Matematica

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OPERACIONES
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 2do Año Secundaria MATEMÁTICA 2do Año Secundaria
I. OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
1.1. Realiza operaciones fundamentales correctamente en Q.
1.2. Operar correctamente operaciones combinadas en Q, donde intervengan signos de
colección.
II. PROCEDIMIENTOS:
A. Motivación:
Hallar el resultado de:






−








+
11
1
12
9
1
3
25
16
y dar su respuesta con aproximación al centésimo:
Rpta:..............................................................
B. Contenido Teórico:
En ejercicios donde aparecen algunos o todas las operaciones estudiados, efectuamos éstas
según el siguiente orden:
1.- Operamos las POTENCIAS y las RAICES.
2.- Luego operamos las multiplicaciones y divisiones.
3.- Finalmente operamos las SUMAS y RESTAS.
SIGNOS DE COLECCIÓN:
Los más usados son: PARENTESIS ( ), LLAVES { } y CORCHETES [ ]. Si en un ejercicio de
operaciones combinadas aparecen los Signos de Colección, efectuamos las operaciones al interior de
éstos.
Si en los Signos de Colección ocurre que hay unos al interior de otros, empezamos efectuando
operaciones al interior de los primeros. Ve esquema:
{ [ ( ) ] }
1°
2°
3°
Ejemplo 01:Efectuar:
]6435)953:6(4[2)357( 2222
−×+−+++−×
SOLUCIÓN:
Al operar al interior de cada Signo de Colección, el orden de las operaciones es el mismo que lo
explicado.
26 + 2 [ 42
+ 4 + 52
x 32
- 64 ] , operando dentro [ ]
26 + 2 [ 16 + 4 + 25 x 9 ] - 8
26 + 2 [ + 16 + 4 + 225 - 8 ]
26 + 2 [ 237 ]
26 + 747
500 Rpta.
Ejemplo 02:¿Cuál es el decimal que resulta al efectuar la siguiente operación?
E = (0,18333) (0,151515 .....) : (0,111 .....)
SOLUCIÓN:
Hallamos la generatriz de cada decimal:
• 0,18333.... =
60
11
60
180
900
165
33
11
900
18183
318,0 ==
−
=

• 0,151515...=
33
5
99
15
51,0 ==

S2MA31B “Los más grandes hombres crecen con nosotros...” S2MA31B “Los más grandes hombres crecen con nosotros...”
I
BIMESTRE

83 84COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 2do Año Secundaria MATEMÁTICA 2do Año Secundaria
• 0,111....... =
9
1
1,0 =

Reemplazando:
⇒
×
××
=⇒

















=
3360
9511
E
9
1
:
33
5
60
11
E E = 0,25
Ejemplo 03:Reducir:
75,038,03,1
15
4
:
25
2
25
3
6
5
8
3
P
−+
−⋅+
= 
SOLUCIÓN: Efectuando:
170
21
12
17
40
7
4
3
6
5
3
4
10
3
10
1
8
3
P ==
−+
−+
= Rpta.
PRACTICA DE CLASE Nº 01
01. Efectuar:
24
1
3
1
2
1
4
1






+
02. Reducir:
30/7
2
1
3
1
5
2
+×
03. Efectuar:
57
46
2
28
1
4
1
7
1
+
+
+
04. Reducir:
28/3
1
35
6
5
19
7
3
7
10
5
2
−
×+×
05. Simplificar:












++












+
+
3
2
1
2
3
1
1
1
14
1
2
1
7
1

06. Reducir:
13
74
12
1
3
4
1
3
1
2
1
12
13
E
−
×
+






++×
=
07. Efectuar:
32
54
)0016,0()9,0(
)002,0()3,0(
×
×
08. Reducir:
122
83
)2,0()5,0(
)008,0()05,0(
×
×
09. Calcular:
[ ] 1
...24999,0...32111,0E
−
−=
10.Efectuar:
.....333,2....666,97
3555,24....3555,924
+
−
EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01
01. Hallar el resultado de: 4
16 : (- 2)2
+ { (- 8) (- 3) : (- 2) + (- 7)2
- (- 6) (- 8) }
a) 53 b) 48 c) 59 d) 62 e) N.a.
02. Efectuar:
5 3
2
9
29
4
1
25
1
5
1
2
1
F 




 −














+






−
=
a) - 1 b)
2
1
c)
3
1
1 d) -
4
1
e) -
2
1
03. Efectuar:
2
61
41
10
3
3
7
6
1
5
6
−






×
−
+
a) 0 b) - 1 c) 1 d) 2 e) N.a.

04. Reducir:
1
01
2
10
3
1
9
1
−
−
×





+
a) 1 b) 2 c)
2
1
d) 3 e) N.a.
05. Efectuar:
6
1
4
1
3
1
2
1
8/1
1
+
+
×
a) 1 b)
2
1
c) 4 d) 2 e) N.a.
06. Simplificar:
3
3/1
1
5/1
1
3/1
1
2/1
1
9/1
1
−+
−
−+
a)
2
1
b) -
4
1
c) - 4 d) -
4
1
e) 1
07. ¿Cuál es la fracción generatriz de: 0,12 + 0,333....+0,58222....?
a)
225
113
b)
225
233
c)
250
17
d)
990
1
e)
900
1
08. Calcular la raíz cuadrada de: E = 99,777.... + 0,222.....
a) 7 b) 8 c) 6 d) 9 e) 10
09. ¿Cuánto le falta a los
3
2
de los
10
9
de
6
5
para ser igual a la fracción generatriz del decimal
0,555....?
a) 0 b)
3
1
c)
6
1
d)
18
1
e)
20
1
10. ¿Cuántos "paréntesis" se deben considerar en:
P = 





−





−





−





−
6
1
1
5
1
1
4
1
1
3
1
1 ... para que "P", resulte igual a 0,1?
a) 18 b) 12 c) 30 d) 20 e) 10
11. Calcular el valor de:
( )2
45,025,1 −
a) 0,1 b) 0,15 c) 0,2 d) 0,25 e) más que 0,25
12. La raíz cúbica de 23
. 312
excede a la raíz cuadrada de 26
. 34
en:
a) 9 b) 99 c) 90 d) 33 e) 66
13. Efectuar:










×
÷








×
−
−
=Ε ∩
15,2
10,01,3
71
1
4,67,9
38,15,3



a) 1 b) 1/2 c) 2 d) 1/3 e) 1/4
14. ¿Cuántas fracciones propias de denominadas 75 y donde el numerador es un número de dos cifras,
existen?
a) 30 b) 35 c) 40 d) 65 e) N.a.
15. Si: x =
12
1
, calcular el valor de:
E = x41
2
3
x2x
4
3
−−+−
a)
4
3
b)
2
2
c) 0 d) 1 -
6
1
e) 1 -
3
1

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Q
Z
N I
R
GRAFICA
INTERVA
TAREA DOMICILIARIA Nº 01
01. Si: a = 2 - 3 ; b = 2 + 1 y c = 23 − . ¿A qué es igual: a + b + c ?
a) 2 b) 32 + c) 3 d) 1 e) 0
02. Efectuar: 3
3010
−
+ ),,(
a) 6,25 b) 1 c) 8 d) 4 e) N.a.
03. Calcular: ( 0,27 ) + 0,333...
-1
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
04. Efectuar: 625:.....)0222,0( 2−
y dar como respuesta la raíz cuadrada de lo obtenido.
a) 1 b) 3 c) 9 d) 4 e) 16
05. Efectuar:
E = ( )2
09,004,0 + y dar como respuesta:
023
EEE ++
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 16
06. Evaluar:
E = (0,125) - 3
: (0,25)- 2
y dar como respuesta:
65
E2E +
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 16
I. Objetivos Específicos:
1.1. Realizar operaciones conjuntistas con intervalos
II. Procedimientos:
A) Motivación
¿Cuántos números existen entre 999 y 1001 ?. Suponga que está en el campo de los números
reales.
Rpta.: ............................................................
B) Contenido Teórico
Es la unión de los números racionales (Q) con los irracionales (II) Es decir: Q U II = R
Ejemplo: De Números Reales: 0,5, - 2 , 3 , 1 + 5 , π + 2, - 7, -
3
5
, etc.

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1111
0
11 11
Así :
A. VALOR ABSOLUTO : a
Es la distancia del CERO a dicho número.
Luego: 111111 =−=+
B. INTERVALOS:
Conjunto de números reales que pueden o no incluir los extremos.
CLASES :
1. ABIERTO.- Cuando no incluyen los EXTREMOS y no llevan signo igual.
Así: M =  x ∈ R / a < x < b
Ejemplo : B =x ∈ R / -3 < x < 3 ] -3, 3 [
-3 -2 -1 0 1 -2 -3 -4
B
GRAFICA
Se representa con un
círculo sin llenar
2. CERRADO: Cuando incluyen los extremos y lleva signo IGUAL.
Ejemplo : C =  x / – 3 ≤ x ≤ 0 [ - 3, 0 ]
-3 -2 -1 0 1 2
C
GRAFICA
Se representa con un
círculo lleno .
3. ILIMITADO: Cuando sus extremos están representados por infinito + ó –.
0
GRAFICA
Siempre es abierto+
-
- ,
+
4. CERRADO POR UN EXTREMO : Cuando se incluye un extremo y el otro no.
A =  x / 5 ≤ x ≤ 8 [ 5, 8 [
0 1 2 3 4 5 6 7 8
A
GRAFICA
5. ABIERTO POR UN EXTREMO : No se incluye un extremo.
M = x / 3 < x  ] 3, +∞ [
0 1 2 3 4
GRAFICA
M
+
PROBLEMAS : Ejemplos
01. Dados los intervalos P = [ -3, 2 [ , Q = ] -1, 3 ] , Hallar P U Q

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En la unión se toma los
extremos finales.
Así: P U Q = [ -3,3 ]
En la INTERSECCIÓN se toma el segmento “central”, respetando sus extremos.
Así : 


=∩ 4,
2
1NM
Solución : Se grafican los intervalos.
-3 -2 -1 0 1 2 3
P Q
P
Q
U
02. Dados : 


=



−= 6,
2
1N4,
2
1M
Hallar M ∩ N
Solución : Se grafican los intervalos
-1 1 2 3 4 5 6 7
01
2
-
1
2
N
M
M N∩
03. Hallar el intervalo R – S , Si R = [ - 5, 1 [ y S = ] – 2, 3 ]
S
R
R - S
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
R - S = [ - 5, - 2 ]
El extremo exterior se respeta, pero el INTERIOR se cambia.
04. Hallar el intervalo P – Q, SI P = ] – 2, + ∞ [ y Q = [ 2, 5 ]
-2 -1 0 1 2 3 4 5
P
Q
+-
P – Q = ] – 2, 2 [ U ] 5, + ∞ [
05. Graficar y hallar A B , si A= [ -4, 1 [ y B = ] – 2, 3 ]
- 4 -3 - 2 -1 0 1 2 3
A B = [ - 4, - 2 ] [ 1, 3 ]U
En la figura simétrica, se respetan los EXTREMOS “extremos” y se cambian los extremos
“MEDIOS”.

