1. Vairāk argumentu funkcijas
Parciālais un pilnais diferenciālis

2. VAIRĀK ARGUMENTU
FUNKCIJAS DIFERENCIĀLRĒĶINI

3. Vairāk argumentu funkcijas
 Ja katram mainīgu lielumu x, y vērtību
sakārtotam pārim (x, y) D pēc zināma likuma
atbilst viena noteikta lieluma z vērtība, tad
lielumu z sauc par mainīgo x un y funkciju un
raksta z = f(x, y).
 x, y – neatkarīgie mainīgie jeb argumenti
 z – atkarīgais mainīgais
 Funkcija – likums vai operators, kas katram
skaitļu pārim piekārto kādu reālu skaitli.

4. S xy Taisnstūra laukums
U
I Elektriskās strāvas stiprums
R
V xyz Paralēlskaldņa tilpums
T T x, y , z , t Temperatūra t telpas punktā M(x; y; z)

5.  Ja katram mainīgu lielumu x, y, z vērtību
sakārtotam pārim (x, y, z) D pēc zināma
likuma atbilst viena noteikta lieluma u vērtība,
tad lielumu u sauc par mainīgo x, y, un z
funkciju un raksta u = f(x, y, z).
 n argumentu funkcija
u = f(x1, x2, x3, …, xn).

6.  Ja katram kopas D, kuras elementi ir reālo skaitļu
sakārtoti pāri (x, y), elementam (x, y) tiek
piekārtots noteikts reāls skaitlis, tad kopa D ir
definēta divu argumentu x un y funkcija f.
Funkcijas f vērtību punktā (x; y) apzīmē ar f(x, y)
 Kopu D sauc par funkcijas f definīcijas apgabalu,
bet visu tās vērtību (ko tā iegūst kopā D) kopu
sauc par funkcijas f vērtību apgabalu.

7. Līmeņlīnijas un līmeņvirsmas
 Par funkcijas z = f(x, y) līmeņlīniju sauc visu to punktu
kopu, kuros šai funkcijai ir konstanta vērtība, t.i. f(x, y) = C.
 C var izvēlēties patvaļīgi.
 Katrai funkcijai eksistē bezgalīgi daudz līmeņlīniju.
 Ģeometriski līmeņlīnija ir tāda līnija, kas rodas, šķeļot
virsmu z = f(x, y) ar plakni z = C.
 Praktiskos pielietojumos:
 Ja funkcija z = f(x, y) apraksta temperatūras sadalījumu, tad
līmeņlīnijas sauc par izotermām.
 Ja z ir spiediens, tad līmeņlīnijas sauc par izobārām.
 Finansu matemātikā līmeņlīnijas sauc par izokvantām.
 Izokvanta - līnija, kas savieno visus punktus ar vienādu ražošanas
apjomu (visas faktoru kombinācijas, kas nodrošina vienādu ražošanas
apjomu).

9. Funkcijas robeža
 Pieņem, ka funkcija z = f(x, y) ir definēta kādā
Oxy plaknes apgabalā D. Apzīmē ar
attālumu starp šī apgabala diviem punktiem
P(x, y) un P0(x0, y0).
2 2
PP0 x x0 y y0

10. Funkcijas robeža
 Skaitli A sauc par funkcijas z = f(x, y) robežu,
kad P P0, ja katram > 0 var atrast tādu > ,
ka visiem definīcijas apgabala punktiem P(x, ),
kuriem ir spēkā nevienādības 0 < < , ir
spēkā nevienādība
f x; y A
 Ja skaitlis A ir funkcijas f(x; y) robeža, kad
P(x; y) P0(x0; y0), tad raksta
lim f ( x; y )
x x0
A
y y0

11.  Skaitli A sauc par funkcijas z = f(x, y) robežu,
kad P P0, ja katram > 0 var atrast tādu
punkta P0(x0; y0) -apkārtni, ka visiem
punktiem P(x; y) no šīs apkārtnes, izņemot
varbūt pasu punktu P0 ir spēkā nevienādība
f x; y A

12. Parciālie pieaugumi un pilnais
pieaugums
 Dota divargumentu funkcija z=f(x,y).
 Starpību ∆xz = f(x+∆x, y) - f(x, y) sauc par
funkcijas parciālo pieaugumu pēc x.
 Starpību ∆yz = f(x, y+∆y) - f(x, y) sauc par
funkcijas parciālo pieaugumu pēc y.
 Starpību ∆z = f(x+∆x, y+∆y) - f(x, y) sauc par
funkcijas pilno pieaugumu.

13. Funkcijas nepārtrauktība
 Funkciju sauc par nepārtrauktu punktā
P0(x0;y0), ja tā definēta punktā P0 un tā
apkārtnē un ja bezgalīgi maziem argumentu
pieaugumiem atbilst bezgalīgi mazs funkcijas
pieaugums, t.i., ja
lim
x 0
z 0
y 0

14. Funkcija ir nepārtraukta, ja izpildās
sekojoši nosacījumi
 Funkcijai f(x, y) ir jābūt definētai punkta P0
apkārtnē, ieskaitot pašu punktu P0.
 Punktā P0 jāeksistē funkcijas robežai, kad P
patvaļīgā veidā tiecas uz P0.
 Robežai jāsakrīt ar funkcijas vērtību punktā P0.

15. Hiperboliskais cilindrs
x^2/a^2-y^2/b^2=1

16. Pilnais diferenciālis
 Funkciju z = f(x, y) sauc par diferencējamu punktā P(x; y),
ja tās pilno pieaugumu z var uzrakstīt:
z = A x + B y + ( x, y),
 kur x, y ir argumentu x un y pieaugumi punkta P
apkārtnē
 A, B – izteiksmes, kas nav atkarīgas no argumentu
pieaugumiem x un y,
 bet ( x, y) ir augstākas kārtas bezgalīgi maza funkcija.
 A x + B y – funkcijas z = f(x, y) pilnā pieauguma galvenā
lineārā daļa, kuru sauc par funkcijas pilno diferenciāli.
dz = A x + B y

17. z= xy 2
z = (x + x)(y + y)2 - x2y2 =
= (x + x)(y2 + 2y y + ( y)2) - x2y2 =
= xy2 + 2xy y + x( y)2 + y2 x + 2y x y + x( y)2 - x2y2 =
= 2xy y + x( y)2 + y2 x + 2y x y + x( y)2 =
= 2xy y +y2 x + x( y)2 + + 2y x y + x( y)2
2xy y + y2 x – lineāra attiecība pret argumenta
pieaugumiem x un y, funkcijas pilnais pieaugums.
x( y)2 + 2y x y + x( y)2 - nelineāra attiecība pret
argumenta pieaugumiem x un y, augstākas kārtas
bezgalīgi maza funkcija salīdzinājumā ar lineāro locekli.

18. z= xy 2
 Divu argumentu funkcijas pilnais diferenciālis
ir vienāds ar funkcijas parciālo atvasinājumu
un attiecīgo argumentu diferenciāļu
reizinājumu summu
z z
dz dx dy
x y
z 2 z
y 2 xy dz 2
y dx 2 xydy
x

19. Vairākargumentu funkcijas pilnais
diferenciālis
 Vispārināts divargumentu funkcijas pilnais
diferenciālis.
u u u
u x y z ( x, y , z )
x y z
u u u
du dx dy dz
x y z

20. Saliktas funkcijas atvasināšana
 Dota divargumentu  Dota divargumentu
funkcija funkcija
z = f(u,v) z tgxsin x
 Argumenti u un v ir  Argumenti u un v ir
neatkarīgā mainīgā x neatkarīgā mainīgā x
funkcijas funkcijas
u = u(x) un v = v(x) u tgx un v sin x
Funkcijām eksistē atvasinājums punktā x,
bet divargumentu funkcija z = f(u,v) ir diferencējama
punktā P(u, v)

21. z z
z x y u, v
u v
( u, v) – bezgalīgi maza funkcija,
kad u 0 un v 0
z z
lim
x 0
z
u lim
x 0
x
v lim
x 0
y lim
x 0
u, v
dz z du z dv
dx u dx v dx

22. z tgx sin x dz z du z dv
dx u dx v dx
v
z u u tgx un v sin x
dz v du v dv
u u u v
dx dx dx
vuv 1 tgx u v ln u sin x
v 1 1 v
vu 2
u ln u cos x
cos x
sin x 1 1
sin x tgx tgxsin x ln tgx cos x
cos2 x

