12 Março

1. Prova Modelo − Avalia¸c˜ao Interm´edia
Matem´atica A - 12o
Ano
Teste 4 de Matem´atica A - Avalia¸c˜ao Interm´edia
Colectˆanea de Provas Modelo 12o
Ano
Nuno Miguel Guerreiro
Grupo I
• As cinco quest˜oes deste grupo s˜ao de escolha m´ultipla;
• Para cada uma delas s˜ao indicadas quatro alternativas de respostas, das quais s´o uma est´a correta.
Assinala na tua folha de teste a letra que lhe corresponde;
• Se apresentares mais do que uma resposta a quest˜ao ser´a anulada, o mesmo acontecendo em caso de
ambiguidade;
• N˜ao apresentes c´alculos nem justifica¸c˜oes.
1. Seja Ω o espa¸co de resultados associado a uma experiˆencia aleat´oria e sejam A e B dois acontecimentos
poss´ıveis (A ⊂ Ω e B ⊂ Ω).
Sabe-se que:
• P(A) = P(A|B)
• P(B) = P(A|B)
Qual o valor de P(A ∪ B)?
(A) P(A ∩ B) (B) P(A ∪ B) (C) P(A ∪ B) (D) P(A ∩ B)
2. Considere as linhas a e n do Triˆangulo de Pascal.
Sabe-se que:
• 4a+n
= 65 536
• A soma de todos os elementos da linha a ´e 64.
• A soma de todos os elementos da linha n ´e k, k ∈ R.
Qual ´e o valor de k?
(A) 4 (B) 8 (C) 16 (D) 32
3. Considere uma fun¸c˜ao f diferenci´avel em todo o seu dom´ınio R e tal que:
• O ponto de coordenadas (2, 0) pertence ao gr´afico de f;
• lim
x→+∞
(f(x) − 5x + 2) = 0;
• lim
x→2
f(x)
x − 2
− lim
x→+∞
f(x)
x
= 0
Qual ´e a equa¸c˜ao da reta tangente ao gr´afico de f no ponto de abcissa 2?
(A) 5x − y = 10 (B) y = x + 10 (C) 5x − y = −10 (D) y = −x + 10
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2. Prova Modelo − Avalia¸c˜ao Interm´edia
4. Considere as fun¸c˜oes f e g diferenci´aveis no seu dom´ınio R.
Sabendo que o gr´afico de g admite um zero em x = 0, qual ´e necessariamente o valor do limite abaixo?
lim
x→0
f(g(x)) − f(0)
x
(A) f (0) + g (0) (B) (f (0))2
(C) f (0) × g (0) (D) (g (0))2
5. Na figura est´a representado parte do gr´afico de uma fun¸c˜ao f e de uma fun¸c˜ao g, ambas de dom´ınio R,
cont´ınuas em R{1}, tais que g(1) = f(1).
x
y
O
f
g
1
Considere as afirma¸c˜oes seguintes:
1) f (a) × g (a) < 0, ∀a ∈]0, 1[;
2) f (a) × g (a) > 0, ∀a ∈]1, +∞[;
3) f (1+
) = +∞;
4) g (1−
) = +∞.
Qual das seguintes afirma¸c˜oes ´e verdadeira?
(A) As afirma¸c˜oes 1) e 3) s˜ao falsas.
(B) Apenas a afirma¸c˜ao 3) ´e falsa.
(C) Apenas a afirma¸c˜ao 4) ´e falsa.
(D) Todas as afirma¸c˜oes s˜ao verdadeiras.
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3. Prova Modelo − Avalia¸c˜ao Interm´edia
Grupo II
• Nas quest˜oes deste grupo, apresenta o teu racioc´ınio de forma clara, indicando todos os c´alculos que
tiveres de efetuar e todas as justifica¸c˜oes que entenderes necess´arias.
• Aten¸c˜ao: Quando para um resultado n˜ao ´e pedida aproxima¸c˜ao pretende-se sempre o valor exato.
1. Considere a fun¸c˜ao f definida em R+
cuja express˜ao anal´ıtica ´e f(x) = x2
e−x
, e parte do seu gr´afico
representado abaixo.
x
y
O
f
A ´area a sombreado ´e definida pela fun¸c˜ao F, tal que F(x) = 2 − e−x
(x2
+ 2x + 2), ∀x ∈ R+
.
