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Planaritätsalgorithmus nach Demoucron,
Malgrange und Pertuiset
Seminar Fortgeschrittene Konzepte der Programmierung
SS 2008, Universität Bayreuth

Vortrag am 23.06.2008
Martin Klinke
1            2   3       4         2



Inhalt
1.Was bedeutet Planarität anschaulich?

2.Motivation: Warum mit Planarität beschäftigen?

3.Kriterien für Planarität

4.Algorithmus zur Erkennung und Einbettung von
 planaren Graphen
1     2     3     4




Was bedeutet Planarität anschaulich?
1      2         3         4               4




                                             [2]




Ein planarer   ... lässt sich in der Ebene
               zeichnen, ohne dass sich
    Graph...   Kanten überschneiden.
1     2        3        4                 5




                                            [2]




Nicht-planare   ... lassen sich dagegen nicht
                ohne Überschneidungen in der
   Graphen...   Ebene zeichnen.
1     2     3      4




Motivation: Warum mit Planarität
beschäftigen?
1     2     3       4   7



Anwendungen von Planarität




                                 [3]




                                 [4]
1         2   3   4   7



Anwendungen von Planarität
•Entwurf elektrischer
 Schaltkreise



                                    [3]




                                    [4]
1         2   3   4   7



Anwendungen von Planarität
•Entwurf elektrischer
 Schaltkreise



                                    [3]




                                    [4]
1         2   3   4   7



Anwendungen von Planarität
•Entwurf elektrischer
 Schaltkreise



                                    [3]

•Übersichtliche
 Darstellung von
 Abläufen, z.B.
 Programmen,
 Projektaufgaben
                                    [4]
1         2   3   4   7



Anwendungen von Planarität
•Entwurf elektrischer
 Schaltkreise



                                    [3]

•Übersichtliche
 Darstellung von
 Abläufen, z.B.
 Programmen,
 Projektaufgaben
                                    [4]
1     2     3       4            8



Anwendungen von Planarität


                           Häuser




                     Gas   Wasser Strom
1       2   3       4            8



Anwendungen von Planarität


•Menschen zu                   Häuser
 beschäftigen:
 Verbinde jedes Haus
 mit Gas, Wasser und
 Strom, ohne dass sich
 die Leitungen
 kreuzen...              Gas   Wasser Strom
1       2   3       4            8



Anwendungen von Planarität


•Menschen zu                   Häuser
 beschäftigen:
 Verbinde jedes Haus
 mit Gas, Wasser und
 Strom, ohne dass sich
 die Leitungen
 kreuzen...              Gas   Wasser Strom
1       2   3       4            8



Anwendungen von Planarität


•Menschen zu                   Häuser
 beschäftigen:
 Verbinde jedes Haus
 mit Gas, Wasser und
 Strom, ohne dass sich
 die Leitungen
 kreuzen...              Gas   Wasser Strom
1       2   3       4            8



Anwendungen von Planarität


•Menschen zu                   Häuser
 beschäftigen:
 Verbinde jedes Haus
 mit Gas, Wasser und
 Strom, ohne dass sich
 die Leitungen
 kreuzen...              Gas   Wasser Strom
1       2   3       4            8



Anwendungen von Planarität


•Menschen zu                   Häuser
 beschäftigen:
 Verbinde jedes Haus
 mit Gas, Wasser und
 Strom, ohne dass sich
 die Leitungen
 kreuzen...              Gas   Wasser Strom
1       2   3       4            8



Anwendungen von Planarität


•Menschen zu                   Häuser
 beschäftigen:
 Verbinde jedes Haus
 mit Gas, Wasser und
 Strom, ohne dass sich
 die Leitungen
 kreuzen...              Gas   Wasser Strom
1       2   3       4            8



Anwendungen von Planarität


•Menschen zu                   Häuser
 beschäftigen:
 Verbinde jedes Haus
 mit Gas, Wasser und
 Strom, ohne dass sich
 die Leitungen
 kreuzen...              Gas   Wasser Strom
1       2   3       4            8



Anwendungen von Planarität


•Menschen zu                   Häuser
 beschäftigen:
 Verbinde jedes Haus
 mit Gas, Wasser und
 Strom, ohne dass sich
 die Leitungen
 kreuzen...              Gas   Wasser Strom
1       2   3       4            8



Anwendungen von Planarität


•Menschen zu                   Häuser
 beschäftigen:
 Verbinde jedes Haus
 mit Gas, Wasser und
 Strom, ohne dass sich
 die Leitungen
 kreuzen...              Gas   Wasser Strom
1       2   3       4            8



