006 e exame_limites_continuidadebolzano

matA12
limites, continuidade, Teorema de Bolzano
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Exercícios de exames e provas oficiais
1. Considere as sucessões convergentes  na e  nb de termos gerais
3
1
1
n
na
n
 
  
 
e  ln 1 2 n
nb e
 
Sejam a e b os números reais tais que  lim na a e  lim nb b
Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
(A) 3a e e 0b  (B) 3
a e e 0b 
(C) 3a e e 1b  (D) 3
a e e 1b 
matemática A – 12º ano, exame 635, época especial, 2016
2. Considere a função f, de domínio 
, definida por   lnf x x
Considere a sucessão de termo geral n n
n
u
e

Qual é o valor de  lim nf u ?
(A)  (B) 0 (C) e (D) 
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2016
3. Para um certo número real k, é contínua em a função f definida por
   
2 0
2 ln 1
0
x k
e se x
f x x x
se x
x

  

   


Qual é o valor de k?
(A) 0 (B) 1 (C) ln 2 (D) ln 2
4. O José e o António são estudantes de Economia. O José pediu emprestados 600 euros ao
António para comprar um computador, tendo-se comprometido a pagar o empréstimo em
prestações mensais sujeitas a um certo juro.
Para encontrarem as condições de pagamento do empréstimo, os dois colegas adaptaram uma
fórmula que tinham estudado e estabeleceram um contrato.
Nesse contrato, a prestação mensal p, em euros, que o José tem de pagar ao António é dada
por
 
600
0
1 nx
x
p x
e
 


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em que n é o número de meses em que o empréstimo será pago e x é a taxa de juro mensal.
Recorrendo a métodos analíticos, determine
0
600
lim
1 nxx
x
e 
, em função de n, e interprete o
resultado no contexto da situação descrita.
5. Seja g uma função contínua, de domínio , tal que:
 para todo o número real x,   g g x x
 para um certo número real a, tem-se   1g a a 
Mostre que a equação   1g x x  é possível no intervalo  ,ga a  
6. Seja a um número real diferente de 0.
Qual é o valor de 2 2
lim
x a
x a
ae a
x a




?
(A)
1
4
(B)
1
2
(C) 1 (D) 2
7. Considere as sucessões  nu e  nv de termos gerais
3
2
n
kn
u
n

 ( é um número real) e
1
ln 1
n
nv
n
  
   
   
Sabe-se que    lim limn nu v
(A) 1 (B) 2 (C) e (D) 2e

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8. Seja f a função, de domínio , definida por
 
 
1
2 1 2
1
1 ln
2
x
e e
se x
xf x
x x se x
 
  
  

Mostre que a equação   3f x  é possível em  1,e e, utilizando a calculadora gráfica,
determine a única solução desta equação, neste intervalo, arredondada às centésimas.
Na sua resposta:
 recorra ao teorema de Bolzano para provar que a equação   3f x  tem, pelo menos,
uma solução no intervalo  1,e ;
 reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) que visualizar na
calculadora, devidamente identificado(s);
 apresente a solução pedida.
9. Considere as funções f e g, de domínio  ,0 , definidas por
 
 ln
1
x
f x x
x

   e    g x x f x  
Recorrendo a processos exclusivamente analíticos, mostre que a condição  f x e  tem,
pelo menos, uma solução em  , 1e  .
10. Considere, para um certo número real k, a função f, de domínio , definida por
  x
f x ke x  . O teorema de Bolzano garante que a função f tem, pelo menos, um zero no
intervalo  0,1 .
A qual dos intervalos seguintes pode pertencer k?
(A)
1
,e
e
 
  
 
(B)
1
,0
e
 
 
 
(C)
1
0,
e
 
 
 
(D)
1
,1
e
 
 
 

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11. Considere a função f, de domínio , definida por
 
 
4
4
3 11
4
4
ln 2 4
x
x
e x
se x
xf x
e e se x

  

 
  
Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, averigue se a função f é contínua
em 4x  .
12. Considere, para um certo número real k positivo, a função f, de domínio , definida por
 
2
3
0
1
ln 0
6
ln 0
2 1
x
x
se x
e
f x k se x
x x
se x
x



 

    
  
Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, determine k de modo que
   0
lim 0
x
f x f

 .
13. Seja f uma função de domínio  ,1e . Sabe-se que:
 f é contínua no seu domínio;
   1f e  ;
  1f e .
Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeiramente?
(A) A equação   1 0f x   tem pelo menos uma solução em  ,1e
(B) A equação  f x e tem pelo menos uma solução em  ,1e
(C) A equação   0f x  tem pelo menos uma solução em  ,1e
(D) A equação  
2
e
f x  tem pelo menos uma solução em  ,1e
14. Considere, para um certo número real a positivo, uma função f, contínua, de domínio  , .a a
Sabe-se que    f a f a  e    0f a f .
Mostre que a condição    f x f x a  tem, pelo menos, uma solução em  ,0a .

