TaPL9

§. 9
Simply Typed Lambda-Calculus

8章でやったこと
型付け規則の導入（Simple types）
↓
型付けの一意性の証明
↓
型安全性の証明1: Progress　　
↓
型安全性の証明2: Preservation

型安全性とは（復習）
● TaPLにおける型安全性（Safety = Progress +
Preservation）とは：
型付けされた項は、途中でstuckになることは
なくきちんと評価される
ということ。
● 型安全性は、後の章で扱うより複雑な型システ
ムにおいても成立する。

Lambda abstractionとは
● 関数の抽象的表現
●
数学的な関数との対応
(1) f = λx.f(x)
(2) f(x) = (λx.f(x))(x)
(3) f(a) = (λx.f(x))(a)

Lambda abstractionとは
関数 t(x) 関数 x → x + 2x
λx.t λx.x*x + 2*x
func(x){t;} func(x){
return x*x + 2*x;
}
2
Mathematics
Programming

9章でやること
λ計算への型付け規則の導入（Simple types）
↓
型付けの一意性の証明
↓
型安全性の証明1: Progress　　
↓
型安全性の証明2-1: Preservation（代入）
型安全性の証明2-2: Preservation（評価）
型の削除の定義

これまで扱った体系
● Untyped booleans (3章)
●
Untyped arithmetic expressions (3章)
● Simply typed booleans (8章)
● Simply typed arithmetic expressions (8章)
●
Untyped lambda-calculus (5章)

●
Untyped booleans
Syntactic forms
t ::= v ::=
true true
false false
if t then t else t
Evaluation rules
　if true then t2 else t3 → t2 (E-IfTrue)
　if false then t2 else t3 → t3 (E-IfFalse)
t1 → t1'
if t1 then t2 else t3 → if t1' then t2 else t3
(E-If)
B

●
Untyped arithmetic expressions
(Extends untyped booleans)
New Syntactic forms
t ::= ... v ::= ...
0 nv
succ t
pred t nv ::=
iszero t 0
succ nv
NB

Evaluation rules
t1 → t1'
succ t1 → succ t1' (E-Succ)
pred 0 → 0 (E-PredZero)
pred (succ nv1) → nv1 (E-PredSucc)
t1 → t1'
pred t1 → pred t1' (E-Pred)
iszero 0 → true (E-IszeroZero)
iszero (succ nv1) → false (E-IszeroSucc)
t1 → t1'
iszero t1 → iszero t1' (E-Iszero)
●
Untyped arithmetic expressions (Extends booleans) NB

●
Simply typed booleans
New Syntactic forms
T ::= types
Bool type of booleans
New typing rules
　true : Bool (T-True)
　false : Bool (T-False)
t1 : Bool t2 : T t3 : T
if t1 then t2 else t3 : T
(T-If)
:B

●
Simply typed arithmetic expressions
(Extends A.E. and simply typed Bool.)
New Syntactic forms
T ::= ... types
Nat type of natural numbers
New typing rules
　0 : Nat (T-True)
t1 : Nat
succ t1 : Nat (T-Succ)
t1 : Nat
pred t1 : Nat (T-Pred)
t1 : Nat
iszero t1 : Bool (T-Iszero)
:NB

● Untyped lambda-calculus
Syntactic forms
t ::= ... terms v ::=
x variable λx.t abstraction value
λx.t abstraction
t t application
Evaluation rules
t1 → t1'
t1t2 → t1't2 (E-App1)
t2 → t2'
v1t2 → v1t2' (E-App2)
(λx.t12)v2 → [x → v2]t12 (E-AppAbs)
→

B
これまで扱った体系
NB
:B
:NB
→
extend extend
extend
extend

これから導入する体系
→ ：→
B
NB
:B
:NB
extend extend
extend
extend
extend
基本型として
導入

「関数型」導入の試み
● λ抽象に対して型付けを行いたい。
●
まずは、全てのλ抽象を同一の型“→”で
型付けしてみる：
λx.t : →
● 例：λx.not x : →
　　λx.λy.y : →