Anwendungen von Planarität


•Menschen zu                   Häuser
 beschäftigen:
 Verbinde jedes Haus
 mit Gas, Wasser und
 Strom, ohne dass sich
 die Leitungen
 kreuzen...              Gas   Wasser Strom
1       2       3   4




Kriterien für Planarität
1         2        3     4               10



Definition: Graph
•Ein Graph G wird durch zwei Mengen beschrieben [5]:

  •Knotenmenge V = {v1, v2, ..., vn}

  •Kantenmenge E ⊆ V2

•Hier nur Betrachtung von

  •schlichten ungerichteten und

  •zweifach zusammenhängenden Graphen
1        2        3        4                 11



Definition: Inzidenz, Adjazenz
 •Ein Knoten v und eine Kante e = (u, v) sind
  zueinander inzident.

 •Zwei Kanten e = (u, v) und f = (v, w) sind zueinander
  adjazent.

 •Zwei Knoten u, v sind zueinander adjazent, wenn
  die Kante (u,v) existiert.
1          2         3         4                12



Definition: Einbettung
 • Nach [1]: Ein Graph G ist einbettbar in einen Raum L, wenn
   eine Abbildung der Knoten und Kanten von G auf Punkte
   und Jordan-Kurven von L existiert, so dass gilt:
    • verschiedene Knoten werden auf verschiedene Punkte
      abgebildet;
    • wenn ein Knoten inzident zu einer Kante ist, dann ist das
      Abbild des Knotens ein Endpunkt des Abbildes der
      Kante;
    • nicht-adjazente Kanten von G werden auf Kurven
      abgebildet, die sich nicht schneiden;
    • adjazente Kanten werden auf Kurven abgebildet, die
      sich nur in einem Punkt schneiden; dieser Punkt
      entspricht dem Knoten, der Teil beider Kanten ist.
1        2        3        4            13



Stereographische Projektion
 •Ein Graph ist genau dann planar, wenn er in eine
  Kugeloberfläche eingebettet werden kann.




                                            [1]
1        2        3          4          13



Stereographische Projektion
 •Ein Graph ist genau dann planar, wenn er in eine
  Kugeloberfläche eingebettet werden kann.

                          N


                               v




                                     v‘

                                              [1]
1        2     3       4            14



Euler-Formel - 1
•Nach Eulers Theorem (1758) [1] gilt für jeden
 zusammenhängenden planaren Graphen die Formel
 n - m + f = 2.

 •n: Anzahl Knoten

 •m: Anzahl Kanten

 •f: Anzahl Flächen
1       2       3       4           15



Euler-Formel - 2
 •Für jeden zusammenhängenden planaren (n,m)-
  Graphen G mit n ≥ 3 gilt die Ungleichung
  m ≤ 3n - 6.
1   2   3   4        16



K5




                     K5
1         2   3   4        16



K5
 •K5 ist nicht planar




                                    K5
1        2   3   4        16



K5
 •K5 ist nicht planar

 •n=5, m=10
  m ≤ 3n - 6
  10 ≤ 9 ✘
                                    K5
1   2   3   4          17



K3,3




                       K3,3
1           2   3   4          17



K3,3
 •K3,3 ist nicht planar




                                      K3,3
1           2   3   4          17



K3,3
 •K3,3 ist nicht planar
 •n=6, m=9
  m ≤ 3n - 6
  bzw. 9 ≤ 12 ✔
     f=5
                                      K3,3
1           2   3   4          17



K3,3
 •K3,3 ist nicht planar
 •n=6, m=9
  m ≤ 3n - 6
  bzw. 9 ≤ 12 ✔
     f=5
 •Bipartit   jede                     K3,3

  Fläche muss von
  mind. 4 Kanten
  berandet sein
     2m ≥ 4f
  bzw. 18 ≥ 20 ✘
1     2    3     4




Algorithmus zur Erkennung und
Einbettung von planaren Graphen
1      2        3        4                19




                                            [1]

                   Ein Graph G und seine
Begrifflichkeiten   Fragmente S1 bis S6 bzgl. eines
                   Subgraphen G‘
1                 2         3        4                19


           9 10              11



   G   1   2       3   4 5


       8       7         6




                                                           [1]

                                  Ein Graph G und seine
Begrifflichkeiten                  Fragmente S1 bis S6 bzgl. eines
                                  Subgraphen G‘
1                 2         3                   4                  19


           9 10              11                    F1
                                           1   2       3   4 5
   G   1   2       3   4 5                                         G‘
                                                   F2

       8       7         6                 8       7           6




                                                                        [1]

                                  Ein Graph G und seine
Begrifflichkeiten                  Fragmente S1 bis S6 bzgl. eines
                                  Subgraphen G‘
1                 2                3                    4                       19


                9 10                  11                        F1
                                                       1   2        3   4 5
   G       1    2       3   4 5                                                      G‘
                                                                F2

           8        7         6                        8        7            6


           9 10                   11           2           1            2        4



       1   2    3       4    3    5        6   8           7            6        6
           S1                     S2           S3          S4           S5       S6
                                                                                          [1]

                                           Ein Graph G und seine
Begrifflichkeiten                           Fragmente S1 bis S6 bzgl. eines
                                           Subgraphen G‘
1        2        3         4              20



Definition: Fragment
•Nach [1]: Als Fragment S bzgl. G‘ bezeichnet man einen
 Subgraphen von G, bei dem es sich um einen der
 beiden folgenden Typen handelt:

  •Eine Kante e = (u, v) ∈ E(G), so dass e ∉ E(G‘) und
   u, v ∈ V(G‘).

  •Eine Zusammenhangskomponente von G - G‘ die
   durch alle Kanten (und ihre Enden) von G, die die
   Komponente mit G verbinden, erweitert wird.
1        2   3       4                        21



Definition: Kontaktknoten
 •Nach [1]: Ein Knoten
  v eines Fragments S            9 10
  bzgl. G‘ wird als
                                                     S
  Kontaktknoten
                             1   2       3   4
  bezeichnet, wenn v
  ∈ V(G‘).
                             1   2       3   4 5

                                                     G‘

                             8       7           6
1        2   3       4                        21



Definition: Kontaktknoten
 •Nach [1]: Ein Knoten
  v eines Fragments S            9 10
  bzgl. G‘ wird als
                                                     S
  Kontaktknoten
                             1   2       3   4
  bezeichnet, wenn v
  ∈ V(G‘).
                             1   2       3   4 5

                                                     G‘

                             8       7           6
1          2   3           4           22



Definition: α-Pfad
•Nach [1]: Einfacher
 Pfad L des Fragments
 S,
 •der zwei
  verschiedene                      9 10

  Kontaktknoten                                 S
  verbindet und                 1   2   3   4

 •keine weiteren
  Kontaktknoten
  enthält.
1         2   3               4                     23



Definition: Zulässige Fläche
 •Nach [1]: Eine
  zulässige Fläche für             9 10
  ein Fragment S                                             S
  bzgl. G‘ ist eine            1   2       3   4
  Fläche von G‘, die
                                                        11
  alle Kontaktknoten                   F1          F3

  von S enthält.               1   2       3   4 5       F4

                                                         G‘
                                       F2
 •F(S): Menge aller
                               8       7           6
  zulässigen Flächen
  für S
1         2   3               4                     23



Definition: Zulässige Fläche
 •Nach [1]: Eine
  zulässige Fläche für             9 10
  ein Fragment S                                             S
  bzgl. G‘ ist eine            1   2       3   4
  Fläche von G‘, die
                                                        11
  alle Kontaktknoten                   F1          F3

  von S enthält.               1   2       3   4 5       F4

                                                         G‘
                                       F2
 •F(S): Menge aller
                               8       7           6
  zulässigen Flächen
  für S
1        2        3        4                24



Konkurrierende Fragmente
•Nach [1]: Zwei Fragmente S1 und S2 werden als
 konkurrierend bezeichnet, wenn

  •θ = F(S1) ∩ F(S2) ≠ ∅ und

  •zwei α-Pfade L1 ∈ S1, L2 ∈ S2 existieren, die nicht
   gleichzeitig in jede Fläche aus θ eingebettet werden
   können.
1          2       3        4              25



Der Algorithmus...
•basiert auf den Ideen von Demoucron, Malgrange und
 Pertuiset von 1964

•kann nicht nur auf Planarität testen, sondern liefert
 eine planare Einbettung, falls möglich

•arbeitet inkrementell
1     2     3     4     26



Algorithmus nach Demoucron [1]
1          2         3          4                  26



Algorithmus nach Demoucron [1]
1. Wähle einfachen Kreis C aus G und bette ihn in die Ebene ein,
   setze G‘ = C
1         2          3         4                   26



Algorithmus nach Demoucron [1]
1. Wähle einfachen Kreis C aus G und bette ihn in die Ebene ein,
   setze G‘ = C
2. Suche Flächen von G‘ und Fragmente bzgl. G‘. Wenn keine
   Fragmente vorhanden, dann G‘ ≅ G, d.h. G eingebettet Ende
1          2         3          4                 26



Algorithmus nach Demoucron [1]
1. Wähle einfachen Kreis C aus G und bette ihn in die Ebene ein,
   setze G‘ = C
2. Suche Flächen von G‘ und Fragmente bzgl. G‘. Wenn keine
   Fragmente vorhanden, dann G‘ ≅ G, d.h. G eingebettet Ende
3. Existiert ein Fragment S ohne zulässige Fläche, dann ist G nicht-
   planar Ende
1          2          3         4                    26



Algorithmus nach Demoucron [1]
1. Wähle einfachen Kreis C aus G und bette ihn in die Ebene ein,
   setze G‘ = C
2. Suche Flächen von G‘ und Fragmente bzgl. G‘. Wenn keine
   Fragmente vorhanden, dann G‘ ≅ G, d.h. G eingebettet Ende
3. Existiert ein Fragment S ohne zulässige Fläche, dann ist G nicht-
   planar Ende
4. Existiert ein Fragment S mit einer einzigen zulässigen Fläche F,
   dann zu Schritt 6, ansonsten zu Schritt 5
1          2          3         4                    26



Algorithmus nach Demoucron [1]
1. Wähle einfachen Kreis C aus G und bette ihn in die Ebene ein,
   setze G‘ = C
2. Suche Flächen von G‘ und Fragmente bzgl. G‘. Wenn keine
   Fragmente vorhanden, dann G‘ ≅ G, d.h. G eingebettet Ende
3. Existiert ein Fragment S ohne zulässige Fläche, dann ist G nicht-
   planar Ende
4. Existiert ein Fragment S mit einer einzigen zulässigen Fläche F,
   dann zu Schritt 6, ansonsten zu Schritt 5
5. Wähle ein beliebiges Fragment S und davon eine beliebige
   zulässige Fläche F
1          2          3         4                    26



Algorithmus nach Demoucron [1]
1. Wähle einfachen Kreis C aus G und bette ihn in die Ebene ein,
   setze G‘ = C
2. Suche Flächen von G‘ und Fragmente bzgl. G‘. Wenn keine
   Fragmente vorhanden, dann G‘ ≅ G, d.h. G eingebettet Ende
3. Existiert ein Fragment S ohne zulässige Fläche, dann ist G nicht-
   planar Ende
4. Existiert ein Fragment S mit einer einzigen zulässigen Fläche F,
   dann zu Schritt 6, ansonsten zu Schritt 5
5. Wähle ein beliebiges Fragment S und davon eine beliebige
   zulässige Fläche F
6. Bette einen beliebigen α-Pfad L von S in F ein und ersetze G‘
   durch G‘ ∪ L; gehe zu Schritt 2
1        2   3           4               27



Beispiel
•Durchlauf des
 Algorithmus anhand
 des dargestellten                        G
 Ausgangsgraphen G            1                   2

•Das Format für die               5           6
 Darstellung der
 Zwischenschritte                 4               3
 stammt aus [6].
1             2           3           4                 28


                                                         zulässige
    G‘           Flächen           Fragmente
                                                          Flächen

                               1           6

             F1={∞, 456}       4       2           3   F(S1)={F1, F2}
5        6
             F2={456}                                  F(S2)={F1, F2}

4                                      5           6



             F1={∞, 456}           2           3
5        6   F2={1456}                                 F(S1)={F1, F2}
    1
             F3={164}              5           6
4
1             2       3       4                 29


                                                        zulässige
        G‘              Flächen       Fragmente
                                                         Flächen

            2
                    F1={∞, 2654}      2       3
    5           6   F2={265}
                                                      F(S1)={F1, F2}
        1           F3={1465}
                    F4={164}          5
    4


3           2

5               6
        1

4
1        2       3        4                30



Aufwand
•Der Algorithmus nach Demoucron kann bestenfalls mit
 quadratischer Zeitkomplexität (O(n2)) implementiert
 werden. [5]

•Es existieren andere Algorithmen, die das Problem mit
 linearem Aufwand lösen.
1          2           3          4                31



Quellen
1.Lectures on Graph Theory, O. Melnikov, BI Wissenschaftsverlag 1994
2.http://cgm.cs.mcgill.ca/~athens/cs507/Projects/2004/Andrew-King/
  507planar.html, letzter Abruf: 08.06.2008
3.http://flickr.com/photos/hinkelstone/2435823037/, letzter Abruf:
  08.06.2008
4.http://blog.keelit.com/2007/04/12/, letzter Abruf: 08.06.2008
5.http://www.user.fh-stralsund.de/~pscheff/KonflikteVermeiden.pdf,
  letzter Abruf: 22.06.2008
6.http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/EWS/demoucron.pdf, letzter
  Abruf: 22.06.2008
1          2     3       4




Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!
Seminar Fortgeschrittene Konzepte der Programmierung
SS 2008, Universität Bayreuth

Vortrag am 23.06.2008
Martin Klinke
1   2   3   4




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Planaritätsalgorithmus nach Demoucron, Malgrange und Pertuiset

  • 1. Planaritätsalgorithmus nach Demoucron, Malgrange und Pertuiset Seminar Fortgeschrittene Konzepte der Programmierung SS 2008, Universität Bayreuth Vortrag am 23.06.2008 Martin Klinke
  • 2. 1 2 3 4 2 Inhalt 1.Was bedeutet Planarität anschaulich? 2.Motivation: Warum mit Planarität beschäftigen? 3.Kriterien für Planarität 4.Algorithmus zur Erkennung und Einbettung von planaren Graphen
  • 3. 1 2 3 4 Was bedeutet Planarität anschaulich?
  • 4. 1 2 3 4 4 [2] Ein planarer ... lässt sich in der Ebene zeichnen, ohne dass sich Graph... Kanten überschneiden.
  • 5. 1 2 3 4 5 [2] Nicht-planare ... lassen sich dagegen nicht ohne Überschneidungen in der Graphen... Ebene zeichnen.
  • 6. 1 2 3 4 Motivation: Warum mit Planarität beschäftigen?
  • 7. 1 2 3 4 7 Anwendungen von Planarität [3] [4]
  • 8. 1 2 3 4 7 Anwendungen von Planarität •Entwurf elektrischer Schaltkreise [3] [4]
  • 9. 1 2 3 4 7 Anwendungen von Planarität •Entwurf elektrischer Schaltkreise [3] [4]
  • 10. 1 2 3 4 7 Anwendungen von Planarität •Entwurf elektrischer Schaltkreise [3] •Übersichtliche Darstellung von Abläufen, z.B. Programmen, Projektaufgaben [4]
  • 11. 1 2 3 4 7 Anwendungen von Planarität •Entwurf elektrischer Schaltkreise [3] •Übersichtliche Darstellung von Abläufen, z.B. Programmen, Projektaufgaben [4]
  • 12. 1 2 3 4 8 Anwendungen von Planarität Häuser Gas Wasser Strom
  • 13. 1 2 3 4 8 Anwendungen von Planarität •Menschen zu Häuser beschäftigen: Verbinde jedes Haus mit Gas, Wasser und Strom, ohne dass sich die Leitungen kreuzen... Gas Wasser Strom
  • 14. 1 2 3 4 8 Anwendungen von Planarität •Menschen zu Häuser beschäftigen: Verbinde jedes Haus mit Gas, Wasser und Strom, ohne dass sich die Leitungen kreuzen... Gas Wasser Strom
  • 15. 1 2 3 4 8 Anwendungen von Planarität •Menschen zu Häuser beschäftigen: Verbinde jedes Haus mit Gas, Wasser und Strom, ohne dass sich die Leitungen kreuzen... Gas Wasser Strom
  • 16. 1 2 3 4 8 Anwendungen von Planarität •Menschen zu Häuser beschäftigen: Verbinde jedes Haus mit Gas, Wasser und Strom, ohne dass sich die Leitungen kreuzen... Gas Wasser Strom
  • 17. 1 2 3 4 8 Anwendungen von Planarität •Menschen zu Häuser beschäftigen: Verbinde jedes Haus mit Gas, Wasser und Strom, ohne dass sich die Leitungen kreuzen... Gas Wasser Strom
  • 18. 1 2 3 4 8 Anwendungen von Planarität •Menschen zu Häuser beschäftigen: Verbinde jedes Haus mit Gas, Wasser und Strom, ohne dass sich die Leitungen kreuzen... Gas Wasser Strom
  • 19. 1 2 3 4 8 Anwendungen von Planarität •Menschen zu Häuser beschäftigen: Verbinde jedes Haus mit Gas, Wasser und Strom, ohne dass sich die Leitungen kreuzen... Gas Wasser Strom
  • 20. 1 2 3 4 8 Anwendungen von Planarität •Menschen zu Häuser beschäftigen: Verbinde jedes Haus mit Gas, Wasser und Strom, ohne dass sich die Leitungen kreuzen... Gas Wasser Strom
