1. Chuyên đề: Nguyên hàm, tích phân
NGUYÊN HÀM
Bài toán 1: Tìm nguyên hàm cơ bản (dựa vào bảng nguyên hàm của
các hàm số cơ bản).
Bài toán 2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.
Dạng 1: Tính I = ∫ f [u(x)].u '(x)dx bằng cách đặt t = u(x)
 Đặt t = u(x) ⇒ dt = u '(x)dx
I = ∫ f [u(x)].u '(x)dx = ∫ f (t)dt

Dạng 2: Tính I = ∫ f (x)dx Nếu không tính được theo dạng 1
nhưng trong tích phân có chứa một trong số các hàm biểu thức sau
thì có thể đổi biến như sau:
2
a −x
2
a2 + x2 ;
;
1
2
2
a −x
1
2 + x2
a
thì đặt x = asint
thì đặt x = atant.
Chú ý:
1/. Phương pháp biến đổi:
-Tích thành tổng.
-Thương thành tổng.
-Căn thức thành lũy thừa.
Lưu ý: Sử dụng phép nhân, phép chia đa thức, công thức
lượng giác…
2/. Cách đặt u trong phương pháp đổi biến là:
-Hàm số chứa dấu ngoặc kèm theo lũy thừa thì đặt u là phần
bên trong dấu ngoặc nào có lũy thừa cao nhất.
-Hàm số chứa mẫu thì đặt u là mẫu số.
-Hàm số chứa căn thì đặt u là phần bên trong căn thức.
1
thì đặt u = ln x .
x
x
x
-Hàm số có chứa e thì đặt u = e .
-Hàm số có chứa
-Hàm số có chứa 1 thì đặt u =
x
x.
1
1
thì đặt u = .
2
x
x
-Hàm số có chứa cos x thì đặt u = sin x .
-Hàm số có chứa sin x thì đặt u = cos x .
-Hàm số có chứa
1
-Hàm số có chứa
thì đặt u = tan x .
cos 2 x
-Hàm số có chứa 1 thì đặt u = cot x
sin 2 x
Bài toán 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần:
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
∫ u(x).v '(x)dx = u(x).v(x) − ∫ v(x).u '(x)dx
Hay ∫ udv = uv − ∫ vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)
phân tích các hàm số dễ phát hiện u và dv
sin ax 
@ Dạng 1
∫ f ( x ) cosax dx
 ax 
e 
với f(x) là đa thức:
u = f ( x )
du = f '( x ) dx



sin ax 
sin ax 
Đặt: 
⇒

dv = cos ax  dx
v = ∫ cosax  dx


 ax 
 ax 


e

e 


Sau đó thay vào công thức ∫ udv = uv − ∫ vdu để tính
@ Dạng 2:
∫ f ( x ) ln( ax + b )dx
Trang 1
@ Dạng 3: ∫ e ax . sin ax dx


cosax 
Ta thực hiện từng phần hai lần với u = eax
Bài toán 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác (một số
dạng cơ bản).
Dạng 1:
∫ sin(ax+b).sin(cx+d)dx ; ∫ sin(ax+b).cos(cx+d)dx
∫ cos(ax+b).cos(cx+d)dx .
* Thực hiện công thức biến đổi tích thành tổng rồi tính tích phân.
Dạng 2:
∫ sin (u(x)).cos
n
m
(u(x))dx (n,m là các số nguyên dương)
*) Nếu n lẻ, m chẵn thì đặt t = cos(u(x)).
*) nếu m lẻ, n chẵn thì đặt t = sin(u(x)).
*) Nếu n,m đều chẵn thì : Dùng công thức nhân đôi sau đó dung
tiếp công thức hạ bậc để tính. (nếu một trong 2 số n hoặc n = 0 số
còn lại là số chẵn thì ta chỉ dung công thức hạ bậc).
*) n,m ∈ Z nếu n+m là số nguyên chẵn thì có thể:
Đặt t = tan(u(x)) hoặc t = cot(u(x)).
Dạng 3:
∫ R(sinx,cosx)dx ,R là hàm số hữu tỷ. (mở rộng thi đại học).
*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với sinx tức là R(−sinx, cosx) = −R(sinx,
cosx) thì ta đặt t = cosx.
*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với cosx tức là R(sinx, −cosx) = −R(sinx,
cosx) thì ta đặt t = sinx.
*) Nếu R(sinx, cosx) chẵn đối với sinx và cosx tức là
R(−sinx,− cosx) = R(sinx, cosx) thì ta đặt t = tanx.
Bài toán 5: Tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỷ
Yêu cầu tính
f (x)
∫ g(x) dx trong đó f(x), g(x) là các đa thức theo x.
T/h 1: Bậc của f(x)≥ Bậc của g(x) thì thực hiện phép chia đa thức
f(x) cho g(x) ta dẫn đến:
f (x)
r(x)
= h(x) +
. Trong đó h(x) (thương
g(x)
h(x)
của phép chia) là một đa thức còn r(x) (phần dư của phép chia) là
một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của g(x).
Nên
f (x)
∫ ( g(x) )dx = ∫ h(x)dx + ∫
r(x)
dx . Như vậy
h(x)
ta tích được bằng bảng nguyên hàm vì vậy ta chỉ còn phải tính
r(x)
∫ g(x) dx theo trường hợp sau.
T/h 2: tính
r(x)
∫ g(x) dx với bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x).
*) Phân tích mẫu số g(x) thành tích của các nhị thức.
*) Dùng cách đồng nhất thức như sau: chắn hạn:
r(x)
r(x)
A
B
C
(*)
=
=
+
+
g(x) a(x − α 1 ).(x − x 2 ) 2 (x − x1 ) (x − x 2 ) (x − x 2 ) 2
( x1; x2 là nghiệm của g(x).
*) ta quy đồng bỏ mẫu ta được biểu thức (**) rồi sau đó cho các
giá trị của x vào biểu thức (**) để tìm các hệ số A,B,C ( thông
thường nên cho x bằng các nghiệm của g(x) để tìm các hệ số được
dễ dàng).
*) sau đó thay vào biểu thức dưới dấu tích phân để tính.
Lưu ý: Xét ở trình độ THPT chúng ta thường gặp phải g(x) phân
tích về thành tích của các nhị thức.
TÍCH PHÂN
Bài toán 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng tính chất và nguyên
hàm cơ bản.
Bài toán 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.
b

