Cac chuyen de on thi tot nghiep 2013

1. TT Gia Sư c Trí –http://giasuductri.edu.vn
N I DUNG ÔN T P THI T T NGHI P KH I 12
Môn : Toán
I/. PH N GI I TÍCH :
1/. Kh o sát và v th hs d ng :
y= a x3 + bx2 + cx + d ; y = ax4 +bx2 +c
ax + b
y=
cx + d
2.Các bài toán liên quan :
- S tương giao c a hai th
- Ba d ng ti p tuy n
- Bi n lu n theo m s nghi m pt b ng th
- Tìm các i m trên (c ) có to là các s nguyên
- Tìm m hàm s có c và ct
- Tìm m hàm s t c c tr tho k cho trư c
- Tìm m ( c1 ) và ( c 2 ) txúc nhau
- Tìm GTLN và GTNN (trên 1 kho ng ho c 1 o n )
- Tìm m pt có n nghi m
3/.Nguyên hàm và tích phân :
- Tìm nguyên hàm c a các hàm s thư ng g p
- Tính tích phân b ng p2 i bi n s và pp tích phân t ng ph n
- ng d ng c a tích phân : tính di n tích hình ph ng , th tích v t th tròn xoay
4.Phương trình – b t phương trình – h phương trình mũ và logarit :
- Gi i phương trình mũ , b t phương trình mũ và logarit.
- Gi i h phương trình mũ và logarit .
5. S ph c :
- Mô un c a s ph c , các phép toán trên s ph c.
- Căn b c hai c a s ph c
- Phương trình b c hai v i h s ph c .
- D ng lư ng giác c a s ph c .
II /. PH N HÌNH H C :
1/.Hình h c không gian t ng h p :
- Tính th tích kh i lăng tr , kh i chóp.
- Tính th tích kh i tr , kh i nón , kh i c u.
- Tính di n tích xung quanh c a hình nón , hình tr , di n tích m t c u .
2/. Phương pháp to trong không gian :
a/.Các bài toán v i m và vectơ :
• Tìm to 1 i m tho i u ki n cho trư c , tr ng tâm tam giác , giao i m c a ư ng th ng và
m t ph ng , giao i m c a hai ư ng th ng , hình chi u c a 1 i m trên ư ng th ng , m t ph ng
, tìm i m i x ng v i 1 i m qua ư ng th ng , m t ph ng cho trư c , tìm giao i m c a ư ng
th ng và m t c u .
• Ch ng minh hai vectơ cùng phương ho c không cùng phương , 2 vectơ vuông góc , 3 vectơ ng
ph ng ho c không ng ph ng, tính góc gi a hai vectơ , di n tích tam giác , th tích t di n ,
chi u cao t di n , ư ng cao tam giác
b/.Các bài toán v m t ph ng và ư ng th ng :
- L p pt m t ph ng :qua 3 i m , m t ph ng theo o n ch n , qua 1 i m song song v i m t ph ng
, qua 1 i m ⊥ v i ư ng th ng , qua 1 i m song song v i hai ư ng th ng , qua hai i m và ⊥
v i m t ph ng , qua 1 i m và ch a m t ư ng th ng cho trư c , ch a 1 t a và song song v i 1
t b.
Nguy n Ng c Phúc -0918 919 247 1

2. TT Gia Sư c Trí –http://giasuductri.edu.vn
- L p pt ư ng th ng : Qua 2 i m , qua 1 i m và song song v i t , qua 1 i m và song song v i
2 mp c t nhau , qua 1 i m và vuông góc v i 1 mp , pt hình chi u vuông góc c a t trên mp , qua
1 i m và vuông góc v i 2 t , qua 1 i m và c t 2 ư ng th ng , qua 1 i m vuông góc v i t th
nh t và c t t th hai.
- V trí tương i c a 2 t , t và mp.
c/. Kho ng cách :
- T 1 i m n 1 mp , 1 i m n 1 t , gi a 2 t.
d/. M t c u:
- Tìm tâm và bán kính c a m t c u có phương trình cho trư c.
- L p pt m t c u : Có ư ng kính AB , có tâm I và ti p xúc v i mp , có tâm I và i qua 1 i m M ,
qua 4 i m không ng ph ng ( ngo i ti p t di n).
- L p pt m t ph ng : Ti p xúc v i m t c u t i 1 i m M thu c m t c u , ch a 1 ư ng th ng và ti p
xúc v i m t c u , song song v i mp cho trư c và ti p xúc v i m t c u.
e/. Góc :
- Góc gi a 2 vectơ
- góc trong c a tam giác
- góc gi a 2 ư ng th ng
- góc gi a 2 ư ng th ng
- góc gi a ư ng th ng và m t ph ng
PH N I : GI I TÍCH
V N 1 : KH O SÁT HÀM S VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN.
Bài 1: cho hàm s y =2x3 – 3x2
1/Kh o sát và v th (C ) hàm s
2/Tìm k phương trình : 2x3 – k= 3x2 +1 có 3 nghi m phân bi t
áp s :( - 2 < k < -1)
3/Vi t phương trình các ti p tuy n c a ( c ) bi t ti p tuy n i qua g c to
y = 0
áp s : 
y = − 9 x
 8
4 2
Bài 2: Cho hàm s y= x +kx -k -1 ( 1)
1/ Kh o sát và v th ( c ) hàm s khi k = -1
2/ Vi t phương trìh ti p tuy n vơi ( c) bi t ti p tuy n vuông góc v i ư ng th ng
x
y= - 1. áp s : y= -2x-2
2
3/. Xác nh k hàm s ( 1 ) t c c i t i x = -2.
Bài 3: Cho hàm s y= (x-1)2 ( 4 - x )
1/ Kh o sát và v th (c ) c a hàm s
2/ Vi t phương trình ti p tuy n v i ( c) t i i m u n c a (c ) . áp s : y = 3x - 4
3/ Vi t phương trình ti p tuy n v i ( c) qua A( 4 , 0 ) . áp s : y = 0 và y = -9x + 36
1 4
Bài 4: Cho hàm s y= x – ax2 +b
2
3
1/ Kh o sát và v th ( c) c a hàm s khi a =1 , b = -
2
2/ Vi t phương trình ti p tuy n v i (c ) t i giao i m c a ( c ) v i ox
áp s : y = −4 3.x − 12 và y = 4 3.x − 12
1 4 3
Bài 5: a/ Kh o sát và v th ( C) c a hàm s y= x -3x2 +
2 2
Nguy n Ng c Phúc -0918 919 247 2