1.1. Averigue se y = 0 ´e uma ass´ıntota horizontal do gr´afico de f.
1.2. Mostre que F (x) = f(x), ∀x ∈]0, +∞[.
1.3. O que pode concluir acerca da monotonia de F?
1.4. Determine a equa¸c˜ao da reta tangente ao gr´afico de F no ponto de abcissa 1.
2. Considere a fun¸c˜ao g definida em 1
2 , +∞ dada por g(x) =



2ex−1 − 1 se x ≥ 1
ln(2x − 1) + x se
1
2
< x < 1
Considere ainda em
1
2
< x < 1, a fun¸c˜ao h definida pela express˜ao anal´ıtica h(x) = ln x2
− 1
9 + x.
2.1. Determine o conjunto solu¸c˜ao da condi¸c˜ao g(x) > h(x).
2.2. Mostre que ∃ c ∈
3
4
, 2 : g(c) =
c2
2
.
2.3. Determine, se existir, g (1).
2.4. Estude a monotonia da fun¸c˜ao g em ]1, +∞[.
3. Considere a fun¸c˜ao f definida em R+
cuja express˜ao anal´ıtica ´e f(x) = x ln x, e a fun¸c˜ao g definida em
R+
que admite um zero em x = 1.
Considerando a reta r perpendicular `a reta tangente ao gr´afico de g no ponto de abcissa x = 1 e de
equa¸c˜ao y = mx + b, mostre que:
lim
x→1
f(x)
g(x)
= −m
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4. Prova Modelo − Avalia¸c˜ao Interm´edia
4. Considere o s´olido [OABCDEFGHI] representado na figura abaixo, num referencial o.n Oxyz.
x y
z
O
I
F
G
E
H
CA
D
B
Sabe-se que:
• O ´e a origem do referencial;
• O ponto A tem coordenadas (4, 0, 0);
• A reta AD ´e definida por (x, y, z) = (4, 0, 0) + λ(−2, 3, 1), λ ∈ R;
•
−−→
HD
2
= 40.
4.1. Determine as coordenadas dos pontos D e H.
Nota: Caso n˜ao consiga resolver, considere D(0, 6, 2) e H(0, 0, 4).
4.2. Considere um ponto P no interior do s´olido cuja cota ´e o cubo da abcissa e que pertence ao plano
y = 3. Sabendo que o ˆangulo OPC ´e reto, determine, recorrendo `as capacidades gr´aficas da
calculadora, as coordenadas do ponto P.
Na sua resposta deve:
• equacionar o problema;
• reproduzir num referencial, o(s) gr´afico(s) da(s) fun¸c˜ao(˜oes) que visualizar na calculadora e que
lhe permite(m) resolver a equa¸c˜ao, devidamente identificado(s);
• apresente as coordenadas do ponto P arredondada `as cent´esimas.
4.3. Determine a equa¸c˜ao geral de um plano que passa em A e ´e paralelo `a reta BG.
4.4. Considere a experiˆencia aleat´oria que consiste em escolher um v´ertice do s´olido ao acaso.
Sejam A, B e C os acontecimentos:
A: ”o v´ertice escolhido pertence ao plano xOy ou yOz”
B: ”o v´ertice escolhido pertence ao plano EDI”
C: ”o v´ertice escolhido pertence `a regi˜ao do espa¸co tal que z − x > 0”
Determine P C|(A ∩ B) , sem utilizar a f´ormula da probabilidade condicionada.
Numa pequena composi¸c˜ao, justique a sua resposta.
A sua composi¸c˜ao deve contemplar:
• o significado de P C|(A ∩ B) , no contexto da situa¸c˜ao descrita;
• a explica¸c˜ao do n´umero de casos poss´ıveis;
• a explica¸c˜ao do n´umero de casos favor´aveis;
• a apresenta¸c˜ao do valor da probabilidade na forma de fra¸c˜ao irredut´ıvel.
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5. Prova Modelo − Avalia¸c˜ao Interm´edia
COTAC¸ ˜OES:
GRUPO I
1 a 5 . . . . . . 5 × 8 pontos . . . . . . 40 pontos
40 pontos
GRUPO II
1.
1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 pontos
1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 pontos
1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 pontos
1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 pontos
2.
2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 pontos
2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 pontos
2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 pontos
2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 pontos
3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 pontos
4.
4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 pontos
4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 pontos
4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 pontos
4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 pontos
160 pontos
Total. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 pontos
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