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 
1
1
1
1
ln 1
x
e
se x
f x x
x se x

 

 
 
Seja g uma outra função, de domínio .
Sabe-se que a função f g é contínua no ponto 1.
Em qual das seguintes quatro opções pode estar representada parte do gráfico da função g?
(A) (B)
(C) (D)
matemática A – 12º ano, teste intermédio, 28-02-2013
 
 
2
3 3
4
9
ln 3 11
4
4
x
se x
x
f x
x
se x
x


 
 

 
Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, averigue se existe  4
lim
x
f x

.

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 
3
1
4
sin
0
1 1
1 0
1
0
k
x
x
se x
x
f x e se x
e
se x
x



 
  

 

com k 
Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, determine k de modo que
   0
lim 0
x
f x f

 .
18. Seja f uma função de domínio , definida por   3x
f x e  .
Em qual dos intervalos seguintes o teorema de Bolzano permite afirmar que a equação
 
3
2
f x x   tem, pelo menos, uma solução?
(A) 1
0,
5
 
 
 
(B) 1 1
,
5 4
 
 
 
(C) 1 1
,
4 3
 
 
 
(D) 1
,1
3
 
 
 
19. Na figura, está representada, num referencial o.n.
xOy, parte do gráfico de uma função g, de domínio
 ,a  , com
1
3
a   .
Para esse valor de a, a função f, contínua em , é
definida por
 
 
3
1
log
3
x se x a
f x
g x se x a
  
    
  
 
Qual é o valor de a?
(A)
28
3
 (B)
25
3
 (C)
19
3
 (D)
8
3


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20. Relativamente a duas funções, f e g, sabe-se que:
 têm domínio  2,3
 são funções contínuas
    2 2 0f g  e    3 3 0f g 
Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira?
(A) Os gráficos de f e g intersetam-se em pelo menos um ponto.
(B) A função f g é crescente.
(C) Os gráficos de f e g não se intersetam.
(D) A função f g é decrescente.
21. Seja f a função de domínio , definida por
 
 
2
2
2
2
3 ln 1 2
x
x
xe e
se x
f x x
e x se x
 

 
   
Averigue se a função f é contínua em 2x  .
22. Para um certo valor de  e para um certo valor de  , é contínua no ponto 0 a função g,
definida por
 
 
2
1
0
0
ln 1
0
x
e
se x
x
g x se x
x
se x
x


 


 
 
  

Qual é esse valor de  e qual é esse valor de  ?
(A) 1  e 2  (B) 2  e 3 
(C) 1  e 3  (D) 2  e 1 

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23. Seja f a função, de domínio 
, definida por   32 logf x x  .
Seja g a função, de domínio 
, definida por    g x x f x  .
Mostre, sem recorrer à calculadora, que    1,3 :g 5c c  
  1
1
1
1
2 1
x
x
se x
f x e
a se x


 
 
   
(a é um número real)
Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, determine a sabendo que f é contínua em
1x   .
25. Considere a função f, de domínio  0, , definida por
 
 
2
1
0 2
2
1
2
ln 1
x
e
se x
x
f x
x
se x
x

 
 

   
 
Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, mostre, sem resolver a equação, que
  3f x   tem, pelo menos, uma solução em 1
0,
2
 
 
 
.
26. Seja f uma função de domínio  0, , definida por
 
2 9 0 5
1
5
x
x
se x
f x e
se x
x
   

  


Em qual dos intervalos seguintes o teorema de Bolzano permite garantir a existência de, pelo
menos, um zero da função f?
(A)  0,1 (B)  1,4 (C)  4,6 (D)  6,7