23. Apslēptu funkciju atvasinājumi
x2 y2 z2 1 0 F x, y , z 0
Ja funkcija F(x, y, z) un tās parciālie atvasinājumi F’x(x, y, z),
F’y(x, y, z) un F’z(x, y, z) ir definēti un nepārtraukti kāda
punkta P0(x0; y0; z0) apkārtnē, un pie tam F(x0, y0; z0) = 0,
bet F’y(x0, y0; z0) ≠ 0, tad punkta P0(x0; y0; z0) apkārtnē
vienādojums F(x, y; z) = 0 definē vienu vienīgu
apslēptu funkciju z = z(x, y), kura ir nepārtraukta un
diferencējama kādā apgabalā, kas satur
punktu (x0, y0), turklāt ir spēkā vienādība z(x0, y0) = z0.

24. Apslēptu funkciju atvasinājumi
2 2
x y 1 0 F x, y 0
Ja funkcija F(x, y) un tās parciālie atvasinājumi F’x(x, y) un
F’y(x, y) ir definēti un nepārtraukti kāda punkta P0(x0; y0)
apkārtnē, un pie tam F(x0, y0) = 0, bet F’y(x0, y0) ≠ 0, tad
punkta P0(x0; y0) apkārtnē vienādojums F(x, y) = 0 definē
vienu vienīgu apslēptu funkciju y = y(x), kura ir
nepārtraukta un diferencējama kādā intervālā, kas satur
punktu x0, turklāt ir spēkā vienādība y(x0) = y0.

25. F ( x, y) 0 F
dy x
F x, y x 0 y
dx F
F dx F dy y
0
x dx y dx
F F dy
0
x y dx

26.  Noteikt atvasinājumu
dy apslēptai funkcijai.
dx
e y
e x
xy 0 F
dy x
y
F x F y
dx F
e y e x
x y y
dy ex y ex y
y y
dx e x e x

27.  Noteikt parciālos atvasinājumus funkcijai z = f(x, y).
ez x2 y z 5 0
F F 2 F
2 xy x ez 1
x y z
2
z 2 xy z x
x ez 1 y ez 1

28. Virsmas pieskarplakne un normāle
 Par virsmas pieskarplakni punktā M0 sauc
plakni, kurā atrodas visas caur punktu M0 uz
virsmas vilktu līniju pieskares šajā punktā.
 Par virsmas normāli punktā M0 sauc taisni, kas
vilkta caur šo punktu perpendikulāri
pieskarplaknei.

29.  Vienādojums plaknei, kas iet caur punktu
M0(x0; y0; z0) un ir perpendikulāra vektoram
n(A; B; C).
A x x0 B y y0 C z z0 0
 Vienādojumi, kas nosaka taisni, kas iet caur
punktu M0(x0; y0; z0) un ir paralēla vektoram
n(A; B; C).
x x0 y y0 z z0
A B C

30. A x x0 B y y0 C z z0 0
 Virsmai F(x, y, z) = 0 punktā M0(x0; y0; z0)
normāles vektora koordinātas ir
F x0 ; y0 ; z0 F x0 ; y0 ; z0 F x0 ; y0 ; z0
A B C
x y z
A Fx x0 ; y0 ; z0 B Fy x0 ; y0 ; z0 C Fz x0 ; y0 ; z0
 Pieskarplaknes vienādojums
Fx x0 ; y0 ; z0 x x0 Fy x0 ; y0 ; z0 y y0 Fz x0 ; y0 ; z0 z z0 0

31. x x0 y y0 z z0
A B C
 Virsmai F(x, y, z) = 0 punktā M0(x0; y0; z0)
normāles vektora koordinātas ir
F x0 ; y0 ; z0 F x0 ; y0 ; z0 F x0 ; y0 ; z0
A B C
x y z
A Fx x0 ; y0 ; z0 B Fy x0 ; y0 ; z0 C Fz x0 ; y0 ; z0
 Normāles vienādojums
x x0 y y0 z z0
Fx x0 ; y0 ; z0 Fy x0 ; y0 ; z0 Fz x0 ; y0 ; z0

