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Cálculo Integral UTN
- 1. UNIVERSIDAD TÉCNICA DEL NORTE FICAYA MATEMÁTICA III MAGISTER: Daniel Sono
- 2. CLASE 1.- Miércoles 20/01/2015 CAPÍTULO V INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS MAGISTER: Daniel Sono
- 3. CAPÍTULO V: INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS • 5.1. Integrales de senos y cosenos, siendo m y n enteros positivos pares o impares. • 5.2. Integrales de tangentes y cotangentes, siendo m y n enteros positivos pares o impares. • 5.3. Integrales de productos entre senos y cosenos. • 5.4. Integrales de productos entre tangentes y cotangentes.
- 4. DESARROLLO: • 5.1. Integrales de senos y cosenos, siendo m y n enteros positivos pares o impares. • 5.3. Integrales de productos entre senos y cosenos.
- 5. CASO 1: 𝒔𝒆𝒏 𝒏 𝒖 𝒅𝒖 𝒐 𝒄𝒐𝒔 𝒏 𝒖 𝒅𝒖 , 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒏 𝒆𝒔 𝒊𝒎𝒑𝒂𝒓
- 6. Identidades Trigonométricas 1)sin 𝑥 = 1 csc 𝑥 2)cos 𝑥 = 1 sec 𝑥 3)tan 𝑥 = 1 𝑐𝑡𝑔𝑥 4)tan 𝑥 = sin 𝑥 cos 𝑥 5) 𝑐𝑡𝑔𝑥 = cos 𝑥 sin 𝑥 6) 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 = 1 7)1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 8)1 + 𝑐𝑡𝑔2 𝑥 = 𝑐𝑠𝑐2 𝑥
- 7. Ejercicio 5: 𝑠𝑒𝑛3 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 + − 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 𝑑𝑥 −cos 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 𝑑(𝑐𝑜𝑠𝑥) −cos 𝑥 + 1 3 𝑐𝑜𝑠3 𝑥 + 𝑐
- 8. Ejercicio 8: 𝑐𝑜𝑠5 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠4 𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 2 𝑑𝑥 1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 2 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 1 − 2𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛4 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 − 2 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 + 𝑠𝑒𝑛4 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 sin 𝑥 − 2 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 𝑑(𝑠𝑒𝑛𝑥) + 𝑠𝑒𝑛4 𝑥 𝑑(𝑠𝑒𝑛𝑥) sin 𝑥 − 2 3 𝑠𝑒𝑛3 𝑥 + 1 5 𝑠𝑒𝑛5 𝑥 + 𝑐
- 9. CASO 2: 𝒔𝒆𝒏 𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒎 𝒙 𝒅𝒙 , 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒂𝒍𝒎𝒆𝒏𝒐𝒔 𝒎 𝒐 𝒏 𝒆𝒔 𝒊𝒎𝒑𝒂𝒓
- 10. Ejercicio: 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 𝑐𝑜𝑠3 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 (1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥) 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 (𝑠𝑒𝑛2 𝑥 −𝑠𝑒𝑛4 𝑥) 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 − 𝑠𝑒𝑛4 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 𝑑 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑠𝑒𝑛4 𝑥 𝑑(𝑠𝑒𝑛𝑥) 1 3 𝑠𝑒𝑛3 𝑥 − 1 5 𝑠𝑒𝑛5 𝑥 + 𝑐
