Slides sobre função cosseno e função seno.

1. 1
Trigonometria

2. Prof. Gustavo Costa2
 Ângulo central determina arco
 Radiano (rad): arco unitário cujo
comprimento é igual ao raio da
circunferência que contém o arco a ser
medido. C(arco) = R.a
Arcos e ângulos

3. Prof. Gustavo Costa3
 Ciclo ou Círculo Trigonométrico
 Centro na origem
 Raio = 1
Pode ser qualquer, mas facilita com R=1
 Eixo x: eixo dos cossenos
 Eixo y: eixo dos senos
 Sentido Anti-Horário: >0
 Sentido Horário: <0
Trigonometria na Circunferência

4. Prof. Gustavo Costa4
 Cada número real está associado a um
ponto do ciclo
 Os pontos do círculo correspondem
aos arcos/ângulos centrais na
circunferência
 As coordenadas cartesianas dos pontos
correspondem aos valores de cosseno
e seno, respectivamente
Ciclo Trigonométrico

5. Prof. Gustavo Costa5
 Cada ponto do ciclo está associado a mais de um
(infinitos) valor de ângulos
 Côngruos
 São arcos que estão representados no mesmo ponto do
círculo, mas que possuem valores diferentes
 Identificamos pela diferença no número de voltas
 Ex.: 60º  420º = 60º + 360º
 Ex.: 30º  –330º = 30º – 360º
 1ª Determinação Principal (1ª DP)
 0º   < 360º
 Exercícios
 Obtenha a 1ª DP de:
 1200º
 -800º
Arcos Côngruos

6. Prof. Gustavo Costa6
Ciclo Trigonométrico
0
/2

3/2
2

7. Prof. Gustavo Costa7
Ciclo Trigonométrico
cos(x)
sen(x)
(cos(x),sen(x))

8. Prof. Gustavo Costa8
Ciclo Trigonométrico
cos(x)
sen(x)
(cos(x),sen(x))

9. Prof. Gustavo Costa9
 Observe que, para todo ponto do
círculo, vale a relação:
Fórmula Mãe
cos(x)
sen(x)
R=1
2 2
cos (x) sen (x) 1 

10. Prof. Gustavo Costa10
 Calcular, a partir do ciclo, trigonométrico os
valores de cos(q) e sen(q) para os seguintes arcos
 0, /2, , 3/2, 2.
 –/2, –, –3/2, –2.
Cálculo de Senos e Cossenos

11. Prof. Gustavo Costa11
 Análise
 Sinal
 Crescimento
 Variação (limites)
 Período
 Gráfico
 Quadrantes (sentido anti-horário)
 IQ – (0,/2)
 IIQ – (/2,)
 IIIQ – (,3/2)
 IVQ – (3/2,2)
Estudo das razões trigonométricas

12. Prof. Gustavo Costa12
 Sinal
 IQ
 IIQ
 IIIQ
 IVQ
Cosseno
+–
– +

13. Prof. Gustavo Costa13
 Crescimento / Variação
 IQ
 IIQ
 IIIQ
 IVQ
Cosseno

14. Prof. Gustavo Costa14
 Período
 T= 2
 cos(mx)
 Período T=2/|m|
Cosseno

15. Prof. Gustavo Costa15
 Gráfico
Cosseno f(x)=cos(x)
-2p -3p/2 -p -p/2 p/2 p 3p/2 2p
IQ IIQ IIIQ IVQ
-2p -3p/2 -p -p/2 p/2 p 3p/2 2p
IQ IIQ IIIQ IVQ
-2p -3p/2 -p -p/2 p/2 p 3p/2 2p
IQ IIQ IIIQ IVQ
-2p -3p/2 -p -p/2 p/2 p 3p/2 2p
IQ IIQ IIIQ IVQ
-2p -3p/2 -p -p/2 p/2 p 3p/2 2p
IQ IIQ IIIQ IVQ

16. Prof. Gustavo Costa16
 Calcule o valor dos cossenos a seguir:
a) cos(210º)
b) cos(315º)
c) cos(120º)
d) cos(330º)
 Determine período e imagem das funções
abaixo:
a) f(x) = 1 + 2cos(2x)
b) y = -3cos(x/2 + ) – 1
c) f(x) = 3 – 4cos(3x/4)
Exercícios

17. Prof. Gustavo Costa17
a) cos(210º)
 Identifique a posição do ângulo
 Localize o quadrante: 3º
 Verifique quanto se afasta da
horizontal: 180º + 30º
 Usaremos então o ângulo de 30º
para comparar o valor do
cosseno
 cos(30º) = √3/2
 Como o cosseno é negativo no
3ºQ
 cos(210º) = –cos(30º) = –√3/2
Resolução
  


y
+–
30º
210º

18. Prof. Gustavo Costa18
a) f(x) = 1 + 2cos(2x)
 Calculando o período (T):
 Identifique o valor de m. m é o coeficiente de x
‘dentro’ do cosseno, o número que multiplica x: m=2
 Aplica a fórmula: T = 2/|m| = 2/|2|  T = 
 Para calcular a imagem, usamos os valores
máximo e mínimo do cosseno e substituímos
na expressão da função:
 Mín.: cos(2x) = –1
 fmín. = 1 + 2(– 1) = 1 – 2 = –1
 Máx.: cos(2x) = 1
 fmáx. = 1 + 2(1) = 1 + 2 = 3
 Im(f) = [–1,3]
Resolução

19. Prof. Gustavo Costa19
 Calcule o valor dos cossenos a seguir:
a) cos(210º) – resolvido no exemplo
b) cos(315º)
c) cos(120º)
d) cos(330º)
 Determine período e imagem das funções
abaixo:
a) f(x) = 1 + 2cos(2x) – resolvido no exemplo
b) y = -3cos(x/2 + ) – 1
c) f(x) = 3 – 4cos(3x/4)
Exercícios

20. Prof. Gustavo Costa20
 Sinal
 IQ
 IIQ
 IIIQ
 IVQ
Seno
+
+
–
–

21. Prof. Gustavo Costa21
 Crescimento / Variação
 IQ
 IIQ
 IIIQ
 IVQ
Seno

22. Prof. Gustavo Costa22
 Período
 T=
 sen(mx)
 Período T=
Seno

23. Prof. Gustavo Costa23
 Gráfico
Seno f(x)=sen(x)
-2p -3p/2 -p -p/2 p/2 p 3p/2 2p
IQ IIQ IIIQ IVQ
-2p -3p/2 -p -p/2 p/2 p 3p/2 2p
IQ IIQ IIIQ IVQ
-2p -3p/2 -p -p/2 p/2 p 3p/2 2p
IQ IIQ IIIQ IVQ
-2p -3p/2 -p -p/2 p/2 p 3p/2 2p
IQ IIQ IIIQ IVQ