1. Số Phức
Dạng đại số của số phức
Trong trường số phức, tính chất của đơn vị ảo i đặc trưng bởi biểu thức i2
=−1 . Mỗi số
phức z đều được biểu diễn duy nhất dưới dạng:
z = a + b.i.
trong đó a, b là các số thực. Dạng biểu diễn này được gọi là dạng đại số của số phức z.
Với cách biểu diễn dưới dạng đại số, phép cộng và nhân các số phức được thực hiện như
phép cộng và nhân các nhị thức bậc nhất với lưu ý rằng i2
= –1. Như vậy, ta có:
(a + b.i) + (c + d.i) = (a + c) + (b + d).i
(a + b.i)(c + d.i) = (a.c - b.d) + (b.c + a.d).i
Mặt phẳng phức
Trong hệ toạ độ Đề các, có thể dùng trục hoành chỉ tọa độ phần thực còn trục tung cho
tọa độ phần ảo để biểu diễn một số thực z = x + yi. Khi đó mặt phẳng tọa độ được gọi là
mặt phẳng phức.
Số thực và số thuần ảo
Nếu b=0, số phức có dạng z = a được gọi là số thực, nếu a =0, số phức b.i được gọi là
thuần ảo.
Số phức liên hợp
1
2. Cho số phức dưới dạng đại số , số phức được gọi là số
phức liên hợp của z.
• Một số tính chất của số phức liên hợp:
1. là một số thực.
2. =
3. =
• Phép chia hai số phức dưới dạng đại số:
Mođun và Argumen
• Cho . Khi đó . Căn bậc hai của được
gọi là mođun của z, ký hiệu là | z | . Như vậy .
• Có thể biểu diễn số phức z = a + b * i trên mặt phẳng tọa độ bằng điểm M(a,b),
góc giữa chiều dương của trục Ox và vec tơ, được gọi là argumen của số
phức z, ký hiệu là arg(z).
• Một vài tính chất của môđun và argumen
arg(z1 * z2) = arg(z1) + arg(z2),
Dạng lượng giác của số phức
Định nghĩa
• Số phức z = a + b * i có thể viết dưới dạng
hay, khi đặt
2
3. ,
ta có
Cách biểu diễn này được gọi là dạng lượng giác của số phức z.
Phép toán trên các số phức viết dưới dạng lượng giác
• Phép nhân và phép chia các số phức dưới dạng lượng giác
Cho hai số phức dưới dạng lượng giác
Khi đó
• Lũy thừa tự nhiên của số phức dưới dạng lượng giác (công thức Moirve).
• Khai căn số phức dưới dạng lượng giác.
Mọi số phức z khác 0 đều có đúng n căn bậc n, là các số dạng
trong đó , k = 0,1,...n − 1
Ví dụ
Điểm khác biệt quan trong nhất khi mở rộng thành trường số phức từ trường số thực là
tính đóng với các phương trình đại số. Mỗi phương trình đại số bậc n đều có đúng n
nghiệm. Nói riêng, phương trình xn
có n nghiệm, hay là căn bậc n của số phức khác 0 bất
kì có n giá trị. Điều này là hoàn chỉnh của mệnh đề trong số thực "mọi số thực dương có
2 căn bậc hai".
Ví dụ:
• có hai căn bậc hai là 1 và − 1
• có hai căn bậc hai là i và -i
3
4. • có hai căn bậc hai là
và
• có hai căn bậc hai là
và
• có ba căn bậc ba là
• có ba căn bậc ba là
Số phức
III. Dạng lượng giác của số phức.
1. Chuyển đổi ra dạng lượng giác của các số phức
Ví dụ 1. Chuyển các số phức sau sang dạng lượng giác
4
5. a) b) c)
Hướng dẫn giải
Chú ý:
Để chuyển đổi một số phức dạng đại số sang dạng lượng giác
(trong đó là modul của số phức và ta làm như
sau:
• Tính modul của :
• Tìm Argumen của bằng cách sau: Đặt thì
,
a) Ta có .
Đặt thì . Suy ra
Vậy
b)
Đặt thì . Ta chọn
Vậy
c)
Đặt thì . Chọn . Khi đó ta có:
Ví dụ 2. Tìm dạng lượng giác của số phức
Hướng dẫn giải
5
6. Ta có
Nếu thì , suy ra . Do đó, dạng lượng giác của :
Với và
Nếu thì , suy ra .
Khi đó dạng lượng giác của là
Với ,
Bài tập.
Bài 1. Chuyển đổi các số phức sau ra dạng lượng giác
a) b)
c)
Bài 2. Chuyển các số phức sau sang dạng lượng giác
a) b) c)
Bài 3. Tính với
II. Các bài toán về phương trình
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a) b) c)
6
7. Bài 2. a) Tìm các số thực để phương trình nhận làm
nghiệm. Chứng minh khi đó nghiệm còn lại là
b) Cho phương trình , trong đó là số thực.
1. Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thực.
2. Tìm để phương trình nhận là nghiệm.
Hướng dẫn giải
Chú ý:
1. Cách giải phương trình bậc hai hệ số phức
Bước 1. Đặt (hoặc )
Bước 2. Tìm một căn bậc hai của .
Bước 3. Phương trình có hai nghiệm và
2. Cách tìm căn bậc hai của . Tức là tìm sao cho
Đặt . Ta có
Suy ra
Ta tìm các số thực thỏa hệ (I)
Bài 1.
a) Ta đi tìm căn bậc hai của . Đặt , trong đó là các số thực. Khi đó ta có
hệ
Từ
Trường hợp 1: , thế vào (2) ta có hoặc
• Với thì
• Với thì
7
8. Trường hợp 2: thế vào (2) ta có (không tồn tại vì
Vậy phương trình có hai nghiệm
b) Ta có
Vậy phư ơng trình có hai nghiệm
c)Ta có
Ta đi tìm một căn bậc hai của
Đặt
Khi đó ta có hệ
Thế vào , ta có
Với suy ra
Với
Chọn . Phương trình có hai nghiệm
Bài 2. a) Vì là nghiệm của phương trình nên ta có
.
Hay
8
9. Suy ra và
Giải ra ta được Vậy phương trình trở thành
Phương trình có hai nghiệm
b) Giả sử là một nghiệm thực của phương trình . Khi đó ta có:
Giải hệ ta được hoặc
2. Vì là nghiệm của phương trình nên ta có:
Ta có nên không tồn tại để phương trình (1) nhận là nghiệm.
II. Bài tập rèn luyện
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a) b)
c)
Bài 2 Tìm các số phức thỏa
a) b)
Bài 3. Tìm để phương trình có một nghiệm phức
là
9