- 11. CASO 3: 𝒔𝒆𝒏 𝒏 𝒖 𝒅𝒖 𝒐 𝒄𝒐𝒔 𝒏 𝒖 𝒅𝒖 , 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒏 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒆𝒏𝒕𝒆𝒓𝒐 𝒑𝒂𝒓
- 12. FÓRMULAS • cos2x= 2 cos2x -1 ≡ 1+𝑐𝑜𝑠𝑥 2 = 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 = 1 − 2 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 • 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = 1 − cos2x ≡ 1−𝑐𝑜𝑠2𝑥 2
- 13. Ejercicio 9: 𝑐𝑜𝑠2 1 2 𝑥 𝑑𝑥 = 1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 2 𝑑𝑥 1 2 𝑑𝑥 + 1 2 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 1 2 𝑑𝑥 + 1 2 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 𝑥 2 + 1 2 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐
- 14. Ejercicio 7: • 𝑐𝑜𝑠4 𝑧 𝑑𝑧 = 1−𝑐𝑜𝑠2𝑧 2 2 𝑑𝑧 1 4 − 𝑐𝑜𝑠2𝑧 2 + 𝑐𝑜𝑠22𝑧 4 𝑑𝑧 1 4 𝑑𝑧 + 1 2 cos 2𝑧 𝑑𝑧 + 1 4 𝑐𝑜𝑠22𝑧 𝑑𝑧 1 4 𝑧 − 1 4 cos 2𝑧 𝑑2𝑧 + 1 4 𝑐𝑜𝑠4𝑧 2 𝑑𝑧 𝑧 4 − 1 4 𝑠𝑒𝑛 2𝑧 + 𝑧 8 + 1 4 1 2 𝑑𝑧 + 1 2 𝑐𝑜𝑠4𝑧 𝑑𝑧 𝑧 4 − 1 4 𝑠𝑒𝑛 2𝑧 + 𝑧 8 + 1 8 1 4 cos 4𝑧 𝑑4𝑧 𝑧 4 − 1 4 𝑠𝑒𝑛 2𝑧 + 𝑧 8 + 1 32 𝑠𝑒𝑛 4𝑧 + 𝑐 3𝑧 8 − 1 4 𝑠𝑒𝑛 2𝑧 + 1 32 𝑠𝑒𝑛 4𝑧 + 𝑐
- 15. CASO 4: 𝒔𝒆𝒏 𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒎 𝒙 𝒅𝒙 , 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒎 𝒚 𝒏 𝒔𝒐𝒏 𝒑𝒂𝒓𝒆𝒔
- 16. Ejercicio 15: • 𝑠𝑒𝑛2 3𝑡 𝑐𝑜𝑠2 3𝑡 𝑑𝑡 = 1−cos 6𝑡 2 1+cos 6𝑡 2 𝑑𝑡 1−cos 6𝑡−cos 6𝑡−𝑐𝑜𝑠26𝑡 2 𝑑𝑡 1 4 𝑑𝑡 − 1 4 𝑐𝑜𝑠2 6𝑡 𝑑𝑡 1 4 𝑡 − 1 4 1+cos 12𝑡 2 𝑑𝑡 1 4 𝑡 − 1 8 𝑑𝑡 − 1 8 1 12 cos 12 𝑑12𝑡 𝑡 4 − 𝑡 8 - 1 96 𝑠𝑒𝑛 12𝑡 + 𝑐 𝑡 8 − 1 96 𝑠𝑒𝑛12𝑡 + 𝑐
- 17. INTEGRACIÓN DE TANGENTES Y COTANGENTES SIENDO m Y n NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS PARES E IMPARES MAGISTER: Daniel Sono CLASE 2.-Jueves 21/01/2016
- 18. CASO 1: 𝒕𝒂𝒏 𝒏 𝒖 𝒅𝒖 𝒐 𝒄𝒕𝒈 𝒏 𝒖 𝒅𝒖 , 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒏 𝒆𝒔 𝒆𝒏𝒕𝒆𝒓𝒐 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐
- 19. Ejemplo: • 𝑡𝑎𝑛63𝑥 𝑑𝑥 = (𝑡𝑎𝑛23𝑥 𝑡𝑎𝑛43𝑥 ) 𝑑𝑥 [(𝑠𝑒𝑐2 3𝑥 − 1) 𝑡𝑎𝑛4 3𝑥 ] 𝑑𝑥 (𝑡𝑎𝑛43𝑥 𝑠𝑒𝑐23𝑥) 𝑑𝑥 − 𝑡𝑎𝑛43𝑥 𝑑𝑥 (𝑡𝑎𝑛43𝑥 𝑠𝑒𝑐23𝑥) 𝑑𝑥 − (𝑡𝑎𝑛23𝑥 𝑡𝑎𝑛23𝑥)𝑑𝑥 1 3 (𝑡𝑎𝑛4 3𝑥 𝑠𝑒𝑐2 3𝑥) 𝑑3𝑥 − 1 3 [𝑡𝑎𝑛2 3𝑥 (𝑠𝑒𝑐2 3𝑥 − 1)]𝑑𝑥 1 3 (𝑡𝑎𝑛4 3𝑥 ) 𝑠𝑒𝑐2 3𝑥 𝑑3𝑥 − 1 3 1 3 [𝑡𝑎𝑛23𝑥 (𝑠𝑒𝑐23𝑥) 𝑑3𝑥 − 𝑡𝑎𝑛23𝑥 𝑑𝑥 1 3 (𝑡𝑎𝑛4 3𝑥 ) 𝑑(𝑡𝑎𝑛3𝑥) − 1 3 1 3 [𝑡𝑎𝑛2 3𝑥 𝑑(𝑡𝑎𝑛3𝑥) − (𝑠𝑒𝑐2 3𝑥 − 1) 𝑑𝑥 1 15 𝑡𝑎𝑛 5 3𝑥 − 1 9 𝑡𝑎𝑛 3 3𝑥 − (𝑠𝑒𝑐2 3𝑥 − 1) 𝑑𝑥 1 15 𝑡𝑎𝑛 5 3𝑥 − 1 9 𝑡𝑎𝑛 3 3𝑥 + 1 3 (𝑠𝑒𝑐2 3𝑥 𝑑3𝑥 − 𝑑𝑥 1 15 𝑡𝑎𝑛 5 3𝑥 − 1 9 𝑡𝑎𝑛 3 3𝑥 + 1 9 tan 3𝑥 − 𝑥 + 𝑐
- 20. CASO 2: 𝒔𝒆𝒄 𝒏 𝒖 𝒅𝒖 𝒐 𝒄𝒔𝒄 𝒏 𝒖 𝒅𝒖 , 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒏 𝒆𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒑𝒂𝒓
- 21. Ejemplo 9: • 𝑠𝑒𝑛3 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥 (𝑡𝑎𝑛2 𝑥 + 1) 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 𝑑 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑥 1 3 𝑡𝑎𝑛3 𝑥 + tan 𝑥 + 𝑐
