1. LUCIANA SINATRA

2. INTEGRALI DEFINITI
Metodo di esaustione
Interpretazione geometrica
Prime proprietà

3. Metodo di esaustione
Il metodo di esaustione permette di calcolare l’area di un
settore di parabola cioè l’area della regione S che nel piano
cartesiano x, y è compresa tra l’asse delle x, il grafico
della funzione f(x)= nell’intervallo [0, b], e la retta verticale
di equazione x = b (b>0) come nel grafico.
Dividiamo l’intervallo[0, b] in n N intervalli,
ciascuno di ampiezza b/n, ponendo:
2
x
],[ 1 kk xx −∈
b.x,b,*(k/n)x,b,*(2/n)xb,*(1/n)x0,x nk210 =…=…===

4. La regione S è unione di rettangoli. Il rettangolo generico ha
per base l’intervallo , di lunghezza uguale a b/n,
ed ha per altezza il valore della funzione in , cioè
. L’area totale, quindi l’area della regione S,
è data dalla somma delle aree dei rettangoli componenti:
L’area indicata nel grafico è un’approssimazione per difetto
dell’area della regione S.
],[ 1 kk xx −
1−kx
2
11)( −− = kk xxf
∑∑ ∑ =
−
= =
−−− ==−
n
k
k
n
k
n
k
kkkk x
n
b
n
b
xxxxf
1
2
1
1 1
2
111 )()(

5. Allo stesso modo otteniamo un’approssimazione per
eccesso considerando l’area dell’unione dei rettangoli
aventi la stessa base ma altezza come in figura.
Così facendo abbiamo ottenuto stime per difetto e per
eccesso dell’area della regione S:
La somma al primo membro è detta somma integrale
inferiore, mentre quella all’ultimo membro è detta somma
2
)( kk xxf =
∑∑∑ ===
− ==−
n
k
k
n
k
k
n
k
kkk x
n
b
n
b
xxxxf
1
2
1
2
1
1)()(
2
11
2
1 k
n
k
n
k
k x
n
b
Sareax
n
b
∑∑ ==
− << Nn∈∀
integrale superioreintegrale superiore

6. Ma
Mentre
Quindi la formula:
diventa:
∑∑∑∑ ====
===
n
k
n
k
n
k
n
k
k k
n
b
b
n
k
b
n
k
x
1
2
2
2
2
1
2
2
2
11
2
)(
2
11
2
1 k
n
k
n
k
k x
n
b
SAreax
n
b
∑∑ ==
− <<
∑∑∑∑
−
=
−
=
−
==
− =+=+=
1
1
2
2
21
1
2
1
1
22
0
1
2
1 0
n
k
n
k
k
n
k
k
n
k
k k
n
b
xxxx
∑∑ =
−
=
<<
n
k
n
k
k
n
b
n
b
SAreak
n
b
n
b
1
2
2
21
1
2
2
2
∑∑ =
−
=
<<
n
k
n
k
k
n
b
SAreak
n
b
1
2
3
31
1
2
3
3

7. Ora vale la seguente uguaglianza dimostrata per induzione:
Quindi:
)12()1(
6
1
1
2
++=∑=
nnnk
n
k
)12()1(
6
1
)122()()1(
6
1
]1)1(2[)11()1(
6
11
1
2
−−=
=+−−=
=+−+−−=∑
−
=
nnn
nnn
nnnk
n
k

8. Sostituendo:
Semplificando n:
Applicando il limite al primo termine si ottiene:
Analogamente il limite dell’ultimo membro vale che è proprio
la misura esatta dell’area S.
)12()1(
6
1
)12()()1(
6
1
3
3
3
3
++<<−− nnn
n
b
SAreannn
n
b
2
3
2
3
)12()1(
6
)12()1(
6 n
nnb
SArea
n
nnb ++
<<
−−
3
2*
6
)
13
2(
6
lim
)132(
6
lim
)12()1(
6
lim
33
2
3
2
23
2
3
bb
nn
b
n
nnb
n
nnb
n
nn
==+−=
=
+−
=
−−
+∞→
+∞→+∞→
3
3
b