● この型付けの問題点：
　先の2つの関数を true : Bool に適用すると、
　(λx.not x) true → not true = false : Bool
　(λx.λy.y) true → λy.y : →
●
関数であることを表現するだけでは不十分
⇒引数・返り値の型を関数型の中に含める：
<λ抽象> : T1 → T2

● 引数の型についての問題：
　ある文の中にλ抽象があるとき、
　…… λx.t ……
　このλ抽象について、期待されている引数の型を
　どのように知るか？
●
方法１：型推論
● 方法２：明示的型付け
cf. 8.6節 Curry-style vs.Church-style

● 方法１：型推論
式を見て、引数の値がどのように使われている
か判断する
　λx.not x　⇒ x : Bool のはず
● 方法２：明示的型付け
λ抽象の表式に、期待される引数の型を付加す
る
　λx:Bool.not x

● 返り値の型についての問題：
　λ抽象　λx:T1.t　の返り値の型はどのように
　決まるか？
● 例：
id1 = λx:Bool.x id2 = λx:(Bool→Bool).x
id1 true = (λx:Bool.x) true = true : Bool
id2 id1 = (λx:(Bool→Bool).x)id1 = id1 : Bool→Bool

●
λ抽象　λx:T1.t　の返り値の型は、
引数の型に関する制約条件 x : T1 の下で定まる、
λ抽象の body t の型である。
　　 x : T1 |- t : T2　　　
|- λx:T1.t : T1 → T2

● 型環境Γ (typing context)
Γ |- t : T　と書いたとき、Γは
項 t に含まれる自由変数に関する型制約の
なす順序付集合を表す：
　Γ={x1:T1, x2:T2,..., xk:Tk}
　Γ, s:S := {x1:T1,..., xk:Tk,s:S}
(s ∈ dom(Γ))
Φ, s:S =: s:S (={s:S})
注) Γ, s1:S1, s2:S2 ≠ Γ, s2:S2, s1:S1

● Simply typed lambda-calculus
Syntactic forms
t ::= ... terms
x variable
λx:T.t abstraction
t t application
v ::=
λx:T.t abstraction value
T ::= terms
T → T type of functions
Γ ::= typing contexts
Φ empty context
Γ, x:T term variable binding
:→

●
Simply typed booleans
as a family of fundamental types
Merged Syntactic forms of types
T ::= types
Bool type of booleans
T → T type of functions
Typing rules
　as above.
Bool, Bool → Bool, Bool → (Bool → Bool),...
などが具体的な型として存在
:B

型付けの一意性（Simple types）
● Simply typed lambda-calculusでは、次の型付
けの一意性定理が成り立つ(Thm 9.3.3)：
与えられた型環境Γの下で、
任意の項 t は、高々1つの型しかもたない。
(つまり、t がwell typedならばその型は一意)
さらに、t の型付けの導出木も一意に定まる。

型付けの一意性（具体例）
x:Bool ∈ x:Bool
　　　
x:Bool |- x:Bool
　　　　　　　
|- λx:Bool.x : Bool→Bool |- true: Bool
　　　　　　　　　　　　　　　　　
|- (λx:Bool.x)true : Bool
● t = (λx:Bool.x)true の型の導出木

x:Bool ∈ x:Bool
　　　
x:Bool |- x:Bool
　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　
T-Var

x:Bool ∈ x:Bool
　　　
x:Bool |- x:Bool
　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　
T-Var
T-Abs T-True

x:Bool ∈ x:Bool
　　　
x:Bool |- x:Bool
　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　
T-Var
T-Abs T-True
T-App

型付けの一意性（証明）
● 方針：
subtermsに関する数学的帰納法で証明する。
つまり、
項 t に対し、すべての直下のsubtermに関して定理の
主張（型付けの一意性）が成り立っていると仮定した
とき、
t の型が一意に定まることを示す。

● 方針：
t の取りうるsyntax（項の形式）に応じて場合分けす
る。
● t = x (Case-Variable)
● t = λx:T1.t2 (Case-Abstraction)
●
t = t1 t2 (Case-Application)
●
t = true (Case-True)
● t = false (Case-False)
● t = if t1 then t2 else t3 (Case-If)

