Raz. matematico

41 42COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3er Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 3er Año Secundaria
INDICACIÓN:
A continuación se te detalla el planteamiento de
cada ecuación, analiza y saca tus conclusiones:
a) El triple de un número :
↓ ↓ ↓
3 • x → 3x
b) El cuádruple de un número disminuido en 8:
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
4 • x - 8
→ 4x - 8
c) Los dos quintos de un número agregado
↓ ↓ ↓ ↓
4 • x +
en su doble :
↓
2 . x
d) El producto de 3 números enteros consecutivos
( x - 1) ( x ) ( x + 1)
es 120
= 120
e) El exceso de mi edad sobre 8 es 34 años:
↓ ↓ ↓ ↓
x - 8 = 34
.7deal triple
3enexcedenúmeroundecuádrupleEl)f
3(7)
4x

  
⇒ excesomenormayor
3)7(3x4 =−

g) El doble de un número excede en 20 a su
suma con 8.
..............................................................
h) El cuadrado de un número disminuido en
119, es igual a 10 veces el exceso del número
con respecto a 8.
(...............)2
= .......... - ...........
i) El cuadrado de un número, disminuido en
119 es igual a 10 veces el exceso del número
con respecto a 8.
..............................................................
j) El exceso de 6 veces un número sobre 50
equivale al exceso de 50 sobre 4 veces el
número. Calcular dicho número.
* Sea el número : x
* 6 veces el número : 6x
* El exceso de 6 veces un número sobre 50:
6x–50
* 4 veces el número : .....................
* El exceso de 50 sobre 4 veces el
número: ..........
Finalmente, la ecuación será:
.................................................................
k) Un grupo de abejas, cuyo número era igual a
la raíz cuadrada de la mitad de todo el
enjambre, se posó sobre un jazmín, habiendo
dejado muy atrás a
9
8
del enjambre; sólo
una abeja del mismo enjambre revoloteaba
alrededor de un loto, atraída por el zumbido
de una de sus amigas que cayó
imprudentemente en la trampa de la
florecilla, de dulce fragancia.
¿Cuántas abejas formaban el enjambre?
* Número de abejas del enjambre : x
* La raíz cuadrada de la mitad de todo el
enjambre:
2
x
*
9
8
del enjambre : ................................
* Sólo una abeja del mismo enjambre
revoloteaba alrededor de un
loto: ....................................
* Una de sus amigas que cayó
imprudentemente en la trampa de la
florecilla, de dulce fragancia:
....................................
11x
9
8
2
x
x +++=
l) Regocijanse los monos divididos en dos
bandos: su octava parte al cuadrado en el
bosque se solaza. Con alegres gritos, 12
atronando el campo están. ¿Sabes cuántos
monos hay en la manada, en total?
* Número total de monos de la
manada: ..............
* Su octava parte al cuadrado : ..................
* 12 atronando el campo están: ....................
..............................................................
m) Juan le dice a Pedro: Dame s/. 18 000 y así
tendré el doble que tú y Pedro le contesta,
más justo es que tú me des S/. 15 000 y así
tendremos los dos igual cantidad. ¿Cuánto
tenía Pedro?
* Dinero que tenía Pedro : x
* Dinero que tenía Juan : y
* Cuando Juan le dice a Pedro dame S/. 18 000 y
así tendré el doble que tú.
⇒ x + 18 00 = 2(y – 18 000) ......... (1)
* Cuando Pedro le contesta, más justo es que
tú me des S/. 15 000 y así tendremos los
dos igual cantidad.
⇒ .................. = .................... ......... (2)
Luego: Despejando “x” de (1) y de (2) e
igualamos.
⇒ La ecuación final será:
..............................................................
n) Se ha comprado por S/. 6000, cierto número
de radios, si hubiera comprado 30 más, con
la misma cantidad de dinero, cada uno
hubiera costado S/. 180 más barato. Calcular
el número de radios.
* Número de radios comprado con S/.
6000 : x
* Precio de cada radio :
x
6000
....... (1)
* Si hubiera comprado 30 radios más el
precio de cada radio sería:
30x
6000
+
..... (2)
* Al comprar 30 radios más, el precio de
cada radio costaría S/. 180 más barato.
⇒ La ecuación final sería:
.................................................................
PRÁCTICA DE CLASE I
01.Las edades son:
Edad de Pablo: ........................
Edad de Luis: ........................
S3RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S3RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
III
PLANTEAMIENTO
DE ECUACIONES

“Juntos suman 52 años”
..................................................................
Dentro de “........” años, sus edades serán:
Edad de Pablo: ........................
Edad de Luis: ........................
“...... será la edad de Pablo la mitad de la de
Luis”.
...................................................................
02.Las edades son: (Edad de Javier es la
cuádruple de la edad de Juana)
Edad de Juana: ........................
Edad de Javier: ........................
“Las edades de Juana y Javier suman 30
años”
...................................................................
Dentro de “......” años, sus edades.
Serán:
Edad de Juana: ........................
Edad de Javier: ........................
“...... La edad de Juana será la tercera parte de
la de Javier”
03.Las edades actuales son:
Edad de Emilio: ........................
Edad de Guido: ........................
Las edades dentro de 2 años serán:
Edad de Emilio: ........................
Edad de Guido: ........................
“Si dentro de 2 años la mitad, de la edad de
Guido excederá en 2 a la tercera parte de la
edad de Emilio”
...................................................................
04. Las edades son:
Edad de Paola: ........................
Edad de Cecilia: ........................
“La mitad de la edad de Cecilia, más la
tercera parte de la edad de Paola, es 18”.
...................................................................
05. Sea el número: ....................
Excede a 24: ....................
Es excedido por 56: ....................
“Excede 24 tanto como es excedido por 56”
...................................................................
06.Dinero que tengo: .................
Me falta para tener S/.26: .....................
Me falta para tener S/.20: .....................
“.................. el doble .....................”
07.Sea el número: ......................
Seis veces un número: ...................
El exceso de 6 veces un
número sobre 50: ...................
Cuatro veces un número: ...................
El exceso de 50 sobre cuatro
veces el número: ...................
“ ...................... equivale ..................... “
...................................................................
08.Sea el número: ....................
El número multiplicado por 2:
Tres veces 6:
4 unidades menos que tres veces 6: ..............
“ ...................... es .....................”
...................................................................
09.El día tiene 24 horas; pero se trabaja sólo para
15 horas.
Tiempo transcurrido: ..................
Tiempo que falta transcurrir: ..................
“Faltan para las 15 horas la mitad del tiempo
transcurrido”
...................................................................
10.El día tiene 24 horas,
Tiempo transcurrido: ..................
Tiempo que falta transcurrir: ..................
“Faltan los 2/3 de lo que no gasté”
...................................................................
11.Dinero que tenía: ........................
Dinero que gasté: ........................
Dinero que no gasté: ........................
“Gasté los 2/3 de lo que no gaste”
...................................................................
“Aún me quedan S/.20 más de lo que gasté”
12.Cada empleado debe cobrar: ...................
Número de empleados
que se retiran: ....................
Número de empleados que
se quedan (resto): .....................
El resto cobra cada uno: .....................
El resto tiene que cobrar S/.140, cada uno”.
...................................................................
13.Tenía: ......................
Gasté: ......................
No gasté: ......................
El regalo costó: ......................
Si no hubiera comprado el regalo hubiera
gastado: ......................
Y no hubiera gastado: ......................
“ ......... tan solo subiera gastado 2/3 de lo que
no hubiera”
...................................................................
14.Tenía: ........................
Perdí: ........................
Tengo (no perdí): ........................
Cuando compre un libro de S/.32, me hubiera
sobrado: ........................
Pero hoy me falta para comprar el libro de
S/.32: ........................
“........ me hubiera sobrado tanto como hoy
me falta”.
...................................................................
15.Peso de una sandía: ........................
Una sandía pesa 4 kg más media sandía”
...................................................................
16.Sea el número:
El número que tanto más es del cuadrado de
la mitad de 20: ........................
El número que tanto menos es de la mitad del
cuadrado de 20: .......................
“............ es tanto ............. como
tanto ............”
...................................................................
17.Número de hijos que tiene el padre: ...............
Si a cada hijo le da S/.480,
su fortuna es: ..................
Si 2 de los hijos renuncian, sólo se reparten
entre. ............... y a cada uno le toca S/.720.
Su fortuna repartida ahora es: ..................
Ojo: en ambos casos la fortuna es la misma.
...................................................................
18.Precio de cada libro que se compra:
Número de libros que se compran por
S/.120: ...................
Si el precio de cada libro aumenta en S/.2,
ahora costará: ..................
El número de libros que se compraría con
S/.120 sería: ..................
“........ se compraron 3 libros menos”
...................................................................
19.En total han jugado 13 juegos:
Número de juegos que ganó “A”: ................
Número de juegos que ganó “B”: ................
(1) Número de juegos más que ganó “A” a
“B” es: ................
(2) Cómo “A” ganó al final S/.10, el número
de juegos más que gano “A”
es: ....................

Entonces (1) y (2) son iguales:
...................................................................
20.Sus dimensiones son:
Cabeza: .........................................
Cola: .........................................
Cuerpo: .........................................
La cola mide tanto como la cabeza más medio
cuerpo”.
...................................................................
21.Número de billetes de S/.100 ...................
Monto que se paga con billetes
de S/.100: ...................
Número de billetes de S/.20: ...................
Monto que se paga con
billetes de S/.20: ...................
“Una cantidad de S/.580 se paga con billetes
de S/.100 y S/.20”
...................................................................
22.Número total de animales: ...................
Número de perritos: ...................
Número de gatitos: ...................
Número de loritos: ...................
“Número de perritos + Número de gatitos +
Número de loritos es igual a .............. “
...................................................................
23. Número de respuestas en blanco: .............
Número de respuestas correctas .............
Si en total fueron 30 preguntas, el número de
incorrectas fueron: ....................
Si el puntaje fue de 82 puntos, entonces:
...................................................................
24. Dos comerciantes llevan juntos al mercado
120 camisas y las venden a precios diferentes.
Lo que uno cobra es el triple de lo que cobra
el otro, pero al final de la jornada ambos han
recibido igual cantidad de dinero. La
diferencia del número de camisas que han
vendido entre uno y otro es:
a) 30 b) 40 c) 60
d) 90 e) N.a.
25. En una granja hay 60 gallinas y hay 5 patos
por cada 7 cerdos. Luego , el dueño de la
granja compra 50 patos, 40 cerdos y un cierto
número de gallinas . ¿ Cuántas gallinas
compró, si al final, el número de patos, cerdos
y gallinas que posee el granjero son
proporcionales á 5, 6 y 8 respectivamente ?
a) 120 b) 150 c) 180
d) 240 e) 300
26. ¿ Cuál es la inversa del doble de la inversa
del promedio de las inversas de dos
cantidades tales como “a” y “b” ?
a)
ba
ab2
+
b)
ab4
ba +
c)
ba
ab4
+
d)
ab2
ba +
e)
ab
ba +
27.Dos secretarias tienen que escribir 300 cartas
cada una. La primera escribe 15 cartas por
hora y la segunda 13 cartas por hora. Cuando
la primera haya terminado su tarea. ¿ Cuántas
cartas faltarán por escribir a la segunda ?
a) 20 b) 26 c) 39
d) 40 e) 60
28. La suma de dos números menos 15 unidades
es igual a 2 veces la diferencia y cuando se
suman 10 unidades a la suma se obtiene 3
veces la diferencia. El mayor de los números
es :
a) 40 b) 45 c) 65
d) 35 e) 25
29. De un número de 3 cifras, suman sus cifras,
20 ; al hallar lo que le falta a este número
para ser 1,000 , obtendrás otro, cuya suma de
cifras será :
a) Mayor que 20 b) Menor que 20
c) Exactamente 20 d) Exactamente 8
e) Estará entre 8 y 20
30. Si a un número entero se le agrega dos ceros
a la derecha, dicho número aumenta en 78111
unidades. El número mencionado es.
a) 899 b) 879 c) 789
d) 689 e) 889
31. Al comprar 11 cuadernos y 9 lapiceros gasté
S/. 910. Si hubiera comprado 9 cuadernos y
11 lapiceros habría gastado S/. 890. ¿ Cuál es
el costo de 2 cuadernos y 3 lapiceros ?
a) S/. 180 b) S/. 200 c) S/. 250
d) S/. 220 e) S/. 230
32. Una persona divide el dinero que tiene en el
bolsillo entre 100, obteniendo un entero n,
luego da “n” monedas de 10 soles a un
mendigo quedándose con 720 soles, ¿ Cuánto
tenia en el bolsillo ?
a) 740 b) 860 c) 880
d) 900 e) 800
33.Tres amigos van de pesca, uno pesca tres
peces y otro 5 peces, el tercero nada. Al
regreso los cocinan y comen los 3 la misma
cantidad. Al despedirse, el que no aportó nada
entrega 8 lombrices para que se repartan por
los peces que comió. Si el reparto fue justo
¿ cuánto recibió el que aportó 5 peces ?
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 4
34. La longitud de una vereda se mide primero
en metros, y luego en pies. El número de
metros se diferencia del número de pies en
1083. ¿ Cuál es la longitud, en metros, de la
vereda ? [ 1 pies = 0.278 metros ]
a) 411 b) 417 c) 514
d) 359 e) 482
35. Luchito vende 432 naranjas de dos calidades
a 720 nuevos soles la docena y 1200 nuevos
soles la docena . Por la venta de naranjas ha
recaudado 33600 nuevos soles. ¿ Cuánto
nuevos soles obtuvo por la venta de las
naranjas de la primera calidad; si por cada dos
docenas vendidas regala 3?
a) 1200 b) 26400 c) 7200
d) 1350 e)N.a.
36. Al duplicar un número, éste queda
disminuido en 7. ¿ Cuál es este número ?
a) 0 b) –1 c) 7
d) -7 e) 3.5
37.Tres niños se reparten una bolsa de
caramelos, tomando el primero la mitad del
total más uno, el segundo la tercera parte de
lo que quedó y el tercero los 24 caramelos
restantes. ¿ Cuántos caramelos hubo en la
bolsa ?
a) 36 b) 37 c) 72
d) 74 e) 86
38. ¿ Cuál es el número que al aumentar en su
quinta parte resulta 12 ?
a) 8 b) 9 c) 10
d) 11 e) 8.5
39. Si al comprar una docena de lapiceros me
regalan 1 lapicero. ¿ Cuántas docenas he
comprado si recibo 338 lapiceros ?
a) 21 b) 24 c) 26
d) 28 e) 30
40. Se compran 24 Kgs. de una mercancía a
razón de 200 soles el hectogramo. ¿ A cómo
hay que vender el decagramo para ganar en
total 24,000 soles ?
a) 80 b) 50 c) 40
d) 30 d) 60
41.La diferencia de los cuadrados de dos
números impares es 840, mientras que la
diferencia entre ellos es 4. ¿ Cuál de estos
números es uno de ellos?

