сходимость последовательностей операторов

1. Сходимость последовательностей операторов.
Пусть {An} - последовательность ограниченных линейных операторов, действующих из
линейного нормированного пространства E в линейное нормированное пространство F.
Последовательность {An} называется сходящейся по норме к линейному ограниченному
оператору A0 из E в F, если
0lim 0  

FEn
n
AA
Последовательность {An} называется сильно сходящейся к оператору A0,если
0lim 0 

xAxA n
n
при xE .
Последовательность {An} называется слабо сходящейся к оператору 0A , если при xE
последовательность {An} слабо сходится к 0A x.
Говорят, что последовательность  x линейного нормированного пространства E слабо
сходится к x0E, если )()(lim 0xfxf n
n


для всякого непрерывного линейного
функционала fE’.
Из сходимости по норме следует сильная сходимость , из сильной – слабая. Обратные
утверждения, вообще говоря, неправильны.
Если последовательность {An} сильно сходится к 0A и нормы операторов An ограничены
в совокупности: FEn
nFEn AA 
 lim
Если E является банаховым пространством, то утверждение значительно усиливается:
Если последовательность ограниченных линейных операторов An, действующих у
банахова пространства E в линейное нормированное пространство F, сильно сходится к
оператору A0, то нормы операторов ограничены в совокупности, и следовательно,
оператор A0 также ограничен.
Доказательство этого факта основано на принципе равномерной ограниченности: пусть
на банаховом пространстве E определено семейство неотрицательных непрерывных
функционалов (x) (A), обладающих свойствами:
1. (x+y)  (x) +(y)
2. (x) = (x)
Если для каждого xE числовое множество {(x)}xA ограниченно, то существует
константа C такая, что
(x)  Cx (A)
Для того, чтобы последовательность ограниченных линейных операторов, действующих
из банахова пространства E в банахово пространство F, сильно сходилась к некоторому
линейному ограниченному оператору, необходимо и достаточно, чтобы:

2.  нормы операторов An были ограничены в совокупности;
 последовательность {Anx’} была сходящейся при любом x’ из некоторого всюду
плотного множества DE.
Последняя теорема имеет многочисленные применения в вопросах, связанных со
сходимостью и суммируемостью радов и интегралов, сходимостью интерполяционных
процессов и т.д.