1. Lycée Ennozha Zaghouan Exercices sur le logarithme Mr Khemiri fawzi Page 1/2
LycéeC.Nozha.Zaghouan
Fevrier 2013
Série de révision :
Logarithme Népérien
Proposée par Mr KHEMIRI Fawzi
Sections :Tech et Sciences
Exercice1
(propriété fondamentale et conséquences)
Exprimer en fonction de ln2 et ln3, les réels :
1
ln16
2
x  ;
1
ln
2
y  ; ln36 2ln3z   ; 3
2
4ln
3
t  et
7
ln21 2ln14 3ln
8
u
 
    
 
.
Exercice2
1) Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f dans chacun des cas suivants :
 ( ) ln 2 1f x x  ;    ln 1f x x  ; ( ) lnf x x ;
2
( ) ln
1
x
f x
x
 
  
 
.
2) Soit 2
( ) ln( 1)f x x  .
a) Exprimer (3)f en fonction de ln2 .
b) Préciser l’ensemble de définition D de f.
c) Peut-on écrire, pour tout x ∈ D, ( ) ln( 1) ln( 1)f x x x    ?
Exercice 3 (dérivées)
1. Calculer la dérivée de la fonction f en précisant ses ensembles de définition et de dérivabilité.
a)
1
( ) lnf x x
x
  . b) ( ) ln 2f x x x x  . c)
1
( )
ln
f x
x
 .
d)  2
( ) lnf x x . e)
ln
( )
x
f x
x
 . f) ( ) lnf x x .
g)
1
( )
ln 1
f x
x


. h) 2
( ) ln( 1)f x x  . i)
1
( ) ln 1f x
x
 
  
 
.
2. Dresser le tableau de variation complet de f pour chacun des cas de la question 1.
Exercice 4 (primitives)
Donner une primitive F de f sur l’intervalle I dans chacun des cas suivants :
a) ( ) ln 2f x x  ;  0,I   . b)  
3
( ) ; 1,
ln
f x I
x x
   . c)  
2
ln
( ) ; 0,
x
f x I
x
   .
d) 2
2
( ) ;
1
x
f x I
x
 

e) ( ) tan ; ,
2 2
f x x I
  
    
f)
 
2
1 2
( )
1 1
f x
x x
 
 
; x>-1.
Exercice4
La courbe C ci-dessous représente une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle ]0; [I    . On note f '
la fonction dérivée de f sur l'intervalle I. Les axes du repère sont asymptotes à C. La courbe C passe par les
points (1; 1)A  et
1
;0B
e
 
 
 
et admet une tangente parallèle à l’axe des abscisses au point A.
1. En utilisant les données ci-dessus, déterminer sans justification :
a. f (1) et f '(1).
b.
0
lim ( )
x
f x

et lim ( )
x
f x

.
c. Les solutions de l'inéquation ( ) 0f x  et les solutions de l'inéquation '( ) 0f x  .
2. On admet que, pour tout réel x de l'intervalle I,
ln
( )
a b x
f x
x

 où a et b sont deux nombres réels.
a. Exprimer f '(x) en fonction des réels a et b.

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b. Utiliser les résultats de la question 1.a. pour montrer que 1a et 1b .
c. Retrouver les résultats de la question 1.c. par le calcul.
Exercice5
On considère la représentation graphique C de la fonction f définie et dérivable sur ]6;]  .
La fonction dérivée de f est notée f '. La droite T est la tangente à C au point d'abscisse 1.
On admet que la courbe C est située sous cette tangente T sur ]6;]  .
On répondra au QCM ci-après en s'appuyant sur les informations données
par le graphique.
Pour chaque question une seule réponse est exacte. L'exercice consiste à
cocher la réponse exacte sans justification.
1. L'équation réduite de la tangente T à C au point A d'abscisse 1 est :
a) 1 xy b) 2 xy c) )1(2  xy
2. L'équation f '(x) = 0 admet :
a) 1 solution b) 2 solutions c) 0 solution
3. La limite de f(x) en  est :
a)  b) 5 c) 6
4. La fonction ln f est définie sur :
a) ]6;]  b) ]6;0] c) ]6;1]
5. La fonction ln f s'annule exactement :
a) 1 fois b) 2 fois c) 0 fois
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-1 0 1 2 3 4 5 6 7
x
y
T
A
C