20140727_第1回スポーツデータアナリティクス基礎講座
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2014年7月27日に立教大学池袋キャンパスで開催された第１回スポーツデータアナリティクス基礎講座の講演資料です。 【お詫び】傾向スコアの導出の際に、対数オッズ比（log odds ratio）という表現を使っておりましたが、正しくは「対数オッズ」（log odds）です。申し訳ありませんでした。資料等に間違いの箇所がございますので、ご注意頂ければと思います。
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20140727_第1回スポーツデータアナリティクス基礎講座
- 1. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 傾向スコアを適用した因果効果の検証 発表者名 慶應義塾大学大学院理工学研究科修士１年中村知繁 慶應義塾大学理工学部４年小河有史 共同研究者名 慶應義塾大学理工学部 南 美穂子 慶應義塾大学大学院理工学研究科 近藤 立志、木口 亮、田曽 忠将 慶應義塾大学理工学部 江本 遼、木村 拓央、中山 直人 2014 年度南研究室卒業研究生, 他 July 26, 2014 1 / 110
- 2. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 目次 1 はじめに 2 シチュエーションの整理 3 欠測の調整方法 4 IPW 推定量について 5 ダブルロバスト推定量 6 前半のまとめ 7 傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析 8 今後の課題と展望 2 / 110
- 4. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 1 はじめに 2 シチュエーションの整理 3 欠測の調整方法 4 IPW 推定量について 5 ダブルロバスト推定量 6 前半のまとめ 7 傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析 8 今後の課題と展望 4 / 110
- 5. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 研究背景とモチベーション 研究背景 2013 年に開催された第 3 回スポーツデータ解析コンペティ ションにおいて慶應義塾大学理工学部南研究室で行われた研究 をもとに発表します。 モチベーション 本研究は、前年度この研究を担当した中山君の疑問から始まり ました。 5 / 110
- 6. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 研究背景とモチベーション 研究背景 2013 年に開催された第 3 回スポーツデータ解析コンペティ ションにおいて慶應義塾大学理工学部南研究室で行われた研究 をもとに発表します。 モチベーション 本研究は、前年度この研究を担当した中山君の疑問から始まり ました。 「僕は、バントが苦手なんですけど、本当に効果あるのか確か めたいです。」 5 / 110
- 7. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 研究背景とモチベーション 研究背景 2013 年に開催された第 3 回スポーツデータ解析コンペティ ションにおいて慶應義塾大学理工学部南研究室で行われた研究 をもとに発表します。 モチベーション 本研究は、前年度この研究を担当した中山君の疑問から始まり ました。 「僕は、バントが苦手なんですけど、本当に効果あるのか確か めたいです。」 「もしないなら、バントしないで野球できる！」 5 / 110
- 8. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 研究背景とモチベーション 研究背景 2013 年に開催された第 3 回スポーツデータ解析コンペティ ションにおいて慶應義塾大学理工学部南研究室で行われた研究 をもとに発表します。 モチベーション 本研究は、前年度この研究を担当した中山君の疑問から始まり ました。 「僕は、バントが苦手なんですけど、本当に効果あるのか確か めたいです。」 「もしないなら、バントしないで野球できる！」 「大リーグってバントしねーじゃん！」 5 / 110
- 9. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 犠牲バントとはどのような戦術なのか？ 犠牲バントとは？ ランナーが存在し、かつアウトカウントが１以下のとき、監督 が選択可能 自分はアウトになるかわりにランナーは次の塁へ 利点と欠点 ＋ 得点圏にランナーを進められる ＋ ダブルプレーのリスクを抑えられる ー アウトカウントを与えてしまう 犠牲バントは本当に必要なのか？？ 6 / 110
- 10. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 解析対象とするシチュエーション 全シチュエーションを考えるのは難しいので、ケースを絞った。 今回の解析対象 2010∼2012 年の日本プロ野球全試合 (提供元：データスタジア ム様) 0 死 1 塁のケース → 合計 3353 のケースを分析 さらに今回のテーマとして次を設定。 今回のテーマ バント作戦を取ったか否かが、そのイニングでの得点するかどうか や得点数に影響を及ぼしているかどうか 7 / 110
- 11. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 単純な比較の方法 バントの効果を単純な平均の比較で考えてみる 全 3353 場面中 · · · バント作戦をとった場面 343 場面中 93 場面得点が入った → 得点する確率 ＝ 0.271 バント作戦をとらなかった場面 3010 場面中 743 場面得点が入った → 得点する確率 ＝ 0.247 これだけだとバント作戦のほうがよさそう しかし、それぞれの平均を直接比較していいのか？？ 8 / 110
- 12. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 1 はじめに 2 シチュエーションの整理 3 欠測の調整方法 4 IPW 推定量について 5 ダブルロバスト推定量 6 前半のまとめ 7 傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析 8 今後の課題と展望 9 / 110
- 14. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 バントによる因果効果の数学的な位置づけ 確率変数 z：割り当て変数 バントをしたとき 1、しなかったとき 0 (y(1) , y(0) )：結果変数 y(1) はバントしたときの得点の有無や得点数 y(0) はバントしなかったときの得点の有無や得点数 バントするか否かにかかわらず、常に (y(1) , y(0) ) の二つの潜在的な 結果変数が存在 この考え方は Rubin の因果モデルと呼ばれる (Rubin(1974)) 11 / 110
- 16. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 解析において比較したいもの 今回の場合は次のような期待値の比較をするのが目的 バントの因果効果 E[y(1) ] − E[y(0) ] E[y(1) ] ：全ての場面でバントしたときの得点の有無 （or 得点数）の期待値 E[y(0) ] ：全ての場面でバントしなかったときの得点の有無 （or 得点数）の期待値 この値を推定することが今回のゴール！ 13 / 110
- 17. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 因果推論の根本問題 先ほどの単純比較は正しい比較になっていない！ 欲しいのは E[y(1) ] − E[y(0) ] であり、これには欠測したデータを調整 する必要がある 14 / 110
- 18. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 バントによる因果効果の数学的な位置づけ 実際の問題 i ：各場面の番号 (i = 1, 2, · · ·, N) zi：各場面でバントしたかどうか y (1) i ：その場面でバントしたときの得点有無や得点数 y (0) i ：その場面でバントしなかったときの得点有無 や得点数 zi = 1 のとき → y (1) i が観測され y (0) i が欠測 zi = 0 のとき → y (0) i が観測され y (1) i が欠測 15 / 110
- 19. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 バントによる因果効果の数学的な位置づけ 実際の問題 i ：各場面の番号 (i = 1, 2, · · ·, N) zi：各場面でバントしたかどうか y (1) i ：その場面でバントしたときの得点有無や得点数 y (0) i ：その場面でバントしなかったときの得点有無 や得点数 zi = 1 のとき → y (1) i が観測され y (0) i が欠測 zi = 0 のとき → y (0) i が観測され y (1) i が欠測 欲しいのは E[y(1) ] − E[y(0) ] ← Rubin の因果効果とも 単純比較は E[y(1) |z = 1] − E[y(0) |z = 0] 15 / 110
