Seminar Fortgeschrittene Konzepte der Programmierung SS 2008, Universität Bayreuth Vortrag am 23.06.2008 Martin Klinke

1. Planaritätsalgorithmus nach Demoucron,
Malgrange und Pertuiset
Seminar Fortgeschrittene Konzepte der Programmierung
SS 2008, Universität Bayreuth
Vortrag am 23.06.2008
Martin Klinke

2. 1 2 3 4 2
Inhalt
1.Was bedeutet Planarität anschaulich?
2.Motivation: Warum mit Planarität beschäftigen?
3.Kriterien für Planarität
4.Algorithmus zur Erkennung und Einbettung von
planaren Graphen

3. 1 2 3 4
Was bedeutet Planarität anschaulich?

4. 1 2 3 4 4
[2]
Ein planarer ... lässt sich in der Ebene
zeichnen, ohne dass sich
Graph... Kanten überschneiden.

5. 1 2 3 4 5
[2]
Nicht-planare ... lassen sich dagegen nicht
ohne Überschneidungen in der
Graphen... Ebene zeichnen.

6. 1 2 3 4
Motivation: Warum mit Planarität
beschäftigen?

7. 1 2 3 4 7
Anwendungen von Planarität
[3]
[4]

8. 1 2 3 4 7
Anwendungen von Planarität
•Entwurf elektrischer
Schaltkreise
[3]
[4]

9. 1 2 3 4 7
Anwendungen von Planarität
•Entwurf elektrischer
Schaltkreise
[3]
[4]

10. 1 2 3 4 7
Anwendungen von Planarität
•Entwurf elektrischer
Schaltkreise
[3]
•Übersichtliche
Darstellung von
Abläufen, z.B.
Programmen,
Projektaufgaben
[4]

11. 1 2 3 4 7
Anwendungen von Planarität
•Entwurf elektrischer
Schaltkreise
[3]
•Übersichtliche
Darstellung von
Abläufen, z.B.
Programmen,
Projektaufgaben
[4]

12. 1 2 3 4 8
Anwendungen von Planarität
Häuser
Gas Wasser Strom

13. 1 2 3 4 8
Anwendungen von Planarität
•Menschen zu Häuser
beschäftigen:
Verbinde jedes Haus
mit Gas, Wasser und
Strom, ohne dass sich
die Leitungen
kreuzen... Gas Wasser Strom

14. 1 2 3 4 8
Anwendungen von Planarität
•Menschen zu Häuser
beschäftigen:
Verbinde jedes Haus
mit Gas, Wasser und
Strom, ohne dass sich
die Leitungen
kreuzen... Gas Wasser Strom

15. 1 2 3 4 8
Anwendungen von Planarität
•Menschen zu Häuser
beschäftigen:
Verbinde jedes Haus
mit Gas, Wasser und
Strom, ohne dass sich
die Leitungen
kreuzen... Gas Wasser Strom

16. 1 2 3 4 8
Anwendungen von Planarität
•Menschen zu Häuser
beschäftigen:
Verbinde jedes Haus
mit Gas, Wasser und
Strom, ohne dass sich
die Leitungen
kreuzen... Gas Wasser Strom

17. 1 2 3 4 8
Anwendungen von Planarität
•Menschen zu Häuser
beschäftigen:
Verbinde jedes Haus
mit Gas, Wasser und
Strom, ohne dass sich
die Leitungen
kreuzen... Gas Wasser Strom

18. 1 2 3 4 8
Anwendungen von Planarität
•Menschen zu Häuser
beschäftigen:
Verbinde jedes Haus
mit Gas, Wasser und
Strom, ohne dass sich
die Leitungen
kreuzen... Gas Wasser Strom

19. 1 2 3 4 8
Anwendungen von Planarität
•Menschen zu Häuser
beschäftigen:
Verbinde jedes Haus
mit Gas, Wasser und
Strom, ohne dass sich
die Leitungen
kreuzen... Gas Wasser Strom

20. 1 2 3 4 8
Anwendungen von Planarität
•Menschen zu Häuser
beschäftigen:
Verbinde jedes Haus
mit Gas, Wasser und
Strom, ohne dass sich
die Leitungen
kreuzen... Gas Wasser Strom

21. 1 2 3 4 8
Anwendungen von Planarität
•Menschen zu Häuser
beschäftigen:
Verbinde jedes Haus
mit Gas, Wasser und
Strom, ohne dass sich
die Leitungen
kreuzen... Gas Wasser Strom