a.dx
Đặt u = ln( ax + b) ⇒ du =


ax + b
dv = f ( x ) dx
v = ∫ f ( x ) dx

Sau đó thay vào công thức ∫ udv = uv − ∫ vdu để tính
∫ h(x)dx
Dạng 1: Tính I = ∫ f [u(x)]u / dx bằng cách đặt t = u(x)
a


Đặt t = u(x) ⇒ dt = u '(x)dx
Đổi cận x=a => t = u(a)
x=b => t = u(b)

2. Chuyên đề: Nguyên hàm, tích phân

b
/
∫ f [u(x)]u dx
a
I=
Trang 2
β f (x)
Yêu cầu tính ∫
dx trong đó f(x), g(x) là các đa thức theo x.
α g(x)
u(b)
=
∫ f (t)dt
u(a)
β
T/h1: Bậc của f(x)≥ Bậc của g(x) thì thực hiện phép chia đa thức
Dạng 2: Tính I = ∫ f (x)dx Nếu không tính được theo dạng 1 nhưng
α
f(x) cho g(x) ta dẫn đến:
trong tích phân có chứa một trong số các hàm biểu thức sau thì có
thể đổi biến như sau:
của phép chia) là một đa thức còn r(x) (phần dư của phép chia) là
một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của g(x).
2
2
a −x
thì đặt x = asint
1
;
a −x
a2 + x2 ;
2
2
1
thì đặt x = atant.
a2 + x2
β
phân tích các hàm số dễ phát hiện u và dv
sin ax 
β
∫ f ( x ) cosax dx
 ax 
α
e 
với f(x) là đa thức:
u = f ( x )
du = f '( x ) dx



sin ax 
sin ax 
Đặt: 
⇒

cos ax  dx


dv = 
v = ∫ cosax  dx
ax 
ax


e

e 


Sau đó thay vào công thức ∫ udv = uv − ∫ vdu để tính
β
∫ f ( x ) ln( ax + b )dx
@ Dạng 2:
Đặt
α

