1. Escola Santíssima Trinitat 1r de Batxillerat Científic-Tecnològic
Pràctica de Matemàtiques Funcions exponencials i logarítmiques
REFREDAMENT DE SUBSTÀNCIES 1a part: Presa de dades al laboratori
1. Introducció
La finalitat d’aquesta pràctica és la de veure com les Matemàtiques ajuden a altres
Ciències a trobar models que puguin explicar determinats fenòmens i predir el seu
comportament al variar les condicions inicials.
En aquest cas estudiarem com es refreda una determinada substància i demostrarem
que, sota unes determinades condicions, existeix una relació funcional entre el temps
que passa des que deixem d’aplicar calor i la temperatura de la disolució. De fet,
veurem que la funció que relaciona ambdues variables és exponencial, l’equació de la
qual és:
T=f(t)=A·Bt+C
on T (ºC) és la temperatura a l’instant t (s).
Es tracta, doncs, de determinar experimentalment els valors dels paràmetres A, B i C.
2. Disseny, preparació i execució de la pràctica
El disseny i preparació serà a càrrec de la professora de Química, Carme Alcalà.
Farem servir naftalina en disolució. Cada grup tindrà una quantitat diferent de
substància.
En primer lloc anoteu la temperatura ambient: ___________
Indiqueu el pes de la quantiat de substància del vostre grup: __________
Un cop la naftalina assoleixi la temperatura d’ebullició, realitzarem el procés de mesura
a intervals d’un minut. Anoteu les dades en les taules següents:
t
T
t
T
t
T
Activitat emmarcada dins de
les 2es jornades científiques

2. REFREDAMENT DE SUBSTÀNCIES 2a part: Modelització
3. Introducció i manipulació de les dades
Fareu servir un full de càlcul, com l’Excel, per introduir i manipular les dades
obtingudes al laboratori. Ompliu les tres primeres columnes:
- 1a columna: els valors de la variable independent (temps en minuts)
- 2a columna: els valors de la variable dependent (Temperatura en ºC)
- 3a columna: rectificació de la temperatura per convertir la funció
exponencial en funció afí:
T=f(t)=A·Bt+C
C= Tambient
T=A·Bt+Tambient
ln(T-Tambient)=ln(A·Bt)=ln(A)+ln(Bt)=ln(A)+t·ln(B)
n=ln(A) i m=ln(B) són nombres reals
g(t)=ln(T-Tambient)=n+t·m és una funció afí
A B C
1 t (independent) T=f(t)(dependent) g(t)=ln(T-Tambient)
2 ... ... ...
3 ... ... ...
... ... ... ...
4. Representació gràfica i interpretació
Feu una gràfica del tipus “Dispersión XY”, on la columna A sigui la variable X i la
columna B la dependent.
Interpreteu la gràfica obtinguda:_____________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Feu una altra gràfica del tipus “Dispersión XY”, on la columna A sigui la variable X i la
columna C la dependent.
Interpreteu la gràfica obtinguda:_____________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
2

3. Escola Santíssima Trinitat 1r de Batxillerat Científic-Tecnològic
Pràctica de Matemàtiques Funcions exponencials i logarítmiques
5. Determinació del model
Com podreu veure a la última gràfica, aquesta és, bàsicament, una composició de tres
funcions afins. Es tracta de trobar les equacions d’aquestes de la següent manera:
- Observeu la gràfica i seleccioneu aquells trossos de la gràfica que són “més
rectes”.
- Feu una gràfica independent per a cada tros a partir de les dades de les
columnes A i C.
- A cada gràfica seleccioneu la opció del menú “GráficoAgregar línea de
tendencia”. Seleccioneu la tendencia “Lineal”. A la pestanya “Opciones”
seleccioneu la opció “...ecuación...” i “...R2...”. Cliqueu en “Aceptar”.
- Us haurà d’apareixer una línea més o menys ajustada a la que ja tenieu. Si no
s’ajusta massa potser o perquè no hey agafat “el tros recte adequat” o perquè
l’escala de l’eix d’ordenades és massa petita. En aquest últim cas, feu-la
major.
- El paràmetre R2 és un nombre entre 0 i 1. Quant més a prop estigui d’1
millor serà la selecció que haurem fet. Però si el tros seleccionat és
horitzontal (paral·lel a l’eix d’abscisses), R2=0, encara que la recta s’ajusti
molt a les dades experimentals.
- Anoteu les equacions de cadascun dels trossos seleccionats.
Ara cal que desfeu el canvi per convertir la función exponencial en afí, per tant cal
aplicar la funció inversa del logaritme neperià: la funció exponencial ex:
g(t)=ln(T-Tambient)=n+t·m
eg(t)=eln(T-Tambient)=T-Tambient (1)
eg(t)=en+t·m=en·et·m=en·em·t=en·(em)t (2)
igualant (1) i (2) tenim
T-Tambient=en·(em)t
T=f(t)=en·(em)t+Tambient=A·Bt
per tant,
A=en i B=em
Feu aquest procediment per a cadascun del trossos i equacions trobades i indiqueu en
quin interval s’ha d’aplicar cada funció:
T=f(t) interval

4. REFREDAMENT DE SUBSTÀNCIES 3a part: Avaluació del model
1. Càlcul de l’error mitjà del model
Una de les maneres de comprovar si el model determinat s’ajusta bé a la realitat de les
dades obtingudes experimentalment, és tornar a repetir l’experiment i intentar predir el
que passarà en cada moment. En quines condicions caldria repetir-lo per tal d’obtenir
resultats similars? ________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Una altra manera és comparar les dades obtingudes experimentalment amb les que
podem obtenir del model. Per portar a terme aquesta comparació cal que calculeu les
imatges de la funció anterior pels valors de temps que van obtenir de l’experiment:
- Feu aquests càlculs a la columna D a partir de les fórmules que heu trobat en
la 2a part.
- A la columna E calculeu la diferència, en valor absolut, entre les dades reals
(columna B) i les dades modelades (columna D).
- A la cel·la F1 calculeu el promig dels valors de la columna E (feu servir la
funció d’Excel PROMEDIO). Aquest serà l’error mitjà, anoteu-lo:_________
- Feu, a sobre del primer gràfic que vas dissenyar a la 2a part, un altre gràfic
amb la columna A com a variable independent i la columna D com a
dependent. Com són aquests dos gràfics? _____________________________
______________________________________________________________
Interpreteu-los__________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
Anoteu les conclussions que pugueu treure d’aquesta 3a part: ______________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
4