1) O documento discute conceitos básicos sobre matrizes, incluindo definição de matriz, tipos de matrizes (quadrada, nula, oposta etc), operações com matrizes (adição, subtração, multiplicação) e propriedades de matrizes (transposta, simétrica, determinante).
2) É apresentada a regra de Sarrus para calcular determinantes de matrizes 3x3 e conceitos relacionados como menor complementar e cofator.
3) Discutem-se matrizes inversíveis e a regra para calcular a inversa de uma matriz
2. Prof.: Rodrigo Carvalho
MATRIZ é uma tabela numérica, disposta em m linhas e n colunas.
Exemplos:
−=
34
51
82
A [ ]4610B =
96
15
C
−
=
2861
2535
7038
C2C1 C3 C4
L1
L2
L3
3x4
Ordem da Matriz
3. Prof.: Rodrigo Carvalho
É uma matriz que representa todas as matrizes de mesma ordem.
Exemplos
1) 2)( )
==
3231
2221
1211
23
A
aa
aa
aa
a xij
( )
==
333231
232221
131211
33
B
bbb
bbb
bbb
b xij
Cada elemento de uma matriz tem a sua posição
representada da seguinte maneira:
aij
Linha
Coluna
4. Prof.: Rodrigo Carvalho
Exemplo
a) Matriz Linha→ Matriz que possui uma única linha.
[ ] 4x1
4610B =
Exemplo
b) Matriz Coluna→ Matriz que possui uma única coluna.
1x2
7
2
A
=
Exemplo
c) Matriz Nula → Matriz que possui todos os elementos
nulos.
=
000
000
O 3x2
5. Prof.: Rodrigo Carvalho
Exemplo
d) Matriz Oposta→ Matriz obtida a partir da troca dos
sinais dos elementos da matriz dada.
e) Matriz Quadrada
Exemplos
3x2
754
012
A
−
−
=
3x2
754
012
A
−−
−
=−
1)
2x2
93
62
A
= 2)
3x3
543
501
032
A
=
→ Matriz que possui o número de
linhas igual ao número de colunas.
6. Prof.: Rodrigo Carvalho
=
333231
232221
131211
bbb
bbb
bbb
B
→ As matrizes quadradas possuem duas diagonais:
Exemplo
DP
DS
Diagonal Principal
(i = j)
Diagonal Secundária
(i + j = constante)
Observação:
→ É a matriz quadrada na qual os
elementos da DP são iguais a 1 e os demais iguais a zero
2x2
2
10
01
I
=
Exemplo
e.1) Matriz Identidade
7. Prof.: Rodrigo Carvalho
Propriedades
Exemplos
É a matriz obtida a partir da troca ordenada das linhas
pelas colunas da matriz dada.
1)
2)
3x2
3104
826
A
=
2x3
t
38
102
46
A
=
2x2
40
32
B
=
2x2
t
43
02
B
=
1) (At
)t
= A 2) (A + B)t
= At
+ Bt
3) (A . B)t
= Bt
. At
8. Prof.: Rodrigo Carvalho
Exemplo
Uma matriz quadrada A é dita simétrica quando At
= A.
3x3
t
175
703
532
A
−
−
=
3x3
175
703
532
A
−
−
=
OBS: Os elementos
simétricos em relação
à DP são iguais.
3x3
175
703
532
A
−
−
=
9. Prof.: Rodrigo Carvalho
Exemplo
Uma matriz quadrada A é dita anti-simétrica quando At
= - A.
3x3
t
075
703
530
A
−
−
−
=
3x3
075
703
530
A
−
−
−
=
33
075
703
530
x
A
−
−−
=
OBS: Os elementos da DP
são nulos e os simétricos
em relação a ela são
opostos.
10. Prof.: Rodrigo Carvalho
Exemplos
a) Adição e Subtração
Para adicionar e subtrair matrizes de mesma ordem,
operamos os elementos de mesma posição.
1)
2)
=
−
+
−
−
253
041
701
432
552
413
=
−
−
−
13
53
10
24
−
03
71
11. Prof.: Rodrigo Carvalho
Exemplos
b) Multiplicação
b.1) Produto de uma matriz por uma constante
1)
2)
−16104
826
=A2
−
=
852
413
AConsidere a matriz , determine:
=A
2
1
− 4
2
5
1
2
2
1
2
3
Para multiplicar uma matriz por uma constante, basta
multiplicar todos os elementos dessa matriz pela constante.
12. Prof.: Rodrigo Carvalho
b.2) Produto entre matrizes
pmpnnm xxx
ABB.A =
Condição:Nº de colunas da 1ª = Nº de linhas da 2ª
Ordem da matriz resultante: L1ª x C2ª
Para multiplicar duas matrizes, é necessário o número de
colunas da 1ª matriz ser igual ao número de linhas da 2ª
matriz.
=
16. Prof.: Rodrigo Carvalho
Seja uma matriz quadrada A de ordem n (n ≥ 1). A essa
matriz está associado um único número chamado
determinante de A.