22. 1 2 3 4 8
Anwendungen von Planarität
•Menschen zu Häuser
beschäftigen:
Verbinde jedes Haus
mit Gas, Wasser und
Strom, ohne dass sich
die Leitungen
kreuzen... Gas Wasser Strom

23. 1 2 3 4
Kriterien für Planarität

24. 1 2 3 4 10
Definition: Graph
•Ein Graph G wird durch zwei Mengen beschrieben [5]:
•Knotenmenge V = {v1, v2, ..., vn}
•Kantenmenge E ⊆ V2
•Hier nur Betrachtung von
•schlichten ungerichteten und
•zweifach zusammenhängenden Graphen

25. 1 2 3 4 11
Definition: Inzidenz, Adjazenz
•Ein Knoten v und eine Kante e = (u, v) sind
zueinander inzident.
•Zwei Kanten e = (u, v) und f = (v, w) sind zueinander
adjazent.
•Zwei Knoten u, v sind zueinander adjazent, wenn
die Kante (u,v) existiert.

26. 1 2 3 4 12
Definition: Einbettung
• Nach [1]: Ein Graph G ist einbettbar in einen Raum L, wenn
eine Abbildung der Knoten und Kanten von G auf Punkte
und Jordan-Kurven von L existiert, so dass gilt:
• verschiedene Knoten werden auf verschiedene Punkte
abgebildet;
• wenn ein Knoten inzident zu einer Kante ist, dann ist das
Abbild des Knotens ein Endpunkt des Abbildes der
Kante;
• nicht-adjazente Kanten von G werden auf Kurven
abgebildet, die sich nicht schneiden;
• adjazente Kanten werden auf Kurven abgebildet, die
sich nur in einem Punkt schneiden; dieser Punkt
entspricht dem Knoten, der Teil beider Kanten ist.

27. 1 2 3 4 13
Stereographische Projektion
•Ein Graph ist genau dann planar, wenn er in eine
Kugeloberfläche eingebettet werden kann.
[1]

28. 1 2 3 4 13
Stereographische Projektion
•Ein Graph ist genau dann planar, wenn er in eine
Kugeloberfläche eingebettet werden kann.
N
v
v‘
[1]

29. 1 2 3 4 14
Euler-Formel - 1
•Nach Eulers Theorem (1758) [1] gilt für jeden
zusammenhängenden planaren Graphen die Formel
n - m + f = 2.
•n: Anzahl Knoten
•m: Anzahl Kanten
•f: Anzahl Flächen

30. 1 2 3 4 15
Euler-Formel - 2
•Für jeden zusammenhängenden planaren (n,m)-
Graphen G mit n ≥ 3 gilt die Ungleichung
m ≤ 3n - 6.

31. 1 2 3 4 16
K5
K5

32. 1 2 3 4 16
K5
•K5 ist nicht planar
K5

33. 1 2 3 4 16
K5
•K5 ist nicht planar
•n=5, m=10
m ≤ 3n - 6
10 ≤ 9 ✘
K5

34. 1 2 3 4 17
K3,3
K3,3

35. 1 2 3 4 17
K3,3
•K3,3 ist nicht planar
K3,3

36. 1 2 3 4 17
K3,3
•K3,3 ist nicht planar
•n=6, m=9
m ≤ 3n - 6
bzw. 9 ≤ 12 ✔
f=5
K3,3

37. 1 2 3 4 17
K3,3
•K3,3 ist nicht planar
•n=6, m=9
m ≤ 3n - 6
bzw. 9 ≤ 12 ✔
f=5
•Bipartit jede K3,3
Fläche muss von
mind. 4 Kanten
berandet sein
2m ≥ 4f
bzw. 18 ≥ 20 ✘

38. 1 2 3 4
Algorithmus zur Erkennung und
Einbettung von planaren Graphen

39. 1 2 3 4 19
[1]
Ein Graph G und seine
Begrifflichkeiten Fragmente S1 bis S6 bzgl. eines
Subgraphen G‘

40. 1 2 3 4 19
9 10 11
G 1 2 3 4 5
8 7 6
[1]
Ein Graph G und seine
Begrifflichkeiten Fragmente S1 bis S6 bzgl. eines
Subgraphen G‘

41. 1 2 3 4 19
9 10 11 F1
1 2 3 4 5
G 1 2 3 4 5 G‘
F2
8 7 6 8 7 6
[1]
Ein Graph G und seine
Begrifflichkeiten Fragmente S1 bis S6 bzgl. eines
Subgraphen G‘