- 21. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 欠測を調整して期待値を計算する方法...?? ここまでのまとめ もしバントしたときの得点の有無を y(1) 、しなかっ たときを y(0) 知りたいのは E[y(1) ] − E[y(0) ] 欠測したデータの調整が必要 17 / 110
- 22. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 欠測を調整して期待値を計算する方法...?? ここまでのまとめ もしバントしたときの得点の有無を y(1) 、しなかっ たときを y(0) 知りたいのは E[y(1) ] − E[y(0) ] 欠測したデータの調整が必要 どうにか因果効果を計算する方法を考える必要がある。 → どうすればいいだろうか？ 17 / 110
- 23. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 1 はじめに 2 シチュエーションの整理 3 欠測の調整方法 4 IPW 推定量について 5 ダブルロバスト推定量 6 前半のまとめ 7 傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析 8 今後の課題と展望 18 / 110
- 24. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 選択バイアスという問題 （参考：Rosenbaum and Rubin,1983） なぜ欠測した部分の調整が必要なのか？ なぜ E[y(1) ] − E[y(0) ] が単純比較と等しくないのか？？ → 選択バイアスという問題 19 / 110
- 25. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 選択バイアスという問題 （参考：Rosenbaum and Rubin,1983） なぜ欠測した部分の調整が必要なのか？ なぜ E[y(1) ] − E[y(0) ] が単純比較と等しくないのか？？ → 選択バイアスという問題 選択バイアス バントするか否かは様々な変量の影響を受けており、それらは y(1) や y(0) にも同時に影響を及ぼしている 19 / 110
- 26. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 選択バイアスという問題 （参考：Rosenbaum and Rubin,1983） なぜ欠測した部分の調整が必要なのか？ なぜ E[y(1) ] − E[y(0) ] が単純比較と等しくないのか？？ → 選択バイアスという問題 選択バイアス バントするか否かは様々な変量の影響を受けており、それらは y(1) や y(0) にも同時に影響を及ぼしている これらの変量を共変量と呼ぶ。打者の能力や点差などが例。 例）打者の打率や HR 数が大きい → あまりバントしない＆得点する確率 UP 19 / 110
- 27. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 共変量の影響 共変量：z と (y(1) , y(0) ) のどちらにも影響を与える変数 20 / 110
- 28. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 選択バイアスの補正とは？ z と (y(1) , y(0) ) は x の影響を受けている → 得られている部分と欠測している部分では分布が違 う。つまり質的な偏り（＝選択バイアス）が存在 → 欠測している部分を無視して解析するのは危険！ 21 / 110
- 29. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 選択バイアスの補正とは？ z と (y(1) , y(0) ) は x の影響を受けている → 得られている部分と欠測している部分では分布が違 う。つまり質的な偏り（＝選択バイアス）が存在 → 欠測している部分を無視して解析するのは危険！ もしこの選択バイアスの補正をしないまま考察すると · · · 例 バントしたケースでは次のバッターの打率が高いケースが多い と思われる。 → バントしたとき得点する確率が上がったように見えるのはこの 影響がでているだけでは？？ → バントの効果を正確に測れていない 21 / 110
- 30. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 解析に必要な仮定 強く無視できる割り当て （Strongly Ignorable Treatment Assignment） (y(1) , y(0) ) ⊥⊥ z x が成立するとき、割り当てが「強く無視できる」「強い意味で無視可 能」と定義する。 (y(1) , y(0) ) への z の影響はあくまで「x と z の関係」のみを通じて 間接的に存在 22 / 110
- 32. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 傾向スコア 直感的な定義 選択バイアスを補正し、欠測部分を調整するために考え出されたの が傾向スコア 傾向スコア 共変量 x が与えられたときのバントする確率のこと 23 / 110
- 33. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 傾向スコア 直感的な定義 選択バイアスを補正し、欠測部分を調整するために考え出されたの が傾向スコア 傾向スコア 共変量 x が与えられたときのバントする確率のこと 傾向スコアが大きい ＝ その状況下ではバントする確率 が高い 傾向スコアが小さい ＝ その状況下ではバントしない確率 が高い 23 / 110
- 34. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 傾向スコア 数学的な定義 バントするかどうかという変数：z|x ∼ ベルヌーイ分布 共変量：x (打率、点差など) 傾向スコアの定義 x が与えられたときのバントする確率 e e = e(x) = P(z = 1|x) を傾向スコアという。 （注）0 < e(x) < 1 とする。 24 / 110
- 35. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 傾向スコア 直感的な理解 傾向スコアが高いときは具体的にどんなときか？？ 傾向スコアが高い ＝ バントする確率が高い 予想される例 バッターの打順が２番や９番 バッターの HR 数が少ない・長打力がない 相手との点差が小さい 次のバッターの打率が高い 傾向スコアが低い＝バントする確率が低い場合はこの逆 25 / 110
- 36. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 強く無視できる割り当ての仮定と傾向スコア 強く無視できる割り当てと傾向スコアの関係について 定理 強く無視できる割り当てと傾向スコア 割り当てが強く無視できる割り当てであるとき (y(1) , y(0) ) ⊥⊥ z e(x) が成立。 z が強く無視できる割り当てなら (y(1) , y(0) ) と z の独立性の成立は e(x) を与えるだけで十分。x の分布を考える必要がない。 26 / 110
- 37. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 なぜ傾向スコアを考えるのか？ 欠測したデータのせいで、E[y(1) ] や E[y(0) ] がわからない。 ↓ 共変量の情報と強く無視できる割り当ての仮定より、欠 測した部分を調整したい。 ↓ 傾向スコアで調整することで得られたデータのみから E[y(1) ] や E[y(0) ] のよい推定量を作れる！ (後述) 27 / 110
- 38. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 野球データでの傾向スコアの求め方 傾向スコアの真値はわからない。 よって何らかのモデルを仮定して推定する必要あり。 傾向スコア e(xi) = P(zi = 1|xi) 今回のモデル：ロジスティック回帰モデル zi|xi = ⎧ ⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎩ 1 with probability e(xi) 0 with probability 1 − e(xi) log e(xi) 1 − e(xi) = xi Tβ 注）β は係数ベクトル 28 / 110
- 39. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 共変量の設定 今回説明変数として設定した変量は以下の１５変量。 z を説明するであろうと考えた変量。 打順 試合が行われた月 イニング 打率 次の打者の打率 投手の防御率 点差 投手の WHIP 打者の HR 数 OPS 投手の利き腕 打者の利き腕 チーム 点差とイニングの交互作用 投手の利き腕と打者の利き 腕の交互作用 注）データの補完に関して 打席の少ない選手の OPS や打率は全選手の平均を代用。投手も同様。 29 / 110
- 40. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 1 はじめに 2 シチュエーションの整理 3 欠測の調整方法 4 IPW 推定量について 5 ダブルロバスト推定量 6 前半のまとめ 7 傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析 8 今後の課題と展望 30 / 110
- 41. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 E[y(1) ] − E[y(0) ] の推定 目的意識 得られたデータから E[y(1) ] − E[y(0) ] の推定をしたい。 IPW 推定量と呼ばれる推定量が使える。 Rubin(1985) によって提案 傾向スコアを使用 E[y(1) ] と E[y(0) ] をそれぞれ推定する一致推定量 31 / 110
- 42. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 IPW 推定量 数学的な定義 IPW 推定量 Inverse Probability Weighted Estimator ˆEIPW [y(1) ] = N i=1 zi ei yi N j=1 zj ej ˆEIPW [y(0) ] = N i=1 1 − zi 1 − ei yi N j=1 1 − zj 1 − ej 注）yi について yi = ⎧ ⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎩ y (1) i (zi = 1) y (0) i (zi = 0) 32 / 110
- 43. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 IPW 推定量 直感的な理解 IPW 推定量 ˆEIPW [y(1) ] = N i=1 zi ei yi N j=1 zj ej IPW 推定量＝傾向スコア e(x) の逆数による重み付け平均 e(xi) の値が小さい yi がより強い影響を与える zi = 1 の項のみを考慮していることに注意 33 / 110
- 44. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 IPW 推定量の数学的な意味付け IPW 推定量の重要な性質：「一致性を持つ」 数学的に表現すると ˆEIPW [y(1) ] は E[y(1) ] へ確率収束する。 つまり ∀ϵ > 0; P ˆEIPW [y(1) ] − E[y(1) ] > ϵ → 0 as N → ∞ サンプル数 N を十分多くとってきたとき IPW 推定量は E[y(1) ] に収 束するということ。 → 得られたデータから計算できる ˆEIPW [y(1) ] で E[y(1) ] を推定で きる！ 34 / 110
- 45. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 IPW 推定量の問題点 IPW 推定量にもいくつか弱点がある。 傾向スコアの真値がわからない場合が多い → モデルを仮定して推定するしかない 不安定である → e(x) を逆数にとっているため、影響が大きく出すぎる項が ある 分散の計算が難しい → 理論上は漸近分散を求められるが、使ってよいのか？ → 今回はブートストラップ法により計算する 35 / 110
- 46. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 1 はじめに 2 シチュエーションの整理 3 欠測の調整方法 4 IPW 推定量について 5 ダブルロバスト推定量 6 前半のまとめ 7 傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析 8 今後の課題と展望 36 / 110
- 47. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 二重にロバストな推定法 導入 特に重大な IPW 推定量の弱点 → 傾向スコア e(x) は何らかのモデルの仮定をおいて推定。 → もしモデルの仮定を間違えば IPW 推定量は一致推定量になら ない この問題を解決したい · · · 二重にロバストな推定量の登場！ 37 / 110
- 48. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 二重にロバストな推定法 導入 特に重大な IPW 推定量の弱点 → 傾向スコア e(x) は何らかのモデルの仮定をおいて推定。 → もしモデルの仮定を間違えば IPW 推定量は一致推定量になら ない この問題を解決したい · · · 二重にロバストな推定量の登場！ Doubly Robust Estimator Augmented Inverse Probability Weighted Estimator などとも呼ばれる。(Bang and Robins(2005)) 37 / 110
- 49. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 二重にロバストな推定量の定義 IPW 推定量 (再掲) ˆEIPW [y(1) ] = N i=1 zi ei yi N j=1 zj ej 38 / 110
- 50. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 二重にロバストな推定量の定義 IPW 推定量 (再掲) ˆEIPW [y(1) ] = N i=1 zi ei yi N j=1 zj ej 二重にロバストな推定量 Doubly Robust Estimator ˆEDR [y(1) ] = 1 N N i=1 ⎡ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ziy (1) i e(xi, ˆα) − zi e(xi, ˆα) − 1 g1(xi, ˆγ1) ⎤ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ˆEDR [y(0) ] = 1 N N i=1 ⎡ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ (1 − zi)y (0) i 1 − e(xi, ˆα) − 1 − zi 1 − e(xi, ˆα) − 1 g0(xi, ˆγ0) ⎤ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ e(xi, ˆα), g1(xi, ˆγ1), g0(xi, ˆγ0) の定義は次ページ 38 / 110
- 51. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 定義のための準備 モデルの仮定 以下のようなモデルを仮定する。 1 P(z = 1|x, α) = e(x, α) 2 E[y(1) |x] = g1(x, γ1) , E[y(0) |x] = g0(x, γ0) 1 傾向スコアに関するモデル 割り当てを共変量で説明する。α は未知の母数ベクトル 例）ロジスティック回帰モデル 2 共変量で結果変数 (y(0) , y(1) ) を説明するモデル γ1, γ は未知の母数ベクトル。 それぞれの推定量を ˆα, ˆγ1, ˆγ0 とする。 39 / 110
- 52. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 二重にロバストな推定量の定義 (再掲) 二重にロバストな推定量 Doubly Robust Estimator ˆEDR [y(1) ] = 1 N N i=1 ⎡ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ziy (1) i e(xi, ˆα) − zi e(xi, ˆα) − 1 g1(xi, ˆγ1) ⎤ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ˆEDR [y(0) ] = 1 N N i=1 ⎡ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ (1 − zi)y (0) i 1 − e(xi, ˆα) − 1 − zi 1 − e(xi, ˆα) − 1 g0(xi, ˆγ0) ⎤ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ˆEDR [y(1) ] の初項は IPW 推定量と同じ 第二項は欠測しているデータの影響も含む。 → Augmented(拡張された) の由来 40 / 110
- 53. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 DR 推定量の性質 モデルの仮定 1 P(z = 1|x, α) = e(x, α) 2 E[y(1) |x] = g1(x, γ1) , E[y(0) |x] = g0(x, γ0) DR 推定量には以下のような性質がある。 41 / 110
- 54. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 DR 推定量の性質 モデルの仮定 1 P(z = 1|x, α) = e(x, α) 2 E[y(1) |x] = g1(x, γ1) , E[y(0) |x] = g0(x, γ0) DR 推定量には以下のような性質がある。 モデルの仮定２つのうちどちらか一方があっていれば一致推 定量 → 「二重にロバスト」の由来。IPW の弱点を克服 どちらの仮定も正しければ IPW 推定量より分散が小さい (星 野、2009) 仮定がどちらも間違っていても、それほどひどい結果にはなら ない（星野、2009） 41 / 110
- 55. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 double robust 性 二重にロバストな推定量はモデルの仮定２つのうちどちらか一方が 正しければ一致推定量。 直感的な理解 ˆEDR [y(1) ] = 1 N N i=1 ⎡ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ziy (1) i e(xi, ˆα) − zi e(xi, ˆα) − 1 g1(xi, ˆγ1) ⎤ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ = 1 N N i=1 y (1) i − y (1) i + zi e(xi, ˆα) (y (1) i − g1(xi, ˆγ1)) + g1(xi, ˆγ1) = 1 N N i=1 y (1) i + zi e(xi, ˆα) − 1 (y (1) i − g1(xi, ˆγ1)) 42 / 110
- 56. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 1 はじめに 2 シチュエーションの整理 3 欠測の調整方法 4 IPW 推定量について 5 ダブルロバスト推定量 6 前半のまとめ 7 傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析 8 今後の課題と展望 43 / 110
- 58. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 参考文献 Rosenbaum, P.R and Rubin, D.B.(1983), “The central role of the propensity score in observational studies for causal effects”, Biometrika, 70, 516-524 Rubin, D.B. (1974), ”Estimating causal effects of treatments in randomized and nonrandaomized studies”, Journal of Educational Psychology, 66(5), 688-701 Rubin, D.B. (1985) ,”The use of propensity scores in applied Bayesian inference”, in Bayesian Statistics, Vol. 2, J. Bernardo, M. DeGroot, D. Lindley and A. Smith, eds. Elsevier, New York, pp. 463-472. 45 / 110
- 59. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 参考文献 その２ Bang, H., Robins J.M. (2005),”Doubly robust estimation in missing data and causal inference models”, Biometrics, 61(4), 962-973. Anastasios A. Tsiatis(2006),Semiparametric Theory and Missing Data,Springer Series in Statistics 星野 崇宏 (2009), 調査観察データの統計科学̶因果推論・選択 バイアス・データ融合, 岩波書店 46 / 110
- 61. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 1 はじめに 2 シチュエーションの整理 3 欠測の調整方法 4 IPW 推定量について 5 ダブルロバスト推定量 6 前半のまとめ 7 傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析 8 今後の課題と展望 48 / 110
- 62. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 スポーツデータ アナリティクス基礎講座 -後編- 慶應義塾大学大学院理工学研究科修士 1 年 中村知繁 49 / 110
- 63. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 解析の目的と手順 解析の目的（確かめたいこと） バント作戦を取ることで 得点する確率・得点数の期待値は上昇するか 解析の手順 傾向スコアの計算 IPW 推定量の計算（期待値の計算） ブートストラップ法による IPW 推定量の信頼区間の推定 一般化加法モデルを用いたより詳しい解析 解析した結果の考察・まとめ 50 / 110
- 64. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 傾向スコアの計算 ※ 傾向スコアの真値はわからない。 → モデルを仮定して推定する必要あり。 → ロジスティック回帰モデルを使用 ロジスティック回帰モデル zi|xi ∼ ベルヌーイ (e(xi)) (1) log e(xi) 1 − e(xi) = xi Tβ (2) 注）zi 割り当て変数, xi 共変量, β は回帰係数ベクトル 51 / 110
- 65. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 傾向スコアの計算 -共変量の設定- 共変量 x に設定した 15 個の変量． バントするか否かに影響を与えるであろうと考えた変量。 打順 試合が行われた月 イニング 打率 次の打者の打率 投手の防御率 点差 投手の WHIP 打者の HR 数 OPS 投手の利き腕 打者の利き腕 チーム 点差とイニングの交互作用 投手の利き腕と打者の利き 腕の交互作用 注）データの補完に関して 打席の少ない選手の OPS や打率は全選手の平均を代用。投手も同様。 52 / 110
- 66. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 傾向スコアの計算 -計算結果（回帰係数）- 推定値 標準誤差 z 値 p 値 打率 -6.5237 4.8112 -1.36 0.1751 次の打者の打率 4.8968 1.9131 2.56 0.0105 投手の防御率 0.0012 0.1319 0.01 0.9925 ホームラン数 -0.1184 0.0271 -4.36 < 10−5 WHIP 0.0936 0.7743 0.12 0.9038 OPS 0.3268 1.9385 0.17 0.8661 打順 3 -2.9362 0.6586 -4.46 < 10−5 打順 4 -3.3007 0.6866 -4.81 < 10−5 打順 5 -1.3262 0.3973 -3.34 0.0008 打順 6 -1.9168 0.4308 -4.45 < 10−5 打順 7 -1.1626 0.3745 -3.10 0.0019 打順 9 1.5529 0.3613 4.30 < 10−5 投手-利き腕 -0.7295 0.2550 -2.86 0.0042 打者-利き腕 -0.7991 0.2922 -2.73 0.0062 利き腕の交互作用 1.0767 0.3439 3.13 0.0017 53 / 110
- 67. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 傾向スコアの計算 -計算結果- バント作戦 打率 ... 対数オッズ比 傾向スコア 1 とらない 0.309 ... -6.24 0.0019 2 とった 0.124 ... 3.11 0.9574 3 とった 0.124 ... 2.59 0.9302 4 とらない 0.293 ... -6.96 0.0009 5 とらない 0.293 ... -1.48 0.1852 6 とった 0.124 ... 2.33 0.9117 Table : 傾向スコアの推定結果（抜粋） 【補足】 変数選択について - Robins et al. (1992) 傾向スコアの推定においては、有意ではない変数が入っていても 良い 54 / 110
- 68. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 傾向スコアの計算 -プロット- Figure : 対数オッズ比 (X 軸) vs 傾向スコア (Y 軸) 55 / 110
- 69. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 IPW 推定量 -再掲- IPW 推定量 - Rubin(1985) IPW 推定量は傾向スコアの逆数による重み付き平均． y (1) i : バント作戦をとった場合の i 番目のサンプルの「得点する確率」 または「得点数」 y (0) i : バント作戦をとらなかった場合の i 番目のサンプルの「得点する 確率」または「得点数」 zi：i 番目のサンプルの割り付け変数 ei：i 番目のサンプルの傾向スコア ˆEIPW [y(1) ] = N i=1 zi ei yi N j=1 zj ej ˆEIPW [y(0) ] = N i=1 1 − zi 1 − ei yi N j=1 1 − zj 1 − ej 56 / 110
- 70. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 IPW 推定量 - 「得点する確率」計算結果- IPW 推定量を計算した結果 - 得点する確率 ˆEIPW [y(1) ] = 0.159 Bant ˆEIPW [y(0) ] = 0.249 Hitting ˆEIPW [y(1) ] − ˆEIPW [y(0) ] = −0.090 得点する確率の差 57 / 110
- 71. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 IPW 推定量 - 「得点する確率」計算結果- IPW 推定量を計算した結果 - 得点する確率 ˆEIPW [y(1) ] = 0.159 Bant ˆEIPW [y(0) ] = 0.249 Hitting ˆEIPW [y(1) ] − ˆEIPW [y(0) ] = −0.090 得点する確率の差 IPW 推定量計算結果 -解釈- バント作戦をとらない方が得点する確率が高い？ 57 / 110
- 72. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 IPW 推定量 - 「得点数」計算結果- IPW 推定量計算結果 - 得点数 ˆEIPW [y(1) ] = 0.258 Bant ˆEIPW [y(0) ] = 0.451 Hitting ˆEIPW [y(1) ] − ˆEIPW [y(0) ] = −0.194 得点数の期待値の差 58 / 110
- 73. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 IPW 推定量 - 「得点数」計算結果- IPW 推定量計算結果 - 得点数 ˆEIPW [y(1) ] = 0.258 Bant ˆEIPW [y(0) ] = 0.451 Hitting ˆEIPW [y(1) ] − ˆEIPW [y(0) ] = −0.194 得点数の期待値の差 IPW 推定量計算結果 - 解釈 バント作戦を取らない方が得点数の期待値が高い？ 58 / 110
- 74. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 IPW 推定量 -信頼区間の導出法- 先ほどの結果から、得点する確率も、得点数の期待値も バント作戦をとらない方が高い？ → 推定値の差の標準誤差を求めて、有意なのかを確認する必要が ある。 IPW 推定量の標準誤差の推定方法 推定値の差の信頼区間が 0 を含むと有意とは言いがたい． IPW 推定量の漸近正規性を用いて計算することはできるが、適 切かがわからないので、ブートストラップ法を用いる。 → IPW 推定量の「差の信頼区間」が図示できる 59 / 110
- 75. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 IPW 推定量 -分散の推定法（Bootstrap 法）- ブートストラップ法：Efron(1979) 推定量の性質（例：分散）を経験分布に従う標本に基づいて推 測する方法 仮定される分布が疑わしい・パラメトリックな仮定が不可能・ 複雑な場合に代用されることが多い． ブートストラップ法を用いると、複雑な推定に対する標準誤 差・信頼区間を比較的簡単な計算で求めることができる。 ただし、得られた標本に偏りがある場合には良い推定が行え ない。 60 / 110
- 76. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 IPW 推定量 -分散の推定法（Bootstrap 法）- 統計量 T(x) の標準偏差 SD(T(X)) に興味がある． 得られた標本 (x1, · · · , xn) から n 個を復元抽出し、ブートストラップ 標本 x∗ = (x∗ 1, · · · , x∗ n) を作成しブートストラップ統計量 T(x∗ ) を計算 する． 上記の操作を B 回繰り返し、T(x∗1 ), · · · , T(x∗B ) を計算する。 得られた T(x∗1 ), · · · , T(x∗B ) を用いて標準偏差を計算する． 61 / 110
- 77. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 IPW 推定量 -分散の推定法（野球データ）- 0 死 1 塁の 3353 個のデータ (d1, · · · , d3353) から無作為復元抽出 を 3353 回（サンプル数と同じ回数）行い、大きさ 3353 のブー トストラップ標本 d∗b = (d∗ 1, · · · , d∗ 3353) を構成する。 上記の操作を 1000 回繰り返して、1000 個のブートストラップ 標本 (d∗1 , · · · , d∗1000 ) を作成し、それぞれのブートストラップ 標本を用いてロジスティック回帰を行い、傾向スコアを推定 する。 推定した傾向スコアを用いて、ˆEIPW (y∗1 ), · · · , ˆEIPW (y∗1000 ) を推 定する。これらをバントした場面、しなかった場面に対してそ れぞれ計算する。 1000 個の ˆEIPW (y∗b 1 ) − ˆEIPW (y∗b 0 ) から標準誤差を推定する。 62 / 110
- 78. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 IPW 推定量 -分散の推定結果- Bootstrap 信頼区間 得点する確率の差の 90%信頼区間 = (−0.187, 0.052) 得点する確率の差の 95%信頼区間 = (−0.210, 0.075) 得点数の期待値の差の 90%信頼区間 = (−0.345, 0.029) 得点数の期待値の差の 95%信頼区間 = (−0.380, 0.0664) → 全ての信頼区間が 0 をまたいでいる → 図示すると次のようになる 63 / 110
- 79. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 IPW 推定量 -分散の推定結果- Figure : 横軸は IPW 推定量の差 64 / 110
- 80. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 IPW 推定量 -分散の推定結果（解釈）- IPW 推定量：結果の解釈 得点する確率：IPW 推定量の差の 90% 信頼区間は 0 をまたい でいる． 得点数：IPW 推定量の差の 90% 信頼区間は 0 をまたいでいる． → 得点する確率、得点数の期待値はそれぞれバント作戦を「と る・とらない」によって有意に差が見られない。 バントをしたくない諸君... 残念！ 65 / 110
- 82. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 得点する確率・得点数と傾向スコアの関係の解析 -目的・手法- 解析の目的 「傾向スコア（バント作戦をとる確率）」と、「得点する確率・得点 数」の関係を明らかにする． 解析の手順 バント作戦を「とる」場合と「とらない」場合にデータを分割 する。 1 それぞれの場合に対して「得点した・しない」を目的変数にと り、傾向スコアで説明するモデルを考える． 2 それぞれの場合に対して「得点数」を目的変数にとり、傾向ス コアで説明するモデルを考える． 67 / 110
- 83. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 得点する確率・得点数と傾向スコアの関係の解析 -傾向スコアと対数オッズ（線形予測量）の関係- 説明変数としては、対数オッズ比（線形予測量）を用いる。 傾向スコアを説明変数にすると図が見づらい（定義域が狭い）。 実際、傾向スコアと対数オッズ比の関係は以下である。 log ei 1 − ei = xT i β (3) ei = exp(xT i β) 1 + exp(xT i β) (4) → 対数オッズ比（線形予測量）と傾向スコアの値は 1 対 1 に対応 する → 説明変数には対数オッズ比を利用する！ 68 / 110
- 84. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 得点する確率・得点数と傾向スコアの関係の解析 -手法の選択- 確認したいこと バントする確率の変化（対数オッズ比）に対して、得点する確 率・得点数がどのように変化するのかを見たい。 → スプライン平滑化法を用いた一般化加法モデルを用いて可視化 する．※信頼区間の記述もできる． 1 変量の場合の一般化加法モデル Yi ∼ ’ 指数型分布族’ (i = 1, 2, · · · , n) E[Yi] = µi (i = 1, 2, · · · , n) g(µi) = f(xi) f : 共変量 xi に対応する滑らかな関数 69 / 110
- 85. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 得点する確率・得点数と傾向スコアの関係の解析 -手法の選択- 得点する確率に対する分布の仮定 得点する確率に対してはベルヌーイ分布を仮定する。 → 得点する確率を pi とすると、対数オッズ比 log pi 1 − pi が xi の滑 らかな関数 f(xi) で表されると仮定するモデル 得点数に対する分布の仮定 得点数に対しては、ポアソン分布を仮定する。 → 得点数 Yi の期待値を E[Yi] = θi とすると、対数 log θi が xi の滑 らかな関数 f(xi) で表されると仮定するモデル 70 / 110
- 87. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 得点する確率と傾向スコアの関係の解析 -得点する確率に対する解析- GAM を用いたロジスティック回帰の結果は以下である． ・破線は 90% 信頼区間に対応。 72 / 110
- 88. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 得点する確率と傾向スコアの関係の解析 -得点する確率の解析の解釈- 信頼区間が完全に分離している区間は存在しない． → バント作戦をとる確率が変化（シチュエーションが変化）して も、バント作戦を選択する・しないによって得点をする確率に は有意な差が存在しない． バント作戦をとったケースが少なく、信頼区間が広い． → バント作戦を取った場合の得点する確率の期待値の推定曲線は あまり信頼できるものではない。 対数オッズ比が −1 から 0 付近で、バント作戦をとる場合の得 点する確率が上昇． → 断定的なことは言えないが、バントをする確率に直せば 0.27 か ら 0.50 の間ではバント作戦を選択する方が得点をする確率は 上昇するのかもしれない。 73 / 110
- 90. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 得点数と傾向スコアの関係の解析 -得点数の分布を考える- 得点数に対する分布の仮定 得点数に対しては、ポアソン回帰モデル用いる。 → 得点数 Yi の期待値を E[Yi] = θi とすると、対数 log θi が xi の滑 らかな関数 f(xi) で表されると仮定するモデル 75 / 110
- 91. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 得点数と傾向スコアの関係の解析 -得点数の分布を考える- 得点数に対する分布の仮定 得点数に対しては、ポアソン回帰モデル用いる。 → 得点数 Yi の期待値を E[Yi] = θi とすると、対数 log θi が xi の滑 らかな関数 f(xi) で表されると仮定するモデル ポアソン回帰モデルを用いるのは、適切な仮定でないことがあ る。→ 過分散性の問題． 75 / 110
- 92. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 得点数と傾向スコアの関係の解析 -得点数の分布を考える- 得点数に対する分布の仮定 得点数に対しては、ポアソン回帰モデル用いる。 → 得点数 Yi の期待値を E[Yi] = θi とすると、対数 log θi が xi の滑 らかな関数 f(xi) で表されると仮定するモデル ポアソン回帰モデルを用いるのは、適切な仮定でないことがあ る。→ 過分散性の問題． 過分散 -overdispersion- ポアソン分布の仮定：E[Yi] = Var(Yi) 過分散： E[Yi] < Var(Yi) （平均よりも分散が大きい） 今回は、「過分散」なケース． 75 / 110
- 93. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 得点数と傾向スコアの関係の解析 -得点数の分布を考える- 過分散を扱える方法はあるのだろうか？ 平均と分散の関係性を次のようにして、擬似的にポアソン分布を用い たような解析はできないだろうか？ Var(Yi) = φE[Yi], φ : scale parameter 76 / 110
- 94. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 得点数と傾向スコアの関係の解析 -得点数の分布を考える- 過分散を扱える方法はあるのだろうか？ 平均と分散の関係性を次のようにして、擬似的にポアソン分布を用い たような解析はできないだろうか？ Var(Yi) = φE[Yi], φ : scale parameter 疑似尤度法（Quasi-Likelihood）: Wedderburn(1974) 分布を仮定せずに、平均と分散の関係のみを用いて擬似的に尤度を構 成する方法 確率変数 Zi が平均 µi で分散が µi の既知関数 V(µi) を用いて Var(Zi) = φV(µi) と表されるとすると、疑似尤度関数は、以下の方程 式を満たす K(zi, µi) として定義される。 ∂K(zi, µi) ∂µi = zi − µi φV(µi) 76 / 110
- 95. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 得点数と傾向スコアの関係の解析 -得点数の分布を考える- 疑似尤度法の性質: Wedderburn(1974) Yi が単一母数の指数型分布族に従うとき、 疑似尤度と対数尤度が一致する ポアソン分布を仮定したモデルのあてはめで推定される回帰係数 は、疑似尤度法で推定される回帰係数と一致する． → よって、今回は疑似尤度法を用いて解析を行う． ※この他にも過分散を扱うためには負の二項分布を用いた回帰法がある． 77 / 110
- 96. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 得点数と傾向スコアの関係の解析 -得点数に対する解析- 疑似尤度法を用いた解析の結果は以下である． ・破線は 90% 信頼区間に対応。 78 / 110
- 97. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 得点数と傾向スコアの関係の解析 -得点数の解析の解釈- 信頼区間が完全に分離している区間は存在しない． → バント作戦をとる確率が変化（シチュエーションが変化）して も、バント作戦を選択する・しないによって得点数には有意な 差が存在しない． バント作戦をとったケースが少なく、信頼区間が広い． → バント作戦を取った場合の得点数の期待値の推定曲線はあまり 信頼できるものではない。 対数オッズ比が −1 から 0 付近で、バント作戦をとる場合の得 点数の推定値が上昇． → 断定的なことは言えないが、バントをする確率に直せば 0.27 か ら 0.50 の間ではバント作戦を選択する方が得点数の期待値は 上昇するのかもしれない。 79 / 110
- 99. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 解析のまとめ IPW 推定量と Bootstrap 法を用いた解析 バント作戦を取る場合の IPW 推定量と、バント作戦を取らない 場合の IPW 推定量を「得点をする確率」・「得点数」それぞれに 対して計算する． IPW 推定量の標準誤差をブートストラップ法により計算． 【結果 1】バント作戦を「取る場合」と「取らない場合」の「得 点をする確率」に有意な差は存在しない 【結果 2】バント作戦を「取る場合」と「取らない場合」の「得 点数の期待値」に有意な差は存在しない 81 / 110
- 100. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 解析のまとめ 一般化加法モデル・疑似尤度法を用いた解析 バント作戦を「取る場合」と「取らない場合」それぞれに対し て、「得点した・していない」「得点数」を対数オッズ比で説明 するモデルを構築． 【結果 1】バント作戦を「取る場合」と「取らない場合」で、バ ントをするシチュエーションによって「得点をする確率」に有 意な差は認められなかった 【結果 2】バント作戦を「取る場合」と「取らない場合」で、バ ントをするシチュエーションによって「得点数」に有意な差は 認められなかった 【結果 3】バント作戦をとる確率が 30% ∼ 50% の状況下では、 バント作戦を取る方が得点数が上昇する可能性が示唆された 82 / 110
- 103. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 1 はじめに 2 シチュエーションの整理 3 欠測の調整方法 4 IPW 推定量について 5 ダブルロバスト推定量 6 前半のまとめ 7 傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析 8 今後の課題と展望 85 / 110
- 105. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 今後の課題と展望 -本日のまとめ- お話ししたこと（前半） 解析するデータについて 選択バイアスと傾向スコアの性質 IPW 推定量とダブルロバスト推定量 お話ししたこと（後半） 傾向スコアの算出 IPW 推定量の導出とブートストラップ法による信頼区間の推定 一般化加法モデルを用いたより詳しい解析 87 / 110
- 106. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 今後の課題 今後の課題 傾向スコアを推定する際の、共変量の選択． → 犠打成功率, ピッチャーのストレートの平均球速． データの少ない選手に対する、データを補完する方法． 実際の戦略に役立てるためには、0 死 1 塁の場合などにケース を絞る必要があるが、ケースを絞るとデータ数が少なくなり解 析で有意な結果が得にくい． 88 / 110
- 107. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 参考文献 参考文献 B. Efron(1979). Bootstrap methods: Another look at the jackknife. Ann. Statist. 7 1-26 B. Efron and R. Tibshirani(1986). Bootstrap Methods for Standard Errors, Confidence Intervals, and Other Measures of Statistical Accuracy. Statist. Sci. Volume 1, Number 1 (1986), 54-75. Hastie, T. J. and Tibshirani, R. J. (1990). Generalized Additive Models. Chapman & Hall/CRC Wedderburn, R.W.M. (1974). ”Quasi-likelihood functions, generalized linear models, and the Gauss-Newton method”. Biometrika 61 (3): 439-447 Wood, S. N. (2006). Generalized Additive Models: An Introduction with R. Chapman & Hall/CRC Robins J.M., Mark, S. D. and Newey, W.K.(1992), ”Estimating exposure effects by modelling the expectation of exposure conditional on confounders”, Biometrics, 48, 479-495 89 / 110
- 108. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 謝辞 本研究は、 情報・システム研究機構の新領域融合研究プロジェクト 『社会コミュニケーショ ン』データ中心科学リサーチコモンズ事業 『人問・社会データ』および情報・システム研究機構統計数理研究所 の支援により提供されたデータに基づいて行われました． プロ野球データを利用する機会をいただいた統計数理研究所、およ び、データスタジアム株式会社に感謝申し上げます． また、スポーツデータコンペティッションを開催いただいた先生方、 本講座で発表する機会を与えて下さった先生方に感謝申し上げます． どうもありがとうございました． 90 / 110
- 111. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 強く無視できる割り当てと傾向スコアの定理 定理 強く無視できる割り当てと傾向スコア (y(1) , y(0) ) ⊥⊥ z xならば (y(1) , y(0) ) ⊥⊥ z e(x) proof (y(1) , y(0) ) ⊥⊥ z e(x) を仮定する。 P(z = 1|y(1) , y(0) , e(x)) = P(z = 1|e(x)) = e(x) を示せばよい。 P(z = 1|y(1) , y(0) , e(x)) = P(z = 1|y(1) , y(0) , x, e(x))P(x|y(1) , y(0) , e(x))dx = P(z = 1|x)P(x|y(1) , y(0) , e(x))dx = Ex [P(z = 1|x)|y(1) , y(0) , e(x)] = Ex [e(x)|y(1) , y(0) , e(x)] = e(x) 93 / 110
- 112. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 IPW 推定量の別の定義 IPW 推定量に以下の定義を与えている本もある IPW 推定量 ˆEIPW u [y(1) ] = 1 N N i=1 zi ei yi ˆEIPW u [y(0) ] = 1 N N i=1 1 − zi 1 − ei yi どちらの定義でも N → ∞ で E[y(1) ], E[y(0) ] に確率収束する。 前の定義のほうが推定精度がよいことが知られている。 94 / 110
- 113. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 IPW 推定量の一致性 大数の弱法則から 1 N N j=1 zi ei p −→ E z e = Ex E z e(x) x = Ex 1 e(x) P(z = 1|x) + 0 e(x) P(z = 0|x) = 1 が成立。よって ˆEIPW [y(1) ] = ˆEIPW u [y(1) ] + op(1)。 95 / 110
- 114. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 IPWE の一致性 2 さらに E zy e = E z(zy(1) + (1 − z)y(0) ) e = E z2 y(1) + z(1 − z)y(0) e = E zy(1) e = Ex E zy(1) e x 強く無視できる割り当てを仮定すれば Ex E zy(1) e x = Ex E z e x E[y(1) |x] = Ex[E[y(1) |x]] = E[y(1) ] 96 / 110
- 115. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 IPWE の一致性 3 以上より、 ˆEIPW [y(1) ] = ˆEIPW u [y(1) ] + op(1) = 1 N N i=1 zi ei yi + op(1) p −→ E zy e = E[y(1) ] 同様にして ˆEIPW [y(0) ] = ˆEIPW u [y(0) ] + op(1) p −→ E (1 − z)y 1 − e = E[y(0) ] 97 / 110
- 116. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 IPWE の漸近分散について IPW 推定量は M 推定量のひとつであり、漸近分散が計算できる。 （詳しくは星野 (2009) などを参照） ˆEIPW [y(1) ] − ˆEIPW [y(0) ] の漸近分散の推定 1 N N i=1 zi ˆei 2 yi − ˆEIPW [y(1) ] 2 − 1 − zi 1 − ˆei 2 yi − ˆEIPW [y(0) ] 2 − 1 N DC−1 D C = E ηη′ e(1 − e) D = E y(1) − E[y(1) ] e + y(0) − E[y(0) ] 1 − e η′ η = ∂e ∂γ1 98 / 110
- 117. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 DR 性の証明の準備 モデルの仮定 1 P(z = 1|x, α) = e(x, α) 2 E[y(1) |x] = g1(x, γ1) , E[y(0) |x] = g0(x, γ0) もし１が正しく仮定されていれば ˆα p −→ α より e(x, ˆα) p −→ e(x, α) = P(z = 1|x) もし１が誤った仮定ならば ∃α∗ s.t.ˆα p −→ α∗ かつ e(x, ˆα) p −→ e(x, α∗ ) P(z = 1|x) もし２が正しく仮定されていれば ˆγ1 p −→ γ1 より g1(x, ˆγ1) p −→ g1(x, γ1) = E[y(1) |x] もし２が誤っていれば ∃γ1 ∗ s.t.ˆγ1 p −→ γ1 ∗ かつ g1(x, ˆγ1) p −→ g1(x, γ1 ∗ ) E[y(1) |x] 99 / 110