a) 101 b) 109 c) 111
d) 107 e) 105
42. ¿ Cuál es el número mayor que “x” en 2.
a) x-2 b) 4 c) x+2
d) 2x e) 3x
43. Entre Carmen, Luisa y Nora tienen S/. 350
Carmen tiene S/. 60 más que Luisa y Nora
tiene S/. 70 menos que Luisa; ¿ Cuánto tiene
Carmen ?
a) S/. 120 b) S/. 140 c) S/. 1603
d) S/. 180 e) S/. 200
EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01
01.Halar dos números que suman 54, tales que la
quinta parte del mayor sea igual a la cuarta
parte del menor. (Dar como respuesta el triple
del menor)
a) 76 b) 72 c) 84
d) 78 e) 82
02.4/ 5 de la suma de dos números es igual a 32
y 10/ 9 de su diferencia es 20. Encuentra el
menor.
a) 29 b) 13 c) 11
d) 27 e) 14
03.Dividir 32 en dos partes tales que dividiendo
la mayor de las partes entre el menor se
obtenga por cocientes 5 y por resto 2.
¿Calcular una de las partes?
a) 6 b) 9 c) 15
d) 27 e) 18
04.José y Antonio tienen 45 manzanas; José le
dice a Antonio: “dame 5 manzanas y así
tendré el doble que tú”. ¿Cuántas manzanas
tiene Antonio?
a) 25 b) 20 c) 35
d) 30 e) N.a.
05.La mitad de un número a la tercera parte de
otro. ¿Cuáles son dichos números si su suma
es igual a 10?
a) 4 y 6 b) 2 y 8 c) 1 y 9
d) 3 y 7 e) N.a
06.Añadiendo el primero de dos números a la
mitad del segundo, o añadiendo el segundo al
tercio del primero, la suma da 10 en ambos
casos. Hallar uno de los números
a) 7 b) 8 c) 9
d) 10 e) 12
07.Un número dividido entre otra da como
cociente 13. Si la diferencia de ambos es 180.
¿Cuál es le mayor de los números?
a) 196 b) 190 c) 195
d) 205 e) 225
08.Si la mitad del número menor se resta del
mayor de dos números, el resultado es 65.
Hallar los números, si difieren e 35.
a) 70 y 105 b) 80 y 115 c) 60 y 95
d) 90 y 155 e) N.a
09.Hallar dos números cuya suma y cuyo
cociente sean respectivamente 169 y 12 (Dar
como respuesta el menor)
a) 12 b) 13 c) 14
d) 15 e) 17
10.Un padre reparte entre sus 2 hijos S/. 1200.
Si el doble de lo que recibe uno de ellos
excede en S/. 300 a lo que recibe el otro.
¿Cuánto recibe cada uno?
a) S/. 500 y S/. 700 b) S/. 400 y S/. 800
c) S/. 450 y S/. 750 d) S/. 350 y S/. 850
e) N.a.
11.Dos números están en la razón de 10 a 5 si se
resta 20 al primero y se suma 20 al segundo,
la razón de ellos se invierte. ¿Cuáles son los
números?
a) 80 y 40 b) 60 y 30 c) 40 y 20
d) 20 y 10 e) N.a
12.Dividir 260 en dos partes de modo que el
doble de la mayor dividido por el triple de la
menor de 2 como cociente y 40 de resto.
Hallar a una de las partes.
a) 80 b) 70 c) 200
d) 180 e) 220
13.El doble de la edad de Ángela sobrepasa en
14 años la edad de Sergio, Y un quinto de la
edad de Sergio es 13 años menos que la edad
de Ángela. Calcule la edad de Ángela.
a) 15 años b) 18 años c) 16 años
d) 17 años e) 20 años
14.Andrés le pagó a Carlos S/. 1 550 en billetes
de S/. 100 y de S/. 50. En total le dio 21
billetes. ¿Cuántos eran de S/. 50?
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 15
15.La suma de las cifras de un número de dos
cifras es 7. Si se invierten las cifras, el nuevo
número es igual a dos veces el número
anterior, más dos unidades. Calcule el
número.
a) 24 b) 26 c) 25
d) 28 e) 27
16.Determina dos números sabiendo que,
agregando 12 al mayor se obtiene el duplo de
las suma de 5 más el menor, y que,
sustrayendo 2 al mayor, se obtienen el triple
de la diferencia entre el menor y 3. Dar como
respuesta uno de los números.
a) 6 b) 8 c) 10
d) 7 e) 9
17.Un comerciante vende 84 pares de medias a
dos precios distintos, unos pares a S/. 4,
50 cada uno y los otros a S/. 360 cada uno,
obteniendo en total de la venta S/. 310, 50.
¿Cuántos pares de medias de S/. 4, 50 vendió
dicho comerciante?
a) 12 b) 9 c) 15
d) 10 e) N.a.
18.El numerador de una fracción supera en 1 al
triple del denominador. Si se sustraen 4
unidades de ambos términos de la fracción, se
obtiene una fracción equivalente a 6.
Determine la fracción dada.
a) 19/ 6 b) 22/ 7c) 16/ 5
d) 13/ 4 e) 25/ 8
19.La división de un número por otro da 10 por
cociente y 9 de residuo. Calcular el mayor de
ambos números sabiendo que sumados dan
438.
a) 372 b) 402 c) 300
d) 399 e) 350
20.Determinar dos números tales que el mayor
exceda al doble del menor en 1 y el doble del
mayor exceda al menor en 23. Dar como
respuesta la suma de ellos.
a) 20 b) 21 c) 22
d) 23 e) 24
PRÁCTICA DE CLASE II
01.En una granja donde hay vacas y gallinas, se
contaron 80 cabezas y 220 patas. ¿Cuántas
gallinas hay en la granja ?.
a) 20 b) 30 c) 40
d) 60 e) 50
02.En un corral hay 280 patas y 90 cabezas. Las
únicas especies que hay allí son palomas y
gatos. ¿Cuántos gatos hay en el corral ?.

a) 20 b) 40 c) 50
d) 60 e) 70
03.Un ómnibus lleva 55 pasajeros, entre
universitarios y particulares. Se desea saber
cuántos pasajeros de cada clase viajan,
sabiendo que por todo se recaudó S/.230 y
que un universitario paga S/. 2 y un particular
S/. 5.
a) 20u y 35p b) 15u y 40p c) 10u y 35p
d) 25u y 30p e) N.a.
04.En una fiesta hay en total 96 personas entre
hombres y mujeres. Si cada hombre paga 4
soles para poder entrar y cada mujer paga la
mitad de lo que paga un hombre. ¿Cuántos
hombres hay en la fiesta, si la recaudación
total fue de S/. 272?.
a) 56 b) 38 c) 48
d) 40 e) 62
05.En una prueba de examen, Javier gana 1
punto por respuesta correcta y pierde la cuarta
parte de lo que gana por error. Si después de
haber contestado 140 preguntas obtuvo 65
puntos. ¿Cuántas preguntas contestó
correctamente ?.
a) 60 b) 70 c) 80
d) 90 e) 100
06.Panchito ha sido contratado por una empresa
por 45 días en la siguiente condición; por
cada día que trabaja, la empresa le abona S/.
320 y por cada día que no trabaje la empresa
recibe de él S/. 400. ¿Cuántos días ha
trabajado si no recibió nada ?.
a) 25 b) 20 c) 23
d) 30 e) 35
07.La leche contenida en un recipiente cuya
capacidad es de 6,5 lt. Pesa 6,671 kg.
Sabiendo que un litro de leche pura pesa 1,03
kgs. ¿Cuántos litros de agua contiene el
recipiente ?.
a) 0,5 b) 0,8 c) 1
d) 4,7 e) 2
08.Un litro de leche pura pesa 1030 grs. Si un
lechero entregó 55 litros de leche con un peso
de 56,5 kgs. ¿Cuántos litros de leche pura y
cuántos de agua tendrá esa “leche”?
a) 35 y 20 b) 30 y 25 c) 45 y 10
d) 50 y 5 e) N.a.
09.Un obrero que gana 100 soles diarios,
cuando no trabaja gasta 25 soles más por día.
Al cabo de 31 días está debiendo 414 soles.
¿Cuántos días trabajó?
a) 11 b) 18 c) 20
d) 21 e) 30
10.Un lustrabotas gana 20 soles diarios, gasta 16
soles por día, pero cuando no trabaja gasta 2
soles menos. Al cabo de 100 días a ahorrado
40 soles. ¿Cuántos días no trabajó ?.
a) 20 b) 10 c) 80
d) 60 e) 40
11.Debo pagar 850 soles con 12 billetes de S/.50
y S/.100. ¿Cuál es la diferencia entre el
número de billetes de una y otra clase ?.
a) 1 b) 2 c) 0
d) 3 e) 4
12.Debo pagar 2050 dólares con 28 billetes de
50 y 100 dólares. ¿Cuántos billetes de 100
dólares debo emplear ?.
a) 15 b) 10 c) 12
d) 14 e) 13
13.Pepe trabaja en una obra durante 38 días, al
principio se le paga S/.120 diarios y después
S/.136 soles diarios. Al cabo de cuántos días
de iniciado el trabajo se le aumentó el jornal,
si por los 38 días se le pagó S/. 4784 ?.
a) 14 b) 20 c) 24
d) 15 e) 16
14.Un obrero trabaja en una obra durante 64
días, al principio le pagan S/. 104 diarios y
después S/. 90 diarios. Al cabo de cuántos
días de iniciado el trabajo se le disminuyó el
jornal, si por los 64 días se le pago S/.
6264 ?
a) 28 b) 36 c) 34
d) 25 e) 21
15.Un vendedor tiene 260 caramelos; unos de
S/.10 la docena y otros de S/. 8 la docena. Si
no le quedó ningún caramelo. Determinar
cuántos caramelos eran del primer precio,
sabiendo que por cada 2 docenas vendidas se
regalaban 2 caramelos, y en total recibió S/.
174.
a) 84 b) 155 c) 91
d) 169 e) N.a.
16.Un comerciante tenía 450 huevos; unos a
S/.14,40 la docena y otros a S/. 12 la docena.
Si no le quedo ningún huevo. Determinar
cuántos huevos de primer precio tenía,
sabiendo que por cada 2 docenas vendidas se
regalaban 1 huevo y que por todo recibió S/.
484, 80.
a) 200 b) 275 c) 175
d) 815 e) N.a.
17.Un barril contiene 154 lts de vino que debe
ser vendido en 280 botellas, unas de 0,75 lt y
otras de 0,40 lts. ¿Cuántas botellas de 0,75 lt
se van a necesitar ?.
a) 160 b) 140 c) 200
d) 120 e) 180
18.Se han comprado 77 latas de leche de dos
capacidades distintas; unas tienen 8 onzas y
las otras 15 onzas. Si el contenido total es de
861 onzas. ¿Cuántas latas de 8 onzas se
compraron ?.
a) 39 b) 42 c) 35
d) 40 e) N.a.
19.El kg. de papa amarilla cuesta S/.8 y el kg de
papa blanca cuesta S/.5. ¿Cuántos kg de papa
amarilla tiene Panchito, si en total tiene 20
kg. de papa que cuestan 133 soles?.
a) 11 b) 8 c) 9
d) 10 e) 12
20.Un comerciante lleva a vender naranjas y
manzanas, cuyo número total es 595; si cada
naranja la vende a S/. 3,75 y cada manzana a
S/. 2,90; recibiendo en total la suma de
S/.2004,30. ¿Se desea saber cuántas naranjas
llevó el negociante al mercado ?.
a) 267 b) 200 c) 328
d) 236 e) 320
01.Descomponer 51 en dos partes de manera que
la parte mayor sea 3 más que el duplo de la
parte menor. Hallar la parte mayor
a) 36 b) 16 c) 35
d) 38 e) 19
02.Se compran patos a 8 dólares cada uno y
gallinas a 7 dólares cada uno. Si con 166
dólares se compran 22 de tales aves. ¿Cuatas
son patos?
a) 10 b) 9 c) 11
d) 12 e) 13
03.Dos hermanos se reparten una herencia de
2000 dólares. Si el cuádruple de la parte
menor excede en 60 a la parte mayor
aumentado en 30. ¿Cuánto le toco a uno de
ellos?
a) 814 b) 418 c) 1582
d) 1852 e) N.a.
04.Al invertir el orden de las cifras de un número
de dos cifras el número queda disminuido en
36 unidades. Sabiendo que dichas cifras
suman 12. Hallar el número.
a) 75 b) 48 c) 93