3. TT Gia Sư c Trí –http://giasuductri.edu.vn
b/ Vi t phương trình ti p tuy n c a ( C) t i các i m u n .
áp s : y = 4x+3 và y = -4x +3
3
c/ Tìm các ti p tuy n c a (C ) i qua di m A ( 0, )
2
3
áp s : y = 0 ; y = ± 2 2 .x +
2
Bài 6: Cho hàm s y = x3 +3x2 +mx +m -2 có th (Cm )
1/ Kh o sát s bi n thiên và v th ( C) c a hàm s khi m= 3
2/ G i A là giao i m c a ( C) và tr c tung. Vi t phương trình ti p tuy n d c a (C ) t i A.
3/ Tìm m (Cm )c t tr c hoành t i 3 i m phân bi t
x3 x2
Bài 7: Cho hàm s y= + m2 − 2 có th ( Cm )
3 2
1/ Kh o sát và v th ( C ) c a hàm s v i m= -1
2/ Xác nh m ( Cm) t c c ti u t i x = -1.
3/ Vi t phương trình ti p tuy n v i (C ) bi t ti p tuy n vuông góc v i ư ng th ng
x 5 19 4
y= - + . áp s : y = 2 x − và y = 2 x +
2 2 6 3
1 3
Bài 8 :1/ Kh o sát và v th (C ) c a hàm s y= - x – 2x2 -3x +1
3
1
2/ Tìm các giá tr c a m pt : x3 +2x2 +3x +m =0 có 3 nghi m phân bi t
3
1 3
3/ Tìm m pt : x +2x +3x -2 +m2 = 0 có 1 nghi m
2
3
4/ Vi t pttt c a ( C ) song song v i ư ng th ng y= -3x
Bài9 : Cho hàm s y= mx3 – 3x
1/ Kh o sát và v th c a hàm s khi m = 4
2/ Tìm giao i m c a (C )v i ư ng th ng ∆ : y = -x +2
Bài 10 : Cho hàm s y= x3 – 3x +1
1/ Kh o sát và v th ( C) c a hàm s
2/ M t ư ng th ng d i qua i m u n c a (C )và có h s góc b ng 1. Tìm to giao i m c a
d và (C )
S: ( 0, 1) (2, 3 ) ( -2, -1 )
1 4 9
Bài 11 : Cho hàm s y= - x + 2 x 2 +
4 4
1/ Kh o sát và v th (C ) c a hàm s
2/ V và vi t pttt v i th (C ) t i ti p i m có hoành x= 1
S: y= 3x+1
Bài 12 : 1/. Kh o sát và v th ( C) c a hàm s : y = x3 -6x2 + 9x
2/. V i các giá tr nào c a m , ư ng th ng y = m c t (C) t i 3 i m phân bi t .
Bài 13 : 1/. Tìm các h s m và n sao cho hàm s : y = -x3 + mx + n
t c c ti u t i i m x = -1 và th c a nó i qua i m ( 1 ; 4)
2/. Kh o sát và v th ( C) c a hàm s v i các giá tr c a m , n tìm ư c .
3
Bài 14: 1/. Kh o sát và v th ( C) c a hàm s : y = -x3 + x2 + 6x -3
2
3 3 2
2/. CMR phương trình -x + x + 6x -3 = 0 có 3 nghi m phân bi t , trong ó có
2
m t nghi m dương nh hơn ½ .
Bài 15 : 1/. Kh o sát và v th ( C) c a hàm s : y = -x4 +2x2 + 2
2/. Dùng th ( C) , bi n lu n theo m s nghi m c a pt :
x4 -2x2 -2 +m =0
Bài 16: 1/. Kh o sát và v th ( C) c a hàm s : y = x4 +x2 -3
2/. CMR ư ng th ng y = -6x-7 ti p xúc v i th c a hàm s ã cho t i i m có hoành b ng -
1.
Nguy n Ng c Phúc -0918 919 247 3

4. TT Gia Sư c Trí –http://giasuductri.edu.vn
−x +3
Bài 17 : 1/. Kh o sát và v th ( C) c a hàm s : y =
2x + 1
2/. Vi t phương trình ti p tuy n v i (C) t i giao i m c a (C) v i tr c hoành .
3/. Vi t phương trình ti p tuy n v i (C) t i giao i m c a (C) v i tr c tung .
3/. Vi t phương trình ti p tuy n c a ( C) bi t ti p tuy n vuông góc v i ư ng th ng
(d) : 7x – y +2 =0
2x + 1
Bài 18 : 1/. Kh o sát và v th ( C) c a hàm s : y =
x +1
2/. Vi t phương trình ti p tuy n c a ( C) bi t ti p tuy n ó i qua i m M( -1 ; 3)
1 13
S: y= x+
4 4
−1 3
Bài 19 : Cho hàm s y = x + (a − 1) x 2 + (a + 3) x − 4
3
1/. Kh o sát và v th (C) c a hàm s khi a = 0
11
2/. Vi t phương trình ti p tuy n v i (C) t i i m u n c a (C) . S : y = 4 x −
3
Bài 20 : Cho hàm s y = x3 + ax2 + bx +1
1/. Tìm a và b th c a hàm s i qua 2 i m A( 1 ; 2) và B( -2 ; -1)
S : a = 1 ; b = -1
2/. Kh o sát và v th (C) c a hàm s ng v i a và b tìm ư c .
Bài 21 : Cho hàm s y = x4 + ax2 + b
3
1/. Tìm a và b hàm s có c c tr b ng khi x = 1
2
5
S : a = -2 ; b =
2
−1
2/. Kh o sát và v th (C) c a hàm s ng v i a = và b = 1 .
2
3/. Vi t phương trình ti p tuy n c a (C) t i i m có tung b ng 1 .
2
Bài 22 : Cho hàm s y =
2− x
1/. Kh o sát và v th (C) c a hàm s .
2/. Tìm các giao i m c a (C) và th c a hàm s y = x2 + 1 . Vi t phương trình ti p tuy n c a
(C) t i m i giao i m .
1
S : y = x + 1 ; y = 2x
2
3 − 2x
Bài 23 : Cho hàm s y =
x −1
1/. Kh o sát và v th (C) c a hàm s .
2/. Tìm các giá tr c a m ư ng th ng y = mx + 2 c t th (C) t i 2 i m phân bi t.
m < −6 − 2 5; m > −6 + 2 5

S: 
m ≠ 0

V N 2: GIÁ TR L N NH T-GIÁ TR NH NH T C A HÀM S
x2 + 3
Bài 1: Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a hàm s y= trên [2 ;4 ]
x −1
4
Bài 2: Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a hàm s : y= 2 sinx - sin 3 x
3
Nguy n Ng c Phúc -0918 919 247 4

5. TT Gia Sư c Trí –http://giasuductri.edu.vn
π
1/ Trên o n [ 0 , π ] 2/ Trên o n [ 0 ; ]
6
π
3/ Trên o n [ - ;0] 4/ Trên R
2
2x + 3
Bài 3 : Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a hàm s : y = trên o n [ -2 ; 0 ] S
x −1
1
:miny= −3 ; maxy =
3
1 3
Bài 4 : Tìm giá tr nh nh t c a hàm s y = x − 2 x 2 + 3x + 5 trên kho ng (1;+ ∞ )
3
S :miny= 5
1 3 3
Bài 5: Tìm giá tr nh nh t c a hàm s y = x − 2 x 2 + 3x + 5 trên o n [ ;5]
3 2
35
S :miny=
3
x 2 − 4x + 5 5 7
Bài 6 : Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s y= trên o n [ ; ]
x−2 2 2
2
x −3 5
Bài 7: Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s y= trên o n [ ; 3] :
2− x 2
Bài 8: Tìm giá tr l n nh t , giá tr nh nh t c a hàm s y = x + 4 − x 2 :
S: maxy= 2 2 ; miny = -2
π 
Bài 9 : Tìm giá tr l n nh t , giá tr nh nh t c a hàm s y = 2sin2x +2sinx - 1 v i x ∈  ; π :
2 
2x
Bài 10: Tìm giá tr l n nh t , giá tr nh nh t c a hàm s y = x − e trên [ -1 ; 0 ] :
1
S : maxy= − ln 2 − ; miny = -1 – e-2
2
1
Bài 11 : Tìm giá tr l n nh t , giá tr nh nh t c a hàm s y = x 2 − 2 ln x trên [ ; e2 ] :
e
S : maxy= e4 - 4 ; miny = 1
V N 3: NG D NG C A TÍCH PHÂN
Bài 1: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i : y= x2- 3x+ 2 , y= x -1, x = 0 , x = 2
S: S= 2
Bài 2: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i y= x.ex , x=1 , y=0
S: S= 1
Bài 3: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i y= sin2x +x , y=x ,x=0 , x= π
π
S: S=
2
Bài 4: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i y2 =2x và y= 2x -2
9
S : S=
4
2 x 2 − 10 x − 12
Bài 5: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i th hàm s y =
x+2
và ư ng th ng y=0
S: S= 63 -16 ln 8
Bài 6: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i y2 = 2x +1 và y= x-1
S: 16/ 3
Nguy n Ng c Phúc -0918 919 247 5

