ELEMENTARE ALGEBRA UND ZAHLENTHEORIE                  RAINER SCHULZE-PILLOT                    Inhaltsverzeichnis0. Voraus...
ELEMENTARE ALGEBRA UND ZAHLENTHEORIE                      1    0. Voraussetzungen aus den Anf¨ngervorlesungen             ...
2                       RAINER SCHULZE-PILLOT    b) Es gibt ein (eindeutig bestimmtes) Element e ∈ G mit e ◦ a =       a ◦...
ELEMENTARE ALGEBRA UND ZAHLENTHEORIE                        3andernfalls heißt R nullteilerfrei.Ein kommutativer Ring mit ...
4                      RAINER SCHULZE-PILLOT    • Die Einheiten im Ring C(R) der stetigen reellen Funktionen sind      die...
ELEMENTARE ALGEBRA UND ZAHLENTHEORIE                       5   b) Jedes Element f = 0 von A l¨sst sich eindeutig als      ...
6                        RAINER SCHULZE-PILLOTuberhaupt m¨glich ist, den Polynomring wie gew¨nscht zu konstruie-¨         ...
ELEMENTARE ALGEBRA UND ZAHLENTHEORIE                                            7Beweis. a) Dass (A, +) eine abelsche Grup...
8                        RAINER SCHULZE-PILLOT       den Grundring K uber diese Identifikation als Teilring des Poly-      ...
ELEMENTARE ALGEBRA UND ZAHLENTHEORIE                          9b, so gilt offensichtlich (1 + aX m ) · (bX n ) = bX n f¨r a...
10                           RAINER SCHULZE-PILLOTBemerkung. Im Beweis benutzt man Division durch den Leitkoeffizi-enten bn ...
ELEMENTARE ALGEBRA UND ZAHLENTHEORIE                          11Einsetzen von β1 in diese Gleichung liefert dann e1 − e1 =...
12                      RAINER SCHULZE-PILLOT                1. Nat¨rliche und ganze Zahlen                      uBevor wi...
ELEMENTARE ALGEBRA UND ZAHLENTHEORIE                         13   d) Die Ordnungsrelation ≤ ist eine Wohlordnung, d.h., in...
14                        RAINER SCHULZE-PILLOTDas Wohlordnungsprinzip ubertr¨gt sich von N auf Z in der folgenden        ...
ELEMENTARE ALGEBRA UND ZAHLENTHEORIE                                  15und wir haben die gesuchten Zahlen q, r gefunden. ...
16                        RAINER SCHULZE-PILLOTaj < g, was die noch fehlende Existenz einer g-adischen Darstellungzeigt.Be...
ELEMENTARE ALGEBRA UND ZAHLENTHEORIE                    17Satz 1.4. Zur Darstellung der Zahl n ∈ Z im Rechner ben¨tigt man...
18                     RAINER SCHULZE-PILLOTBemerkung. Bei der Multiplikation und der Division lassen sich durchverbessert...
ELEMENTARE ALGEBRA UND ZAHLENTHEORIE                            19                   2. Teilbarkeit und PrimzahlenIn diese...
20                        RAINER SCHULZE-PILLOT     c) Sei K ein K¨rper. Zwei Polynome f, g ∈ K[X] sind genau dann        ...
ELEMENTARE ALGEBRA UND ZAHLENTHEORIE                          21      ist eine Linearkombination                          ...
22                         RAINER SCHULZE-PILLOT     a) Ein Element p ∈ R, p ∈ R× , heißt Primelement, wenn gilt          ...
ELEMENTARE ALGEBRA UND ZAHLENTHEORIE                           23und da in Integrit¨tsbereichen die K¨rzungsregel gilt, fo...
24                      RAINER SCHULZE-PILLOT        wegen der Untergruppeneigenschaft von H ebenfalls in H. Insbe-       ...
ELEMENTARE ALGEBRA UND ZAHLENTHEORIE                                    25      Jedes n ∈ Z  {0, 1, −1} hat eine eindeutig...
26                             RAINER SCHULZE-PILLOTIst p1 = q1 so k¨nnen wir in n = p1 · · · pr = q1 · · · qs durch p1 te...
ELEMENTARE ALGEBRA UND ZAHLENTHEORIE                       27Primzahl p1 teilt also nach Lemma 2.6 eines der qj (hier brau...
28                      RAINER SCHULZE-PILLOTBeweis. Der Beweis benutzt analytische Hilfsmittel; wir gehen daraufhier nich...
ELEMENTARE ALGEBRA UND ZAHLENTHEORIE                      29Die Richtigkeit der Riemannschen Vermutung ist ¨quivalent zu d...
30                       RAINER SCHULZE-PILLOT     2. q ←− 2,     3. = N , f¨r 2 ≤ j ≤ setze L[qj] = 1 (markiere alle Viel...
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32                         RAINER SCHULZE-PILLOT     a) Sind a, b1 , b2 ∈ R mit ggT(a, b1 ) = 1 und a|b1 b2 , so gilt a|b2...
ELEMENTARE ALGEBRA UND ZAHLENTHEORIE                               33Die Behauptung f¨r Z ist schließlich nach den bereits...
34                        RAINER SCHULZE-PILLOTda man (bj+1 ) ⊇ bj wegen bj+1 |bj hat. Also ist a1 ± a2 ∈ (b ) ⊆ I undxa ∈...
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  1. 1. ELEMENTARE ALGEBRA UND ZAHLENTHEORIE RAINER SCHULZE-PILLOT Inhaltsverzeichnis0. Voraussetzungen aus den Anf¨ngervorlesungen a 11. Nat¨rliche und ganze Zahlen u 122. Teilbarkeit und Primzahlen 193. Euklidischer Algorithmus und diophantische Gleichungen 314. Kongruenzen und Ideale 405. Gruppen 636. Operationen von Gruppen auf Mengen 857. Abelsche Gruppen und Charaktere 958. Die Struktur der primen Restklassengruppe 1099. K¨rper und K¨rpererweiterungen o o 12910. Endliche K¨rper o 14511. Endliche K¨rper und Faktorisierung von Polynomen o 153Index 164 0
  2. 2. ELEMENTARE ALGEBRA UND ZAHLENTHEORIE 1 0. Voraussetzungen aus den Anf¨ngervorlesungen aDa dieses Skript sich haupts¨chlich an Studierende im zweiten Studien- ajahr wendet, setzen wir Vertrautheit mit den grundlegenden Begriffen ¨uber Mengen und Abbildungen voraus, auch die Begriffe Aquivalenz-¨ ¨relation und Aquivalenzklasse kennt die Leserin ebenso wie der Leservermutlich bereits. ¨Das in dieser Vorlesung am h¨ufigsten verwendete Beispiel einer Aqui- avalenzrelation ist die Kongruenz modulo n:Beispiel. Auf der Menge Z der ganzen Zahlen wird f¨r n ∈ N{0} eine u ¨Kongruenz modulo n genannte Aquivalenzrelation wie folgt definiert:a ist genau dann kongruent zu b modulo n (Notation: a ≡ b mod n),wenn a und b bei Division durch n mit Rest denselben Rest lassen.Ist also etwa n = 2, so sind genau die geraden Zahlen kongruent zu0 modulo 2, die ungeraden Zahlen sind kongruent zu 1 modulo 2, die ¨Menge Z zerf¨llt in zwei Aquivalenzklassen: aDie eine Klasse besteht aus den geraden Zahlen, die andere besteht ausden ungeraden Zahlen. Innerhalb einer Klasse sind alle Zahlen zuein-ander kongruent modulo 2, zwei Zahlen aus verschiedenen Klassen sindnicht zueinander kongruent. ¨Ist n = 3, so besteht etwa die Aquivalenzklasse der 1 (d. h. die Mengealler zu 1 modulo 3 kongruenten ganzen Zahlen) aus den Zahlen . . . , −8, −5, −2, 1, 4, 7, . . . . ¨Jede solche Aquivalenzklasse bez¨glich der Kongruenz modulo n (d. h. udie Menge aller zu einem festen a ∈ Z modulo n kongruenten Zahlen)nennt man auch eine arithmetische Progression modulo n.Aus einer Vorlesung uber Lineare Algebra im ersten Studienjahr sollte ¨dem Leser dar¨ber hinaus die Theorie der Vektorr¨ume uber einem u a ¨(beliebigen) K¨rper vertraut sein. oIn der Regel werden in einer solchen Vorlesung auch einige Grundtatsa-chen uber Gruppen und uber Ringe behandelt. Diese Grundtatsachen ¨ ¨und -begriffe werden wir im Rahmen der ausf¨hrlicheren Behandlung uvon Gruppen und Ringen hier zwar erneut behandeln, wir wollen sieaber gelegentlich in Beispielen schon vorher benutzen k¨nnen. oWir listen daher kurz auf, was wir hier¨ber in solchen Beispielen vor- uaussetzen wollen und verweisen f¨r die gr¨ndlichere Behandlung dieser u uDinge auf die entsprechenden Kapitel:Definition 0.1. Eine (nicht leere) Menge G mit einer Verkn¨pfung u◦ : (a, b) −→ a ◦ b (also einer Abbildung G × G −→ G, die jedem Paar(a, b) von Elementen von G ein Element c = a ◦ b von G zuordnet)heißt Gruppe, wenn gilt: a) a ◦ (b ◦ c) = (a ◦ b) ◦ c f¨r alle a, b, c ∈ G (Assoziativgesetz) u
  3. 3. 2 RAINER SCHULZE-PILLOT b) Es gibt ein (eindeutig bestimmtes) Element e ∈ G mit e ◦ a = a ◦ e = a f¨r alle a ∈ G. (e heißt neutrales Element.) u c) Zu jedem a ∈ G gibt es ein (eindeutig bestimmtes) Element a (oder a−1 ) in G mit a ◦ a = a ◦ a = e. (a heißt inverses Element zu a.) d) Gilt uberdies das Kommutativgesetz a◦b = b◦a f¨r alle a, b ∈ G, ¨ u so heißt die Gruppe kommutativ oder abelsch (nach Niels Henrik Abel, 1802-1829)Bemerkung. a) Es reicht, in ii) die Existenz eines Elements e ∈ G mit e ◦ a = a f¨r alle a ∈ G (also eines linksneutralen Elements von G) und in u iii) f¨r jedes a ∈ G die Existenz eines a ∈ G mit a ◦ a = e (also u f¨r jedes a ∈ G die Existenz eines linksinversen Elements) zu u ¨ verlangen. Beweis als Ubung, genauso geht es nat¨rlich mit rechts u statt links. Dagegen erh¨lt man etwas anderes (nicht besonders a sinnvolles), wenn man die Existenz eines linksneutralen Elements und f¨r jedes a ∈ G die Existenz eines rechtsinversen Elements u verlangt. b) Nach Niels Henrik Abel ist auch der seit 2003 j¨hrlich als Ana- a logon zum Nobelpreis in Oslo verliehene Abel-Preis mit einem Preisgeld von 6 Millionen Norwegischen Kronen (ca. 730000 Eu- ro) benannt (bisherige Preistr¨ger: 2003 Jean Pierre Serre, 2004 a Michael Atiyah und Isadore Singer, 2005 Peter Lax).Satz 0.2. Sei (G, ◦) eine Gruppe. Dann gilt: (a) F¨r alle a ∈ G ist (a−1 )−1 = a. u (b) F¨r alle a, b ∈ G ist (a ◦ b)−1 = b−1 ◦ a−1 . u (c) Sind a, b ∈ G, so gibt es genau ein x ∈ G mit a ◦ x = b und genau ein y ∈ G mit y ◦ a = b. (d) Sind a, x, y ∈ G mit x ◦ a = y ◦ a, so ist x = y. (e) Sind a, x, y ∈ G mit a ◦ x = a ◦ y, so ist x = y.Definition 0.3. Eine Menge R mit Verkn¨pfungen +, · : R × R −→ R uheißt Ring, wenn gilt: a) (R, +) ist kommutative Gruppe (mit neutralem Element 0). b) · ist assoziativ: F¨r a, b, c ∈ R gilt u a · (bc) = (ab) · c. c) Es gelten die Distributivgesetze a(b + c) = ab + ac (a + b)c = ac + bc f¨r a, b, c ∈ R uFalls es ein neutrales Element 1 ∈ R bez¨glich der Multiplikation · gibt, uso heißt 1 das Einselement des Ringes und R ein Ring mit Einselement.Ist die Multiplikation · kommutativ, so heißt R ein kommutativer Ring.Gibt es a, b ∈ R, a = 0 = b mit ab = 0, so heißen a, b Nullteiler in R,
  4. 4. ELEMENTARE ALGEBRA UND ZAHLENTHEORIE 3andernfalls heißt R nullteilerfrei.Ein kommutativer Ring mit Einselement, der nullteilerfrei ist, heißtIntegrit¨tsbereich. aBemerkung. a) In einem Ring gilt stets a · 0 = 0 · a = 0 f¨r alle u a ∈ R. b) Gibt es im Ring R ein neutrales Element bez¨glich der Multipli- u kation, so ist dieses eindeutig bestimmt. c) F¨r den Rest dieses Skriptes haben alle Ringe ein Einselement. In u der Literatur wird die Existenz des Einselements manchmal zur Definition des Begriffes Ring hinzugenommen, manchmal nicht. d) Der Nullring {0} ist von dieser Definition ebenfalls zugelassen, in ihm ist das einzige Element gleichzeitig Nullelement und Eins- element.Lemma 0.4. Ein kommutativer Ring R ist genau dann nullteilerfrei,wenn in R die K¨rzungsregel gilt, d. h., wenn f¨r a, b, c ∈ R, a = 0 gilt: u u ab = ac ⇔ b = c.Beweis. Sei R nullteilerfrei und seien a, b, c ∈ R, a = 0 mit ab = ac.Dann ist 0 = ab−ac = a(b−c) mit a = 0, also b−c = 0 nach Definitionder Nullteilerfreiheit und daher b = c.Gilt umgekehrt in R die K¨rzungsregel und sind a, b ∈ R, a = 0 mit uab = 0, so ist 0 = ab = a0 und nach der K¨rzungsregel folgt b = 0, also uist R nullteilerfrei.Beispiele: • Z ist ein Ring ohne Nullteiler. • Ist K ein K¨rper, so ist K erst recht ein Ring (ohne Nullteiler). o • Ist K ein K¨rper, so ist die Menge Mn (K) der n × n- Matrizen o mit Eintr¨gen aus dem K¨rper K ein Ring, dessen Einselement a o die Einheitsmatrix En ist. • Ist K ein K¨rper, V ein K-Vektorraum, so ist die Menge End(V ) o der linearen Abbildungen von V in sich ein Ring, dessen Einsele- ment die identische Abbildung IdV ist. • Sei C(R) die Menge der stetigen Funktionen von R nach R. Dann ist C(R) bez¨glich der ublichen Operationen (f + g)(x) = u ¨ f (x)+g(x), (f g)(x) = f (x)g(x) ein kommutativer Ring, der nicht nullteilerfrei ist. Das Gleiche gilt, wenn man stattdessen die Men- ge aller Funktionen oder die Menge aller differenzierbaren Funk- tionen von R nach R betrachtet.Definition 0.5. Sei R ein kommutativer Ring. a) a ∈ R heißt Einheit in R, wenn es a ∈ R gibt mit aa = 1. Die Menge der Einheiten wird mit R× bezeichnet.Beispiele: • Die Einheiten in Z sind +1, −1.