42. 1 2 3 4 19
9 10 11 F1
1 2 3 4 5
G 1 2 3 4 5 G‘
F2
8 7 6 8 7 6
9 10 11 2 1 2 4
1 2 3 4 3 5 6 8 7 6 6
S1 S2 S3 S4 S5 S6
[1]
Ein Graph G und seine
Begrifflichkeiten Fragmente S1 bis S6 bzgl. eines
Subgraphen G‘

43. 1 2 3 4 20
Definition: Fragment
•Nach [1]: Als Fragment S bzgl. G‘ bezeichnet man einen
Subgraphen von G, bei dem es sich um einen der
beiden folgenden Typen handelt:
•Eine Kante e = (u, v) ∈ E(G), so dass e ∉ E(G‘) und
u, v ∈ V(G‘).
•Eine Zusammenhangskomponente von G - G‘ die
durch alle Kanten (und ihre Enden) von G, die die
Komponente mit G verbinden, erweitert wird.

44. 1 2 3 4 21
Definition: Kontaktknoten
•Nach [1]: Ein Knoten
v eines Fragments S 9 10
bzgl. G‘ wird als
S
Kontaktknoten
1 2 3 4
bezeichnet, wenn v
∈ V(G‘).
1 2 3 4 5
G‘
8 7 6

45. 1 2 3 4 21
Definition: Kontaktknoten
•Nach [1]: Ein Knoten
v eines Fragments S 9 10
bzgl. G‘ wird als
S
Kontaktknoten
1 2 3 4
bezeichnet, wenn v
∈ V(G‘).
1 2 3 4 5
G‘
8 7 6

46. 1 2 3 4 22
Definition: α-Pfad
•Nach [1]: Einfacher
Pfad L des Fragments
S,
•der zwei
verschiedene 9 10
Kontaktknoten S
verbindet und 1 2 3 4
•keine weiteren
Kontaktknoten
enthält.

47. 1 2 3 4 23
Definition: Zulässige Fläche
•Nach [1]: Eine
zulässige Fläche für 9 10
ein Fragment S S
bzgl. G‘ ist eine 1 2 3 4
Fläche von G‘, die
11
alle Kontaktknoten F1 F3
von S enthält. 1 2 3 4 5 F4
G‘
F2
•F(S): Menge aller
8 7 6
zulässigen Flächen
für S

48. 1 2 3 4 23
Definition: Zulässige Fläche
•Nach [1]: Eine
zulässige Fläche für 9 10
ein Fragment S S
bzgl. G‘ ist eine 1 2 3 4
Fläche von G‘, die
11
alle Kontaktknoten F1 F3
von S enthält. 1 2 3 4 5 F4
G‘
F2
•F(S): Menge aller
8 7 6
zulässigen Flächen
für S

49. 1 2 3 4 24
Konkurrierende Fragmente
•Nach [1]: Zwei Fragmente S1 und S2 werden als
konkurrierend bezeichnet, wenn
•θ = F(S1) ∩ F(S2) ≠ ∅ und
•zwei α-Pfade L1 ∈ S1, L2 ∈ S2 existieren, die nicht
gleichzeitig in jede Fläche aus θ eingebettet werden
können.

50. 1 2 3 4 25
Der Algorithmus...
•basiert auf den Ideen von Demoucron, Malgrange und
Pertuiset von 1964
•kann nicht nur auf Planarität testen, sondern liefert
eine planare Einbettung, falls möglich
•arbeitet inkrementell

51. 1 2 3 4 26
Algorithmus nach Demoucron [1]

52. 1 2 3 4 26
Algorithmus nach Demoucron [1]
1. Wähle einfachen Kreis C aus G und bette ihn in die Ebene ein,
setze G‘ = C

53. 1 2 3 4 26
Algorithmus nach Demoucron [1]
1. Wähle einfachen Kreis C aus G und bette ihn in die Ebene ein,
setze G‘ = C
2. Suche Flächen von G‘ und Fragmente bzgl. G‘. Wenn keine
Fragmente vorhanden, dann G‘ ≅ G, d.h. G eingebettet Ende

54. 1 2 3 4 26
Algorithmus nach Demoucron [1]
1. Wähle einfachen Kreis C aus G und bette ihn in die Ebene ein,
setze G‘ = C
2. Suche Flächen von G‘ und Fragmente bzgl. G‘. Wenn keine
Fragmente vorhanden, dann G‘ ≅ G, d.h. G eingebettet Ende
3. Existiert ein Fragment S ohne zulässige Fläche, dann ist G nicht-
planar Ende