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27. Seja f uma função, de domínio , contínua no intervalo  1,4
Tem-se  1 3f   e  4 9f  .
Em qual das opções seguintes está definida uma função g, de domínio , para a qual o
teorema de Bolzano garante a existência de pelo menos um zero no intervalo  1,4 ?
(A)    2g x x f x  (B)    2g x x f x 
(C)    2
g x x f x  (D)    2
g x x f x 
28. Consider a função g, de domínio , definida por
 
0
ln 0
x
e se x
g x
x se x
 
 

Considere a sucessão de termo geral
1
nu
n
 .
Qual é o valor de  lim n
n
g u

?
(A)  (B) 1 (C) 0 (D) 
29. Consider a função f, de domínio , definida por  
3
2 1x
f x x e 
   .
Mostre que   1,5f x  tem, pelo menos, uma solução em  2, 1  .
Resolva este exercício recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, se utilizar a
calculadora em eventuais cálculos numéricos, sempre que proceder a arredondamentos, use
três casas decimais.
30. Seja g uma função contínua, de domínio .
Qual dos seguintes conjuntos não pode ser o contradomínio da função g?
(A)  0,2 (B) (C) 
(D)   0

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31. Seja a um número real diferente de zero.
Qual é o valor de 2 20
1
lim
ax
x
e
ax a x


?
(A)
1
a
(B)
1
2a
(C) 0 (D) 
 
2
0 2
2
1 2x
x
se x
f x x x
xe x se x

 
 
   
Usando exclusivamente métodos analíticos, averigue se a função f é contínua em 2x  .
33. Consider a função h, de domínio , definida por
 
2
2
4 0
2 0
1
0
x
x x se x
h x se x
e
se x
x

   

 

 

Estude a continuidade de h no domínio , recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
34. Considere a função g, de domínio 
, definida por   2
lnx
g x e x  .
Mostre, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, que a função g tem, pelo menos,
um zero no intervalo  0,1;0,3 .
Nota: A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos numéricos.
35. Num certo dia, o Fernando esteve doente e tomou, às 9 horas da manhã, um medicamento
cuja concentração  C t no sangue, em mg/l, t horas após o medicamento ter sido ministrado,
é dada por
  0,3
2 t
C t te
  0t 
Calcule  limC t e interprete esse valor no contexto da situação apresentada. Resolva a
questão recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

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36. Considere a função g, de domínio 1
,
2
 
  
 
, definida por
 
 2 1
2 ln 1 1
2
2 1
1
1
1
x x x se x
g x se x
x
se x
x

     

 
 
 
 
Verifique se a função g é continua em 1x  , sem recorrer à calculadora.
37. Na figura está representada parte do gráfico de uma função g, de domínio e continua em
  2 . As retas de equações 2x   e 1y  são as únicas assíntotas do gráfico de g.
Seja  nx uma sucessão tal que  lim n
x
g x

.
Qual das expressões seguintes pode ser o termo geral da sucessão  nx ?
(A)
2
2
a
  (B)
1
2
n
  (C)
1
1
n
 (D)
1
1
n


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38. Na figura está representada parte do gráfico de uma função f, de domínio , sendo 1y  
a única assíntota do seu gráfico.
Qual é o valor do
 
3
lim
x f x
?
(A)  (B) 3 (C) 1 (D) 3
39. A massa de uma substância radioativa diminui com a passagem do tempo. Supõe-se que,
para uma amostra de uma determinada substância, a massa, em gramas, ao fim de t horas de
observação, é dada pelo modelo matemático   0,02
15 , 0t
M t e t
  .
Resolva, usando métodos analíticos.
Nota: A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos intermédios; sempre que proceder a
arredondamentos, use três casas decimais.
Utilize o Teorema de Bolzano para justificar que houve, pelo menos, um instante, entre as
2 horas e 30 minutos e as 4 horas após o início da observação, em que a massa da amostra
da substância radioativa atingiu os 14 gramas.
40. Seja h a função de domínio  1,  , definida por    4 ln 1h x x x    .
(ln designa logaritmo de base e)
Resolva, usando métodos analíticos.
Nota: A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos intermédios; sempre que proceder a
arredondamentos, use, pelo menos, duas casas decimais.
Justifique, aplicando o Teorema de Bolzano, que a função h tem, pelo menos, um zero no
intervalo  5,6 .