定理の仮定から、ある型 R が存在し
Γ |- λx:T1.t2 : R
このとき、Lemma 9.3.1 - 2 より
ある型 R2 が存在し、
R = T1 → R2, Γ,x:T1 |- t2 : R2
帰納法の仮定より、t の body t2 の型付けは一意。
したがって、型付け規則 (T-Abs) により
t はその型として R のみを持つ。

残りのケース
●
●
t = x (Case-Variable)
→　上と同様
→　8章と同様
●
●
t = false (Case-False)
→　Lemma 9.3.1 からダイレクトに従う

● Lemma 9.3.1 の証明
それぞれの項のsyntaxから、適用できる型付け規則が
一意に定まる。
e.g. t = λx:T1.t2に適用できる規則は (T-Abs) のみ
これにより、補題の主張が従う。

型付けの一意性定理
Simply typed lambda-calculusにおいては
● 任意のwell-typedな項が唯一つの型を持つ
●
任意のwell-typedな項について、型の導出木は
唯一つである
※注意
後の章で扱う、より複雑な型システムにおいて
は、一般にこのような定理は成り立たない
cf. subtyping

型安全性の証明
● ここでは、Simply typed lambda-calculusにお
いて下記3つの定理が成り立つことを示す：
Theorem 9.3.5 (Thm. of Progress)
Closed(自由変数なし) & well typedな項は
非stuck
Lemma 9.3.8 (Thm. of Preservation)
項への代入は型を変えない。
Theorem 9.3.9 (Thm. of Preservation)
項の評価は型を変えない。

Progress（証明）
● 方針：
導出に関する数学的帰納法で証明する。
つまり、
|- t : T に対し、そのすべてのsubtermに関して定理
の主張（それらがvalueである、または前進評価が可
能であること）を仮定したときに、
t 自身も同様にvalueである、または前進評価が可能
であることを示す。

● 方針：
直前のtyping rule（導出規則）に応じて場合分け。
●
●
● t = true (Case-True)

● t = t1 t2 (Case-Application)
このとき、
|- t1 : T11 → T12, |- t2 : T11
帰納法の仮定より、subterm t1 について
(i) ある t1' が存在し、 t1 → t1'
(ii) t1 は value

(i) ある t1' が存在し、 t1 → t1'
このとき、E-App1より
t = t1 t2 → t1't2
(ii) t1 は value
このとき、帰納法の仮定より、subterm t2 について
　(a) ある t2' が存在し、 t2 → t2'
　(b) t2 は value

　(a) ある t2' が存在し、 t2 → t2'
　いま、t1 はvalueなので、E-App2により
　t = t1 t2 → t1 t2'
　(b) t2 は value
　いま、t1 (:T11 → T12)はvalueなので、
Lemma9.3.4より t1 = λx:T11.t12
よって、E-AppAbsにより
　t = (λx:T11.t12)t2 → [x → t2]t12

Lemma9.3.4（Canonical Forms）
(i) v が Bool型のvalueのとき、
v = true or v = false
(ii) v が T1 → T2 型のvalueのとき、
v = λx:T1.t2
証明：
Simply typed λ-calculus において、valueの取りう
るsyntactic form は true, false, λx:T.t の3種
(ii) v = true と仮定する。
補題の仮定より、true : T1 → T2
⇒ Lemma 9.3.1(inversion lemma)-4 に矛盾

Preservation: 代入（証明）
● 方針：
つまり、
t : T に対し、そのすべてのsubtermに関して定理の
主張（代入によって型が不変であること）を仮定した
ときに、
t 自身も同様に、代入によって型が不変であることを
示す。

● 方針：
●
●
● t = true (Case-True)

● t = λy:T2.t1 (Case-Abstraction)
このとき、
T = T2 → T1
Γ,x:S,y:T2 |- t1 : T1
なるT1が存在する。
型環境の定義より、y≠x, y∈FV(s)であるから、
Lemma9.3.6 (Permutation)より、
Γ,y:T2,x:S |- t1 : T1