55. 1 2 3 4 26
Algorithmus nach Demoucron [1]
1. Wähle einfachen Kreis C aus G und bette ihn in die Ebene ein,
setze G‘ = C
2. Suche Flächen von G‘ und Fragmente bzgl. G‘. Wenn keine
Fragmente vorhanden, dann G‘ ≅ G, d.h. G eingebettet Ende
3. Existiert ein Fragment S ohne zulässige Fläche, dann ist G nicht-
planar Ende
4. Existiert ein Fragment S mit einer einzigen zulässigen Fläche F,
dann zu Schritt 6, ansonsten zu Schritt 5

56. 1 2 3 4 26
Algorithmus nach Demoucron [1]
1. Wähle einfachen Kreis C aus G und bette ihn in die Ebene ein,
setze G‘ = C
2. Suche Flächen von G‘ und Fragmente bzgl. G‘. Wenn keine
Fragmente vorhanden, dann G‘ ≅ G, d.h. G eingebettet Ende
3. Existiert ein Fragment S ohne zulässige Fläche, dann ist G nicht-
planar Ende
4. Existiert ein Fragment S mit einer einzigen zulässigen Fläche F,
dann zu Schritt 6, ansonsten zu Schritt 5
5. Wähle ein beliebiges Fragment S und davon eine beliebige
zulässige Fläche F

57. 1 2 3 4 26
Algorithmus nach Demoucron [1]
1. Wähle einfachen Kreis C aus G und bette ihn in die Ebene ein,
setze G‘ = C
2. Suche Flächen von G‘ und Fragmente bzgl. G‘. Wenn keine
Fragmente vorhanden, dann G‘ ≅ G, d.h. G eingebettet Ende
3. Existiert ein Fragment S ohne zulässige Fläche, dann ist G nicht-
planar Ende
4. Existiert ein Fragment S mit einer einzigen zulässigen Fläche F,
dann zu Schritt 6, ansonsten zu Schritt 5
5. Wähle ein beliebiges Fragment S und davon eine beliebige
zulässige Fläche F
6. Bette einen beliebigen α-Pfad L von S in F ein und ersetze G‘
durch G‘ ∪ L; gehe zu Schritt 2

58. 1 2 3 4 27
Beispiel
•Durchlauf des
Algorithmus anhand
des dargestellten G
Ausgangsgraphen G 1 2
•Das Format für die 5 6
Darstellung der
Zwischenschritte 4 3
stammt aus [6].

59. 1 2 3 4 28
zulässige
G‘ Flächen Fragmente
Flächen
1 6
F1={∞, 456} 4 2 3 F(S1)={F1, F2}
5 6
F2={456} F(S2)={F1, F2}
4 5 6
F1={∞, 456} 2 3
5 6 F2={1456} F(S1)={F1, F2}
1
F3={164} 5 6
4

60. 1 2 3 4 29
zulässige
G‘ Flächen Fragmente
Flächen
2
F1={∞, 2654} 2 3
5 6 F2={265}
F(S1)={F1, F2}
1 F3={1465}
F4={164} 5
4
3 2
5 6
1
4

61. 1 2 3 4 30
Aufwand
•Der Algorithmus nach Demoucron kann bestenfalls mit
quadratischer Zeitkomplexität (O(n2)) implementiert
werden. [5]
•Es existieren andere Algorithmen, die das Problem mit
linearem Aufwand lösen.

62. 1 2 3 4 31
Quellen
1.Lectures on Graph Theory, O. Melnikov, BI Wissenschaftsverlag 1994
2.http://cgm.cs.mcgill.ca/~athens/cs507/Projects/2004/Andrew-King/
507planar.html, letzter Abruf: 08.06.2008
3.http://flickr.com/photos/hinkelstone/2435823037/, letzter Abruf:
08.06.2008
4.http://blog.keelit.com/2007/04/12/, letzter Abruf: 08.06.2008
5.http://www.user.fh-stralsund.de/~pscheff/KonflikteVermeiden.pdf,
letzter Abruf: 22.06.2008
6.http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/EWS/demoucron.pdf, letzter
Abruf: 22.06.2008

63. 1 2 3 4
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!
Seminar Fortgeschrittene Konzepte der Programmierung
SS 2008, Universität Bayreuth
Vortrag am 23.06.2008
Martin Klinke

64. 1 2 3 4
Fragen?