  5. 5. 4 RAINER SCHULZE-PILLOT • Die Einheiten im Ring C(R) der stetigen reellen Funktionen sind die Funktionen, die keine Nullstelle haben. • In einem K¨rper K sind alle Elemente außer 0 Einheiten, die o × Menge K der Einheiten von K ist also gleich K {0}.Lemma 0.6. Sei R ein kommutativer Ring. Dann bilden die Einheitenvon R bez¨glich der Multiplikation eine Gruppe, die Einheitengruppe uR× von R. ¨Beweis. UbungManchmal kommen auch die folgenden Begriffe vor:Definition 0.7. Eine Menge H = ∅ mit einer Verkn¨pfung (a, b) −→ ua · b heißt Halbgruppe, wenn die Verkn¨pfung assoziativ ist. Sie heißt uMonoid, wenn es ein (notwendig eindeutig bestimmtes) Element e ∈ Hgibt mit ea = ae = a f¨r alle a ∈ H; ue heißt dann das neutrale Element von H.Definition 0.8. Sei K ein K¨rper. Eine K-Algebra ist ein K- Vektor- oraum A, auf dem zus¨tzlich eine Multiplikation (a, b) → a · b definiert aist und f¨r den gilt: u a) (A, +, ·) ist ein Ring mit Einselement. b) F¨r a, b ∈ A, λ ∈ K gilt λ(a · b) = (λa) · b = a · (λb). uBeispiel. a) Ist K ein K¨rper und L ⊇ K ein Oberk¨rper von K, o o so ist L eine K-Algebra. b) Ist K ein K¨rper und Mn (K) die Menge der n × n-Matrizen uber o ¨ K, so ist Mn (K) eine K-Algebra. c) Ist K ein K¨rper, V ein K-Vektorraum, so ist End(V ) eine K- o Algebra.In der Vorlesung uber Lineare Algebra wird bei der Behandlung des ¨charakteristischen Polynoms und des Minimalpolynoms einer Matrixmeistens auch eine formale Definition des Polynomringes uber einem ¨beliebigen K¨rper vorgenommen, da uber einem beliebigen K¨rper K o ¨ odie Behandlung von Polynomen als K-wertige Polynomfunktionen zuProblemen f¨hrt. uDie ublichste Art, diesen Polynomring einzuf¨hren, ist die folgende, ¨ ubei der wir zun¨chst einmal in einer Art Forderungskatalog festlegen, awelche Eigenschaften wir vom Ring der Polynome in einer VariablenX mit Koeffizienten in dem K¨rper K erwarten: oDefinition 0.9. Sei K ein K¨rper. Ein Polynomring uber K in einer o ¨Unbestimmten X ist ein kommutativer Ring A (mit Einselement) 1und einem ausgezeichneten Element X, so dass gilt: a) A ist eine K-Algebra
  6. 6. ELEMENTARE ALGEBRA UND ZAHLENTHEORIE 5 b) Jedes Element f = 0 von A l¨sst sich eindeutig als a n f= ai X i mit ai ∈ K, an = 0 i=0 f¨r ein n ∈ N schreiben. u Hat f = 0 diese Darstellung, so heißt f vom Grad n, man schreibt deg(f ) = n. Dem Nullpolynom wird manchmal der Grad −∞ zugeordnet. Das Polynom f heißt normiert, falls an = 1 gilt.Mit dieser Definition wissen wir zwar, was wir erreichen wollen, wirm¨ssen uns aber den gew¨nschten Polynomring erst noch konstruieren. u uDer n¨chstliegende Versuch ist zweifellos, den Polynomring als Ring avon Funktionen zu definieren, die durch einen polynomialen Term ge-geben sind, also als Menge aller Abbildungen f : K −→ K, f¨r die es ua0 , . . . , an ∈ K gibt, so dass n f (x) = aj x j f¨r alle x ∈ K u j=0gilt.Die Leserin, die bereits Erfahrung im Umgang mit dem aus zwei Ele-menten 0 und 1 (mit 0 + 0 = 1 + 1 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1, 0 · 0 = 0 · 1 =1 · 0 = 0, 1 · 1 = 1) bestehenden K¨rper F2 hat, wird bemerken, dass odieser erste Versuch im Fall K = F2 fehlschl¨gt: aDa xn = x f¨r alle n ∈ N {0} und alle Elemente x von F2 gilt, gibt ues f¨r K = F2 genau vier solche Abbildungen (von denen jede durch uunendlich viele verschiedene Terme gegeben werden kann), w¨hrend aTeil b) der Definition impliziert, dass der Polynomring unendlich vieleElemente hat.Es ist aber auf Grund der Definition naheliegend, wie man bei derKonstruktion vorzugehen hat: Ein Polynom f = n ai X i soll durch i=0das (n+1)-Tupel seiner Koeffizienten ai ∈ K bestimmt sein, wobei n =deg(f ) ∈ N0 von f abh¨ngt und beliebig groß sein kann. Erg¨nzen wir a adieses (n + 1)-Tupel durch unendlich viele Nullen zu einer unendlichenFolge (aj )j∈N0 von Elementen von K, so sind in dieser Folge offenbar nurendlich viele (n¨mlich h¨chstens deg(f ) + 1 viele) Folgenglieder von 0 a overschieden. Umgekehrt erhalten wir jede Folge (aj )j∈N0 von Elementenvon K, in der nur endlich viele Folgenglieder von 0 verschieden sind,als Fortsetzung des Koeffiziententupels eines Polynoms. Polynome imSinne unserer Definition m¨ssen also in Bijektion zu solchen Folgen ustehen.Da im Polynomring das Distributivgesetz gelten soll, ist ferner klar, n idass das Produkt f g von zwei Polynomen f = i=0 ai X und g = m j n+m k j=0 bj X gleich k=0 ck X mit ck = i+j=k ai bj sein muss, wenn es
  7. 7. 6 RAINER SCHULZE-PILLOTuberhaupt m¨glich ist, den Polynomring wie gew¨nscht zu konstruie-¨ o uren.Damit ist im Grunde vorgezeichnet, was wir zu tun haben:Definition und Satz 0.10. Sei K ein K¨rper. In oA := K[X] := K (N0 ) = {a = (aj )j∈N0 | aj ∈ K, aj = 0 f¨r fast alle j} uwerde eine Verkn¨pfung (Multiplikation) definiert durch: u n (a · b)n = aj bn−j , j=0ferner sei die Addition wie ublich durch ¨ (a + b)n = an + bndefiniert. Dann gilt: a) A mit + und · ist eine kommutative K-Algebra b) Die Elemente e(i) ∈ A seien f¨r i ∈ N0 definiert durch u (e(i) )n := δin . Dann ist e(0) das Einselement von A, und f¨r i, j ∈ N0 gilt u e(i) · e(j) = e(i+j) . Insbesondere gilt mit X := e(1) : X i = e(i) f¨r alle i ∈ N0 . u c) Ist 0 = a ∈ A und n := max{j ∈ N0 | aj = 0}, so ist n a= aj X j . j=0 d) Der Ring A ist ein Polynomring uber K im Sinne von Definition ¨ 0.9. Jeder Polynomring A in einer Unbestimmten X uber K ist ¨ zu A kanonisch isomorph durch n n i ai X −→ ai (X )i , i=0 i=0 d.h., die angegebene Abbildung ist ein Isomorphismus von K- Vektorr¨umen, der obendrein mit den jeweiligen Multiplikationen a inA, A vertr¨glich ist und 1A auf 1A abbildet (ein Ringhomomor- a phismus ist). e) A = K[X] ist nullteilerfrei und es gilt deg(f g) = deg(f ) + deg(g) f¨r von 0 verschiedene Polynome f, g. u f) Die Einheiten in K[X] sind die konstanten Polynome c (Poly- nome vom Grad 0) mit c ∈ K × .