11. S
b

17. Sia f(x) una funzione continua in un intervallo [a,b]Sia f(x) una funzione continua in un intervallo [a,b]
definiamo gli insiemi A e B. Come in figuradefiniamo gli insiemi A e B. Come in figura
L’integrale definito:interpretazioneL’integrale definito:interpretazione
geometricageometrica
}0)(,:),{(
)};(0,:),{(
≤≤≤≤=
≤≤≤≤=
yxfbxayxB
xfybxayxA
Un punto di coordinate (x,y) appartiene all’insiemeUn punto di coordinate (x,y) appartiene all’insieme
A se xA se x [a,b] e y [0, f(x)]; è necessario che f(x) sia[a,b] e y [0, f(x)]; è necessario che f(x) sia
maggiore o uguale a zero.maggiore o uguale a zero.
∈ ∈

18. Quindi gli insiemi A e B possono essere definiti
nella forma:
A={(x,y): x [a,b], f(x) 0, y [0, f(x)]}
B={(x,y): x [a,b], f(x) 0, y [f(x), 0]}.
In particolare se f(x)>0 allora l’insieme B è vuoto,
se invece f(x)<0 allora l’insieme A è vuoto. grafico
Gli insiemi A e B sono detti rettangoloidi
relativi alla funzione f(x) nell’intervallo [a,b].
Ogni funzione continua f(x) è integrabile in
ogni intervallo chiuso e limitato [a,b].
∈ ∈
∈∈
≥
≤

19. In tal caso l’integrale definito tra a e b è dato:
Se f(x)>=0 per ogni x appartenente [a, b], allora l’area
dell’insieme B vale zero. Se f(x)<=0 in [a, b] risulta che:
;)(],[,0)( areaAdxxfbaxxf
b
a
=⇒∈∀≥ ∫
∫ −=⇒∈∀≤
b
a
areaBdxxfbaxxf .)(],[,0)(
areaBareaAdxxf
b
a
−=∫ )(

20. Prime proprietà
∫ =
a
a
dxxf 0)(
E’ utile considerare l’ integrale definito anche quando il
primo estremo di integrazione non è minore del secondo,in
tal caso si ottiene:

21. E inoltre:
Additività dell’ integrale rispetto all’ intervallo:
Se f(x) è continua in [a,b] e c è un punto interno ad [a,b] allora:
Questo può essere facilmente verificato graficamente, come
mostrato nella figura. In cui si afferma che l’ area dell’ insieme
A è uguale alla somma delle aree degli insiemi A1 e A2.
∫ ∫−=
b
a
a
b
dxxfdxxf )()(
∫ ∫∫ +=
c
a
b
c
b
a
dxxfdxxfdxxf .)()()(

22. Proprietà della media:
Sia f una funzione continua nell’ intervallo [a,b]. Esiste
un punto tale che:
grafico
Dimostrazione:
Se m ed M sono rispettivamente l’ estremo inferiore e
l’estremo superiore di f in [a,b], si ha:
Dividendo il tutto per (b-a) si ottiene che:
],[0 bax ∈
∫ −=
b
a
abxfdxxf ))(()( 0
∫ −≤≤−
b
a
abMdxxfabm )()()(

23. Quindi l’integrale definito di f, diviso per b-a, è un
numero y compreso tra il minimo ed il massimo della
funzione f.
Per il Teorema dell’ esistenza dei valori
Intermedi (Una funzione continua in un intervallo
[a,b] assume tutti i valori compresi tra f(a) e f(b)
quindi tra m ed M) f assume anche il valore di y,
quindi esiste un punto per cui:
Tale punto prende il nome di valor medio di f su [a,b].
∫ ≤
−
≤
b
a
Mdxxf
ab
m )(
1
],[0 bax
∫∫ =−⇒
−
=
b
a
b
a
dxxfabxfdxxf
ab
xf )())((,)(
1
)( 00