SlideShare ist ein Scribd-Unternehmen logo
1 von 26
KALKULUS LANJUT




INTEGRAL PERMUKAAN
KALKULUS LANJUT

              PENDAHULUAN
1.Latar Belakang
Untuk memenuhi kebutuhan dengan memperkaya teori integral
melalui pengenalan bagian permukaan sebagai domain, dimana
permukaan-permukaan tersebut dianggap melekat dalam ruang
tiga dimensi.

2.Tujuan

Untuk mengkaji materi mengenai integral permukaan,
mengetahui bagaimana aplikasi dari integral permukaan, serta
untuk memenuhi tugas matakuliah kalkulus lanjut
KALKULUS LANJUT

             PENDAHULUAN
3.Ruang Lingkup
Mengenai integral permukaan, contoh penyelesaian masalah-
masalah yang berkaitan dengan integral permukaan, dan
aplikasi integral permukaan dalam kehidupan sehari-hari.



4.Manfaat

1. Dapat memahami materi mengenai integral permukaan
2. Dapat mengetahui bahwa integral permukaan memiliki
   peran penting dalam kehidupan sehari-hari.
KALKULUS LANJUT

 TINJAUAN PUSTAKA
                Definisi


             Pembahasan


     Contoh soal dan penyelesaian


Aplikasi yang berkaitan dengan integral
              permukaan
KALKULUS LANJUT

            Definisi

Perhatikan Gambar
KALKULUS LANJUT

           Definisi
F(x,y) atau g (x,y,z) = 0
KALKULUS LANJUT

       Pembahasan

Satuan n di sebarang titik dari S disebut
satuan normal positif jika arahnya ke atas
KALKULUS LANJUT

         Pembahasan

Berkaitan dengan permukaan kecil dS dari
permukaan S dapat dibayangkan adanya vector
dS yang besarnya sama dengan dS dan arahnya
sama dengan n.

Maka :

          dS = n dS
KALKULUS LANJUT

         Pembahasan

Integral Permukaan yang disebut flux dari A
terhadap S. :

                A.ds     A.n ds
            s

Integral permukaan lainnya adalah :

           dS    ,      n dS          A x dS
                               ,

φ = Skalar fungsi
KALKULUS LANJUT

         Pembahasan

jika F adalah tegak lurus ( normal ) terhadap
bidang singgung ( dan karenanya terhadap S )

persamaan vektor satuan berlaku



  F       r   r    r    r        Sehingga
  F       x   y    v1   v2

                             F   Fx i Fy j    Fz k
KALKULUS LANJUT

          Pembahasan

Menghitung integral permukaan akan lebih
sederhana dengan memproyeksi-proyeksikannya.

Misal :

S mempunyai proyeksi R pada bidang xy,

                                         dx dy
Maka                       ˆ
                       A . n dS       A.n
                   s              s        n.k
KALKULUS LANJUT

 Pembahasan

Diproyeksikan pada bidang xz


                         dx dz
      A . n dS       A.n
  s              s        n. j
Diproyeksikan pada bidang yz


                         dy dz
      A . n dS       A.n
  s              s        n .i
KALKULUS LANJUT

            Contoh Soal

Hitunglah       A . n dS dengan A   xy ˆ x 2 ˆj (x z) k
                                       i              ˆ
            s

dan S adalah bagian dari bidang 2x + 2y + z = 6
yang terletak dikuadran pertama dan n unit vektor
tegak lurus S
KALKULUS LANJUT

           Penyelesaian
Jawab
Normal pada S mempunyai persamaan :
  ( 2x     2y   z    6)    2i    2j    k
      2i   2j   k   2      2   1
n=                 = i       j   k
      22   22   12
                    3      3   3

A.n= { xy i x j (x
             2
                         z) k } = 2 i 2 j 1 k
                                       3
     1
       [ 2xy 2x 2   ( x z)]
     3
     1
       [ 2xy 2x 2 x 2y 6 ]
     3
KALKULUS LANJUT

               Penyelesaian
                             dx dy
        ˆ
    A . n dS            A.n
s                   s          n.k
                   1                           dx dy
        ˆ
    A . n dS          ( 2xy - 2x 2 - x - 2y 6 )
s              s
                    3                            n.k
            1                                      dx dy
        ˆ
    A . n dS            ( 2xy - 2x 2 - x - 2y 6 )
s
             3      R
                                                      1
                   3 3 x
                                                      3
                        ( 2xy     2x 2    x   2y       6 ) dydx
               0 y 0
               3
                                                                3- x
                    (xy2     2x 2 y xy y 2          6y )    0
                                                                       dx
               0
                    27
                                6,75
                     4
KALKULUS LANJUT

                  Soal

Bagaimana dengan yang ini ??