d) 84 e) 39
05.Un padre tiene 6 veces la edad de su hijo, y la
suma de las edades de los dos es 91 años.
¿Cuantos años tiene el padre?.
a) 68 b) 78 c) 87
d) 31 e) 47
06.Determinar una fracción, sabiendo que se
hace igual a 1, si se disminuye en 5 unidades
al numerador y se aumenta 8 al denominador,
y se hace igual a 3 si al denominador se
disminuye en 7.
a) 28/17 b) 30/19 c) 30/17
d) 31/18 e) N.a
07.La suma de los dígitos de un número
representado con dos dígitos es 12. Si el
dígito de las unidades es 2 más que el de las
decenas, determinar el número.
a) 48 b) 75 c) 57
d) 84 e) N.a
08.Dos jugadores se ponen a jugar con una
misma cantidad de dinero; el primero pierde
400 soles y el segundo 220 soles; resultando
que la cantidad que le queda al primero es la
mitad de lo que le queda al segundo. ¿Con
cuánto se pusieron a jugar?
a) 480 b) 520 c) 580
d) 600 e) 540
09.Una persona depositó en un banco S/. 1 480.
Si su depósito consistió en 60 billetes;
algunos de a 10 soles y al resto de a cincuenta
soles. ¿Cuántos billetes de mayor
denominación depósito?
a) 38 b) 28 c) 22
d) 24 e) 32
10.El dígito de las unidades de un número
representado con dos dígitos es 1 más que el
duplo del dígito de la decenas. Determinar el
número si la suma de los dígitos es 10.
a) 28 b) 73 c) 46
d) 37 e) 82
11. En una juguetería donde se venden bicicletas
y triciclos, Percy dijo: hay 60 llantas . Oscar
agregó: hay 5 bicicletas más que triciclos.
¿Cuántas bicicletas hay?
a) 10 b) 15 c) 20
d) 25 e) 30
12.En el triángulo rectángulo ABC.
A = 2x – y
B = 2x + 4y
C = 2y – x / 2
Calcular el valor de “x”
a) 22, 5º b) 37, 5º c) 45, 6º
d) 67, 5º e) N.a
13.Dos automóviles parten al mismo tiempo d
una ciudad “A” con velocidades de 80 km/ h
y 60 km/ h. Si el de mayor velocidad llega a
la meta 3 horas antes que el otro. Hallar los
tiempos invertidos en realizar el recorrido.
a) 10 y 13 h b) 8 y 11 h c) 6 y 9 h
d) 11 y 14 h e) 9 y 12 h
14.La suma de las medidas de los tres ángulos de
un triángulo es 180º. El ángulo más grande
tiene la medida de 5 veces que la del más
pequeño e igual la suma de los dos ángulos
más pequeños. Hallar la medida del ángulo
mayor.
a) 100º b) 80º c) 90º
d) 120º e) 70º
15.El perímetro de un triángulo isósceles es de
27 cm. Si la diferencia entre dos de sus lados
es de 3 cm. ¿Cuál es la longitud de uno de sus
lados?
a) 8 cm. b) 9 cm. c) 10 cm.
d) 12 cm. e) 15 cm.
16.Si un número de dos cifras se divide por la
suma de sus cifras el cociente es cinco y e
resto es trece. Si a la cifra de las decenas se
resta las cifras de las unidades se obtiene 1.
¿Cuál es el número?
a) 89 b) 98 c) 78
d) 59 e) 63
17.ABCD; es un rectángulo . Calcular el valor de
“x”. Si:
AB = 2x + y
BC = 14 cm.
CD = 11 cm.
AD = 5x – 2y
a) 2 b) 3 c) 4
d) 4 e) 6
18.En un examen un alumno obtiene 2 puntos
por respuesta correcta pero pierde un punto
por cada equivocación, si después de haber
contestado 50 preguntas obtiene 64 puntos.
¿Cuántas preguntas respondió correctamente?
a) 42 b) 36 c) 28
d) 38 e) 32
Tipo (I) Cuando interviene la edad de un
solo sujeto
Algunas consideraciones
01. Si actualmente una persona tiene “a” años,
entonces hace “n” años tenía (a - n) años y
dentro de m años tendrá (a + m) años.
-n m
(a – n) a (a + m)
Hace n años actual Dentro de m años
Ejemplo: Si actualmente una persona tiene
27 años, ¿Qué edad tenía hace 15 años y
cuántos años tendrá dentro de 20 años?
Resolución:
-15 20
17 - 15 = 2 27 27 + 20 = 47
Hace 15 años actual Dentro de 20 años
02.Si hace n años un sujeto tenía b años,
actualmente tendrá (b + n) años.
n
b b + n
Hace n años Ahora
MÓVILES
EDADES
A
B C
A B
C D

Ejemplo: Si hace 35 años, Juan tenía 12
años. ¿Cuantos años tiene actualmente?
Resolución:
35
12 12 + 35 = 47
Hace 35 años actualmente
03.Si dentro de “m” años un sujeto tendrá “c”
años, entonces actualmente tiene (c – m)
años.
- m
c - m c
Actualmente Dentro de "m" años
Ejemplo: Se sabe que dentro de 12 años
Carmen tendrá 27 años. ¿Cuántos años tiene
actualmente?
Resolución:
-12
27 - 12 = 15 27
Actualmente Dentro de 12 años
Tipo (II) Cuando intervienen las edades de
dos o más sujetos
Para resolver los problemas donde intervienen
dos o más sujetos, es recomendable hacer uso del
siguiente cuadro:
A
Sujetos
A
1
A
2
A
3
Edades
B B
1
B
2
B
3
Tiempo
Pasado Presente Futuro
En el cuadro se cumple las siguientes relaciones
con las edades.
12121212
ABBABBAA +=+⇒−=−
23232323
13131313
Donde:
Sujetos: Son las personas, animales u objetos
cuyas edades intervienen en el problema.
Tiempo: Es el tiempo al cual corresponde la edad
del sujeto, que puede ser: pasado, presente o
futuro.
En un mismo problema puede haber más de un
pasado o más de un futuro. Por ejemplo: “Dentro
de 10 años” y “Dentro de 5 años” se refiere a dos
futuros distintos.
Si en un enunciado se indica exactamente dentro
de a años o hace b años entonces, en el cuadro se
pondrá: “Dentro de a años en lugar de “futuro” y
“hace b años” en lugar de pasado.
También se pueden usar los términos “tengo”,
“tienes”, “tenía”, “tendré”, “tendrás”, etc.; en
lugar de “pasado”, “presente” o “futuro”, siempre
que represente mejor el enunciado del problema.
Condiciones: Son los enunciados que indican las
relaciones existentes entre las edades de los
sujetos.
Ejemplos: “La suma de edades es “ .....”; “tengo
el doble de la edad que tienes”. “Sus edades están
en la relación de ....” etc. Las condiciones
permiten llenar el cuadro con las edades o en
todo caso permiten plantear ecuaciones con las
edades.
PROBLEMAS RESUELTOS
01. Hace 10 años la edad de A era el doble de la
de B. Actualmente sus edades suman 56 años.
¿Cuál es la edad de B?
a) 22 b) 36 c) 24
d) 12 e) 50
Resolución:
Sujetos: A y B
Tiempo: Hace 10 años (pasado)
Actualmente (presente)
Condiciones:
La edad de A era el doble de la de B
Actualmente sus edades suman 56 años
Elevando estos datos al cuadro.
Hace 10 años Actualmente
A 2x 2x + 10
B x x + 10
A = 2B ... (I) A + B = 56 ... (II)
La condición (I) lo hemos utilizado para
poner en la columna de “hace 10 años” la
edad de B igual x y la de A igual a 2x por
ser doble.
Según la condición (II):
(2x + 10) + (x + 10) = 56
3x = 36
x = 12
La edad actual de B es :
x + 10 = 12 + 10 = 22 años.
02. Hace 7 años la edad de un padre era el triple
de la de su hijo; pero dentro de 9 años será
solamente el doble. ¿Cuál es la suma de las
edades actuales?
a) 48 b) 78 c) 68
d) 49 e) 10
Resolución:
Hace 7
años
Ahora Dentro de 9
años
Padre (P) 3x 3x+7 3x+16
Hijo (H) x x+7 x+16
P=3H...(I) P=2H ... (II)
Según la condición (II):
(3x + 16) = 2(x + 16) ⇒ x = 16
Ahora el padre tiene 3x + 7 = 55 y el hijo
tiene x + 7 = 23; entonces la suma de sus
edades es 55 + 23 = 78 años.
03.Manuel tiene el triple de la edad de Sara que
tiene 12 años. ¿Cuántos años pasaran para
que la edad de Manuel sea el doble de la edad
de Sara?
Resolución:
Edad de Sara : 12
Edad de Manuel : 3 x 12 = 36
Dentro de “x” años tendrán:
Sara : (12 + x)
Manuel : (36 + x)
Del enunciado:
36 + x = 2 (12 + x)
36 + x = 24 – 2x
- x = 24 – 36
x = 12
Rpta : pasaran 12 años.
04.Cuando “ Yo ” nací, mi padre tenía 38 años.
¿Qué edad tiene mi padre, si actualmente
nuestras edades suman 80 años?
Resolución:

Edad actual: (nací hace “ x” años)
Yo = x
Padre = 38 + x
Del enunciado :
X + 38 + x = 80
2x = 80 – 38
2x = 42
x = 42 / 2
x = 21
Edad de mi padre:
38 + x
38 + 21 = 59
Rpta: Mi padre tiene 59 años.
05.Las edades de tres hermanos hace 2 años
estaban en la misma relación que 3, 4 y 5. Si
dentro de 2 años serán como 5, 6 y 7 ¿Qué
edad tiene el mayor?
Resolución:
“Hace 2
años”
Actual Dentro de 2
años
1º 3x 3x + 2 3x + 4
2º 4x 4x + 2 4x + 4
3º 5x 5x + 2 5x + 4
De la condición:
6
º2
5
º1
=
6
4x4
5
4x3 +
=
+
18x + 24 = 20x + 20
4 = 2x
2 = x
La edad del mayor es:
5x + 2
5 (2) + 2 = 12 años.
06.Hace “ x – y ” años, Felix tenía “x” años
más que Sandra. Si actualmente Sandra tiene
“y” años. ¿Cuál será la suma de las edades
dentro de “ x – 2y ” años?
Resolución: Completar
Hace x –
y años
Actual Dentro
de
Felix
Sandra
Del enunciado:
05.Cuando Luis nació. Su padre tenía “p” años
cuando su padre murió contaba con “q” años.
¿Cuánto tiempo vivió su padre?
Edad del padre = p
Luis = o
Tiempo que vivio = Edad del padre + edad
actual de Luis.
X = p + q
Rpta: p + q
08.Dentro de 4 años la suma de las edades de 2
hermanos será “k” años. Si hace 4 años la
edad del mayor era el triple de la edad del
menor. Hallar la edad actual del mayor.
Resolución:
“Hace 4
años”
Actual “Dentro de 4
años”
1º 3x 3x + 4 3x + 8
2º x x + 4 x + 8
1º + 2º = k
Del enunciado:
3x + 8 + x + 8 = k
4x = k – 16
4
16k
x
−
=
4
4
16k
3 +






 −
4
32k3
4
1648k3 −
⇒
+−
Rpta.
09.La suma de las edades de un padre y un hijo
da 48 años. Dentro de algunos años el padre
tendrá el doble de la edad que el hijo tiene
ahora. ¿Cuántos años tiene el padre?
10.José le dice a Walter : “Hace 21 años mi edad
era la mitad de la edad que tenía dentro de 4
años, cundo yo tenga el doble de la edad que
tu tienes” ¿Qué edad tiene José?
Resolución: Completar
Hace 21
años
Actual Dentro de
4 años
José
Walter
Del enunciado:
11.Supongamos que yo tengo 10 años más que
tú. ¿Qué edad tendrías tu ahora, si dentro de 5
años yo tuviera los
3
4
de la edad que tú
tienes?
Resolución:
12.El año 1984 ha sido declarado en el Perú
“Año del sesquicentenario del Natalicio del
Almirante Miguel Grau”. Si Grau murió el 8

de Octubre de 1879. ¿A que edad murió
Grau?
PRÁCTICA DE CLASE
01.El señor César tendrá “a” años a partir de la
fecha. ¿Cuántos años tuvo hace 6 años?.
a) 6a - 6 b) 6 – a c) a – 6
d) a –12 e) a – 12
02.Jairo tenía 8 años hace 5 años. ¿Cuántos años
tendrá dentro de 8 años?.
a) 13 b) 11 c) 18
d) 20 e) 21
03.Hace 6 años Pepe tenía 6 años. ¿Dentro de
cuántos años la edad de Pepe será el triple de
su edad actual?.
a) 12 b) 18 c) 24
d) 22 e) 36
04.Dentro de 10 años la edad de Rosario será 38
años. ¿Hace cuántos años tenía 20 años?.
a) 6 b) 8 c) 24
d) 15 e) 28
05.Cuando Felipe tenía 8 años, Ricardo tenía 5
años. ¿Cuál será la edad de Ricardo cuando
Felipe tenga 17 años?.
a) 11 b) 8 c) 12
d) 15 e) 28
06.Cuando César tenga 19 años, Andrea tendrá 14
años. ¿Cuál será la edad de César cuando
Andrea tenga 22 años ?.
a) 21 b) 27 c) 23
d) 28 e) 20
07.La edad de Carlos es a la de Alberto como 5 es
a 7 y la suma de sus edades es 96. ¿Dentro de
cuántos la edad de Carlos será 47 años?.
a) 7 b) 6 c) 9
d) 4e) 5
08.Las edades de dos hermanos están en la
relación de 5 a 3; además la diferencia de
edades hace 5 años era 14 ; indique la edad del
menor.
a) 35 b) 28 c) 21
d) 14 e) 7
09.La edad de Miguel excede a la de Alberto en 6
años y dentro de dos años la relación de éstas
será de 5 a 4 . Calcular la edad de Alberto.
a) 20 b) 21 c) 22
d) 23 e) 24
10.Las edades de Juan y Pedro se diferencian en 5
y hace 3 años la relación de edades era como 8
es a 3. Si Pedro es el menor . ¿Cuántos años
tiene Juan?.
a) 13 b) 26 c) 17
d) 12 e) 11
11.La edad de Víctor es el doble de la edad de
Pedro y hace 15 años la edad de Víctor era el
triple de la de Pedro. ¿Cuál es la edad actual de
Pedro?.
a) 25 b) 40 c) 45
d) 28 e) 30
12.Hace 6 años Gerardo era 4 veces mayor que
David. Hallar la edad actual de Gerardo
sabiendo que dentro de 4 años, la edad de éste
sólo será 2 veces mayor que David.
a) 52 b) 56 c) 60
d) 40 e) 46
13.La suma de las edades de Elizabeth, Genaro y
Víctor es 88 años. De los tres, el mayor tiene
20 años más que el menor y el del medio tiene
18 años menos que el mayor. ¿Cuál será la
edad del menor dentro de 12 años?.
a) 34 b) 30 c) 36
d) 33 e) 38
14.Cuándo Inés nació, Juana tenía 30 años.
Ambas edades suman hoy 28 años más que la
edad de Esteban que tiene 32 años. ¿Qué edad
tiene Miguel que nació cuando Inés tenía 11
años?.
a) 6 b) 4 c) 3
d) 10 e) faltan datos
15.Mi hijo tiene actualmente 30 años menos que
yo. Si pudiera verlo hasta cuando él tenga mi
edad actual, mi edad sería igual a cinco veces
la edad que él tiene actualmente ¿Qué edad
tengo?.
a) 45 b) 42 c) 48
d) 50 e) 60
16.Dentro de cuatro años la edad de José será el
triple de la de Juan; hace 2 años era el
quintuplo. Hallar la suma de ellas dentro de 8
años.
a) 52 b) 18 c) 20
d) 22 e) 56
17.A un hombre le preguntaron cuantos años tiene
él respondió : “ Multipliquen por tres los años
que tendré dentro de 3 años y réstenle el triple
de los que tenía hace 3 años y obtendrán
precisamente los años que tengo”. ¿Qué edad
tiene este hombre?.
a) 11 b) 18 c) 20
d) 22 e) 25
18.Hace 2 años tenía 6 veces tu edad. Dentro de 5
años tendré 25 veces la edad que tú tenías
cuando yo tenía la edad que tú tendrás dentro
de 11 años. ¿Qué edad tengo?.
a) 28 b) 20 c) 36
d) 18 e) 14
19.El tiene la edad que ella tenía cuando él tenía
la tercera parte de la edad que ella tiene. Si ella
tiene 18 años más de lo que él tiene. ¿Cuántos
años tiene ella?.
a) 52 b) 36 c) 40
d) 54 e) 50
20.Yolanda le dice a Silvana : “ Mi edad es 15
años ; cuando yo tenga la edad que tú tienes, tu
edad será dos veces la que tengo disminuido en
5 ; pensar que cuando tenía 10 años tu tenías la
edad que tengo” . ¿Qué edad tendrá Silvana
dentro de 15 años?.
a) 27 b) 29 c) 33
d) 32 e) 35

01. En 1918, la edad de un padre era 9 veces la
edad de su hijo; en 1923, la edad del padre
fue el quíntuple de la de su hijo. ¿Cuál fue la
edad del padre en 1940 ?.
a) 66 b) 72 c) 67
d) 70 e) N.a.
02.La edad de dos hermanas se puede
representar por 2 números primos absolutos y
se sabe que la suma de dichas edades es 36 y
si al producto de dichos números primos se le
agrega una unidad, el número resultante tiene
15 divisores. ¿Qué edad tiene la mayor ?.
a) 17 b) 13 c) 23
d) 19 e) N.a.
03.La suma de las edades de un padre y su hijo,
es 50 años. Dentro de 5 años estarán en la
proporción de 1:2. Hallar en qué proporción
están actualmente.
a) 1:2 b) 1:3 c) 3:7
d) 2:5 e) N.a.
04.En 1909 decía un padre a su hijo mi edad es
el quíntuplo de la tuya, pero en 1930, sólo
será el duplo. ¿Qué edad tenía el padre en
1930 ?.
a) 48 b) 39 c) 56
d) 52 e) N.a.
05.César y su abuelo tenían en 1928, tantos años
como lo indicaban los números formados por
las 2 últimas cifras de los años de sus
nacimientos. ¿Cuántos años tenía el abuelo
cuando nació César ?.
a) 40 b) 50 c) 45
d) 55 e) N.a.
06.Supongamos que yo tengo 10 años más que
tú. ¿Qué edad tendrías tu ahora, si dentro de 5
años yo tuviera los 4/3 de la edad que tu
tuvieses?.
a) 18 b) 35 c) 20
d) 25 e) N.a.
07.Patricia le dice a Rosa: tengo 4 veces la edad
que tu tenías cuando yo tenía el doble de la
edad que tú tienes. Cuando tengas las 3/4
partes de mi edad, nuestras edades sumarán
75 años. ¿Qué edad tiene Patricia ?.
a) 36 b) 28 c) 32
d) 30 e) N.a.
08.La suma de las edades de Aída y Fara es 48
años, al acercarse Orlando, Aída le dice
cuando tú naciste yo tenía 4 años; pero
cuando Fara nació tenías 2 años. ¿Cuál es el
edad de Orlando ?.
a) 24 b) 21 c) 25
d) 22 e) 23
09.Un padre dice a su hijo: “ Ahora tu edad es la
tercera parte de la mía pero, hace 10 años no
era más que un quinto” . ¿Qué edad tiene el
hijo?.
a) 13 b) 20 c) 16
d) 24 e) N.a.
10.Cuando César nació Francesco tenía 30 años,
ambas edades suman hoy 28 años más que la
edad de Pablo, que tiene 50 años.¿Qué edad
tiene Francesco cuando César tenía 11 años?
a) 13 b) 16 c) 11
d) 18 e) N.a.
11.Preguntada Mariela, el día de su cumpleaños
por su edad, respondió que la suma de sus
años, más la suma de sus meses es 260.
¿Cuántos años tiene Mariela?.
a) 20 b) 18 c) 21
d) 19 e) N.a.
12.Un hijo dice a su padre: la diferencia entre el
cuadrado de mi edad y el cuadrado de la edad
de mi hermano es 95; el padre le contesta: es
la misma que la diferencia de los cuadrados
de mi edad y la de tu madre. ¿Qué edad tenía
el padre cuando nació su hijo mayor ?.
a) 36 b) 32 c) 38
d) 34 e) N.a.
13.El tiene la edad que ella tenía, cuando el tenía
la tercera parte de la edad que ella tiene. Si
ella tiene 18 años más de lo que él tiene.
¿Cuántos años tiene ella ?.
a) 54 b) 32 c) 48
d) 36 e) N.a.
14.Determinar la edad que cumplió Hugo en
1981 que es igual a la suma de las cifras de su
año de nacimiento.
a) 20 b) 22 c) 21
d) 23 e) N.a.
15.La suma y el producto de las edades de 3
hermanitos es 14 y 36 respectivamente.
¿Calcular la edad del mayor de ellos ?.
a) 4 b) 9 c) 8
d) 12 e) N.a.
16.Un niño nació en Noviembre y el 9 de
Diciembre tenía una edad igual al número de
días transcurridos del 1° de Noviembre al día
de su nacimiento. Hallar la fecha de su
nacimiento.
a) 5 de noviembre b) 19 de noviembre
c) 17 de noviembre d) 20 de noviembre
e) Ninguna
17.Un alumno de la Academia nació en el año
19ab y en 1980 tuvo (a+b) años. ¿En qué año
tendrá (2a+b) años?.
a) 1982 b) 1988 c) 984
d) 1986 e) N.a.
18.Un padre tiene 3 veces la edad de su hijo.
¿Cuántas veces la edad del hijo debe
transcurrir, para que la edad del padre sea
sólo el doble de la de su hijo ?.
a) 1 b) 3 c) 2
d) 2 1/3 e) N.a.
19.La relación de la edad de un padre con la de
su hijo es 9:5. ¿Qué edad tiene el hijo, si el
padre es mayor por 28 años ?.
a) 25 b) 18 c) 35
d) 27 e) N.a.
20.Al preguntarle su edad a un abuelo, contestó:
“No soy tan joven que pueda tener menos de
70 años, ni tan viejo que se me pueda llamar
noventón”. Cada uno de mis hijos me han
dado tantos nietos como hermanos tienen, mi
edad es justo el triple de hijos y nietos que
tengo” . ¿Cuál era su edad?.
a) 75 b) 84 c) 78
d) 81 e) N.a.
21.La edad de un niño será dentro de 4 años un
cuadrado perfecto. Hace 8 años su edad era la
raíz de ese cuadrado. ¿Qué edad tendrá dentro
de 8 años ?.
a) 28 b) 24 c) 26
d) 20 e) N.a.
22.Juan nació 6 años antes que Carlos. En 1948
la suma de sus edades era la cuarta parte de la
suma de sus edades en 1963. ¿En qué año
nació Juan ?.
a) 1931 b) 1940 c) 1934
d) 1946 e) N.a.
TAREA DOMICILIARIA
01.Mario tiene el cuádruple de la edad que tenía
César cuando él tenía la edad que César tiene;
pero cuando César tenga la edad que Mario
tiene ambas edades sumarán 95 años. ¿Qué
edad tiene Mario?.
a) 20 b) 40 c) 10
d) 15 e) 25