  • 21. 1 2 3 4 8 Anwendungen von Planarität •Menschen zu Häuser beschäftigen: Verbinde jedes Haus mit Gas, Wasser und Strom, ohne dass sich die Leitungen kreuzen... Gas Wasser Strom
  • 22. 1 2 3 4 8 Anwendungen von Planarität •Menschen zu Häuser beschäftigen: Verbinde jedes Haus mit Gas, Wasser und Strom, ohne dass sich die Leitungen kreuzen... Gas Wasser Strom
  • 23. 1 2 3 4 Kriterien für Planarität
  • 24. 1 2 3 4 10 Definition: Graph •Ein Graph G wird durch zwei Mengen beschrieben [5]: •Knotenmenge V = {v1, v2, ..., vn} •Kantenmenge E ⊆ V2 •Hier nur Betrachtung von •schlichten ungerichteten und •zweifach zusammenhängenden Graphen
  • 25. 1 2 3 4 11 Definition: Inzidenz, Adjazenz •Ein Knoten v und eine Kante e = (u, v) sind zueinander inzident. •Zwei Kanten e = (u, v) und f = (v, w) sind zueinander adjazent. •Zwei Knoten u, v sind zueinander adjazent, wenn die Kante (u,v) existiert.
  • 26. 1 2 3 4 12 Definition: Einbettung • Nach [1]: Ein Graph G ist einbettbar in einen Raum L, wenn eine Abbildung der Knoten und Kanten von G auf Punkte und Jordan-Kurven von L existiert, so dass gilt: • verschiedene Knoten werden auf verschiedene Punkte abgebildet; • wenn ein Knoten inzident zu einer Kante ist, dann ist das Abbild des Knotens ein Endpunkt des Abbildes der Kante; • nicht-adjazente Kanten von G werden auf Kurven abgebildet, die sich nicht schneiden; • adjazente Kanten werden auf Kurven abgebildet, die sich nur in einem Punkt schneiden; dieser Punkt entspricht dem Knoten, der Teil beider Kanten ist.
  • 27. 1 2 3 4 13 Stereographische Projektion •Ein Graph ist genau dann planar, wenn er in eine Kugeloberfläche eingebettet werden kann. [1]
  • 28. 1 2 3 4 13 Stereographische Projektion •Ein Graph ist genau dann planar, wenn er in eine Kugeloberfläche eingebettet werden kann. N v v‘ [1]
  • 29. 1 2 3 4 14 Euler-Formel - 1 •Nach Eulers Theorem (1758) [1] gilt für jeden zusammenhängenden planaren Graphen die Formel n - m + f = 2. •n: Anzahl Knoten •m: Anzahl Kanten •f: Anzahl Flächen
  • 30. 1 2 3 4 15 Euler-Formel - 2 •Für jeden zusammenhängenden planaren (n,m)- Graphen G mit n ≥ 3 gilt die Ungleichung m ≤ 3n - 6.
  • 31. 1 2 3 4 16 K5 K5
  • 32. 1 2 3 4 16 K5 •K5 ist nicht planar K5
  • 33. 1 2 3 4 16 K5 •K5 ist nicht planar •n=5, m=10 m ≤ 3n - 6 10 ≤ 9 ✘ K5
  • 34. 1 2 3 4 17 K3,3 K3,3
  • 35. 1 2 3 4 17 K3,3 •K3,3 ist nicht planar K3,3
  • 36. 1 2 3 4 17 K3,3 •K3,3 ist nicht planar •n=6, m=9 m ≤ 3n - 6 bzw. 9 ≤ 12 ✔ f=5 K3,3
  • 37. 1 2 3 4 17 K3,3 •K3,3 ist nicht planar •n=6, m=9 m ≤ 3n - 6 bzw. 9 ≤ 12 ✔ f=5 •Bipartit jede K3,3 Fläche muss von mind. 4 Kanten berandet sein 2m ≥ 4f bzw. 18 ≥ 20 ✘
  • 38. 1 2 3 4 Algorithmus zur Erkennung und Einbettung von planaren Graphen
  • 39. 1 2 3 4 19 [1] Ein Graph G und seine Begrifflichkeiten Fragmente S1 bis S6 bzgl. eines Subgraphen G‘
  • 40. 1 2 3 4 19 9 10 11 G 1 2 3 4 5 8 7 6 [1] Ein Graph G und seine Begrifflichkeiten Fragmente S1 bis S6 bzgl. eines Subgraphen G‘