6. TT Gia Sư c Trí –http://giasuductri.edu.vn
x 2 + 3x + 1
Bài 7 : Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i y = , x = 0, x = 1, y = 0
x +1
Bài 8 : Tính th tích c a v t th tròn xoay sinh ra b i phép quay xung quanh Oy c a hình gi i h n b i
x2
Parabol ( P ) : y = ; y = 2; y = 4 và tr c Oy
2
x −1
Bài 9: Tính th tích v t th tròn xoay sinh ra do hình ph ng gi i h n b i y= , các tr c to quay
x +1
quanh tr c 0x
S : V= π ( 3- 4 ln2 )
V N 4: PHƯƠNG TRÌNH –B T PT – H PHƯƠNG TRÌNH MŨ V LOGARÍT
Bài 1 : Gi i các phương trình sau :
2 1
1/ 3x − 2 x = S : x =1
3
25
2/ 5x + 5x + 1 + 5x+2 = 3x + 3x+3 – 3x+1 S : x = log 5
3 31
3/. 32x+2 – 28.3x + 2 = 0 S : x =1 ; x = -2
4/. log2x + log4(2x) = 1 S : x= 32
5/. log 2 x − 3log 2 x + 1 = 0
1 S :x=2;x=4
2
6/. 3x +2.31 – x -5 = 0 S : x = 1 ; x = log32
2
7/. 2 log 3 x − 14 log 9 x + 3 = 0 S : x = 3; x = 27
x −1
x
 3  x +1  7 
8/.   =   S : x = −1 ± 2
7 3
x 2 −3 x 3± 5
9/. ( 2 −1 ) = 2 +1 S : x=
2
10/. (7 + 5 2 )x + ( 2 − 5)(3 + 2 2 )x + 3(1 + 2 )x + 1 − 2 = 0. S: x = -2; 0; 1.
11/. (2 + 3)x + (7 + 4 3)(2 − 3)x = 4(2 + 3) S: x = 0; 2.
x x 3x+1 x x x
12/ 125 + 50 = 2 13/. 4 – 2. 6 = 3. 9
x x
14/. 25x + 10x = 22x+1 15/. ( 2− 3 ) +( 2+ 3 ) =4
16/. 8x + 18x = 2. 27x
Bi 2: Gi i b t phương trình :
2 1
+1
 1 x  1 x
1/. 2 2x+6
+2 x+7
– 17 > 0 5/.   + 3.   > 12
3 3
1 1
2/. x
< x +1 6/. logx[ log3 ( 3x -9) ] < 1
3 + 5 3 −1
2
3/. 2. 2x + 3. 3x > 6x – 1 7/. log 0,5 x + log 0,5 x − 2 ≤ 0
21− x − 2 x + 1 x2 + x
4/. ≤0 8/. log 0,3 log 6 <0
2x −1 x+4
Bi 3: Gi i h phương trình :
Nguy n Ng c Phúc -0918 919 247 6

7. TT Gia Sư c Trí –http://giasuductri.edu.vn
2 x.8− y = 2 2
 3− x.2 y = 1152

1/.  1 1 1 2/. 
log 9 + = log 3 (9 y ) log 5 ( x + y ) = 2

 x 2 2
3log x = 4log y

3/.  log 4 log 3
( 4 x ) = ( 3 y )

V N 5 : NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN.
Bài 1 : cho f(x) = sin2x , tìm nguyên hàm F(x) c a f(x) bi t F( π ) = 0
1 1 π
áp s : F(x) = x − sin 2 x −
2 4 2
1
Bài 2 : ch ng minh F(x) = ln x + x 2 + 1 + c là nguyên hàm c a f(x)=
x2 + 1
/
Hư ng d n : Ch ng minh : F (x) = f(x)
Bài 3: Tính các tích phân sau :
2 2
2 xdx
1/. ∫ x 2 x3 + 2.dx ; áp s : (10 10 − 3 3) 2/. ∫ ; áp s : 5− 2
1
9 1 x2 + 1
1 1
x 3 dx 2− 2
∫ ; áp s : ∫x
3
3/. 4/. 1 − x .dx ; áp s : 9/28
0 x +1 2 3 0
1
π
5/. ∫
0
1 − x 2 .x 2 dx áp s
16
Bài 4: Tính các tích phân sau :
π π
π π
1/. ∫ cos 2xdx 2
; áp s : 2/. ∫ sin 2 3xdx ; áp s :
0
2 0
2
π
π 2
3π
3/. ∫ sin 4 xdx ; áp s : ∫ cos
5
4/. xdx ; áp s :8/15
0
8 0
π π
2 2
sin 2 xdx
5/. ∫ cos6 x.sin 3 xdx ; áp s :2/63 6/. ∫ 1 + cos 2
; áp s :ln2
0 0
x
π
4
cos 2 xdx
7/.
0
∫1 + sin 2 x
; áp s : 2 − 1
Bài 5: Tính các tích phân sau :
π
2 1
3 1 1
1/. ∫ esin x .cos xdx ; áp s :e-1 2/. ∫ e − x .x 2 dx ; áp s : −
0 0
3 3e
4 4
e x
eln x 1
3/. ∫ dx ; áp s :2e2 – 2e 4/. ∫ 2 x 2 + 1dx ; áp s : 4 ln11
1 x 1
1
8 5
5/. ∫ ( x + 2)e3 x dx ; áp s : e3 −
0
9 9
Bài 6: Tính các tích phân sau :
Nguy n Ng c Phúc -0918 919 247 7