02.María le dice a Susy: “ Cuando yo tenga la
edad que tú tienes, tu edad será 2 veces la que
tengo y sabes que cuando tenía 10 años, tu
tenías la edad que tengo”. ¿Cuánto suman las
edades actuales de ambas?.
a) 50 b) 40 c) 70
d) 30 e) 60
03.Yo tengo el doble de la edad que tú tenías,
cuando yo tenía la edad que tú tienes y cuando
tú tengas la edad que yo tengo, mi edad será 30
años. ¿Qué edad tengo?.
a) 12 b) 24 c) 18
d) 36 e) 54
04.Yo tengo el triple de la edad que tú tenías,
cuando yo tenía la edad que tú tienes y cuando
tengas la edad que tengo, mi edad será 40 años.
¿Qué edad tienes?.
a) 30 b) 20 c) 40
d) 10 e) 60
05.Yo tengo la edad que tú tenías cuando yo tenía
la novena parte de la edad que tendrás y tendré
la suma de lo que tenía, tenías y tengo que es 6
años más de los que tienes. ¿Cuál es mi edad ?.
a) 7 b) 8 c) 9
d) 10 e) 11
Los problemas relativos a las velocidades son
estudiados en el curso de física, en su capítulo de
cinemática. Veamos a continuación algunos
conceptos básicos.
CINEMÁTICA : Es una parte de la mecánica, que
estudia el movimiento de los cuerpos (móviles),
sin tomar en cuenta las causas que lo originan. La
palabra cinemática proviene de “cinema”, que
significa movimiento.
MOVIMIENTO : Es el cambio de posición que
experimenta un cuerpo respecto a un punto de
referencia; así por ejemplo, en la figura siguiente,
el auto cambia de posición con relación al poste
que en este caso se toma como sistema de
referencia.
V
Móvil : Es todo cuerpo o partícula que realiza el
movimiento.
Trayectoria : es la línea recta o curva que
describe el móvil.
Desplazamiento : Es aquel vector que une al
punto de partida con el punto de llegada.
Espacio recorrido : es la longitud o medida de la
trayectoria.
Intervalo de Tiempo : Es el tiempo en
realizarse un acontecimiento.
Velocidad : Es una magnitud vectorial cuyo
módulo ( valor ) indica la relación del espacio
recorrido en cada unidad de tiempo ( para el caso
de un movimiento uniforme )
Aceleración : Es la variación del vector
velocidad en la unidad de tiempo.
CLASIFICACIÓN DE MOVIMIENTO :
Existen diferentes criterios para clasificar, pero el
más generalizado está en función de su
trayectoria y velocidad.
1. Por su trayectoria : Pueden ser :
a. Rectilíneo
b. Curvilíneo : parabólico y circular
2. Por su velocidad : Pueden ser :
a. Uniforme, Cuando su velocidad es
constante
b. Variado, cuando su aceleración es
constante.
Movimiento rectilíneo uniforme :
Es aquel movimiento en el cual el móvil describe
en su trayectoria una línea recta y se desplaza
recorriendo espacios iguales en tiempos iguales,
tal como se puede apreciar en la figura siguiente:
d
d
d
t
t
t
La formula de la velocidad es :
A partir de la cual se obtienen : e = v . t





dotranscurritiempo:t
recorridoespacio:e
velocidad:v
:donde
la unidades más usadas en los problemas, las
presentamos en el siguiente cuadro:
e cm m km
t s s h
v
s
cm
s
m
h
km
Para resolver tener muy en cuenta los
siguientes pasos:
a. Anotar los datos conocidos y si el
problema lo requiere hacer el gráfico
respectivo.
b. Escoger la fórmula adecuada
c. Sustituir los datos y realizar las
operaciones necesarias.
PROBLEMAS RESUELTOS
01.Un ómnibus de 15 metros de longitud, se
desplaza a una velocidad de 40 metros/
segundo. ¿Qué tiempo demora en pasar un
puente de 465 metros de longitud ?
a) 15 s. b) 14 s c) 12 s
d) 10 s e) N.A
Datos :
Longitud del ómnibus : e 1 = 15 m
MÓVILES
t
e
v =
v
e
t =

Longitud del puente : e 2 = 465 m
Velocidad del ómnibus : v = 40 m/s
Tiempo que demora en pasar el puente : T ?
e1 e2
Solución :
Para que el ómnibus pase el puente debe
recorrer la longitud del puente ( e2 ) y su
propia longitud ( e1 ) , entonces :
Longitud total :
e = e1 + e2 ⇒ e = 15 m + 465 m
⇒ e = 480 m
El tiempo que tarda en pasar el puente es :
.seg12t
s/m40
m480
t
v
e
velocidad
totallongitud
t =⇒=⇒==
El tiempo que demora en pasar el puente es
12 segundos.
02.Un tren recorre 540 kilómetros en cierta
velocidad, otro con doble velocidad y un
tercero con velocidad triple que la del
primero. Entre los tres tardan 22 horas. ¿Cuál
es la suma de las velocidades ?
a) 45 km/h b) 270 km / h
c) 360 km / h d) 540 km / h
e) N.A
Solución :
Espacio recorrido por cada tren :
540 km . x
Tiempo empleado por cada tren :
Tren ( A ) :
V
540
V
e
t
A
A ==
Tren ( B ) :
V2
540
V
e
t
B
B ==
Tren ( C ) :
V3
540
V
e
t
C
C ==
Luego sumando los 3 tiempos tenemos :
t A + t B + t C = 22
V
540
+
V2
540
+
V3
540
= 22
6 ( 540 ) + 3 ( 540 ) + 2 ( 540 ) =
22 ( 6 V )
3240 + 1620 + 1080 = 132 V
5940 = 132 V
⇒
132
5940
V = ⇒
h
km
45V =
Entonces la suma de velocidades será :
S = V + 2 V + 3 V
S =
h
km
45 + 







h
km
452 +








h
km
453
S =
h
km
45 +
h
km
90 +
h
km
135
S =
h
km
270
03.Dos ciclistas están separados por 200 metros
y avanzan en sentidos contrarios con
velocidades de 15 y 10 metros por segundo,
separándose cada vez más. ¿En qué tiempo
estarán separados 3400 metros?
a) 120 s b) 125 s c) 130 s
d) 128 s e) N.a
Solución :
Con los datos efectuamos el siguiente
diagrama :
A B C D
15 t 200 m 10 t
3 400 mts
15 m / s 10 m / s
Ambos ciclistas utilizaron el mismo tiempo
para llegar respectivamente a los puntos A y
D, entonces:
BA = Vt = 15 t ; CD = Vt = 10 t
La suma de los espacios parciales debe ser
igual al espacio total, como se ve en la
siguiente ecuación:
BA + BC + CD = 3 400
15t + 200 + 10t = 3 400
⇒ t = 128 s
Luego, emplearon un tiempo de 128s o 2
minutos con 8 segundos
04.Dos motociclistas parten de un punto A en el
mismo sentido, a razón de 30 km/h y 50
Km/h cada uno. ¿Qué tiempo deberá
transcurrir para que estén separados 100 km?
a) 2,5 h b) 3 h c) 3,5 h
d) 4 h e) N.A
Solución :
De acuerdo a los datos nuestro diagrama es :
A C
V
V
1
2
= 30 km h
= 50 km h
B
100 km
El primer motociclista que va la velocidad V1
recorre la distancia :
AB = V1 t  AB = 30 t
El segundo motociclista que va a la velocidad
V2 , recorre la distancia :
AC = V2 t  AC = 50 t
Luego planteamos la ecuación :
AC = AB + BC
↓ ↓ ↓
50 t = 30 t + 100
50 t – 30 t = 100
20 t = 100
t = 5 h
Este resultado nos indica que al término de 5
horas ambos motociclistas estarán separados
100 km; porque cada uno habrá recorrido:
AB = V1 t = 30 x 5h = 150 km
AC = V2 t = 50 x 5h = 250 km
Donde la diferencia de distancias es :
250 Km – 150 Km = 100 Km
Rpta : C
Rpta : B
Rpta : D
Rpta : E

05.José recorre la distancia AC en 120 minutos,
al regreso aumenta su velocidad de marcha en
11 metros por minuto y recorre la misma
distancia en 105 minutos . Halla la distancia
AC.
a) 924 b) 940 c) 9 420
d) 9 240 e) N.A
Solución :
Planteamos el siguiente diagrama :
A C
V
( V + 11 )vuelta
ida
José recorre la distancia AC bajo las
siguientes condiciones :
De ida : AC = V t
AC = V ( 120 )
AC = 120 V .......... ( 1 )
De vuelta : CA = ( V + 11 ) t
CA = ( v + 11 ) 105 .... ( 2 )
Igualando 1 y 2 tenemos :
120 V1 = ( V + 11 ) 105
120 V = 105 V + 1 155
15 V = 1 155
min
m
77V =
Reemplazando este valor en ( 1 ) o ( 2 ) se
obtiene :
CA = 120 V = 120 min ( 77 m / min )
CA = 9 240 m
PRÁCTICA DE CLASE
01.Dos ciudades “A” y “B” distan 360 Kms. Un
automóvil parte de “A” a 10 km/h y otro
automóvil parte de “B” a 8 km/h. ¿En que
tiempo se encontrarán ? Si c/u. va de una
ciudad a la otra.
a) 16 h b) 20 h c) 24 h
d) 30 h e) N.a.
02.Un auto parte de Trujillo a una velocidad de
20 km/h y otro auto parte simultáneamente de
Huanchaco a Trujillo a 12 km / h. Trujillo y
Huanchaco distan 160 kms. Si el primer auto
viene hacia Huanchaco. ¿En qué tiempo se
encontrarán ?
a) 15 h b) 4h c) 5h
d) 10h e) N.a.
03.Un ómnibus “A” se encuentra a 240 km de un
ómnibus “B”, si desea darle alcance. ¿En qué
tiempo lo alcanzará?, si la velocidad de “A”
es 32 km / h y la del ómnibus “B” es 17 km /
h
a) 20 h b) 8h c) 12h
d) 16 h e) 15 h
04.Dos móviles M1 y M2 están separados 4000
kms. Si avanzan en un mismo sentido y sus
velocidades son : 380 km/h y 220 km/h
respectivamente. ¿Dentro de qué tiempo M1
alcanzará a M2 ?
a) 15 h b) 25h c) 5h
d) 10h e) N.a.
05.Dos ciclistas separados por una distancia de
120 kms deben partir a un mismo tiempo; si
avanzan en un mismo sentido se encuentran
al cabo de 8 horas, si lo hacen en sentido
contrario, al cabo de 5 horas. Las velocidades
de c/u. de ellos es :
a) 6.5 y 14.5 km/h b) 4.5 y 16.5 km/h
c) 3 y 15 km/h d) 4.5 y 19.5 km/h
e) N.a.
06.Dos móviles separados por una distancia de
180 kms., deben partir al mismo tiempo, si
al cabo de 45 horas y si lo hacen en sentido
contrario, al cabo de 9 horas. La velocidad de
uno de ellos es :
a) 8 km/h b) 16 km/h c) 14 km/h
d) 10 km/h e) N.a.
07.Un móvil sale de “A” hacia “B” a 80 km/h y
regresa a 50 km/h, después de 16 horas. Si el
carro se detuvo en B por 2 horas y 1 hora en
el camino de regreso. Determinar la distancia
de AB
a) 360 km b) 300 km c) 400 km
d) 420 km e) N.a.
08.Un auto sale de A hacia B a 60 km/h y
regresa a 90 km/h, después de 19 horas. Si el
auto se detuvo en B durante 2 horas y 2 horas
más en el camino de ida. Determinar la
distancia AB
a) 529 km b) 540 km c) 640 km
d) 480 km e) N.a.
09.Una persona va a pie de A hacia B. Sale al
mediodía y recorre 70 m/min. En cierto punto
sube a un microbús que recorre 150 m/min y
que salió de A a las 12 horas 20 min. El
hombre llega a B 20 minutos antes que si
hubiera continuado caminando. Hallar la
distancia AB
a) 4500 m b) 5000m c) 4750m
d) 5250m e) N.a.
10.Una persona va a pie de un pueblo a otro.
Sale a las 10 am y recorre 35 m/min. En
cierto punto sube a una camioneta que recorre
60 m/min y que salió del mismo pueblo que
la persona pero a las 10 horas 30 min a.m. El
hombre llegó a su destino 20 min. antes que
si hubiera continuado a pie.
a) 4200 m b) 4000 m c) 3800 m
d) 3400 m e) N.a.
11.Se tiene un circuito cerrado de 240 metros.
Dos corredores parten de un mismo punto en
el mismo sentido y al cabo de 30 min. Uno de
ellos le saca 2 vueltas de ventaja al otro. Pero
si parten en sentidos contrarios a los 6
minutos se cruzan por segunda vez. ¿Cuál es
la velocidad de c/u de ellos ?
a) 46 y 30 m/min b) 50 y 34 m/min
c) 48 y 32 m/min d) 56 y 40 m/min
e) N.a.
12.Se tiene un circuito de 420 metros. Dos
corredores parten de un mismo punto en el
mismo sentido y al cabo de 40 minutos uno
de ellos le saca 2 vueltas de ventaja al otro.
Pero si parten en sentidos contrarios a los 6
min. Se cruzan por segunda vez. ¿Cuál es la
velocidad del más lento en m/min ?
a) 80.5 m/min b) 59.5 m/min
c) 60 m/min d) 80 m/min
e) N.a.
13.Un tren que marcha con velocidad constante
pasa delante de un observador en 8 seg.
Hallar la longitud del tren si sabemos que su
velocidad es 42 m/seg
a) 294 m b) 442 m c) 336 m
d) 342 m e) N.a
14.Un tren tiene una velocidad de 20 m/seg
demora 4 seg en pasar por un túnel de 38
metros. ¿Cuál es la longitud del tren ?
a) 38 m b) 42 m c) 40 m
d) 46 m e) N.a.
15.Un tren tarde 8 seg. en pasar por delante de
un observador y luego demora 38 seg en
cruzar una estación que tiene 450 m de
longitud. Se desea calcular la longitud del
tren.
a) 64 m b) 80 m c) 100 m
d) 120 m e) N.a.
Rpta : D

