TASAS

1. Semana 5
TASAS DE INTERES

2. Las Tasas de Interés
Debido a que la practica de las finanzas casi
siempre se opera con el régimen del interés
compuesto, las tasas de interés con las que
trabajaremos adelante estarán referidos a dicho
régimen de interés, salvo que se señale en ciertos
casos lo contrario.
Su importancia reside en que se introduce el
concepto de capitalización o periodo de
conversión de los intereses “m”, lo cual puede
realizarse varias veces dentro del termino de un
año (anual, semestral, pentamestral,
cuatrimestral, etc.).
Veamos como surgen los diferentes conceptos de
tasas:

3. Si consideramos el stock inicial y su stock final de efectivo
resultante a partir de una tasa efectiva “ief” o tasa nominal
“in” durante un horizonte temporal “n” tendremos que :
S = P ( 1 + ief ) n . . . . . (1)
S = P ( 1 + 1n) mn . . . . . (2)
m
Igualando (1) y (2) se obtiene:
P (1 + ief ) n = P (1 + in ) mn
m
Cuando las tasa de interés efectiva “ief” y nominal “in”, que
corresponden a diferentes periodos de capitalización, generan
durante el periodo de tiempo de un año (n = 1) similar stock final de
efectivo, a partir de un stock inicial dado, se afirma que ambas tasas
son equivalentes.
Tasas equivalentes
(1 + ief ) n = (1 + i n ) mn
m

4. Problemas de aplicación
Si usted efectúa un deposito de ahorro de S/: 4320,00, un
banco le anuncia una tasa efectiva de 307,35% anual. Por
su parte, una cooperativa le anuncia una tasa nominal de
149% con capitalización mensual. Se pide calcular el stock
final de efectivo, si el deposito permanece durante un año.
FORMULAS
(1 + ief) = (1 + in)m
m
S = P
P = 4320,00
1 año0

5. Calculando el stock final:
S = P(1 + ief ) = 4320,00 (1 + 3,0735) = 17597,52
S = P (1 + i n )m = 4320,00 (1 + 1,49)12 = 17597,54
m 12
Entonces ambas tasas son equivalentes.
Ahora a partir de esa RELACION GENERAL podemos comenzar
a identificar las siguientes tasas:
Es decir, de esta relación nacen la tasa efectiva, tasa
nominal, tasa proporcional y tasa equivalente. Inclusive
podemos referirnos a la tasa real.
( 1 + ief ) = (1 + i n )m
m
Tasa nominal
Tasa proporcionalTasa
equivalente
Tasa efectiva

6. TASA DE INTERES NOMINAL (in) : es la tasa básica o
aparente y sirve de base para efectuar los cálculos
pertinentes en las diversas operaciones.
TASA DE INTERES EFECTIVA ( ief ) : es aquella tasa que
resulta de aplicar a la tasa nominal, el periodo de
capitalización o conversión de los intereses. Dicha tasa
denota un rendimiento o un costo efectivo según se trate de
una operación pasiva o activa.
TASA DE INTERES PROPORCIONAL ( ip) : es la tasa que
resulta de dividir o radicar las tasas de interés nominal y
efectiva, en función al periodo de capitalización o
conversión de los intereses.
Conceptos :
in = i p . m in = [ ( 1 + i ef ) 1/m - 1 ] m
i p = _i n i p = (1 + 1 ef ) 1/m - 1
m

7. TASA DE INTERES REAL (ir) : es aquella tasa que resulta
de descontar a la tasa de interés efectiva las perdidas del
poder adquisitivo de la moneda expresado a través de la
tasa de inflación (π).
La tasa de interés real (ir) se puede calcular en forma ex-
post o ex- ante, es decir, tomando como referencia las
tasas de inflación histórica o de inflación esperada.
TASA EFECTIVA EQUIVALENTE A UNA TASA NOMINAL :
consiste en calcular la tasa efectiva “ief” en función a la
tasa nominal “in” utilizando “m” capitalizaciones o
conversiones.
i e f = (1 + i n ) m - 1
m
Continuando con la definición
ir = i e f - π
1 + π

8. Veamos el calculo de la tasa efectiva anual cuando:
La capitalización es anual ( m = 1 ) :
La capitalización es semestral ( m = 2 ) :
Como se podrá observar en el cuadro, a medida que se trabaja
con periodos de capitalización o conversión cada vez mas cortos
la tasa efectiva tiende a aumentar. Sin embargo, aquel aumento
llega a un limite cuando la capitalización es instantánea, ya sea
por conversiones minuto a minuto o segundo a segundo.
Capitalización instantánea : la tasa efectiva limite surge cuando
los intereses se capitalizan en forma instantánea; es decir en
periodos de conversión de minutos a segundos.
e = 2,718281828
i e f = (2,718281828)1,80 - 1 = 5,049647 i e f = 504,96%
Calcular la tasa efectiva desde la in 180% anual
i e f = (1 + 1,80) 2 – 1 = 2,61 i e f = 261,00%
2
i e f = (1 + 1,80) 1 – 1 = 1,80 i e f = 180,00%
1
i e f = e in - 1

