Geoplano

16ª. OMCEP 2006, OLIMPIADA MATEMÁTICA COSTARRICENSE PARA LA EDUCACION
PRIMARIA
Sede 2008: Colegio Calasanz. 11 de abril de 2008. Luis Armando Madrigal Rojas
1
Actividades con Geoplano
Descripción General
El Geoplano es un arreglo rectángular de puntos (clavos) de tal manera que entre
puntos adyacentes horizontal o verticalmente hay una distancia constante.
En nuestro caso usaremos geoplanos físicos de seis por seis clavos y la distancia
entre cada clavo será una unidad de longitud (u), a menos que se diga lo contrario. Estos
geoplanos están diseñados de tal manera que podremos unir varios geoplanos para hacer un
geoplano mayor.
Los geoplanos nos servirán para construir en ellos figuras geométricas usando ligas
y estudiar algunas de sus propiedades como el perímetro, área, paralelismo, números de
lados, clasificación etc,
¿La distancia diagonal entre clavos es mayor o menor que la horizontal y vertical?
Actividades posibles:
1) Construya un cuadrado en el geoplano
2) Construya un rectángulo en el geoplano
3) Construya un triangulo en el geoplano
4) Construya un octágono en el geoplano
5) En un mismo geoplano construya un cuadrado, un rectángulo y un triángulo
Preguntar a los estudiantes sobre las diferencias y las similitudes de las figuras
construidas. Hacer un cuadro para recoger las observaciones
Todas Triángulo-
Rectángulo
Triángulo-
Cuadrado
Cuadrado-
Rectángulo
Similitudes
Diferencias

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6) Construya un cuadrado dentro de un rectángulo.
Aprovechar para comentar los conceptos de adentro, afuera y más adelante mencionar que
toda figuras plana cerrada divide el plano en tres partes (conjuntos), exterior, interior, y los
puntos de la figura.
7) Construya un cuadrado y dentro de este un triángulo.
Utilizar esta construcción para referirse a mayor que, a menor que
8) Puntos comunes en figuras
a) Construya la figura que se muestra en el figura en su geoplano.
b) ¿Cuántos puntos comunes tienen las figuras?
c) ¿Construya un triángulo y un cuadrado que tengan dos puntos en común?
d) ¿Cuál es la mayor cantidad de puntos comunes que puede tener un rectángulo y un
triángulo? Haga una representación en el geoplano.
e) Si es posible construya en el geoplano un cuadrado y un triángulo que tengan 6
puntos en común?
f) Si tal cosa es posible, construya en su geoplano un cuadrilátero y un triángulo que
cumplan las condiciones siguientes
a. Uno de los vértices del triángulo pertenece al cuadrilátero
b. Ninguno de los puntos del triángulo está en el exterior del cuadrilátero.

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g) Tres alumnos de quinto grado, Adilia, Beatriz y Carlos, construyeron cuadriláteros
en sus respectivos geoplanos. Luego Rodrigo construyó esos tres cuadriláteros en su
geoplano y así pudo descubrir el número de puntos comunes a los tres polígonos.
¿Cuál es ese número de puntos comunes?
9) Perímetros
a) Usando la convención de que la distancia entre clavos es de una unidad de longitud,
construya las siguientes figuras en su geoplano y encuentre sus respectivos perímetros
A B
a) Construya un cuadrado cuyo perímetro sea de 16 unidades
b) Construya un rectángulo cuyos lados menores miden 2 unidades y los lados
mayores son el triple de los menores. ¿Cuál es el perímetro de la figura descrita?
c) Construya un octágono cuyo perímetro sea de 16 unidades

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d) ¿Cuántos cuadrados de perímetros distintos pueden construir en el geoplano de 6x6
4
clavos?
e) Construya un hexágono cuyos lados sean tres de una unidad y las otras 3 de dos
unidades
f) Sí modificamos la convención de que la distancia horizontal y vertical en el
geoplano es de 1 unidad y se establece que es de 2 unidades, ¿Cuál es el perímetro
de la siguiente figura?
g) En general ¿Cómo cambia el perímetro de una figura si modificamos la convención
de la distancia entre clavos?, es decir ¿como cambia el perímetro si decimos que la
distancia vertical y horizontal entre clavos adyacentes es 2 unidades, o 3 unidades,
et.c?
h) En la figura se muestra solamente la mitad de la línea (una línea poligonal) que
Orlando construyó en su geoplano. Una de las diagonales del geoplano es un eje de
simetría de esa línea. ¿Cuál es la longitud de la línea que Orlando construyo?

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10) Áreas
Otra de las grandes aplicaciones del geoplano es el de averiguar el área de figuras.
Lo primero que debemos de establecer es la unidad con la que se realizará la medición.
Se llega a establecer que el cuadrado cuyo lado es igual a la distancia entre dos cuadrados
adyacentes es la unidad de área (u2).De esta manera el área de la siguiente figura es de 3 u2
pues el cuadrado u2 cabe 3 veces.
Problema 1.
¿De qué manera podríamos convencer a otra persona de que el área de este triángulo
1
rectángulo es de
u2?
2
Problema 2
¿Cómo podremos explicarle a alguien que el área de este triángulo rectángulo es de 1 u2?

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Problema 3
¿Cuál es el área de este triángulo rectángulo?
Problema 4
Calcule el área de este triángulo rectángulo
Problema 5
Determine las áreas de estos dos triángulos rectángulos.

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7
Encontrar el área por la sumas parciales de superficies
El área de algunas figuras es posible encontrarla por medio de la separación de está en
superficies fáciles de calcular y luego sumando las partes. Por ejemplo la figura
Se puede segmentar en
y luego sumar las áreas de las partes
Problema 6
Calcula las áreas de estos cuadriláteros.

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Problema 7
Usando la convención de la unida de área calcule el área de las siguientes figuras
A B C
Encontrar el área por diferencia de superficies
En otras ocasiones es más sencillo calcular el área de una figura encerrándola en un
rectángulo que la contenga y restando al área de este rectángulo las partes que no están
dentro de la figura.
Con el método anterior podemos calcular el área de figuras tales como
A1
A2
A3
A4
A5

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Problema 8
Calcule el área de estos seis triángulos.
Problema 9
¿Cuáles son las áreas de estos dos cuadriláteros?
Problema 10
Encuentre el área de las siguientes figuras
A B

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Problema 11
Encuentre el área de la siguiente figura
Hay casos en los que es favorable utilizar la combinación de varios métodos como por
ejemplo la siguiente figura
Problema 12
Construya las siguientes figuras en el geoplano y encuentre su área
A B C

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D E F
Problema 13
¿Cuál es el área de la figura sombreada en este geoplano?
Problema 14
Ramón construyo las figuras A, B, C, y D en su geoplano y se dio cuenta de de que dos
figuras que tienen área iguales son
a) A y D b) A y C c) A y B d) C y D

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Otros problemas de interés
1) Construya una figura que tenga perímetro 12
2) Construya una figura que tenga perímetro entre 9 y 10
3) Construya un cuadrilátero paralelogramo de área 12
4) Construya un cuadrilátero no paralelogramo de área 12
5) Construya un cuadrilátero de área 6 y de perímetro 10.
6) Construya un cuadrilátero de menor área que el anterior pero de mayor perímetro
7) Construya un polígono cuya área sea numéricamente mayor al perímetro
8) Construya dos figuras que tengan diferente perímetro pero igual área
9) Construya dos figuras que tengan diferente área pero igual perímetro
10) Construya un rectángulo cuya área sea numéricamente
2
de su perímetro
3
11) Cecilia acepta que todo polígono que es un cuadrado, también es un rectángulo. Ella
investigó usando su propio geoplano el número de rectángulo de áreas distintas que
puede construir en un geoplano de 3X3 clavos. ¿Cuál es ese número?
12) ¿Cuántos triángulos isósceles de áreas distintas pueden construirse en un geoplano
de 4 X 4 clavos?
13) Aquí vemos un geoplano de 3 por 3 calvos. ¿Cuántos cuadrados de áreas distintas
pueden ser construidos es este geoplano?

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14) En la figura vemos un geoplano de 5 por 5 clavos en el cual uno de los clavos es P.
13
¿Cuántos cuadrados pueden construirse en este geoplano de modo que uno de los
vértices de cada cuadrado sea el clavo P?
15) Amalia desea construir en su geoplano de 6X6 clavos, cuadrados sin lados
verticales y con áreas distintas ¿Cuántos cuadrados puede construir Amalia?
16) En la figura vemos un geoplano de 4 por 4 clavos en el cual uno de los clavos es A.
¿Cuántos cuadrados pueden construirse en este geoplano de modo que uno de los
vértices de cada cuadrado sea el clavo A?
17) En este geoplano la distancia entre dos clavos, horizontalmente y verticalmente, no
es una unidad sino dos unidades. ¿Cuál es el área de este cuadrilátero construido en
él?

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18) ¿Cómo se modifica el área de una figura al duplicar la distancia establecida
14
entre clavos? ¿y al triplicarla? ¿Qué relación en general se puede
establecer?
19) ¿Cuál es la razón del área de G al área de F?
20) Construya en su geoplano la figura que aquí se muestra. ¿Qué porcentaje del área de
la figura es el área del cuadrado sombreado?

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21) Estas figuras fueron trazadas en geoplanos muy grandes con clavos separados por
distancias de 1 cm vertical y horizontal. Jorge dibujo es este geoplano una sucesión
de rombos cuyos ángulos internos miden 90°. La figura A muestra el rombo número
1, la Figura B muestra los rombos 1 y 2, la figura C muestra los rombos 1, 2, y 3 y
así sucesivamente. ¿Cuál es, en centímetros cuadrados, el área del rombo número
seis?

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Problema 9

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