8. TT Gia Sư c Trí –http://giasuductri.edu.vn
π π
2 2
π
1/. ∫ (2 x − 1) cos 2 xdx ; áp s :-1 2/. ∫ 2 x.sin x.cos xdx ; áp s :
0 0
4
π 1
∫x 4/. ∫ ln( x + 1)dx ; áp s :2ln2-1
2
3/. sin xdx ; áp s : π 2 − 4
0 0
e 3 2 2
2e e 31 ln x 1 1
5/. ∫ ( x 2 − x + 1) ln xdx ; áp s : − + 6/. ∫ dx ; áp s : − ln 2
1
9 4 36 1
x2 2 2
π
2
π2
1
π
7/. ∫ x.cos
2
xdx ; áp s : − 8/. ∫ sin 3 x.cos xdx ; áp s :0
0
16 4 0
π π
2 2
π 2 sin 2 xdx
9/. ∫ ( x + sin 2 x) cos xdx ; áp s : − 10/. ∫ (1 + cos 2
; áp s :1/2
0
2 3 0
x)2
V N 6: S PH C
Bài 1: Cho các s ph c z1 = 1 + i ; z2 = 1 -2i .Hãy tính các s ph c và tìm mo un c a chúng :
1/. z12 2/. z1z2 3/. 2z1 – z2
z
4/. z1 z2 5/. 2 6/. z17
z1
Bài 2 : Tính :
2 2
1/. ( 3 + i ) 2 − ( 3 −i ) 2/. ( 3 + i ) 2 + ( 3 −i )
3 ( 3 + i )2
3/. ( 3 + i )3 −( 3 − i) 4/.
( 3 − i)2
*Bài 3 : Tìm căn b c hai c a m i s ph c : - 8 + 6i ; 3 + 4i ; 1 − 2 2i
Bài 4 : Gi i phương trình :
1/. x2 – 3x + 3 + i = 0. áp s : x = 1 +i ; x = 2 - i
*2/. x2 – (3 + i )x + 2 + 6i = 0. áp s : x = 2i ; x = 3 - i
*3/. x2 + ix + 2i -4 = 0. áp s : x = -2 ; x = 2 - i
4/. x2 - 4x + 8 = 0. áp s : x = 2 ± 2i
2
*5/. x + 3 i x -1 + 3 i = 0. áp s : x = -1 ; x = 1 - 3 i
Bài 5 : Tìm các s th c x , y th a mãn ng th c :
x( 3 + 5i ) + y( 1 -2i)3 = 9 + 14i
172 −3
áp s : x = và y =
61 61
*Bài 6 : Vi t d ng lư ng giác c a s ph c :
1/. 3i 2/. 3 + i 3/. 2- 2i 4/. 1 - 3i
π
5/. ( 1 + 3 i )5 6/. ( 1 –i)4 7/. 1 - itan
6
PH N II : HÌNH H C
HÌNH H C T NG H P
V N 7: HÌNH A DI N
Nguy n Ng c Phúc -0918 919 247 8

9. TT Gia Sư c Trí –http://giasuductri.edu.vn
.1 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ áy ABCD là hình vuơng c nh a, c nh bn SA vuơng gĩc v i áy , c nh bên
SB b ng a 3 . Tính th tích kh i chĩp S.ABCD theo a .
2. Cho hình chĩp t gic u S.ABCD có AB = a và SA = b . Tính th tích kh i chóp S.ABCD theo a và
b.
3. Cho hình chĩp t gic u S.ABCD có AB = a và góc SAC b ng 450 . Tính th tích kh i chĩp S.ABCD.
4. Cho hình chĩp tam gic S.ABC cĩ áy ABC là tam giác vuông t i nh B, c nh bên SA vuông góc v i
áy. Bi t SA = AB = BC = a. Tính th tích kh i chóp S.ABC theo a .
5. Cho hình chĩp t gic u S.ABCD có AB = a và góc gi a m t bên và m t áy b ng 600 . Tính th tích
kh i chĩp S.ABCD.
6. Cho kh i h p ch nh t ABCDA’B’C’D’ cĩ th tích V. Tính th tích kh i t di n C’ABC theo V.
7. Trên c nh CD c a t di n ABCD l y i m M sao cho CD = 3CM. Tính t s th tích c a hai t di n
ABMD và ABMC.
8. Cho hình chĩp tam gic u S.ABC có c nh áy b ng 2a , góc gi a c nh bên và m t áy b ng 300 .
a/. Tính th tích c a kh i chĩp S.ABC
b/. Xác nh tâm và tính bán kính m t c u ngo i ti p hình chĩp S.ABC .
c/. Tính di n tích m t c u v th tích c a kh i c u ngo i ti p hình chĩp S.ABC
9. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ áy ABCD là hình vuơng c nh a , c nh bn SA vuơng gĩc v i áy , c nh bên
SB b ng a 3
a/. Tính th tích c a kh i chĩp S.ABC
b/. Ch ng minh trung i m c a c nh SC là tm m t c u ngo i ti p hình chĩp S.ABCD
10. Cho hình chĩp tam gic S.ABC cĩ áy ABC là tam giác vuông t i B , c nh bên SA vuông góc v i áy .
Bi t SA = AB = BC = a .
a/. Tính th tích c a kh i chĩp S.ABC
b/. Tính th tích c a kh i c u ngo i ti p kh i chĩp S.ABC.
11. Cho hình chĩp t gic S.ABCD cĩ áy ABCD là hình vuơng c nh b ng a , c nh bn SA vuơng gĩc v i
áy và SA = AC . Tính th tích kh i chóp S.ABCD
12. Cho hình chĩp tam gic u S.ABC có c nh áy b ng a , c nh bên b ng 2a . G i I là trung i m c a
c nh BC .
a/. Ch ng minh SA ⊥ BC
b/. Tính th tích kh i chĩp S.ABI theo a
13. Cho hình chĩp S.ABC cĩ áy ABC là tam giác vuông t i B , ư ng th ng SA vuông góc v i
mp(ABC) , bi t AB = a , BC = a 3 v SA = 3a.
a/. Tính th tích kh i chĩp S.ABC
b/. G i I là trung i m c a c nh SC , tính dài an th ng BI theo a.
c/. Tính t ng di n tích cc m t bn c a hình chĩp S.ABC
V N 8 : HÌNH TR
Bài 1 : Tính di n tích xung quanh và th tích hình tr có áy là ư ng tròn ngo i ti p tam giác u ABC
có c nh b ng a và ư ng sinh b ng 2a 3 .
2π a3 3
S : Sxq = 4π a 2 ; V =
3
Bài 2 : Cho hình l p phương c nh a . Tính th tích và di n tích xung quanh c a hình tr ng ai ti p hình
l p phương .
π a3
S : Sxq = π a 2 2 ; V =
2
Bài 3 : Cho hình tr (T) có chi u cao b ng 6cm , m t m t ph ng qua tr c c a hình tr c t hình tr theo
thi t di n (S) có di n tích b ng 48cm2 .
1/. tính chu vi c a thi t di n (S).
2/. Tính di n tích xung quanh và th tích c a hình tr (T).
S : 1/. 28cm 2/. Sxq = 48π (cm2) ; V = 96π (cm2 )
Bài 4 : Cho hình tr (T) có di n tích áy S1 = 4πa2 và di n tích xung quanh b ng S .
Nguy n Ng c Phúc -0918 919 247 9

