilidades. Si un suceso puede
ocurrir en h maneras diferentes de un número total de n maneras posibles (todos igualmente
factibles), entonces la probabilidad del suceso es:
- Enfoque de frecuencia relativa: en este enfoque se utilizan datos pasados obtenidos en
observaciones empíricas, teniéndose en cuenta la frecuencia con que ha ocurrido un suceso en el
pasado y se estima la probabilidad de que vuelva a ocurrir a partir de estos datos históricos.
Un problema al aplicar este enfoque es el de hacer estimaciones con un número insuficiente de
observaciones.
- Enfoque subjetivo: es aquel que se utiliza para asignar una probabilidad a un suceso que no ha
ocurrido nunca, según nuestro mejor criterio. Por ejemplo, la probabilidad de que una mujer sea
elegida presidente de Venezuela; como no hay datos históricos en que apoyarse, debemos recurrir a
nuestra opinión y creencias para hacer una estimación subjetiva.
nesobservaciodetotalnúmero
pasadoelenocurridohasucesoelquevecesdenúmero
p =
n
h
p =

14. Definición axiomática o
matemática de la
probabilidad:
El tratamiento moderno de la teoría de probabilidad es
axiomático en el uso de la teoría de conjuntos.
En un experimento aleatorio con un espacio muestral , seΩ
asigna a cada suceso A de este espacio muestral un número P(A)
que se llama probabilidad de A, el cual satisface los siguientes
axiomas:
 Axioma 1: La probabilidad de todo suceso debe ser no negativa,
 Axioma 2:
 Axioma 3: Para cualquier sucesión infinita de sucesos disjuntos A1, A2, …..
0P(A) ≥
1)( =ΩP
( )∑=
∞
=
=




 n
ii
i APAP
11


15. Propiedades adicionales de
la probabilidad:
1.
2.
3. Si A es un subconjunto de B entonces
4. Si A y B son sucesos no mutuamente excluyentes, entonces:
Regla de Adición.
( ) 0=φP
( ) ( ) ( )SPAAPAP c
∈∀−= ,1
( ) ( ) ( ) ( )BAPBPAPBAP ∩−+=∪
( ) ( )BPAP ≤

16. Regla de la Adición
Esta regla afirma que el valor de la unión de un número finito
arbitrario de sucesos se puede obtener de la siguiente forma:
El objetivo principal de esta regla es calcular probabilidades que
pueden expresarse en la forma
( ) ( ) ( ) ( ) ( )n
n
lkji
lkji
kji
kji
ji
ji
n
i
i
n
i
AAAPAAAAPAAAPAAPAPAP ...1...)( 21
1
11
−
<<<<<<==
−++−+−=








∑∑∑∑
( )
)()(
)()()()()()(
CBAPCBP
CAPBAPCPBPAPAUBUCP
BAP
∩∩+∩
−∩−∩−++=
∪

17. Probabilidad condicional
Supóngase que se realiza un experimento aleatorio cuyo
espacio muestral es , se quiere estudiar ahora la forma en queΩ
cambia la probabilidad de un suceso A cuando se sabe que otro
suceso B ha ocurrido.
Interesa evaluar la probabilidad de que A ocurra,
sabiendo que el conjunto de resultados incluidos en B,
también implican la OCURRENCIA de A.
Si A y B son dos sucesos cualesquiera tales que P(B)>0,
entonces
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )BAPBPBAP
BP
BAP
BAP ∩=⇒
∩
=

18. Eventos independientes
Dos sucesos son independientes cuando la
ocurrencia de un suceso no afecta la ocurrencia del
otro suceso. Si A y B son sucesos independientes es
natural pensar que la probabilidad de que A y B
sucedan es igual al producto de sus probabilidades
individuales.
 A y B son independientes, si sólo si
y
 De otra forma A y B son dependientes.
( ) ( )APBAP = ( ) ( )BPABP =

19. REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN
En un experimento que involucra dos sucesos A y B que no son
independientes, a menudo es conveniente calcular la probabilidad de
que ambos sucesos ocurran utilizando una de las dos ecuaciones
siguientes:
Si A y B son independientes:
( ) ( ) ( ) ( )BPAPBAPABP *=∩=
( ) ( ) ( ) ( )BAPBPBAPABP =∩=
( ) ( ) ( ) ( )ABPAPBAPABP =∩=

