Giải tích - Giải các loại hệ phương trình

1. https://facebook.com/yplitgroup Hệ phương trình
Kĩ thuật Giải Hệ Phương trình
˜˜˜˜˜
I. Hệ đối xứng loại I
Là hệ gồm 2 phương trình mà khi ta thay x
bởi y
và y
bởi x
thì các phương trình trong hệ không
có gì thay đổi.
x + y = S
Cách giải: đặt  điều kiện: S 2 ≥4 P
 xy = P
Bài tập mẫu:
Bài 1: Giải hệ phương trình
 x3 + y 3 = 8
1) 
 x + y + 2 xy = 2
x 2 + y 2 = 5

2)  4
 x − x y + y = 13
2 2 4

Bài 2: Giải hệ phương trình sau:
x + y + xy =11 x3 − y 3 = 19

1)  2 2)  2 (gợi ý đặt z = -y)
x + y + 3 x + 3 y = 28
2
−x y + xy + 8 x − 8 y = 2
2

  1 
( x + y ) 1 + ÷ = 5
x + y + xy = 7

2 2
  xy 
3)  4 4) 
x + y + x y = 21
4 2 2
  x 2 + y 2 1 + 1  = 49
( )  x2 y 2 ÷
 

x 2 + xy + y 2 + 2 x + 2 y = 3 x 2 y 2 −13 y 2 +1 = 0
5)  (đặt x + 1 = u) 6) 
xy + x + 2 y = 1 3 xy + 2 x + 9 y + 3 = 0
II. Hệ đối xứng loại II
Là hệ gồm 2 phương trình mà khi ta thay bởi và bởi x y y x
thì phương trình trên trở thành
phương trình dưới và phương trình dưới trở thành phương trình trên.
Cách giải: Lấy vế trừ vế nhóm thừa số chung đưa về phương trình tích:
x = y
( x − y ).F ( x, y ) = 0 ⇔ 
F ( x; y ) = 0
Bài tập mẫu:
Bài 1: Giải hệ phương trình
 y2 + 2
 3y = 2
 x
1) (ĐHKB – 2003) 
 3x = x + 2
2

 y2
log x (3 x + 2 y ) = 2

2) 
log y (3 y + 2 x) = 2


2. https://facebook.com/yplitgroup Hệ phương trình
 x +1 + 7 − y = 4

3) 
 y +1 + 7 − x = 4

Bài 2: Giải hệ phương trình
 3
 2x + y =
 x2
1) 
2 y + x = 3

 y2
 x3 = 2 x + y

2)  3
y = 2y + x

 xy + 2 = 3 x3

 3 1
3)  2 xy − 3 x = − y

2
(gợi ý chia pt(1) cho x3, pt (2) cho x) rồi đặt z=
x
III. Hệ phương trình có yếu tố đẳng cấp
+ x m .y n có bậc m+n
. Phương trình có dạng: f ( x; y ) =0
có các số hạng ở vế trái có cùng bậc gọi là
phương trình đẳng cấp.
* Cách giải:
+ Xét có thỏa mãn hay không.
x =0
+ Xét : đặt y = kx thay vào phương trình ⇒ ⇒ ; y
x ≠0 k x
* Khi gặp phương trình có yếu tố đẳng cấp ta biến đổi 2 phương trình để tìm ra 1 phương trình hệ quả
đẳng cấp.
Bài tập: Giải hệ phương trình:
3 x 2 + 5 xy − 4 y 2 = 38
  x 2 − xy + y = 0

1)  2 2)  2
5 x − 9 xy − 3 y = 15  y − xy − 4 x = 0
2
 
 x 3 + y 2 = xy 2 + 1
  x+y − x−y =2 3

3)  4 4)  2
4 x + y = 4 x + y
4
 x + y + x − y = 12
2 2 2
 
IV: Một số kĩ thuật giải hệ phương trình
IV. 1. Kỹ thuật sử dụng các hằng đẳng thức
x 4 − 4 x 2 + y 2 − 6 y + 9 = 0

Bài tập 1: Giải hệ phương trình:  2
x y + x + 2 y = −22
2

xy − 3x − 2 y = 16
Bài tập 2: Giải hệ phương trình:  2
x + y − 2 x − 4 y = 33
2
 2 5
 x + y + x y + xy + xy = − 4
3 2