10. TT Gia Sư c Trí –http://giasuductri.edu.vn
1/. tính th tích c a (T) .
2/. Cho S = 25a2 , Tính di n tích thi t di n qua tr c c a hình tr (T).
25a 2
S : 1/. aS 2/.
π
Bài 5 : Cho hình tr (T) có bán kính áy R = 10cm, m t thi t di n song song v i tr c hình tr ,
2
cách tr c m t kho ng 6cm có di n tích 80cm . Tính th tích kh i tr (T)
S : V = 500π (cm3)
Bài 6 : Cho hình tr (T) cao 10cm, m t m t ph ng song song v i tr c hình tr và cách tr c m t kho ng
2cm , sinh ra trên ư ng tròn áy m t cung ch n góc tâm 1200 .
1/. tính di n tích thi t di n
2/. Tính th tích và di n tích xq c a (T).
S : 1/. 40 3 (cm2 ) 2/. V = 160π (cm3) ; Sxq = 80π (cm2)
Bài 7 : Cho hình tr (T) có 2 áy là 2 ư ng tròn ( O ) và (O/ ) .M t i m A thu c (O) và i m B thu c
(O/ ) . G i A/ là hình chi u c a A trên mp ch a áy (O/ ). Bi t AB = a , góc gi a 2 ư ng th ng AB và
tr c OO/ là và góc BO/A/ là 2 .
Tính th tích và di n tích xq c a (T).
π a 3 sin 2 α .cos α π a 2 sin 2α
S:V= ; Sxq =
4sin 2 β sin β
Bài 8 : Cho hình nón có bán kính áy là R và ư ng cao b ng 3R ngo i ti p hình tr (T) .Tính bán kính
và chi u cao hình tr (T) sao cho :
1/. (T) có th tích l n nh t.
2/. (T) có di n tích xq l n nh t .
2R
S : 1/. Bán kính là ; chi u cao là R
3
R 3R
2/. Bán kính là ; chi u cao là
2 2
V N 9 : HÌNH NÓN
Bài 1 : Cho hình nón có bán kính áy là R và góc gi a ư ng sinh và mp ch a áy hình nón là .
1/. Tính th tích và di n tích xung quanh c a hình nón
2/. Tính di n tích c a thi t di n qua tr c c a hình nón .
π R 3 tan α π R2
S : 1/. V = ; Sxq =
3 cos α
2/. R2 tan
Bài 2 : Cho hình nón nh S có ư ng sinh b ng R và thi t di n qua tr c c a hình nón là tam giác SAB
có góc ASB là 600 .
1/. Tính th tích và di n tích xung quanh c a hình nón
2/. Xác nh tâm và bán kính c a m t c u ngo i ti p hình nón .
3/. Xác nh tâm và bán kính c a m t c u n i ti p hình nón .
π R3 3 π R2
S : 1/. V = ; Sxq =
24 2
R 3 R 3
2/. 3/.
3 6
Bài 3 : M t hình nón có di n tích xq là 20π (cm2) và di n tích toàn ph n là 36π(cm2) . Tính th tích kh i
nón .
S : V =36π (cm3 )
32 5
Bài 4 : M t kh i nón có th tích V= π ( dm3) và bán kính áy hình nón là 4 (dm) .
3
1/. Tính di n tích xq c a hình nón.
2/. Xác nh tâm và bán kính c a m t c u ngo i ti p hình nón
Nguy n Ng c Phúc -0918 919 247 10

11. TT Gia Sư c Trí –http://giasuductri.edu.vn
9 5
S : 1/. Sxq =24π (dm2 ) 2/.
5
PHƯƠNG PHÁP TO TRONG KHÔNG GIAN
V N 10 : TO VECTƠ, TO I M TRONG KHÔNG GIAN.
Bài 1: Cho a = ( -2 ,1, 0 ), b = ( 1, 3,-2 ), c = (2,4,3 )
1 3
1/ Tìm to d = a + 2b − c
2 2
1 17
áp s : d = (−2, , − )
2 2
2/ Cm a , b không cùng phương
3/ Tìm to b / = ( 2, yo, zo ), bi t b / cùng phương b
áp s : b ' = ( 2; 6; −4 )
Bài 2: Cho A( 0 -2, 4 ) , B( 5,-1,2 ), OC = −3i + 4 j + k
1/ Cm: A, B. C không th ng hàng.
2/ Tìm to M là giao i m c a ư ng th ng BC v i (0xy), M chia o n BC theo
t s nào?
áp s : M( -11,9,0 ) MB = 2 MC → k = 2
3/ Tìm to D , bi t CD = ( 1,-2, -4 )
áp s : D ( -2,2,-3 )
4/ Tìm to A/ i x ng v i A qua B
áp s : A/ ( 10,0, 0 )
5/ Tìm to E ABED là hình bình hành
áp s : E( 2,5,-1 )
Bài 3 :Cho M( x, y, z ), tìm to các i m:
1/ M1 , M2 , M3 l n lư t là hình chi u vuông góc c a M trên mp ( 0xy ) ,( 0yz) ,( 0xz )
áp s : M1 ( x, y, o) , M2 ( o, y, z ) , M3 ( x, o, z )
2/ M/1 , M/2 , M/3 l n lư t là hình chi u c a M trên Ox, Oy, Oz
áp s : M/1 ( x,o,o ), M/2 ( o,y,o ),M/3( o,o,z )
3/ A, B, C l n lư t i x ng v i M qua ox, oy, oz
áp s : A( x,-y, –z ), B( -x, y,-z ), C( -x,-y,z )
4/ D, E, F. l n lư t i x ng v i M qua mp ( oxy ), ( oyz ), ( oxz )
áp s : D( x, y, -z ), E (-x , y, z ), F ( x, -y, z )
Bài 4: Cho hình h p ch nh t OABC . O/ A/ B/C/ bi t A( 2, 0, 0 ), C( 0 ,3, 0 ) ,
0/ ( 0,0,4) .Tìm to các nh còn l i c a hình h p ch nh t
Hư ng d n:
OB = OA + OC ⇒ B(2, 3, 0) ( v hình )
OA/ = OA + OO / → A/ (2, 0, 4) , tương t B/( 2,3,4 ) , C/ ( 0,3,4 )
V N 11: PHƯƠNG TRÌNH M T PH NG
1/. n ≠ 0 là vtpt c a (P) ↔ n ⊥ ( P )
- Chú ý : N u a ≠ 0, b ≠ 0 ; a; b không cùng phương và a; b có giá song song hay
n m trong mp(P) thì (P) có vtpt n =  a, b 
 
Nguy n Ng c Phúc -0918 919 247 11

12. TT Gia Sư c Trí –http://giasuductri.edu.vn
2/. Phương trình t ng quát mp(P) : Ax+By+Cz+D = 0 → vtpt n = ( A, B, C )
3/. Phương trình m t ph ng (P) qua i m M( x0 ; y0 ; z0 ) và có vectơ pháp tuy n
n = ( A, B, C ) :
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0
4/. N u mp(P) // mp(Q) thì vtpt c a (P) cũng là vtpt c a (Q)
5/. N u mp(P) ⊥ mp(Q) thì vtpt c a (P) song song hay ch a trong mp (Q) và ngư c l i.
6/. Phương trình mp(Oxy) : z = 0
Phương trình mp(Oxz) : y = 0
Phương trình mp(Oyz) : x = 0
x y z
7/. Phương trình mp(P) qua A(a,0,0) , B(0,b,0) , C(0,0,c) : + + = 1
a b c
V i A, B, C u khác v i g c O.
BÀI T P
Bài 1: Cho A(3,-2,-2) , B(3,2,0) , C(0,2,1) , D( -1,1,2)
1/. Vi t phương trình mp(BCD) . Suy ra ABCD là t di n. Tính th tích t di n ABCD.
áp s : (BCD) :x + 2y + 3z -7 = 0
2/. Vi t ptmp (α ) qua A và (α ) // (BCD).
áp s :x + 2y + 3z + 7= 0
3/. Vi t pt mp ( β ) qua A và ( β ) vuông góc v i BC
áp s : -3x + z + 11= 0
Bài 2: Cho A(5,1,3) , B(1,6,2) ,C(5,0,4) , D(4,0,6)
1/. Vi t pt mp (α ) qua A , B và (α ) // CD.
áp s :10x+9y+5z-74=0
2/. Vi t ptmp trung tr c ( β ) c a CD , tìm to giao i m E c a ( β ) v i Ox.
áp s :-2x+4z-11=0 ; E(-11/2 , 0 ,0)
3/. Vi t ptmp ( γ ) qua A và ( γ ) // (Oxy)
áp s :Z – 3= 0
Bài 3: Cho A(4,-1,1) , B(3,1,-1)
1/. Vi t phương trình mp (α ) qua A và (α ) ch
a tr c Oy.
áp s : x-4z=0
2/. Vi t ptmp ( β ) qua A và ( β ) vuông góc v i tr c Oy.
áp s : y+1=0
3/. Vi t ptmp ( γ ) qua A , ( γ ) // Oy , ( γ ) ⊥ (α )
áp s : 4x+z-17=0
4/. Vi t pt mp (P) qua B , (P) ⊥ (α ) , (P) ⊥ (Oxz)
áp s : 4x+z-11=0
Bài 4: Cho A(-1,6,0) , B(3,0,-8) , C(2,-3,0)
1/. Vi t ptmp (α ) qua A , B ,C.
áp s : 12x+4y+3z-12=0
2/. (α ) c t Ox , Oy , Oz l n lư
t t i M , N, P . Tính th tích kh i chóp OMNP . Vi t ptmp (MNP).
áp s : V= 2 ; (MNP) : 12x+4y+3z-12=0
Bài 5 : L p phương trình mp qua G( 2 ; -1 ; 1) và c t các tr c t a t i các i m A , B ,C sao cho G là
tr ng tâm c a tam giác ABC.
Bài 6 : L p phương trình mp qua H( 1 ; -1 ; -3) và c t các tr c t a t i các i m A , B ,C sao cho H là
tr c tâm c a tam giác ABC.
Nguy n Ng c Phúc -0918 919 247 12