● t = λy:T2.t1 (Case-Abstraction)
Γ |- s:S と Lemma9.3.7 (Weakening)より、
Γ,y:T2, |- s:S
一方、t1に対して、帰納法の仮定から
Γ,y:T2 |- [x → s]t1 : T1
よって、T-Absにより
Γ |- λy:T2[x → s]t1 : T2 → T1

置換の補題、弱化の補題
● Lemma 9.3.6 (Permutation)
「型環境への置換操作の下で型付けは不変」
Γ |- t:T, Δ=P(Γ) P:Permutation
⇒Δ |- t:T
●
Lemma 9.3.7 (Weakening)
「型環境の拡大の下で型付けは不変」
Γ |- t:T, x ∈ dom(Γ)
⇒ Γ,x:S |- t:T
ともに、型導出に関する数学的帰納法により示される

Preservation: 評価（証明）
● 方針：
つまり、
t : T に対し、そのすべてのsubtermに関して定理の
主張（評価によって型が不変であること）を仮定した
ときに、
t 自身も同様に、評価によって型が不変であることを
示す。

● 方針：
●
●
●

● 方針：
●
●
●
8章

このとき、
Γ |- t1 : T1 → T
Γ |- t2 : T1
t に直前に適用された評価規則として、
E-App1, E-App2, E-AppAbs
の3つがありえる。

● Subcase-E-App1
このとき、あるt1'が存在し、
t1 → t1'
t → t' = t1't2
帰納法の仮定により、
Γ |- t1': T1 → T
よって、T-Appより
Γ |- t1't2 : T
● Subcase-E-App2 もほぼ同様。

● Subcase-E-AppAbs
このとき、あるt12が存在し、
t1 = λx:T1.t12
t → t' = [x → t2]t12 (x ∈ dom(Γ))
t1 : T1 → T であったから、Lemma9.3.1-2 より
Γ,x:T1 |- t12 : T
これと Γ |- t2 : T1 より、
Lemma9.3.8（型保存の定理：代入）を適用できて
Γ |- [x → t2]t12 : T

型の削除
● 項の評価（プログラム実行）時には、型情報を
保持しておく必要はない。
（型安全性は静的に保障されているので）
● 型の削除は、評価の任意のタイミングで行うこ
とができる
（評価してから型を外しても、型を外してから
評価しても、評価結果は変わらない）

型の削除
Simply typed λ-calculus での erasure（型
削除子）の定義:
変数に対して、
erase(x) := x
λ抽象に対して、
erase(λx:T.t) := λx.erase(t)
関数適用に対して、
erase(t1 t2) := erase(t1)erase(t2)

型の削除
定理（9.5.2）:
1.
2.
t t'
erase(t) erase(t')
erase erase
t t'
erase(t) m'
erase erase
ﾖ

型の削除
t0
e(t0) e(t1)
t1
e(ti)
ti
e(tn)
tn
・・・
・・・
・・・
・・・
erase
evaluation
e(・) := erase(・)

型づけ可能性（Def 9.5.3）
t0
m0
t1 ti tn
・・・
・・・
・・・
・・・
m1 mi mn
typed λ-calculus
untyped λ-calculus
Untyped lambda-calculus の項から見ると、
この関係は「型付け可能性」を示している

9章のまとめ
● 5章で扱った lambda-calculus の体系
に、Simply typed booleansを基本型として
Simpleな型付け規則を導入しました。
● Simply typed lambda-calculus において、
型付けの一意性を証明しました。
● Simply typed lambda-calculus において、
型安全性(Progress + Preservation) を証明し
ました。

Appendix
● Curry-Howard対応 (9.4節)
論理とプログラミング言語の対応関係
≪命題Pの証明（可能性）≫の問題を
≪型Pの項（の存在）≫に帰着させることがで
きる。
λ簡約…証明の単純化に相当
●
様々な論理／型システムに適用可能
例：線形論理　→　線形型システム

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