PRACTICA DE CLASE Nº 02:
Resolver :
01. El conjunto A = { x /x ∈ R , 5< x< 9 } con notación de intervalo se escribe :
a) [ 5, 9 ] b) ] 5, 9 [ c) [ 5, 9 [ d) ] 5, 9 ] e) N.a.
02. El conjunto B = { x /x ∈ R , x < - 2 } con notación de intervalo se escribe :
a) ] - ∞, - 2 [ b) ] 0 , - 2 [ c) [ 0 , - 2 ] d) ] 0, - ∞ [ e) N.a.
03. El intervalo [ -3 , 5 [ con notación conjuntista se escribe :
a) { x / -3 < x < 5 } b) { x / x < 5 } c) { x / x > -3 }
d) { x / -3≤ x <5 } e) N.a.
Sean los intervalos: A = [ 2, 4 [ y B = ] 3 , 8 [
Hallar :
01. Hallar: A U B
a) [ - 8 , 2 ] b) ] – 8 , - 2 [ c) [ 2 , 8 [ d) [ - 2 , 8 ] e) N.a.
02. Hallar: A ∩ B
a) ] 3 ,4 [ b) [ - 4 , - 3 [ c) [ 2 , 4 ] d) [ - 1 , 6 ] e) N.a.
03. Hallar: A - B
a) [ - 2 , 3 [ b) [ 2 , 3 ] c) ] - 3 , + ∞ [ d) [ 3 , 8 [ e) N.a.
04. A ∆ B
a) [ - 2 , 3 ] U [ - 4 , 6 ] b) [ - 2 , 2 ] U [ - 3 , 3 ] c) [ 0 , 1 ] U [ 3 , 5 ]
d) [ 2 , 3 ] U [ 4 , 8 [ e) N.a.
05. Dado U = ] - ∞ + ∞ [ ; A = ] - ∞ , 2 ] y B = ] - 4 , ∞ ]
Hallar A U B
a) ] - ∞ , - 3 ] b) ] - ∞ , 8 [ c) U d) [ - 3 , + 3 ] c) N.a.
06. Hallar: A ∩ B
a) ] – 4 , 2 ] b) ] 2 , 4 [ c) ] – 4 , - 2 [ d) A e) N.a.
07. Hallar: ( A U B )’
a) A b) Ø c) B d) U e) N.a.
08. Hallar: A – B
a) B b) A c) ] - ∞ , - 2 ] d) ] - ∞ , 4 ] e) N.a.
09. Dados los intervalos: A = ] - 4 ; 3 [ y B = [ - 3 ; 5 [ ; obtener (A ∪ B) – (A ∩ B)
a) ] - 4 ; - 3 [ ∪ ] 3 ; 5 [ b) R - ] - 4 ; - 3 [ c) R - ] - 3 ; 5 [
d) ø e) N.a.
10. Efectuar: | - 0 , 2 | + | 1, - 9
4
| + | 3,0

| y dar la respuesta redondeada a los centésimos.
a) 0, 41 b) 0,87 c) 1,25 d) 1,27 e) 4,21
01. El conjunto A = {x ∈ R / 5 ≤ x <12}, con notación de intervalo se escribe: ..........................
...........................................................
02. Dado: x ∈ ] – 2, +∞], con notación conjuntista se escribe: ....................................................
03. Dados: U = R; A = {x / x ∈ R ∧ - ∞ < x < 10}
B = {x / x ∈ R ∧ x ≥ 5}
Hallar: (A ∩ B)'
04. Si: U = R, M = {x / x ∈ R ∧ x ≤ 8}

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OPERACIONES
N = {x / x ∈ R ∧ x ≥ 0}
Calcular: (M - N)' ∩ M
I. Objetivos Específicos:
- Transforma y simplifica radicales.
- Homogeniza radicales Con responsabilidad y en forma grupal.
- Multiplicar y/o dividir correctamente radicales.
II. Procedimientos:
A) Inicial:
Los números reales es la unión de los racionales (Q) con los irracionales (I=); es decir:
Q ∪ I = R
Gráficamente:
I
Q
Z N
R
Responde a la siguiente pregunta:
¿Cuántos reales hay entre 2 y 5?
Respuesta: ..............................................................
Complete Ud. Los elementos que faltan:
Signo de Radicación
Cantidad subradical
c
a b
Indice Exponente
B) Contendio Teórico:
Para responder correctamente a la pregunta anterior sólo basta estudiar la siguiente teoría con
paciencia.
Transformación y simplificcación de radicales:
Trasnformar radicales, es un proceso en el cual en índice de un radical se trnasforma en otro ya sea
mukltiplicámdose o dividiéndose por un número entero.
Ejemplo:
Transfromar 3
2 a índice 6.
Solución:
De indice 3 a índice 6, sólo se multiplica el exponente de la cantidad subradical por 2.
Así: 623 213
422 =→ ⋅ ⋅
Homogeneizar radicales, es un proceso que consiste en hacer que todos los índices de los radicales
que se tienen que homogenizar tengan al final el mismo índice (índices iguales).
Ejemplo:
Homogeneizar: 4 56 23
2y3;2
Solución:
1°) Sea saca el mcm de los índices:
mcm (3 - 6 - 4) = 12
2°) Éste mcm, se divide por cada índice anterior, éste resultado se multiplica por cada exponennte de la
cantidad subradical, así:
4 56 23
2y3;2
 12 3512 2212 41
2y3;2 ×××
 12 1512 412 5
2y3;2
Multiplicación y división de Radicales:
Para efectuar las operaciones de multiplicación y/o división de radicales, debemos tener en cuenta que
los radicales deben ser homogéneos.

Recordando, Radicales homogéneos son aquellos radicales que tienen elm mismo índice.
Por lo tanto, la multiplicación y/o división de radicales, se realiza así :
Primero: homogeneizamos radicales.
Segundo: Escribimos los radicandos bajo un solo radical.
Tercero: Simplificamos los radicandos.
Ejemplo:
Efectuar: ( ) 12 36 54
262223 ÷





Solución:
E =
( )
12 3
6 54
26
2223 





; mcm (4 - 76 - 12) = 12
E =
12 3
12 1012 3
26
2223 ×××
E = 66 512 10
3222 ==
PRACTICA DE CLASE 03
I) ¿Qué son radicales homogéneos?
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
II) Realiza la transformación de los siguientes radicales:
01. Transfromar el radical 2 en otro índice 4.
02. Transfromar el radical 3 en otro índice 6.
03. Transformar el radical 3
5 en otro índice 6.
04. Transfromar el radical 12
05. Transformar el radical 5
06. Homogeneizar los siguientes radicales: 54
5;6;8
7;5;2
08. Escriba bajo un solo radical: 8 73 5
22 ×
09. Escriba bajo un solo radical: 6 54 33 2
777 ××

5;6;6
Dar el menor:
a) 20 4
6 b) 20 10
6 c) 20 3
6 d) 20 5
5 e) N.a.
7;5;2
Dar el mayor:
a) 84 3
5 b) 24 4
5 c) 24 4
7 d) 24 8
2 e) N.a.
03. Escriba bajo un solo radical. 6 54 39 2
777 ××
a) 36 49
7 b) 36 52
7 c) 36 19
7 d) 36 29
77 e) N.a.
04. Escribir bajo un solo radical y señalar la cantidad subradical. 4 73 5
22 ×
a) 216 b) 604 c) 41 d) 32 e) N.a.
05. Efectuar: E = )582)75(
a) 3510 b) 127 c) 1210 d) 350 e) N.a.
06. Efectuar: F = 333
42)83()28( ÷
a) 12 4 b) 12 3
4 c) 12 d) 12
3
3 e) N.a.
07. Efectuar: P = 1263
1446)32()215( ÷
a) 12 b) 12
5
1
c) 5 d) 5 12
12 e) 12
08. Efectuar:
( )
15 1012
2
3
4
5
32
3
4
1
2
2
1
⋅












a)
2
1
b) (32)–1
c)
15
2
32
1
d) 15
32 e) 15 1012
32 −
09. Efectuar: 32
5
a) 5 b) 25 c) 125 d) 625 e) N.a.
10. Reducir: ( )3 3 3 54
77
a) 1 b) 7 c) 49 d) 7 7 e) N.a.
11. Ordenar de menor a mayor: a = 5 ; b = ;93
c = 32 ⋅
a) a; b; c b) a; c; b c) b; a; c d) c; a; b e) c; b; a
12. Si: a1 = 3 an + 1 = an + n
10
3
Entonces: a10 – a8 es igual a:
a) 0,000000003 b) 0,00000033 c) 0,000000033
d) 0,00000333 e) 0,0000000033
13. Si: 2 < × < 5, calcular: M =
2
8|6x||2x| +−+−
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) x
14. Determinar el valor de: F = 332)311()103( 5
4
4 322
+−+−−−
a) - 16 b) 32 c) 42 d) - 14 e) 18
15. Reducir: E =
22
222
333
⋅
⋅⋅
⋅⋅

83 84
RACIONALIZ
a) 3 b) 9 c) 27 d) 81 e) N.a.
01. Homogeneizar:
18 36 28 7
5y7;2
02. Transfromar a índice 8.
5 4
3
03. Efectuar:
( ) 










 15 85 76
222
04. Reducir:
4
1
2
4 32 3/1
23
232
E












=
I) Objetivos Específicos:
1.1. Convertir un número irracional en racional.
II) Procedimientos:
A) Motivación:
¿Será lo mismo
3
1
que
3
3
?
Rpta: ........................, porque: .........................
B) Contenido Teórico:
Actividad: lee detenidamente la siguiente, información, subrayando lo que consideres
importante para su comprensión.
RACIONALIZACIÓN DE RADICALES:
Factor Racionalizante: Llamamos así a un número irracional, que al multiplicar con otro número
irracional el resultado da un número racional.
Analice los siguientes, ejemplos:
01.De 3 su factor racionalizante (F.R.) es 3
02.De 3
2 su F.R. es 3 2
2
03.De 8 5
4 su F.R. es 58
4 −
04.De n m
a su F.R. es nm
a −
05.De 3 – 2 su F.R. es 3 + 2
06.De 35 + su F.R. es 35 −
07.De ( ) ( )3857 −+ su F.R. es ( ) ( )3857 +−
08.De )ba( + su F.R. es )ba( −
Racionalización: Es un proceso que consiste en convertir un número irracional en racional. Y se
realiza de la siguiente manera:
Primero: Buscamos el factor racionalizante del radical que se desea racionalizar que puede ser del
numerador o del denominador.
Segundo: Multiplicamos tanto al numerador como al denominador de la fracción por su factor
racionalizante.
Al efectuar quedará el numerador o denominador racionalizado según halla sido la intención inicial.