16.Un tren demora 6 seg. en pasar por delante de
un observador y luego demora 54 seg. en
cruzar un túnel que tiene 264 m de longitud.
¿Cuál es la longitud del tren ?
a) 33 m b) 28 m c) 39 m
d) 43 m e) N.a.
17.Un remero navega hacia un lugar que dista 72
km. del punto de partida y hace el viaje de ida
y vuelta en 14 horas. Si el tiempo que se
demora en recorrer 4 km. siguiendo la
corriente es el mismo que se demora en
recorrer 3 km. contra la corriente. Hallar la
velocidad del barco.
a) 6.4 km/h b) 10.5 km/h
c) 9.6 km/h d) 12 km/h
e) N.a.
18.Un bote navega hacia un lugar que dista 48
km y hace el viaje de ida y vuelta en 10 H. Si
el tiempo que se demora en remar 3 km
siguiendo la corriente es el mismo que se
demora en remar 2 km contra la corriente.
Hallar la velocidad del bote.
a) 2 km/h b) 4 km/h c) 10 km/h
d) 20 km/h e) N.a.
19.Una persona sube una distancia de 15 km
para llegar a la cima de un cerro en 8 horas y
luego recorre el mismo camino para bajar
demorando 2 horas en hacerlo. Su velocidad
promedio en km/h es :
d) 5 km/h e) N.a.
20.Un bote recorre una distancia de 20 km río
arriba en 6 horas y de regreso río abajo cubre
la misma distancia en 4 horas. Su velocidad
promedio en km/h es :
d) 5 km/he) N.a.
01.Un auto recorre 260 Kms. en 4 horas y otro
hace un recorrido de 480 Kms. en 6 horas.
Suponiendo que los dos marchan durante 11
horas. Calcular la diferencia de los recorridos.
a) 480 Kms. b) 325 Kms. c) 280 Kms.
d) 165 Kms. e) N.a.
02.Un móvil sale de A hacia B a 80 Kilómetros
por hora y regresa a 50 Km/h. después de 16
horas. Si el carro se detuvo en B por 2 horas y
1 hr. en el camino de regreso, determinar la
distancia AB.
a) 320 Kms. b) 480 Kms. c) 400 Kms.
d) 360 Kms. e) N.a.
03.Dos ciudades A y B distan 350 Kms. De A
parte una diligencia que va a 10 Km/h. y de B
partió 3 horas antes en la misma dirección y
sentido una diligencia que va a 5 Km/h. ¿ A
qué distancia de B se se encontrarán ?
a) 750 Kms. b) 380 Kms. c) 365 Kms.
d) 350 Kms. e) N.a.
04.Un ciclista viaja por una carretera a velocidad
constante, si parte en el kilómetro a0b y
una hora después esta en el Km. aab , y
sabemos que en la primera media hora llegó
al Km. ab0 . Calcular (a + b).
a) 12 b) 14 c) 16
d) 15 e) N.a.
05.Un móvil parte del kilómetro a0b a una
velocidad de bb km/h, al cabo de cierto
tiempo llega al kilómetro ab0 . Averiguar
cuánto tiempo estuvo recorriendo el auto.
a) 9/11 hr. b) 7/11 hr. c) 8/11 hr.
d) 5/11 hr. e) N.a.
06.Dos trenes de igual longitud, 120 metros
pasan en sentido contrario; uno a la velocidad
de 72 Km. por hora y el otro a 36 Km/h.
¿ Cuántos segundos tardarán en cruzarse?
a) 5 b) 7 c) 9
d) 8 e) N.a.
07.Los 2/ 3 de un camino se recorrieron en
bicicleta a 32 km/h y el resto a pie, a razón
de 4 km/h, tardando en total 7,5 horas. ¿ Cuál
fue la longitud total recorrida en kilómetros ?
a) 120 b) 72 c) 240
d) 720 e) N.a.
08.Un tren tarda 8 segundos en pasar por delante
de un observador y luego demora 38
segundos en cruzar una estación que tiene
450 m. de longitud. Se desea calcular la
longitud del tren.
a) 210 m. b) 120 m. c) 180 m.
d) 150 m. e) N.a.
09.Un tren que marcha con velocidad constante
cruza un túnel de 60 m. en 11 segundos; si su
velocidad aumenta en 6 m/seg, logra pasar
delante de una persona en 4 segundos. Hallar
la longitud del tren.
a) 54 m. b) 60 m. c) 72 m.
d) 84 m. e) N.a.
10.Dos ciclistas separados por una distancia de
150 Km. deben partir a un mismo tiempo; si
al cabo de 10 horas; si lo hacen en sentido
contrario, al cabo de 6 horas. La velocidad de
uno de ellos es :
a) 5 km/h b) 10 km/h c) 15 km/h
d) 19,5 Km/h e) N.a.
11.Un peatón partió de A con dirección a B con
velocidad de 6 km/h. Después de haber
recorrido 4 Km. fue alcanzado por un
vehículo que salió de A, 30 minutos más
tarde. Después de haber recorrido el peatón 8
Kms. más encontró por segunda vez el
vehículo que regresaba de B, donde descansó
15 minutos. Calcular la distancia AB .
a) 18 kms. b) 15 kms. c) 21 kms.
d) 24 kms. e) N.a.
12.Todos los días sale de Arequipa al Cuzco un
ómnibus con velocidad de 80 Km/h; éste se
cruza siempre a las 12 m. con un ómnibus que
viene del Cuzco con velocidad de 70 km/h.
Cierto día, el ómnibus que sale de Arequipa
encuentra malogrado al otro a las 2 y 15 p.m.
¿ A qué hora se malogró el ómnibus que sale
del Cuzco?
a) 10 h. 48 min. b) 12 h. 10 min.
c) 9 h. 26 min. d) 11 h. 20 min.
e) N.a.
13.Se tiene un circuito cerrado de 420 metros.
Dos corredores parten de un mismo punto en
el mismo sentido y al cabo de 30 minutos uno
de ellos le saca 2 vueltas de ventaja al otro.
Pero, si parten en sentidos contrarios a los 6
minutos se cruzan por segunda vez.
¿ Cuál es la velocidad del más lento en metros
por minuto?
a) 50 b) 46 c) 56
d) 42 e) N.a.
14.Alejandra y Fiona deben hacer un mismo
recorrido de 36 Km., la primera está a pie y
hace 6 km. por hora, la segunda en
motocicleta y hace 15 km. por hora. Si la
primera parte a las 06:00. ¿A qué hora deberá
partir la segunda para llegar al mismo tiempo
a su destino?
a) 08:40 h b) 09:25 h c) 09:36 h
d) 09:20 h e) 08:36 h
15.César recorre el tramo AB en 20 horas; si la
quisiera hacerlo en 25 horas; tendría que
disminuir su velocidad en 8 km/h. ¿Cuánto
mide el tramo AB ?
a) 650 km. b) 700 km. c) 800 km.
d) 850 km. e) 900 km.

16.Un niño ha estado caminando durante 14
horas. Si hubiera caminado una hora menos,
con una velocidad mayor en 5 Km/h., habría
recorrido 5 km. menos. ¿Cual es su velocidad
?
a) 60 km/h b) 70 km /h c) 80 km/h
d) 50 k m/h e) 65 km/h
17.Una persona dispone de 10 horas para salir
de paseo. Si la ida la hace en bicicleta a 15
km/h y el regreso a pie a 5 km/h. Hallar el
espacio total que recorrió dicha persona.
a) 37,4 km b) 375 km c) 3750 km
d) 75 km e) 75 m
18.Silvia se va de A a B en 2 horas. Al volver
como ella ha recorrido 11 metros más por
minuto, ha hecho el trayecto en 105 minutos.
Hallar esta distancia.
a) 9,24 km. b) 11,5 km. c) 11,2 km.
d) 10,74 km. e) 13,5 km.
19.Fernando debe realizar un viaje de 820 km.
en 7 horas. Si realiza parte del viaje en avión
a 200 km/h. y el resto en auto a razón de 55
km/h.. ¿Cuál es la distancia recorrida en
avión ?
a) 200 b) 500 c) 600
d) 700 e) 800
20.Teresa recorre 36 km. en 8 horas, los 12
primeros km. con una velocidad superior en
2 km. a la velocidad del resto del recorrido.
Calcular la velocidad con que recorrió el
primer trayecto.
d) 5 km/h e) 6 km/h
TAREA DOMICILIARIA
01.Para ir de un punto a otro, una persona
camina a razón de 8 km/h. y para volver al
punto de partida lo hace a razón de 5km/h.
Se desea saber la distancia que hay entre los
puntos sabiendo que en el viaje de ida y
vuelta ha empleado en total 13 h.
a) 40 b) 36 c) 42
d) 46 e) 38
02.Una persona dispone de 5h. para dar un
paseo. ¿Hasta qué distancia podrá hacerse
conducir por un automóvil que va a 54 km/h;
sabiendo que ha de regresar a pie a la
velocidad de 6 km/h ?
a) 17 b) 37 c) 57
d) 27 e) 47
03.Un automovilista debe llegar a una ciudad
distante 480 km. a las 19:00 horas, pero con
la finalidad de llegar a las 18:00 horas tuvo
que ir a 24 km. más por cada hora. ¿A qué
hora partió?
a) 12:00 h b) 13:00 h c) 14:00 h
d) 15:00 h e) 16:00 h
04.Los 2/3 de un camino se recorrieron en
bicicleta a 32 km/h y el resto a pie, a razón de
4 km/h, tardando en total 7,5 h. ¿Cuál fue la
longitud total recorrida en km. ?
a) 120 b) 240 c) 72
d) 96 e) 80
05.Marcela y Sarita debe hacer un mismo
recorrido de 38 km., la primera esta a pie y
hace 6km. por hora, Sarita en bicicleta y hace
15 km. por hora, si Marcela parte a las 06:00
horas. ¿A qué hora deberá partir Sarita para
llegar al mismo tiempo a su destino ?
a) 08:24 h b) 08:52 h c) 09:36 h
d) 09:48 h e) 10:00 h
Tipo (I)
01.Un reloj que da la hora mediante campanadas,
se demora 1 segundo para dar las 2. ¿Cuántos
segundos se demorará en dar las 4, si las
campanadas están igualmente espaciadas?
a) 1 segundo b) 2 segundos
c) 3 segundos d) 4 segundos
e) 5 segundos
Resolución
Si se demora 1 segundo en dar las 2, implica
que se demora en dar 2 campanadas, quiere
decir que de la primera campanada a la
segunda ha transcurrido 1 segundo.
1° campanada 2° campanada
1 segundo
Nótese que el tiempo que se considera, no es
el que demoran en sonar las dos campanadas,
sino el tiempo transcurrido entre una y otra
campanada.
Luego para dar las 4 (es decir para dar 4
campanadas) de la 1ra a la 2da campanada
habrá 1 segundo; de la 2da a la 3ra otro
segundo y de la 3ra a la 4ta un segundo más,
vale decir, tardará tres segundos.
1°
1 seg
2° 3° 4°
1 seg 1 seg
Total: 3 segundos.
02.Un reloj de campanadas se demora 1 segundo
en dar las 3 horas. ¿Cuánto tardará en dar las
5 horas?
a) 1 segundo b) 1.5 segundo
c) 2 segundos d) 2.5 segundos
e) 3 segundos
Resolución
Dato:
1°
1/2 seg
2° 3°
1 seg
1/2 seg
∴Para dar las 5 horas:
1°
1/2 seg
2° 3°
1/2 seg
4° 5°
1/2 seg 1/2 seg
Total: 4 (1/2) = 2 seg.
Tipo (II)
03.Siendo las 8 a.m. empieza a adelantarse un
reloj, a razón de 5 minutos por cada hora.
¿Qué hora estará marcando este reloj, cuando
en realidad sean las 10 p.m. del mismo día?
a) 10:10 pm. b) 10:50 pm. c) 11:00 pm.
d) 11:10 pm. e) 11:20 pm.
Resolución
De las 8 a.m. hasta las 10 p.m. han
transcurrido 14 horas.
En 1 hora se adelanta 5 minutos.
En 14 horas se adelantará “x” minutos.
x = 14 x 5 = 70 min ó 1 hora 10 min.
Luego: a las 10 p.m. tendrá un adelantado de
1 hora 10 min, entonces marcará 11.10 p.m.
04.Un reloj que se atrasa 4 minutos cada 5 horas,
se pone a la hora al medio día. Se desea poner
nuevamente a la hora a las 8:00 am. ¿Cuántos
minutos se debe adelantar para ponerlo a la
hora?
a) 15 min. b) 16 min. c) 18 min.
d) 20 min. e) 24 min.
RELOJE

