Matrizes 2014
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1) O documento discute conceitos básicos sobre matrizes, incluindo definição de matriz, tipos de matrizes (quadrada, nula, oposta etc), operações com matrizes (adição, subtração, multiplicação) e propriedades de matrizes (transposta, simétrica, determinante). 2) É apresentada a regra de Sarrus para calcular determinantes de matrizes 3x3 e conceitos relacionados como menor complementar e cofator. 3) Discutem-se matrizes inversíveis e a regra para calcular a inversa de uma matriz
![Prof.: Rodrigo Carvalho
MATRIZ é uma tabela numérica, disposta em m linhas e n colunas.
Exemplos:
−=
34
51
82
A [ ]4610B =
96
15
C
−
=
2861
2535
7038
C2C1 C3 C4
L1
L2
L3
3x4
Ordem da Matriz](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
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- 2. Prof.: Rodrigo Carvalho MATRIZ é uma tabela numérica, disposta em m linhas e n colunas. Exemplos: −= 34 51 82 A [ ]4610B = 96 15 C − = 2861 2535 7038 C2C1 C3 C4 L1 L2 L3 3x4 Ordem da Matriz
- 3. Prof.: Rodrigo Carvalho É uma matriz que representa todas as matrizes de mesma ordem. Exemplos 1) 2)( ) == 3231 2221 1211 23 A aa aa aa a xij ( ) == 333231 232221 131211 33 B bbb bbb bbb b xij Cada elemento de uma matriz tem a sua posição representada da seguinte maneira: aij Linha Coluna
- 4. Prof.: Rodrigo Carvalho Exemplo a) Matriz Linha→ Matriz que possui uma única linha. [ ] 4x1 4610B = Exemplo b) Matriz Coluna→ Matriz que possui uma única coluna. 1x2 7 2 A = Exemplo c) Matriz Nula → Matriz que possui todos os elementos nulos. = 000 000 O 3x2
- 5. Prof.: Rodrigo Carvalho Exemplo d) Matriz Oposta→ Matriz obtida a partir da troca dos sinais dos elementos da matriz dada. e) Matriz Quadrada Exemplos 3x2 754 012 A − − = 3x2 754 012 A −− − =− 1) 2x2 93 62 A = 2) 3x3 543 501 032 A = → Matriz que possui o número de linhas igual ao número de colunas.
- 6. Prof.: Rodrigo Carvalho = 333231 232221 131211 bbb bbb bbb B → As matrizes quadradas possuem duas diagonais: Exemplo DP DS Diagonal Principal (i = j) Diagonal Secundária (i + j = constante) Observação: → É a matriz quadrada na qual os elementos da DP são iguais a 1 e os demais iguais a zero 2x2 2 10 01 I = Exemplo e.1) Matriz Identidade
- 7. Prof.: Rodrigo Carvalho Propriedades Exemplos É a matriz obtida a partir da troca ordenada das linhas pelas colunas da matriz dada. 1) 2) 3x2 3104 826 A = 2x3 t 38 102 46 A = 2x2 40 32 B = 2x2 t 43 02 B = 1) (At )t = A 2) (A + B)t = At + Bt 3) (A . B)t = Bt . At
- 8. Prof.: Rodrigo Carvalho Exemplo Uma matriz quadrada A é dita simétrica quando At = A. 3x3 t 175 703 532 A − − = 3x3 175 703 532 A − − = OBS: Os elementos simétricos em relação à DP são iguais. 3x3 175 703 532 A − − =
- 9. Prof.: Rodrigo Carvalho Exemplo Uma matriz quadrada A é dita anti-simétrica quando At = - A. 3x3 t 075 703 530 A − − − = 3x3 075 703 530 A − − − = 33 075 703 530 x A − −− = OBS: Os elementos da DP são nulos e os simétricos em relação a ela são opostos.
- 10. Prof.: Rodrigo Carvalho Exemplos a) Adição e Subtração Para adicionar e subtrair matrizes de mesma ordem, operamos os elementos de mesma posição. 1) 2) = − + − − 253 041 701 432 552 413 = − − − 13 53 10 24 − 03 71
- 11. Prof.: Rodrigo Carvalho Exemplos b) Multiplicação b.1) Produto de uma matriz por uma constante 1) 2) −16104 826 =A2 − = 852 413 AConsidere a matriz , determine: =A 2 1 − 4 2 5 1 2 2 1 2 3 Para multiplicar uma matriz por uma constante, basta multiplicar todos os elementos dessa matriz pela constante.
- 12. Prof.: Rodrigo Carvalho b.2) Produto entre matrizes pmpnnm xxx ABB.A = Condição:Nº de colunas da 1ª = Nº de linhas da 2ª Ordem da matriz resultante: L1ª x C2ª Para multiplicar duas matrizes, é necessário o número de colunas da 1ª matriz ser igual ao número de linhas da 2ª matriz. =
- 13. Prof.: Rodrigo Carvalho Exemplo AB.produtomatriza possível,sedetermine,, 43 02 Be 03 14 12 ASejam 22 23 x x = −= 23 4.00.33.02.3 4).1(0.43).1(2.4 4.10.23.12.2 x ++ −+−+ ++ 23 06 45 47 x AB −= O produto entre duas matrizes é obtido multiplicando-se cada linha da 1ª matriz por cada coluna da 2ª matriz. = − 2x2 2x3 43 02 . 03 14 12
- 14. Prof.: Rodrigo Carvalho OBSERVAÇÃO Exemplo Para multiplicar uma matriz por uma matriz escalar, quando possível, basta multiplicar cada elemento da matriz pelo escalar da DP. = − 2x2 2x3 20 02 . 03 14 12 2x3 06 28 24 − CONCLUSÃO: A . In = A
- 16. Prof.: Rodrigo Carvalho Seja uma matriz quadrada A de ordem n (n ≥ 1). A essa matriz está associado um único número chamado determinante de A. Exemplos 2x2 39 42 A = [ ] 4x14610B = 3x3 945 415 072 C −= → det AƎ → det CƎ → Não existe det B, pois a matriz B não é quadrada.