Ejemplos:
Racionalizar los denominadores de:
01.
5
1
su F.R. del denominador es .5
5
5
5
5
5
1
=
















02.
)57(
3
−
su F.R. es ( )57 +
57
)57(3
)57(
)57(
57(
3
−
+
=








+
+








−
)57(3 +=
03.Racionalizar el numerador de 8
2
5
5
3
Primero Convertimos:
5
3
a
5
3 8 58 5
Su F.R. de 8 38 5
3es3
=
8 3
8 38 5
3
3
x
5
3
8 3
8 8
35
3
=
8 3
35
3
= Rpta.
01. Racionalizar los numeradores de:
1)
2
3
2)
2
23 −
3)
2
23
4)
2
233
+
5)
2
35 −
6)
2
43
02. Racionalizar los denominadores de:
1)
35
1
−
2)
27
6
+
3)
1011
3
−
4)
13
58
+
5)
37
27
−
6)
37
37
−
+
7)
26
26
+
−
8)
17
23
+
9)
)15()12(
3
−+
10.
)35()27(
72
−−
01. Reducir: a =
23
1
35
2
225
2
+
+
+
+
+
a) 2 b) 3 2 c) 5 3 d) 5 2 e) 4 3
02. Hallar la fracción decimal equivalente a la siguiente expresión:
85072
2
−+
a) 0,125 b) 0,114 c) 1,0

d) 21,0

e) 31,0

03. Después de racionalizar se obtiene: ( )322
78
1
13
2
37
4
−−
+
+
+
+
+
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
04. Efectuar:
43
2
25
1
32
1
2
6






+
+
+





+
+
a) 1 b) 2 c) 3 d) 33 e) N.a.
05. Calcular E2
, si: 3232E −++=

83 84
FUNCION
a) 2 b) 3 c) 6 d) 8 e) N.a.
06. Reducir:
32
1
12
1
23
1
+
+
+
+
+
y dar como representa la quinta potencia de lo
obtenido:
a) 5 b) 2 c) 1 d) 8 e) N.a.
07. Multiplicar los radicales homogéneos 2n3n2
168 +−
⋅
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.a.
08. Sumar los radicales semejantes: n5m21m
31abba +−+ −−
a) 8 3
3 b) 8 3 c) 3
3 d) 1 e) N.a.
09. Luego de racionalizar el denominador de:
3
2
2
; indicar el numerador simplificado.
a) 2 b) 3
2 c) 6
2 d) 6
4 e) N.a.
10. Luego de racionalizar el denominador y simplificar:
4
2
2
; indicar el numerador.
a) 2 b) 3
2 c) 4
2 d) 4
2
1
e) N.a.
11. ¿Cuál es el factor racionalizante que hace racional el denominador de:
4
3
8
3
?
a) 4
2 b) 4 2
2 c) 4 d) 3
8 e) N.a.
12. ¿Calcular el cuadrado de: 2
56
1
26
2
57
2
+
+
−
+
+
+
a) 1 b) 3 c) 31 d) 7 e) 8
13. Calcular el cuadrado de:
14
14
3214
2
3213
1
−
−
+
+
a) 11 b) 13 c) 8 d) 10 e) 0
14. Evaluar: 3323232 −



++−+
a) 1 b) 2 c) –1 d) –2 e) 3
15. Reducir:






−−++ 141414 444
y dar como respuesta la décima potencia de lo obtenido.
a) 20 b) 18 c) 19 d) 32 e) Na.
01. Calcular: ( ) ( ) ( ) ( )32322222 −+−+
02. Racionalizar el denominador de: 3
22
1
03. Racionalizar el numerador de:
5
54 3
04. Racionalizar:
23
1
57
2
+
+
−
05. Racionalizar:
12
1
12
1
13
1
13
1
+
+
−
−
+
−
−
I. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
1.1 Comprenda que muchos de los objetos que vemos en nuestro medio tiene una
representación matemática:

1.2 Dada una ecuación reconozca que clase de gráfico va ha generar.
II. PROCEDIMIENTOS
A. Motivación
¿Sabías que muchas de las líneas que hay en el mundo tienen su representación matemática?.
¡Si! La recta, la parábola...¡increíble! ¿no? nos internaremos a este fascinante aspecto de la
matemática, conocemos la función lineal, la función valor absoluto, la función cuadrática.
Graficaremos líneas rectas con precisión, parábolas de curvas perfectas, reflejos exactos y
muchas cosas más. A coger nuestros instrumentos y a preparar nuestra mente y ¡A comenzar!
¿Cuál crees que sea la razón por la cual la antena parabólica recibe este nombre?
Rpta. .........................................................
B. Contenido Teórico
Función: Conjunto no vacío de pares ordenados (x; y) en el cual dos pares ordenados distintos
no tienen la misma primera componente.
Importante:
1. La función se representa mediante una regla de correspondencia, así: y = f(x)
Ejemplos:
(a ) y = 3x-1 ó f(x) = 3x-1
(b) y = 4x2
+1 ó f(x) = 4x2
+1
(c ) y = 2
x
1
ó f(x) = 2
x
1
2. Toda función tiene Dominio y Rango.
Dominio: Es el conjunto de las primeras componentes de cada par ordenado de una
función (abcisas o elementos x), y se representa D(f).
Rango: Es el conjunto de las segundas componentes de los pares ordenados de la función
(ordenadas o elementos y) y se representa por R(f).
Ejemplo:
a) En la función: f(x) = x + 3
Estamos en el campo del conjunto de los números reales (R).
Entonces:
Dominio = R
Rango = R
b) En el gráfico, hallar el dominio y el rango:
x-
y-
-5
y+
x+
Dominio = D(f) = 〈 - ∞ ; + ∞ 〉 = R
Rango = R(f) = [ – 5 ; + ∞ 〉
3. Toda función tiene una representan a sus pares ordenados.
Ejemplos:
a) y = 3x – 1 b) y = 4x2
+ 1
1/3
-1
y
x
1
y
x
c) y =
x
1
d) y = 1x −
y
x
y
x
EJERCICIOS DE APLICACIÓN

01. Determinar el dominio y el rango de cada una de las funciones:
A =






∈
−
= Ry;
1x
1
y/)y;x(
B =






∈
−
+
= Ry;
)2x(
)1x(
y/)y;x(
C = { }Ry;3xy/)y;x( ∈−=
D = { }x5y/)y;x( −=
E = {(x;y)/y = x2
– 3}
F = {(x; y) / y = x + 3; x > 2}
G = {(x; y) / y = x2
; x > 3}
Gráfica de funciones Especiales:
1. Función Lineal.- Es aquella cuya gráfica es ujan línea recta. La regla de correspondencia para esta
función tiene la forma general:
y = ax + b ó f(x) = ax + b
donde: a, es la pendiente de la recta.
b, es el intercepto de la gráfica con el eje "y".
Observación:
1) La pendiente a, es la medida de la inclinación de la recta respecto a la horizontal (eje x).
2) De izquierda a derecha,
Si: a > 0 (a positivo), la recta asciende.
Si: a < 0 (a, negativo), la recta desciende.
Si: a = 0 (a sin signo), la recta es paralela al eje "x" y pasa por el punto (0; b)
Ejemplos:
01. Graficar, hallar el dominio y el rango de:
a) f(x) = 3x + 2
Solución:
1) Tabulamos:
x
y
- 1 0 1
- 1 2 5
. . .
. . .. .
. .
Los pares ordenados: (-1; –1); (0; 2) y (1; 5) pertenecen a la gráfica de la recta.
2) Graficamos los puntos:
3
2
1
1-1
-1
4
5
D(f) = R
R(f) = R
b) y = x – 3
1. Tabulamos
x
y
- 1 0 1
- 4 -3 -2
Los puntos ordenados ( - 1; - 4 ); ( 0; - 3 ) y ( 1; - 2 ) pertenecen a la gráfica.
2.

-4
-3
-1 1
D(f) = R
R(f) = R
2. Función Valor Absoluto:
Es aquella función conformada por dos funciones con diferente dominios, su regla de
correspondencia es: y = |x + b| + c.
Gráficamente se obtiene dos rectas con un punto común.
Ejemplo: Graficar y = |x + 2|
x
y
- 4 -2 0 2
2 0 2 4
2. Gráficamente puntos: ( - 4; 2 ) ( - 2; 0 ), ( 0; 2 )
y ( 2; 4 )
y
x
-2-4
D(f) = R
R(f) = 〈 0 ; + ∞ 〉
Ejemplo:
02. Graficar y señalar su dominio y su rango de y = | 2x – 6 |
Solución:
1. Tabulamos:
y
x-2-4
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
-6-8-10 -4 -6 -8 -10-2
Dominio = R
Rango = 〈 0 , + ∞ 〉
3. Función Cuadrática: La gráfica de esta función de segundo grado es una parábola como la tg.

y
x
y
x
Forma general de la Regla de correspondencia:
y = ax2
+ bx + c; a ≠ 0
- Si: a > 0, la parábola se abre hacia arriba
- Si: a < 0, la parábola se abre hacia abajo
- a; b y c , son coeficientes.
- X es la variable independiente
- Y es la variable dependiente.
COORDENADAS DEL VÉRTICE
Dada Y = ax2
+ bx + c; la abscisa del vértice de la parábola se obtiene operando:
a2
b
X
−
=
El par ordenado correspondiente al vértice de la parábola es:





 −−
a4
D
;
a2
b
V ; donde D = b2
– 4ac
Ejemplo 01: Graficar Y = x2
Solución:
Los coeficientes son a=1; b=0 ; c=0 ; como a > 0, la gráfica se abre hacia arriba.
Además: D = b2
– 4ac = 0 – 4 (1) (0) = 0
Las coordenadas del vértice son:
( ) ( )
( )0;0V
14
0
;
12
0
V ⇒




 −−
Su gráfica es:
y
x
Ejemplo 02: Graficar Y = 2 x2
+ 4x – 1,da su dominio y su rango
Solución:
- Los coeficientes son: a = 2; b = 4 y c = -1
- Como a > 0, la gráfica se abre hacia arriba.
Discriminancia D = b2
– 4ac
D = (4) 2 – 4 (2) (-1)  D = 24
Luego, las coordenadas del vértice son:
( ) ( )
( )3;1V
24
24
;
22
4
V −−⇒




 −−
Su gráfica es:
y
x
-3
-1
Dominio = R
Rango = [ - 3 ; ∞ 〉
PRÁCTICA DE CLASE Nº 05

01. Graficar: f(x) = x
02. Graficar: f(x) = | x+1|
03. Graficar : f(x) = 3, hallar su dominio y su rango
04. Graficar: Y = 3|x + 2|; x > 5
05. Graficar en un solo sistema las funciones:
y = ax2
+ bx + c
x = ay2
+ by + c
06. Graficar, dar el dominio y su rango de:
y = x2
+ 6x + 20 ; x > 1
07. Determinar el vértice de cada una de las siguientes funciones cuadráticas:
a) y = x2
+ 3x + 2
b) y = 4x2
+ 13x + 3
c) y = x2
– 7x +12
PROBLEMAS PROPUESTOS Nº 05
01. Contestar ¿Cuáles son funciones de las siguientes gráficas?
Y
X
I)
Y
X
II)
Y
X
III) Y
X
IV)
a) I y II b) II y III c) Sólo II d) Todas e) N.a.
02. Señale el dominio de 3x)x(f −=
a) [ 3 ; + ∞ 〉 b) ] 3 ; - ∞ 〉 c) R d) [ - 3 ; + ∞ 〉 e) N.a.