Hitunglah       A . n dS dengan A   18z ˆ 12 ˆ 3y k
                                        i    j    ˆ
            s

dan S adalah bagian dari bidang 2x + 3y + 6z =12
yang terletak di kuadran pertama.
KALKULUS LANJUT

 Aplikasi Integral Permukaan

1. Massa shell (massa suatu permukaan)

  massa total shell diungkapkan melalui integral
  permukaan fungsi skalar dengan rumus :


     m      ( x, y, z )dS
KALKULUS LANJUT

 Aplikasi Integral Permukaan

2.pusat massa dan momen inersia dari shell

fungsi kepadatan kontinu µ(x,y,z) Koordinat pusat
massa dari shell yang didefinisikan oleh rumus
     M yz      M xz      M xy
 Xc       , yc      , zc      ,
      m         m         m
 Momen inersia dari cangkang tentang xy-, yz,
 dan xz-pesawat didefinisikan oleh rumus

          2                       2                       2
Ix       z ( x, y, z)dS , I y   ( x ( x, y, z)dS , I z   y ( x, y, z)dS
     s
KALKULUS LANJUT

  Aplikasi Integral Permukaan

 3.Gaya gravitasi dan Gaya tekanan
                     Misal m menjadi massa di
                     titik (x 0, y 0, z 0) luar
                     permukaan S Kemudian gaya
                     tarik-menarik antara
                     permukaan S dan massa m
                     diberikan oleh
                                                           r
                          F       Gm       ( x, y , z )     3
                                                              dS
                                       s                  r
dimana r ( x x0 , y y0 , z z0 )
G =konstanta gravitasi ,          ( x, y, z ) =fungsi kepadatan
KALKULUS LANJUT

 Aplikasi Integral Permukaan

4. Aliran fluida dan aliran massa seluruh permukaan

Menurut definisi, tekanan diarahkan ke arah yang
normal S di setiap titik. Oleh karena itu, dapat
ditulis
           F       p(r )d S       p ndS
               s              s
KALKULUS LANJUT

 Aplikasi Integral Permukaan

5. Muatan listrik didistribusikan melalui permukaan
  •Cairan Flux dan Flux Massa
               
              v (r )dS
          s


   •Permukaan Mengisi

    Q         ( x, y )dS
          s
KALKULUS LANJUT

Aplikasi Integral Permukaan

6.Hukum Gauss
            
           D.dS              Qi
       s                 i
                      
Dimana D            0 E, E
                           adalah   besarnya kekuatan
medan listrik
                    F
                      adalah permitivitas ruang bebas.
               12
 0   8,85 10
                    m
KALKULUS LANJUT

     Contoh Soal Aplikasi

Mengevaluasi kekuatan tekanan yang bekerja
pada bendungan sketsa pada Gambar, yang
mempertahankan reservoir air lebar W dan
kedalaman H.
KALKULUS LANJUT

    Penyelesaian Soal Aplikasi

Jawab :

Di bawah kondisi kesetimbangan hidrostatik,
tekanan pengukur pada permukaan bendungan
tergantung pada z diberikan oleh rumus
p( z )      g ( H z)
              W       H                                          z2
                                                                             H
                                                                                 gWH 2   
F        pndS               g (H   z ).( i )dydz   g ( i).W . Hz                         i
    s
                0       0                                           2        0
                                                                                  2

                                                                   
Vektor          menunjukkan arah
                    i                                          gaya F              ,
nilai absolut gaya :                                                    2
                              gW H
                       F
                                                             2
KALKULUS LANJUT