  • 41. 1 2 3 4 19 9 10 11 F1 1 2 3 4 5 G 1 2 3 4 5 G‘ F2 8 7 6 8 7 6 [1] Ein Graph G und seine Begrifflichkeiten Fragmente S1 bis S6 bzgl. eines Subgraphen G‘
  • 42. 1 2 3 4 19 9 10 11 F1 1 2 3 4 5 G 1 2 3 4 5 G‘ F2 8 7 6 8 7 6 9 10 11 2 1 2 4 1 2 3 4 3 5 6 8 7 6 6 S1 S2 S3 S4 S5 S6 [1] Ein Graph G und seine Begrifflichkeiten Fragmente S1 bis S6 bzgl. eines Subgraphen G‘
  • 43. 1 2 3 4 20 Definition: Fragment •Nach [1]: Als Fragment S bzgl. G‘ bezeichnet man einen Subgraphen von G, bei dem es sich um einen der beiden folgenden Typen handelt: •Eine Kante e = (u, v) ∈ E(G), so dass e ∉ E(G‘) und u, v ∈ V(G‘). •Eine Zusammenhangskomponente von G - G‘ die durch alle Kanten (und ihre Enden) von G, die die Komponente mit G verbinden, erweitert wird.
  • 44. 1 2 3 4 21 Definition: Kontaktknoten •Nach [1]: Ein Knoten v eines Fragments S 9 10 bzgl. G‘ wird als S Kontaktknoten 1 2 3 4 bezeichnet, wenn v ∈ V(G‘). 1 2 3 4 5 G‘ 8 7 6
  • 45. 1 2 3 4 21 Definition: Kontaktknoten •Nach [1]: Ein Knoten v eines Fragments S 9 10 bzgl. G‘ wird als S Kontaktknoten 1 2 3 4 bezeichnet, wenn v ∈ V(G‘). 1 2 3 4 5 G‘ 8 7 6
  • 46. 1 2 3 4 22 Definition: α-Pfad •Nach [1]: Einfacher Pfad L des Fragments S, •der zwei verschiedene 9 10 Kontaktknoten S verbindet und 1 2 3 4 •keine weiteren Kontaktknoten enthält.
  • 47. 1 2 3 4 23 Definition: Zulässige Fläche •Nach [1]: Eine zulässige Fläche für 9 10 ein Fragment S S bzgl. G‘ ist eine 1 2 3 4 Fläche von G‘, die 11 alle Kontaktknoten F1 F3 von S enthält. 1 2 3 4 5 F4 G‘ F2 •F(S): Menge aller 8 7 6 zulässigen Flächen für S
  • 48. 1 2 3 4 23 Definition: Zulässige Fläche •Nach [1]: Eine zulässige Fläche für 9 10 ein Fragment S S bzgl. G‘ ist eine 1 2 3 4 Fläche von G‘, die 11 alle Kontaktknoten F1 F3 von S enthält. 1 2 3 4 5 F4 G‘ F2 •F(S): Menge aller 8 7 6 zulässigen Flächen für S
  • 49. 1 2 3 4 24 Konkurrierende Fragmente •Nach [1]: Zwei Fragmente S1 und S2 werden als konkurrierend bezeichnet, wenn •θ = F(S1) ∩ F(S2) ≠ ∅ und •zwei α-Pfade L1 ∈ S1, L2 ∈ S2 existieren, die nicht gleichzeitig in jede Fläche aus θ eingebettet werden können.
  • 50. 1 2 3 4 25 Der Algorithmus... •basiert auf den Ideen von Demoucron, Malgrange und Pertuiset von 1964 •kann nicht nur auf Planarität testen, sondern liefert eine planare Einbettung, falls möglich •arbeitet inkrementell
  • 51. 1 2 3 4 26 Algorithmus nach Demoucron [1]
  • 52. 1 2 3 4 26 Algorithmus nach Demoucron [1] 1. Wähle einfachen Kreis C aus G und bette ihn in die Ebene ein, setze G‘ = C
  • 53. 1 2 3 4 26 Algorithmus nach Demoucron [1] 1. Wähle einfachen Kreis C aus G und bette ihn in die Ebene ein, setze G‘ = C 2. Suche Flächen von G‘ und Fragmente bzgl. G‘. Wenn keine Fragmente vorhanden, dann G‘ ≅ G, d.h. G eingebettet Ende
  • 54. 1 2 3 4 26 Algorithmus nach Demoucron [1] 1. Wähle einfachen Kreis C aus G und bette ihn in die Ebene ein, setze G‘ = C 2. Suche Flächen von G‘ und Fragmente bzgl. G‘. Wenn keine Fragmente vorhanden, dann G‘ ≅ G, d.h. G eingebettet Ende 3. Existiert ein Fragment S ohne zulässige Fläche, dann ist G nicht- planar Ende
