La hipérbola es una sección cónica definida como el lugar geométrico de puntos cuyas distancias a dos puntos focales tienen una diferencia constante igual a la distancia entre los vértices. Históricamente, las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo en su estudio del problema de la duplicación del cubo, y el primero en usar el término "hipérbola" fue Apolonio de Perge en su tratado Cónicas. El documento luego describe las ecuaciones de la hipérbola en coordenadas cartesianas, polares

1. Etimología. Hipérbole e hipérbola
Secciones cónicas.
Hipérbola deriva de la palabra griega ὑπερβολή (exceso), y
es cognado de hipérbole (la figura literaria que equivale
a exageración).
Véase también: hipérbole
Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano
tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a
dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los
vértices, la cual es una constante positiva.

2. Debido a la inclinación del corte, el plano de la hipérbola
interseca ambas ramas del cono.
Historia
Según la tradición, las secciones cónicas fueron descubiertas por
Menecmo, en su estudio del problema de laduplicación del
cubo,2
donde demuestra la existencia de una solución mediante el
corte de una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado
posteriormente por Proclo y Eratóstenes.3
Sin embargo, el primero en usar el
término hipérbola fue Apolonio de Perge en su
tratado Cónicas,4
considerada obra cumbre sobre el tema de las
matemáticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de
las tangentes a secciones cónicas.
Ecuaciones de la hipérbola
Ecuaciones en coordenadas cartesianas: Ecuación de una
hipérbola con centro en el origen de coordenadas y
ecuación de la hipérbola en su forma compleja.
Ecuación de una hipérbola con centro en el punto
Ejemplos:
a)
b)

3. Ecuación de la hipérbola en su forma compleja
Una hipérbola en el plano complejo es el lugar
geométrico formado por un conjunto de puntos ,
en el plano ; tales que, cualesquiera de ellos
satisface la condición geométrica de que el valor
absoluto de la diferencia de sus
distacias , a dos puntos fijos
llamados focos y , es una costante positiva
igual al doble de la distancia (osea ) que existe
entre su centro y cualesquiera de sus vértices del
eje focal.
La ecuacion queda:
Evidentemente esta operación se lleva a cabo en el
conjunto de los números complejos.
Ecuaciones en coordenadas polares
Dos hipérbolas y sus asíntotas.
Hipérbola abierta de derecha a
izquierda:

4. Hipérbola abierta de arriba a abajo:
Hipérbola abierta de noreste a
suroeste:
Hipérbola abierta de noroeste a
sureste:
Ecuaciones paramétricas
Imagen de sección cónica.
Hipérbola abierta de derecha a
izquierda:
Hipérbola abierta de arriba a
abajo: