20140727_第1回スポーツデータアナリティクス基礎講座

1. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望傾向スコアを適用した因果効果の検証発表者名慶應義塾大学大学院理工学研究科修士１年中村知繁慶應義塾大学理工学部４年小河有史共同研究者名慶應義塾大学理工学部南美穂子慶應義塾大学大学院理工学研究科近藤立志、木口亮、田曽忠将慶應義塾大学理工学部江本遼、木村拓央、中山直人 2014 年度南研究室卒業研究生, 他 July 26, 2014 1 / 110

2. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望目次 1 はじめに 2 シチュエーションの整理 3 欠測の調整方法 4 IPW 推定量について 5 ダブルロバスト推定量 6 前半のまとめ 7 傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析 8 今後の課題と展望 2 / 110

3. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望スポーツデータアナリティクス基礎講座 -前編- 慶應義塾大学大学院理工学部４年小河有史 3 / 110

4. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望 1 はじめに 2 シチュエーションの整理 3 欠測の調整方法 4 IPW 推定量について 5 ダブルロバスト推定量 6 前半のまとめ 7 傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析 8 今後の課題と展望 4 / 110

5. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望研究背景とモチベーション研究背景 2013 年に開催された第 3 回スポーツデータ解析コンペティションにおいて慶應義塾大学理工学部南研究室で行われた研究をもとに発表します。モチベーション本研究は、前年度この研究を担当した中山君の疑問から始まりました。 5 / 110

6. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望研究背景とモチベーション研究背景 2013 年に開催された第 3 回スポーツデータ解析コンペティションにおいて慶應義塾大学理工学部南研究室で行われた研究をもとに発表します。モチベーション本研究は、前年度この研究を担当した中山君の疑問から始まりました。「僕は、バントが苦手なんですけど、本当に効果あるのか確かめたいです。」 5 / 110

7. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望研究背景とモチベーション研究背景 2013 年に開催された第 3 回スポーツデータ解析コンペティションにおいて慶應義塾大学理工学部南研究室で行われた研究をもとに発表します。モチベーション本研究は、前年度この研究を担当した中山君の疑問から始まりました。「僕は、バントが苦手なんですけど、本当に効果あるのか確かめたいです。」「もしないなら、バントしないで野球できる！」 5 / 110

8. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望研究背景とモチベーション研究背景 2013 年に開催された第 3 回スポーツデータ解析コンペティションにおいて慶應義塾大学理工学部南研究室で行われた研究をもとに発表します。モチベーション本研究は、前年度この研究を担当した中山君の疑問から始まりました。「僕は、バントが苦手なんですけど、本当に効果あるのか確かめたいです。」「もしないなら、バントしないで野球できる！」「大リーグってバントしねーじゃん！」 5 / 110

9. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望犠牲バントとはどのような戦術なのか？犠牲バントとは？ランナーが存在し、かつアウトカウントが１以下のとき、監督が選択可能自分はアウトになるかわりにランナーは次の塁へ利点と欠点＋得点圏にランナーを進められる＋ダブルプレーのリスクを抑えられるーアウトカウントを与えてしまう犠牲バントは本当に必要なのか？？ 6 / 110

10. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望解析対象とするシチュエーション全シチュエーションを考えるのは難しいので、ケースを絞った。今回の解析対象 2010∼2012 年の日本プロ野球全試合 (提供元：データスタジアム様) 0 死 1 塁のケース → 合計 3353 のケースを分析さらに今回のテーマとして次を設定。今回のテーマバント作戦を取ったか否かが、そのイニングでの得点するかどうかや得点数に影響を及ぼしているかどうか 7 / 110

11. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望単純な比較の方法バントの効果を単純な平均の比較で考えてみる全 3353 場面中 · · · バント作戦をとった場面 343 場面中 93 場面得点が入った → 得点する確率＝ 0.271 バント作戦をとらなかった場面 3010 場面中 743 場面得点が入った → 得点する確率＝ 0.247 これだけだとバント作戦のほうがよさそうしかし、それぞれの平均を直接比較していいのか？？ 8 / 110

13. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望バントによる因果効果とは何か実は先ほどの平均の単純比較は適切ではない。改めてシチュエーションを整理してみよう。今回私たちが知りたいのはバントの因果効果バント作戦をとるか否かがその回の得点するかどうかや得点数に影響を与えるか？注）以下、バントをするかしないかと表記つまり数学的に考えてみると · · · 10 / 110

14. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望バントによる因果効果の数学的な位置づけ確率変数 z：割り当て変数バントをしたとき 1、しなかったとき 0 (y(1) , y(0) )：結果変数 y(1) はバントしたときの得点の有無や得点数 y(0) はバントしなかったときの得点の有無や得点数バントするか否かにかかわらず、常に (y(1) , y(0) ) の二つの潜在的な結果変数が存在この考え方は Rubin の因果モデルと呼ばれる (Rubin(1974)) 11 / 110

15. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望バントによる因果効果の直感的説明 12 / 110

16. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望解析において比較したいもの今回の場合は次のような期待値の比較をするのが目的バントの因果効果 E[y(1) ] − E[y(0) ] E[y(1) ] ：全ての場面でバントしたときの得点の有無（or 得点数）の期待値 E[y(0) ] ：全ての場面でバントしなかったときの得点の有無（or 得点数）の期待値この値を推定することが今回のゴール！ 13 / 110

17. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望因果推論の根本問題先ほどの単純比較は正しい比較になっていない！欲しいのは E[y(1) ] − E[y(0) ] であり、これには欠測したデータを調整する必要がある 14 / 110

18. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望バントによる因果効果の数学的な位置づけ実際の問題 i ：各場面の番号 (i = 1, 2, · · ·, N) zi：各場面でバントしたかどうか y (1) i ：その場面でバントしたときの得点有無や得点数 y (0) i ：その場面でバントしなかったときの得点有無や得点数 zi = 1 のとき → y (1) i が観測され y (0) i が欠測 zi = 0 のとき → y (0) i が観測され y (1) i が欠測 15 / 110

19. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望バントによる因果効果の数学的な位置づけ実際の問題 i ：各場面の番号 (i = 1, 2, · · ·, N) zi：各場面でバントしたかどうか y (1) i ：その場面でバントしたときの得点有無や得点数 y (0) i ：その場面でバントしなかったときの得点有無や得点数 zi = 1 のとき → y (1) i が観測され y (0) i が欠測 zi = 0 のとき → y (0) i が観測され y (1) i が欠測欲しいのは E[y(1) ] − E[y(0) ] ← Rubin の因果効果とも単純比較は E[y(1) |z = 1] − E[y(0) |z = 0] 15 / 110

20. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望各変数の直感的な理解 16 / 110

21. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望欠測を調整して期待値を計算する方法...?? ここまでのまとめもしバントしたときの得点の有無を y(1) 、しなかったときを y(0) 知りたいのは E[y(1) ] − E[y(0) ] 欠測したデータの調整が必要 17 / 110

22. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望欠測を調整して期待値を計算する方法...?? ここまでのまとめもしバントしたときの得点の有無を y(1) 、しなかったときを y(0) 知りたいのは E[y(1) ] − E[y(0) ] 欠測したデータの調整が必要どうにか因果効果を計算する方法を考える必要がある。 → どうすればいいだろうか？ 17 / 110

24. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望選択バイアスという問題（参考：Rosenbaum and Rubin,1983）なぜ欠測した部分の調整が必要なのか？なぜ E[y(1) ] − E[y(0) ] が単純比較と等しくないのか？？ → 選択バイアスという問題 19 / 110

25. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望選択バイアスという問題（参考：Rosenbaum and Rubin,1983）なぜ欠測した部分の調整が必要なのか？なぜ E[y(1) ] − E[y(0) ] が単純比較と等しくないのか？？ → 選択バイアスという問題選択バイアスバントするか否かは様々な変量の影響を受けており、それらは y(1) や y(0) にも同時に影響を及ぼしている 19 / 110

26. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望選択バイアスという問題（参考：Rosenbaum and Rubin,1983）なぜ欠測した部分の調整が必要なのか？なぜ E[y(1) ] − E[y(0) ] が単純比較と等しくないのか？？ → 選択バイアスという問題選択バイアスバントするか否かは様々な変量の影響を受けており、それらは y(1) や y(0) にも同時に影響を及ぼしているこれらの変量を共変量と呼ぶ。打者の能力や点差などが例。例）打者の打率や HR 数が大きい → あまりバントしない＆得点する確率 UP 19 / 110

27. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望共変量の影響共変量：z と (y(1) , y(0) ) のどちらにも影響を与える変数 20 / 110

28. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望選択バイアスの補正とは？ z と (y(1) , y(0) ) は x の影響を受けている → 得られている部分と欠測している部分では分布が違う。つまり質的な偏り（＝選択バイアス）が存在 → 欠測している部分を無視して解析するのは危険！ 21 / 110

29. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望選択バイアスの補正とは？ z と (y(1) , y(0) ) は x の影響を受けている → 得られている部分と欠測している部分では分布が違う。つまり質的な偏り（＝選択バイアス）が存在 → 欠測している部分を無視して解析するのは危険！もしこの選択バイアスの補正をしないまま考察すると · · · 例バントしたケースでは次のバッターの打率が高いケースが多いと思われる。 → バントしたとき得点する確率が上がったように見えるのはこの影響がでているだけでは？？ → バントの効果を正確に測れていない 21 / 110

30. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望解析に必要な仮定強く無視できる割り当て（Strongly Ignorable Treatment Assignment） (y(1) , y(0) ) ⊥⊥ z x が成立するとき、割り当てが「強く無視できる」「強い意味で無視可能」と定義する。 (y(1) , y(0) ) への z の影響はあくまで「x と z の関係」のみを通じて間接的に存在 22 / 110

31. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望傾向スコア直感的な定義選択バイアスを補正し、欠測部分を調整するために考え出されたのが傾向スコア 23 / 110

32. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望傾向スコア直感的な定義選択バイアスを補正し、欠測部分を調整するために考え出されたのが傾向スコア傾向スコア共変量 x が与えられたときのバントする確率のこと 23 / 110

33. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望傾向スコア直感的な定義選択バイアスを補正し、欠測部分を調整するために考え出されたのが傾向スコア傾向スコア共変量 x が与えられたときのバントする確率のこと傾向スコアが大きい＝その状況下ではバントする確率が高い傾向スコアが小さい＝その状況下ではバントしない確率が高い 23 / 110

34. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望傾向スコア数学的な定義バントするかどうかという変数：z|x ∼ ベルヌーイ分布共変量：x (打率、点差など) 傾向スコアの定義 x が与えられたときのバントする確率 e e = e(x) = P(z = 1|x) を傾向スコアという。（注）0 < e(x) < 1 とする。 24 / 110

35. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望傾向スコア直感的な理解傾向スコアが高いときは具体的にどんなときか？？傾向スコアが高い＝バントする確率が高い予想される例バッターの打順が２番や９番バッターの HR 数が少ない・長打力がない相手との点差が小さい次のバッターの打率が高い傾向スコアが低い＝バントする確率が低い場合はこの逆 25 / 110

36. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望強く無視できる割り当ての仮定と傾向スコア強く無視できる割り当てと傾向スコアの関係について定理強く無視できる割り当てと傾向スコア割り当てが強く無視できる割り当てであるとき (y(1) , y(0) ) ⊥⊥ z e(x) が成立。 z が強く無視できる割り当てなら (y(1) , y(0) ) と z の独立性の成立は e(x) を与えるだけで十分。x の分布を考える必要がない。 26 / 110

37. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望なぜ傾向スコアを考えるのか？欠測したデータのせいで、E[y(1) ] や E[y(0) ] がわからない。 ↓ 共変量の情報と強く無視できる割り当ての仮定より、欠測した部分を調整したい。 ↓ 傾向スコアで調整することで得られたデータのみから E[y(1) ] や E[y(0) ] のよい推定量を作れる！ (後述) 27 / 110

38. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望野球データでの傾向スコアの求め方傾向スコアの真値はわからない。よって何らかのモデルを仮定して推定する必要あり。傾向スコア e(xi) = P(zi = 1|xi) 今回のモデル：ロジスティック回帰モデル zi|xi = ⎧ ⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎩ 1 with probability e(xi) 0 with probability 1 − e(xi) log e(xi) 1 − e(xi) = xi Tβ 注）β は係数ベクトル 28 / 110

39. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望共変量の設定今回説明変数として設定した変量は以下の１５変量。 z を説明するであろうと考えた変量。打順試合が行われた月イニング打率次の打者の打率投手の防御率点差投手の WHIP 打者の HR 数 OPS 投手の利き腕打者の利き腕チーム点差とイニングの交互作用投手の利き腕と打者の利き腕の交互作用注）データの補完に関して打席の少ない選手の OPS や打率は全選手の平均を代用。投手も同様。 29 / 110

41. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望 E[y(1) ] − E[y(0) ] の推定目的意識得られたデータから E[y(1) ] − E[y(0) ] の推定をしたい。 IPW 推定量と呼ばれる推定量が使える。 Rubin(1985) によって提案傾向スコアを使用 E[y(1) ] と E[y(0) ] をそれぞれ推定する一致推定量 31 / 110

42. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望 IPW 推定量数学的な定義 IPW 推定量 Inverse Probability Weighted Estimator ˆEIPW [y(1) ] = N i=1 zi ei yi N j=1 zj ej ˆEIPW [y(0) ] = N i=1 1 − zi 1 − ei yi N j=1 1 − zj 1 − ej 注）yi について yi = ⎧ ⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎩ y (1) i (zi = 1) y (0) i (zi = 0) 32 / 110

43. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望 IPW 推定量直感的な理解 IPW 推定量 ˆEIPW [y(1) ] = N i=1 zi ei yi N j=1 zj ej IPW 推定量＝傾向スコア e(x) の逆数による重み付け平均 e(xi) の値が小さい yi がより強い影響を与える zi = 1 の項のみを考慮していることに注意 33 / 110

44. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望 IPW 推定量の数学的な意味付け IPW 推定量の重要な性質：「一致性を持つ」数学的に表現すると ÊIPW [y(1) ] は E[y(1) ] へ確率収束する。つまり ∀ϵ > 0; P ÊIPW [y(1) ] − E[y(1) ] > ϵ → 0 as N → ∞ サンプル数 N を十分多くとってきたとき IPW 推定量は E[y(1) ] に収束するということ。 → 得られたデータから計算できる ÊIPW [y(1) ] で E[y(1) ] を推定できる！ 34 / 110

45. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望 IPW 推定量の問題点 IPW 推定量にもいくつか弱点がある。傾向スコアの真値がわからない場合が多い → モデルを仮定して推定するしかない不安定である → e(x) を逆数にとっているため、影響が大きく出すぎる項がある分散の計算が難しい → 理論上は漸近分散を求められるが、使ってよいのか？ → 今回はブートストラップ法により計算する 35 / 110

47. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望二重にロバストな推定法導入特に重大な IPW 推定量の弱点 → 傾向スコア e(x) は何らかのモデルの仮定をおいて推定。 → もしモデルの仮定を間違えば IPW 推定量は一致推定量にならないこの問題を解決したい · · · 二重にロバストな推定量の登場！ 37 / 110

48. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望二重にロバストな推定法導入特に重大な IPW 推定量の弱点 → 傾向スコア e(x) は何らかのモデルの仮定をおいて推定。 → もしモデルの仮定を間違えば IPW 推定量は一致推定量にならないこの問題を解決したい · · · 二重にロバストな推定量の登場！ Doubly Robust Estimator Augmented Inverse Probability Weighted Estimator などとも呼ばれる。(Bang and Robins(2005)) 37 / 110

49. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望二重にロバストな推定量の定義 IPW 推定量 (再掲) ˆEIPW [y(1) ] = N i=1 zi ei yi N j=1 zj ej 38 / 110

50. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望二重にロバストな推定量の定義 IPW 推定量 (再掲) ÊIPW [y(1) ] = N i=1 zi ei yi N j=1 zj ej 二重にロバストな推定量 Doubly Robust Estimator ÊDR [y(1) ] = 1 N N i=1 ⎡ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ziy (1) i e(xi, ˆα) − zi e(xi, ˆα) − 1 g1(xi, ˆγ1) ⎤ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ÊDR [y(0) ] = 1 N N i=1 ⎡ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ (1 − zi)y (0) i 1 − e(xi, ˆα) − 1 − zi 1 − e(xi, ˆα) − 1 g0(xi, ˆγ0) ⎤ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ e(xi, ˆα), g1(xi, ˆγ1), g0(xi, ˆγ0) の定義は次ページ 38 / 110

51. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望定義のための準備モデルの仮定以下のようなモデルを仮定する。 1 P(z = 1|x, α) = e(x, α) 2 E[y(1) |x] = g1(x, γ1) , E[y(0) |x] = g0(x, γ0) 1 傾向スコアに関するモデル割り当てを共変量で説明する。α は未知の母数ベクトル例）ロジスティック回帰モデル 2 共変量で結果変数 (y(0) , y(1) ) を説明するモデル γ1, γ は未知の母数ベクトル。それぞれの推定量を ˆα, ˆγ1, ˆγ0 とする。 39 / 110

52. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望二重にロバストな推定量の定義 (再掲) 二重にロバストな推定量 Doubly Robust Estimator ÊDR [y(1) ] = 1 N N i=1 ⎡ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ziy (1) i e(xi, ˆα) − zi e(xi, ˆα) − 1 g1(xi, ˆγ1) ⎤ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ÊDR [y(0) ] = 1 N N i=1 ⎡ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ (1 − zi)y (0) i 1 − e(xi, ˆα) − 1 − zi 1 − e(xi, ˆα) − 1 g0(xi, ˆγ0) ⎤ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ÊDR [y(1) ] の初項は IPW 推定量と同じ第二項は欠測しているデータの影響も含む。 → Augmented(拡張された) の由来 40 / 110

53. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望 DR 推定量の性質モデルの仮定 1 P(z = 1|x, α) = e(x, α) 2 E[y(1) |x] = g1(x, γ1) , E[y(0) |x] = g0(x, γ0) DR 推定量には以下のような性質がある。 41 / 110

54. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望 DR 推定量の性質モデルの仮定 1 P(z = 1|x, α) = e(x, α) 2 E[y(1) |x] = g1(x, γ1) , E[y(0) |x] = g0(x, γ0) DR 推定量には以下のような性質がある。モデルの仮定２つのうちどちらか一方があっていれば一致推定量 → 「二重にロバスト」の由来。IPW の弱点を克服どちらの仮定も正しければ IPW 推定量より分散が小さい (星野、2009) 仮定がどちらも間違っていても、それほどひどい結果にはならない（星野、2009） 41 / 110

55. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望 double robust 性二重にロバストな推定量はモデルの仮定２つのうちどちらか一方が正しければ一致推定量。直感的な理解 ˆEDR [y(1) ] = 1 N N i=1 ⎡ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ziy (1) i e(xi, ˆα) − zi e(xi, ˆα) − 1 g1(xi, ˆγ1) ⎤ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ = 1 N N i=1 y (1) i − y (1) i + zi e(xi, ˆα) (y (1) i − g1(xi, ˆγ1)) + g1(xi, ˆγ1) = 1 N N i=1 y (1) i + zi e(xi, ˆα) − 1 (y (1) i − g1(xi, ˆγ1)) 42 / 110

57. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望前半のまとめ解析対象とするシチュエーションバントの因果効果選択バイアス共変量傾向スコア IPW 推定量ダブルロバスト推定量 44 / 110

58. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望参考文献 Rosenbaum, P.R and Rubin, D.B.(1983), “The central role of the propensity score in observational studies for causal effects”, Biometrika, 70, 516-524 Rubin, D.B. (1974), ”Estimating causal effects of treatments in randomized and nonrandaomized studies”, Journal of Educational Psychology, 66(5), 688-701 Rubin, D.B. (1985) ,”The use of propensity scores in applied Bayesian inference”, in Bayesian Statistics, Vol. 2, J. Bernardo, M. DeGroot, D. Lindley and A. Smith, eds. Elsevier, New York, pp. 463-472. 45 / 110

59. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望参考文献その２ Bang, H., Robins J.M. (2005),”Doubly robust estimation in missing data and causal inference models”, Biometrics, 61(4), 962-973. Anastasios A. Tsiatis(2006),Semiparametric Theory and Missing Data,Springer Series in Statistics 星野崇宏 (2009), 調査観察データの統計科学̶因果推論・選択バイアス・データ融合, 岩波書店 46 / 110

60. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望質疑応答 47 / 110

62. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望スポーツデータアナリティクス基礎講座 -後編- 慶應義塾大学大学院理工学研究科修士 1 年中村知繁 49 / 110

63. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望解析の目的と手順解析の目的（確かめたいこと）バント作戦を取ることで得点する確率・得点数の期待値は上昇するか解析の手順傾向スコアの計算 IPW 推定量の計算（期待値の計算）ブートストラップ法による IPW 推定量の信頼区間の推定一般化加法モデルを用いたより詳しい解析解析した結果の考察・まとめ 50 / 110

64. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望傾向スコアの計算 ※ 傾向スコアの真値はわからない。 → モデルを仮定して推定する必要あり。 → ロジスティック回帰モデルを使用ロジスティック回帰モデル zi|xi ∼ ベルヌーイ (e(xi)) (1) log e(xi) 1 − e(xi) = xi Tβ (2) 注）zi 割り当て変数, xi 共変量, β は回帰係数ベクトル 51 / 110

65. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望傾向スコアの計算 -共変量の設定- 共変量 x に設定した 15 個の変量．バントするか否かに影響を与えるであろうと考えた変量。打順試合が行われた月イニング打率次の打者の打率投手の防御率点差投手の WHIP 打者の HR 数 OPS 投手の利き腕打者の利き腕チーム点差とイニングの交互作用投手の利き腕と打者の利き腕の交互作用注）データの補完に関して打席の少ない選手の OPS や打率は全選手の平均を代用。投手も同様。 52 / 110

66. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望傾向スコアの計算 -計算結果（回帰係数）- 推定値標準誤差 z 値 p 値打率 -6.5237 4.8112 -1.36 0.1751 次の打者の打率 4.8968 1.9131 2.56 0.0105 投手の防御率 0.0012 0.1319 0.01 0.9925 ホームラン数 -0.1184 0.0271 -4.36 < 10−5 WHIP 0.0936 0.7743 0.12 0.9038 OPS 0.3268 1.9385 0.17 0.8661 打順 3 -2.9362 0.6586 -4.46 < 10−5 打順 4 -3.3007 0.6866 -4.81 < 10−5 打順 5 -1.3262 0.3973 -3.34 0.0008 打順 6 -1.9168 0.4308 -4.45 < 10−5 打順 7 -1.1626 0.3745 -3.10 0.0019 打順 9 1.5529 0.3613 4.30 < 10−5 投手-利き腕 -0.7295 0.2550 -2.86 0.0042 打者-利き腕 -0.7991 0.2922 -2.73 0.0062 利き腕の交互作用 1.0767 0.3439 3.13 0.0017 53 / 110

67. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望傾向スコアの計算 -計算結果- バント作戦打率 ... 対数オッズ比傾向スコア 1 とらない 0.309 ... -6.24 0.0019 2 とった 0.124 ... 3.11 0.9574 3 とった 0.124 ... 2.59 0.9302 4 とらない 0.293 ... -6.96 0.0009 5 とらない 0.293 ... -1.48 0.1852 6 とった 0.124 ... 2.33 0.9117 Table : 傾向スコアの推定結果（抜粋）【補足】変数選択について - Robins et al. (1992) 傾向スコアの推定においては、有意ではない変数が入っていても良い 54 / 110

68. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望傾向スコアの計算 -プロット- Figure : 対数オッズ比 (X 軸) vs 傾向スコア (Y 軸) 55 / 110

69. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望 IPW 推定量 -再掲- IPW 推定量 - Rubin(1985) IPW 推定量は傾向スコアの逆数による重み付き平均． y (1) i : バント作戦をとった場合の i 番目のサンプルの「得点する確率」または「得点数」 y (0) i : バント作戦をとらなかった場合の i 番目のサンプルの「得点する確率」または「得点数」 zi：i 番目のサンプルの割り付け変数 ei：i 番目のサンプルの傾向スコア ˆEIPW [y(1) ] = N i=1 zi ei yi N j=1 zj ej ˆEIPW [y(0) ] = N i=1 1 − zi 1 − ei yi N j=1 1 − zj 1 − ej 56 / 110

70. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望 IPW 推定量 - 「得点する確率」計算結果- IPW 推定量を計算した結果 - 得点する確率 ÊIPW [y(1) ] = 0.159 Bant ÊIPW [y(0) ] = 0.249 Hitting ÊIPW [y(1) ] − ÊIPW [y(0) ] = −0.090 得点する確率の差 57 / 110

71. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望 IPW 推定量 - 「得点する確率」計算結果- IPW 推定量を計算した結果 - 得点する確率 ÊIPW [y(1) ] = 0.159 Bant ÊIPW [y(0) ] = 0.249 Hitting ÊIPW [y(1) ] − ÊIPW [y(0) ] = −0.090 得点する確率の差 IPW 推定量計算結果 -解釈- バント作戦をとらない方が得点する確率が高い？ 57 / 110

72. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望 IPW 推定量 - 「得点数」計算結果- IPW 推定量計算結果 - 得点数 ÊIPW [y(1) ] = 0.258 Bant ÊIPW [y(0) ] = 0.451 Hitting ÊIPW [y(1) ] − ÊIPW [y(0) ] = −0.194 得点数の期待値の差 58 / 110

73. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望 IPW 推定量 - 「得点数」計算結果- IPW 推定量計算結果 - 得点数 ÊIPW [y(1) ] = 0.258 Bant ÊIPW [y(0) ] = 0.451 Hitting ÊIPW [y(1) ] − ÊIPW [y(0) ] = −0.194 得点数の期待値の差 IPW 推定量計算結果 - 解釈バント作戦を取らない方が得点数の期待値が高い？ 58 / 110

74. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望 IPW 推定量 -信頼区間の導出法- 先ほどの結果から、得点する確率も、得点数の期待値もバント作戦をとらない方が高い？ → 推定値の差の標準誤差を求めて、有意なのかを確認する必要がある。 IPW 推定量の標準誤差の推定方法推定値の差の信頼区間が 0 を含むと有意とは言いがたい． IPW 推定量の漸近正規性を用いて計算することはできるが、適切かがわからないので、ブートストラップ法を用いる。 → IPW 推定量の「差の信頼区間」が図示できる 59 / 110

75. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望 IPW 推定量 -分散の推定法（Bootstrap 法）- ブートストラップ法：Efron(1979) 推定量の性質（例：分散）を経験分布に従う標本に基づいて推測する方法仮定される分布が疑わしい・パラメトリックな仮定が不可能・複雑な場合に代用されることが多い．ブートストラップ法を用いると、複雑な推定に対する標準誤差・信頼区間を比較的簡単な計算で求めることができる。ただし、得られた標本に偏りがある場合には良い推定が行えない。 60 / 110

76. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望 IPW 推定量 -分散の推定法（Bootstrap 法）- 統計量 T(x) の標準偏差 SD(T(X)) に興味がある．得られた標本 (x1, · · · , xn) から n 個を復元抽出し、ブートストラップ標本 x∗ = (x∗ 1, · · · , x∗ n) を作成しブートストラップ統計量 T(x∗ ) を計算する．上記の操作を B 回繰り返し、T(x∗1 ), · · · , T(x∗B ) を計算する。得られた T(x∗1 ), · · · , T(x∗B ) を用いて標準偏差を計算する． 61 / 110

77. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望 IPW 推定量 -分散の推定法（野球データ）- 0 死 1 塁の 3353 個のデータ (d1, · · · , d3353) から無作為復元抽出を 3353 回（サンプル数と同じ回数）行い、大きさ 3353 のブートストラップ標本 d∗b = (d∗ 1, · · · , d∗ 3353) を構成する。上記の操作を 1000 回繰り返して、1000 個のブートストラップ標本 (d∗1 , · · · , d∗1000 ) を作成し、それぞれのブートストラップ標本を用いてロジスティック回帰を行い、傾向スコアを推定する。推定した傾向スコアを用いて、ÊIPW (y∗1 ), · · · , ÊIPW (y∗1000 ) を推定する。これらをバントした場面、しなかった場面に対してそれぞれ計算する。 1000 個の ÊIPW (y∗b 1 ) − ÊIPW (y∗b 0 ) から標準誤差を推定する。 62 / 110

78. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望 IPW 推定量 -分散の推定結果- Bootstrap 信頼区間得点する確率の差の 90%信頼区間 = (−0.187, 0.052) 得点する確率の差の 95%信頼区間 = (−0.210, 0.075) 得点数の期待値の差の 90%信頼区間 = (−0.345, 0.029) 得点数の期待値の差の 95%信頼区間 = (−0.380, 0.0664) → 全ての信頼区間が 0 をまたいでいる → 図示すると次のようになる 63 / 110

79. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望 IPW 推定量 -分散の推定結果- Figure : 横軸は IPW 推定量の差 64 / 110

80. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望 IPW 推定量 -分散の推定結果（解釈）- IPW 推定量：結果の解釈得点する確率：IPW 推定量の差の 90% 信頼区間は 0 をまたいでいる．得点数：IPW 推定量の差の 90% 信頼区間は 0 をまたいでいる． → 得点する確率、得点数の期待値はそれぞれバント作戦を「とる・とらない」によって有意に差が見られない。バントをしたくない諸君... 残念！ 65 / 110

81. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望もう少し詳しい解析へバント作戦を「とる・とらない」によって得点する確率、得点数の期待値に有意な差は見られなかった。「期待値」には差がないが、シチュエーション（バントをする確率が高い場面・低い場面）によって差があるのではないか？傾向スコアは様々な変数からなるシチュエーションを縮約して、そのシチュエーションでバントをする確率を表す。傾向スコアによって、得点する確率・得点数を回帰すれば何かわかるかもしれない． 66 / 110

82. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望得点する確率・得点数と傾向スコアの関係の解析 -目的・手法- 解析の目的「傾向スコア（バント作戦をとる確率）」と、「得点する確率・得点数」の関係を明らかにする．解析の手順バント作戦を「とる」場合と「とらない」場合にデータを分割する。 1 それぞれの場合に対して「得点した・しない」を目的変数にとり、傾向スコアで説明するモデルを考える． 2 それぞれの場合に対して「得点数」を目的変数にとり、傾向スコアで説明するモデルを考える． 67 / 110

83. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望得点する確率・得点数と傾向スコアの関係の解析 -傾向スコアと対数オッズ（線形予測量）の関係- 説明変数としては、対数オッズ比（線形予測量）を用いる。傾向スコアを説明変数にすると図が見づらい（定義域が狭い）。実際、傾向スコアと対数オッズ比の関係は以下である。 log ei 1 − ei = xT i β (3) ei = exp(xT i β) 1 + exp(xT i β) (4) → 対数オッズ比（線形予測量）と傾向スコアの値は 1 対 1 に対応する → 説明変数には対数オッズ比を利用する！ 68 / 110

84. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望得点する確率・得点数と傾向スコアの関係の解析 -手法の選択- 確認したいことバントする確率の変化（対数オッズ比）に対して、得点する確率・得点数がどのように変化するのかを見たい。 → スプライン平滑化法を用いた一般化加法モデルを用いて可視化する．※信頼区間の記述もできる． 1 変量の場合の一般化加法モデル Yi ∼ ’ 指数型分布族’ (i = 1, 2, · · · , n) E[Yi] = µi (i = 1, 2, · · · , n) g(µi) = f(xi) f : 共変量 xi に対応する滑らかな関数 69 / 110

85. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望得点する確率・得点数と傾向スコアの関係の解析 -手法の選択- 得点する確率に対する分布の仮定得点する確率に対してはベルヌーイ分布を仮定する。 → 得点する確率を pi とすると、対数オッズ比 log pi 1 − pi が xi の滑らかな関数 f(xi) で表されると仮定するモデル得点数に対する分布の仮定得点数に対しては、ポアソン分布を仮定する。 → 得点数 Yi の期待値を E[Yi] = θi とすると、対数 log θi が xi の滑らかな関数 f(xi) で表されると仮定するモデル 70 / 110

86. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望得点する確率に対する解析 71 / 110

87. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望得点する確率と傾向スコアの関係の解析 -得点する確率に対する解析- GAM を用いたロジスティック回帰の結果は以下である．・破線は 90% 信頼区間に対応。 72 / 110

88. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望得点する確率と傾向スコアの関係の解析 -得点する確率の解析の解釈- 信頼区間が完全に分離している区間は存在しない． → バント作戦をとる確率が変化（シチュエーションが変化）しても、バント作戦を選択する・しないによって得点をする確率には有意な差が存在しない．バント作戦をとったケースが少なく、信頼区間が広い． → バント作戦を取った場合の得点する確率の期待値の推定曲線はあまり信頼できるものではない。対数オッズ比が −1 から 0 付近で、バント作戦をとる場合の得点する確率が上昇． → 断定的なことは言えないが、バントをする確率に直せば 0.27 から 0.50 の間ではバント作戦を選択する方が得点をする確率は上昇するのかもしれない。 73 / 110

89. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望得点数に対する解析 74 / 110

90. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望得点数と傾向スコアの関係の解析 -得点数の分布を考える- 得点数に対する分布の仮定得点数に対しては、ポアソン回帰モデル用いる。 → 得点数 Yi の期待値を E[Yi] = θi とすると、対数 log θi が xi の滑らかな関数 f(xi) で表されると仮定するモデル 75 / 110

91. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望得点数と傾向スコアの関係の解析 -得点数の分布を考える- 得点数に対する分布の仮定得点数に対しては、ポアソン回帰モデル用いる。 → 得点数 Yi の期待値を E[Yi] = θi とすると、対数 log θi が xi の滑らかな関数 f(xi) で表されると仮定するモデルポアソン回帰モデルを用いるのは、適切な仮定でないことがある。→ 過分散性の問題． 75 / 110

92. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望得点数と傾向スコアの関係の解析 -得点数の分布を考える- 得点数に対する分布の仮定得点数に対しては、ポアソン回帰モデル用いる。 → 得点数 Yi の期待値を E[Yi] = θi とすると、対数 log θi が xi の滑らかな関数 f(xi) で表されると仮定するモデルポアソン回帰モデルを用いるのは、適切な仮定でないことがある。→ 過分散性の問題．過分散 -overdispersion- ポアソン分布の仮定：E[Yi] = Var(Yi) 過分散： E[Yi] < Var(Yi) （平均よりも分散が大きい）今回は、「過分散」なケース． 75 / 110

93. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望得点数と傾向スコアの関係の解析 -得点数の分布を考える- 過分散を扱える方法はあるのだろうか？平均と分散の関係性を次のようにして、擬似的にポアソン分布を用いたような解析はできないだろうか？ Var(Yi) = φE[Yi], φ : scale parameter 76 / 110

94. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望得点数と傾向スコアの関係の解析 -得点数の分布を考える- 過分散を扱える方法はあるのだろうか？平均と分散の関係性を次のようにして、擬似的にポアソン分布を用いたような解析はできないだろうか？ Var(Yi) = φE[Yi], φ : scale parameter 疑似尤度法（Quasi-Likelihood）: Wedderburn(1974) 分布を仮定せずに、平均と分散の関係のみを用いて擬似的に尤度を構成する方法確率変数 Zi が平均 µi で分散が µi の既知関数 V(µi) を用いて Var(Zi) = φV(µi) と表されるとすると、疑似尤度関数は、以下の方程式を満たす K(zi, µi) として定義される。 ∂K(zi, µi) ∂µi = zi − µi φV(µi) 76 / 110

95. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望得点数と傾向スコアの関係の解析 -得点数の分布を考える- 疑似尤度法の性質: Wedderburn(1974) Yi が単一母数の指数型分布族に従うとき、疑似尤度と対数尤度が一致するポアソン分布を仮定したモデルのあてはめで推定される回帰係数は、疑似尤度法で推定される回帰係数と一致する． → よって、今回は疑似尤度法を用いて解析を行う． ※この他にも過分散を扱うためには負の二項分布を用いた回帰法がある． 77 / 110

96. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望得点数と傾向スコアの関係の解析 -得点数に対する解析- 疑似尤度法を用いた解析の結果は以下である．・破線は 90% 信頼区間に対応。 78 / 110

97. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望得点数と傾向スコアの関係の解析 -得点数の解析の解釈- 信頼区間が完全に分離している区間は存在しない． → バント作戦をとる確率が変化（シチュエーションが変化）しても、バント作戦を選択する・しないによって得点数には有意な差が存在しない．バント作戦をとったケースが少なく、信頼区間が広い． → バント作戦を取った場合の得点数の期待値の推定曲線はあまり信頼できるものではない。対数オッズ比が −1 から 0 付近で、バント作戦をとる場合の得点数の推定値が上昇． → 断定的なことは言えないが、バントをする確率に直せば 0.27 から 0.50 の間ではバント作戦を選択する方が得点数の期待値は上昇するのかもしれない。 79 / 110

98. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望解析のまとめ (・ω・) ノ 80 / 110

99. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望解析のまとめ IPW 推定量と Bootstrap 法を用いた解析バント作戦を取る場合の IPW 推定量と、バント作戦を取らない場合の IPW 推定量を「得点をする確率」・「得点数」それぞれに対して計算する． IPW 推定量の標準誤差をブートストラップ法により計算．【結果 1】バント作戦を「取る場合」と「取らない場合」の「得点をする確率」に有意な差は存在しない【結果 2】バント作戦を「取る場合」と「取らない場合」の「得点数の期待値」に有意な差は存在しない 81 / 110

100. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望解析のまとめ一般化加法モデル・疑似尤度法を用いた解析バント作戦を「取る場合」と「取らない場合」それぞれに対して、「得点した・していない」「得点数」を対数オッズ比で説明するモデルを構築．【結果 1】バント作戦を「取る場合」と「取らない場合」で、バントをするシチュエーションによって「得点をする確率」に有意な差は認められなかった【結果 2】バント作戦を「取る場合」と「取らない場合」で、バントをするシチュエーションによって「得点数」に有意な差は認められなかった【結果 3】バント作戦をとる確率が 30% ∼ 50% の状況下では、バント作戦を取る方が得点数が上昇する可能性が示唆された 82 / 110

101. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望解析のまとめバントが嫌いな皆様... ごめんなさい力になれませんでした 83 / 110

102. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望解析のまとめ現実の感覚との比較と私たちの結論今回の解析の結果から、バント作戦を取る効果が統計的に有意であるという結論は導くことができなかった。実際に、バント作戦を取るべきか・取らないべきかと、私たちが野球の観戦を見ながら悩むという感覚は間違っていないヒッティングすべき？ここは堅実に送りバントだろ！のような議論はよく起こっている。有意になる可能性が示唆されたところもあったが、今回は敢えて「断定」を避けて、統計的な結論は「私たちの解析からは有意差は見られなかった」とする。 84 / 110

104. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望今後の課題と展望 86 / 110

105. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望今後の課題と展望 -本日のまとめ- お話ししたこと（前半）解析するデータについて選択バイアスと傾向スコアの性質 IPW 推定量とダブルロバスト推定量お話ししたこと（後半）傾向スコアの算出 IPW 推定量の導出とブートストラップ法による信頼区間の推定一般化加法モデルを用いたより詳しい解析 87 / 110

106. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望今後の課題今後の課題傾向スコアを推定する際の、共変量の選択． → 犠打成功率, ピッチャーのストレートの平均球速．データの少ない選手に対する、データを補完する方法．実際の戦略に役立てるためには、0 死 1 塁の場合などにケースを絞る必要があるが、ケースを絞るとデータ数が少なくなり解析で有意な結果が得にくい． 88 / 110

107. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望参考文献参考文献 B. Efron(1979). Bootstrap methods: Another look at the jackknife. Ann. Statist. 7 1-26 B. Efron and R. Tibshirani(1986). Bootstrap Methods for Standard Errors, Conﬁdence Intervals, and Other Measures of Statistical Accuracy. Statist. Sci. Volume 1, Number 1 (1986), 54-75. Hastie, T. J. and Tibshirani, R. J. (1990). Generalized Additive Models. Chapman & Hall/CRC Wedderburn, R.W.M. (1974). ”Quasi-likelihood functions, generalized linear models, and the Gauss-Newton method”. Biometrika 61 (3): 439-447 Wood, S. N. (2006). Generalized Additive Models: An Introduction with R. Chapman & Hall/CRC Robins J.M., Mark, S. D. and Newey, W.K.(1992), ”Estimating exposure effects by modelling the expectation of exposure conditional on confounders”, Biometrics, 48, 479-495 89 / 110

108. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望謝辞本研究は、情報・システム研究機構の新領域融合研究プロジェクト『社会コミュニケーション』データ中心科学リサーチコモンズ事業『人問・社会データ』および情報・システム研究機構統計数理研究所の支援により提供されたデータに基づいて行われました．プロ野球データを利用する機会をいただいた統計数理研究所、および、データスタジアム株式会社に感謝申し上げます．また、スポーツデータコンペティッションを開催いただいた先生方、本講座で発表する機会を与えて下さった先生方に感謝申し上げます．どうもありがとうございました． 90 / 110

109. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望以上で、発表を終了いたします質疑応答 91 / 110

110. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望補足資料（前半） 92 / 110

111. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望強く無視できる割り当てと傾向スコアの定理定理強く無視できる割り当てと傾向スコア (y(1) , y(0) ) ⊥⊥ z xならば (y(1) , y(0) ) ⊥⊥ z e(x) proof (y(1) , y(0) ) ⊥⊥ z e(x) を仮定する。 P(z = 1|y(1) , y(0) , e(x)) = P(z = 1|e(x)) = e(x) を示せばよい。 P(z = 1|y(1) , y(0) , e(x)) = P(z = 1|y(1) , y(0) , x, e(x))P(x|y(1) , y(0) , e(x))dx = P(z = 1|x)P(x|y(1) , y(0) , e(x))dx = Ex [P(z = 1|x)|y(1) , y(0) , e(x)] = Ex [e(x)|y(1) , y(0) , e(x)] = e(x) 93 / 110

112. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望 IPW 推定量の別の定義 IPW 推定量に以下の定義を与えている本もある IPW 推定量 ˆEIPW u [y(1) ] = 1 N N i=1 zi ei yi ˆEIPW u [y(0) ] = 1 N N i=1 1 − zi 1 − ei yi どちらの定義でも N → ∞ で E[y(1) ], E[y(0) ] に確率収束する。前の定義のほうが推定精度がよいことが知られている。 94 / 110

113. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望 IPW 推定量の一致性大数の弱法則から 1 N N j=1 zi ei p −→ E z e = Ex E z e(x) x = Ex 1 e(x) P(z = 1|x) + 0 e(x) P(z = 0|x) = 1 が成立。よって ˆEIPW [y(1) ] = ˆEIPW u [y(1) ] + op(1)。 95 / 110

114. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望 IPWE の一致性 2 さらに E zy e = E z(zy(1) + (1 − z)y(0) ) e = E z2 y(1) + z(1 − z)y(0) e = E zy(1) e = Ex E zy(1) e x 強く無視できる割り当てを仮定すれば Ex E zy(1) e x = Ex E z e x E[y(1) |x] = Ex[E[y(1) |x]] = E[y(1) ] 96 / 110

115. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望 IPWE の一致性 3 以上より、 ÊIPW [y(1) ] = ÊIPW u [y(1) ] + op(1) = 1 N N i=1 zi ei yi + op(1) p −→ E zy e = E[y(1) ] 同様にして ÊIPW [y(0) ] = ÊIPW u [y(0) ] + op(1) p −→ E (1 − z)y 1 − e = E[y(0) ] 97 / 110

116. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望 IPWE の漸近分散について IPW 推定量は M 推定量のひとつであり、漸近分散が計算できる。（詳しくは星野 (2009) などを参照） ÊIPW [y(1) ] − ÊIPW [y(0) ] の漸近分散の推定 1 N N i=1 zi êi 2 yi − ÊIPW [y(1) ] 2 − 1 − zi 1 − êi 2 yi − ÊIPW [y(0) ] 2 − 1 N DC−1 D C = E ηη′ e(1 − e) D = E y(1) − E[y(1) ] e + y(0) − E[y(0) ] 1 − e η′ η = ∂e ∂γ1 98 / 110

117. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望 DR 性の証明の準備モデルの仮定 1 P(z = 1|x, α) = e(x, α) 2 E[y(1) |x] = g1(x, γ1) , E[y(0) |x] = g0(x, γ0) もし１が正しく仮定されていれば ˆα p −→ α より e(x, ˆα) p −→ e(x, α) = P(z = 1|x) もし１が誤った仮定ならば ∃α∗ s.t.ˆα p −→ α∗ かつ e(x, ˆα) p −→ e(x, α∗ ) P(z = 1|x) もし２が正しく仮定されていれば ˆγ1 p −→ γ1 より g1(x, ˆγ1) p −→ g1(x, γ1) = E[y(1) |x] もし２が誤っていれば ∃γ1 ∗ s.t.ˆγ1 p −→ γ1 ∗ かつ g1(x, ˆγ1) p −→ g1(x, γ1 ∗ ) E[y(1) |x] 99 / 110

118. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望 double robust 性二重にロバストな推定量はモデルの仮定２つのうちどちらか一方が正しければ一致推定量。計算のための準備 ˆEDR [y(1) ] = 1 N1 N1 i=1 ⎡ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ziy (1) i e(xi, ˆα) − zi e(xi, ˆα) − 1 g1(xi, ˆγ1) ⎤ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ = 1 N1 N1 i=1 y (1) i − y (1) i + zi e(xi, ˆα) (y (1) i − g1(xi, ˆγ1)) + g1(xi, ˆγ1) = 1 N1 N1 i=1 y (1) i + zi e(xi, ˆα) − 1 (y (1) i − g1(xi, ˆγ1)) 100 / 110

119. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望 double robust 性 2 ケース１もし１が正しく仮定され、２が正しく仮定されていないとき e(x, ˆα) p −→ e(x, α) = P(z = 1|x) g1(x, ˆγ1) p −→ g1(x, γ1 ∗ ) E[y(1) |x] だから ˆEDR [y(1) ] = 1 N1 N1 i=1 y (1) i + zi e(xi, α) − 1 (y (1) i − g1(xi, γ1 ∗ )) +op(1) p −→ E y(1) + z P(z = 1|x) − 1 (y(1) − g1(x, γ1 ∗ )) = E[y(1) ] + E z P(z = 1|x) − 1 (y(1) − g1(x, γ1 ∗ )) 101 / 110

120. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望 double robust 性ケース１第２項 E z P(z = 1|x) − 1 (y(1) − g1(x, γ1 ∗ )) の計算 (第２項) = Ey(1),x E z P(z = 1|x) − 1 (y(1) − g1(x, γ1 ∗ )) y(1) , x = Ey(1),x (y(1) − g1(x, γ1 ∗ ))E z P(z = 1|x) − 1 y(1) , x = Ey(1),x (y(1) − g1(x, γ1 ∗ ))E z P(z = 1|x) − 1 x y(1) = 0 ∴ ˆEDR [y(1) ] p −→ E[y(1) ] 102 / 110

121. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望 double robust 性ケース２ケース２もし２が正しく仮定され、１が正しく仮定されていないとき e(x, ˆα) p −→ e(x, α∗ ) P(z = 1|x) g1(x, ˆγ1) p −→ g1(x, γ1) = E[y(1) |x] だから ˆEDR [y(1) ] = 1 N1 N1 i=1 y (1) i + zi e(xi, α∗) − 1 (y (1) i − g1(xi, γ1)) +op(1) p −→ E[y(1) ] + E z e(xi, α∗) − 1 (y(1) − E[y(1) |x]) 103 / 110

122. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望 double robust 性ケース２第２項 E z e(xi, α∗) − 1 (y(1) − E[y(1) |x]) の計算 (第２項) = Ez,x E ( z e(x, α∗) − 1)(y(1) − E[y(1) |x]) z, x = Ez,x z e(x, α∗) − 1 E[y(1) − E[y(1) |x] z, x] = 0 ∴ ˆEDR [y(1) ] p −→ E[y(1) ] 104 / 110

123. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望補足資料（後半） 105 / 110

124. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望傾向スコアに入れる変数の候補ピッチャー、サード、ファーストのフィールディングキャッチャーの肩（盗塁阻止率）投手のストレートの平均速度・奪三振率リーグの順位ランナーの走力投手の得点圏被打率（次の）バッターの得点圏打点・打率グラウンドの状態：土か人工芝か球場の広さ（広いとスモールベースボールする）ランナーの盗塁数チームと打順の交互作用 106 / 110

125. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望 Bootstrap 法のイラスト 107 / 110

126. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望 GAM モデルと信頼区間 GAM 信頼区間の推定 g(µi) = Xiβ, µi ≡ E(Yi) Yi ∼ ’some exponential family’ ここで、g はリンク関数である。また、推定値は以下の罰則付き尤度を β について最小化することによって得られる。罰則付き尤度 = −l(β) + 1 2 m i=1 λiβT Siβ この結果をベイズ的に解釈して、近似的に β|v ∼ N XT WX + λiSi −1 XT Wz, XT WX + λiSi −1 φ 108 / 110

127. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望ダブルロバスト推定量 - 「得点する確率」計算結果- ダブルロバスト推定量を計算した結果 - 得点する確率 ÊDR [y(1) ] = 0.118 Bant ÊDR [y(0) ] = 0.181 Hitting ÊDR [y(1) ] − ÊDR [y(0) ] = −0.062 得点する確率の差 109 / 110

128. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望ダブルロバスト推定量 - 「得点する確率」計算結果- ダブルロバスト推定量を計算した結果 - 得点する確率 ÊDR [y(1) ] = 0.118 Bant ÊDR [y(0) ] = 0.181 Hitting ÊDR [y(1) ] − ÊDR [y(0) ] = −0.062 得点する確率の差ダブルロバスト推定量計算結果 -解釈- バント作戦をとらない方が得点する確率が高い？ 109 / 110

129. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望ダブルロバスト推定量 - 「得点数」計算結果- ダブルロバスト推定量計算結果 - 得点数 ÊDR [y(1) ] = 0.198 Bant ÊDR [y(0) ] = 0.308 Hitting ÊDR [y(1) ] − ÊDR [y(0) ] = −0.110 得点数の期待値の差 110 / 110

130. 傾向スコアを適用した因果効果の検証 Ogawa, Nakamura はじめにシチュエーションの整理欠測の調整方法 IPW 推定量についてダブルロバスト推定量前半のまとめ傾向スコアを用いたバント作戦の効果の解析今後の課題と展望ダブルロバスト推定量 - 「得点数」計算結果- ダブルロバスト推定量計算結果 - 得点数 ÊDR [y(1) ] = 0.198 Bant ÊDR [y(0) ] = 0.308 Hitting ÊDR [y(1) ] − ÊDR [y(0) ] = −0.110 得点数の期待値の差ダブルロバスト推定量計算結果 - 解釈バント作戦を取らない方が得点数の期待値が高い？ 110 / 110

131. 2014.7.27 第１回スポーツデータアナリティクス基礎講座 . ...... コンペティッション参加の動機と解析の経緯、その後南美穂子慶應義塾大学大理工学部数理科学科教授 July 26, 2014 1 / 4

132. 2014.7.27 第１回スポーツデータアナリティクス基礎講座第３回スポーツデータ解析コンペティッション 2013.12.26 ✓ ✏ 傾向スコアによる犠牲バントの効果の推定発表者：中山直人 (数理科学科 4 年) 共同研究者：近藤立志 (M2)、木口亮 (M2) 、田曽忠将 (M1) 中村知繁 (B4) 、江本遼 (B4) 、木村拓央 (B4) 南美穂子 ✒ ✑ コンペティッション参加の動機と解析の経緯、その後慶應義塾大学理工学部数理科学科南美穂子 2 / 4

133. 2014.7.27 第１回スポーツデータアナリティクス基礎講座コンペティッション参加の当初の動機南提案テーマ⇒却下 3 / 4

134. 2014.7.27 第１回スポーツデータアナリティクス基礎講座コンペティッション参加の当初の動機南提案テーマ⇒却下中山直人君の問い：「犠牲バント」って効果があるの？ 3 / 4

135. 2014.7.27 第１回スポーツデータアナリティクス基礎講座コンペティッション参加の当初の動機南提案テーマ⇒却下中山直人君の問い：「犠牲バント」って効果があるの？修士２年生による理論面のサポート近藤立志君修論テーマ傾向スコアを用いた因果効果のセミパラメトリック推定木口亮君修論テーマ 2 重周期スプライン平滑法と南極昭和基地の CO2 濃度の解析卒研生・修士１年生によるサポート他専攻の大学院授業で Bootstrap 法を勉強大学院特別講義鳥越規央先生 (10.23)「スポーツの統計数理」星野崇宏先生 (11.6) 「欠測データモデルと因果効果推定」 3 / 4

136. 2014.7.27 第１回スポーツデータアナリティクス基礎講座 2013 年 12 月 26 日スポーツデータ解析コンペティッション 2014 年 3 月 8 日日本統計学会春季集会ポスターセッション 2014 年 3 月末中山直人君学部卒業（都立高校数学教員＆野球部顧問）近藤立志君修士課程修了（ＮＴＴデータ）木口亮君修士課程修了（塩野義製薬） 4 / 4

137. 2014.7.27 第１回スポーツデータアナリティクス基礎講座 2013 年 12 月 26 日スポーツデータ解析コンペティッション 2014 年 3 月 8 日日本統計学会春季集会ポスターセッション 2014 年 3 月末中山直人君学部卒業（都立高校数学教員＆野球部顧問）近藤立志君修士課程修了（ＮＴＴデータ）木口亮君修士課程修了（塩野義製薬） 2014 年 6 月はじめ本講座での解説を引き受ける小河有史君（Ｂ４）、中村知繁君（Ｍ１）理論の理解中山君の卒論に沿って再解析発表準備本日の発表 4 / 4

20140727_第1回スポーツデータアナリティクス基礎講座

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