  8. 8. ELEMENTARE ALGEBRA UND ZAHLENTHEORIE 7Beweis. a) Dass (A, +) eine abelsche Gruppe ist, wissen wir bereits.Die Assoziativit¨t der Multiplikation m¨ssen wir nachrechnen: a uSind a, b, c ∈ A, so ist der n-te Koeffizient ((ab)c)n von (ab)c gleich n k ( (aj bk−j )cn−k = ar b s c t , k=0 j=0 r,s,t r+s+t=nund den gleichen Wert erh¨lt man, wenn man den n-ten Koeffizienten avon a(bc) ausrechnet.Die Existenz des Einselements sehen wir in b), die Kommutativit¨t aist klar, das Distributivgesetz und die Identit¨t λ(ab) = (λa) · b = aa · (λb) f¨r λ ∈ K, a, b ∈ A rechnet man leicht nach. u n (0)b) Offenbar ist (e(0) · a)n = j=0 ej an−j = 1 · an = an und dahere(0) · a = a f¨r beliebiges a ∈ A, e(0) ist daher neutrales Element ubez¨glich der Multiplikation in A. uSind i, j ∈ N0 , so hat man n n (i) (j) 1 falls i + j = n (e(i) · e(j) )n = ek en−k = δik δj,n−k = , k=0 k=0 0 sonst (i) (j) (i+j)also e · e = e wie behauptet. Mit vollst¨ndiger Induktion folgt a i (1) i (i)daraus sofort X := (e ) = e .c) folgt sofort aus b).Der erste Teil von d) ist jetzt ebenfalls sofort klar. Hat man einenweiteren Polynomring A uber K in einer Unbestimmten X , so ist ¨zun¨chst die Abbildung n ai X i −→ n ai (X )i bijektiv. Dass sie a i=0 i=0ein Ringhomomorphismus ist, rechnet man leicht nach.e) folgt schließlich so: Sind f = m ai X i , g = n bj X j ∈ A mit i=0 j=0am = 0, bn = 0, so ist n+m f ·g = ck X k k=0mit cm+n = am bn = 0, da K ein K¨rper ist. oAlso gilt in A, dass aus f = 0, g = 0 folgt, dass f g = 0 ist und dassf g den Grad n + m hat. Insbesondere erbt also der Polynomring A wiebehauptet die Nullteilerfreiheit seines Grundk¨rpers K. o ¨f) UbungBemerkung. a) Im Weiteren wird einfach von dem Polynomring K[X] in einer Unbestimmten uber K gesprochen, seine Elemente werden als ¨ n i=0 ai X i geschrieben und auf die Definition durch Folgen wird kein Bezug mehr genommen. Die Elemente von K[X] fasst man als formale Ausdr¨cke (polynomiale Terme) n ai X i auf. Die u i=0 konstanten Polynome (Polynome vom Grad 0) cX 0 mit c ∈ K werden mit den Elementen von K identifiziert, man fasst also
  9. 9. 8 RAINER SCHULZE-PILLOT den Grundring K uber diese Identifikation als Teilring des Poly- ¨ nomrings K[X] auf. b) Ist S irgendeine K-Algebra, so kann man (siehe das folgende Lemma) Elemente von S in Polynome aus K[X] einsetzen: Ist f = n ai X i ∈ K[X], s ∈ S, so ist i=0 n f (s) := ai si ∈ S, i=0 Wenn dadurch kein Irrtum entstehen kann, so bezeichnet man (nicht v¨llig korrekt) auch die hierduch gegebene Abbildung s → o f (s) von S nach S (die zu f geh¨rige Polynomfunktion) mit f , o will man vorsichtiger sein, so kann man sie zur Unterscheidung ¯ von f ∈ K[X] etwa mit f bezeichnen. W¨hlt man hier S = A, so ergibt Einsetzen von X das Element a f (X) = n ai X i = f von A. Sie brauchen also an dieser Stelle i=0 nicht zwischen f und f (X) zu unterscheiden, obwohl es Ihnen ja in der Analysis bereits ganz selbstverst¨ndlich geworden ist, a zwischen der Funktion h und ihrem Funktionswert h(x) in einem Punkt x sauber zu unterscheiden. Die Situation ist hier scheinbar anders, weil ja ein Polynom gerade so definiert worden ist, dass es nicht eine Funktion ist, sondern ein Element der abstrakt konstruierten Algebra K[X].Lemma 0.11. Sei K ein K¨rper, S eine K-Algebra und s ∈ S. Dann owird durch f −→ f (s) ∈ Sein Algebrenhomomorphismus K[X] −→ S gegeben; der Einsetzungs-homomorphismus in s.Beweis. Man rechnet nach, dass auf Grund der Rechengesetze in Sdie Gleichungen (f1 + f2 )(s) = f1 (s) + f2 (s), (f1 f2 )(s) = f1 (s)f2 (s),(cf )(s) = c · f (s) und 1(s) = (1 · X 0 )(s) = 1 · s0 = 1S gelten unddie Abbildung daher in der Tat ein Homomorphismus von Algebrenist.Bemerkung. Man kann in der ganzen Diskussion den Grundk¨rper K oauch durch einen beliebigen Integrit¨tsbereich R ersetzen. Der einzige aPunkt, bei dem man etwas vorsichtig sein muss, ist die Beschreibungder Einheiten: Im Polynomring R[X] sind die Einheiten genau die kon-stanten Polynome c = cX 0 mit einer Einheit c ∈ R× von R, zumBeispiel f¨r R = Z also nur die konstanten Polynome ±1. Die richtige uVerallgemeinerung von K × ist also hier die (ebenso notierte) Einhei-tengruppe des Rings R und nicht R {0}.W¨hlt man als Grundring einen Ring mit Nullteilern, so enth¨lt auch a ader Polynomring R[X] Nullteiler und auch die Gleichung deg(f g) =deg(f ) + deg(g) wird falsch. Sind n¨mlich a, b ∈ R mit ab = 0, a = 0 = a
  10. 10. ELEMENTARE ALGEBRA UND ZAHLENTHEORIE 9b, so gilt offensichtlich (1 + aX m ) · (bX n ) = bX n f¨r alle m, n ∈ N, man uhat also deg((1+aX )·(bX )) = n = m+n = deg(1+aX m )+deg(bX n ). m nVermutlich ist aus der Schule oder den Anf¨ngervorlesungen bekannt, adass sich das Verfahren der Division mit Rest vom Ring Z (siehe Lemma1.2 im n¨chsten Abschnitt) auf den Ring der reellen Polynome in ei- aner Variablen ubertragen l¨sst (Polynomdivision), wir formulieren und ¨ abeweisen das jetzt f¨r den Polynomring K[X] uber einem beliebigen u ¨K¨rper und erhalten damit die erste in einer Reihe von Aussagen, die ozeigen werden, dass der Polynomring uber einem K¨rper einige Ahn- ¨ o ¨lichkeit mit dem Ring der ganzen Zahlen hat.Satz 0.12. Sei K ein K¨rper, seien f, g ∈ K[X], g = 0. Dann gibt es oeindeutig bestimmte Polynome q, r ∈ K[X] mit f = qg + r, r = 0 oder deg(r) < deg(g).Beweis. Wir beweisen diese Aussage durch vollst¨ndige Induktion nach adeg(f ), beginnend bei deg(f ) = 0. Der Induktionsanfang deg(f ) = 0 m i n iist trivial. Wir schreiben f = i=0 ai X , g = i=0 bi X mit am =0, bn = 0, m ≥ 1 und nehmen an, die Aussage sei f¨r deg(f ) < m ubereits bewiesen.Ist deg(f ) < deg(g), so ist die Aussage (mit q = 0, r = f ) trivial, wirk¨nnen also n ≤ m annehmen. Dann ist der Grad von o am f1 := f − ( X m−n )g bn m−1 am = (am X − ( X m−n )bn X n ) + m ci X i bn i=0 m−1 = ci X i i=0(mit gewissen ci ∈ K, die hier nicht weiter interessieren) offenbar klei-ner als m, wir k¨nnen also nach Induktionsannahme o f1 = q1 g + r mit r = 0 oder deg(r) < deg(g)schreiben und erhalten am m−n f = (q1 + X )g + r, bn amwas mit q = q1 + bn X m−n die gew¨nschte Zerlegung f = qg + r f¨r f u uliefert.Beispiel. Durch den ublichen Prozess der Polynomdivision erh¨lt man ¨ aetwa: (X 4 − 1) = (X 2 + 2X + 1)(X 2 − 2X + 3) + (−4X − 4).
  11. 11. 10 RAINER SCHULZE-PILLOTBemerkung. Im Beweis benutzt man Division durch den Leitkoeffizi-enten bn = 0 von g = n bi X i ; das Verfahren der Division mit Rest i=0l¨sst sich daher nicht ohne weiteres auf den Polynomring R[X] uber a ¨einem Ring R ubertragen. ¨Eine wichtige Anwendung der Divison mit Rest ist die M¨glichkeit, f¨r o ueine Nullstelle a ∈ K eines Polynoms aus K[X] einen Faktor X − a ausdem Polynom herauszuziehen:Definition und Korollar 0.13. Sei K ein K¨rper. o a) Sei f ∈ K[X], f = 0, a ∈ K mit f (a) = 0. Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes q ∈ K[X] mit f = (X − a)q. b) Sind β1 , . . . , βr verschiedene Nullstellen von 0 = f ∈ K[X], so gibt es eindeutig bestimmte ei ∈ N {0}, g ∈ K[X] mit r f= (X − βi )ei g und g(βi ) = 0 f¨r 1 ≤ i ≤ r. u i=1 Der Exponent ei in dieser Darstellung heißt die Vielfachheit der Nullstelle βi des Polynoms f , ist ei = 1, so spricht man von einer einfachen Nullstelle, sonst von einer mehrfachen. c) Seien f, g ∈ K[X] mit n > max(deg(f ), deg(g)), seien a1 , . . . , an ∈ K paarweise verschieden mit f (ai ) = g(ai ) f¨r 1 ≤ i ≤ n. u Dann ist f = g. Insbesondere gilt: Hat K unendlich viele Elemente, so folgt aus f (a) = g(a) f¨r alle a ∈ K, dass f = g gilt. uBeweis. a) Wir teilen f mit Rest durch X − a. W¨re der Rest hierbei anicht 0, so h¨tte er wegen deg(X −a) = 1 Grad 0, w¨re also gleich einer a aKonstanten c ∈ K. Setzen wir in die Polynomgleichung f = (X −a)q+cden Wert a ∈ K ein, so erhalten wir 0 = f (a) = (a − a)q(a) + c,also c = 0.b) Zun¨chst ist klar, dass man eine Darstellung a r f= (X − βi )ei g und g(βi ) = 0 f¨r 1 ≤ i ≤ r. u i=1erh¨lt, indem man a) so oft iteriert, bis der verbleibende Faktor g in akeinem der βi verschwindet. Hat man zwei derartige Darstellungen f = r ei r ei i=1 (X − βi ) g = f = i=1 (X − βi ) g und ist etwa e1 ≥ e1 , so kannman, da K[X] nullteilerfrei ist, den Faktor (X − β1 )e1 in der rechtenGleichung dieser Kette k¨rzen und erh¨lt u a r r (X − β1 )e1 −e1 (X − βi )ei g = f = (X − βi )ei g . i=2 i=2
  12. 12. ELEMENTARE ALGEBRA UND ZAHLENTHEORIE 11Einsetzen von β1 in diese Gleichung liefert dann e1 − e1 = 0, da sonstdie linke Seite 0 erg¨be und die rechte nicht. Das iteriert man f¨r die a uanderen Faktoren (X − βi ) und erh¨lt am Ende g = g . ac) In b) sehen wir, dass f = r (X −βi )ei g Grad deg(g)+ r ei hat, i=1 i=1insbesondere muss r ≤ n f¨r die Anzahl r der verschiedenen Nullstellen ueines Polynoms f = 0 vom Grad n gelten. Anders gesagt: Nimmt einPolynom f in n verschiedenen Stellen a1 , . . . , an den Wert 0 an, so mussdeg(f ) ≥ n gelten.Da in der Situation von c) deg(f − g) < n gilt und f − g in den nverschiedenen Stellen a1 , . . . , an den Wert 0 annimmt, ist f − g = 0,also f = g.Bemerkung. a) Sind f ∈ K[X] und a, c ∈ K mit f (a) = c und hat f − c in a eine e-fache Nullstelle, so sagt man auch, f nehme in a den Wert c mit der Vielfachheit e an. b) Nimmt das Polynom f vom Grad n in den verschiedenen Elemen- ten a1 , . . . , ar von K die Werte c1 , . . . , cr mit den Vielfachheiten e1 , . . . , er an, so betrachte man das Polynom r r (X − aj )ej f1 = ci i=1 j=1 (ai − aj )ej j=i r vom Grad n1 < i=1 ei (das Lagrange’sche Interpolationspoly- nom f¨r die vorgegebenen Werte und Vielfachheiten). Offenbar u nimmt auch f1 die Werte ci in den Stellen ai mit den Vielfachhei- ten ei an. Ist auch n = deg(f ) < r ei , so sieht man genauso i=1 wie in c) des vorigen Korollars, dass f1 = f gilt. Man hat al- so nicht nur die Eindeutigkeitsaussage aus Teil c) des Korollars, sondern kann das eindeutige Polynom vom Grad n1 < r ei i=1 mit der gegebenen Werteverteilung explizit angeben.