13. TT Gia Sư c Trí –http://giasuductri.edu.vn
V N 12: V TRÍ TƯƠNG I C A HAI M T PH NG
• Tóm t t lý thuy t :
α1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
1/. Cho 2 mp :
α 2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
• α1 c t α 2 ↔ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2
A1 B1 C1 D1
• α1 // α 2 ↔
= = ≠
A2 B2 C2 D2
A B C D
• α1 ≡ α 2 ↔ 1 = 1 = 1 = 1
A2 B2 C2 D2
Bài 1: xác nh n và m các c p mp sau song song nhau :
1/. Cho (α ) : 2x + ny + 3z -5 =0
( β ) : mx -6y -6z +2 =0
áp s : m =4 , n =3
2/. Cho (α ) : 3x - y + nz -9 =0
( β ) : 2x +my +2z -3 =0
áp s : m = -2/3 ; n = 3
α1 : 2 x − y + 3 z + 1 = 0
Bài 2: Cho 2 mp :
α2 : x + y − z + 5 = 0
1/. Vi t pt mp (P) qua giao tuy n c a α1; α 2 và (P) ⊥ α 3 : 3 x − y + 1 = 0
áp s : -3x-9y+13z-33=0
2/. Vi t pt mp (Q) qua giao tuy n c a α1; α 2 và (Q) song song v i ư ng th ng
AB v i A(-1,2,0) và B(0,-2,-4).
áp s : 8x+5y-3z+31=0
V N 13: PHƯƠNG TRÌNH Ư NG TH NG
Tóm t t lý thuy t
Cách l p phương trình ư ng th ng d:
Tìm 1 i m M (x0 ; y0 ; z0) thu c d và vectơ ch phương u = ( a; b; c ) c a d.
Khi ó phương trình c a d có m t trong 2 d ng sau :
 x = xo + a t

• Pt tham s :  y = yo + bt (1)
 z = z + ct
 o
Nguy n Ng c Phúc -0918 919 247 13

14. TT Gia Sư c Trí –http://giasuductri.edu.vn
x − xo y − yo z − zo
• Pt chính t c : = = (2) V I a , b , c u khác 0
a b c
- Ghi nh : d ⊥ (α ) → vtcp c a d là vtpt c a (α ) ; vtpt c a (α ) là vtcp c a d.
BÀI T P
Bài 1: Vi t phương trình tham s , pt chính t c (n u có ) c a d bi t :
1/. d qua M (2,3,-1) và d vuông góc v i mp α : -x-y+5z+7=0
x = 6
/ 
2/. d qua N(-2,5,0) và d// d :  y = 3 + t
 z = 7 + 4t

3/. d qua A(1,2,-7) và B(1,2,4)
Bài 2: Vi t phương trình tham s , pt chính t c (n u có ) c a t d là giao tuy n c a 2 mp :
(P) : x + 2y − z = 0
(Q ) : 2x − y + z + 1 = 0
Bài 4:
 x = 1 − 2t

1/. Vi t pt mp( α ) qua A(0,1,-1) và ( α ) ⊥ d :  y = 3t
 z = −2 + t

2/. Tìm to giao i m M c a ( α ) v i tr c Ox.
3/. Vi t pt tham s c a giao tuy n d / c a ( α ) v i (Oxy).
V N 14: TÌM HÌNH CHI U VUÔNG GÓC C A M TRÊN MP α , TRÊN d.
TÌM M/ I X NG V I M QUA α , QUA d.
1/ Tìm to hình chi u vuông góc H c a M trên α và to M’ i x ng M qua α :
• Vi t pt t d qua M , d ⊥ α ⇒ d qua M có véc tơ ch phương nα ⇒ ptts c ad
• H = d ∩α ⇒ t a H
• M/ i x ng M qua α ⇒ H là trung i m M M/ ⇒ to M/
/
2/ Tìm to hchi u ⊥ H c a M trên t d và tìm M i x ng M qua t d :
+ Vi t ptmp α qua M , α ⊥ d
+ H = α ∩d ⇒ t a c aH
+ M x ng M qua d ⇒ H là trung i m MM/ ⇒ t M/
/
Bài 1: Tìm to hchi u vuông góc H c a M( 2, -3, 1 )trên mp() : -x+ 2y +z+ 1= 0 .
Tìm to M/ x ng M qua ( α )
áp s : H (1, -1 , 2 ) ; M/( 0, 1, 3)
 x = 2t
/ 
Bài 2: Tìm to M x ng v i M( 2, -1, 3) qua t d :  y = −1 + 2t
z = 1

áp s : M/ (4,-3,5)
V N 15: L P PHƯƠNG TRÌNH HÌNH CHI U VUÔNG GÓC d / C A d
TRÊN MP (P)
*Phương pháp :
Cách 1 :
Nguy n Ng c Phúc -0918 919 247 14

15. TT Gia Sư c Trí –http://giasuductri.edu.vn
- Tìm 2 i m A và B thu c d
- Tìm A/ và B/ l n lư t là hình chi u c a A và B trên mp(P)
- L p pt ư ng th ng A/B/ chính là ư ng th ng d/
Cách 2 :
- L p pt mp (Q) ch a d và vuông góc v i mp(P)
- Vì d/ = (P) ∩ (Q) nên ta l p ư c pt c a d/
x = 1+ t

Bài 1: Vi t pt hình chi u vuông góc d’ c a t d :  y = − 1 + 2 t trên mp α : x+y+2z-5=0
 z = 3t

x −1 y z + 2
Bài 2 : Vi t pt hình chi u vuông góc d/ c a d : = = trên mp α :x-y+z+10=0
1 −2 3
V N 16: V TRÍ TƯƠNG I GI A 2 Ư NG TH NG d VÀ d/
Phương pháp :
+ d có vtcp u và i qua i m M
+ d/ có vtcp u / và i qua i m M/
+ Tính MM /
a/. d và d/ trùng nhau ⇔ u , u / và MM /
 u vaø u / cuøng phöông

b/. d // d/ ⇔ 
 u vaø MM / khoâng cuøng phöông

 u vaø u/ khoâng cuøng phöông
/ 
c/. d c t d ⇔ 
 / /
  u, u  . MM = 0

d/. d và d chéo nhau ⇔  u, u /  . MM / ≠ 0
/
 
* Chú ý : d ⊥ d / ⇔ u ⊥ u /
Bài 1: Xét v trí tương i c a 2 t :
x = 1+ t x = t
 
d1:  y = −2 − 3t d2 :  y = −3 − 3t
 z = 3 + 4t z = 7 + 4t
 
áp s : d1 // d2
Bài 2: Xét v trí tương i c a 2 t :
x = t
 x y −1 z
d1:  y = −1 + 2t d2 : = =
z = t 1 −2 3