20. PROBABILIDAD TOTAL O
REGLA DE ELIMINACIÓN
Si los eventos B1,B2,…,Bk constituyen una partición del espacio
muestral tal que para i =Ω 1,2,…,k, entonces para cualquier evento
A de ,Ω
( ) ( ) ( ) ( )i
k
i
i
k
i
i PBPPAP ΒΑ=Α∩Β= ∑∑
== 11

21. TEOREMA DE BAYE
Si los eventos B1,B2,…,Bk constituyen una partición del
espacio muestral tal que para i = 1,2,…,Ω k, entonces para
cualquier evento A en tal que ,Ω
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )∑∑
==
Β
Β
=
∩Β
∩Β
=Β
k
i
ii
rr
k
i
i
r
r
BAPP
BAPP
AP
AP
AP
11

22. EJERCICIOS
 Una mezcla de dulces contiene 6 mentas, 4 chicles y 3 chocolates. Si una persona realiza
una selecciona al azar de uno de ellos, encuentre la probabilidad de obtener:
 Una menta.
 Un chicle o un chocolate.
 La probabilidad que Paula apruebe Estadística es 2/3 y la probabilidad de que apruebe
Matemáticas es 4/9. Si la probabilidad de aprobar ambas asignaturas es de ¼, ¿cuál es la
probabilidad de que Paula apruebe al menos una de las dos asignaturas?
 Se carga un dado de tal manera que un número par tiene el doble de oportunidad de salir
que un número impar. Si A es el evento en el que se da un número menor que cuatro en
un solo lanzamiento encuentre P(A).
 Si las probabilidades de que un mecánico automotriz repare 3,4,5,6,7,8 o mas vehículos
en un día hábil cualquiera de la semana son:0.12, 0.19, 0.28, 0.24, 0.10 y 0.07. ¿Cuál
es la probabilidad de que le dé servicio al menos a 5 carros el siguiente día de trabajo?
 Supongamos que de todos los individuos que compran cierta computadora, el 60%
incluye un programa procesador de texto en su compra, 40% incluye un programa de
hoja de cálculo y 30% incluye ambos tipos de programas. Si se selecciona al azar un
computador, encuentre la probabilidad de que el computador tenga un procesador de
texto dado que tiene instalado el de hoja de cálculo.

23. EJERCICIOS
 La probabilidad de que un vuelo programado normalmente salga a tiempo es 0.83; la
probabilidad de que llegue a tiempo es 0.82; y la probabilidad de que salga y llegue a
tiempo es 0.78. Encuentre la probabilidad de que un avión:
Llegue a tiempo, dado que salió a tiempo.
Salió a tiempo, dado que llegó a tiempo.
 Suponga que tenemos una caja de fusibles que contiene 20 unidades, de las cuales cinco
están defectuosas. Si se seleccionan dos fusibles al azar y se separan de la caja uno después
del otro sin reemplazar el primero, ¿cuál es la probabilidad de que ambos fusibles estén
defectuosos?
 Una población de hombres presenta tres características ser casado (A), tener un grado de
educación Superior (B) y ser originario de un estado específico (C). Se sabe que el 5% de
ellos tienen las tres características, 15% tienen un grado de educación superior pero no
están casados ni son originarios de ese estado específico, el 25% son solos casados, 50% son
originarios de ese estado específico, 40% tiene un grado de educación superior, 15% están
casados y son originarios de ese estado específico; 10% tienen solamente un grado de
educación superior y son del estado específico. Determinar:
 Encuentre la probabilidad de que este casado dado a que tiene un grado de educación
superior.
 La probabilidad que no tiene un gado educación superior dado a que esta casado o es
originario de un estado específico. b

24. EJERCICIOS
 Una bolsa contiene cuatro bolas blancas y tres negras,
y una segunda bolsa contiene tres blancas y cinco
negras. Se saca una bola de la primera bolsa y se
coloca sin verla en la segunda. ¿Cuál es la probabilidad
de que ahora se saque una bola negra de la segunda
bolsa?
 Se carga una moneda de modo que la cara tiene una
posibilidad de ocurrir dos veces mayor que el sello. Si
se lanza tres veces la moneda, ¿cuál es la probabilidad
de obtener dos sellos y una cara?

25. EJERCICIOS
 Una compañía tiene el siguiente sistema para aceptar una
producción de artículos: de una caja de 25 artículos para
embarcar se prueba una muestra de tres, si encuentra dos
defectuoso se regresa la caja y se revisa el lote completo, sino
se embarca; determinar:
 - La probabilidad que una caja que tiene 5 defectuosos se
embarque.
 - La probabilidad que una caja que tiene 3 defectuoso se
regrese.