  13. 13. 12 RAINER SCHULZE-PILLOT 1. Nat¨rliche und ganze Zahlen uBevor wir mit der eigentlichen Zahlentheorie anfangen, werden wir indiesem Abschnitt die f¨r unsere Zwecke wichtigsten Zahlenmengen, die uMenge N = {1, 2, 3, . . .}der nat¨rlichen Zahlen und die Menge u Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}der ganzen Zahlen vorstellen und die Darstellung dieser Zahlen in derSchrift und im Rechner betrachten.Die Null nehmen wir hier nicht zu den nat¨rlichen Zahlen dazu, wenn uwir sie doch mit einschließen wollen, schreiben wir N0 := N ∪ {0}.Man kann f¨r und gegen die Einbeziehung der Null in die nat¨rlichen u uZahlen gute Gr¨nde anf¨hren. In der Zahlentheorie ist es meistens ein- u ufach praktischer, die Null fortzulassen, da sie f¨r die meisten Aussagen uohnehin eine Ausnahmestellung einnimmt.Die Mengen Z und N sind aus der Schule wohlbekannt, wo sie allerdingsmeist nicht axiomatisch begr¨ndet werden. uF¨r die axiomatische Einf¨hrung von N mit Hilfe der Axiome von Pea- u uno sei auf die Literatur verwiesen (z.B. Ebbinghaus et al.: Zahlen), wirstellen hier nur die wichtigsten Ideen kurz vor, die dabei auftreten:Bemerkung. a) Die nat¨rlichen Zahlen sind eine Menge N mit u einem ausgezeichneten Element 1 und einer injektiven Nachfol- gerabbildung s : N −→ N. F¨r diese gilt u – s(N) = {N 1}. – Ist M ⊆ N mit 1 ∈ M so, dass s(M ) ⊆ M gilt, so ist M = N (Induktionsaxiom). b) In N gibt es Verkn¨pfungen + und ·, f¨r die Assoziativ- und u u Kommutativgesetz sowie Distributivgesetze gelten, man hat s(n) = n + 1 f¨r n ∈ N. u c) In N gibt es eine Relation <, die etwa durch m < n ⇔ ∃r ∈ N mit n = m + r gegeben werden kann. Die daraus abgeleitete Relation m ≤ n ⇔ m < n oder m = n ist eine Ordnungsrelation, d.h., sie ist reflexiv (m ≤ m ∀m), antisymmetrisch ((m ≤ n und n ≤ m) ⇒ m = n) und transitiv ((m ≤ n und n ≤ q) ⇒ m ≤ q). Die Ordnungsrelation ≤ ist monoton bez¨glich Addition und Multiplikation ((m ≤ n) und u (p ≤ q) ⇒ m + p ≤ n + q, (m ≤ n und p ≤ q) ⇒ mp ≤ nq), sie ist ferner total (linear), d.h. f¨r m, n ∈ N gilt stets m ≤ n oder u n ≤ m.
  14. 14. ELEMENTARE ALGEBRA UND ZAHLENTHEORIE 13 d) Die Ordnungsrelation ≤ ist eine Wohlordnung, d.h., in jeder nichtleeren Teilmenge M ⊆ N gibt es ein (eindeutig bestimm- tes) kleinstes Element (Minimum), also ein m ∈ M mit m ≤ n f¨r alle n ∈ M . uAuch die Konstruktion der ganzen Zahlen auf der Basis der bereitsaxiomatisch eingef¨hrten nat¨rlichen Zahlen wird in der Schule meis- u utens nur angedeutet bzw. durch Plausibilt¨tsbetrachtungen ersetzt. F¨r a uden Fall, dass Sie diese Konstruktion in Ihren Anf¨ngervorlesungen anoch nicht kennen gelernt haben, stellen wir die wichtigsten Schrit-te zusammen, uberlassen aber die Durchf¨hrung der Beweise f¨r die ¨ u u ¨behaupteten Eigenschaften den LeserInnen als Ubung.Definition und Lemma 1.1. Auf N × N wird durch (m, n) ∼ (m , n ) ⇔ m + n = m + n ¨eine Aquivalenzrelation ∼ eingef¨hrt. Die Menge Z = N × N/ ∼ der u¨Aquivalenzklassen [(m, n)] bez¨glich ∼ heißt Menge der ganzen Zahlen. uDie Verkn¨pfungen +, · von N induzieren (ebenfalls mit +, · bezeichne- ute) Verkn¨pfungen auf Z durch u [(m1 , n1 )] + [(m2 , n2 )] = [(m1 + m2 , n1 + n2 )] [(m1 , n1 )] · [(m2 , n2 )] = [(m1 m2 + n1 n2 , m1 n2 + m2 n1 )].Mit diesen Verkn¨pfungen ist Z eine kommutative Gruppe mit neutra- ulem Element 0 = [(1, 1)] bez¨glich + und eine kommutative Halbgruppe umit neutralem Element 1 = [(2, 1)], (also ein Monoid) bez¨glich ·. uZ ist also ein kommutativer Ring mit Einselement 1. Dieser Ring istuberdies nullteilerfrei (ein Integrit¨tsbereich).¨ aDie Elemente (1, 1), (p + 1, 1) mit p ∈ N, (1, p + 1) mit p ∈ N bilden einvollst¨ndiges Repr¨sentantensystem von N × N bez¨glich ∼, ihre Klas- a a usen werden mit [(1, 1)] = 0, [(p+1, 1)] = p, [(1, p+1)] = −p bezeichnet.Mit diesen Bezeichnungen ist   m−n falls m > n [(m, n)] = 0 falls m = n  −(n − m) = m − n falls m < n.Die Ordnungsrelation ≤ setzt sich auf Z fort durch p > 0 f¨r alle p ∈ N, u−p < 0 f¨r alle p ∈ N, u a≤b⇔b−a≥0 f¨r a, b ∈ Z. uDamit ist auch Z total geordnet; die Monotonieregel f¨r die Addition ugilt weiter, die Monotonieregel f¨r die Multiplikation wird zu u a ≤ b und m ∈ N0 ⇒ ma ≤ mb.
  15. 15. 14 RAINER SCHULZE-PILLOTDas Wohlordnungsprinzip ubertr¨gt sich von N auf Z in der folgenden ¨ amodifizierten Form:Ist M ⊆ Z eine nach unten beschr¨nkte Teilmenge, so hat M ein ein- adeutig bestimmtes kleinstes Element. ¨Beweis. Ubung. die Hauptarbeit besteht darin, zu zeigen, dass die Defi-nition der Verkn¨pfungen wirklich eine unzweideutige Definition liefert, udass also die Verkn¨pfungen wohldefiniert sind. Das ist nicht selbst- uverst¨ndlich, da f¨r Addition und Multiplikation der Klassen [(m1 , n1 )] a uund [(m2 , n2 )] Bezug auf die Repr¨sentanten (m1 , n1 ), (m2 , n2 ) dieser aKlassen genommen wird. Sie m¨ssen also zeigen: uSind m1 , n1 , m2 , n2 , m1 , n1 , m2 , n2 ∈ N mit (m1 , n1 ) ∼ (m1 , n1 ), (m2 , n2 ) ∼ (m2 , n2 ),so ist [(m1 + m2 , n1 + n2 )] = [(m1 + m2 , n1 + n2 )], [(m1 m2 + n1 n2 , m1 n2 + m2 n1 )] = [(m1 m2 + n1 n2 , m1 n2 + m2 n1 )].F¨r beliebige reelle Zahlen x f¨hren wir noch die Notationen ein: u u x := [x] = max{n ∈ Z | n ≤ x} (Gauß-Klammer, floor, ganzer Anteil) x = min{n ∈ Z | n ≥ x} (ceiling) {x} = x − x (gebrochener Anteil)Eine wichtige Eigenschaft von Z ist die M¨glichkeit der Division mit oRest:Lemma 1.2. Sind a, b ∈ Z, b = 0, so gibt es q, r ∈ Z mit 0 ≤ r < |b|,so dass a = bq + r gilt.q und r mit dieser Eigenschaft sind eindeutig bestimmt, r heißt der(kleinste nichtnegative) Rest von a bei Division durch b.Beweis. Es reicht, die Behauptung f¨r b > 0 zu zeigen, da man b < 0 udurch −b ersetzen kann.Die Menge M = {c ∈ Z | cb > a}ist dann durch den ganzen Anteil a des Quotienten a nach unten b bbeschr¨nkt und offenbar nicht leer, sie hat also nach dem Wohlord- anungsprinzip ein kleinstes Element, das wir mit q + 1 bezeichnen.Dann ist qb ≤ a < (q + 1)b.F¨r r := a − qb gilt also u 0 ≤ r = a − qb < (q + 1)b − qb = b,
  16. 16. ELEMENTARE ALGEBRA UND ZAHLENTHEORIE 15und wir haben die gesuchten Zahlen q, r gefunden. ¨Die Eindeutigkeit rechne man als Ubung nach.Auch die Division mit Rest ist nat¨rlich ein aus der Schule vertrautes uVerfahren. Wir haben hier dennoch den Beweis durchgef¨hrt, weil sich udieses eigentlich ganz selbstverst¨ndliche Verfahren im weiteren Verlauf ades Skriptes als ein enorm wichtiges Hilfsmittel herausstellen wird. Dertiefere Grund f¨r diese Wichtigkeit liegt darin, dass die Division mit uRest die Addition, die Multiplikation und die Gr¨ßenbeziehung im Ring oder ganzen Zahlen miteinander verkn¨pft, also die drei Grundstruktu- uren (additive Gruppe, multiplikative Halbgruppe, geordnete Menge),die Z besitzt, miteinander verbindet. In der Zahlentheorie und generellin der Mathematik gilt die (eigentlich wenig uberraschende) Faustregel, ¨dass interessante Aussagen immer dann entstehen, wenn verschiedeneGrundeigenschaften oder Strukturen des selben Objektes miteinanderin Verbindung kommen.Das zweite Thema in diesem Abschnitt sind die Zahldarstellungen.Definition und Satz 1.3. Sei g ∈ N, g ≥ 2. Dann hat jedes n ∈ Neine eindeutige Darstellung k n= aj g j (0 ≤ aj < g, ak = 0) j=0mit g k+1 −1 ≥ n ≥ g k ; diese Darstellung heißt die g-adische Darstellungvon n oder die Darstellung von n zur Basis g.Ist g = 2, so spricht man von der Bin¨rdarstellung, f¨r g = 10 von der a uDezimaldarstellung. Man schreibt g = (ak ak−1 · · · a0 )g . k jBeweis. Ist n = j=0 aj g wie oben, so ist a0 der Rest von n beiDivision durch g und allgemeiner aj der Rest von (n − j−1 ai g i )/g j i=0bei Division durch g. Die Koeffizienten aj in einer solchen Darstellungsind also in der Tat eindeutig bestimmt. Die G¨ltigkeit der behaupteten uUngleichung folgt aus k k k g j g ≤ ak g ≤ aj g ≤ (g − 1) g j = g k+1 − 1. j=0 j=0Die g k+1 − 1 verschiedenen Zahlen k aj g j = 0 mit 0 ≤ aj < g j=0liegen alle in der (g k+1 − 1)-elementigen Menge {n ∈ N | n ≤ g k+1 − 1};daher ist jedes n aus dieser Menge von der Form k aj g j mit 0 ≤ j=0
  17. 17. 16 RAINER SCHULZE-PILLOTaj < g, was die noch fehlende Existenz einer g-adischen Darstellungzeigt.Bemerkung. Man kann auch Zahldarstellungen zu negativen Baseneinf¨hren. Eine andere Variante ist die sogenannte balanced ternary“- u ”Notation, bei der man jede ganze Zahl n als k n= aj 3j mit aj ∈ {0, 1, −1} j=0 ¨schreibt. Siehe hierzu die Ubungen sowie das am Ende dieses Abschnittserw¨hnte Buch von D. Knuth. aDie g-adische Darstellung liegt auch der Darstellung von Zahlen imRechner zu Grunde. Gehen wir etwa davon aus, dass ein Wort im Rech-ner aus 64 Bits besteht, so speichert man gew¨hnliche ganze Zahlen o(single precision integer) zun¨chst in einem Wort ab, indem man ein aBit f¨r das Vorzeichen reserviert und in den verbleibenden 63 Bits die uKoeffizienten 0 oder 1 der Bin¨rdarstellung der Zahl speichert. Das be- aschr¨nkt offenbar den zur Verf¨gung stehenden Zahlbereich auf Zahlen a u 63vom Absolutbetrag ≤ 2 −1, also auf ca. 20-stellige Zahlen in Dezimal-darstellung. F¨r Anwendungen in Zahlentheorie und Computeralgebra uist das unbefriedigend, und auch die in der Anfangszeit der Computerverwendeten double precision integers (zwei W¨rter f¨r eine Zahl) l¨sen o u odas Problem nicht zufriedenstellend.Die ubliche L¨sung ist: ¨ oMan setzt G = 264 und stellt eine beliebige Zahl n ∈ N nun zur BasisG dar: k n= bj Gj (0 ≤ bj < G, bk = 0). j=0Jedes bj kann dann in einem (vorzeichenfreien) Wort gespeichert wer-den, und die hierf¨r ben¨tigten W¨rter werden entweder in einem hin- u o oreichend großen Array fester L¨nge (etwa wieder 64), in einem Array avariabler L¨nge oder in einer mit Pointern verlinkten Liste gespeichert a(h¨ufigste Variante). Beim Array fester L¨nge st¨ßt man zwar wieder a a o ¨an eine Grenze, diese ist aber so groß, dass ein Uberlauf nur in F¨llen aauftritt, in denen das Ergebnis wegen seiner Gr¨ße ohnehin nicht mehr overwertbar w¨re. Sauberer sind aber die beiden anderen genannten aL¨sungen, bei denen der Gr¨ße einer Zahl keine Schranken gesetzt sind. o oAuf die technischen Details gehen wir hier nicht weiter ein. Auch aufdie Darstellung von Gleitkommazahlen (floating point numbers) gehenwir hier nicht ein, da dieses Thema f¨r algebraisch/zahlentheoretische uRechnungen meist von geringer Bedeutung ist.Wir halten noch fest:
  18. 18. ELEMENTARE ALGEBRA UND ZAHLENTHEORIE 17Satz 1.4. Zur Darstellung der Zahl n ∈ Z im Rechner ben¨tigt man o(h¨chstens) o log2 |n| +2 wW¨rter, wo w die Anzahl der Bits je Wort ist. oUm noch die grundlegenden Ergebnisse uber den Rechenaufwand zur ¨Durchf¨hrung der Grundrechenarten im Rechner zusammenstellen zu uk¨nnen, erinnern wir an die O, o-Notationen: oDefinition 1.5. Sei M ⊆ R eine Menge, die beliebig große Elementeenth¨lt, seien f, g : M −→ R Funktionen. a a) Gibt es C > 0, so dass |f (x)| ≤ C · |g(x)| f¨r alle hinreichend großen x ∈ M gilt, so schreibt man u f (x) = O(g(x)). (oder auch f (x) g(x)). b) Ist g(x) = 0 f¨r hinreichend große x und u lim f (x)/g(x) = 0, x→∞ x∈M so schreibt man f (x) = o(g(x)). c) Ist g(x) = 0 f¨r hinreichend große x und u f (x) lim = 1, x→∞ x∈M g(x) so schreibt man f (x) ∼ g(x) und sagt, f sei f¨r x −→ ∞ asymptotisch gleich g(x). uMit diesen Bezeichnungen haben wir:Satz 1.6. Addition und Subtraktion von N -stelligen Zahlen (in Dar-stellung zur Basis g) erfordern O(N ) elementare Operationen. Mul-tiplikation und Division einer N -stelligen und einer M -stelligen Zahlerfordern h¨chstens O(M N ) elementare Operationen. oEine elementare Operation ist dabei die Addition, Multiplikation oderDivision zweier nat¨rlicher Zahlen zwischen 0 und g − 1 (wobei bei Di- uvision der ganze Anteil des Ergebnisses zu nehmen ist), diese erfolgenin der Regel an Hand von Tabellen bzw. sind im Chip implementiert.Beweis. Siehe etwa Knuth, The Art of Computer Programming, vol. 2,sec. 4.3.1, oder die Computer-Algebra-B¨cher von Geddes/Czapor/Labahn u ¨bzw. von von zur Gathen/Schneider, siehe im ubrigen auch die Ubun- ¨gen.
  19. 19. 18 RAINER SCHULZE-PILLOTBemerkung. Bei der Multiplikation und der Division lassen sich durchverbesserte Verfahren (“fast multiplication”) noch bessere Absch¨tzun- agen erzielen, wir werden darauf im Abschnitt uber die diskrete Fou- ¨riertransformation noch einmal kurz eingehen und verweisen hierf¨r uansonsten auf die bereits genannten Lehrb¨cher der Computeralgebra. u
  20. 20. ELEMENTARE ALGEBRA UND ZAHLENTHEORIE 19 2. Teilbarkeit und PrimzahlenIn diesem Abschnitt wollen wir die Teilbarkeitsrelation im Ring Z derganzen Zahlen untersuchen. Wir werden dabei sehen, dass sich vieleEigenschaften der Teilbarkeit in Z bereits zeigen lassen, wenn man nureinen kleinen Teil der Struktur von Z voraussetzt. Deshalb werden wirmit den schw¨chsten Voraussetzungen beginnen, unter denen sich ei- ane Teilbarkeitstheorie sinnvoll formulieren l¨sst, und zun¨chst Teilbar- a akeitstheorie in einem beliebigen kommutativen Ring mit Einselement,der nullteilerfrei ist (einem Integrit¨tsbereich), betrachten. aZun¨chst wiederholen wir die aus dem einleitenden Abschnitt uber al- a ¨gebraische Grundlagen bereits bekannten Definitionen von Teilbarkeitund von Integrit¨tsbereichen: aDefinition 2.1. Sei R ein kommutativer Ring (mit Einselement 1).Sind a, b ∈ R, so sagt man, a sei ein Teiler von b (a|b, a teilt b), wennes c ∈ R gibt mit ac = b.Ein Element a ∈ R, a = 0 heißt ein Nullteiler, wenn es b = 0 in R mitab = 0 gibt; gibt es in R keine Nullteiler, so heißt R nullteilerfrei oderein Integrit¨tsbereich. aLemma 2.2. Sei R ein Integrit¨tsbereich. Dann gilt: a a) (K¨rzungsregel) Sind a, b, c ∈ R, c = 0 mit ac = bc, so ist a = b. u b) F¨r alle a ∈ R gilt a|0 und a|a. u c) F¨r alle a ∈ R gilt 1|a u d) Sind a, b ∈ R mit a|b und ∈ R× eine Einheit, so gilt a| b, a|b. e) Sind a ∈ R, ∈ R× mit a| , so ist a ∈ R× . f) Sind a, b ∈ R mit a|b und b|a, so gibt es ∈ R× mit b = a. g) Sind a, b, c ∈ R mit c = 0, so gilt genau dann ca|cb, wenn a|b gilt. h) Sind a, b, d ∈ R mit d|a, d|b, so gilt d|xa + yb f¨r alle x, y ∈ R. u i) Sind a1 , a2 , b1 , b2 ∈ R mit a1 |a2 , b1 |b2 so gilt a1 b1 |a2 b2 .Speziell f¨r R = Z gilt ferner u • Sind m, n ∈ Z mit m|n, n = 0, so ist |m| ≤ |n|. • Z× = {±1}. ¨Beweis. Man rechne dies zur Ubung nach.Definition 2.3. Sei R ein Integrit¨tsbereich. a, b ∈ R heißen zueinan- ader assoziiert, wenn es eine Einheit ∈ R gibt mit b = a .Lemma 2.4. Sei R ein Integrit¨tsbereich. Dann gilt: a a) a, b ∈ R sind genau dann assoziiert, wenn a | b und b | a gilt. b) a und b in Z sind genau dann assoziiert, wenn |a| = |b| gilt.
  21. 21. 20 RAINER SCHULZE-PILLOT c) Sei K ein K¨rper. Zwei Polynome f, g ∈ K[X] sind genau dann o assoziiert, wenn sie skalare Vielfache von einander sind, wenn es also c ∈ K × gibt mit f = cg.Beweis. a): Sind a und b assoziiert, so ist b = a, also a = −1 b unddamit a | b, b | a.Gilt umgekehrt a | b, b | a, so ist b = ac1 , a = bc2 . einsetzen von , a = bc2in b = ac1 ergibt b = bc1 c2 , nach der K¨rzungsregel folgt c1 c2 = 1, also u × ×c1 ∈ R , c2 ∈ R , also die Assoziiertheit von a und b.b) und c) folgen direkt aus a), da ±1 die einzigen Einheiten von Z sindund die c ∈ K × genau die Einheiten von K[X] sind.Bemerkung. In einem K¨rper teilt jedes a = 0 jedes K¨rperelement b o ound alle Elemente = 0 sind zueinander assoziiert. Die Begriffe aus denobigen Definitionen sind also nur interessant in Ringen, in denen nichtalle von 0 verschiedenen Elemente multiplikativ invertierbar sind.Bevor wir Integrit¨tsbereiche im Allgemeinen und den Ring Z der gan- azen Zahlen im Besonderen n¨her untersuchen, wollen wir eine Liste von aBeispielen von Integrit¨tsbereichen zusammenstellen, die einerseits in aden h¨ufigsten Anwendungen vorkommen und andererseits Beispiele adaf¨r liefern werden, welche Teilbarkeitseigenschaften bei verschiede- unen Typen von Integrit¨tsbereichen vorkommen. aBeispiel. a) Jeder K¨rper ist erst recht ein Integrit¨tsbereich. o a b) Ist K ein K¨rper und R ⊆ K ein Teilring, so ist R ein Inte- o grit¨tsbereich, da Nullteiler in R auch Nullteiler in K w¨ren. a a Sei insbesondere d ∈ Z und √ √ Z[ d] := {a + b d | a, b ∈ Z} ⊆ C. √ Man rechnet nach, dass Z[ d] ein Teilring des K¨rpers C der √ o komplexen Zahlen ist, der von 1 und d erzeugte Teilring von C. Ist die Zahl d − 1 durch 4 teilbar, so ist sogar √ √ 1+ d 1+ d Z[ ] := {a + b | a, b ∈ Z} ⊆ C 2 2 ¨ ein Teilring von C, wie man (Ubung) nachrechnet. c) Ist K ein K¨rper, so ist der Polynomring K[X] in einer Variablen o X uber K ein Integrit¨tsbereich. ¨ a Wie im einleitenden Kapitel 0 festgestellt ist allgemeiner der Po- lynomring R[X] in einer Variablen X uber einem Integrit¨tsbe- ¨ a reich R ebenfalls ein Integrit¨tsbereich. a Indem man wiederholt den Polynomring bildet, kann man induk- tiv (oder rekursiv) den Polynomring R[X1 , . . . , Xn ] in n Varia- blen X1 , . . . , Xn bilden; ist R ein Integrit¨tsbereich, so ist auch a R[X1 , . . . , Xn ] ein Integrit¨tsbereich. Ein Element dieses Rings a
  22. 22. ELEMENTARE ALGEBRA UND ZAHLENTHEORIE 21 ist eine Linearkombination j j j aj1 ,...,jn X11 X22 · · · Xnn (j1 ,...,jn )∈Nn 0 ji ≤m mit Koeffizienten aj1 ,...,jn ∈ R und einem geeigneten m ∈ N0 . j j j Die Terme X11 X22 · · · Xnn ∈ R[X1 , . . . , Xn ], aus denen sich diese Polynome zusammensetzen, heißen Monome, die Summe j1 + j j j · · · + jn der Exponenten des Monoms X11 X22 · · · Xnn heißt der Grad des Monoms. Man schreibt f¨r j = (j1 , . . . , jn ) auch u j j X j := X11 X22 · · · Xnn j und |j| := j1 + · · · + jn . Ein Polynom j j j f= aj1 ,...,jn X11 X22 · · · Xnn = 0 (j1 ,...,jn )∈Nn 0 ji ≤m heißt homogen vom Grad d, wenn aj1 ,...,jn = 0 nur f¨r n-Tupel u j = (j1 , . . . , jn ) mit |j| = d gilt, wenn also alle mit einem von 0 verschiedenen Koeffizienten in f vorkommenden Monome den gleichen Grad d haben. d) Im vorigen Beispiel kann man den Polynomring R[X1 , . . . , Xn ] in nat¨rlicher Weise als einen Teilring des Polynomrings u R[X1 , . . . , Xn , Xn+1 ] in n + 1 Variablen auffassen. Bildet man dann R[{Xj | j ∈ N}] := ∪n∈N R[X1 , . . . , Xn ], so erh¨lt man den Polynomring in unendlich vielen Variablen a Xj , j ∈ N. Da auf Grund der Konstruktion jedes Element die- ses Polynomrings ein Polynom in einer endlichen (aber unbe- schr¨nkten) Anzahl von Variablen ist, uberzeugt man sich leicht, a ¨ dass auch dieser Ring ein Integrit¨tsbereich ist, wenn R ein In- a tegrit¨tsbereich ist. aUnser n¨chstes Ziel ist der Fundamentalsatz der Arithmetik, also die aAussage, dass sich jede nat¨rliche Zahl n = 1 eindeutig in ein Pro- udukt von Primzahlen bzw. nach Zusammenfassung gleicher Faktorenin ein Produkt von Primzahlpotenzen zerlegen l¨sst. Wir werden in asp¨teren Abschnitten sehen, dass wir diesen Satz, dessen N¨tzlichkeit a uf¨r das Rechnen im Ring Z der ganzen Zahlen wohl unbestreitbar ist, uauf sehr viel allgemeinere Integrit¨tsbereiche verallgemeinern k¨nnen. a oDie n¨tigen Begriffe formulieren wir deshalb gleich in der allgemeinen oSituation.Definition 2.5. Sei R ein Integrit¨tsbereich. a
  23. 23. 22 RAINER SCHULZE-PILLOT a) Ein Element p ∈ R, p ∈ R× , heißt Primelement, wenn gilt Sind a, b ∈ R mit p|ab, so gilt p|a oder p|b. b) Ein Element a ∈ R, a ∈ R× , heißt unzerlegbar (irreduzibel), wenn gilt: Ist a = bc mit b, c ∈ R, so ist b ∈ R× oder c ∈ R× . c) In Z heißen unzerlegbare Elemente, die positiv sind, Primzahlen, d.h., p ∈ N ist genau dann Primzahl, wenn p > 1 gilt und wenn aus p = bc mit b, c ∈ N folgt, dass b = 1 oder c = 1 gilt.Es ist vermutlich etwas uberraschend, dass wir die beiden von Primzah- ¨len bekannten Eigenschaften a) und b) mit getrennten Bezeichnungenbelegen. Wir werden sp¨ter Beispiele betrachten, in denen die Begrif- afe Primelement und unzerlegbares Element auseinanderfallen, und wirwerden recht bald zeigen, dass sie f¨r Z und f¨r viele andere interessante u uRinge eben doch identisch sind.Beispiel. Im Polynomring K[X] uber einem K¨rper K sind die unzer- ¨ olegbaren Elemente genau die Polynome, die sich nicht als ein Produktvon zwei Polynomen echt kleineren Grades zerlegen lassen. Das folgt di-rekt aus der Definition, da alle Polynome, die nicht Einheiten in K[X]sind, einenGrad ≥ 1 haben und deg(f g) = deg(f ) + deg(g) f¨r den uGrad eines Produktes f g von zwei Polynomen gilt.Polynome, die in diesem Sinn unzerlegbar sind, heißen irreduzible Po-lynome, Polynome, die nicht irreduzibel sind, heißen reduzibel.Lemma 2.6. a) Ist R ein Integrit¨tsbereich, p ∈ R ein Primele- a ment und sind a1 , . . . , ar ∈ R mit p|a1 · · · ar , so gibt es ein j mit p|aj . b) Ist p ∈ N Primzahl und a ∈ N mit a|p, a > 1, so ist a = p. ¨Beweis. Aussage a) beweise man als Ubung mit Hilfe vollst¨ndiger In- aduktion. Aussage b) ergibt sich unmittelbar aus dem ersten Teil desfolgenden allgemeineren Lemmas, nach dem die Eigenschaft, prim zusein, in jedem Integrit¨tsbereich mindestens so stark ist wie Unzerleg- abarkeit.Lemma 2.7. Sei R ein Integrit¨tsbereich. Dann ist jedes Primelement ain R auch unzerlegbar.Beweis. Sei p ∈ R ein Primelement und p = bc mit b, c ∈ R.Wir m¨ssen zeigen, dass b ∈ R× oder c ∈ R× gilt. uDa p ein Primelement ist, gilt p|b oder p|c, o.E. sei p|b. Da offenbarauch b|p gilt, gibt es nach Lemma 2.2 e) ein ∈ R× mit b = p. Wirhaben also 1 · p = p = bc = pc,
  24. 24. ELEMENTARE ALGEBRA UND ZAHLENTHEORIE 23und da in Integrit¨tsbereichen die K¨rzungsregel gilt, folgt 1 = c, also a u −1 ×c= ∈ R , was zu zeigen war.Die Umkehrung dieses Lemma gilt im allgemeinen nicht, es kann also inhinreichend b¨sartigen Integrit¨tsbereichen vorkommen, dass man un- o a ¨zerlegbare Elemente hat, die keine Primelemente sind. In den Ubungs-aufgaben zu diesem Abschnitt k¨nnen √ etwa nachrechnen, dass der o Sie(eigentlich harmlos ausehende) Ring Z[ −5] ein solches Beispiel liefert;in diesem Ring wird sich 2 als unzerlegbar, aber nicht prim herausstel-len.Wir werden aber bald zeigen, dass dies im Ring Z der ganzen Zah-len und in einer recht großen Klasse allgemeinerer Integrit¨tsbereiche a(unter anderem in Polynomringen uber K¨rpern) nicht passiert. ¨ oDie folgenden Definitionen f¨hren Begriffe ein, die scheinbar nicht viel umit unserer Frage nach Primfaktorzerlegungen zu tun haben, sich aberin K¨rze als mit dieser Frage eng verbunden erweisen werden. uDefinition 2.8. Sei (R, +, ·) ein kommutativer Ring. Ein Ideal I ⊆ Rist eine Teilmenge, f¨r die gilt: u a) (I, +) ist eine Untergruppe von (R, +). b) F¨r a ∈ R, x ∈ I gilt ax ∈ I. uGibt es ein c ∈ R, so dass I = {ac | a ∈ R} gilt, so heißt I einHauptideal, man schreibt I = (c) = Rc und sagt, dass c das HauptidealI = (c) erzeugt.Definition und Lemma 2.9. Sei R ein kommutativer Ring (mit Eins-element). a) Sind c1 , . . . , cn ∈ R, so ist n I := (c1 , . . . , cn ) := { ai ci | ai ∈ R} i=1 ein Ideal, dieses heißt das von c1 , . . . , cn erzeugte Ideal. b) Ist I ⊆R ein Ideal, so heißt I endlich erzeugt, wenn I = (c1 , . . . , cn ) mit geeigneten c1 , . . . , cn ∈ R gilt. c) Ein kommutativer Ring, in dem jedes Ideal endlich erzeugt ist, heißt noethersch (Emmy Noether, 1882-1935). d) Ein Integrit¨tsbereich, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt a Hauptidealring (principal ideal domain).Beispiel. a) Im Ring Z der ganzen Zahlen ist jede Untergruppe bez¨glich der Addition bereits ein Ideal: Ist H ⊆ Z eine Unter- u gruppe von Z und a ∈ H, n ∈ Z, so ist  a + · · · + a  falls n ≥ 0  n−mal na = −(a + · · · + a) falls n < 0   |n|−mal
  25. 25. 24 RAINER SCHULZE-PILLOT wegen der Untergruppeneigenschaft von H ebenfalls in H. Insbe- sondere ist also f¨r m ∈ Z die Untergruppe mZ = {mn | n ∈ Z} u ein Ideal in Z, das von m erzeugt wird. b) Ist R = K K¨rper, so sind {0} und K die einzigen Ideale. oSatz 2.10. a) Im Ring Z der ganzen Zahlen ist jedes Ideal ein Hauptideal, also von der Form (m) = mZ = {mq | q ∈ Z} f¨r ein m ∈ Z. u b) Im Ring K[X] der Polynome in einer Variablen uber dem K¨rper ¨ o K ist jedes Ideal ein Hauptideal.Beweis. a): Sei I ⊆ Z ein Ideal. Ist I = {0}, so ist I das von 0 erzeugteHauptideal. Ist I = {0}, so gibt es positive Zahlen in I, da zu jedema ∈ I auch −a ∈ I gilt. Sei m die kleinste positive Zahl in I und n ∈ Ibeliebig.Nach Lemma 1.2 (Division mit Rest) k¨nnen wir n = mq + r mit oq, r ∈ Z, 0 ≤ r < m schreiben. Da r = n − mq ∈ I wegen n ∈ I, m ∈ Igilt und m nach Definition die kleinste positive Zahl in I ist, folgt aus0 ≤ r < m, dass r = 0 gilt. Daher ist n = mq ∈ (m) = mZ f¨r jedesun ∈ I, also I ⊆ (m) = mZ. Da aus der Idealeigenschaft umgekehrt(m) = mZ ⊆ I folgt, ist die Behauptung bewiesen.Genauso zeigt man die Aussage b) mit Hilfe von Lemma 0.12 (derVersion der Division mit Rest f¨r den Polynomring), man zeigt dann umit dem gleichen Schluss wie oben, dass ein Ideal I = (0) in K[X]von einem Polynom g = 0, g ∈ I vom kleinstm¨glichen Grad erzeugt owird.Wir formulieren jetzt den Satz uber die eindeutige Primfaktorzerlegung ¨allgemein f¨r Hauptidealringe, beweisen ihn aber zun¨chst nur f¨r den u a uRing Z der ganzen Zahlen.Satz 2.11. Sei R ein Hauptidealring. a) Die Primelemente in R sind genau die unzerlegbaren Elemente. b) Jedes a ∈ R hat eine bis auf Reihenfolge und Assoziiertheit ein- deutige Zerlegung a = q 1 · · · qr in ein Produkt von (nicht notwendig verschiedenen) Primelemen- ten. Fasst man hierin assoziierte Faktoren zusammen, so erh¨lt man a eine Zerlegung a = p ν 1 · · · p νr 1 r mit ∈ R× , νj ∈ N und mit paarweise nicht zueinander assozi- ierten Primelementen pj . c) Ist insbesondere R = Z, so gilt der Fundamentalsatz der Arith- metik:
  26. 26. ELEMENTARE ALGEBRA UND ZAHLENTHEORIE 25 Jedes n ∈ Z {0, 1, −1} hat eine eindeutige Zerlegung n = ±pν1 · · · pνr 1 r mit Primzahlen p1 < p2 · · · < pr und ν1 , . . . , νr ∈ N. Man schreibt hierf¨r auch: u n = ± pνp (n) p Primzahl mit νp ∈ N0 , νp = 0 nur f¨r endlich viele p u und nennt den Exponenten νp (n) die p-adische Bewertung von n.Beweis. Den Beweis von a) und b) im allgemeinen Fall verschieben wirwieder in den n¨chsten Abschnitt. aF¨r den Fall R = Z ist zun¨chst die Existenz einer Zerlegung wie in b) u aleicht einzusehen:Ohne Einschr¨nkung sei n ∈ N, n > 1. Wir benutzen dann vollst¨ndige a aInduktion nach n, wobei der Induktionsanfang n = 2 trivial ist, da 2eine Primzahl ist.Sei jetzt n > 2 und die Behauptung f¨r alle nat¨rlichen Zahlen m < n u ugezeigt. Ist n eine Primzahl, so ist man fertig. Andernfalls gibt es (nachDefinition der Primzahl als in Z unzerlegbares Element) b, c ∈ N mitn = bc, b = 1 = c und daher auch b < n, c < n. Nach Induktionsan-nahme besitzen b und c Zerlegungen in Produkte von Primzahlen, f¨gt uman sie aneinander, so erh¨lt man eine ebensolche Zerlegung f¨r n. a uSammelt man nun in einer Zerlegung von |n| in nicht notwendig ver-schiedene Primfaktoren die gleichen Faktoren ein, so erh¨lt man die abehauptete Zerlegung n = ±pν1 · · · pνr . 1 rDie Eindeutigkeit k¨nnen wir auf (mindestens) zwei verschiedene Wei- osen zeigen.Wir bringen zun¨chst einen Beweis durch vollst¨ndige Induktion, der a aeine Umformulierung des klassischen indirekten Beweises von Zermelo(Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo, 1871–1953) ist.Der Induktionsanfang n = 2 ist klar.Wir nehmen also an, dass n > 2 ist und dass f¨r jede nat¨rliche Zahl, u udie kleiner als n ist, die Zerlegung in ein Produkt von Primzahlen ein-deutig ist.Seien n = p 1 · · · p r = q1 · · · qs (p1 ≤ · · · ≤ pr , q1 ≤ · · · ≤ qs , p1 ≤ q1 )zwei Zerlegungen (von denen wir noch nicht wissen, ob sie verschiedensind oder nicht). Ist r = 1 oder s = 1, so ist n Primzahl und daherr = s = 1 und p1 = q1 = n. Wir brauchen also nur noch den Fall r > 1,s > 1 zu betrachten.
  27. 27. 26 RAINER SCHULZE-PILLOTIst p1 = q1 so k¨nnen wir in n = p1 · · · pr = q1 · · · qs durch p1 teilen und oerhalten 1 < n = p2 · · · pr = q2 · · · qs < n;nach Induktionsannahme ist die Zerlegung von n in Primfaktoren ein-deutig und daher r = s, pj = qj f¨r 2 ≤ j ≤ s, die beiden Zerlegungen uvon n waren also identisch.Den Fall p1 = q1 k¨nnen wir aber wie folgt ausschließen: Wir setzen o m = q1 · · · q s N = n − p1 m = p1 (p2 · · · pr − q2 · · · qs ) = (q1 − p1 )m < n,wegen p1 < q1 und m ≥ 2 ist N ≥ 2.Nach Induktionsannahme hat N eine eindeutige Zerlegung in Primfak-toren. Offenbar ist aber p1 |(q1 − p1 ) und p1 |m = q2 · · · qs (da alle qjPrimzahlen > p1 sind).Zerlegt man q1 − p1 in Primfaktoren, so liefert also N = (q1 − p1 )q2 · · · qseine Zerlegung von N in Primfaktoren, in der p1 nicht vorkommt; zer-legt man andererseits (p2 · · · pr − q2 · · · qs ) in Primfaktoren, so liefert N = p1 (p2 · · · pr − q2 · · · qs )eine Zerlegung von N in Primfaktoren, in der p1 vorkommt, im Wider-spruch zur Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung von N .Der Fall p1 = q1 kann also nicht vorkommen, und wir sind fertig.Wir geben jetzt noch einen zweiten Beweis f¨r Z, der die (allerdings uim Moment noch nicht bewiesene) Aussage a) benutzt, um die Eindeu-tigkeit der Zerlegung zu zeigen; dieser Beweis ist insofern algebraischerals der oben gegebene, als er die Gr¨ßenbeziehung in Z nicht (jedenfalls onicht direkt) benutzt.Er funktioniert deshalb auch in jedem Integrit¨tsbereich, in dem alle aunzerlegbaren Elemente prim sind und in dem man bereits die Exis-tenz einer Zerlegung in ein Produkt von unzerlegbaren Elementen (unddamit Primelementen) gezeigt hat; wir werden auf ihn zur¨ckkommen, uum die (bis jetzt nur behauptete) Existenz und Eindeutigkeit der Prim-faktorzerlegung in beliebigen Hauptidealringen zu zeigen.Sei hierf¨r wieder n > 1 mit zwei Zerlegungen u n = p 1 · · · p r = q1 · · · qs (p1 ≤ p2 ≤ · · · pr , q1 ≤ q2 ≤ · · · ≤ qs )in Primzahlen pi , qj .Da wir (mit Aussage a)) angenommen haben, dass unzerlegbare Ele-mente in Z auch Primelemente sind, ist p1 ein Primelement in Z, die
  28. 28. ELEMENTARE ALGEBRA UND ZAHLENTHEORIE 27Primzahl p1 teilt also nach Lemma 2.6 eines der qj (hier brauchen wira), da Primzahlen nach Definition unzerlegbare Elemente in Z sind) .Da das f¨r p1 = qj wegen der Primzahleigenschaft von qj nach Lemma u2.6 unm¨glich ist, ist p1 = qj und wir k¨nnen diese Faktoren k¨rzen. o o uDamit haben wir den Induktionsschritt in einem Induktionsbeweis nachder Anzahl der Faktoren gezeigt; der Induktionsanfang ist offenbar tri-vialBemerkung. Obwohl der Fundamentalsatz der Arithmetik eine reinmultiplikative Aussage zu sein scheint, h¨ngt seine Richtigkeit entschei- adend von der Kombination von multiplikativer und additiver Strukturder ganzen Zahlen ab; eine Tatsache, die wie bereits erw¨hnt praktisch af¨r alle interessanten Aussagen uber ganze Zahlen gilt. Man sieht das u ¨hier an dem folgenden instruktiven Beispiel.Beispiel. Sei D1 die Menge der nat¨rlichen Zahlen, die bei Division udurch 3 den Rest 1 lassen. Eine D1 -Primzahl sei eine Zahl 1 = n ∈ D1 ,die sich nicht als Produkt n = ab mit a, b ∈ D1 {1} schreiben l¨sst. aMan uberlegt sich leicht, dass D1 multiplikativ (aber nicht additiv) ¨abgeschlossen ist und dass sich jedes n ∈ D1 in ein Produkt von D1 -Primzahlen zerlegen l¨sst. aMan findet aber ebenfalls leicht F¨lle, in denen diese Zerlegung nicht a ¨eindeutig ist (siehe Ubungen).Satz 2.12. (Euklid) Es gibt in N unendlich viele Primzahlen.Beweis. Sei M = {p1 , . . . , pr } irgendeine endliche Menge von Primzah-len. Dann ist N = p1 · · · pr + 1durch keine der Primzahlen p1 , . . . , pr teilbar (da sonst auch 1 = N −p1 · · · pr durch diese Primzahl teilbar w¨re), es gibt also nach dem Fun- adamentalsatz der Arithmetik wenigstens eine Primzahl p ∈ M mit p|N .Insbesondere folgt, dass die Menge aller Primzahlen nicht endlich ist.Genauer gilt:Satz 2.13. (Primzahlsatz, Hadamard und de la Vall´e Poussin) F¨r e ux ∈ R, x > 0 sei π(x) = #{p ≤ x | p ist Primzahl}.Dann gilt x π(x) ∼ log(x) π(x)(also limx→∞ x/ log(x) = 1).
  29. 29. 28 RAINER SCHULZE-PILLOTBeweis. Der Beweis benutzt analytische Hilfsmittel; wir gehen daraufhier nicht n¨her ein (wenn Zeit bleibt, untersuchen wir die Frage sp¨ter a anoch etwas n¨her). aBemerkung. Der Autor kann sich einen kleinen Exkurs zum analyti-schen Beweis des Primzahlsatzes nicht verkneifen, da es hier um Dingegeht, deren Ausf¨hrung zwar nicht in das Konzept dieses Skriptes pas- usen, die aber zu den sch¨nsten und gegenw¨rtig am intensivsten unter- o asuchten Themen der Zahlentheorie geh¨ren. Leserin und Leser k¨nnen o odiesen Exkurs also z¨gig lesen, ohne dass L¨cken f¨r die weitere Lekt¨re u u u udes Skriptes entstehen, werden aber hoffentlich dabei neugierig.Die meisten Beweise f¨r den Primzahlsatz benutzen die Riemannsche uZetafunktion ∞ 1 ζ(s) = . n=1 nsDiese ist zun¨chst f¨r s ∈ C mit Re(s) > 1 definiert (die Konvergenz a uder Reihe ∞ ∞ 1 1 | s| = f¨r Re(s) > 1 u n=1 n n=1 nRe(s)zeigt man etwa mit Hilfe des Integralkriteriums in der Analysis I oder ¨als Ubung zu dieser Vorlesung); ζ(s) ist im Gebiet {s ∈ C | Re(s) > 1}komplex differenzierbar (holomorph).Man kann zeigen, dass diese Funktion sich holomorph auf C {1} fort-setzen l¨sst und bei s = 1 eine Polstelle erster Ordnung hat ( ∞ n a n=1 1divergiert bekanntlich); diese Fortsetzung ist dann nach grundlegendenS¨tzen der Funktionentheorie eindeutig. Die fortgesetzte Zetafunktion agen¨gt der Funktionalgleichung u πs ζ(s) = 2s π s−1 sin( )Γ(1 − s)ζ(1 − s), 2 1deren Symmetriezentrum s = 2 ist.F¨r s ∈ C, die nicht zum kritischen Streifen u {s ∈ C | 0 ≤ Re(s) ≤ 1}geh¨ren, ist der Wert von ζ(s) also direkt durch den Wert der kon- overgenten Reihe ∞ n1 f¨r s = s oder f¨r s = 1 − s bestimmt, n=1 s u uinnerhalb des kritischen Streifens dagegen nur indirekt, n¨mlich durch aFortsetzung der durch diese Reihe in ihrem Konvergenzgebiet gegebe-nen Funktion.Die Riemannsche Vermutung, die zu den sieben Million-Dollar-Pro-blemen des Clay-Instituts geh¨rt, besagt, dass die Nullstellen von ζ(s) o 1im kritischen Streifen alle auf der kritischen Geraden Re(s) = 2 liegen(man kann leicht zeigen, dass außerhalb des kritischen Streifens genaudie negativen geraden Zahlen Nullstellen der Zetafunktion sind).
  30. 30. ELEMENTARE ALGEBRA UND ZAHLENTHEORIE 29Die Richtigkeit der Riemannschen Vermutung ist ¨quivalent zu der aAussage 1 π(x) = li(x) + O(x 2 + )f¨r alle > 0, dabei ist u x 1 li(x) = dt 2 log(t)der Integrallogarithmus. F¨r diese Funktion gilt u x x x li(x) ∼ mit li(x) − =0 , log x log x (log(x))2so dass die Formel x π(x) ∼ log(x)im Primzahlsatz aus der Formel 1 π(x) = li(x) + O(x 2 + )von oben folgt.Der Zusammenhang zwischen den Eigenschaften der Zetafunktion unddenen der Funktion π(x) liegt in der Eulerschen Produktentwicklung 1 ζ(s) = f¨r Re(s) > 1 u p Primzahl 1 − p−sbegr¨ndet. Diese f¨hrt mit Mitteln der komplexen Analysis zu einer u uexpliziten Formel f¨r π(x), die π(x) durch die Nullstellen der Riemann- uschen Zetafunktion beschreibt.LeserInnen, die mehr uber dieses Thema lernen wollen, sei das Buch ¨Analytische Zahlentheorie von J. Br¨dern und die dort angegebene wie- uterf¨hrende Literatur empfohlen. uNach diesem Exkurs kommen wir jetzt wieder zu Aussagen uber Prim- ¨zahlen und uber Faktorzerlegungen, die wir mit den gegenw¨rtig verf¨g- ¨ a ubaren Mitteln beweisen k¨nnen. oLemma 2.14. Sei n ∈ N, n > 1, sei p(n) der kleinste Primteiler vonn. Dann gilt √ p(n) ≤ n .Beweis. Klar.Satz 2.15. (Erster Primzahltest) Sei n ∈ N, n > 1. n ist genau dann √Primzahl, wenn n durch keine Primzahl p ≤ n teilbar ist.Beweis. Klar.Satz 2.16. (Sieb des Eratosthenes) Sei N ∈ N, N > 1. Der folgendeAlgorithmus liefert eine Liste aller Primzahlen p ≤ N : 1. L sei eine Liste der L¨nge N , initialisiere sie durch L[j] = 0 f¨r a u j > 1, L[1] = 1.
  31. 31. 30 RAINER SCHULZE-PILLOT 2. q ←− 2, 3. = N , f¨r 2 ≤ j ≤ setze L[qj] = 1 (markiere alle Vielfachen q u von q als Nichtprimzahlen). √ 4. Solange q + 1 ≤ √ N und L[q + 1] = 1 gilt, setze q ←− q + 1. 5. Ist q + 1 > N , terminiere, gib die Liste aller j mit L[j] = 0 als Primzahlliste √ aus. 6. (Jetzt ist q +1 ≤ N und L[q +1] = 0, also q +1 eine Primzahl.) Setze q ←− q + 1, gehe zu 3.Beweis. Klar.Bemerkung. Dieses Verfahren stammt von Eratosthenes von Kyrene(276 v. Chr. – 194 v. Chr.), es kann so modifiziert werden, dass es f¨r udie Nichtprimzahlen gleichzeitig eine Zerlegung in Primfaktoren liefert.In umgangssprachlicher Formulierung statt der obigen algorithmischenSchreibweise besagt es einfach:Man streicht aus der Liste der nat¨rlichen Zahlen zun¨chst alle gera- u aden Zahlen außer der 2, dann alle durch 3 teilbaren Zahlen außer der3 und f¨hrt in gleicher Weise fort, indem man von jeder noch nicht ge- astrichenen Zahl n alle echten Vielfachen (also Vielfache = n) streicht;am Ende bleiben nur Primzahlen stehen.Ebenso wie unser erster Primzahltest von oben ben¨tigt es wenigs- √ otens N Schritte, seine Laufzeit ist also exponentiell in der AnzahlC ·log(N ) der zur Speicherung von N ben¨tigten Bits. Es ist seit kurzer oZeit bekannt, dass man zum Testen einer nat¨rlichen Zahl N auf Prim- uzahleigenschaft nur eine Laufzeit ben¨tigt, die polynomial in log(N ) ist. o
  32. 32. ELEMENTARE ALGEBRA UND ZAHLENTHEORIE 31 3. Euklidischer Algorithmus und diophantische GleichungenDefinition und Lemma 3.1. Sei R ein Integrit¨tsbereich, a, b ∈ R. a a) Ein Element d ∈ R heißt gr¨ßter gemeinsamer Teiler von a und o b, wenn gilt: i) d|a, d|b ii) Ist d ∈ R mit d |a, d |b, so gilt d |d. b) Ein Element m ∈ R heißt kleinstes gemeinsames Vielfaches von a und b, wenn gilt: i) a|m, b|m ii) Ist m ∈ R mit a|m , b|m , so gilt m|m . c) Ist R = Z, so ist d ∈ N genau dann gr¨ßter gemeinsamer Teiler o von a und b, wenn gilt d|a, d|b, d ≥ d f¨r alle d |a, d |b. u m ∈ N ist genau dann kleinstes gemeinsames Vielfaches von a und b, wenn gilt: a|m, b|m, m ≤ |m | f¨r alle m |a, m |b. uIn einem beliebigen Integrit¨tsbereich m¨ssen gr¨ßter gemeinsamer a u oTeiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches von zwei Elementen nichtexistieren, es ist allerding gar nicht so einfach, ein Gegenbeispiel anzu-geben.Wir bemerken hier nur, dass im Ring √ √ Z[ −5] := {a + b −5 ∈ C | a, b ∈ Z} √die Zahlen 6 und 4+2 −5 keinen gr¨ßten gemeinsamen Teiler besitzen; o ¨den Beweis verschieben wir in sp¨ter zu stellende Ubungsaufgaben. aF¨r den Fall, dass ggT und kgV existieren, stellen wir einfache Rechen- uregeln zusammen:Lemma 3.2. Sei R ein Integrit¨tsbereich. a a) Sind a, b ∈ R, so sind gr¨ßter gemeinsamer Teiler und kleinstes o gemeinsames Vielfaches von a und b, falls sie existieren, bis auf Assoziiertheit eindeutig bestimmt. b) Sind a, b ∈ R und ist d = ggT(a, b), so ist ggT( a , d ) = 1, und d b f¨r alle c ∈ R ist u cd = ggT(ac, bc). c) Sind a, b ∈ R und existiert ggT(a, b) so existiert auch kgV(a, b) und ggT(a, b) kgV(a, b) ist assoziiert zu ab. ¨Beweis. Ubung.Lemma 3.3. Sei R ein Ring, in dem zu je zwei Elementen a, b ∈ Rein gr¨ßter gemeinsamer Teiler existiert. Dann gilt: o
  33. 33. 32 RAINER SCHULZE-PILLOT a) Sind a, b1 , b2 ∈ R mit ggT(a, b1 ) = 1 und a|b1 b2 , so gilt a|b2 . b) Sind a, b1 , b2 ∈ R mit ggT(a, b1 ) = ggT(a, b2 ) = 1, so ist ggT(a, b1 b2 ) = 1. c) Sind a1 , a2 ∈ R mit ggT(a1 , a2 ) = 1 und ist b ∈ R mit a1 |b, a2 |b, so gilt a1 a2 |b.Beweis. a) Wegen ggT(a, b1 ) = 1 ist kgV(a, b1 ) = ab1 . Nach Vor- aussetzungen ist b1 b2 ein gemeinsames Vielfaches von a und von b1 , also gilt a1 b1 |b1 b2 , und die K¨rzungsregel liefert a1 |b2 . u b) Ist d = ggT(a, b1 b2 ), so gilt wegen d|a und ggT(a, b1 ) = 1 offenbar ggT(d, b1 ) = 1. Nach a) folgt dann aber aus d|b1 b2 , dass d|b2 , also auch d|ggT(a, b2 ) = 1 gilt. Also ist d Einheit, d.h., ggT(a, b1 b2 ) = 1. c) Nach Voraussetzung ist b) ein gemeinsames Vielfaches von a1 und a2 , also gilt kgV(a1 , a2 )|b. Wegen ggT(a1 , a2 ) = 1 ist aber kgV(a1 , a2 ) = a1 a2 , also gilt a1 a2 |b.Dass im Ring Z der ganzenZahlen ggT und kgV existieren, d¨rfte be- ukannt sein, ebenso wie die Methode, sie uber die Primfaktorzerlegung ¨zu bestimmen. Die Existenz k¨nnen wir aber auch ohne Bezug auf odie Primfaktorzerlegung nachweisen, ein sehr viel effizienteres Verfah-ren zur Bestimmung von ggT und kgV, das ebenfalls ohne Bezug aufdie Primfaktorzerlegung auskommt, lernen wir weiter unten in diesemAbschnitt kennen.Satz 3.4. Sei R ein Hauptidealring. Dann gibt es zu je zwei Elementena, b ∈ R einen gr¨ßten gemeinsamen Teiler. Ist d = ggT(a, b), so gibt oes x, y ∈ R mit d = xa + yb.Insbesondere haben f¨r R = Z je zwei ganze Zahlen = 0 einen eindeutig ubestimmten gr¨ßten gemeinsamen Teiler und ein eindeutig bestimmtes okleinstes gemeinsames Vielfaches in N.Beweis. Sei I = (a, b) das von a und b erzeugte Ideal in R, also I ={xa + yb | x, y ∈ R}. Da R nach Voraussetzung ein eHauptidealringist, gibt es ein d ∈ R mit I = (d) = {c ∈ R | d|c}. Da a, b ∈ I gilt, istd|a, d|b, d.h., d ist ein gemeinsamer Teiler von a und b.Nach Definition von I = (a, b) gibt es x, y ∈ R mit d = xa + yb. Istnun d ein gemeinsamer Teiler von a und b, so ist d auch Teiler vonxa + yb = d, d ist also in der Tat gr¨ßter gemeinsamer Teiler von a und ob; die Existenz der Darstellung d = xa + ybist damit schon gezeigt.
  34. 34. ELEMENTARE ALGEBRA UND ZAHLENTHEORIE 33Die Behauptung f¨r Z ist schließlich nach den bereits gezeigten allge- umeinen Aussagen klar.Korollar 3.5. a) Jede rationale Zahl r = 0 hat eine eindeutige Darstellung a r= mit a, b ∈ Z, a > 0, ggT(a, b) = 1. b b) Sind a, b ∈ Z und r ∈ Q, so gilt genau dann ra ∈ Z und rb ∈ Z, wenn r · ggT(a, b) ∈ Z gilt. aProof. a) Ist r = b , so kann zun¨chst o.E. a > 0 angenommen a werden. a b Mit d = ggT(a , b ) sei a := d , b := d . Dann ist ggT(a, b) = 1 und r = a , a > 0. b Ist r = a2 eine weitere derartige Darstellung, so ist ab2 = a2 b. b 2 Wegen ggT(a, b) = 1 = ggT(a2 , b2 ) folgt hieraus a|a2 und a2 |a, also a2 = a und daher auch b2 = b. b) Ohne Einschr¨nkung sei r = 0, wir schreiben r = x mit x ∈ N, a y y ∈ Z und ggT(x, y) = 1 und setzen d = ggT(a, b). Dann ist x y a ∈ Z, x b ∈ Z, also y | xa, y | xb und wegen ggT(x, y) = 1 folgt y d y|a, y|b, also y|d, also dr = y · x ∈ Z. Die andere Richtung ist trivial.Wir k¨nnen jetzt Satz 2.11 zeigen, also insbesondere beweisen, dass oman in jedem Hauptidealring eine eindeutige Primfaktorzerlegung hat.Beweis (von Satz 2.11). Wir zerlegen den Beweis in vier Schritte.Schritt 1: In einem Hauptidealring R gibt es keine unendlich langenTeilerketten, d.h., es gibt keine unendliche Folge von bj ∈ R, j ∈ N ,so dass f¨r alle j gilt: bj |bj+1 und bj ist nicht assoziiert zu bj+1 . uIst n¨mlich eine Folge von Ringelementen bj mit bj |bj+1 gegeben, so abetrachten wir die Vereinigung ∞ I= (bj ) = ∅ j=1der von den bj erzeugten Ideale.Die Menge I ist ein Ideal in R, denn sind a1 , a2 ∈ I, so gibt es i, k ∈ Nmit a1 ∈ (bi ), a2 ∈ (bk ), und mit = max{i, k} gilt a1 ∈ (b ), a2 ∈ (b ),
  35. 35. 34 RAINER SCHULZE-PILLOTda man (bj+1 ) ⊇ bj wegen bj+1 |bj hat. Also ist a1 ± a2 ∈ (b ) ⊆ I undxa ∈ (b ) ⊆ I f¨r alle x ∈ R, was die Idealeigenschaft von I zeigt. uDa R ein Hauptidealring ist, gibt es d ∈ I mit I = (d), und zu d gibt esein n ∈ N mit d ∈ (bn ), also bn |d. Wegen bj+1 |bj f¨r alle j folgt bj |d f¨r u ualle j ≥ n. Da andererseits d|bj wegen (d) = I f¨r alle j gilt, ist d zu uallen bj mit j ≥ n assoziiert, d.h., die bj mit j ≥ n sind alle zueinanderassoziiert.Schritt 2: Existenz einer Zerlegung in unzerlegbare Elemente.Falls a ∈ R, a ∈ R× keine Zerlegung in ein Produkt unzerlegbarerElemente besitzt, so ist es insbesondere selbst nicht unzerlegbar, hatalso eine Zerlegung a = bc mit b ∈ R× , c ∈ R× ,also ist weder b noch c assoziiert zu a. Wenigstens eines von b und chat dann ebenfalls keine Zerlegung in ein Produkt unzerlegbarer Ele-mente, da man sonst diese beiden Zerlegungen zu einer Zerlegung vona zusammensetzen k¨nnte. oFalls es also in RR× Elemente gibt, die keine Zerlegung in ein Produktunzerlegbarer Elemente besitzen, so k¨nnen wir rekursiv eine unendli- oche Folge von Elementen aj ∈ R konstruieren mit i) aj+1 |aj f¨r alle j ∈ N u ii) aj+1 ist nicht assoziiert zu aj (j ∈ N) iii) aj hat keine Zerlegung in unzerlegbare ElementeDa dies in einem Hauptidealring nach Schritt 1 unm¨glich ist, haben wir ogezeigt, dass in einem Hauptidealring jede Nichteinheit eine Zerlegungin ein Produkt unzerlegbarer Elemente hat.Schritt 3: In einem Hauptidealring ist jedes unzerlegbare Element prim.Sei n¨mlich q ∈ R unzerlegbar, a, b ∈ R mit q|ab. Falls q |a gilt, so akann ein gemeinsamer Teiler von a und q nicht zu q assoziiert sein, ermuss dann wegen der Unzerlegbarkeit von q eine Einheit sein, d.h., wirhaben ggT(a, q) = 1.Es gibt daher nach 3.4 x, y ∈ R mit xa + yq = 1. Es folgt b = b(xa + yq) = xab + yqb,wegen q|ab haben wir also q|b, was zu zeigen war.Schritt 4: Eindeutigkeit der ZerlegungDie Eindeutigkeit einer Zerlegung in Primelemente (= unzerlegbareElemente) nach Schritt 3) folgt jetzt genauso wie im zweiten Beweisder Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung in Z.

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