Aplicaciones a Ingeniería de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Orden Superior.

1. Universidad Centroamericana “José Simeón Cañas”
Facultad de Ingeniería y Arquitectura
Departamento de Matemática
Matemática IV
Sección 01 y 02
Ing. Eduardo Escapini
Ing. Daniel A. Sosa
Ciclo 01/2015
INDICACIONES TAREA GRUPAL
OBJETIVO: Que los alumnos que cursan la materia, apliquen los conocimientos adquiridos para
resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior y otros conocimientos necesarios
para resolver problemas de aplicación a la ingeniería.
La presente tarea está compuesta por 5 problemas, de los cuales se le pide lo siguiente:
i. Resolver el problema a mano y con bolígrafo.
ii. Enfatizar los teoremas o métodos con los que resuelve el problema.
iii. Numerar los pasos de solución.
iv. Presentar los procedimientos y consideraciones para la solución de cada problema.
v. Presentar impresiones de capturas de pantalla, graficas en Excel, plantillas o cuadros
de Excel, u otras aplicaciones o programas utilizados, de ser necesarios.
vi. Utilizar los métodos vistos en clase para resolver ecuaciones diferenciales de orden
superior con coeficientes constantes o variables, homogéneas o no homogéneas.
vii. Deberá aplicar al menos una vez: La Transformada de Laplace, Serie de Potencias,
Couchy Euler, Método de Variación de Parámetros, Método de Coeficientes
Indeterminados, en los casos posibles.
viii. Detallar orden, originalidad, limpieza y claridad.
La presentación del reporte debe contener como mínimo lo siguiente:
a) Portada.
b) Índice.
c) Enunciado de cada problema y solución.
d) Conclusiones (una por cada problema)
e) Bibliografía utilizada.
Metodología de Evaluación:
Resolver y entregar en grupos de 4 integrantes, del mismo curso y sección.
La presentación y solución de la tarea equivale al 40% de la nota del examen parcial final (CADA
EJERCICIO TIENE UNA PONDERACIÓN DEL 8%).
El 60% restante corresponde al examen parcial final, que se realizará el día Jueves 2 de Julio.
NOTAS:
1) La tarea debe ser entregada por el representante del grupo al inicio del tercer examen que
se realizará el día Viernes 26 de Junio, de no ser entregada a la hora dicha anteriormente
se pierden el 50% de la nota de la tarea (se pierden 50% de la nota global de esta
actividad por irresponsabilidad).
2) El plagio o copia de la solución de la tarea, será penalizado, asignando una nota de CERO
en esta actividad.

2. REINGRESO DEL APOLO
1) Cada vez que los astronautas de las naves Apolo regresaban de la Luna en la década de
1970, tenían cuidado en ingresar a la atmósfera de la Tierra a lo largo de una trayectoria
que formase un pequeño ángulo α con la horizontal. Ver la ilustración 1. Esto es necesario
para evitar fuerzas “g” intolerablemente grandes durante su reingreso.
Ilustración 1
Para apreciar las bases de su preocupación, considere el problema idealizado:
𝑑2
𝑠
𝑑𝑡2
= −𝐾𝑒
𝑠
𝐻 (
𝑑𝑠
𝑑𝑡
)
2
Donde K y H son constantes y la distancia S se mide hacia abajo desde algún punto de referencia
sobre la trayectoria, como se muestra en la ilustración 1. Esta ecuación aproximada pretende que
la única fuerza sobre la cápsula durante el reingreso es la resistencia del aire. Para un cuerpo como
el Apolo, la resistencia es proporcional al cuadrado de la velocidad y a la densidad atmosférica
local, que decae exponencialmente con la altura. Intuitivamente, sería de esperar que la
desaceleración predicha por este modelo dependería fuertemente de la constante K (que toma en
cuenta la masa y el área del vehículo, entre otras cosas); pero de manera notable, para cápsulas
que entran a la atmósfera (en "𝑠 = −∞") con una velocidad común V0, la desaceleración máxima
resulta ser independiente de K.
a) Verifique esta última afirmación demostrando que esta desaceleración máxima no es más
que:
𝑉0
2
𝑒𝐻
. SUGERENCIA: La variable independiente t no aparece en la ecuación diferencial,
de modo que es útil hacer la sustitución 𝑣 =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
.
b) Verifique también que en el instante de mayor desaceleración, cualquiera de estas naves
viajará precisamente a la velocidad
𝑉0
√ 𝑒
, habiendo perdido casi el 40% de su velocidad inicial
original.
c) Use los datos plausibles V0=11 km/s y H= 10/(sen(α)) km, estime cuán pequeño debe
elegirse α para no perturbar a los viajeros que retornan con no más de 10 g.