9. Calcular las tasas efectivas anuales que resultan a partir de
la tasa nominal del 180% anual, dado los diferentes periodos
de capitalización de los intereses.
Problema de aplicación
Tasa
nominal
Capitalización
Tasa equivalente
Tasa
proporcional
Tasa
efectiva
180,0 %
180,0 %
180,0 %
180,0 %
180,0 %
180,0 %
180,0 %
180,0 %
180,0 %
180,0 %
180,0 %
180,0 %
m = 1 Anual
m = 2 Semestral
m = 2,4 Pentamestral
m = 3 Cuatrimestral
m = 4 Trimestral
m = 6 Bimestral
m = 12 Mensual
m = 24 Quincenal
m = 360 Diario
m = 8,64. Horario
m = 518,40 Minuto a min.
m = 31104,00 seg/seg
1,80
0,90
0,75
0,60
0,45
0,30
0,15
0,075
0,005
0,005
0, 000003472
0,000000078703
180,0%
261,00
283,08
309,60
342,05
382,68
435,03
467,29
502,26
504,85
504,96
504,96

10. Tasa nominal equivalente a una tasa
efectiva
Ahora se trata de calcular la tasa nominal “in” en
función de la tasa efectiva “ief” capitalizable o
convertible “m” veces en el año.
Una vez calculada la tasa proporcional se
procede a calcular la tasa nominal anual:
in = [ (1 + ief) 1/m - 1] m
in = i p. m

11. Calculo de la tasa efectiva de acuerdo
a la practica bancaria
Con la finalidad de elevar ligeramente la rentabilidad de los
depósitos de ahorro y hacerlo atractivo a los potenciales
ahorristas, los bancos acostumbran alterar el periodo de
capitalización en el exponente “m’ ” tomando como referencia
un año 365 días.
Donde : m = 360 días
m’ = 365 días
Problema de aplicación :
BANCO DE CREDITO : en el banco nueva máxima tasa
para todos. Ahorro 125,62% de tasa efectiva. Tasa nominal
de 83% anual, capitalización mensual
i ef = (1 +0,83)12,16 – 1 = 1,256243 i ef = 125,62%
BANCO CONTINENTAL : El máximo interés 6202,15% con
el respaldo del mayor banco del país. Tasa nominal 34,25%
mensual con capitalización diaria a 720 días o mas
i ef = ( 1 + i n ) m’ - 1
m

12. Capitalización a interés vencido y a interés
adelantado
Veamos a partir de la relación general Como se opera para
periodos de conversión a interés vencido y a interés
adelantado.
En realidad en forma implícita hemos venido utilizando la
modalidad de capitalización a interés vencido, por lo que ya
no es pertinente ahondar en ese aspecto.
En cambio es importante tratar la modalidad de conversión
a INTERES ADELANTADO al ser usado básicamente en
operaciones activas, tales como en prestamos bancarios y
en descuentos de letras.
. . . . A interés adelantado
(1 + ief) = (1 + ip)m
Donde : ip = i n . . . . A interés vencido
m
(1 + ief) = [ 1 ]m
1 - ip

13. Tasa efectiva equivalente
TASA EQUIVALENTE A UNA TASA NOMINAL MEDIANTE
CAPITALIZACION ADELANTADA.
En este caso se trata de calcular la tasa efectiva “ief” en
función a la tasa nominal “in” convertible en forma
adelantada durante “m” veces al año.
. . . . A interés adelantado
Alternativamente se puede expresar dicha ecuación de la
siguiente manera:
Cabe indicar que el banco central de reserva vía circular Nº3
del 07-02-84, permitió a los bancos el pago de interés por
adelantado; pero solo en el caso de los depósitos a plazo fijo
quedando sin efecto por medio de la circular Nº3 del 25-01-85.
(1 + i ef) = [ m ] m
m - in
(1 + i ef) = [ 1 ] m donde ip = i n
1 - ip m

14. Problema de aplicación
Examinemos el siguiente ejemplo de cómo se
anunciaban las entidades bancarias utilizando
la modalidad de interés adelantado.
BANCO INTERBANK : El banco interbank paga
hasta 101,21% anual; a partir de la tasa nominal
del 66% anual autorizada por el “BCRP”.
Capitalización por bimestre adelantado.
i ef = [ 6 ] 6 – 1 = 1,01214818
6 – 0,66
i ef = 101,21

15. Tasa nominal equivalente a una tasa
efectiva mediante capitalización adelantada
Ahora se trata de calcular la tasa nominal “i n” en función a la
tasa efectiva “i ef” capitalizable en forma adelantada durante
“m” veces al año.
Alternativamente se puede calcular previamente la tasa
proporcional:
Problemas de aplicación
Un banco anuncia una tasa efectiva de 435% anual, por los
prestamos a corto plazo cuyo periodo de repago es bajo la
modalidad de capitalización trimestral adelantada. Calcule la
tasa nominal resultante.
in = [ 1 - 1 ] m
(1 + ief) 1/m
iP = [ 1 - 1 ]
(1 + ief) 1/m
in = [ 1 - 1 ] 4 = 1,369904333 in = 136,99%
(1 + 4,35) 1/4