83 84
OPERACIONES CON
03. Determina el rango en: f(x) = x2
+ 2
a) ] 2 , + ∞ [ b) [ - 2 ; + ∞ 〉 c)] - 2 ; + ∞ [ d) [ 2 ; + ∞ [ e) N.a.
04. Determina el dominio de: f(x) = x74x −+−
a) 〈 - 4 ; 7 〉 b) [ 4 ; 7 ] c) 〈 - 4 ; 7 ] d) [ 4 ; 7 [ e) N.a.
05. Determina el rango de: f(x) = 9 - x2
a) 〈 - ∞ ; - 9 ] b) 〈 - ∞ ; 9 〉 c) 〈 - ∞ ; 9 ] d) 〈 - ∞ ; + ∞ 〉 e) N.a.
06. De:
x
1
)x(f = ; hallar D(f)
a) R b) R – {0} c) R – {1} d) R – {-1} e) N.a.
07. Los puntos ( - 2 ; - 8 ) y ( 0 ; 2 ) Pertenece a la gráfica de una función lineal. Determina la
pendiente.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) N.a.
08. La pendiente que pasa por el origen de coordenadas es 2. si el punto (m;n) pertenece a dicha recta.
Calcular (m/n)
a) 1/2 b) 2 c) –1/2 d) 0 e) N.a.
09. La función y = ax + b tiene pendiente igual que la función identidad y pasa por el punto ( 3 ;
7 ). Calcular a + b.
a) 1 b) 3 c) 5 d) 6 e) 8
10. ¿Cuánto mide ángulo que forma la gráfica de la función y = x – 3 con el eje "x"?
a) 35º b) 37º c) 30º d) 45º e) N.a.
11. ¿En qué punto intercepta la gráfica de la función: Y = |x +1 |; al eje Y ?
a) ( 0 ; 0 ) b) ( 0 ; 1 ) c) ( 1 ; - 1 ) d) ( - 1 ; 0 ) e) N.a.
12. ¿Cuál es el mínimo valor que puede tener el rango de la función y = |x + 2| + 3?
a) 1 b) –3 c) 5 d) –5 e) 3
13. ¿En cuántos puntos interseca la gráfica de la función Y = -|x |+2, al eje x?
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) N.a.
14. ¿Cuánto es la distancia entre los puntos de intersección del ejes con la gráfica de la función y + 2
= -|x + 2| ?
a) 1 b) 4 c) 2 d) 3 e) 5
15. ¿En qué punto cambia de dirección la gráfica de la función Y + 3 = | x + 1| ?
a) ( - 1 ; - 3 ) b) ( - 1 ; 0 ) c) ( - 1 ; 1 ) d) ( 1 ; - 3 ) e) ( 0 ; 3 )
01. Graficar :
Y = 2 x + 4
02. Graficar:
Y = | x – 3 | + 3
03. Graficar :
Y = | 2 x – 1 0| - 1
04. Graficar:
Y = (x – 3 )2
– 1
05. Graficar, hallar el dominio y el rango de :
Y = x 2
+ 4x + 4

OBJETIVO ESPECÍFICOS
1. Realizar la suma y resta de expresiones algebraicas en forma correcta, respetando los signos.
2. Observar que estas operaciones de adición y sustracción se hacen entre términos semejantes.
3. Realizar la multiplicación y división entre monomios y polinomios en forma correcta, respetando
los signos.
PROCEDIMIENTOS
a) Motivación
En la clase anterior estudiamos la teoría exponencial y pudimos darnos cuenta de la necesidad de
poder hacer algunas operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división entre estas
expresiones algebraicas. De allí aparece la necesidad de querer estudiar este tema por ser de vital
importancia en el área del Álgebra. Nos daremos cuenta que estas operaciones son tan simples
como las operaciones entre números, la diferencia esta, en que estas se hacen entre términos
algebraicos.
b) Contenido Teórico
1. Suma o Sustracción
Juan tiene 7 caramelos y Ana, 5 caramelos. Si los juntáramos en una sola bolsa tendríamos 12
caramelos en total. Esto se puede simbolizar de la siguiente manera:
5 car + 7 car – 12 car ó 5 c + 7c = 12c
Si tuviéramos 6 caramelos y 7 panes y quisiéramos juntarlos en una sola bolsa, sólo diríamos: “se
tiene 6 caramelos y 7 panes”. Es decir no podría efectuarse operación aritmética alguna. De donde
se concluye lo siguiente:
PARA ADICIONAR O SUSTRAER ES NECESARIO TOMAR ELEMENTOS DE UN MISMO
CONJUNTO.
Sumar dos o más expresiones algebraicas llamados SUMANDOS, consiste en hallar una expresión
llamada SUMA o SUMA TOTAL, cuyo valor numérico sea igual a la suma de los valores
numéricos de los sumandos, para cualquier conjunto de valores que se atribuyen.
Regla .- Para sumar expresiones se escriben unas a continuación de otras, todas con sus propios signos
y luego se reduce términos semejantes si los hubiera.
Ejemplo.
Si P = 5x3
- 3x + 7 ; Q = 4x3
; R = 2x3
+ 5x2
+ 3x - 9
Hallar: P+Q+R
Solución:
P + Q + R = 3x3
+ 5x2
- 2
2. Resta o Sustracción
Restar dos expresiones algebraicas, llamadas minuendo y sustraendo, consiste en hallar otra
expresión llamada Diferencia, cuyo valor numérico sea igual a la diferencia de los valores
numéricos del minuendo y sustraendo, para cualquier conjunto de valores que se atribuyen a sus
letras.
Regla
Para restar dos expresiones algebraicas, se escribe el Minuendo con sus propios signos y a
continuación el Sustraendo con signos cambiados, y luego se reducen términos semejantes si los
hubiera. Ejemplo.
Si:
P – Q = 8x3
- 5x2
+ 7x - 6 y Q = 8x3
- 2x2
+ 7x - 7
Hallar P – Q
Solución
P – Q = 8x3
- 5x2
+ 7x - 6 - 8x3
+ 3x2
- 7x + 7
= 3x2
+ 1
Propiedades de la Suma y Resta
1) Si se suma o restan expresiones algebraicas de igual grado, no se puede predecir el grado de las
expresiones resultante. El máximo grado posible es igual al grado de las expresiones.
2) Si se suman o restan expresiones algebraicas de grados diferentes, el grado de la expresión
resultante es igual al grado de la expresión de mayor grado.
3. MULTIPLICACIÓN.
Multiplicar dos expresiones algebraicas, llamadas multiplicando y multiplicador, consiste en hallar
otra expresión algebraica llamada Producto, cuyo valor numérico sea igual al producto de los
valores numéricos del multiplicando por el multiplicador, para cualquier conjunto de valores que se
les atribuya a sus letras.
• Primer Caso: Multiplicación de monomios
Regla
1. Se determina el signo del producto de acuerdo a las reglas de los signos.
2. Se multiplica los valores absolutos de los coeficientes numéricos
3. Se multiplica la parte literal aplicando la teoría de exponentes.
Ejemplo: Multiplicar. - 3x5
por 8x4
y8
z
Solución

( - 3x
5
y ) . ( 8x
4
y
8
z ) = 24x
9
y
9
z
Nota. Si se trata de multiplicar varios monomios y todos son positivos, el producto es positivo. En caso
de que todos ellos son negativos, el producto es positivo si hay un número par de factores negativos y es
negativo si hay un número impar de factores negativos. Ejemplo:
Multiplicar los siguientes monomios:
5
3−
x2
y ;
4
3
− a2
x y5
;
11
10
x8
z5
; - 14x2
y z5
;
3
7
22−
a3
x2
z8
( ) 




 −
−











− 82354582
yzxa
7
22
yzx14zx
11
10
yx
5
3
Luego:
18815518155
zyxa18zxa
71145
22141033
=
×××
××××
• Segundo Caso: Multiplicación de Polinomios
Regla
Se multiplica cada término del primer polinomio por cada termino del segundo polinomio, luego se
reducen términos semejantes si los hubiera.
Ejemplos.
Multiplicar:
3x
2
- 5x + 8 por 7x
3
- 2x
2
+ 5x - 3
Solución
( 3x
2
- 5x + 8 ) . ( 7x
3
- 2x
2
+ 5x - 3 )
21x
5
- 6x
4
+ 15x
3
- 9x
2
- 35x
4
+ 10x
3
- 25x
2
+ 15x + 56x
3
- 16x
2
+ 40x - 24
21x
5
- 41x
4
+ 81x
3
- 50x
2
+ 55x - 24
Propiedades de la Multiplicación
1) En toda multiplicación algebraica el grado del producto es igual a la suma de los grados de los
factores.
2) En toda multiplicación de polinomios homogéneos el producto es un polinomio homogéneo.
3) En toda multiplicación, el término de mayor grado del producto es igual al producto de los términos de
mayor grado de los factores.
4) En toda multiplicación, el término de menor grado del producto es igual al producto de los términos de
menor grado de los factores.
4. DIVISIÓN.
1. División de Monomios
Se dividen los coeficientes atendiendo a una correcta aplicación de la ley de los signos, a
continuación se dividen las variables aplicando la teoría exponencial (división de potencias con
igual base)
Ejemplo. Dividir :
52
432
952
zy16
zyx2
zyx32
−=
−
2. División de un Polinomio con un Monomio
Cada término del dividendo se divide con el divisor y se procede como en el caso anterior.
Ejemplo. Dividir :
423
725453925
cba3
cba6cba9cba3 −−
Solución:
423
725
423
453
423
925
cba3
cba6
cba3
cba9
cba3
cba3
−−
32352
ca2b3ca −−
3. División de Polinomios
Para todos los métodos es necesario que el dividendo y divisor estén ordenados y completos.
Antes debemos tener en cuenta las propiedades a aplicarse en la división de polinomios.
Propiedades
1° El grado del cociente es igual al grado dividendo menos el grado del divisor.
ooo
dDQ −=
2° El grado máximo del resto es el grado del divisor disminuido en la unidad. Además el grado
del resto es menor que el grado del divisor.
oo
dR < ⇒ 1dmáxR oo
−=
imomáxGrado
restodel
o
máxR →
3° La propiedad fundamental de la división en el álgebra forma una identidad; para todo valor que
se le asigne a su variable.

4° Si la división es exacta, el resto es un polinomio idénticamente nulo.
Q.dD =
⇒ OR ≡
Ejemplo: Hallar los grados del cociente, residuo y residuo máximo en:
9x3x
11x3x5x3x
73
27912
++
−+++
;
D° = 12 Q° = 12 – 7 = 5
d° = 7 R°máx = 7 – 2 = 6
A continuación detallamos 2 métodos para dividir polinomios:
A) MÉTODO DE HORNER.
Este método utiliza coeficientes separados de acuerdo al esquema:
D
I
V
I
S
O
R
D I V I D E N D O
+ +
COCIENTE RESIDUO
"k columnas"
mismo
signo
signo
cambiado .
.
K = Grados del divisor
Ejemplo:
Dividir:
5xx2
2x5x2xx2
23
2345
+−
+++−
Solución.
1°. Completamos y ordenamos los polinomios a dividir:
D(x) = 2x5
- x4
+2x3
+5x2
+0x +2
d(x) = 2x3
-x2
+0x +5
2°. Realizamos la división según el esquema:
2 2 -1 2
0
0
1
5 0 2
1
0
-5
-5
0 0
01 -5
1 0 1 1 0 -3
q (x) R (x)
∴ q (x) = x2
+0x + 1 = x2
+ 1
R (x) = 1x2
+0x - 3 = x2
- 3
B. MÉTODO DE RUFFINI:
Este método es una consecuencia de Horner que se aplica cuando el divisor es de la forma:
d (x) = ax + b ; a ≠ 0
De acuerdo al esquema:
D I V I D E N D O
.
+ +
COCIENTE FALSO RESTO
ax + b = 0
x = - b/a .
Donde:
Cociente
verdadero
=
Cociente falso
a
Ejemplo: Dividir:
1x3
2xx17x13x6x8x3 23456
−
+−+++−
Solución:

Como están completos y ordenados, lo llevamos al esquema:
3 8 -6 13 17 -1
3x - 1 =0
x=1/3 1 3 -1 4 7
3 9 -3 12 21 6
3
2
5
q (x) falso R(x)
q(x) verdadero
3
62112339 −
=
q(x) = 1x5
+ 3x4
-x3
+ 4x2
+ 7x + 2
R (x) = 5
01. Dadas las expresiones:
A = 4x3
- 7xy - 5xy5
, B = 6x3
+ 9xy - 3xy5
Hallar :
a) A + B b) A – B c) 2A +3B d) 4A – 5B
02. Efectuar: - 8y – ( - 7y - [ ( 3y – 7x ) – ( 2y – 8x ) ] + 5x )
03. Dados: P = (c – 1) x2
+ 3x + 3y
Q = 5x2
– 3 ( x + y )
Si P – Q se reduce a 6 (x+y), hallar el valor de c
04. Reducir: 4x2
+ [ -T ( x2
– xy ) – ( - 3y2
+ 2xy ) – ( - 3x2
+ y2
) ]
05. Simplificar la expresión: 2x – 5 [ 7 – ( x – 6 ) + 3x ] – 21
06. Hallar la suma de: x3
y – xy3
+ 5 ; x4
– x2
y2
+ 5x3
y – 6 ; 6xy3
+ x2
y2
+ 2
07. Simplificar: ( )1x
4
1
3
1
x
2
1
2
1
x
3
1
−−





+−





−
08. Efectuar:
a) ( - 15x2
y ) ( - 3x3
y2
z5
)

b) ( 5x3
y2
) ( 6x5
y6
) ( - 11 xz4
)
c) 3 a2
b ( 5a2
– 2ab + b2
)
d) ( 2x2
– 5x + 9 ) ( 6x2
– 3x + 11 )
e) ( 2x4
+ 3y – 4z ) ( 7x2
y – 8xy2
+ y3
)
f) ( 2x + 3y – 4z ) (2x – 3y + 4z )
09. Efectuar:
a) Dividir:
43
64275
x31x2x
xx62xx6x4x2
++−
−++−++
b) Dividir: 22
432234
y3xy5x3
y9yx22yx3yx19x6
−−
+++−
c) Dividir:
1x3x2x
4x6x8x33x2x3x6
23
23456
++−
+−+++−
d) Dividir:
1x2
2x5x7x9x3 245
−
−+++
01. Calcular: (E + A)5
, si:
A = 1 + x - x2
; E = x2
- x – 1
a) 32 b) 32 x10
c) - 32 x5
d) 0 e) 1
02. Reducir:
S = 2(x2
+x+1) +3(x2
- x+1) - 5 (x2
-1/ 5x - 2)
a) 2x2
- x +1 b) 3x + 5 c) 15 d) 0 e) N.a.
03. Efectuar:

R = 2n (m2
+p2
) - 2mn(m - n) - 2n (p2
+ mn)
a) m + n b) m2
+ p2
+ n2
c) 1 d) 3m - 2n e) 0
04. Si: P(x)= 1- x2
+ x ; Q(x) = 2 – x ; R(x) = x2
+ 2. ¿Cuánto le falta a la resta de Q meno R
para ser igual a la suma de P más Q?
a) 3x + 1 b) 4x - 2 c) x d) 3 + x e) 3 - x
05. Dadas las siguientes expresiones:
A = 2(x2
+ x + 2) (x - 1) + 3(x + 1) (x2
- 1)
B = 2(x2
- x + 2) (x + 1) + 3(x - 1) (x2
+ 1)
Indica el valor de (A + B) - 4x + 6.
a) 8x3
- 2x b) 10x3
- x c) 10x3
d) 10x3
+ 2 e) N.a
06. Señale el resultado de multiplicar la suma de: 2x - x2
+ x3
con x2
- x3
+ 3 ;
Con el resultado de la diferencia de 3x2
+ x + 6 con 3x2
- x- 1.
Al resultado final restarte: 4x (x + 5)
a) x2
- x b) x2
+ 10 c) 21 + x d) 21 e) N.a
07. Si se sabe que:
A = 2(x2
+ x +1) (x + 1) + 2x
B = 2(x2
- x +1) (x - 1) - 2x
Calcular:
A - B - 4x - 4
a) 8x2
b) x2
- 3x + 11 c) x2
- 3x + 17 d) x2
+ x - 3 e) N.a.
08. Efectuar: ( ) ( ) ( ) ( )6226523323 −++−+
a) - 7 b) - 17 c) 11 d) 332 − e) N.a.
09. Efectuar: P = (a + 2b) (a2
- b2
) - (a - ab) (a2
+ b2
) + 2ab2
a) 2a2
b b) 4a2
b c) 2a b2
d) a b2
e) a2
b
10. Calcular:







 −++
= 22
22
yx
)y3x4()y4x3(
R
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
11. En la división:
1xx
aaxx5x2
2
34
+−
+++
Se obtiene como resto solamente un término constante. Indique su valor.
a) - 1 b) 8 c) 2 d) - 3 e) 4
12. ¿Cuál es la suma de los coeficientes del cociente que resulta de dividir:
2x2x
6x4x
2
3
−+
+−
a) - 1 b) 4 c) 3 d) -x2
e) N.a.
13. Si al dividir: Ax3
+Bx2
+ Cx + D por 3x2
+ 2x - 1, el cociente fue (A - 2) (x) + 3 y el residuo:
3x + A + 2
a) 19 b) 28 c) 20 d) 16 e) N.a.
14. Si P y Q son dos polinomios de grados desconocidos y al realizar las siguientes operaciones se
obtiene que:
(PQ)2
/ (P - Q) es de grado 10.
( P + Q)2
/ Q es de grado 5.
Hallar el grado de P, si es mayor que el de Q.
a) 64 b) P 2
- Q 2
c) P2
- Q2
d) Q2
e) N.a.
15.Hallar el resto de:
1x5x
4x)4x)(3x)(2x)(1x(
2
2
−+
−+++++
a) x b) 3x c) x2
– 2 d) - 5x + 32 e) N.a.
01. De a2
sustraer la suma de 3ab – 6 y 3a2
- 8ab + 5
02. Efectuar:
a) (x + y + z) + (2x – 3y + z) (– 4x + 5y – 2z)
b) ( x2
+ y2
– 3xy ) – ( - y2
+ 3x2
– 4xy )
03. Simplificar las siguientes expresiones:

83 84
GRADOS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS DE
a)
6a3
1a
a4
a3a
2a
a
2
2
−
+
−
−
+
+
b) 





+
−
−
−
+
÷





+
−
−
−
+
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
04. Al dividir: 8x4
+ 2x3
+ 3x2
entre (4x – 1). Se obtiene un cociente, que tiene por suma de
coeficiente a:
05. Dividir: 4x5
+ 2x4
+ 2x3
– x2
+ 4x entre 2x3
+ 3x2
– x + 2
I. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
1. Lograr que el alumno determine el grado absoluto y el grado relativo, tanto de un monomio
como de un polinomio y su posterior aplicación en la resolución de problemas que involucren
a los grados.
2. Conocer los Polinomios especiales fundamentales y resolver ejercicios.
II. PROCEDIMIENTOS
A. MOTIVACIÓN
Habiendo aprendido a reconocer una expresión algebraica observando solamente los
exponentes de las variables de la parte literal, ahora continuamos nuestra incursión en el
álgebra, precisamente observando los exponentes para determinar una característica propia de
las expresiones algebraicas: su grado.
B. CONTENIDO TEÓRICO
I. Definición
- Se denomina grado de una expresión algebraica a una característica relacionada con los
exponentes de sus variables.
- Nuestro estudio se centrará en el campo de las expresiones algebraicas racionales enteras,
por lo tanto el grado es un número entero positivo.
- Se distinguen dos tipos de grados : Grado Relativo y el Grado Absoluto.
- Cuando hablamos del Grado Relativo nos referimos a una determinada variable de la
expresión; y cuando mencionamos el Grado Absoluto, nos referimos a todas las
variables de la expresión en discusión.
G. A. = Grado Absoluto
G. R. = Grado Relativo
II. Grados de un monomio Entero y Racional
1. El Grado Relativo se refiere sólo a una variable y está dado por el exponente que afecta a
dicha variable.
2. El Grado Absoluto del monomio está dado por la suma de los exponentes de sus variables
(Suma de los grados relativos)
Ejemplo 1: Sea el monomio 5x7
y3
z6
GR(x) = 7 ⇒ Este monomio es de séptimo grado con respecto a “x”
GR(y) = 3 ⇒ Este monomio es de tercer grado con respecto a “y”
GR(z) = 6 ⇒ Este monomio es de sexto grado con respecto a “z”
GA = 7 + 3 + 6
GA = 16 ⇒ Este monomio es de dieciséis grado con respecto a todas sus letras.
Ejemplo 2: Hallar el coeficiente del monomio M(x; y)= 23a - b
x8a
yb - 3
. Sabiendo que su grado
absoluto es 10 y el grado relativo respecto a “y” es 2.
Solución
Extrayendo los datos del ejemplo.

83 84
POLINOMIOS
GR(y) = 2 → b – 3 = 2 → b = 5
GA = 10, de aquí se concluye:
GR(x) = 8 → 8a = 8 → a = 1
Calculando el Coeficiente solicitado
Coeficiente = ba3
2 −
Coeficiente = 4/1222 2535)1(3
=== −−−
III. Grados de un Polinomio Entero Racional
1. El Grado Relativo de un polinomio, viene expresado por el mayor exponente que afecta a
la variable.
2. El Grado Absoluto de un polinomio, se determina ubicando el término que tiene mayor
grado absoluto. El mencionado valor viene a ser el grado absoluto del polinomio.
Ejemplos 1: Sea el polinomio: P(x; y; z) = 3x5
y z8
- 23
x8
y2
z3
+ 5x4
y5
z2
- z9
y2
Exponentes de x → 5 8 4 0
Exponentes de y → 1 2 6 2
Exponentes de z → 8 3 2 9
Grado Absoluto
de cada polinomio → 14 13 12 11
Por la realización se concluye:
GR(x) = 8 ⇒ El polinomio es de octavo grado con respecto a “x”
GR(y) = 6 ⇒ El polinomio es de sexto grado con respecto a “y”
GR(z) = 9 ⇒ El polinomio es de noveno grado con respecto a “z”
GA = 14 ⇒ El polinomio es de grado catorce con respecto a todas sus letras.
Ejemplo 2:
Sea:
P(x;y) = xm + n
+ xm
yn + 2
+ 3xn
ym + 3
(m>n)
Exponentes de x → m + n m n
Exponentes de y → 1 n + 1 m + 3
Exponentes de x → m + n m n
Grado Absoluto
de cada polinomio → m+n+1 m+n+2 m+n+3
Luego:
GR(x) = m+n
GR(x) = m+3
GR(x) = m+n+3
Ejemplo 3: Si el polinomio:
P(x; y) = (a + 2) x2a + 1
yb + 2
+ (a - b) x2a + 3
y3
+ (3b - 1) xa + 1
yb + 1
es de grado absoluto10, mientras
que el grado relativo de “x” es 7. Calcular la suma de los coeficientes de “P”.
Solución
1° Se recomienda elaborar el siguiente cuadro:
P(x; y)=(a+2) x2a + 1
yb + 2
+ (a - b) x2a + 3
yb - 3
+ (3b - 1) xa + 1
yb + 1
Exponentes de x → 2a+1 2a+3 a+1
Exponentes de y → b+2 b – 3 b+1
Grado Absoluto → 2a+b+3 2a+b a+b+2
2° Nos piden la suma de los coeficientes, es decir:
(a+2) + (a – b) + (3b – 1)
a+2 + a – b + 3b – 1 = 2a + 2b +1 .......... (1)
3° Calculamos “a” y “b” haciendo uso de los datos, así:
GR(x) = 7 → 2a + 3 = 7 → 2a = 4 → a = 2
GA = 10 → 2a + b + 3 = 10 → 2(2) + b + 3 = 10
4 + b + 3 = 10
b = 3
4° Los valores de “a” y “b” lo reemplazamos en (1), para obtener la suma de coeficientes.
2a + 2b + 1 = 2(2) + 2 (3) + 1 = 4 + 6 + 1 = 11
1. POLINOMIO ENTERO
Es el polinomio cuyo valor numérico depende exclusivamente del valor de su variable, y que
presentan exponentes enteros y positivos (Expresión algebraica racional entero).
Los coeficientes de los polinomios se pueden elegir de algún sistema matemático distinto del de
los números reales. Sin embargo, a menos que se especifique otra cosa, el término polinomio se
referirá siempre a un polinomio con coeficiente real.
Ejemplos:
P(x) = 5x + 3 de primer grado