Alar Toomre, Massachussets Institute of Technology.

3. DISEÑO DE UN SISTEMA DE ATERRIZAJE PARA UN VIAJE INTERPLANETARIO
2) Usted es un cadete de segundo año de la academia espacial, a bordo del Enterprise, que
realiza un estudio a largo plazo del sistema estelar GLIA. El objeto de estudio en la
expedición actual es el gran planeta GLIA 4, sin aire. Se enviará una sonda con un sensor
clase 1, con una masa m, a la superficie del planeta para reunir datos. La sonda tiene un
sistema de aterrizaje ajustable, para poderse usar en planetas con gravedades distintas. El
sistema consta de un resorte lineal (fuerza=-kx, donde x es el desplazamiento), un resorte
no lineal (fuerza=-ax3
) y un amortiguador (fuerza=-bx) todos en paralelo.
Ilustración 2
En la ilustración 2 se muestra el esquema del sistema de aterrizaje de una sonda. (a) El sistema al
momento del impacto. Los resortes no están estirados ni comprimidos, los propulsores se han
apagado y la velocidad es VL hacia abajo. (b) La sonda ha alcanzado un estado de reposo sobre la
superficie, y los resortes se han comprimido lo suficiente para soportar el peso. Entre los estados
(a) y (b), la sonda oscila con respecto a su base.
Durante el proceso de aterrizaje, los propulsores se usan para crear una razón de descenso
constante. La velocidad al momento del impacto varía; usamos el símbolo VL para denotar la
máxima velocidad que podría ocurrir en la práctica. Al momento del impacto, (1) el propulsor se
apaga y (2) los resortes de suspensión tienen su longitud natural sin estirar.
a) Sea x el desplazamiento medido desde su longitud sin estirar de los resortes, negativo
hacia abajo (es decir, la compresión proporciona una x negativa). Muestre que la ecuación
que describe las oscilaciones después del impacto es:
𝑚𝑥̈ + 𝑏𝑥̇ + 𝑘𝑥 + 𝑎𝑥3
= −𝑚𝑔
b) La sonda tiene una masa m=1,220 kg. El resorte lineal está instalado de manera
permanente y tiene una rigidez k=35,600 N/m. La gravedad en la superficie de la GLIA 4 es
g=17.5 m/s2
. El resorte no lineal es removible; hay que elegir un resorte adecuado para
cada misión. Estos resortes no lineales están hechos de coralidio, una aleación rara y difícil
de fabricar. Por lo tanto, el Enterprise sólo lleva consigo cuatro diferentes tipos: a=
150000,300000, 450000 y 600000 N/m3
. Determine que resortes proporcionan una
compresión lo más cercana posible a 0.3 m sin exceder 0.3 m cuando la nave reposa sobre
la superficie de GLIA 4. (El límite de 0.3 m es impuesto por requisitos de espacio libre).
Alfred Clark, Jr., Universidad de Rochester.

4. SOLUCIONES CON SIMETRÍA ESFÉRICA DE LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER
PARA EL ÁTOMO DE HIDRÓGENO
3) En mecánica cuántica, uno está interesado en determinar la función de onda y los estados
de energía de un átomo, lo que se logra mediante la ecuación de SchrÖdinger. En el caso
del átomo de hidrógeno, es posible hallar funciones de onda ψ que sólo dependan de r, la
distancia del protón al electrón. Tales funciones se llaman funciones con simetría esférica
y satisfacen la sencilla ecuación:
(1)
1
𝑟
𝑑2(𝑟𝜓)
𝑑𝑟2
=
−8𝑚𝜋
ℎ2 (𝐸 +
𝑒0
2
𝑟
) 𝜓
Donde 𝑒0
2
, m y h son contantes y E, que también es una constante, representa la energía
del átomo, que aquí suponemos negativa.