áp s : d1 chéo d2
Bài 3: Xét v trí tương i c a 2 t :
x y z+4 x −1 y z − 2
d1 : = = d2 : = =
1 −1 −2 −3 1 −1
áp s : d1 chéo d2
Nguy n Ng c Phúc -0918 919 247 15

16. TT Gia Sư c Trí –http://giasuductri.edu.vn
 x = 7 + 3t
 x −1 y + 2 z − 5
Bài 4: cho 2 t d1 :  y = 2 + 2t d2 : = =
 z = 1 − 2t 2 −3 4

a/. Tìm to giao i m c a d1 và d2 . áp s : A(1,-2,5)
b/. Vi t pt mp (P) ch a d1 và d2. áp s : (P) : 2x-16y-13z+31=0
x = 1− t  x = 2 − 2t /
 
Bài 5 : Xét v trí tương i c a 2 t : d1 :  y = 2 + t d2 :  y = 3 + 2t /
 z = −1 + t  z = 2t /
 
áp s : d1 // d2
 x = −3 + 2t x = 5 + t /

Bài 6: Tìm to giao i m c a 2 t d1 :  y = −2 + 3t và
 d2 :  y = − 1 − 4 t /
 z = 6 + 4t z = 20 + t /
 
áp s : A(3,7,18)
V N 17: V TRÍ TƯƠNG I GI A Ư NG TH NG d VÀ M T PH NG (α )
1/. Cách 1: d có vtcp a , α có vtpt n
a/. N u a . n ≠ 0 → d c t α
b/. N u a . n =0 → d// α hay d ⊂ α
 M ∉ α → d // α
Tìm M ∈ d: 
M ∈α → d ⊂ α
2/. Cách 2: Gi i h pt c a d và α
H có 1 nghi m ⇔ d c t α
H vô nghi m ⇔ d // α
H vô s nghi m ⇔ d ⊂ α
 x = −1 + t

Bài 1: Xét v trí tương i c a t d :  y = 3 − 2t
 z = −2 + t

Và mp α : x+2y+3z+3=0
áp s : d// α
 x = 1 + mt

Bài 2: Cho t d :  y = −2 + (2m − 1)t và mp α :x+3y-2z-5=0
 z = −3 + 2t

a/. Tìm m d c t α . áp s : m≠ 1
b/. Tìm m d// α . áp s : m=1
c/. Tìm m d vuông góc v i α . áp s : m= -1
x −1 y z + 2
Bài 3: Xét v trí tương i c a t d : = = v i mp α : 2x+y+z-1=0
2 1 −3
áp s : d c t α t i A(2,1/2,-7/2)
x = t

Bài 4: Xét v trí tương i c a t d :  y = −2 + 2t v i mp α : 2x+y+z-1=0
 z = −t

Nguy n Ng c Phúc -0918 919 247 16

17. TT Gia Sư c Trí –http://giasuductri.edu.vn
áp s : d c t α t i A(1, 0,-1)
x = 1− t

Bài 5: Xét v trí tương i c a t d :  y = 4 − t v i mp α : 5x-y+4z+3=0
 z = −1 + t

áp s : d⊂ α
V N 18: KHO NG CÁCH
1/. Kho ng cách t 1 i m M n mp α :
Ax0 + By0 + Cz0 + D
d ( M ,α ) =
A2 + B 2 + C 2
2/. Kho ng cách t 1 i m M n t ∆ :
• ∆ qua M0 và có vtcp u
 u, M 0 M 
 
d ( M, ∆ ) =
u
3/. Kho ng cách gi a 2 t chéo nhau :
• ∆1 qua M1 và có vtcp u1
• ∆ 2 qua M2 và có vtcp u 2
 u 1 , u 2  .M 1 M 2
 
d (∆1, ∆ 2 ) =
u1, u 2 
 
*Chú ý:
Kho ng cách gi a 2 mp song song = Kho ng cách t 1 i m trên mp th nh t n mp th
hai.
Kho ng cách gi a 2 ư ng th ng song song = Kho ng cách t 1 i m trên t th nh t n
t th hai.
Kho ng cách gi a 1 ư ng th ng song song v i 1 mp = Kho ng cách t 1 i m trên t n
mp.
Bài 1: Cho A(1,1,3) , B(-1,3,2) C(-1,2,3) . Vi t pt mp α qua 3 i m A, B, C .Tính di n
tích tam giác ABC , th tích kh i t di n OABC.
áp s : α : x+2y+2z-9=0 ; dt(ABC)= 3 ; VOABC=
3
2 2
x −1 y + 2 z − 2
Bài 2: Tính kho ng cách t i m M (1,2,-1) n t ∆ : = =
2 1 2
221
áp s :
3
Bài 3: Cho 2 t chéo nhau :
 x = 2 + 2t  x = 1 + 2t
 
∆1 :  y = 1 + t ∆ 2 :  y = 1 − 2t
 z = 3 − 2t z = t
 
Tính kho ng cách gi a ∆1 và ∆ 2 . áp s : 7/3
 x = −1 + t
x −1 y − 7 z − 3 
Bài 4: Cho 2 t ∆1 : = = và ∆ 2 : y = 2 + 2t
2 1 4 z = 2 − t

Nguy n Ng c Phúc -0918 919 247 17

18. TT Gia Sư c Trí –http://giasuductri.edu.vn
Ch ng minh ∆1 chéo ∆ 2 . Tính kho ng cách gi a ∆1 và ∆ 2 .
5
áp s :
14
V N 19 : GÓC
u1.u2
(
1/. Góc gi a 2 vectơ : cos u1 , u2 = ) u1 . u2
1/. Tìm góc ϕ gi a 2 t ∆1 và ∆ 2 :
• Tìm 2 vtcp u1 và u 2 c a ∆1 và ∆ 2 .
u1.u2
• cos ϕ =
u1 . u2
2/. Tìm góc ϕ gi a 2 mp α và β :
• Tìm 2 vtpt : n1 và n2 c a α và β
n1.n2
• cos ϕ =
n1 . n2
• Chú ý : α ⊥ β ⇔ n1 ⊥ n2
3/. Tìm góc ϕ gi a ư ng th ng d và mp α:
• Tìm vtcp u c a d.
• Tìm vtpt n c a α
u.n
• sin ϕ =
u.n
x −1 y + 1 z − 3
Bài 1: Tính góc ϕ gi a t d : = = và tr c Ox. áp s : ϕ =450
2 1 −1
x = t

Bài 2: Tính góc ϕ gi a t d :  y = 1 + 2t và mp α : x + 2 y − z − 1 = 0
z = 2 + t

áp s : ϕ =300
Bài 3: Tính góc ϕ gi a 2 mp:
α : 3y-z-9=0 ; β : 2y+z+1=0
áp s : ϕ =450
Bài 4: Tìm m góc gi a 2 t sau b ng 600 :
x = 3 + t
x+4 y z+2 
∆1 : = = và ∆ 2 :  y = 1 + 2t áp s : m = -1
1 − 2 1  z = −1 + mt