P(x) = - 5x2
+ 7x - 4 de segundo grado
P(x) = 3x3
- 2x + x2
- 6 de tercer grado
P(x, y) = 6x5
y - 3x3
y3
+ 11xy4
2. POLINOMIO ORDENADO
Un polinomio es ordenado cuando sus términos están dispuestos de tal forma que los exponentes
de la letra en referencia (variable ordenatriz) van aumentando o disminuyendo.
Ejemplos:
P(x) = 2x8
- 7x5
+ 8x2
- 5 ordenado descendentemente
P(x) = 7 + 4x - 6x2
+ x3
- x7
ordenado ascendentemente
3. POLINOMIO COMPLETO
Es aquel polinomio que es caracteriza por tener los exponentes de su variable ordenatriz desde el
mayor hasta el cero (éste corresponde al término independiente).
Ejemplos: P(x) = 8x + 2x2
- 11 - x3
+ x4
, es un polinomio completo pero desordenado.
¡IMPORTANTE!
Si un polinomio es completo, no necesariamente estará ordenado.
Si un polinomio es ordenado, no necesariamente estará completo.
Un polinomio de grado “n” y completo posee “n+1” términos distintos.
P (x) = x4
+ x3
- x2
+ 3x + 1; es un polinomio ordenado y completo descendentemente.
P(x) = - 8 + x - 2x2
- 5x3
4. POLINOMIO HOMOGÉNEO
Recibe este nombre el polinomio que es caracteriza por tener igual grado absoluto en todos sus
términos.
Ejemplos:
a) 3x5
y9
- 5x11
y3
+ 2x8
y6
+ x7
y7
Grado absoluto: 14 = 14 = 14 = 14
b) 2x3
- 6x2
y + 9xy2
+ y3
Grado absoluto: 3 = 3 = 3 = 3
OBSERVACIÓN: El ejemplo anterior es ordenado y completo con respecto a sus dos variables;
luego, es HOMOGÉNEO.
5. POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO
Es aquel polinomio que es igual a cero para cualquier valor que se le asigne a la variable o
variables, y que tienen iguales los coeficientes de sus términos semejantes.
Ejemplo: P(x) = ax2
+ bx + c = 0
Para que este polinomio sea idénticamente nulo es necesario que: a = b = c = 0
6. POLINOMIO IDÉNTICO
Dos polinomios son idénticos, si poseen el mismo valor numérico para cualquier valor asignado a
sus variables.
Se caracterizan por tener iguales los coeficientes de sus términos del mismo grado (llamados
TÉRMINOS SEMEJANTES).
Ejemplo: Sean los polinomios:
P(x; y) = Ax4
+ Bx2
y + Cy2
Q(x; y) = Dx4
+ Ex2
y + Fy2
Si P es idéntico a Q:
Ax4
+ Bx2
y + Cy2
≡ Dx4
+ Ex2
y + Fy2
Entonces se cumple:
A = D → Coeficientes de x4
B = E → Coeficientes de x2
y
C = F → Coeficientes de y2
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
01. Dados los polinomios:
P(x)= ax2
+ 3x + bx + 5x2
+ c - 2
Q(x) = 7x2
+ 5x - 1
Calcular los valores de a, b y c, si los polinomios son idénticos.
SOLUCIÓN:
Por dato:
ax2
+ 3x + bx +5x2
+ c - 2 ≡ 7x2
+ 5x - 1
Reduciendo términos semejantes en el primer miembro:
(a + 5) x2
+ (b + 3) x + (c - 2) ≡ 7x2
+ 5x - 1

Entonces se cumple:
Coef. de 2
x : a + 5 = 7 → a = 2
Coef. de x : b + 3 = 5 → b = 2
Coef. de 0
x : c – 2 = -1 → c = 1
02. Si el polinomio: P(x) = 5xa - 18
+ 15xa - b + 15
+ xc - b + 16
es completo y ordenado en forma
descendente, entonces el valor de (a + b + c) es:
SOLUCIÓN:
Si el polinomio es completo y ordenado descendentemente podemos establecer que:
I. a – 18 = 2 → a=20
II. a – b + 15 = 1 → b=34
20 – b + 15 = 1
III. c – b + 16 = 0 → c=18
c – 34 + 16 = 0
Por lo tanto: a + b + c = 20 + 34 + 18
a + b + c = 72 Respuesta.
03. Determinar (m + n + p) sabiendo que el polinomio:
P(x) = 3xm + n + 8
+ 7xn + p + 2
+ 5xp + m - 9
Es ordenado y completo en forma ascendente.
SOLUCIÓN:
Por dato del problema los exponentes de “x” de izquierda a derecha deben ser: 0; 1; 2
respectivamente:
m + n + 8 = 0 → m + n = - 8 ....... (1)
n + p + 2 = 1 → n + p = - 1 ....... (2)
p + m - 9 = 2 → p + m = 11 ....... (3)
Sumando miembro a miembro las ecuaciones (1), (2) y (3) se obtiene: 2m + 2n + 2p = 2
Dividiendo entre 2: m + n + p = 1 respuesta
04. Determinar el valor de “a” sabiendo que el polinomio:
P(x; y) = n4113n27a3943n
yx5yx7yx3 −+−
−+ es homogéneo.
SOLUCIÓN:
Para que el polinomio sea homogéneo el grado absoluto de todos los términos debe ser el mismo.
11n4n9a35n
33
-+=+=+
(II)
(I)
De la igualdad (I), podemos determinar el valor de “n”.
n2
+ 5=n2
+ 4n – 11 → 4n = 16 → n = 4
Reemplazando el valor de “n” en la igualdad (II).
n3
+ 5 = 3a + 9
(4)3
+ 5 = 3a + 9
3a + 9 = 69
3a = 60 → a = 20 Respuesta.
I. Desarrolla en tu cuaderno.
01. Calculamos el grado relativo y grado absoluto en los monomios:
a) 32x7
y4
z5
b)
7
2
x6
y17
z8
c) 5 - 3
x4
y9
z3
xy3
d) 37
a3
b2
cmn e) - 15a7
b6
c4
f) M(x ; y) = x7
y11
g) A(x ; y ; z) = x5
y z13
h) B(x; y) = 34
x5
y12
i) M (x; y) 2m
xm + 3
y4
j) A(x; y) = xm + 2
yn
ab
02. Calcular el grado relativo y grado absoluto en los polinomios:
a) 2x3
y2
- 5xy7
+ 7x2
y5
b) 53
x6
y9
z2
+ x5
y8
z4
+ 2xy9
z7
c) - 3x2
abc3
- 26
xa4
b5
+ 4a3
b2
c9

d) P(x; y) = 2x3
y4
- 33
x2
y + x5
e) A(x; y) = 4ax3
- 3x2
y6
+ 2ab
x7
+ y7
f) B(x) = 5x5
+ 3x4
- 11x3
+ x - 12
g) Q(x; y; z) = x3
y5
- 6yz8
+ 33
x2
y4
z9
03. Señalar el coeficiente de: M(x; y) = 8a + b
x2a
yb - 2
. Sabiendo que su grado absoluto es 7 y el grado
relativo respectivo a “y” es 1.
a) 25
b) 28
c) 218
d) 29
e) N.a.
04. Si el monomio: P(x; y)=3(a+2b) x3a - 5
y(b + 1) / 2
El grado relativo de x es 4 y el grado absoluto es 6. Hallar el coeficiente.
a) a = 5 ; b = 3 b) a = 2 ; b = 5 c) a = b = 3
d) a = 6 ; b = 9 e) N.a.
05. Calcular “a” y “b” si en el monomio: xa + 1
yb - 3
; se cumple que su grado absoluto es 12 y GR(x) =
3GR(y).
a) a = 5 ; b = 3 b) a = 2 ; b = 5 c) a = b = 3
d) a = 6 ; b = 9 e) N.a.
06. Hallar “n” si es de segundo grado.
( )
( )
2
42n
4
2
3n232n
x.x
x.x.x







 −−
07. Si en el polinomio: P(x; y) = 5b
xa
yb + 2
, el grado absoluto es 8, mientras que el grado relativo de
“x” es 5. Calcular el valor de “b”.
08. Dado el polinomio: P(x; y) = xa - 2
yb + 5
+ 2xa - 3
yb
+ 7xa - 1
yb + 6
; GA = 17 ; GR(x) = 0 calcular
(a – b).
09. Sea: 4xm3n + 2p
y2m + n + 3p
z3m + 2n + p
tiene grado absoluto 60. Hallar el grado absoluto de: A(x; y) = -
4m + 2
yn + p + 3
z4
.
10. Hallar (m – p) si el polinomio: 4xm + p + 3
yp - 2
+ 9xm + p + 1
- 5xm + p + 1
, es de grado absoluto 14; y se
cumple : GR(x) = GR(y) + 4
II. A continuación exponemos un conjunto de ejercicios que te deben permitir repasar la teoría
explicada en clase y resumida al iniciar el capítulo que se indica.
01. El polinomio P(x; y) es homogéneo, calcular: E = a – b + ab.
P(x; y) = 2xa - 5
y2
- 5xb + 3
y7
- 2x9
y5
02. El polinomio: P(x; y) = 2xm + 1
y3
- mxn + 1
+ mnx5
y4
, es homogéneo. Calcular la suma de sus
coeficientes.
03. Dado el polinomio: P(x) = xa + 2
- xb - 3
+ 2xc + 1
, ordenado y completo decrecientemente, calcular
a, b y c.
04. Si se cumple la siguiente identidad: (m - 4)x + (n + 1) ≡ 0. Calcular m y n.
05. Si se cumple la siguiente identidad; calcular 3m – n + p.
7x2
- 5x + (p + 4) ≡ (m + 1) x2
+ (n - 4) x + 7

06. Determinar (m + n + p), sabiendo que el polinomio:
P(x, y) = 5xm + 2
yn
+ 2xm + 1
y2
+ x2p
y4
+ 3xq - 1
y5
, es homogéneo de grado 7.
07. Si el polinomio: P(x) = 2xd + c
- 3xa + b
+ xa + c
- 4xb - 1
, está ordenado consecutivamente en orden
descendente; calcular (a + b) (c + d).
08. Si los polinomios: P(x) = (a + 2) x2
+ (3b - 1) x + 5 ; Q(x) = (2a + b) x2
- (b + 2) x - c ; son
idénticos; entonces (2a + 2b + c) es:
09. Si el polinomio x5a + 3
yb + 2
+ x4a + 5
- 2xy8
; es homogéneo. Entonces (3a – 2b) es:
10. Si el polinomio 3xa + 2b-c
+ 2xa + b
- x2b - 3
+ 1, es completo y ordenado, entonces el valor de (a + b +
c) es:
11. Hallar el grado absoluto del polinomio P si se sabe que es homogéneo y que la suma de los
exponentes de “x” es igual a 20. P(x; y) = 8xm + 2n
yn
- 2xm + n
y12
12. Hallar (m – n) si: 2(x+7) ≡ m(x+2) + n(x-3)
13. Si el polinomio es idénticamente nulo; entonces el valor de (bc : a) es:
P(x) = (3a - b) 2
x + (b + c + 2)x + c + 1.
14. Hallar el grado absoluto del polinomio “P”, si se sabe que es homogéneo; y que el grado relativo a
“x” es 2 menos que el grado relativo a “y”.
P(x; y) = 7xm + n
yn
+ 2xm + 6
yn + 4
15. En el polinomio ordenado y completo: P(x) = x2a+1
+ 2xb+3
+ 3xc+2
+ ... + 2c
Hallar (a + b + c).