Exemplos
2x2
39
42
A
=
[ ] 4x14610B =
3x3
945
415
072
C −=
→ det AƎ
→ det CƎ
→ Não existe det B, pois a matriz
B não é quadrada.
17. Prof.: Rodrigo Carvalho
Determinantes de 1ª Ordem
O determinante associado a uma matriz de 1ª ordem é
o próprio elemento a11.
Exemplos
1) det A = 7
2) = -2
18. Prof.: Rodrigo Carvalho
Determinantes de 2ª Ordem
Exemplos
=
31
42
A
74
53
C
−
−
=
1)
2)
det A =2.3 - 1.4 = 2
det C =- 3.7- (- 4).5 = - 1
3) =
31
53
3.3 - 1.5= 4
O determinante associado a uma matriz de 2ª ordem é
obtido pela diferença entre o produto dos elementos da
DP e o produto dos elementos da DS.
19. Prof.: Rodrigo Carvalho
Determinantes de 3ª Ordem (Regra de Sarrus)
Exemplo
−−
=
321
103
241
A
det A = (1.0.(-3) + 4.1.(-1) +2.3.2) – ((-1).0.2 + 2.1.1 + (-3).3.4)
21
03
41
−
det A = 8 – (-34)
det A = 42
20. Prof.: Rodrigo Carvalho
Exemplo
É o determinante associado a um elemento aij de uma
matriz quadrada de ordem maior do que 1, quando
suprimimos sua linha e sua coluna.
Determine o menor complementar do termo a23 na
matriz abaixo.
−−
=
321
103
241
A =
− 21
41
64).1(2.1 =−−
21. Prof.: Rodrigo Carvalho
Exemplo
É o determinante obtido pelo produto entre o Menor
Complementar de um elemento aij e o fator (- 1) i + j
.
Determine o cofator do termo a23 na matriz abaixo.
−−
=
321
103
241
A ( ) =
−
−
+
21
41
.1
32
( ) 66.1 −=−
22. Prof.: Rodrigo Carvalho
Exemplo P1º) Escolhe-se uma fila qualquer.
0105
2340
0036
0011
Sugestão: Escolhe-se a fila com o maior
número de “zeros”.
P2º) Multiplica-se cada elemento da fila
escolhida por seu cofator.
P3º) O determinante associado à matriz
original será a soma dos determinantes
parciais obtidos no P2º).
23. Prof.: Rodrigo Carvalho
Uma matriz quadrada A é dita inversível(ou não
singular), quando det A ≠ 0. Denotando a inversa da
matriz A como A-1
, então
A . A- 1
= A- 1
. A = In
Exemplo
Determine a inversa, caso exista, da matriz .
=
34
12
A
Quando det A = 0, dizemos que a matriz é singular.
24. Prof.: Rodrigo Carvalho
Regra prática para Matriz Inversa de 2ª Ordem
Exemplo
(1º Passo)
Adet
24
13
A 1
−
−
=−
Troca-se de posição os elementos da DP.
(2º Passo) Troca-se de sinais os elementos da DS.
(3º Passo) Divide-se todos os elementos da matriz pelo
determinante associado à matriz original.
Calcule a matriz inversa de .
=
34
12
A
2
24
13
−
−
=
−
−
=−
12
2
1
2
3
A 1
26. Prof.: Rodrigo Carvalho
Propriedades que anulam um determinante:
0
731
000
321
=
O determinante é nulo quando tem uma fila toda nula.
O determinante é nulo quando tem duas filas
paralelas iguais ou proporcionais.
0
321
815
321
= 0
1284
815
321
=X 4IGUAIS
27. Prof.: Rodrigo Carvalho
Propriedades que alteram um determinante:
2
54
32
−=
Um determinante muda de sinal quando duas filas
paralelas mudam de posição.
Quando se multiplica ou divide uma fila de um
determinante por uma constante, o novo determinante
fica multiplicado ou dividido por essa constante.
2
45
23
=
2
45
23
= 6
125
63
=
x3
28. Prof.: Rodrigo Carvalho
Propriedades que alteram um determinante:
Se A e B são duas matrizes quadradas de mesma
ordem, então det(A.B) = det A . det B. (Teorema de
Binet)
=
43
12
A
=
21
40
B
Exemplo Calcule o determinante de A.B.
→ det A = 2.4 – 3.1 = 5
→ det B = 0.2 – 1.4 = - 4
det (A.B) = det A . det B
det (A.B) = 5 . (– 4)
det (A.B) = – 20
29. Prof.: Rodrigo Carvalho
Sendo A uma matriz quadrada:
AdetAdeta)
t
=
AdetAdeta) t
=
Adet
1
Adetb) 1-
=
Se uma matriz quadrada A de ordem n é multiplicada
por uma constante k, o seu determinante fica
multiplicado por kn
, ou seja:
A.detk(k.A)det n
=
30. Prof.: Rodrigo Carvalho
=
400
530
172
A
Uma matriz quadrada é dita triangular, quando aij = 0,
para i > j ou i < j.
Exemplo
Em uma matriz triangular, o determinante é igual
ao produto dos elementos da DP.
=
400
530
172
DP
=4.3.2 24
Matriz triangular superior