  • 55. 1 2 3 4 26 Algorithmus nach Demoucron [1] 1. Wähle einfachen Kreis C aus G und bette ihn in die Ebene ein, setze G‘ = C 2. Suche Flächen von G‘ und Fragmente bzgl. G‘. Wenn keine Fragmente vorhanden, dann G‘ ≅ G, d.h. G eingebettet Ende 3. Existiert ein Fragment S ohne zulässige Fläche, dann ist G nicht- planar Ende 4. Existiert ein Fragment S mit einer einzigen zulässigen Fläche F, dann zu Schritt 6, ansonsten zu Schritt 5
  • 56. 1 2 3 4 26 Algorithmus nach Demoucron [1] 1. Wähle einfachen Kreis C aus G und bette ihn in die Ebene ein, setze G‘ = C 2. Suche Flächen von G‘ und Fragmente bzgl. G‘. Wenn keine Fragmente vorhanden, dann G‘ ≅ G, d.h. G eingebettet Ende 3. Existiert ein Fragment S ohne zulässige Fläche, dann ist G nicht- planar Ende 4. Existiert ein Fragment S mit einer einzigen zulässigen Fläche F, dann zu Schritt 6, ansonsten zu Schritt 5 5. Wähle ein beliebiges Fragment S und davon eine beliebige zulässige Fläche F
  • 57. 1 2 3 4 26 Algorithmus nach Demoucron [1] 1. Wähle einfachen Kreis C aus G und bette ihn in die Ebene ein, setze G‘ = C 2. Suche Flächen von G‘ und Fragmente bzgl. G‘. Wenn keine Fragmente vorhanden, dann G‘ ≅ G, d.h. G eingebettet Ende 3. Existiert ein Fragment S ohne zulässige Fläche, dann ist G nicht- planar Ende 4. Existiert ein Fragment S mit einer einzigen zulässigen Fläche F, dann zu Schritt 6, ansonsten zu Schritt 5 5. Wähle ein beliebiges Fragment S und davon eine beliebige zulässige Fläche F 6. Bette einen beliebigen α-Pfad L von S in F ein und ersetze G‘ durch G‘ ∪ L; gehe zu Schritt 2
  • 58. 1 2 3 4 27 Beispiel •Durchlauf des Algorithmus anhand des dargestellten G Ausgangsgraphen G 1 2 •Das Format für die 5 6 Darstellung der Zwischenschritte 4 3 stammt aus [6].
  • 59. 1 2 3 4 28 zulässige G‘ Flächen Fragmente Flächen 1 6 F1={∞, 456} 4 2 3 F(S1)={F1, F2} 5 6 F2={456} F(S2)={F1, F2} 4 5 6 F1={∞, 456} 2 3 5 6 F2={1456} F(S1)={F1, F2} 1 F3={164} 5 6 4
  • 60. 1 2 3 4 29 zulässige G‘ Flächen Fragmente Flächen 2 F1={∞, 2654} 2 3 5 6 F2={265} F(S1)={F1, F2} 1 F3={1465} F4={164} 5 4 3 2 5 6 1 4
  • 61. 1 2 3 4 30 Aufwand •Der Algorithmus nach Demoucron kann bestenfalls mit quadratischer Zeitkomplexität (O(n2)) implementiert werden. [5] •Es existieren andere Algorithmen, die das Problem mit linearem Aufwand lösen.
  • 62. 1 2 3 4 31 Quellen 1.Lectures on Graph Theory, O. Melnikov, BI Wissenschaftsverlag 1994 2.http://cgm.cs.mcgill.ca/~athens/cs507/Projects/2004/Andrew-King/ 507planar.html, letzter Abruf: 08.06.2008 3.http://flickr.com/photos/hinkelstone/2435823037/, letzter Abruf: 08.06.2008 4.http://blog.keelit.com/2007/04/12/, letzter Abruf: 08.06.2008 5.http://www.user.fh-stralsund.de/~pscheff/KonflikteVermeiden.pdf, letzter Abruf: 22.06.2008 6.http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/EWS/demoucron.pdf, letzter Abruf: 22.06.2008
  • 63. 1 2 3 4 Vielen Dank für die Aufmerksamkeit! Seminar Fortgeschrittene Konzepte der Programmierung SS 2008, Universität Bayreuth Vortrag am 23.06.2008 Martin Klinke
  • 64. 1 2 3 4 Fragen?