             Daftar Pustaka

Danang-Mursita. 2007. Matematika Dasar.Bandung : Rekayasa Bandung
Spiegel Phd,MR, Wrede Phd,R.2006.Kalkulus Lanjut.Jakarta : Erlangga

Wikipedia. 2012. http://www.integral-garis-dan-permukaan.ac.id
Tanggal Akses : 5 Desember pukul 16.51

Wikipedia. 2013. http://www.math24.net/physical-application-of-
surfuce-integrals.html Tanggal Akses : 1Januari pukul 14.16

Wikipedia. 2012. http://www.Sub_sub_17-5_Integral_Permukaan.ac.id
Tanggal Akses : 5 Desember pukul 16.38
Integral Permukaan

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

integral fungsi kompleks
integral fungsi kompleksintegral fungsi kompleks
integral fungsi kompleksmarihot TP
 
Persamaan garis lurus(Geometri Analitik Ruang)
Persamaan garis lurus(Geometri Analitik Ruang)Persamaan garis lurus(Geometri Analitik Ruang)
Persamaan garis lurus(Geometri Analitik Ruang)Dyas Arientiyya
 
Ruang Vektor ( Aljabar Linear Elementer )
Ruang Vektor ( Aljabar Linear Elementer )Ruang Vektor ( Aljabar Linear Elementer )
Ruang Vektor ( Aljabar Linear Elementer )Kelinci Coklat
 
09 a analis_vektor
09 a analis_vektor09 a analis_vektor
09 a analis_vektorTri Wahyuni
 
Modul persamaan diferensial 1
Modul persamaan diferensial 1Modul persamaan diferensial 1
Modul persamaan diferensial 1Maya Umami
 
Bab 7. Aplikasi Integral ( Kalkulus 1 )
Bab 7. Aplikasi Integral ( Kalkulus 1 )Bab 7. Aplikasi Integral ( Kalkulus 1 )
Bab 7. Aplikasi Integral ( Kalkulus 1 )Kelinci Coklat
 
Persamaan differensial part 1
Persamaan differensial part 1Persamaan differensial part 1
Persamaan differensial part 1Jamil Sirman
 
Integral Permukaan (Kalkulus Peubah Banyak)
Integral Permukaan (Kalkulus Peubah Banyak)Integral Permukaan (Kalkulus Peubah Banyak)
Integral Permukaan (Kalkulus Peubah Banyak)Kelinci Coklat
 
Ruang Hasil kali Dalam ( Aljabar Linear Elementer )
Ruang Hasil kali Dalam ( Aljabar Linear Elementer )Ruang Hasil kali Dalam ( Aljabar Linear Elementer )
Ruang Hasil kali Dalam ( Aljabar Linear Elementer )Kelinci Coklat
 
Persamaandifferensial
PersamaandifferensialPersamaandifferensial
PersamaandifferensialMeiky Ayah
 
Analisis Vektor ( Bidang )
Analisis Vektor ( Bidang )Analisis Vektor ( Bidang )
Analisis Vektor ( Bidang )Phe Phe
 
Persamaan diferensial
Persamaan diferensialPersamaan diferensial
Persamaan diferensialWiko Prameso
 
Modul persamaan diferensial
Modul persamaan diferensialModul persamaan diferensial
Modul persamaan diferensialAwatifAtif
 
Metode simpleks dua fase
Metode simpleks dua faseMetode simpleks dua fase
Metode simpleks dua fasespecy1234
 
Vektor, Aljabar Linier
Vektor, Aljabar LinierVektor, Aljabar Linier
Vektor, Aljabar LinierSartiniNuha
 

Was ist angesagt? (20)

Integral Lipat Tiga
Integral Lipat TigaIntegral Lipat Tiga
Integral Lipat Tiga
 
integral fungsi kompleks
integral fungsi kompleksintegral fungsi kompleks
integral fungsi kompleks
 
Persamaan garis lurus(Geometri Analitik Ruang)
Persamaan garis lurus(Geometri Analitik Ruang)Persamaan garis lurus(Geometri Analitik Ruang)
Persamaan garis lurus(Geometri Analitik Ruang)
 
Ruang Vektor ( Aljabar Linear Elementer )
Ruang Vektor ( Aljabar Linear Elementer )Ruang Vektor ( Aljabar Linear Elementer )
Ruang Vektor ( Aljabar Linear Elementer )
 