- 22. Ejercicio 10: • 𝑐𝑠𝑐4 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐𝑠𝑐2 𝑥 𝑐𝑠𝑐2 𝑥 𝑑𝑥 (1 + 𝑐𝑡𝑔2 𝑥) 𝑐𝑠𝑐2 𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑠𝑐2 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐𝑡𝑔2 𝑥 𝑐𝑠𝑐2 𝑥 𝑑𝑥 −𝑐𝑡𝑔𝑥 + −1 −1 𝑐𝑡𝑔2 𝑥 𝑐𝑠𝑐2 𝑥 𝑑𝑥 −𝑐𝑡𝑔𝑥 − 𝑐𝑡𝑔2 𝑥 (−𝑐𝑠𝑐2 𝑥 𝑑𝑥) −𝑐𝑡𝑔𝑥 − 𝑐𝑡𝑔2 𝑥 𝑑(𝑐𝑡𝑔𝑥) −𝑐𝑡𝑔𝑥 − 1 3 𝑐𝑡𝑔3 𝑥 + 𝑐
- 23. CASO 3: 𝒔𝒆𝒄 𝒏 𝒖 𝒅𝒖 𝒐 𝒄𝒔𝒄 𝒏 𝒖 𝒅𝒖 , 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒏 𝒆𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒑𝒂𝒓
- 24. Ejercicio: • 𝑠𝑒𝑐3 𝑥 𝑑𝑥 = (𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑠𝑒𝑐2 𝑥) 𝑑𝑥 𝑣 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣 𝑑𝑢 𝑠𝑒𝑐3 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑥 − (𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑐3 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑥 − (𝑡𝑎𝑛2 𝑥 𝑠𝑒𝑐𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑐3 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑥 − (𝑠𝑒𝑐2 𝑥 − 1) 𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑐3 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑥 − (𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑 𝑠𝑒𝑐𝑥 + ln |𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑥| 𝑠𝑒𝑐3 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 1 2 ln |𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑥| + 𝑐
- 25. Ejercicio: • 𝑐𝑠𝑐3 𝑥 𝑑𝑥 = (𝑐𝑠𝑐2 𝑥 𝑐𝑠𝑐𝑥) 𝑑𝑥 𝑣 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣 𝑑𝑢 𝑐𝑠𝑐3 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐𝑠𝑐𝑥 (−𝑐𝑜𝑡𝑥) − −𝑐𝑜𝑡𝑥 (−𝑐𝑠𝑐𝑥 𝑐𝑡𝑔𝑥) 𝑑𝑥 𝑐𝑠𝑐3 𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑐𝑠𝑐𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑥 − 𝑐𝑠𝑐𝑥 𝑐𝑡𝑔2 𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑠𝑐3 𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑐𝑠𝑐𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑥 − 𝑐𝑠𝑐𝑥 (𝑐𝑠𝑐2 𝑥 − 1) 𝑑𝑥 𝑐𝑠𝑐3 𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑐𝑠𝑐𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑥 − 𝑐𝑠𝑐3 𝑥 𝑑𝑥 + csc 𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑠𝑐3 𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑐𝑠𝑐𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑥 + 𝑐𝑠𝑐𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑠𝑐3 𝑥 𝑑𝑥 = − 1 2 𝑐𝑠𝑐𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑥 + 1 2 ln 𝑐𝑠𝑐𝑥 − 𝑐𝑡𝑔𝑥 + 𝑐
- 26. CLASE 3.- Miércoles 27/01/2016 CASO 4: 𝒕𝒂𝒏 𝒎 𝒖 𝒔𝒆𝒄 𝒏 𝒖 𝒅𝒖 𝒐 𝒄𝒕𝒈 𝒎 𝒖 𝒄𝒔𝒄 𝒏 𝒖 𝒅𝒖 , 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒏 𝒆𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒑𝒂𝒓 MAGISTER: Daniel Sono