Bài tập 3: (ĐHKA – 2008) Giải hệ phương trình: 
 x 4 + y 2 + xy (1 + 2 x) = − 5

 4

3. https://facebook.com/yplitgroup Hệ phương trình
 3
4 xy + 4( x + y ) + ( x + y )2 = 7
2 2

Bài tập 4: Giải hệ phương trình: 
2 x + 1 = 3

 x+ y
IV. 2. Kỹ thuật chia 2 vế cho xn hoặc yn
 xy 2 + y = 6 x 2

Bài tập 1: Giải hệ phương trình:  2 2
x y +1 = 5x
2

 xy 2 + 6 x 2 = − y

Bài tập 2: Giải hệ phương trình:  3 3
 x y − 19 x = −1
3

−x + 7 y − xy = 1
Bài tập 3: Giải hệ phương trình:  2 2
x y + xy −13 y = −1
2
IV.3. Kỹ năng: Rút – thế
Bài tập mẫu 1: Giải các hệ phương trình sau:
x 2 − 4 x + y + 2 = 0

Câu 1: (Đại học khối B – 2010): 
2 log 2 ( x − 2) − log
 2
y =0
log 2 (3 y −1) = x
Câu 2: (Đại học khối D – 2010):  x
4 + 2 = 3 y
x 2
log 2 ( x 2 + y 2 ) = 1 + log 2 ( xy )

Câu 3: (Đại học khối A – 2009):  x2 −xy + y 2
3
 = 81
 x −1 + 2 − y = 1

Câu 4: (Đại học khối B – 2005): 
3log 9 (9 x ) − log 3 y = 3
2 3

 23 x = 5 y 2 − 4 y
 x x +1
Câu 5: Giải hệ phương trình: 4 + 2
 x =y
 2 +2
 1
log 1 ( y − x ) − log 4  ÷ = 1 (1)
Câu 6: Giải hệ phương trình:  4  y
 2
 x + y = 25 (2)
2
Bài tập mẫu 2: Giải các hệ phương trình sau:
xy + x + y = x 2 − 2 y 2

Câu 1: (Đại học khối D – 2008): 
 x 2 y − y x −1 = 2 x − 2 y

 xy + x +1 = 7 y
Câu 2: (Đại học khối B – 2009):  2 2
 x y + xy + 1 = 13 y
2

4. https://facebook.com/yplitgroup Hệ phương trình
 x ( x + y + 1) − 3 = 0

Câu 3: (Đại học khối D – 2009):  5
( x + y ) − x 2 + 1 = 0
2

5 x 2 y − 4 xy 2 + 3 y 3 − 2( x + y ) = 0

Câu 4: (Đại học khối A – 2011): 
xy ( x + y ) + 2 = ( x + y )
2 2 2

x 4 + 2 x 3 y + x 2 y 2 = 2 x + 9

Câu 5: (Đại học khối B – 2008):  2
x + 2 xy = 6 x + 6

 1 1
x − = y −
Câu6: Giải hệ phương trình:  x y
 2 y = x3 + 1

3 x − y = x − y

Câu 7: Giải hệ phương trình: 
x + y = x + y + 2

x 2 + 2 x + y 2 + y = 3 − xy
Câu 8: Giải hệ phương trình: 
xy + x + 2 y = 1
IV.4. KỸ NĂNG ĐẶT ẨN PHỤ
Kiểu 1: Biến đổi hệ đã cho thành hệ chỉ chứa đúng hai đại lượng. Sau đó đặt một đại lượng bằng u, đại
lượng còn lại bằng v. Khi đó ta được hệ hai ẩn u, v ở dạng đơn giản.
Bài tập mẫu: Giải hệ phương trình:
x + y + x 2 + y 2 = 8
Bài 1: Giải hệ phương trình: 
 xy ( x + 1)( y +1) = 12
  1 
( x + y )  1 + ÷ = 5
  xy 
Bài 2: Giải hệ phương trình: 
( x 2 + y 2 )  1 + 1  = 49
  2 2 ÷
  x y 
 2 5
 x + y + x y + xy + xy = − 4
3 2

Bài 3: (ĐHKA 2008): Giải hệ phương trình: 
 x 4 + y 2 + xy (1 + 2 x ) = − 5

 4
 x + y − xy = 3

Bài 4: (ĐHKA – 2006) 
 x +1 + y +1 = 4

 x + y =3

Bài 5: 
 x +5 + y +3 = 5