Resolución
Del medio día, a las 8:00 a.m. del otro día han
transcurrido 20 horas.
En 5 horas se atrasa 4 minutos.
En 20 horas se atrasará “x” minutos.
x =
5
4x20
= 16 minutos
Luego, para ponerlo a la hora, hay que
adelantarlo en 16 minutos.
05. Cuando son exactamente las 4:00 p.m.; un
reloj marca las 3:40 p.m. Se sabe que el reloj
sufre un retraso constante de 2 minutos cada
3 horas. Determinar a que hora marcó la hora
correcta por última vez?
a) 8:00 a.m. b) 9:00 a.m. c) 9:30 a.m.
d) 9:40 a.m. e) 10:00 a.m.
Resolución
Como son las 4:00 p.m.; un reloj marca las
3:40 p.m., entonces tiene un retraso de 20
minutos.
En 3 horas se retrasa 2 minutos.
En “x” horas se habrá retrasado 20 minutos.
x =
2
3x20
= 39 horas
Luego, para retrasarse 20 minutos se ha
demorado 30 horas, por lo que se deduce que
hace 30 horas marcó la hora correcta por
última vez, es decir, a las 10:00 a.m.
06.Siendo las 12 del día, un reloj empezó a
adelantarse a razón de 10 minutos por hora.
¿Dentro de cuántas horas volverá a marcar la
hora correcta por primera vez?
a) Dentro de 12 horas
b) Dentro de 36 horas
c) Dentro de 2 días
d) Dentro de 1 día
e) Dentro de 3 días
Resolución
Para que un reloj que se adelanta vuelva a
marcar la hora correcta por primera vez, tiene
que adelantarse en 12 horas como mínimo.
Por ejemplo, supóngase que en estos
momentos son las 10:00 a.m.; tenemos un
reloj que marca la hora correcta y
adelantemos en 12 horas, notaremos que a
pesar de estar adelantado en 12 horas, estará
marcando la hora correcta, es decir, las 10:00.
Es por ello, que en este problema, tendríamos
que esperar que el reloj se adelante en 12 oras
= 12 x 60 = 720 minutos, para que vuelva a
marcar la hora correcta.
Luego:
En 1 hora se adelanta 10 minutos.
En “x” horas se adelantará 720 minutos.
x =
10
720
= 72 horas = 3 días.
Volverá a marcar la hora correcta por primera
vez dentro de 3 días.
Tipo (III)
Los problemas que analizaremos en este caso, son
los que se derivan de la relación existente entre la
hora que marca el reloj y el ángulo formado por
las manecillas del reloj en ese momento.
Algunas Consideraciones
1. Divisiones de un reloj
Un reloj de manecillas tiene 12 divisiones
mayores que indican las horas, cada una de
éstas está dividida en cinco divisiones
menores, las cuales hacen un total de 12 x 5 =
60 divisiones menores en toda la
circunferencia que indican los minutos.
En adelante como divisiones nos referimos a
las divisiones menores.
Por otro lado, toda la circunferencia del reloj
tiene 360°.
De lo anterior tenemos las siguientes
equivalencias.
60 div < > 60 min < > 360°
1 div < > 1 min < > 6°
Lo anterior indica, que si el minutero de un
reloj recorre 1 división, transcurre 1 minuto
de tiempo y ha barrido un ángulo de 6°.
2. Relación de los corridos del horario y el
minutero
En una hora la aguja minutera da una vuelta
entera, es decir, recorre 60 divisiones,
mientras que el horario recorre solamente 5
divisiones (la doceava parte de lo que recorre
el minutero).
Cuando: Las 12 divisiones mayores tiene 5.
Minutero recorre ⇒ Horario recorre
60 divisiones
12 divisiones
m divisiones
5 divisiones
1 división
m/12 divisiones
Por ejemplo: cuando el minutero haya
recorrido 36 divisiones (36 minutos), en ese
tiempo, el horario habrá recorrido
12
36
= 3
divisiones.
3. Hora de referencia
Dada una hora cualquiera, la hora de
referencia será la hora exacta anterior a dicha
hora.
Ejemplo:
A las 7 hrs 25 min, la hora de referencia será
las 7 en punto.
Entre las 4 y las 5, la hora de referencia será
las 4 en punto.
Problema General: Hallar el ángulo que
forman las manecillas de un reloj, a las “H”
con “m” minutos.
Resolución:
a) Cuando el horario adelanta al minutero
Partamos de la hora de referencia, que en este
caso será las “H” en punto. A partir de ese
momento el minutero ha recorrido “m”
divisiones, en tanto que el horario la recorrido
m/12 divisiones.
Hora de Referencia
H
12
5Hdiv

A las “H” con “m” min.
H
12
5Hdivm
div
1 div. < > 6° ⇒
2
m11
H30 −=α
b) Cuando el minutero adelanta el horario
Nuevamente partiendo de la hora de
referencia, el minutero ha recorrido “m”
divisiones, mientras que el horario m/12.
Hora de Referencia
H
12
5Hdiv
A las “H” con “m” min.
m div
12
5Hdiv
α
m
12
div
div
12
m
H5m











 +−=α
1 div < > 6° ⇒ H30
2
m11
−≡α
Resumen:
La hora que señala el reloj y el ángulo que
forman sus manecillas están relacionados de
la siguiente manera:
Cuando horario adelanta al minutero
2
m11
H30 −=α
Cuando el minutero adelanta al horario
H30
2
m11
−=α
Donde:
H: Hora de referencia (0 ≤ H < 12)
M: # de minutos transcurridos a partir de la
hora de referencia.
α: Medida del ángulo que forman las
manecillas del reloj en grados
sexagesimales.
Ejemplo 1: ¿Cuál es el menor ángulo que forman
las manecillas de un reloj a las 7:24 a.m.?
Resolución:
12
α
°=α
−=α
−=α







=α
=
=
78
2
)24(11
)7(30
2
m11
H30
?
24m
7H
Ejemplo 2:
¿Qué ángulo forman las manecillas de un reloj, a
las 9:10 p.m.?
°=α
−=α
−=α







=α
=
=
215
2
)10(11
)9(30
2
m11
H30
?
10m
9H
Nota:
Cuando se pregunta por el ángulo que forman las
manecillas del reloj, se entiende por el menor
ángulo. En este ejemplo, el ángulo mide 215° que
es mayor de 180°; luego, el ángulo pedido no es
éste si no su ángulo revolucionario, es decir 360°
- 215° = 145°.
Ejemplo 3:
¿Cuál es el ángulo formado por las manecillas de
un reloj a las 4 y 36 minutos?
Resolución:
°=α
−=α
−=α







=α
=
=
78
)4(30
2
)36(11
H30
2
m11
?
36m
4H
Ejemplo 4:
Determinar el ángulo que forman manecillas de
un reloj a las 12 con 18 minutos.
Resolución:
Cuando son las 12 y tantos, las horas de
referencia se toma como cero (H = 0).
Luego:
°=α
−=α
−=α







=α
=
=
99
)0(30
2
)18(11
H30
2
m11
?
18m
0H
Ejemplo 5:
¿A qué horas, entre las 4 y las 5, las manecillas de
un reloj, forman un ángulo de 65° por primera
vez?
Resolución:
12
65°
5
4
1
°=
−=
−=α







°=α
=
=
10m
2
m11
)4(3065
2
m11
H30
65
??m
4H
Nota:
Cuando se dice “por primera vez” significa que el
horario está adelantado con respecto del minutero
y cuando se dice “por segunda vez” ocurre la
viceversa.
Ejemplo 6:
¿A qué horas entre las 2 y las 3, las manecillas de
un reloj formarán un ángulo de 145° por segunda
vez?

Resolución:
El ángulo que forman las manecillas del reloj, se
mide en sentido horario a partir de horario si el
minutero adelanta al horario y a partir del
minutero si el horario adelanta al minutero.
Por lo anterior, en este ejemplo:
α = 360° - 145° = 215°
A las 2 con 50 minutos.
10
145°
3
2
215°
50m
)2(30
2
m11
215
H30
2
m11
215
??m
2H
=
−=
−=α