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41. Seja f uma função de domínio , continua no intervalo  2,2
Tem-se  2 1f   e  2 3f  .
Indique qual das expressões seguintes define uma função g, de domínio , para a qual o
Teorema de Bolzano garante a existência de pelo menos um zero no intervalo  2,2 .
(A)    g x x f x  (B)    g x x f x 
(C)    2
g x x f x  (D)    2
g x x f x 
42. Seja f uma função de domínio  3,3 , definida
por
 
 
1
3 0
2 ln 1 3 0 3
x
e x
se x
f x x
x x se x
  
  
 
     
Na figura está representado o gráfico da função
f.
Tal como a figura sugere:
 A é o ponto do gráfico de f de ordenada máxima
 a abcissa do ponto A é positiva
Utilizando métodos exclusivamente analíticos, mostre, tal como a figura sugere, f é contínua
no ponto 0.
43. Na figura, está reresentada parte do gráfico de uma
função f, real de variável real.
Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
(A)
 3
1
lim 0
x f x

(B)
 3
1 1
lim
2x f x

(C)
 3
1 1
lim
2x f x
 
(D) Não existe
 3
1
lim
x f x

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44. Na figura, está reresentada parte do gráfico de uma função g, real de variável real.
Tal como a figura sugere, a reta de equação 1x  é assíntota do gráfico da função g.
Seja :h  a função definida por   1h x x  .
O valor do
 
 1
lim
x
h x
g x
é:
(A)  (B)  (C) 0 (D) 1
45. Identifique o valor de 2
2
1
lim
4x x
 
(A) 0 (B) 1 (C)  (D) 
 
 
2
3
2
2
2
0
2 0
3 ln 1
0
x x
se x
x x
f x se x
x x x
se x
x
 


 
   

Utilizando métodos exclusivamente analíticos, averigue se a função f é contínua em 0x  .
Justifique a sua resposta.

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47. Considere, num referencial o.n. xOy, a curva C, que representa graficamente a função f, de
domínio  0,1 , definida por   3x
f x e x  e a reta r, de equação 5y  .
Sem recorrer à calculadora, justifique que a reta r interseta a curva C em pelo menos um
ponto.
48. De duas funções, f e g, sabe-se que:
 o gráfico de f é uma reta, cuja ordenada na origem é igual a 2;
 o gráfico de g é uma hipérbole.
Nas figuras seguintes estão representadas parte dessa reta e parte dessa hipérbole.
A reta de equação 1x  é assintota do gráfico de g.
Indique o valor de
 
 1
lim
x
f x
g x

(A) 0 (B) 2 (C)  (D) 
49. Seja  : 0,2f  uma função contínua tal que    0 2 0f f  e  1 0f  .
Prove que existe pelo menos um número real c no intervalo  0,1 tal que    1f c f c  .
Sugestão: considere a função  : 0,1f  , definida por      1g x f x f x   .

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50. Na figura estão representadas, em
referencial o.n. xOy, partes dos
gráficos de duas funções, f e g,
contínuas em .
Tal como a figura sugere,
 nenhum dos gráficos interseta o
eixo Ox;
 os gráficos de g e de f
intersetam o eixo Oy nos pontos
de ordenadas 0,5 e 2,
respetivamente.
Apenas uma das equações seguintes é impossível. Qual delas?
(A)     0f x g x  (B)     0f x g x 
(C)     1f x g x  (D)
 
 
1
f x
g x

51. Seja  nx a sucessão de termo geral
1
1
n
nx
n
 
  
 
Seja  ny a sucessão de termo geral  1 lnn ny x  (ln designa o logaritmo de base e)
Qual é o valor de lim ny ?
(A) 2 (B) 3 (C) 1 e (D) 2 e
52. Com o objetivo de estudar as leis do aquecimento e do arrefecimento, realizou-se, num
laboratório de Física, a seguinte experiência: aqueceu-se ao lume uma certa quantidade de
água, durante cinco minutos; passado este tempo, a apagou-se o lume e deixou-se a água a
arrefecer. A temperatura da água foi sendo medida, ao longo do decorrer da experiência.
Admita que:
 neste laboratório, a temperatura ambiente é constante;
 a temperatura da água, no instante em que começou a ser aquecida, era igual à
temperatura ambiente;
 depois de se ter apagado o lume, a temperatura da água tende, com o passar do tempo,
a igualar a temperatura ambiente.
Em resultado da experiência, concluiu-se que a relação entre a temperatura da água e o tempo
t, contado em minutos, a partir do instante em que se colocou a água ao lume, é modelada
por uma, e uma só, das quatro funções, a, b, c e d, definidas por:

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   0,04 5
24 2 0 5
24 10 5t
t se t
a x
e se x 
  
 
 
 
 
 0,04 5
12 2 0 5
24 70 5t
t se t
b t
e se x 
   
 
 
 
 
 0,04 5
14 1 0 5
24 60 5t
t se t
c x
e se x 
   
 
 
 
 
 0,04 5
12 2 0 5
24 60 5t
t se t
d x
e se x 
   
 
 
Qual das quatro funções é a correta?
Numa pequena composição, explique porque não pode ser nenhuma das outras três,
indicando, para cada uma delas, uma razão pela qual a rejeita, explicando a sua inadequação,
relativamente à situação descrita.
53. De uma função f, contínua em , sabe-se que  3 8f  e  7 1f  .
(A)  1 6 8f  (B) A função f não tem zeros em  3,7
(C)    4 5f f (D) 2 pertence ao contradomínio de f
54. Na figura, está representada parte do gráfico de
uma função f, contínua em .
A função f tem apenas dois zeros: 3 e 1.
Seja g a função definida por    g x f x .
Qual dos seguintes conjuntos pode ser o
domínio da função g?
(A)  ,1
(B)   3,1
(C)  , 3 
(D)  3, 

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55. Admita que o número de elementos de uma população de aves, t anos após o início de 1970,
é dado aproximadamente por
   7
5,2 10 , 0N M t
P t e t
   
em que N e M são duas constantes, denominadas, respetivamente, taxa de natalidade e taxa
de mortalidade da população.
Sem recorrer à calculadora, a não ser para efetuar eventuais cálculos numéricos, calcule
 lim
t
P t

, sabendo que N M e interprete o resultado obtido, no contexto do problema.
56. Considere a função f, de domínio , definida por   2
1 3 x
f x x e
  .
Sem recorrer à calculadora (a não ser para efetuar eventuais cálculos numéricos), mostre que,
no intervalo  1,0 , existe pelo menos um objeto cuja imagem, por meio de f, é 4.
57. De uma função f, de domínio  4,5 e contínua em todo o domínio, sabe-se que:
  4 6f   ;  2 1f   ;  5 1f  ;
 f é estritamente decrescente no intervalo  4,2 ;
 f é estritamente crescente no intervalo  2,5 .
Quantas soluções tem a equação   0f x  ?
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
58. Indique o valor de 2
0
log
lim
1x
x
x
e
 
.
(A) 0 (B) 1 (C)  (D) 
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 2ª chamada, 2003
59. Na figura está representada parte do gráfico de uma função h,
de domínio    0,5 5,  .
As retas de equações 5x  e 3y  são as únicas assíntotas do
gráfico de h.
Indique o valor de
 lim
3 xx
h x
e 
(A) 0 (B) 1 (C) 5 (D) 

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60. Seja f uma função contínua, de domínio  0,5 e contradomínio  3,4 .
Seja g a função, de domínio  0,5 , definida por    g x f x x  .
Prove que a função g tem, pelo menos, um zero.
61. Seja h uma função contínua, de domínio .
Qual dos seguintes conjuntos não pode ser o contradomínio de h?
(A) (B)   0 (C) 
(D)  0,1
62. Para um certo valor de k, é continua em a função f definida por
 
 
0 0
ln 0
se x
f x
x k se x

 
 
(A) 1 (B) 0 (C) 1 (D) 2
63. De uma função g, continua em , sabe-se que:
 1 é zero de g;
   0g x  .
Prove que a equação  
 3
2
g
g x  tem, pelo menos, uma solução no intervalo  1,3 .