- 27. Ejemplo 15: • 𝑡𝑎𝑛6 𝑥 𝑠𝑒𝑐4 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑡𝑎𝑛6 𝑥 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥 𝑡𝑎𝑛6 𝑥 (1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑥) 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥 (𝑡𝑎𝑛6 𝑥 +𝑡𝑎𝑛8 𝑥) 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥 𝑡𝑎𝑛6 𝑥 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑡𝑎𝑛8 𝑥 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥 𝑡𝑎𝑛6 𝑥 𝑑(𝑡𝑎𝑛𝑥) + 𝑡𝑎𝑛8 𝑥 𝑑(𝑡𝑎𝑛𝑥) 𝑡𝑎𝑛7 𝑥 7 + 𝑡𝑎𝑛9 𝑥 9 + 𝑐 1 7 𝑡𝑎𝑛7 𝑥 + 1 9 𝑡𝑎𝑛9 𝑥 + 𝑐
- 28. Ejercicio 17: • 𝑐𝑡𝑔23𝑥 𝑐𝑠𝑐43𝑥 𝑑𝑥 = (𝑐𝑡𝑔23𝑥 𝑐𝑠𝑐23𝑥 𝑐𝑠𝑐23𝑥) 𝑑𝑥 [𝑐𝑡𝑔23𝑥 (𝑐𝑡𝑔23𝑥 + 1 ) 𝑐𝑠𝑐23𝑥] 𝑑𝑥 [𝑐𝑡𝑔2 3𝑥 (𝑐𝑡𝑔2 3𝑥 𝑐𝑠𝑐2 3𝑥 + 𝑐𝑠𝑐2 3𝑥)] 𝑑𝑥 𝑐𝑡𝑔43𝑥 𝑐𝑠𝑐23𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐𝑡𝑔23𝑥 𝑐𝑠𝑐23𝑥 𝑑𝑥 1 3 𝑐𝑡𝑔43𝑥 𝑐𝑠𝑐23𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐𝑡𝑔23𝑥 𝑐𝑠𝑐23𝑥 𝑑𝑥 − 1 3 𝑐𝑡𝑔43𝑥 − 𝑐𝑠𝑐23𝑥 𝑑3𝑥 − 1 3 𝑐𝑡𝑔43𝑥 [−𝑐𝑠𝑐23𝑥] 𝑑3𝑥 − 1 3 𝑐𝑡𝑔23𝑥 𝑑(𝑐𝑜𝑡3𝑥) − 1 3 𝑐𝑡𝑔43𝑥 𝑑(𝑐𝑜𝑡3𝑥) − 1 9 𝑐𝑡𝑔3 3𝑥 − 1 15 𝑐𝑡𝑔5 3𝑥 + 𝑐
- 29. CASO 5: 𝒕𝒂𝒏 𝒎 𝒖 𝒔𝒆𝒄 𝒏 𝒖 𝒅𝒖 𝒐 𝒄𝒕𝒈 𝒎 𝒖 𝒄𝒔𝒄 𝒏 𝒖 𝒅𝒖 , 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒏 𝒆𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐
- 30. Ejercicio: • 𝑡𝑎𝑛5 𝑥 𝑠𝑒𝑐3 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑡𝑎𝑛5 𝑥 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑑𝑥 𝑡𝑎𝑛4 𝑥 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑑𝑥 (𝑠𝑒𝑐2 𝑥 − 1)2 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑑𝑥 (𝑠𝑒𝑐2 𝑥 − 1)2 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑(𝑠𝑒𝑐𝑥) (𝑠𝑒𝑐6 𝑥 − 2𝑠𝑒𝑐4 𝑥 + 𝑠𝑒𝑐2 𝑥) 𝑑(𝑠𝑒𝑐𝑥) 𝑠𝑒𝑐6 𝑥𝑑(𝑠𝑒𝑐𝑥) − 2 𝑠𝑒𝑐4 𝑥 𝑑(sec 𝑥) + 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑(𝑠𝑒𝑐𝑥) 1 7 𝑠𝑒𝑐7 𝑥 − 2 5 𝑠𝑒𝑐5 𝑥 + 1 3 𝑠𝑒𝑐3 𝑥 + 𝑐
- 31. CASO 6: 𝒕𝒂𝒏 𝒎 𝒖 𝒔𝒆𝒄 𝒏 𝒖 𝒅𝒖 𝒐 𝒄𝒕𝒈 𝒎 𝒖 𝒄𝒔𝒄 𝒏 𝒖 𝒅𝒖 , 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒎 𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓 𝒚 𝒏 𝒆𝒔 𝒊𝒎𝒑𝒂𝒓
- 32. Ejercicio: 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 𝑠𝑒𝑐3 𝑥 𝑑𝑥 = ( 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 − 1) 𝑠𝑒𝑐3 𝑥 𝑑𝑥 (𝑠𝑒𝑐5 𝑥 − 𝑠𝑒𝑐3 𝑥) 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑐5 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑠𝑒𝑐3 𝑥 𝑑𝑥 a b
- 33. • Resolución de a: u=𝑠𝑒𝑐3 𝑥 du= 3 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑥 dx dv= 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥 v= tan x 𝑠𝑒𝑐5 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐3 𝑥 𝑠𝑒𝑐3 𝑥 𝑑𝑥 𝑣 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣 𝑑𝑢 𝑠𝑒𝑐5 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐3 𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑥 − (𝑡𝑎𝑛𝑥 3𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑐5 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐3 𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑥 − 3 (𝑡𝑎𝑛2 𝑥 𝑠𝑒𝑐𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑐5 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐3 𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑥 − 3 (𝑠𝑒𝑐2 𝑥 − 1) 𝑠𝑒𝑐3 𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑐5 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐3 𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑥 − 3 (𝑠𝑒𝑐5 𝑥 𝑑𝑥 + 3 𝑠𝑒𝑐3 𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑐5 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐3 𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 3 𝑠𝑒𝑐3 𝑥 𝑑𝑥
- 34. Todo: 1 4 𝑠𝑒𝑐3 𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 3 4 (−) 𝑠𝑒𝑐3 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑠𝑒𝑐3 𝑥 𝑑𝑥 1 4 𝑠𝑒𝑐3 𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑥 − 1 4 𝑠𝑒𝑐3 𝑥 𝑑𝑥 1 4 𝑠𝑒𝑐3 𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑥 − 1 4 1 2 𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑙𝑛 𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐 1 4 𝑠𝑒𝑐3 𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑥 − 1 8 𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑥 − 1 8 𝑙𝑛 𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐
- 35. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA • CASO 1: 𝑎2 𝑢2 u=a senѲ x=a senѲ MAGISTER: Daniel Sono CLASE4.- Jueves 28/01/2016
- 36. Definición de las funciones trigonométricas sin = cos = tan = csc = sec = cot =
- 38. Ejercicio: • 𝑑𝑥 𝑥2 4−𝑥2 = 2 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 4 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 4−4𝑠𝑒𝑛2 𝜃 2 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 4 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 2 1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 1 4 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 1 4 𝑑𝜃 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 1 4 𝑐𝑠𝑐2 𝜃 𝑑𝜃 1 4 −𝑐𝑜𝑡𝜃 + 𝑐 − 1 4 4 − 𝑥2 𝑥 + 𝑐
- 40. CASO 2: • 𝒂 𝟐 + 𝒖 𝟐 u=a tanѲ
- 41. Ejercicio 3: • 𝑑𝑥 𝑥2 4−𝑥2 = 2 𝑠𝑒𝑐2 𝜃 𝑑𝜃 2 𝑡𝑎𝑛𝜃 4𝑡𝑎𝑛2 𝜃+4 𝑠𝑒𝑐2 𝜃 𝑑𝜃 𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑡𝑎𝑛2 𝜃 + 1 1 2 𝑠𝑒𝑐2 𝜃 𝑑𝜃 𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑐2 𝜃 1 2 sec Ѳ 𝑑𝜃 𝑡𝑎𝑛𝜃 1 2 1 𝑐𝑜𝑠Ѳ 𝑑𝜃 𝑠𝑒𝑛Ѳ 𝑐𝑜𝑠Ѳ 1 2 𝑑𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 1 2 𝑐𝑠𝑐𝜃 𝑑𝜃 − 1 2 𝑙𝑛 𝑐𝑠𝑐𝑢 − 𝑐𝑡𝑔𝑢 + 𝑐 − 1 2 𝑙𝑛 𝑥2 + 4 𝑥 − 2 𝑥 + 𝑐
- 42. 𝑪𝑨𝑺𝑶 𝟑: 𝒖 𝟐 − 𝒂 𝟐 u=a secѲ CLASE5.- Miércoles 03/02/2016 MAGISTER: Daniel Sono
- 43. Ejercicio 21: • 𝑙𝑛3 𝑤 𝑑𝑤 𝑤 𝑙𝑛2 𝑤−4 = 𝑢3 𝑤 𝑑𝑢 𝑤 𝑢2−4 𝑢3 𝑑𝑢 𝑢2−4 8 𝑠𝑒𝑐3 𝜃 (2 𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑡𝑎𝑛𝜃) 𝑑𝑢 4𝑠𝑒𝑐2 𝜃−4 8 𝑠𝑒𝑐4 𝜃 (𝑡𝑎𝑛𝜃) 𝑑𝑢 𝑠𝑒𝑐2 𝜃−1 8 𝑠𝑒𝑐4 𝜃 (𝑡𝑎𝑛𝜃) 𝑑𝑢 𝑡𝑎𝑛2 𝜃 8 𝑠𝑒𝑐4 𝜃 𝑑𝜃 8 𝑠𝑒𝑐2 𝜃 𝑠𝑒𝑐2 𝜃 𝑑𝜃
- 44. 8 (𝑡𝑎𝑛2 𝜃 + 1) 𝑠𝑒𝑐2 𝜃 𝑑𝜃 8 𝑠𝑒𝑐2 𝜃 𝑑𝜃 + 8 (𝑡𝑎𝑛2 𝜃 𝑠𝑒𝑐2 𝜃 𝑑𝜃 8 𝑡𝑎𝑛𝜃 + 8 𝑡𝑎𝑛2 𝜃 𝑑(𝑡𝑎𝑛𝜃) 8 𝑡𝑎𝑛𝜃 + 8 3 𝑡𝑎𝑛3 𝜃 + 𝑐 8 2 𝑢2 − 4 + 8 3 𝑢2 − 4 + 𝑐 4 𝑙𝑛2 𝑤 − 4 + 1 3 ( 𝑙𝑛2 𝑤 − 4)3 + 𝑐 𝑙𝑛2 𝑤 − 4 4 + 1 3 𝑙𝑛2 𝑤 − 4 2 + 𝑐 𝑙𝑛2 𝑤 − 4 𝑙𝑛2 𝑤 3 + 8 3 + 𝐶