Modul 2 pd linier orde n
Modul 2 pd linier orde nModul 2 pd linier orde n
Modul 2 pd linier orde n
 
09 a analis_vektor
09 a analis_vektor09 a analis_vektor
09 a analis_vektor
 
Modul persamaan diferensial 1
Modul persamaan diferensial 1Modul persamaan diferensial 1
Modul persamaan diferensial 1
 
Bab 7. Aplikasi Integral ( Kalkulus 1 )
Bab 7. Aplikasi Integral ( Kalkulus 1 )Bab 7. Aplikasi Integral ( Kalkulus 1 )
Bab 7. Aplikasi Integral ( Kalkulus 1 )
 
Integral Garis
Integral GarisIntegral Garis
Integral Garis
 
Persamaan differensial part 1
Persamaan differensial part 1Persamaan differensial part 1
Persamaan differensial part 1
 
Integral Permukaan (Kalkulus Peubah Banyak)
Integral Permukaan (Kalkulus Peubah Banyak)Integral Permukaan (Kalkulus Peubah Banyak)
Integral Permukaan (Kalkulus Peubah Banyak)
 
Ruang Hasil kali Dalam ( Aljabar Linear Elementer )
Ruang Hasil kali Dalam ( Aljabar Linear Elementer )Ruang Hasil kali Dalam ( Aljabar Linear Elementer )
Ruang Hasil kali Dalam ( Aljabar Linear Elementer )
 
Persamaandifferensial
PersamaandifferensialPersamaandifferensial
Persamaandifferensial
 
Geometri analitik ruang
Geometri analitik ruangGeometri analitik ruang
Geometri analitik ruang
 
Pengenalan Persamaan Differensial Parsial
Pengenalan Persamaan Differensial ParsialPengenalan Persamaan Differensial Parsial
Pengenalan Persamaan Differensial Parsial
 
Analisis Vektor ( Bidang )
Analisis Vektor ( Bidang )Analisis Vektor ( Bidang )
Analisis Vektor ( Bidang )
 
Persamaan diferensial
Persamaan diferensialPersamaan diferensial
Persamaan diferensial
 
Modul persamaan diferensial
Modul persamaan diferensialModul persamaan diferensial
Modul persamaan diferensial
 
Metode simpleks dua fase
Metode simpleks dua faseMetode simpleks dua fase
Metode simpleks dua fase
 
Vektor, Aljabar Linier
Vektor, Aljabar LinierVektor, Aljabar Linier
Vektor, Aljabar Linier
 

Ähnlich wie Integral Permukaan (20)

1.5-Integral_Lipat_.pptx
1.5-Integral_Lipat_.pptx1.5-Integral_Lipat_.pptx
1.5-Integral_Lipat_.pptx
 
Integral lipat dua dalam koordinat cartecius
Integral lipat dua dalam koordinat carteciusIntegral lipat dua dalam koordinat cartecius
Integral lipat dua dalam koordinat cartecius
 
Tegangan
TeganganTegangan
Tegangan
 
Bab 4.-integral-lipat-dua1 2
Bab 4.-integral-lipat-dua1 2Bab 4.-integral-lipat-dua1 2
Bab 4.-integral-lipat-dua1 2
 
Integral
IntegralIntegral
Integral
 
Ppt materi kpb bab 11
Ppt materi kpb bab 11Ppt materi kpb bab 11
Ppt materi kpb bab 11
 
Integral
IntegralIntegral
Integral
 
Bab iii transformasi z
Bab iii   transformasi zBab iii   transformasi z
Bab iii transformasi z
 
Integral
IntegralIntegral
Integral
 
Integral rangkap
Integral rangkapIntegral rangkap
Integral rangkap
 
Integral rangkap
Integral rangkapIntegral rangkap
Integral rangkap
 
02 bab 1
02 bab 102 bab 1
02 bab 1
 
INTEGRAL
INTEGRALINTEGRAL
INTEGRAL
 
Aplikasi integral
Aplikasi integralAplikasi integral
Aplikasi integral
 
Divergensi
DivergensiDivergensi
Divergensi
 
Kalkulus%xii (1)
Kalkulus%xii (1)Kalkulus%xii (1)
Kalkulus%xii (1)
 