- 118. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 double robust 性 二重にロバストな推定量はモデルの仮定２つのうちどちらか一方が 正しければ一致推定量。 計算のための準備 ˆEDR [y(1) ] = 1 N1 N1 i=1 ⎡ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ziy (1) i e(xi, ˆα) − zi e(xi, ˆα) − 1 g1(xi, ˆγ1) ⎤ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ = 1 N1 N1 i=1 y (1) i − y (1) i + zi e(xi, ˆα) (y (1) i − g1(xi, ˆγ1)) + g1(xi, ˆγ1) = 1 N1 N1 i=1 y (1) i + zi e(xi, ˆα) − 1 (y (1) i − g1(xi, ˆγ1)) 100 / 110
- 119. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 double robust 性 2 ケース１ もし１が正しく仮定され、２が正しく仮定されていないとき e(x, ˆα) p −→ e(x, α) = P(z = 1|x) g1(x, ˆγ1) p −→ g1(x, γ1 ∗ ) E[y(1) |x] だから ˆEDR [y(1) ] = 1 N1 N1 i=1 y (1) i + zi e(xi, α) − 1 (y (1) i − g1(xi, γ1 ∗ )) +op(1) p −→ E y(1) + z P(z = 1|x) − 1 (y(1) − g1(x, γ1 ∗ )) = E[y(1) ] + E z P(z = 1|x) − 1 (y(1) − g1(x, γ1 ∗ )) 101 / 110
- 120. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 double robust 性 ケース１ 第２項 E z P(z = 1|x) − 1 (y(1) − g1(x, γ1 ∗ )) の計算 (第２項) = Ey(1),x E z P(z = 1|x) − 1 (y(1) − g1(x, γ1 ∗ )) y(1) , x = Ey(1),x (y(1) − g1(x, γ1 ∗ ))E z P(z = 1|x) − 1 y(1) , x = Ey(1),x (y(1) − g1(x, γ1 ∗ ))E z P(z = 1|x) − 1 x y(1) = 0 ∴ ˆEDR [y(1) ] p −→ E[y(1) ] 102 / 110
- 121. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 double robust 性 ケース２ ケース２ もし２が正しく仮定され、１が正しく仮定されていないとき e(x, ˆα) p −→ e(x, α∗ ) P(z = 1|x) g1(x, ˆγ1) p −→ g1(x, γ1) = E[y(1) |x] だから ˆEDR [y(1) ] = 1 N1 N1 i=1 y (1) i + zi e(xi, α∗) − 1 (y (1) i − g1(xi, γ1)) +op(1) p −→ E[y(1) ] + E z e(xi, α∗) − 1 (y(1) − E[y(1) |x]) 103 / 110
- 122. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 double robust 性 ケース２ 第２項 E z e(xi, α∗) − 1 (y(1) − E[y(1) |x]) の計算 (第２項) = Ez,x E ( z e(x, α∗) − 1)(y(1) − E[y(1) |x]) z, x = Ez,x z e(x, α∗) − 1 E[y(1) − E[y(1) |x] z, x] = 0 ∴ ˆEDR [y(1) ] p −→ E[y(1) ] 104 / 110
- 126. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 GAM モデルと信頼区間 GAM 信頼区間の推定 g(µi) = Xiβ, µi ≡ E(Yi) Yi ∼ ’some exponential family’ ここで、g はリンク関数である。また、推定値は以下の罰則付き尤 度を β について最小化することによって得られる。 罰則付き尤度 = −l(β) + 1 2 m i=1 λiβT Siβ この結果をベイズ的に解釈して、近似的に β|v ∼ N XT WX + λiSi −1 XT Wz, XT WX + λiSi −1 φ 108 / 110
- 127. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 ダブルロバスト推定量 - 「得点する確率」計算結果- ダブルロバスト推定量を計算した結果 - 得点する確率 ˆEDR [y(1) ] = 0.118 Bant ˆEDR [y(0) ] = 0.181 Hitting ˆEDR [y(1) ] − ˆEDR [y(0) ] = −0.062 得点する確率の差 109 / 110
- 128. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 ダブルロバスト推定量 - 「得点する確率」計算結果- ダブルロバスト推定量を計算した結果 - 得点する確率 ˆEDR [y(1) ] = 0.118 Bant ˆEDR [y(0) ] = 0.181 Hitting ˆEDR [y(1) ] − ˆEDR [y(0) ] = −0.062 得点する確率の差 ダブルロバスト推定量計算結果 -解釈- バント作戦をとらない方が得点する確率が高い？ 109 / 110
- 129. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 ダブルロバスト推定量 - 「得点数」計算結果- ダブルロバスト推定量計算結果 - 得点数 ˆEDR [y(1) ] = 0.198 Bant ˆEDR [y(0) ] = 0.308 Hitting ˆEDR [y(1) ] − ˆEDR [y(0) ] = −0.110 得点数の期待値の差 110 / 110
- 130. 傾向スコアを適用 した因果効果の 検証 Ogawa, Nakamura はじめに シチュエーション の整理 欠測の調整方法 IPW 推定量につ いて ダブルロバスト推 定量 前半のまとめ 傾向スコアを用い たバント作戦の効 果の解析 今後の課題と展望 ダブルロバスト推定量 - 「得点数」計算結果- ダブルロバスト推定量計算結果 - 得点数 ˆEDR [y(1) ] = 0.198 Bant ˆEDR [y(0) ] = 0.308 Hitting ˆEDR [y(1) ] − ˆEDR [y(0) ] = −0.110 得点数の期待値の差 ダブルロバスト推定量計算結果 - 解釈 バント作戦を取らない方が得点数の期待値が高い？ 110 / 110
- 131. 2014.7.27 第１回スポーツデータアナリティクス基礎講座 . ...... コンペティッション参加の動機と 解析の経緯、その後 南美穂子 慶應義塾大学大理工学部数理科学科教授 July 26, 2014 1 / 4
- 132. 2014.7.27 第１回スポーツデータアナリティクス基礎講座 第３回スポーツデータ解析コンペティッション 2013.12.26 ✓ ✏ 傾向スコアによる犠牲バントの効果の推定 発表者：中山直人 (数理科学科 4 年) 共同研究者： 近藤立志 (M2)、木口亮 (M2) 、田曽忠将 (M1) 中村知繁 (B4) 、江本遼 (B4) 、 木村拓央 (B4) 南美穂子 ✒ ✑ コンペティッション参加の動機と解析の経緯、 その後 慶應義塾大学理工学部 数理科学科 南 美穂子 2 / 4
- 135. 2014.7.27 第１回スポーツデータアナリティクス基礎講座 コンペティッション参加の当初の動機 南提案テーマ⇒却下 中山直人君の問い：「犠牲バント」って効果があるの？ 修士２年生による理論面のサポート 近藤立志君 修論テーマ 傾向スコアを用いた因果効果のセミパラメトリック推定 木口亮君 修論テーマ 2 重周期スプライン平滑法と南極昭和基地の CO2 濃度の解析 卒研生・修士１年生によるサポート 他専攻の大学院授業で Bootstrap 法 を勉強 大学院特別講義 鳥越規央先生 (10.23)「スポーツの統計数理」 星野崇宏先生 (11.6) 「欠測データモデルと因果効果推定」 3 / 4
- 136. 2014.7.27 第１回スポーツデータアナリティクス基礎講座 2013 年 12 月 26 日 スポーツデータ解析コンペティッション 2014 年 3 月 8 日 日本統計学会春季集会ポスターセッション 2014 年 3 月末 中山直人君学部卒業（都立高校数学教員＆野球部顧問） 近藤立志君修士課程修了（ＮＴＴデータ） 木口亮君 修士課程修了（塩野義製薬） 4 / 4
- 137. 2014.7.27 第１回スポーツデータアナリティクス基礎講座 2013 年 12 月 26 日 スポーツデータ解析コンペティッション 2014 年 3 月 8 日 日本統計学会春季集会ポスターセッション 2014 年 3 月末 中山直人君学部卒業（都立高校数学教員＆野球部顧問） 近藤立志君修士課程修了（ＮＴＴデータ） 木口亮君 修士課程修了（塩野義製薬） 2014 年 6 月はじめ 本講座での解説を引き受ける 小河有史君（Ｂ４）、中村知繁君（Ｍ１） 理論の理解 中山君の卒論に沿って再解析 発表準備 本日の発表 4 / 4