32. Augstāku kārtu atvasinājumi un
diferenciāļi
z = f(x, y) – divargumentu funkcija
z z Pirmās kārtas
f x x, y f y x, y
x y parciālie atvasinājumi
2
z z
x 2
f xx x, y
x x
Otrās kārtas
2
z z parciālie atvasinājumi
f xy x, y
x y y x
2
z z
f yx x, y
y x x y
2 2 3
z
f yy x, y
z z 3x y y
y2 y y

33.  Ja funkcijai z = f(x, y) punktā P(x; y) eksistē
nepārtraukti otrās kārtas jauktie atvasinājumi,
tad tie ir vienādi.
2 2
z z
x y y x

34.  Par otrās kārtas pilno diferenciāli sauc
diferenciāli no pirmās kārtas pilnā diferenciāļa.
 Par n-tās kārtas pilno diferenciāli sauc pilno
diferenciāli no (n - 1)-ās kārtas pilnā
diferenciāļa.
2 2 2
d z 2
d dz 2 z 2 z z
d z 2
dx 2 dxdy 2
dy 2
x x y y
n n 1
d z dd z

35. Vairākargumentu funkciju ekstrēmi
 Ja punktā P0(x0; y0) funkcijai f(x, y) ir
ekstrēms un šajā punktā eksistē pirmās kārtas
parciālie atvasinājumi, tad tie ir vienādi ar 0.
f x x0 , y0 0 f y x0 , y0 0
 Oxy plaknes punktus, kuros funkcijas z=f(x, y)
pirmās kārtas parciālie atvasinājumi ir vienādi
ar nulli, sauc par stacionārajiem punktiem,
kurus atrod, atrisinot sistēmu f x x, y 0
f y x, y 0

36.  Punktus, kuros pirmās kārtas parciālie
atvasinājumi ir vienādi ar nulli vai neeksistē,
sauc par kritiskajiem punktiem.
 Ne katrā kritiskajā punktā ir ekstrēms!

37. Stacionārajā punktā P0(x0; y0) aprēķina otrās kārtas
atvasinājumu vērtības A, B, C un diskriminantu .
2 2 2
f x0 ; y0 f x0 ; y0 f x0 ; y0
A 2
B C
x y y y2
Ja > 0, tad funkcijai f(x, y)
2 stacionārajā punktā P0(x0; y0) ir ekstrēms.
AC B Ja A < 0, tas ir maksimums.
Ja A > 0, tas ir minimums.
Ja = 0, tad jāizpilda papildus pētījumi.
Ja < 0, tad funkcijai f(x, y)
stacionārajā punktā P0(x0; y0) ir ekstrēma nav.

38. Vairākargumentu funkciju ekstrēmi
 Ja diferencējamai funkcijai f(x1, x2, … , xn) =
f(P) punktā P0 ir ekstrēms, tad tās pirmās
kārtas parciālie atvasinājumi šai punktā ir
vienādi ar nulli.
f x1 P0 0 f x2 P0 0 ... f xn P0 0

39. 2 2 2
u x y z xy x y 2z
u u u
2x y 1 2y x 1 2z 2
x y z
2x y 1 0 Stacionārs punkts ir P0 (1; -1; 1)
2y x 1 0
2z 2 0

40.  Ja stacionārajā punktā P0(x10; x20; …, xn0)
visām pēc absolūtās vērtības pietiekami
mazām argumentu pieaugumu vērtībām
funkcijas f(x1, x2, …, xn) otrās kārtas
diferenciālim ir spēkā nevienādība 2f(P0) > 0,
tad šajā punktā ir minimums, ja 2f(P0) < 0, tad
– maksimums.

41. Punktā P0 (1; -1; 1)
funkcijai ir minimums
2 2 2
u u u
2 2 2
x2 y2 z2
2 2 2
u u u
1 0 0
x y x z y z
2 2 2 2 2 2
2 u 2 u 2 u 2 u u u
d u 2
x 2
y 2
z 2 x y 2 x z 2 y z
x y z x y x z y z
d 2u 2 x2 2 y2 2 z2 2 x y
d 2u 2 x2 2 x y 2 y2 2 z2 0