- 17. Prof.: Rodrigo Carvalho Determinantes de 1ª Ordem O determinante associado a uma matriz de 1ª ordem é o próprio elemento a11. Exemplos 1) det A = 7 2) = -2
- 18. Prof.: Rodrigo Carvalho Determinantes de 2ª Ordem Exemplos = 31 42 A 74 53 C − − = 1) 2) det A =2.3 - 1.4 = 2 det C =- 3.7- (- 4).5 = - 1 3) = 31 53 3.3 - 1.5= 4 O determinante associado a uma matriz de 2ª ordem é obtido pela diferença entre o produto dos elementos da DP e o produto dos elementos da DS.
- 19. Prof.: Rodrigo Carvalho Determinantes de 3ª Ordem (Regra de Sarrus) Exemplo −− = 321 103 241 A det A = (1.0.(-3) + 4.1.(-1) +2.3.2) – ((-1).0.2 + 2.1.1 + (-3).3.4) 21 03 41 − det A = 8 – (-34) det A = 42
- 20. Prof.: Rodrigo Carvalho Exemplo É o determinante associado a um elemento aij de uma matriz quadrada de ordem maior do que 1, quando suprimimos sua linha e sua coluna. Determine o menor complementar do termo a23 na matriz abaixo. −− = 321 103 241 A = − 21 41 64).1(2.1 =−−
- 21. Prof.: Rodrigo Carvalho Exemplo É o determinante obtido pelo produto entre o Menor Complementar de um elemento aij e o fator (- 1) i + j . Determine o cofator do termo a23 na matriz abaixo. −− = 321 103 241 A ( ) = − − + 21 41 .1 32 ( ) 66.1 −=−
- 22. Prof.: Rodrigo Carvalho Exemplo P1º) Escolhe-se uma fila qualquer. 0105 2340 0036 0011 Sugestão: Escolhe-se a fila com o maior número de “zeros”. P2º) Multiplica-se cada elemento da fila escolhida por seu cofator. P3º) O determinante associado à matriz original será a soma dos determinantes parciais obtidos no P2º).
- 23. Prof.: Rodrigo Carvalho Uma matriz quadrada A é dita inversível(ou não singular), quando det A ≠ 0. Denotando a inversa da matriz A como A-1 , então A . A- 1 = A- 1 . A = In Exemplo Determine a inversa, caso exista, da matriz . = 34 12 A Quando det A = 0, dizemos que a matriz é singular.
- 24. Prof.: Rodrigo Carvalho Regra prática para Matriz Inversa de 2ª Ordem Exemplo (1º Passo) Adet 24 13 A 1 − − =− Troca-se de posição os elementos da DP. (2º Passo) Troca-se de sinais os elementos da DS. (3º Passo) Divide-se todos os elementos da matriz pelo determinante associado à matriz original. Calcule a matriz inversa de . = 34 12 A 2 24 13 − − = − − =− 12 2 1 2 3 A 1
- 25. Prof.: Rodrigo Carvalho Cálculo da Matriz Inversa de ordem n≥2 Adet A)(cof A t 1 =− ou Adet Aadj A 1 =−
- 26. Prof.: Rodrigo Carvalho Propriedades que anulam um determinante: 0 731 000 321 = O determinante é nulo quando tem uma fila toda nula. O determinante é nulo quando tem duas filas paralelas iguais ou proporcionais. 0 321 815 321 = 0 1284 815 321 =X 4IGUAIS
- 27. Prof.: Rodrigo Carvalho Propriedades que alteram um determinante: 2 54 32 −= Um determinante muda de sinal quando duas filas paralelas mudam de posição. Quando se multiplica ou divide uma fila de um determinante por uma constante, o novo determinante fica multiplicado ou dividido por essa constante. 2 45 23 = 2 45 23 = 6 125 63 = x3
- 28. Prof.: Rodrigo Carvalho Propriedades que alteram um determinante: Se A e B são duas matrizes quadradas de mesma ordem, então det(A.B) = det A . det B. (Teorema de Binet) = 43 12 A = 21 40 B Exemplo Calcule o determinante de A.B. → det A = 2.4 – 3.1 = 5 → det B = 0.2 – 1.4 = - 4 det (A.B) = det A . det B det (A.B) = 5 . (– 4) det (A.B) = – 20
- 29. Prof.: Rodrigo Carvalho Sendo A uma matriz quadrada: AdetAdeta) t = AdetAdeta) t = Adet 1 Adetb) 1- = Se uma matriz quadrada A de ordem n é multiplicada por uma constante k, o seu determinante fica multiplicado por kn , ou seja: A.detk(k.A)det n =
- 30. Prof.: Rodrigo Carvalho = 400 530 172 A Uma matriz quadrada é dita triangular, quando aij = 0, para i > j ou i < j. Exemplo Em uma matriz triangular, o determinante é igual ao produto dos elementos da DP. = 400 530 172 DP =4.3.2 24 Matriz triangular superior