V N 20: PHƯƠNG TRÌNH M T C U.
Nguy n Ng c Phúc -0918 919 247 18

19. TT Gia Sư c Trí –http://giasuductri.edu.vn
1/. Phương trình m t c u tâm I , bán kính R :
• ( x –a )2 + (y-b)2 +( z-c)2 = R2 (1)
• x2+y2+z2 +2ax + 2by + 2cz +d = 0 (2)
V i: R = a2 + b2 + c2 − d
Tâm I ( -a ; -b ; -c )
2/. V trí tương i gi a mc(S) và mp α :
• Cho (S) : ( x –a )2 + (y-b)2 +( z-c)2 = R2 có tâm I và bán kính R.
mp α : Ax+By+Cz+D=0
a/. d ( I , α ) > R ⇔ mp α không có i m chung v i (S)
b/. d ( I , α ) = R ⇔ mp α ti p xúc v i (S) ( α là ti p di n )
c/. d ( I , α ) < R ⇔ mp α c t (S) theo ư ng tròn giao tuy n có pt :
Ax+By+Cz+D=0
 2 2 2 2
( x -a ) + (y-b) +( z-c) = R
3/. M t s d ng toán v m t c u:
a/. Vi t pt mc (S) tâm I và ti p xúc v i mp α , tìm to ti p i m H c a
α và (S):
• R = d (I , α ) → pt (1)
• H= ∆ ∩ α v i ∆ qua I và ∆ ⊥ α
1
b/.M t c u có ư ng kính AB ⇒ tâm I là trung i m c a AB,R= AB ⇒ pt (1)
2
c/. M t c u ngo i ti p t di n ABCD ( hay m t c u qua 4 i m A,B,C,D không ng
ph ng ) :
• Th to A,B,C,D vào pt(1) hay pt(2) ⇒ A, B, C ho c a , b ,c
d/.M t ph ng α ti p xúc (S) t i A ∈ (S) (ti p di n α )
+ (S) có tâm I, α qua A có vtpt IA ⇒ pt ( α )
e/. Cách tìm to tâm I/ , bán kính R/ c a ư ng tròn giao tuy n c a mp α
và (S) :
(S) có tâm I , bán kính R , α có vtpt n
2
R/ = R 2 −  d ( I , α )
 
ư ng th ng ∆ qua I , ∆ ⊥ α → pt tham s ∆ .
I/ = ∆ ∩ α → To I/
Bài 1: Cho A(1,-1,2) , B(1,3,2) , C(4,3,2) , D(4,-1,2)
1/. Ch ng minh : A,B,C,D ng ph ng .
2/. G i A/ là hình chi u vuông góc c a A trên mp(Oxy) , Vi t pt m t c u (S) qua A/ ,B,C,D
áp s : A/(1,-1,0) ; ptmc(S) : x2+y2+z2 -5x -2y -2z +1 = 0
/
3/. Vi t pt ti p di n c a (S) t i A .
áp s : α : 3x+4y+2z+1=0
Bài 2: Cho 4 i m : A,B,C,D bi t A(2,4,-1) , OB = i + 4 j − k , C(2,4,3) , OD = 2i + 2 j − k
1/. Ch ng minh : AB ⊥ AC ; AC ⊥ AD ; AD ⊥ AB . Tính th tích kh i t di n ABCD.
áp s : V= 4/3
2/. Vi t pt tham s c a ư ng vuông góc chung ∆ c a 2 t AB và CD . Tính góc ϕ gi a ∆ và
(ABD).
1
áp s : a∆ =  AB, CD  = ( 0, −4, 2 ) ; sin ϕ =
  5
3/. Vi t pt mc (S) qua A , B, C, D . Vi t pt ti p di n α c a (S) song song v i (ABD)
21 21
áp s : (S) : x2+y2+z2 -3x -6y -2z +7 = 0 ; α 1: z + − 1 =0 ; α 2: z - − 1 =0
2 2
Nguy n Ng c Phúc -0918 919 247 19

20. TT Gia Sư c Trí –http://giasuductri.edu.vn
x y z −1
Bài 3: Cho mp α : x+y+z-1=0 và t d : = =
1 1 −1
1/. Tính th tích kh i t di n ABCD v i A,B,C là giao i m c a α v i Ox ,Oy ,Oz và D =
d ∩ ( Oxy )
áp s : V = 1/6
2/. Vi t pt mc (S) qua A,B,C,D , tìm to tâm I/ và bán kính R/ c a ư ng tròn giao tuy n c a
(S) v i mp (ACD).
 1 1 1  3
áp s : (S) : x2+y2+z2 -x -y -z = 0 ; I/  , ,  ; R / =
 2 2 2  2
Bài 4: cho A(3,-2,-2) và mp α : x+2y+3z-7 = 0
1/. Vi t pt mc (S) tâm A và ti p xúc v i α , tìm to ti p i m H c a (S) và α .
áp s : (S) : (x-3)2+(y+2)2+(z+2)2 = 14 ; H(4,0,1)
2/. Xét v trí tương i c a (S) v i mp(Oyz) .
áp s : (S) c t mp(Oyz)
Bài 5: Cho mp α : 2x-2y-z+9=0 và mc(S) : x2+y2+z2 -6x +4y -2z-86 = 0
1/. Tìm to tâm I , tính bán kính R c a (S) .
áp s : I(3,-2,1) ; R = 10
2/. Ch ng minh α c t (S) , vi t pt ư ng tròn giao tuy n (C) c a α và (S).Tìm to tâm I/ , bán
/
kính R c a ( C ) .
áp s : R/ =8 ; I/ (-1,2,3)
Bài 6: Cho mc(S) : (x-5)2+(y+1)2+(z+13)2 = 77 và 2 t
 x = 1 + 3t
x + 5 y − 4 z − 13 
d1 : = = d2:  y = −1 − 2t
2 −3 2 z = 4

Vi t pt mp α ti p xúc v i (S) và α song song v i d1 và d2.
4 x + 6 y + 5 z + 128 = 0
áp s :
4 x + 6 y + 5 z − 26 = 0
*V N 21: CÁCH VI T PT Ư NG VUÔNG GÓC CHUNG d
C A 2 Ư NG CHÉO NHAU d1 , d2
d1 có vtcp a ,d2 có vtcp b
• L y i m A ∈ d1 ⇒ t a i m A theo t1
• L y i m B ∈ d2 ⇒ t a i m B theo t2
 AB ⊥ a
  AB.a = 0

• AB là ư ng vuông góc chung ⇔  ⇔
 AB ⊥ b
  AB.b = 0

• Gi i h trên ta tìm ư c t1 và t2 ⇒ t a A và B
• Vi t phương trình ư ng th ng AB.
x = 3 − t
 x − 2 y − 4 z −1
Bài 1: Cho 2 ư ng th ng : d1:  y = 1 + 2t và d2 : = =
 z = −2 + 2t 3 −1 −2

Vi t pt ư ng vuông góc chung c a d1 và d2.
x = t x = t
 
Bài 2: Cho 2 ư ng th ng : d1:  y = −1 + 2t và d2 :  y = 1 − 2t
z = t  z = 3t
 
1/. Ch ng minh : d1 ⊥ d 2 và d1 chéo d2.
2/. Vi t pt ư ng vuông góc chung c a d1 và d2.
Nguy n Ng c Phúc -0918 919 247 20