a) Muestre que con las sustituciones:
𝑟 =
ℎ2
4𝜋2 𝑚𝑒0
2 𝜌 y 𝐸 =
2𝜋2 𝑚𝑒0
4
ℎ2 𝜀
Donde ɛ es una constante negativa, la ecuación (1) se reduce a:
𝑑2(𝜌𝜓)
𝑑𝜌2
= − (ɛ +
2
𝜌
) 𝜌𝜓
b) Si 𝑓 = 𝜌𝜓, entonces la ecuación anterior se convierte en:
(2)
𝑑2(𝑓)
𝑑𝜌2
= − (ɛ +
2
𝜌
) 𝑓
c) Muestre que la sustitución 𝑓(𝜌) = 𝑒−𝛼𝜌
𝑔(𝜌), donde α es una constante positiva,
transforma a (2) en:
(3)
𝑑2
𝑔
𝑑𝜌2
− 2𝛼
𝑑𝑔
𝑑𝜌
+ (
2
𝜌
+ 𝜀 + 𝛼2
) 𝑔 = 0
d) Si elegimos α2
=-ɛ (ɛ negativo), entonces (3) queda:
(4)
𝑑2
𝑔
𝑑𝜌2
− 2𝛼
𝑑𝑔
𝑑𝜌
+
2𝑔
𝜌
= 0
e) Muestre que una solución en serie de potencias 𝑔(𝜌) = ∑ 𝑎 𝑘 𝜌 𝑘∞
𝑘=1 (que comienza en
k=1) para (4) debe tener coeficientes 𝑎 𝑘 que satisfagan la relación de recurrencia:
(5) 𝑎 𝑘+1 =
2(𝛼𝑘 − 1)
𝑘(𝑘 + 1)
𝑎 𝑘, 𝑘 ≥ 1
f) Sean En y ψn(𝜌) el estado de energía y la función de onda respectivamente,
correspondientes a α=1/n. Determine En (en términos de las constantes 𝑒0
2
, m y h) y
ψn(𝜌) para n=1, 2 y 3.
Erwin Rudolf Josef Alexander SchrÖdinger, Premio Novel de Física.

5. FLEXIÓN DE UNA TORRE
4) Una torre se construye con cuatro vigas angulares unidas por las diagonales (ver
ilustración 3). La curva de deflexión y(x) para la torre queda descrita mediante la ecuación:
(1) 𝑥2
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
+
𝑝𝑎2
𝐸𝐼
𝑦 = 0, 𝑎 < 𝑥 < 𝑎 + 𝐿
Donde x es la coordenada vertical medida hacia abajo desde la parte superior de la torre, y
es la flexión con respecto de la vertical que pasa por el centro de la torre sin flexión, L es la
altura de la torre, a es la longitud de truncamiento, P es la carga, E es el módulo de
elasticidad e I es el momento de inercia. Las condiciones de frontera adecuadas para este
diseño son: 𝑦(𝑎) = 0, 𝑦´(𝑎 + 𝐿) = 0.
Es claro que la solución y(x)=0 siempre está a la mano. Sin embargo, cuando la carga P es
lo bastante pesada, la torre puede pandearse y puede surgir una solución no trivial y(x).
Ilustración 3
a) Resuelva la ecuación (1)
b) Muestre que la primera condición en la frontera 𝑦(𝑎) = 0 implica:
𝑦 = 𝐴√ 𝑥𝑠𝑒𝑛 (𝛽 ln (
𝑥
𝑎
) )
Donde A es una constante arbitraria y 𝛽 = √
𝑃𝑎
𝐸𝐼
−
1
4
c) Muestre que la segunda condición en la frontera 𝑦´(𝑎 + 𝐿) = 0 implica:
𝐴 {𝑡𝑎𝑛 [𝛽 ln (
𝑎 + 𝐿
𝑎
)] + 2𝛽}
d) Use el resultado de la parte (c) para justificar que no hay flexión (es decir, la única
posibilidad es A=0) si 0 < 𝛽 < 𝛽𝑐, donde 𝛽𝑐 es el menor número real positivo que
anula la expresión entre llaves.
e) El valor de la carga correspondiente a 𝛽𝑐 es la carga crítica Pc. Determine Pc en
términos de 𝛽𝑐, a, E e I.
f) Halle la carga crítica Pc si a=10, L=40 y EI=1000.