Fungsi bessel
Fungsi besselFungsi bessel
Fungsi bessel
 
Kalkulus
Kalkulus Kalkulus
Kalkulus
 
Medan vektor
Medan vektorMedan vektor
Medan vektor
 
Materi kalkulus 2
Materi kalkulus 2Materi kalkulus 2
Materi kalkulus 2
 

Integral Permukaan

  • 2. KALKULUS LANJUT PENDAHULUAN 1.Latar Belakang Untuk memenuhi kebutuhan dengan memperkaya teori integral melalui pengenalan bagian permukaan sebagai domain, dimana permukaan-permukaan tersebut dianggap melekat dalam ruang tiga dimensi. 2.Tujuan Untuk mengkaji materi mengenai integral permukaan, mengetahui bagaimana aplikasi dari integral permukaan, serta untuk memenuhi tugas matakuliah kalkulus lanjut
  • 3. KALKULUS LANJUT PENDAHULUAN 3.Ruang Lingkup Mengenai integral permukaan, contoh penyelesaian masalah- masalah yang berkaitan dengan integral permukaan, dan aplikasi integral permukaan dalam kehidupan sehari-hari. 4.Manfaat 1. Dapat memahami materi mengenai integral permukaan 2. Dapat mengetahui bahwa integral permukaan memiliki peran penting dalam kehidupan sehari-hari.
  • 4. KALKULUS LANJUT TINJAUAN PUSTAKA Definisi Pembahasan Contoh soal dan penyelesaian Aplikasi yang berkaitan dengan integral permukaan
  • 5. KALKULUS LANJUT Definisi Perhatikan Gambar
  • 6. KALKULUS LANJUT Definisi F(x,y) atau g (x,y,z) = 0
  • 7. KALKULUS LANJUT Pembahasan Satuan n di sebarang titik dari S disebut satuan normal positif jika arahnya ke atas
  • 8. KALKULUS LANJUT Pembahasan Berkaitan dengan permukaan kecil dS dari permukaan S dapat dibayangkan adanya vector dS yang besarnya sama dengan dS dan arahnya sama dengan n. Maka : dS = n dS
  • 9. KALKULUS LANJUT Pembahasan Integral Permukaan yang disebut flux dari A terhadap S. : A.ds A.n ds s Integral permukaan lainnya adalah : dS , n dS A x dS , φ = Skalar fungsi
  • 10. KALKULUS LANJUT Pembahasan jika F adalah tegak lurus ( normal ) terhadap bidang singgung ( dan karenanya terhadap S ) persamaan vektor satuan berlaku F r r r r Sehingga F x y v1 v2 F Fx i Fy j Fz k
  • 11. KALKULUS LANJUT Pembahasan Menghitung integral permukaan akan lebih sederhana dengan memproyeksi-proyeksikannya. Misal : S mempunyai proyeksi R pada bidang xy,  dx dy Maka ˆ A . n dS A.n s s n.k
  • 12. KALKULUS LANJUT Pembahasan Diproyeksikan pada bidang xz dx dz A . n dS A.n s s n. j Diproyeksikan pada bidang yz dy dz A . n dS A.n s s n .i
  • 13. KALKULUS LANJUT Contoh Soal Hitunglah A . n dS dengan A xy ˆ x 2 ˆj (x z) k i ˆ s dan S adalah bagian dari bidang 2x + 2y + z = 6 yang terletak dikuadran pertama dan n unit vektor tegak lurus S
  • 14. KALKULUS LANJUT Penyelesaian Jawab Normal pada S mempunyai persamaan : ( 2x 2y z 6) 2i 2j k 2i 2j k 2 2 1 n= = i j k 22 22 12 3 3 3 A.n= { xy i x j (x 2 z) k } = 2 i 2 j 1 k 3 1 [ 2xy 2x 2 ( x z)] 3 1 [ 2xy 2x 2 x 2y 6 ] 3
  • 15. KALKULUS LANJUT Penyelesaian  dx dy ˆ A . n dS A.n s s n.k  1 dx dy ˆ A . n dS ( 2xy - 2x 2 - x - 2y 6 ) s s 3 n.k  1 dx dy ˆ A . n dS ( 2xy - 2x 2 - x - 2y 6 ) s 3 R 1 3 3 x 3 ( 2xy 2x 2 x 2y 6 ) dydx 0 y 0 3 3- x (xy2 2x 2 y xy y 2 6y ) 0 dx 0 27 6,75 4
  • 16. KALKULUS LANJUT Soal Bagaimana dengan yang ini ?? Hitunglah A . n dS dengan A 18z ˆ 12 ˆ 3y k i j ˆ s dan S adalah bagian dari bidang 2x + 3y + 6z =12 yang terletak di kuadran pertama.
  • 17. KALKULUS LANJUT Aplikasi Integral Permukaan 1. Massa shell (massa suatu permukaan) massa total shell diungkapkan melalui integral permukaan fungsi skalar dengan rumus : m ( x, y, z )dS
  • 18. KALKULUS LANJUT Aplikasi Integral Permukaan 2.pusat massa dan momen inersia dari shell fungsi kepadatan kontinu µ(x,y,z) Koordinat pusat massa dari shell yang didefinisikan oleh rumus M yz M xz M xy Xc , yc , zc , m m m Momen inersia dari cangkang tentang xy-, yz, dan xz-pesawat didefinisikan oleh rumus 2 2 2 Ix z ( x, y, z)dS , I y ( x ( x, y, z)dS , I z y ( x, y, z)dS s
  • 19. KALKULUS LANJUT Aplikasi Integral Permukaan 3.Gaya gravitasi dan Gaya tekanan Misal m menjadi massa di titik (x 0, y 0, z 0) luar permukaan S Kemudian gaya tarik-menarik antara permukaan S dan massa m diberikan oleh r F Gm ( x, y , z ) 3 dS s r dimana r ( x x0 , y y0 , z z0 ) G =konstanta gravitasi , ( x, y, z ) =fungsi kepadatan
  • 20. KALKULUS LANJUT Aplikasi Integral Permukaan 4. Aliran fluida dan aliran massa seluruh permukaan Menurut definisi, tekanan diarahkan ke arah yang normal S di setiap titik. Oleh karena itu, dapat ditulis F p(r )d S p ndS s s
  • 21. KALKULUS LANJUT Aplikasi Integral Permukaan 5. Muatan listrik didistribusikan melalui permukaan •Cairan Flux dan Flux Massa   v (r )dS s •Permukaan Mengisi Q ( x, y )dS s
  • 22. KALKULUS LANJUT Aplikasi Integral Permukaan 6.Hukum Gauss   D.dS Qi s i    Dimana D 0 E, E adalah besarnya kekuatan medan listrik F adalah permitivitas ruang bebas. 12 0 8,85 10 m
  • 23. KALKULUS LANJUT Contoh Soal Aplikasi Mengevaluasi kekuatan tekanan yang bekerja pada bendungan sketsa pada Gambar, yang mempertahankan reservoir air lebar W dan kedalaman H.
  • 24. KALKULUS LANJUT Penyelesaian Soal Aplikasi Jawab : Di bawah kondisi kesetimbangan hidrostatik, tekanan pengukur pada permukaan bendungan tergantung pada z diberikan oleh rumus p( z ) g ( H z)   W H  z2 H gWH 2  F pndS g (H z ).( i )dydz g ( i).W . Hz i s 0 0 2 0 2   Vektor menunjukkan arah i gaya F , nilai absolut gaya :  2 gW H F 2
  • 25. KALKULUS LANJUT Daftar Pustaka Danang-Mursita. 2007. Matematika Dasar.Bandung : Rekayasa Bandung Spiegel Phd,MR, Wrede Phd,R.2006.Kalkulus Lanjut.Jakarta : Erlangga Wikipedia. 2012. http://www.integral-garis-dan-permukaan.ac.id Tanggal Akses : 5 Desember pukul 16.51 Wikipedia. 2013. http://www.math24.net/physical-application-of- surfuce-integrals.html Tanggal Akses : 1Januari pukul 14.16 Wikipedia. 2012. http://www.Sub_sub_17-5_Integral_Permukaan.ac.id Tanggal Akses : 5 Desember pukul 16.38