1. 1
Berreketa 3. DBH
Alfredo Ortega Loza
Unitate honetan, hauek ikasi edo gogoratuko ditugu:
•Berreketaren definizioa
•Berreketaren propietateak
•Berreketekin nola lan egin
•Idazkera zientifikoa

2. 2 Berreketaren definizioa
Berreketak biderketa errepikatuak dira:
3·3·3·3·3·3·3 = 2.187
Horrela idatzi beharrean, honela
idatziko dugu:
37
= 2.187
Eragiketa berri bat sortu dugu. Orain,
eragiketa hori adierazteko izenak eta
propietateak aztertu behar ditugu.
(Kopiatu koadernoan)

3. 3 Hiztegia
Errepikatzen den biderkagaiari berrekizun
esango diogu.
Zenbat aldiz errepikatzen den adierazten duen
zenbakiari berretzaile deituko diogu.
Berreketaren emaitzari, berriz, berretura
esango diogu.
Honela:
Berretzaile
Berrekizuna Berretura
Kopiatu koadernoan
37
= 2.187

4. 4 Ariketak
Idatzi berreketa hauen emaitza eta adierazi zein
diren berrekizuna, berretzailea eta berretura:
1) 25
9) 51
2) 32
10) (1/5)3
3) (–4)3
11) (–3)2
4) (1/2)3
12) (–1/5)1
5) 1/(34
) 13) –34
6) (–1/3)2
14) 106
7) –(1/2)2
15) (–100)4
8) –43
16) (–7)3
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

5. 5 Propietateak
a) Berrekizun bereko berreketen biderkadura:
32
· 34
= 3·3·3·3·3·3 = 36
= 32+4
23
· 24
= 2·2·2·2·2·2·2 = 27
= 23+4
ax
· ay
= ax + y
Berrekizun berbera duten berreketen arteko
biderkadura beste berreketa bat izango da.
Berrekizuna aurreko berrekizunen berdina
izango da; berretzailea, ostera, aurreko
berretzaileen arteko batura izango da.
Kopiatu koadernoan

6. 6 Propietateak
b) Berrekizun bereko berreketen zatidura:
Berrekizun berbera duten berreketen arteko zatidura
beste berreketa bat izango da. Berrekizuna aurreko
berrekizunen berdina izango da; berretzailea, berriz,
aurreko berretzaileen arteko kendura izango da.
Kopiatu koadernoan
=2
4
3
3
=
⋅
⋅⋅⋅
33
3333
=
/⋅/
/⋅/⋅⋅
33
3333
=2
3 24
3 −
=3
4
2
2
=
⋅⋅
⋅⋅⋅
222
2222
=
/⋅/⋅/
/⋅/⋅/⋅
222
2222
=1
2 34
2 −
=y
x
a
a yx
a −

7. 7 Ariketak
Honako ariketak hauek egin (emaitzak berreketa
eran eman):
=⋅ 25
33)17
=





⋅





3
2
3
2
)18
3
=2
3
3
)19
=





⋅





26
5
1
5
1
)25
( )
( )
=
−
−
5
4
3
3
)21
=⋅ 132
22)22
=7
5
2
2
)23
( )
( )
=7
4
3
3
)24
=






−






−
7
4
3
1
3
1
)20
( )
( )
=
−
−
3
4
7,1
7,1
)26
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

8. 8 Propietateak
c) Berretzaile bereko berreketen biderkadura:
32
·42
= 3·3·4·4 = (3·4)·(3·4) = (3·4)2
23
·53
= 2·2·2·5·5·5 = (2·5)·(2·5)·(2·5) = (2·5)3
ax
·bx
= (a·b)x
Berretzaile berbera duten berreketen arteko
biderkadura beste berreketa bat izango da.
Berrekizuna aurreko berrekizunen arteko
biderkadura izango da; berretzailea, berriz,
aurreko berretzaileen berdina izango da.
Kopiatu koadernoan

9. 9 Propietateak
d) Berretzaile bereko berreketen zatidura:
Berretzaile berbera duten berreketen arteko zatidura
beste berreketa bat izango da. Berrekizuna aurreko
berrekizunen arteko zatidura izango da; berretzailea,
ostera, aurreko berretzaileen berdina izango da.
Kopiatu koadernoan
=4
4
2
3
=
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
2222
3333
=⋅⋅⋅
2
3
2
3
2
3
2
3
4
2
3






=3
3
2
5
=
⋅⋅
⋅⋅
222
555
=⋅⋅
2
5
2
5
2
5
3
2
5






=x
x
b
a x
b
a







10. 10 Ariketak
Honako ariketa hauek egin (emaitzak berreketa
eran eman):
=⋅ 22
53)27
=3
3
20
100
)28
=⋅




 7
7
2
2
1
)29
=





⋅





84
3
2
3
2
)35
( ) ( ) =−⋅−
33
72)31
=27
27
143
286
)32
( ) ( ) =−⋅−
55
73)33
( )
( )
=
−
−
7
7
7,0
8,2
)34
=3
3
718
436.1
)30
=






−






−
−
2
3
7
1
7
1
)36
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean
klik eginda, emaitzak azalduko dira

11. 11 Propietateak
e) Berreketa baten berretura:
Berreketa baten berretura beste berreketa bat izango
da. Berrekizuna aurreko bera izango da; berretzailea,
berriz, aurreko berretzaileen arteko biderkadura
izango da.
Kopiatu koadernoan
( ) =
24
3 ( ) =⋅⋅⋅
2
3333 ( ) ( ) =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 33333333 =8
3
( ) =
32
5 ( ) =⋅
3
55 =⋅⋅⋅⋅⋅ )55()55()55( =6
5
( ) =
nm
a nm
a ⋅
24
3 ⋅
32
5 ⋅

12. 12 Propietateak
f) Berretzailea zero denean:
Edozein zenbaki ber zero 1 izango da.
Kopiatu koadernoan
=4
4
3
3
=−44
3 0
3
1
=2
2
5
5 =−22
5 0
5
10
=a
1

13. 13 Ariketak
Honako ariketa hauek egin (emaitzak berreketa
eran eman):
=0
7)37
( ) =
52
3)38
( ) =−
0
5)39
( )[ ] =−
−68
5)40
=














32
5
1
)41
=





0
8
1
)42
=





−⋅





−
52
4
3
4
3
)43
=13
13
241
482
)44
( )
( )
=
−
−
3
17
4
4
)45
=⋅ 88
32)46
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

14. 14 Propietateak
g) Berretzailea negatiboa denean:
Zenbaki batek berretzaile negatiboa duenean,
zenbaki horren alderantzizkoa idatziko dugu eta
berretzaileari zeinua aldatuko diogu.
Kopiatu koadernoan
=6
4
3
3
=−64
3 2
3−
=
⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
333333
3333
=6
2
5
5
=−62
5 4
5−
;
11
n
n
n
aa
a 





==−
=
⋅⋅⋅⋅⋅
⋅
555555
55
=
⋅⋅/⋅/⋅/⋅/
/⋅/⋅/⋅/
333333
3333
2
3
1
=
⋅⋅⋅⋅/⋅/
/⋅/
555555
55
4
5
1
nn
a
b
b
a






=





−

15. 15 Propietateak
h) Berrekizuna negatiboa eta berretzailea
bakoitia edo bikoitia denean:
Berrekizuna negatiboa eta berretzailea bakoitia denean,
emaitza negatiboa izango da beti. Aldiz, berretzailea
bikoitia denean emaitza positiboa izango da beti.
Kopiatu koadernoan
( ) 22
1
−=−
( ) ( ) ( ) 4222
2
=−⋅−=−
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8242222
3
−=−⋅=−⋅−⋅−=−
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 164422222
4
=⋅=−⋅−⋅−⋅−=−
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 32244222222
5
−=−⋅⋅=−⋅−⋅−⋅−⋅−=−
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 644442222222
6
=⋅⋅=−⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−=−

16. 16 Ariketak
Honako ariketa hauek egin (emaitzak berreketa
eran eman):
=−2
3)47
=−3
5)48
( ) =−
−2
5)49
=





−2
5
1
)50
=





−
0
2
3
)51
=





−
−3
2
1
)52
=−5
7)53
( ) =−
−5
7)54
=





−5
7
1
)55
=





−
−5
7
1
)56
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

17. 17 Ariketak
Honako ariketa hauek egin (emaitzak faktore
lehenen berreketa eran eman):
( ) =⋅
542
33)57
=














23
5
3
)58
=⋅ 32
24)59
=⋅− 22
33)60
=−2
27)61
( ) =
24
9)62
=3
25)63
( ) =
35
8)64
( ) =




 −
23
9
3
)65
=7
7
5
125
)66
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

18. 18 Ariketak
2
22
43
32:EMA.
23
32)67 ⋅
⋅
⋅
73
5
:EMA.
5732
2573
)68
4
3242
273
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
13
2113
:EMA.
13325
11532)69
3
222
253
⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
32:EMA.
234
892)70 2
2
3
⋅
⋅⋅
⋅⋅
5
2
25
124
3
2:EMA.
3982
9342)71
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
−
−−
( ) ( ) 357
1
:EMA.
8175257
355749
)73 522
3230
⋅⋅⋅−⋅−⋅⋅
⋅⋅⋅⋅ -
4
3
3
22
2
7
:EMA.
324952125
525343716
)72
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
( ) ( ) 632
230
7
5
:EMA.
75357
2557749
)74 −
−⋅−⋅⋅
⋅⋅⋅⋅ -
Egin honako ariketa hauek eta eman emaitzak berreketa
eran (batzuetan faktore lehenen berreketa eran idatzi
beharko dituzu):
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

19. 19 Ariketak
Berreketen propietateak erabiliz, honako hauek kalkulatu:
81:EMA.
3
9
)75 4
4
32:EMA.
728.1
456.3
)76 5
5
25:EMA.
5
5
)77 43
45
64:EMA.
2
8
)79 3
−
−
-
8
1
:EMA.
4
8
)80 3
3
−
−


















3
7
3
4
3
11
2:EMA.
2
2
)81 x
x
x
( ) ( ) ( ) 322:EMA.
3
2
32)82
10
5
55
=







⋅⋅100:EMA.1010)78 75
⋅−
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

20. 20 Ariketak
Berreketen propietateak erabiliz, honako hauek kalkulatu:












−⋅





−
4
3
:EMA.
8
9
3
2
)83
666












⋅





3
1
:EMA.
6
5
5
2
)84
444
a
a
16:EMA.2)85 4
16
1
:EMA.2)86 4−
16:EMA.2)87 4
−−
16
1
:EMA.2)88 4
−− −
( ) 16:EMA.2)89
4
−
( )
16
1
:EMA.2)90
4−
−
644
2:EMA.2)91
3
( ) 1234
2:EMA.2)92
9
1
:EMA.3)94 2−
9:EMA.3)95 2
−−
9
1
:EMA.3)96 2
−− −
( ) 9:EMA.3)97
2
−
( )
9
1
:EMA.3)98
2−
−
162
3:EMA.3)99
4
( ) 842
3:EMA.3)100
9:EMA.3)93 2
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

21. 21 Idazkera zientifikoa
Zenbaki oso handiak edo oso txikiak adierazteko, idazkera
zientifikoa erabiltzen da.
Idazkera zientifikoak hamarren berreketak erabiltzen ditu:
1.000.000 = 1·106
= 106
0,000 01 = 1·10–5
= 10–5
15.260.000 = 1,526·107
0,000 35 1 = 3,51·10–4
Idazkera zientifikoan, honako hauek azalduko zaizkigu beti:
zero ez den zifra bat, koma bat eta, ondoren, beste zifra
guztiak; bukatzeko, aurreko dena biderkatzen, hamarren
berreketa agertuko da. Berreketaren berretzailea positiboa
edo negatiboa izan daiteke.
Kopiatu koadernoan

22. 22 Idazkera zientifikoa
Nola egiten da bihurketa? Hona adibide bat: 3.905.000.000
Kopiatu koadernoan
Idazkera zientifikoak 3,905 idatzi behar dugula agintzen
digu.
Ondoren, hamarren berreketa idatzi behar dugu.
Hasierako zenbakia zati 1.000.000.000 egin dugunez
(azkeneko zifran ikusten ez den koma 9 leku mugitu dugu
ezkerretara), orain, berdinketa lortzeko, bider 109
egin
behar dugu. Era horretan, berreketaren bidez handitu
dugu lehen txikitutakoa.
=000.000.905.3 905,3 9
10⋅

23. 23 Idazkera zientifikoa
Kopiatu koadernoan
←
000.000.905.3
10Zati
0,00.000.905.3
←
10Zati
10Zati
00,0.000.905.3
←
10Zati
10Zati
10Zati
000,000.905.3
←
10Zati
10Zati
10Zati
10Zati
000.0,00.905.3
←
10Zati
10Zati
10Zati
10Zati
10Zati
000.00,0.905.3
←
10Zati
10Zati
10Zati
10Zati
10Zati
10Zati
000.000,590.3
←
10Zati
10Zati
10Zati
10Zati
10Zati
10Zati
10Zati
000.000.5,09.3
←
10Zati
10Zati
10Zati
10Zati
10Zati
10Zati
10Zati
10Zati
000.000.05,9.3
←
10Zati
10Zati
10Zati
10Zati
10Zati
10Zati
10Zati
10Zati
10Zati
000.000.905,3
Gauza bera
dira zati 10
bederatzi aldiz
egitea eta zati
1.000.000.000
(edo zati 109
)
behin egitea.

24. 24 Idazkera zientifikoa
Beste adibide bat: 0,000 000 265
Kopiatu koadernoan
=265000000,0
Idazkera zientifikoak 2,65 idatzi behar dugula agintzen
digu.
65,2
Ondoren, hamarren berreketa jarri behar dugu. Hasierako
zenbakia bider 10.000.000 egin dugunez (koma 7 leku
mugitu dugu eskuinetara), berdinketa lortzeko bider 10–7
egin beharko dugu orain. Era horretan, berreketaren bidez
txikitu dugu lehen handitutakoa.
7
10−
⋅

25. 25 Idazkera zientifikoa
Kopiatu koadernoan
265000000,0
→
Gauza bera dira
bider 10 zazpi
aldiz egitea eta
bider 10.000.000
(edo bider 107
)
behin egitea.
10Bider
26500000,00
→
10Bider
10Bider
2650000,000
→
10Bider
10Bider
10Bider
265000,0000
→
10Bider
10Bider
10Bider
10Bider
26500,00000
→
10Bider
10Bider
10Bider
10Bider
10Bider
2650,000000
→
10Bider
10Bider
10Bider
10Bider
10Bider
10Bider
652,0000000
→
10Bider
10Bider
10Bider
10Bider
10Bider
10Bider
10Bider
65,20000000

26. 26 Ariketak
Pasatu idazkera zientifikora:
101) 1.000 108) 0,001
102) 30.000 109) 0,000 06
103) 3.620.000 110) 0,000 013 4
104) 103 700 111) 0,000 326
105) 0,001 04 112) 10.000.000.000.000
106) 0,000 000 029 8 113) 259.800.000
107) 3.000.000.000 114) 0,000 000 069 2
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

27. 27 Ariketak
Idatzi euskaraz, letratan:
Adibideak: 2 · 106
= 2.000.000 = bi milioi
4 · 10–6
= 0,000 004 = lau milioiren
115) 103
118) 4 · 10–1
116) 6 · 102
119) 7 · 10–6
117) –5 · 105
120) 2 · 10–3
Idatzi idazkera zientifikoan:
121) Zazpi milaren 124) Lau hamarmilako
122) Bostehun mila 125) Sei ehunen
123) Hogeita bost ehunen 126) Hamahiru ehuneko
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

28. 28 Eragiketak, idazkera zientifikoan
Batuketak eta kenketak:
Adibidea: 2,57 · 104
+ 1,14 · 103
2,57 · 104
+ 1,14 · 103
=
= 2,57 · 104
+ 0,114 · 104
= 2,684 · 104
Adibidea: 2,57 · 10–5
– 1,14 · 10–4
2,57 · 10–5
– 1,14 · 10–4
= 0,257 · 10–4
– 1,14 · 10–4
=
= –0,883 · 10–4
= –8,83 · 10–5
Kopiatu koadernoan
Hamarren berretzaileak
berdindu, handiena jarrita
= (2,57 + 0,114) · 104
= (0,257 – 1,14) · 10–4
Komadunen arteko eragiketa
egin
Idazkera zientifikoan
berridatzi

29. 29 Ariketak
Egin honako batuketa eta kenketa hauek:
127) 3,56 · 105
+ 1,34 · 106
128) 5,18 · 10–3
+ 4,07 · 10–4
129) 6,82 · 109
– 6,59 · 108
130) 4,06 · 10–7
– 8,12 · 10–6
131) 2,67 · 1045
+ 9,06 · 1044
132) 7,91 · 1023
– 6,73 · 1024
133) 8,49 · 10–12
– 3,81 · 10–13
134) 9,75 · 10459
+ 7,25 · 10458
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

30. 30 Eragiketak, idazkera zientifikoan
Biderketak eta zatiketak:
Adibidea: (3,12 · 104
) · (5,94 · 103
)
(3,12 · 104
) · (5,94 · 103
) = (3,12 · 5,94) · (104
· 103
) =
= 18,532 8 · 107
= 1,8532 8 · 108
Adibidea: (2,57 · 10–5
) / (1,14 · 10–4
)
Kopiatu koadernoan
=
⋅
⋅
4–
–5
101,14
102,57
=⋅ 4–
–5
10
10
1,14
2,57 ( )
=⋅ −− 4–5
1025,2 225,01025,2 –1
=⋅
Elkartu berretzailea
duten biderkagaiak, eta
egin eragiketak

31. 31 Ariketak
Egin honako batuketa eta kenketa hauek:
135) (3,56 · 109
) · (1,34 · 1065
)
136) (3,18 · 106
) / (4,07 · 10–41
)
137) (2,82 · 10–12
) / (6,59 · 108
)
138) (4,06 · 10–23
) · (8,12 · 10–16
)
139) (2,67 · 10–56
) · (9,06 · 10–44
)
140) (9,91 · 1023
) / (6,73 · 1039
)
141) 3,51 · 10–7
– 2,69 · 10–6
142) 6,04 · 1048
+ 7,83 · 1048
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira

32. 32
Buruketa
k
143) Protoi baten erradioa 1,5 · 10–18
m da. Protoiak esfera-
itxura duela jakinda, kalkulatu protoiaren bolumena. (Esferaren
bolumena: V = 4/3 πr3
). EMA.: 1,42 · 10–53
m3
.
144) 56 g burdinak 6,023 · 1023
atomo ditu. Zenbat atomo ditu 1
kg burdinak? EMA.: 1,1 · 1025
atomo.
145) Izaki bizidunik txikiena birusa da, eta haren pisua 10–21
kg
ingurukoa da; izakirik handiena, berriz, balea urdina da, eta
haren pisua 1,38 · 105
kg da. Zenbat birus beharko lirateke
balea urdin baten pisua lortzeko? EMA.: 1,38 · 1026
birus.
146) Kalkulatu zenbat km egingo dituen argiak urtebetean.
Idatzi idazkera zientifikoan, 2 zifra hamartarrez.
(Urtea: 365 egun, vargia = 300.000 km/s). EMA.: 9,45 · 1012
km.
Kopiatu eta egin koadernoan - Ariketen gainean klik eginda, emaitzak azalduko dira
147) Jolasa