°=α
=
=
PRÁCTICA DE CLASE
01.Un reloj se atrasa 4 segundos cada 2 horas;
hace 1 mes que se viene atrasando. ¿Qué
hora marcará si son en realidad las 4h 22’?
a) 4h 46’ b) 4h 24’ c) 3h 58’
d) 3h 24’ e) N.a.
02.Un reloj se adelanta 4 minutos cada 6 horas,
hace 12 días que se viene adelantando, ¿Qué
hora son en realidad si marca 2h 8’?
a) 10h 56’ b) 11h 56’ c) 5h 20’
d) 3h 12’ e) N.a.
03.Un reloj comienza adelantarse 5 minutos cada
10 horas. ¿Cuánto tiempo pasará para que
marque la hora exacta nuevamente?
a) 40 días b) 50 días c) 60 días
d) 70 días e) 30 días
04.Han transcurrido 120 días para que un reloj
marque nuevamente la hora exacta. ¿cada
cuántas horas tendrá que haberse adelantado 6
minutos para así poder hacerlo?
a) 20 h b) 22 h c) 24 h
d) 26 h e) 28 h
05.En un día ¿cuántas veces las agujas de un
reloj se superponen?
a) 24 b) 23 c) 25
d) 21 e) 22
06.Pasan de las 3 sin ser las 4 de esta oscura
noche. Si hubiera pasado 25 min más
faltarían para las 5 horas los mismos minutos
que pasaron desde las 3 horas hace 15’. ¿Qué
hora es?
a) 3h 51’ b) 3h 42’ c) 3h 56’
d) 3h 46’ e) 3h 55’
07.¿Cuál es el menor ángulo que forman las
agujas de un reloj a las 9h 30 min?
a) 30° b) 45° c) 36°
d) 50° e) 105°
08.¿ Cuál es el menor ángulo que forman las
agujas de un reloj a las 7h 20 min ?
a) 95° b) 100° c) 105°
d) 110° e) N.a.
09.¿A qué hora entre las 2 y las 3 las agujas de
un reloj se superponen?
a) 2h 10 10/11 min b) 2h 10 7/11 min
c) 2h 10 9/11 min d) 2h 8/11 min
e) 2h 10 5/11 min
10.¿A qué hora entre las 4 y las 5 las agujas de
un reloj están en línea recta?
a) 4h 54 5/11 min b) 4h 54 2/11 min
c) 4h 54 7/11 min d) 4h 54 3/11 min
e) 4h 54 6/11 min
11.¿A qué hora entre las 4 y las 5 el minutero y
el horario forman un ángulo que sea la quinta
parte del ángulo externo antes que el
minutero pase sobre el horario?
a) 4h 11 10/11 min b) 4h 10 7/11 min
c) 4h 11 9/11 min d) 4h 10 10/11 min
e) 4h 10 9/11 min
12.¿Cada cuánto tiempo las agujas de un reloj
forman un ángulo recto?
a) 15 min b) 30 min
c) 32 8/11 min d) 36 7/11 min
e) N.a.
13.¿Cada cuánto tiempo las agujas de un reloj se
superponen?
a) 10 10/11 min b) 10 8/11 min
c) 30 min d) 15 min
e) N.a.
14.¿A qué hora después de las 3 el número de
minutos transcurridos a partir de las 3 es igual
al número de grados que adelantan el
minutero al horario?
a) 3h 10’ b) 3h 15’ c) 3h 20’
d) 3h 25’ e) 3h 30’
15.¿A qué hora después de las 2 el minutero
adelanta al horario tanto como el horario
adelantó a las 12?
a) 2h 16 min b) 2h 20 min c) 2h 24 min
d) 2h 26 min e) 2h 28 min
16.Faltan transcurrir del día tanto como la
tercera parte del tiempo que transcurrió hasta
hace 4 horas. ¿qué hora es?
a) 8 pm. b) 5 pm. c) 10 pm.
d) 7 pm. e) 6 pm.
17.Una persona comienza su viaje en la mañana
entre 8 y las 9, cuando las manecillas del reloj
están en posiciones opuestas y llega a su
destino entre las 2 y las 3 de la tarde del
mismo día, cuando las manecillas del reloj
están coincidiendo. ¿Cuánto tiempo duró su
viaje?
a) 5 hr 59 min b) 6 hr
c) 6 hr 01 min d) 6 hr 02 min e) N.a.
18.Un reloj A se adelanta 5 minutos cada hora,
otro B se atrasa 5 minutos cada hora y tercer
reloj C marca las horas al medio. ¿Dentro de
cuánto tiempo, los horarios de los tres relojes
estarán equidistando entre sí?
a) Dentro de 1 día
b) Dentro de 26 horas
c) Dentro de 36 horas
d) Dentro de 2 días
e) Dentro de 4 días
19.¿A qué horas por la tarde el número de horas
transcurridos del día, es igual al número de
minutos transcurridos después de dicha hora,
si en ese momento las manecillas del reloj
forman un ángulo de 81°?
a) 14 hr. 14 min b) 15 hr 15 min
c) 16 hr 16 min d) 17 hr 17 min
e) 18 hr 18 min
20. Hugo y Cuca deciden verse a las 8 pm. Hugo
tiene el reloj 15 minutos adelantado y Cuca
15 minutos atrasado. Si Hugo llega a la cita
15 minutos antes según su reloj y Cuca 15
minutos retrasada según su reloj.
¿Cuánto tiempo esperó Hugo?
a) No espero b) 15 minutos
c) 30 minutos d) 45 minutos
e) 1 hora

01.Un reloj de 4 campanadas en 3 seg. ¿En
cuántos segundos dará 15 campanadas ?.
a) 13” b) 12” c) 14”
d) 11.25” e) 10”
02.Un reloj da 3 campanadas en 4 seg. ¿Cuántas
campanadas dará en 6 seg. ?
a) 4,5 b) 3 c) 2
d) 5 e) 4
03.Un reloj se adelanta 4’ cada 3h ¿A qué hora
empezó a adelantarse si a las 11h 10’ de la
noche marca 11h 38’ ?.
a) 2h38’ b) 3h 10’ c) 2h28’
d) 2h10’ e) 3h10’
04.Ya hace 18 hrs que se adelanta un reloj,
¿Cuánto se adelanta por hora, si señala las 5h
25’ cuando son las 5h6’ ?
a) 1’ b) 30” c) 1h30”
d) 2’ e) 3’
05.Un reloj se atrasa 4’ en cada hora, si se
sincroniza exactamente a las 2 am. ¿Qué hora
marcará cuando realmente sean las 4h30’
p.m. ?
a) 4h20’ p.m. b) 3h28’ p.m.
c) 3h 32’ p.m. d) 3h 20’ p.m.
e) 2h 30’ p.m.
06.Un reloj se atrasa 3’ cada 45’. Si ahora marca
las 11h 30’ y hace 4h que se atrasa. ¿Cuál es
la hora correcta ?.
a) 11h 10’ b) 11h 14’ c) 10h 56’
d) 11h 46’ e) N.a.
07.Un reloj se atrasa 2’ por hora. Si empieza
correctamente a las 12m del día miércoles 20
de Abril. ¿Cuándo volverá a señalar la hora
correcta ?.
a) Miércoles,5 de Mayo
b) Miércoles, 4 de Mayo
c) Jueves, 5 de Mayo
d) Viernes, 6 de Mayo
e) N.a.
08.Un reloj se adelanta 1’ por hora. Si empieza
correctamente a las 12 m. del día miércoles
13 de Julio. ¿Cuándo volverá a señalar la
hora correcta ?.
a) Viernes, 12 de Agosto
b) Viernes, 13 de Agosto
c) Jueves, 12 de Agosto
d) Miércoles, 12 de Agosto
e) N.a.
09.Un reloj se atrasa 2’ por hora y otro se
adelanta 3’ por hora. ¿Qué tiempo mínimo
debe pasar para que los dos relojes vuelvan a
marcar la misma hora, si contamos a partir de
un momento en que ambos marcaron las 12
a.m. correctamente?.
a) 12 días b) 6 días c) 720 días
d) 24 días e) N.a.
10.En un momento dado, 2 relojes marcan las
12m; uno de ellos se retrasa 8 seg por hora y
el otro se adelanta 4 seg. por hora. ¿Qué
tiempo mínimo debe transcurrir para que los
2 relojes vuelvan a marcar una misma hora ?.
a) 30 días b) 60 días
c) 40 días d) 1 mes y medio
e) 100 días
11.¿Cuál es el menor ángulo que forman las
manecillas del reloj a las 3h 40’ ?
a) 90° b) 150° c) 130°
d) 120° e) 100°
12.¿Cuál es el mayor ángulo que forman las
agujas del reloj a las 4h 18’ ?
a) 21° b) 121° c) 310°
d) 339° e) 233°
13.Antes que el minutero pase sobre el horario.
¿A qué hora entre las 5 y las 6, las agujas de
un reloj forman en ángulo recto?.
a) 5h 10 10’/11 b) 5h 11 5’/11
c) 5h 11 2’/11 d) 5h 11 9’/11
e) N.a.
14.¿A qué hora entre las 3 y las 4, las agujas de
un reloj forman un ángulo de 20°, si el
minutero ya pasó al horario?.
a) 3h 40’ b) 3h 10’ c) 3h 20’
d) 3h 60’ e) 3h 30’
15.¿A qué hora entre las 7 y las 8, las agujas de
un reloj estarán en direcciones opuestas?.
a) 7h 5’ 26 1”/11
b) 7h 20’ 36”
c) 7h 30’ 12 1”/11
d) 7h 5’ 27 3”/11
e) N.a.
16.¿A qué hora entre las 1 y las 2 de la tarde, las
agujas de un reloj estarán en direcciones
opuestas?.
a) 1h 36’ 10 1”/11
b) 1h 38’ 10 10”/11
c) 1h 42’ 36”
d) 1h 38’ 12 10”/11
e) N.a.
17.¿A qué hora entre las 3 y las 4, las manecillas
del reloj se superponen?.
a) 3h 16 3’/11 b) 3h 15 3’/11
c) 3h 16 4/11’ d) 3h 18 4/11”
e) N.a.
18.¿A qué hora entre las 5 y las 6, las manecillas
del reloj se superponen ?.
a) 5h 25 2’/11 b) 5h 18 2’/11
c) 5h 27 2’/11 d) 5h 27 3’/11
e) N.a.
19.¿A qué hora entre las 2 y las 3, el minutero y
el horario forman un ángulo que sea los 7/5
del ángulo exterior?.
a) 2h 41 7’/11 b) 2h 38 2’/11
c) 2h 42 6’/8 d) 2h 43 7’/11
e) N.a.
20.¿A qué hora entre las 4 y las 5, el minutero y
el horario formarán un ángulo que sea la
cuarta parte del ángulo exterior ?.
a) 4h 10 5’/11 b) 4h 8 8’/11
c) 4h 6 5’/11 d) 4h 12 5’/11
e) N.a.
TAREA DOMICILIARIA
01.Un campanario tarda 4s. en tocar 5
campanadas. ¿Cuánto tardará en tocar 10
campanadas?
a) 3 s. b) 6 s. c) 9 s.
d) 12 s. e) N.a
02.Una campana toca 3 campanadas en 7
segundos. ¿Cuántos segundos tardará en tocar
7 campanadas?
a) 7 s. b) 10 s. c) 14 s.
d) 21 s. e) N.a.
03.Dos campanas " A" y " B" empiezan tocando
simultáneamente y cada uno toca a intervalos
iguales, además " A" da 6 campanadas en 35
horas y " B" da 6 campanadas en 15 horas.

¿Cuántas horas transcurren hasta que vuelvan
a tocar simultáneamente?
a) 12 b) 21 c) 18
d) 36 e) 24
04.Un campanario señala las horas con igual
número de campanadas, si para indicar las
5:am. demora 8 segundos. ¿Cuánto demorará
para indicar las 12:00 m.?
a) 15 s. b) 22 s. c) 43 s.
d) 16 s. e) N.a
05.El campanario de una iglesia estuvo tocando
durante 38 segundos; si se escuchan tantas
campanadas como 10 veces el tiempo que hay
entre campanada y campanada. ¿Cuánto
tiempo empleará éste campanario para tocar 7
campanadas?
a) 12 s. b) 18 s. c) 24 s.
d) 30 s. e) N.a
06.Faltan transcurrir del día la mitad del tiempo
que ha transcurrido. ¿Qué hora es?
a) 2 pm. b) 3 pm. c) 4pm.
d) 6pm. e) N.a
07.Si fueran 3 horas más tarde de lo que es,
faltarían para acabar el día 5/7 de lo que
faltaría se es que fuera 3 horas más temprano.
¿Qué hora es?
a) 3 am. b) 4 am. c) 5 am.
d) 6 am. e) N.a
08.¿ Qué hora es ? para saberlo, basta consumar
la mitad del tiempo que falta para las doce del
mediodía y los 2/3 del tiempo transcurrido
desde las doce de la noche ?
a) 6h: 30 min. b) 6h: 48 min.
c) 7 h: 12 min. d) 8h: 28 min.
e) N.a
09.¿Cuál es la relación de la fracción
transcurrida de la semana a la fracción
transcurrida del día cuando son las 6 am. del
miércoles?
a)
7
8
b)
7
1
c)
7
6
d)
7
9
e)
5
3
10.¿Qué hora será dentro de
4
1
5 h, sabiendo
que en estos momentos el tiempo transcurrido
es excedido en 5 h. por los que faltan
transcurrir del día?
a) 2:45 p.m. b) 3:10 p.m. c) 4:20 p.m.
d) 6:30 p.m. e) N.a
SOLUCIONARIO
Nº
EJERCICIOS PROPUESTOS
01 02 03 04 05
01. B C C D C
02. C D D C E
03. D B C B D
04. B D C B B
05. A B B A C
06. B C D D D
07. C C A B C
08. C C E B A
09. B C B C B
10. A D E A E
11. C B A C C
12. C D A C D
13. D E A C A
14. B C D C C
15. C C B C D
16. B B D B B
17. B C D D C
18. B D A A D
19. D C C B
20. C A E D
21. D
22. B
23.
24.
25.

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