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64. Seja h a função, de domínio , definida por:
 
1 0
2 0
3 2 0
x
e se x
h x se x
x se x
  

 
  
Relativamente à continuidade da função h, no ponto 0, qual das afirmações seguintes é
verdadeira?
(A) É contínua.
(B) É contínua à esquerda e descontínua à direita.
(C) É contínua à direita e descontínua à esquerda.
(D) É descontínua à esquerda e à direita.
65. De uma função f, contínua no intervalo  1,3 , sabe-se que  1 7f  e  3 4f  .
(A) A função f tem pelo menos um zero no intervalo  1,3 .
(B) A função f não tem zeros no intervalo  1,3 .
(C) A equação   5f x  tem pelo menos uma solução no intervalo  1,3 .
(C) A equação   5f x  não tem solução no intervalo  1,3 .
66. Na figura está representada parte do gráfico de uma função f, de domínio .
Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
(A)    4
lim 4
x
f x f

 e    4
lim 4
x
f x f


(B)    4
lim 4
x
f x f

 e    4
lim 4
x
f x f


(C)    4
lim 4
x
f x f

 e    4
lim 4
x
f x f


(D)    4
lim 4
x
f x f

 e    4
lim 4
x
f x f



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67. Consiedere a função f, de domínio , assim definida:
 
3 1
2 * 1
x se x
f x
x x

 

Seja  nu a sucessão definida por
1
1nu f
n
 
  
 
.
Indique qual das expressões seguintes define o termo geral de  nu .
(A)
1
1
n
 (B)
2
2
n
 (C)
3
3
n
 (D)
1
5
n

68. Na figura está desenhada parte da representação
gráfica de uma função, cujo domínio é   2 .
As retas de equações 2x  , 1y  e 0y  são
assíntotas do gráfico de f.
Seja  nx a sucessão de termo geral 2
2nx n  .
Indique o valor de  lim nf x .
(A) 0 (B) 1 (C)  (D) 
69. Qual é o limite da sucessão de termo geral 1 n
nu e
  ?
(A)  (B)  (C) 0 (D) 1
70. Considere a função g definida por  
2 5
1
x
g x
x



.
Indique qual é o valor de  1
lim
x
g x

.
(A) 0 (B) 2 (C)  (D) 

matA12
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71. De uma função h sabe-se que:
o domínio de h é   lim 0
x
h x

  0
lim
x
h x

 
Indique qual dos gráficos seguintes poderá ser o gráfico de h.
(A) (B)
(C) (D)
72. O valor de
2
1
lim 1
n
n n
 
 
 
é
(A) 1 (B)  (C) e (D)
2
e
73.  5
lim 2 x
x
x e

é
(A)  (B) 0 (C) 2 (D) 

matA12
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74. Seja g a função definida em por   5
1g x x x   .
O Teorema de Bolzano permite-nos afirmar que a equação   8g x  tem pelo menos uma
solução no intervalo
(A)  1,0 (B)  0,1 (C)  1,2 (D)  2,3
75. Uma nódoa circular de tinta é detetada sobre um tecido. O comprimento, em centímetros, do
raio dessa nódoa, t segundos após ter sido detetada, é dado por    
1 4
0
2
t
r t t
t

 

.
Calcule  0r e  lim
t
r t

e diga qual é o significado físico destes valores.
matemática A – 12º ano, exame 135, prova modelo, 1997
Bom trabalho!!

matA12
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Principais soluções
1. (B)
2. (A)
3. (A)
4.
600
n
, quando a taxa de juro tende para zero,
a mensalidade é dada pelo quociente entre o
dinheiro que pediu emprestado e o número de
prestações.
5.
6. (B)
7. (B)
8.
9.
10.(B)
11.Não é contínua
12.
3
2
k e


13.(D)
14.
15.(A)
16.  4
lim 3
x
f x


17. ln5 1k  
18.(B)
19.(A)
20.(A)
21.f é contínua em 2x 
22.(B)
23.
24. 2a  
25.
26.(B)
27.(D)
28.(D)
29.
30.(D)
31.(A)
32.Não é contínua
33.A função é continua em
34.
35.0
36.É continua em 1x 
37.(B)
38.(B)
39.
40.
41.(A)
42.
43.(D)
44.(C)
45.(D)
46.f é contínua em 0x 
47.
48.(A)
49.
50.(A)
51.(A)
52.  d x
53.(D)
54.(D)
55.  lim 0
t
P t


56.
57.(C)
58.(C)
59.(B)
60.
61.(B)
62.(C)
63.
64.(A)
65.(C)
66.(B)
67.(B)
68.(B)
69.(D)
70.(C)
71.(A)
72.(D)
73.(B)
74.(C)
75.  
1
0
2
r 
 lim 4
t
r t



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