- 45. MEDIDA DEL ÁREA DE UNA REGIÓN R MAGISTER: Daniel Sono CLASE 6.- Jueves 04/02/2016
- 46. Definición: Sea R la región limitada por la gráfica de la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥), las rectas 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 y el eje x, se define la medida A del área de la región R de la siguiente forma: 𝐴 = lim 𝑛→+∝ 𝑖=1 𝑛 𝑓 𝑐𝑖 ∆𝑥
- 47. Siempre que 𝑛 > 𝑁. La ecuación anterior significa que para cualquier 𝜀 > 0 existe un 𝑁 > 0 tal que 𝑖=1 𝑛 𝑓 𝑐𝑖 ∆𝑥 − 𝐴 < 𝜀𝑦𝑛 ∈ ℤ+ , y N pertenece a los enteros positivos. ∆𝑥 = 𝑏 − 𝑎 𝑛 f(ci)= Número absoluto de la función. En el intervalo cerrado 𝑋𝑖−1; 𝑋𝑖
- 48. INTEGRAL DEFINIDA • Definición: Si f es una función definida en 𝑎; 𝑏 entonces la integral definida f desde 𝑎; 𝑏 , se denota por: 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim ∆ →0 𝑖=1 𝑛 𝑓 𝜀𝑖 ∆𝑖𝑥
- 49. Notas: • En la integral 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 es igual: f(x)= integrando a= límite inferior = 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 b=límite superior
- 50. TEOREMA: Una función f es continua en el 𝑎; 𝑏 , entonces F es integrable en 𝑎; 𝑏 . • Definición: Sea la función f continua en el 𝑎; 𝑏 y 𝑓(𝑥) ≥ 0 para toda x en el 𝑎; 𝑏 . Sea R la región acotada por la curva y 𝑦 = 𝑓(𝑥), el eje x y las rectas 𝑥 = 𝑎 𝑦 𝑥 = 𝑏. Entonces la medida del área de la región “R” está dada por: 𝑎 = lim ∆ →0 𝑖=1 𝑛 𝑓(𝜀𝑖)∆𝑖𝑥
- 51. • Definición: Si 𝑎 > 𝑏, entonces la integral de a hasta b 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 • Definición: Si 𝑓 𝑎 existe, entonces: 𝑎 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0
- 52. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 1. Si k es una constante, entonces: 𝑎 𝑏 𝑘𝑓 𝑥 = 𝑘 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 2. 𝑎 𝑏 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 ± 𝑎 𝑏 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 3. 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑐 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥, donde 𝑎 < 𝑐 < 𝑏
- 53. TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO a. Primer teorema fundamental del cálculo Sea la función f continua en el 𝑎; 𝑏 y sea x cualquier número en el 𝑎; 𝑏 . Si F en la función definida por 𝑓(𝑥) donde 𝑥 es igual a la 𝑎 𝑥 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 entonces, 𝐹′ 𝑥 = 𝑓(𝑥). Si 𝑥 = 𝑎, la derivada (2) puede ser una derivada por la derecha, y si 𝑥 = 𝑏, la derivada en (2) puede ser una derivada por la izquierda. b. Segundo teorema fundamental del cálculo Si la función f es continua en el 𝑎; 𝑏 y siendo g una función total que 𝑔′ 𝑥 = 𝑓(𝑥). Para toda x en 𝑎; 𝑏 , entonces: 𝑎 𝑏 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑏 𝑏 − 𝑔(𝑎), si 𝑥 = 𝑎, la derivada de (8) puede ser una derivada por la derecha y si 𝑥 = 𝑏, la derivada en (8) puede ser una derivada por la izquierda.