Físico-Matemático Leonard Euler (1757).

6. OBJETOS QUE FLOTAN
5) El movimiento de los objetos que tienen formas diferentes y flotan en una piscina puede
modelarse mediante una ecuación diferencial de segundo orden que se deduce de la
segunda ley de movimiento de Newton, F=ma. Las fuerzas que actúan sobre el objeto
incluyen la fuerza debida a la gravedad, una fuerza de fricción debida al movimiento del
objeto en el agua, y una fuerza de flotación basada en el principio de Arquímedes: Un
objeto total o parcialmente sumergido en un fluido recibe una fuerza (de flotación) hacia
arriba igual al peso del agua que desplaza.
a) El primer paso consiste en escribir la ecuación diferencial que describe el movimiento.
La variable dependiente es la profundidad “z” del punto más bajo del objeto en el
agua. Consideramos a “z” negativa hacia abajo, de modo que z=-1 indica que un pie
del objeto está sumergido. Sean V(z) el volumen sumergido del objeto, m la masa del
objeto, 𝜌 la densidad del agua (en libras por pie cúbico), g la aceleración debida a la
gravedad y 𝛾 𝑤 el coeficiente de fricción para el agua. Si la fuerza de la fricción es
proporcional a la velocidad vertical del objeto, escriba la ecuación diferencial ordinaria
que describe la situación.
b) Por el momento, desprecie el efecto de fricción y suponga que el objeto es un cubo
que mide L pies de lado. Escriba la ecuación diferencial correspondiente a este caso. A
continuación, designe z=𝑙 como la profundidad de la sumersión, de modo que la
fuerza de flotación sea igual en magnitud y opuesta en dirección a la fuerza de
gravedad. Introduzca una nueva variable, ζ, que proporciona el desplazamiento del
objeto a partir de su posición de equilibrio 𝑙 (es decir, z=𝜁 + 𝑙). Ahora podrá escribir la
ecuación diferencial ordinaria de una manera más familiar. SUGERENCIA: recuerde el
sistema masa resorte y el caso de equilibrio). Ahora deberá reconocer el tipo de
solución para este problema. ¿Cuál es la frecuencia natural?
c) Aquí analizará el efecto de fricción. El objeto que flota es un cubo, con un pie por lado
y peso de 32 libras. Sean 𝛾 𝑤=3 lb-s/pies, 𝜌=62.57 lb/pie3
y suponga que el objeto está
colocado inicialmente sobre una superficie del agua. Resuelva la ecuación diferencial
correspondiente, a mano, hallando la solución general. A continuación, determine la
solución particular para el caso en que el cubo se coloca inicialmente sobre la
superficie del agua y su velocidad inicial es nula. Proporcione una gráfica de la posición
del objeto como función del tiempo t.
d) Suponga que una esfera de radio R se deja flotar en el agua. Deduzca la ecuación de
segundo orden que describe el movimiento de la esfera, usando el principio de
Arquímedes y una fricción debido a su movimiento en el agua. Suponga que una
esfera pesa 32 libras, tiene un radio de 0.5 pie y 𝛾 𝑤=3 lb-s/pie. Determine el valor
límite de la posición de la esfera sin resolver la ecuación ordinaria. A continuación
resuelva la ecuación diferencial ordinaria para la velocidad y posición de la esfera
como funciones del tiempo, para una esfera colocada sobre la superficie del agua.
Deberá escribir la ecuación diferencial ordinaria de segundo orden como un sistema
de dos ecuaciones diferenciales ordinarias, una para la velocidad y otra para la
posición. ¿Cuál es la posición límite de la esfera para su solución? ¿Coincide con la
solución de equilibrio que halló antes? ¿Cuál es su relación con la posición de
equilibrio del cubo? En caso que sean distintas, explique por qué.
Richard Bernatz, Luther College.