u = ln( ax + b ) du =
⇒

dv = f ( x ) dx
v = ∫

a.dx
ax + b
f ( x ) dx
Sau đó thay vào công thức ∫ udv = uv − ∫ vdu để tính
β
@ Dạng 3: ∫ e
α
ax
Như vậy ∫ h(x)dx ta tích được bằng bảng nguyên hàm vì vậy ta chỉ
α
β r(x)
dx theo trường hợp sau.
α g(x)
còn phải tính ∫
b
b b
∫ udv = u.v a − ∫ vdu
a
a
@ Dạng 1
β f (x)
β
β r(x)
dx = ∫ h(x)dx + ∫
dx .
α g(x)
α
α h(x)
Nên ∫
Bài toán 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần:
Nếu u = u(x) , v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục
trên [a;b] thì I =
f (x)
r(x)
= h(x) +
. Trong đó h(x) (thương
g(x)
h(x)
sin ax 
.
dx
cosax 
β r(x)
dx với bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x).
α g(x)
T/h 2: tính ∫
*) Phân tích mẫu số g(x) thành tích của các nhị thức.
*) Dùng cách đồng nhất thức như sau: chắng hạn:
r(x)
r(x)
A
B
C
=
=
+
+
g(x) a(x − α 1 ).(x − x 2 ) 2 (x − x1 ) (x − x 2 ) (x − x 2 ) 2
(*)
( x1; x2 là nghiệm của g(x).
*) ta quy đồng bỏ mẫu ta được biểu thức (**) rồi sau đó cho các
giá trị của x vào biểu thức (**) để tìm các hệ số A,B,C ( thông
thường nên cho x bằng các nghiệm của g(x) để tìm các hệ số được
dễ dàng).
*) sau đó thay vào biểu thức dưới dấu tích phân để tính.
Lưu ý: Xét ở trình độ THPT chúng ta thường gặp phải g(x) phân
tích về thành tích của các nhị thức.
Bài toán 6: Tính tích phân chứa dấu giá trị tuyên đối.
b
Tính ∫ f (x) dx
a
*Tìm nghiệm của f(x) = 0.
*Nếu f(x) = 0 vô ngo trên (a;b) hoặc có nghiệm x = a hoặc x = b thì:
b
b
∫ f (x) dx = ∫ f (x)dx
a
a
Ta thực hiện từng phần hai lần với u = eax
Bài toán 4: Tính tích phân của các hàm số lượng giác (một số dạng
cơ bản).
*Nếu f(x) = 0 có nghiệm x = c ∈(a;b) thì:
Dạng 1: ∫ sin(ax+b)sin(cx+d)dx ; ∫ sin(ax+b).cos(cx+d)dx
*Chú ý:
1) Nếu có nhiều hơn 1 nghiệm trên (a;b) thì vẫn dung công thức
trên tùy theo trường hợp nghiệm như thế nào. (cách làm này có lợi vì
ta khôngcần xét dấu f(x)).
2) Ở mức độ thi TNTHPT không cần nắm bất đẳng thức tích phân.
β
b
c
b
∫ f (x) dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx
a
a
c
β
α
α
β
∫ cos(ax+b).cos(cx+d)dx .
α
* Thực hiện công thức biến đổi tích thành tổng rồi tính tích phân.
β
∫ sin
Dạng 2:
n
x.cos m x.dx (n,m là các số nguyên dương)
α
*) Nếu n lẻ, m chẵn thì đặt t = cosx.
*) nếu m lẻ, n chẵn thì đặt t = sinx.
*) Nếu n,m đều chẵn thì : Dùng công thức nhân đôi sau đó dung
tiếp công thức hạ bậc để tính. (nếu một trong 2 số n hoặc n = 0 số
còn lại là số chẵn thì ta chỉ dung công thức hạ bậc).
*) n,m ∈ Z nếu n+m là số nguyên chẵn thì có thể:
Đặt t = tanx hoặc t = cotx.
β
Dạng 3: ∫ R(sinx,cosx)dx R là hàm số hữu tỷ. (mở rộng thi đại học).
α
*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với sinx tức là R(−sinx, cosx) = −R(sinx,
cosx) thì ta đặt t = cosx.
*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với cosx tức là R(sinx, −cosx) = −R(sinx,
cosx) thì ta đặt t = sinx.
*) Nếu R(sinx, cosx) chẵn đối với sinx và cosx tức là
R(−sinx,− cosx) = R(sinx, cosx) thì ta đặt t = tanx.
Bài toán 5: Tính tích phân của các hàm số hữu tỷ
BÀI TẬP
Bài 1/. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

4/. f ( x) =
2
x
x
x +a
2
7/. f ( x) = e3cos x .sin x
10/. f ( x) = 3sin 2 x
2/. f ( x ) = e x  2 + e − x 

2 
3/. f ( x) = ( 2 x + 1)10
5/. f ( x) = ( ln x )
x
1/. f ( x ) =  3 x + 2 


6/. f ( x) = (1 + x 2 ) 2 x

cos x 
4
8/. f ( x) = ( 2 tan x + cot x )2
11/. f ( x) = 2 x.32 x +1
2
13/. f ( x) = ( 2x2 + x +1) ex
14/. f ( x) = x.ln x
1
1
sin x.cos2 x
12/. f ( x) = 1
ex + 1
15/. f ( x) = x.ln 2 x
9/. f ( x) =
2
17/. f ( x) = e x .cos x
16/. f ( x) = cos(ln x)
18/. f ( x) = (1 + tan 2 x ) .ln (1 + tan x )
Bài 2*/. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1
1/. f ( x) =
2/. f ( x) = x
3/. f ( x) = x
2
3
10
x(1 + x)
x +1
( x + 1)