- 54. EJERCICO 9.8 • 0 3 3𝑥2 − 4𝑥 + 1 𝑑𝑥 = 𝐼 𝐼 = 0 3 3𝑥2 𝑑𝑥 − 0 3 4𝑥𝑑𝑥 + 0 3 𝑑𝑥 𝐼 = 3 0 3 𝑥2 𝑑𝑥 − 4 0 3 𝑥𝑑𝑥 + 0 3 𝑑𝑥 𝐼 = 3 𝑥3 3 − 4𝑥2 2 + 𝑥 + 𝐶 𝐼 = 𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 + 𝐶 𝐴 = (3)3−2 3 2 + 3 − (0)3−2 0 2 + (0) 𝐴 = 27 − 18 + 3 𝐴 = 12 𝐸𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑠 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠 CLASE 7.- Miércoles 10/02/2016 MAGISTER: Daniel Sono
- 55. • 1 10 5𝑥 − 1𝑑𝑥 = 𝐼 𝐼 = 1 10 (5𝑥 − 1) 1 2 𝑑𝑥 𝐼 = 1 5 1 10 5𝑥 − 1 1 2(5𝑑𝑥) 𝐼 = 1 5 1 10 5𝑥 − 1 1 2 𝑑(5𝑥) 𝐼 = 1 5 (5𝑥 − 1) 3 2 3 2 + 𝐶
- 56. 𝐼 = 2 15 (5𝑥 − 1) 3 2+𝐶 𝐴 = 2 15 (5 10 − 1) 3 2− 2 15 (5 − 1) 3 2 𝐴 = 2 15 (49) 3 2− 2 15 (4) 3 2 𝐴 = 2 15 (343) − 2 15 (8) 𝐴 = 2 15 (335) 𝐴 = 134 3 𝑢2
- 57. • 0 𝜋 2 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥 = 𝐼 𝐼 = 1 2 0 𝜋 2 𝑠𝑒𝑛2𝑥(2𝑑𝑥) 𝐼 = 1 2 0 𝜋 2 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑(2𝑥) 𝐼 = 1 2 0 𝜋 2 𝑠𝑒𝑛2𝑥(2𝑑𝑥) 𝐼 = 1 2 −𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝐶 𝐴 = 1 2 −0.99 + 1 2 (1) 𝐴 = 1 𝑢2
- 58. • 1 2 𝑥3+2𝑥2+𝑥+2 (𝑥+1)2 𝑑𝑥 = 𝐼 𝐼 = 1 2 𝑥3 + 2𝑥2 + 𝑥 + 2 𝑥2 + 2𝑥 + 1 𝑑𝑥 𝐼 = 1 2 𝑥 + 2 𝑥2 + 2𝑥 + 1 𝑑𝑥 𝐼 = 1 2 𝑥𝑑𝑥 + 1 2 2 (𝑥 + 1)2 𝑑𝑥 𝐼 = 1 2 𝑥𝑑𝑥 + 1 2 𝑑 𝑥 + 1 𝑥 + 1 2 𝑑𝑥 𝐼 = 1 2 𝑥𝑑𝑥 + 1 2 𝑥 + 1 −2 𝑑(𝑥 + 1) 𝐴 = 𝑥2 2 + 2(𝑥 + 1)−1 −1 + 𝐶 𝐴 = 𝑥2 2 + 2 (𝑥 + 1) + 𝐶 𝐴 = (2)2 2 − 2 (2+1) − (1)2 2 − 2 (1+1) 𝐴 = 2 − 2 3 − 1 2 + 1 𝐴 = 11 6 𝑢2
- 59. • 𝜋 8 𝜋 4 3𝑐𝑠𝑐2 2𝑥𝑑𝑥 = 𝐼 𝐼 = 1 2 𝜋 8 𝜋 4 3𝑐𝑠𝑐22𝑥(2𝑑𝑥) 𝐼 = 3 2 𝜋 8 𝜋 4 𝑐𝑠𝑐22𝑥𝑑(2𝑥) 𝐼 = 3 2 −𝑐𝑜𝑡2𝑥 + 𝐶 𝐴 = − 3 2 𝑐𝑜𝑡2 𝜋 4 − 𝑐𝑜𝑡2 𝜋 8 𝐴 = − 3 2 𝑐𝑜𝑡 𝜋 2 − 𝑐𝑜𝑡 𝜋 4 𝐴 = − 3 2 0 − 1 𝐴 = 3 2
- 60. CÁLCULO DE ÁREAS • Ejercicio 5.9 𝑦 = 4 − 𝑥2 ; 𝑒𝑗𝑒 𝑥 𝑎 = 1 𝑏 = 0 𝑐 = 4 𝑋𝑣 = − 𝑏 2𝑎 𝑋𝑣 = − 0 2(1) 𝑋𝑣 = 0 𝑌𝑣 = 4 − (0)2 𝑌𝑣 = 4 V (0,4) MAGISTER: Daniel Sono CLASE 8.- Miércoles 11/02/2016
- 61. X -2 -1 0 1 2 Y 0 3 4 3 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 -3 -2 -1 0 1 2 3 Valores Y Valores Y
- 62. • −2 2 𝑦𝑑𝑥 = 𝐼 𝐼 = −2 2 (4 − 𝑥2 )𝑑𝑥 𝐼 = −2 2 4𝑑𝑥 − −2 2 𝑥2 𝑑𝑥 𝐼 = 4 −2 2 𝑑𝑥 − −2 2 𝑥2 𝑑𝑥 𝐼 = 4𝑥 − 𝑥3 3 + 𝐶 𝐴 = 4(2 + 2) − 1 3 23 − −23 𝐴 = 4 4 − 1 3 (16) 𝐴 = 16 − 16 3 𝐴 = 32 3 = 10.6𝑢2
- 63. 2. 𝑦 = 4𝑥 − 𝑥2 ; 𝑒𝑗𝑒 𝑥 ; 𝑥 = 1 ; 𝑥 = 3 𝑎 = 1 𝑏 = 4 𝑐 = 0 𝑋𝑣 = − 𝑏 2𝑎 𝑋𝑣 = −4 −2 𝑋𝑣 = 2 𝑌𝑣 = 8 − (2)2 𝑌𝑣 = 4 V (2,4)
- 64. X -1 0 1 2 3 4 5 Y -5 0 3 4 3 0 -5 -6 -4 -2 0 2 4 6 -2 0 2 4 6 Valores Y Valores Y
- 65. • 1 3 𝑦𝑑𝑥 = 𝐼 𝐼 = 1 3 (4𝑥 − 𝑥2)𝑑𝑥 𝐼 = 1 3 4𝑥𝑑𝑥 − 1 3 𝑥2 𝑑𝑥 𝐼 = 4 1 3 𝑥𝑑𝑥 − 1 3 𝑥2 𝑑𝑥 𝐼 = 4 𝑥2 2 − 𝑥3 3 + 𝐶 𝐼 = 2𝑥2 − 𝑥3 3 + 𝐶 𝐴 = 2 (3)2−(1)2 − 1 3 (3)3−(1)3 𝐴 = 2 8 − 1 3 26 𝐴 = 16 − 26 3 𝐴 = 22 3 = 7,33 𝑢2
- 66. 𝟑. 𝑥2 − 𝑦 + 1 = 0 ; 𝑥 − 𝑦 + 1 = 0 , considere elementos de área perpendiculares al eje x. 𝑎 = 1 𝑏 = 0 𝑐 = 1 𝑋𝑣 = − 𝑏 2𝑎 𝑋𝑣 = −0 −2(1) 𝑋𝑣 = 0 𝑌𝑣 = (0)2 +1 𝑌𝑣 = 1 V (0,1) CLASE 9.- Miércoles 17/02/2016 MAGISTER: Daniel Sono
- 67. 1)𝑥2 − 𝑦 + 1 = 0 2)𝑥 − 𝑦 + 1 = 0 𝑥2 − 𝑦 + 1 = 0 𝑥 − 𝑦 + 1 = 0 𝑥2 − 𝑥 = 0
- 68. 𝑥2 − 1 = 0 𝑥2 = 1 𝑥 − 𝑦2 + 1 = 0 1 − 𝑦2 + 1 = 0 𝑦2 = 2 𝑥 𝑥 − 1 = 0 𝑥1 = 0 𝑥 − 𝑦 + 1 = 0 0 − 𝑦 + 1 = 0 𝑦 = 1 𝑃1(0,1) 𝑃2 (1,2) 𝑥2 − 𝑥 = 0
- 69. X -2 -1 0 1 2 Y 5 2 1 2 5 0 1 2 3 4 5 6 -3 -2 -1 0 1 2 3 Valores Y x y X 0 -1 Y 0 0
- 70. 0 1 𝑦𝑑𝑥 = 𝐼 0 1 (𝑦 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 − 𝑦 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎)𝑑𝑥 = 𝐼 𝐼 = 0 1 𝑥 + 1 − (𝑥2 + 1) 𝑑𝑥 𝐼 = 0 1 𝑥 + 1 − 𝑥2 − 1) 𝑑𝑥 𝐼 = 0 1 (𝑥 − 𝑥2 ) 𝑑𝑥 𝐼 = 0 1 𝑥𝑑𝑥 − 0 1 𝑥2 𝑑𝑥 𝐼 = 𝑥2 2 − 𝑥3 3 + 𝐶 𝐴 = 1 2 (1)2−(0)2 − 1 3 (1)3−(0)3 𝐴 = 1 2 (1) − 1 3 (1 𝐴 = 1 2 − 1 3 𝐴 = 1 6 = 0,17𝑢2
- 71. 4.𝑦3 = 𝑥2 ; 𝑥 − 3𝑦 + 4 = 0 𝑦3 = 𝑥2 ≡ 𝑦 = 3 𝑥2 𝑥 − 3𝑦 + 4 = 0 Ecuación 2 en Ecuación 1 𝑦3 = 3 (3𝑦 − 4)2≡ 𝑦 = 3 9𝑦2 − 24𝑦 + 16 2 ≡ 𝑦3 = 9𝑦2 − 24𝑦 + 16
- 72. 𝑦3 = 9𝑦2 − 24𝑦 + 16 𝑦3 − 9𝑦2 + 24𝑦 − 16 = 0 1 -9 24 -16 1 -18 16 1 1 -8 16 / (𝑦 − 1)(𝑦2 − 8𝑦 + 16) (𝑦 − 1)(𝑦 − 4)(𝑦 − 4) (𝑦 − 1)(𝑦 − 4)2
- 73. 𝑦 − 1 = 0 𝑦1 = 1 𝑥 = 3𝑦 − 4 𝑥 = 3 1 − 4 𝑥1 = −1 𝑃1 (−1,1) (𝑦 − 4)2 = 0 (𝑦 − 4)2= 0 𝑦2 = 4 𝑥2 = 3𝑦 − 4 𝑥2 = 3(4) − 4 𝑥2 = 8 𝑃2 (8,4)
- 74. X -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Y 2,5 2,08 1,6 1 0 1 1,6 2,08 2,5 X 0 5 Y 1,3 3 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -6 -4 -2 0 2 4 6 Valores Y Valores Y
- 75. • −1 8 𝑦𝑑𝑥 = 𝐼 −1 8 (𝑦 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 − 𝑦 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎)𝑑𝑥 = 𝐼 𝐼 = −1 8 𝑥+4 3 − 3 𝑥2 𝑑𝑥 𝐼 = −1 8 𝑥+4 3 − 3 𝑥2 𝑑𝑥 𝐼 = −1 8 𝑥+4 3 𝑑𝑥 − −1 8 3 𝑥2 𝑑𝑥 𝐼 = 1 3 −1 8 (𝑥 + 4)𝑑𝑥 − −1 8 3 𝑥2 𝑑𝑥 𝐼 = 1 3 −1 8 𝑥𝑑𝑥 + 1 3 −1 8 4 𝑑𝑥 − −1 8 𝑥 2 3 𝑑𝑥 𝐼 = 1 3 −1 8 𝑥𝑑𝑥 + 4 3 −1 8 𝑑𝑥 − −1 8 𝑥 2 3 𝑑𝑥 𝐼 = 1 3 𝑥2 2 + 4 3 𝑥 − 3 5 𝑥 5 3 + 𝐶
- 76. 𝐴 = 1 6 𝑥2 + 4 3 𝑥 − 3 5 𝑥 5 3 + 𝐶 𝐴 = 1 6 (8) + 4 3 (8) − 3 5 (8) 5 3 − 1 6 (−1) + 4 3 (−1) − 3 5 (−1) 5 3 𝐴 = 32 15 + 17 30 𝐴 = 27 10 = 2,7 𝑢2
- 77. 5.- • Determine m de tal forma que la región sobre la curva 𝑦 = 𝑚𝑥2 (𝑚 > 0), a la derecha del eje y, y bajo la recta 𝑦 = 𝑚 tenga un área de k unidades cuadradas, donde k > 0. 𝑦 = 𝑚𝑥2 𝑦 = 𝑚 𝑚 = 𝑚𝑥2 𝑥2 = 1 𝑥 = ±1 𝑥1 = 1 𝑥2 = −1
- 78. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 Valores Y Valores Y
- 79. 𝐴 = 0 1 𝑦𝑑𝑥 𝐴 = 0 1 (𝑦𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 − 𝑦𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎)𝑑𝑥 𝐴 = 0 1 (𝑚 − 𝑚𝑥2)𝑑𝑥 𝐴 = 0 1 𝑚𝑑𝑥 − 0 1 𝑚𝑥2 𝑑𝑥 𝐴 = 𝑚 0 1 𝑑𝑥 − 𝑚 0 1 𝑥2 𝑑𝑥 𝐴 = 𝑚𝑥 − 𝑚𝑥3 3 + 𝐶 𝐴 = 𝑚 1 − 𝑚(1)3 3 − 𝑚 0 − 𝑚(0)3 3 𝐴 = 𝑚 − 𝑚 3 − 0 𝐴 = 𝑘 𝑘 = 2 3 𝑚 𝑚 = 3 2 𝑘 = 𝐴