16. En un polinomio homogéneo ordenado y completo en “x” e “y”, la suma de los grados absolutos
de todos sus términos es 156. ¿Cuál es su grado de homogeneidad?
17. Hallar (a + b + c) si el polinomio P(x)= x3a – b
+ x2n
+ 3x3b + c
+ 12ya + b + c
es completo y ordenado.
01. Calcular (a +b) si: M(x, y) = 4b
x3a + 2b
y5a - b
, es de GA = 10 y GR(x)=7.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
02. Si GR(x) = a, GR(y) = b. Hallar el GA de: a37b4
4b1a
yx
yx
)y,x(M −−
+−
=
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
03. Hallar (m - n) si el polinomio P(x, y) es homogéneo:
P(x, y) = 3x3m + 2n
y4
- 2x2m - a
y-2a - 1
+7x2m
yn+7
a) 5 b) 7 c) – 2 d) - 5 e) - 8
04. Hallar m + n + p, si el polinomio en completo y ordenado en forma descendente.
P (x) = xm – 10
– 3xm – n + 5
+ 15xP – n + 6
a) 10 b) 12 c) 16 d) 38 e) 40
05. Si el polinomio: P(x, y) = mx2
+ 4my2
+ 3nx2
+ 4x2
- 3y2
, es idéntico a
F(x, y) = 13x2
+ 9y2
Hallar (m + 2n).
a) 3 b) 2 c) 10 d) 7 e) 19
06. Determinar “n” si el monomio es de segundo grado: 3
4 1n
7 n32n
a
aa
)a(M
+
−
=
a) 1 b) 7 c) 3 d) 5 e) 9
07. Si el polinomio: P(x) = a(x+2)2
+ b(x + 3)2
- a(2x + 3)2
+ c, es idénticamente nulo. Hallar el valor
de: c
baL −=
a) 0 b) 1 c) 2 d) Indeterminado e) N.a.
08. Calcular “m + n” si el polinomio:
P(x,y)= 3x2m + a - 4
ym + n + 2
+ 5x2m + a - 3
ym + n + 1
- 7x2m + a - 2
ym + n
, es de grado 10 y la diferencia
entre los grandes relativos a “x” e “y” es 4.
a) - 6 b) 8 c) 4 d) 1 e) 2
09. El grado absoluto de: xm
y2n + 1
z [xm - 1
y zn - 1
+ (xy)m
zn
] es 17. Determinar (mn)m
.
Si GR (y) = 9.
a) 36 b) 6 c) 5 d) 9 e) N.a.
10. Calcular la suma de coeficientes del siguiente polinomio completo:
P(x)= c(xa
+ xb
) +a(xb
+ xc
) + b(xa
+ xc
) + abc
a) 6 b) 18 c) 12 d) 10 e) N.a.
11. En el polinomio: P(x) = (2x + 1)n
+ (x + 2)a
- 128 (2x + 3), “n” es impar. Además la suma de
coeficientes y término independiente suman 1. Hallar el valor de “n”.
a) 7 b) 6 c) 5 d) 9 e) N.a.
12. Si ( )1xF + ≡ 3x + 2
Hallar F(x)
a) 3x2
+ 6x - 5 b) 3x2
- 6x + 5 c) 3x2
- 6x - 5 d) 3x2
+ 6x + 5 e) N.a.

83 84
DEFINICIÓN, CLASIFICACIÓN,
ELEMENTOS Y PROPIEDADES DE
13. Calcular:
( )
( )52F
)3(F52F
N
3
3
+
++
=
F(x) = 60x5
- 185x4
- 45x3
- 92x2
- 10x - 12
a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) N.a.
14. Calcular la suma de coeficientes en:
P(x - 1) = (3mx - 4m)2
+ (3x + 4) - x2
+ 4
M ∈ Z+
, sabiendo que es cuádruple de su término independiente.
a) (24)2
+ 16 b) (24)2
- 16 c) (24)2
-+2 d) (24)2
e) N.a.
15. Si el monomio:
A(x, y, z) = xm + n
yn + p
z p + m
Es grado 18, y los grados relativos a, x, y, z son números consecutivos (en este orden).
Calcular: mnp.
a) 24 b) 22 c) 25 d) 23 e) N.a.
01. Si: F(x, y) = ab
(xy2
)7 - a
y-b
P(x, y) = ba
(x2
y)b - 2
Son términos semejantes, calcular a - b.
02. Si el polinomio: P(x) = - 3xa + 1
+ 2xb - 4
+6 es completo y ordenado, calcular a + b.
03. Sea el polinomio: P(x) = (a - 4) x2
+ 4b
x− + ab que se reduce a primer grado.
Hallar “m”, si: m2
= P (P (a + b)), m ≥ 0.
04. Hallar el coeficiente del monomio: M(x; y) = 2m - n
x2m - n
ym + n
Si: GR(x) = 6 y GA (M) = 15
05. Sabiendo que el grado absoluto del monomio.
n12
5n n52n
8n
x
x
+ +
+
es 8, calcular “n”.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
1. Realizar el reconocimiento de una expresión algebraica a partir de su número de términos y la
naturaleza de su exponente.
2. Reconocer términos algebraicos semejantes para su posterior aplicación en la resolución de problemas.
PROCEDIMIENTOS
A. MOTIVACIÓN
Cuando se logra abstraer cantidades en variables, se está innovando el conocimiento matemático
que da origen a la formación del ÁLGEBRA, constituyéndose como un nuevo conocimiento
matemático abstracto y generalizado. En el álgebra, para lograr la generalización, la cantidades se
representan mediante letras (variables), las cuales pueden representar todos los valores.
B. CONTENIDO TEÓRICO

Definición de Álgebra
Rama de la matemática que trata de la cantidad considerada del modo más general, sirviéndose de
letras para representarla.
Expresión Algebraica
Es toda asociación de constantes numéricas y letras (variables), entrelazados por cualquiera de los
operadores matemáticos de: adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y
radicación, o una combinación limitada de éstos.
Para que una expresión sea considerada algebraica, una variable nunca se debe ubicar como
exponente de una potenciación o índice de una Radicación.
Ejemplos:
25 3 + 52
– ( - 3 ) -5
3x 723
x7x3x5 −+
- 2xy3
- 5 + x3
2x1/2
+ xy -1/3
- y - 2
CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Se puede realizar de acuerdo a:
Según su
número de
términos
Monomios
Polinomios
1 término
2 términos
Cuatrinomios
Binomios
Trinomios 3 términos
4 términos
n términos
.....................
........
........
........
Polinomio ........
Entera
Fraccionaria
Racional
Irracional
Según la
naturaleza
de su
exponente
......................
1. EXPRESIÓN ALGEBRAICA RACIONAL ENTERA.
Es aquella expresión algebraica cuya parte literal está afectada de exponentes naturales. Eso implica
que no tiene letras o variables en el denominador.
Ejemplo.
a) – 7
b) x2
- 2x - 3
c) 5xy - 2
x2 + 2y3
EXPRESIÓN ALGEBRAICA RACIONAL FRACCIONARIA
Es aquello expresión algebraica que por lo menos presenta un exponente ENTERO NEGATIVO en su
parte literal (variable). Eso implica que posee letras en el denominador.
Ejemplos:
2x4
→
4
x
2
3xy + x4
→ 3xy +
x
1
2x3
- 3y2
+ xy4
→
y
x
y
3
x
2
23
+−
1x
yx2
+
+
EXPRESIÓN ALGEBRAICA IRRACIONAL
Es aquella expresión algebraica que por lo menos presenta un exponente fraccionario en su parte literal.
Es decir presenta radicales afectando a la parte literal o variable.
Ejemplo: x3
y1/2
3xyz – yx + x2
3 52
zyx
2ab - 1/3
+ a2
2x1/2
- y1/3
- 2
Observaciones
• Las expresiones que no corresponden al concepto de expresión algebraica conforman al conjunto de
expresiones no algebraicas o trascendentes.
• El conjunto de las expresiones algebraicas y las no algebraicas conforman el universo de la
expresión matemática.
• Todas las constantes numéricas diferentes de cero son consideradas como expresiones algebraicas
RACIONALES ENTERAS de grado igual a cero.
• Sólo la expresión algebraica posee el concepto de grado algebraico.
• Es una expresión algebraica, los exponentes de su parte literal deben estar comprendidos en el
campo de los números racionales (Q).
Por lo expuesto; analicemos las expresiones:

3
xy Es una expresión algebraica irracional
x2
- 2xy + y2
Es una expresión algebraica racional
xy + y - 2
Es una expresión algebraica racional fraccionaria
34
+ 5
3
1
7
1
+ Es una constante numérica, por lo que será una expresión algebraica racional
entera.
2x + 3
No es una expresión algebraica, se trata de una expresión trascendente
exponencial.
(x + 1)2
Es una expresión trascendente exponencial
Cos2
(x2
- x + 3) Es una expresión trascendente trigonométrica.
14x + x2
+ x3
+ ... ∞ No es una expresión algebraica porque tiene infinitos términos.
Con la finalidad de fijar correctamente los conceptos antes expuestos, presentamos algunas expresiones
algebraicas y su correspondiente clasificación, de acuerdo a la naturaleza de sus exponentes.
2x4
+ 6y5
- 7x5
Racional entera
2y Racional entera
4x3
+ 5y3
+ 6z2
Racional fraccionaria
232
xy
4
1
z
5
1
x
3
1
++ Racional Entera
4x1/3
+ 5y1/4
+ 3 Irracional
1
zy
5
yx
x
+
+
−
+
Racional fraccionario
2 5 y3x + - 13 Irracional
z5y3x2 ++ Racional entera
3232
yz4y5x5 ++ Irracional
423
z7y5x5 ++− Racional entera
2x- 2
- 5y- 3
-
xy
7
Racional fraccionaria
TÉRMINO ALGEBRAICO (MONOMIO)
Es la expresión algebraica mínima en la cual sus elementos (variables y números) no están separados
por el signo “+” o el signo “-”. Estando asociados sus elementos con los operadores matemáticos de :
Multiplicación, división, potenciación y radicación.
Ejemplos:
5xyz Es un monomio racional entero
-
7
5
x3
y7
Es un monomio racional entero
- zxy Es un monomio irracional






− 3
5
x
x Es un monomio irracional
x- 4
yz2
Es un monomio racional fraccionario
ELEMENTOS:
Un término algebraico consta de los siguientes elementos :
-5 X Y2 3
Parte literal :
Variables
Exponentes
Signo
Coeficiente
Se distingue:
SIGNO: Símbolo matemático que indica la cualidad del término, puede ser positivo (+) o negativo
(-).
Ejemplo:

- 4x2
y3
el signo es “-“
+ 7x5
y el signo es “+”
Cuando se trata de un término precedido del signo (+) se puede omitir la escritura del mismo.
Ejemplo :
12x5
y2
el signo que se antepone es +
COEFICIENTE: Es el número o parámetro que multiplica a la parte literal o variable, considerándose
con todo y signo.
Ejemplo:
- 4x2
y3
El coeficiente es - 4
PARTE LITERAL: Conformada por las letras (variables) que aparecen en el término algebraico.
Ejemplo:
- 4x2
y3
La parte literal es “y”
EXPONENTE: Número que se coloca en la parte superior derecha de la letra o variable.
Ejemplo:
- 4x2
y3
El exponente de x es 2.
El exponente de y es 3.
OBSERVACIONES:
• Si en un término algebraico el coeficiente es un número entero positivo indicará las veces que debe
repetirse como sumando la expresión afectada.
Ejemplos :
7x = x + x + x + x + x + x + x
7 veces
120x = x + x + x + ......... + x
120 veces
nx = x + x + x + ......... + x
"n" veces
(n ∈ Z+
)
• Si el exponente es un número entero positivo indicará las veces que debe repetirse como producto
(factor) la expresión afectada.
Ejemplos :
nx = x . x . x . x . x . x . x
7 veces
x = x . x . x . ......... . x
120 veces
120
x = x . x . x . ......... . x
n veces
n
(n ∈ Z+
)
TÉRMINOS O MONOMIOS SEMEJANTES
Dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal afectada por los mismo
exponentes.
Ejemplo:

2x2
y3
; -
4
15
x2
y3
Son términos algebraicos semejantes porque poseen las mismas variables “x” e “y” afectadas con los
mismos exponentes, así :
El exponente de “x” es 2 en ambos monomios.
El exponente de “y” es 3 en ambos monomios.
OBSERVACIONES:
• Los monomios
85
3
x2
yz ;
85
3
x2
zy son semejantes porque poseen iguales variables afectadas
de los mismos exponentes, asimismo observamos que presentan igual coeficiente. Por lo tanto;
además de ser semejantes también son iguales.
• x2
y3
; 3x4
y2
no son términos semejantes, presentan las mismas variables pero afectadas de
exponentes distintos.
PROPIEDAD ADITIVA DE LOS TÉRMINOS SEMEJANTES
Si dos o más términos son semejantes estos pueden sumarse algebraicamente atendiendo a sus
coeficientes.
Ejemplo :
abc + 1997 abc + 26 abc - 15 abc
Sumando algebraicamente sus coeficientes:
1 + 1997 + 26 - 15 = 2009
Luego, obtenemos: 2009 abc
01. Si los términos: 3ma + 2
nb + 1
; 2mb + 3
n4
son semejantes. Entonces (a + b) es:
SOLUCIÓN:
Si son semejantes, se cumple :
a + 2 = b + 3 a = b + 1 ... (1)
b + 1 = 4 b = 3 ... (2)
Reemplazando (2) en (1):
a = 4 , luego : a + b = 7
02. Si: t1 = abxa
y3
; t2 = 2x2
yb
, son términos semejantes. Calcular: t1 + t2 .
SOLUCIÓN:
Por dato: abxa
y3
; 2x2
yb
son semejantes; luego: a = 2 ; b = 3
Se concluye:
t1 = (2) (3) x2
y3
= 6x2
y3
t2 = 2x2
y3
→ t1 + t2 = 8x2
y3
01. Clasificar las siguientes expresiones algebraicas, según la naturaleza de sus exponentes.
a) 512
+ =+ 6
3
1
b) 3xy =
c) x2 =
d) y5 + y- 1
=
e) 3x2
- 3
z3xy2 − =
f) 16x2
- 12y2
=
g) 2xy - 22
+ x =
h) 5ab3/4
+ x + b2
i)
yx
1
+
- 3x- 1
+ y - 2
=

j) xyz - x + 2
y
02. Calcular el valor de (a + 2b) si los términos siguientes son semejantes:
3ya + b
; 2 8
y5 ; - 0,2yb + 3
a) 13 b) 12 c) 15 d) 9 e) N.a.
03. Calcular la suma de los coeficientes sabiendo que t1 y t2 son semejantes de variables “x” a
“y”.
t1 = a3
bx - 3
y2
; t2 = ab3
xa
ya + b + 1
a) -198 b) -270 c) –300 d) 324 e) N.a.
04. Dar la suma de los coeficientes de los siguientes 3 términos semejantes que tienen a “x” como
única variable.
3,2m + a
; - 0,2 m2
x2 + a
; 0,8 mx8
a) 2 b) 4 c) 0,8 d) 0,4 e) N.a.
05. Dado los términos algebraicos: t1 = (m + 2a) x6
; t2 = (8 + m) x3b - 3
.
Calcular el valor de: 1bb 2
++
a) 13 b) 12 c) 9 d) 8 e) N.a.
06. Indicar el resultado que se obtiene de P(x) = (a + b) xa
+ (a + 1) xb + 1
- abx5
si está formado por 3
términos semejantes.
a) x5
b) 2x5
c) - 3x5
d) - 5x5
e) N.a.
07. Sabiendo que la expresión: P(x) = (a + b) x12
+ axb + a
+ bx2b + 4
esta conformada por términos
semejantes, hallar P(x).
a) 24x12
b) 18x12
c) 15x12
d) 12x12
e) N.a.
08. Clasificar las siguientes expresiones algebraicas, según la naturaleza de sus exponentes:
a) 5 yx − - 2
b) 6x2
- 25xy + y2
c) 2x2
z + z2
d) axy - ay + b2
ym
e) 3 3 3
x + y2
x3
f) x - 2
y-3
+ 2x - 4
- 5
g) 3
xy + y
h) 17 abc
i) xyz3
- x + y2
j) 3x - 2
+ x7
- 11
09. Considerando que la expresión: F(x) = 2ax2 + b
+ 2bx4 + a
+ abx3b
esta formada por 3
términos semejantes, reducir la expresión que a continuación se indica:
P(x)= 3ax2
+ 2bx2
- abx2
a) 6x2
b) 8x2
c) 3x2
d) 2x2
e) N.a.
10. Reducir los siguientes términos semejantes, si tienen como única variable a la letra “z”.
- 6mzm
+ 5mz8
- 2mz8
a) 32z8
b) - 16z8
c) - 32z8
d) z8
e) Imposible
11. Reducir el siguiente polinomio a su mínima expresión, si todos sus términos son semejantes:
P(x) = (a + b) xa
+ 3 (a + 2b) xb
- 5abx2
a) 2x2
b) x2
c) - 2x2
d) 4x2
e) 6x2
12. Si todos los términos del siguiente polinomio son semejantes. ¿Cuál es el polinomio reducido?
P(y) = (m + t) ym + t
+ y8
- (m - t) yt + 7
a) y3
B) 6y3
c) 15y3
d) 3y3
e) 9y3
13. Indique el resultado que se obtiene luego de reducir:
2 2
x18 - 3 2
x2 + 3 2
x8 - 2 2
x50 + 3 2
x32 - 4 2
x72

01. De las siguientes expresiones: x2
y + x2
/ y ; 32
yx;x + ; x2
y - 2 ;
x
1
.
Cuántas son racionales?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
02. Si los términos: T1 (x) = axa + 3
y T2 (x) = (a+ 2)x3a – 7
. Se puede reducir a uno solo; dan la suma de
coeficientes.
a) 12 b) 10 c) 8 d) 15 e) N.a.
03. Expresar 183
.124
como 2x
. 3y
, señalar luego el valor de (x + y).
a) 11 b) 16 c) 21 d) 18 e) 15
04. La expresión: E(x;y)= xn - 2
+ y5 - n
es racional entera. ¿Cuántos valores puede tomar “n”?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
05. Después de reducir: 4
33
3 45
3 23
3 32
xx
xx
xx
xx
• La expresión algebraica que se obtiene es:
a) Racional entera b) Racional fraccionaria c) Irracional
d) No se sabe e) N.a.
06. Sean:
2
1812
2A
−





 −+−
= ( )
232
4
4B
−
=
5
4 5 93
4
3
xxxxP 











=
Señalar que clase de expresión algebraica es: AB
PE =
d) No se puede determinar e) 5
07. Después de reducir: 10
42874 262
3 62104532
ab)ba()ba(
)ab()ba()ba(
la expresión algebraica que se obtiene
es:
d) No se puede determinar e) N.a.
08. Calcula la suma coeficientes de los términos semejantes:
T1 (x) = (a - 2) x- a + b + 3
T2 (x) = ab x3a - 12
T3 (x) = (a - b) x3a -12
a) 18 b) 80 c) 90 d) 100 e) N.a.
09. La expresión:
E (x, y, z) = mx7 - 2n
y 3n - 6
zn - m
es racional entera. Calcular “m + n”, sabiendo que m>1.
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) N.a.
10. Obtener la suma de los términos semejantes: (c + 5) x4c - 3
; (2c) xc + 9
a) 17 x13
b) 11 x3
c) 8 x3
d) 10 x3
e) N.a.
11. ¿Cuántas de las siguientes expresiones algebraicas?
x-2
+ x2
; yx3
+ ; log x ; x- 2
+x2
+ x3
+x4
+...
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0
12. Indicar si las expresiones son racionales (R) o irracionales (I)
I) x2/ 3
y2
II) 3/x + 1 III) 4x2 1
+− IV) 1yx −+
a) IRRI b) RIRI c) RRII d) IIIR e) N.a.
13. Indicar SI las expresiones algebraicas son racionales enteros (RE) o racionales fraccionarias (RF).
I)
1z
1
2y
x3
−
+
−
II)
2
1
x3 +
III)
x
1
x2
+ IV) x215,0
x +−−
a) RE, RF, RE, RF b) RE, RE, RF, RF c) RE, RF, RE, RF
d) RF, RF, RF, RF e) N.a.
14. La expresión algebraica: P(x) = 2/ 3 x3n-7
es racional entera y Q(x) = 15n4
x2 −
es racional
fraccionaria. Hallar “n”.
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
15. E(x)= x-2+n
+y5-n
es una expresión entera. Calcular la suma de los posibles valores de “n”.
a) 8 b) 7 c) 6 d) 10 e) 11

01. Clasifique las siguientes expresiones algebraicas:
a) 5x2
+ xy - 1
b) 5x + y
c) 6x4
- 3x2
d) 5x5
+ x- 1
e) 2
yx27 −
+
f) 7x + (yz)2 / 3
g) 1/ 2 (xy)6
+ 1
h) x + 1/ x
j) 8
02. Hallar la suma de los términos semejantes dados: a2
(xy2
)7 - a
y- 6
; - n a
(x2
y)n - 2
03. Si la expresión racional entera: 4x6/ n
+ 2y (n +1) / 2
Calcular la suma de los valores que toma “n”.
04. Después de realizar:
520
346
xx
xxx
Se obtiene una expresión algebraica: .............
05. ¿Qué clase de expresión algebraica se obtiene después de reducir la expresión:
?)ab(
)ab(
)ab( ba
ab ba
b a
a b −
+





•
SOLUCIONARIO
Nº
Ejercicios Propuestos
01 02 03 04 05 06 07 08
01. A C A B C D C B
02. A E C C A C C A
03. C B D B D E B C
04. D E D D B D D B
05. C C A C C C D C
06. C A B C B D B B
07. B B C B D A D D
08. E D B A A B E C
09. D A B C C B A D
10. A B C C D E B A
11. C C A B D E B
12. C C D E A C A
13. B C B C C E B
14. D E E B E E D
15. C C D A D A B

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