พื้นที่ผิวและปริมาตร

1. 1
พื้นที่ผิวและปริมาตร
วัตถุประสงค
1. นักเรียนสามารถคํานวณหาพื้นที่ของรูปเรขาคณิตได
2. นักเรียนสามารถบอกสวนประกอบของรูปทรงเรขาคณิตชนิดตาง ๆ ได
3. นักเรียนสามารถคํานวณหาปริมาตรของทรงเรขาคณิตได
4. นักเรียนสามารถคํานวณหาพื้นที่ผิวของทรงเรขาคณิตได
ความพรอม
นักเรียนจะเรียนรูเรื่องพื้นที่ผิว ปริมาตร พืนที่ผิวโคง ควรมีความรู ความเขาใจพืนฐานตอไปนี้
้ ้
1. การหาพื้นที่ คิดเพียง 2 มิติ มีหนวยการวัดเปนตารางหนวย
2. การหาปริมาตร คิด 3 มิติ มีหนวยการวัดเปนลูกบาศกหนวย
3. สมบัติ เกี่ยวกับมุม ดาน และเสนทแยงมุม ของรูปสี่เหลี่ยมและรูปสามเหลี่ยม
4. สูตรการหาพืนที่รูปเหลี่ยมตาง ๆ
้
4.1 สามเหลี่ยมใด ๆ = 1 × ฐาน × สูง
2
= s(s − a )(s − b )( s − c) เมื่อ a,b,c เปนความยาวของดานทั้งสาม
และ S = a + b + c
2
4.2 สามเหลี่ยมมุมฉาก = 1
2
× ผลคูณของดานประกอบมุมฉาก
4.3 สามเหลี่ยมดานเทา = 4
3
× (ดาน)2
2
4.4 สามเหลี่ยมฐานโคง = D
360
× πr (เมื่อ D คือมุมยอด)
4.5 สี่เหลี่ยมจัตุรัส = (ดาน) 2 หรือ (เสนทแยงมุม) 2
4.6 สี่เหลี่ยมผืนผา = กวาง × ยาว 2
4.7 สี่เหลี่ยมดานขนาน = ฐาน × สูง
4.8 สี่เหลี่ยมขนมเปยกปูน = 1 × ผลคูณของเสนทแยงมุม หรือ ฐาน × สูง
2
4.9 สี่เหลี่ยมคางหมู = 1
2
× สูง × ผลบวกดานคูขนาน หรือ
4.10 สี่เหลี่ยมดานไมเทา = 1
2
× เสนทแยงมุม × ผลบวกของเสนกิ่ง
4.11 สี่เหลี่ยมรูปวาว = 1
2
× ผลคูณของเสนทแยงมุม
4.12 เสนรอบวงของวงกลม = 2 πr หรือ πD (เมื่อ D คือเสนผานศูนยกลาง)
4.13 พื้นที่วงกลม = πr 2
4.14 พื้นที่ผิวทรงกลม = 4 πr 2
4.15 พื้นที่ผิวกรวยกลม = πrl (l = สูงเอียง)
C:คูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคณิตไมมีรั้วกลุมที่ 2 พื้นที่ผิวกรอบแนวคิด (23ก.ย.47).doc23กย.47

2. 2
4.16 ปริมาตรของทรงกลม = 4 3
3
πr
4.17 ปริมาตรทรง มุมฉาก = พื้นที่ฐาน × สูง หรือ กวาง × ยาว × สูง
4.18 ปริมาตรทรงกระบอก = พื้นที่ฐาน × สูงตรง
4.19 พื้นที่ผิวขางทรงกระบอก = 2 πrh หรือ เสนรอบวงที่ฐาน × สูง
4.20 ปริมาตรของพีระมิด = 1 × พื้นที่ฐาน × สูงตรง
3
4.21 ปริมาตรของกรวยกลม = 1
3
× พื้นที่ฐาน × สูง
5. ความรูเกี่ยวกับทฤษฎีทั่ว ๆ ไป ∆
5.1 การเทากันทุกประการของ
1.1 ด.ด.ด.
1.2 ด.ม.ด.
1.3 ด.ฉ.ด.
1.4 ม.ด.ม.
5.2 ทฤษฎีปทาโกรัส
a และ b เปนดานประกอบมุมฉาก และ c เปนดานตรงขามมุมฉาก จะได c2 = a2 + b2
5.3 การเทากันของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม
ทฤษฎีบท : สามเหลี่ยมสองรูปถามีฐานยาวเทากันหรือยูบนฐานเดียวกันและมีสวนสูง

เทากัน สามเหลี่ยมสองรูปนั้นจะมีพื้นที่เทากัน
A
B C
D
จากรูป
พื้นที่รูป ∆ ABD เทากับ
พื้นที่รูป ∆ADC
C:คูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคณิตไมมีรั้วกลุมที่ 2 พื้นที่ผิวกรอบแนวคิด (23ก.ย.47).doc23กย.47

3. 3
ปริซึม (Prism) คือทรงสามมิติที่มีหนาตัดหัวทายเปนรูปเหลี่ยมตาง ๆ เหมือนกันทั้งหัวและทาย
โดยมีพื้นทีเ่ ทากัน รูปแบบเดียวกันและขนานกัน ดานขางของปริซึมขนานกันและเปนความยาวของปริซึม
โดยพื้นทีดานขางเปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผาทุกรูป
่
ปริซึมมีหลายลักษณะขึ้นอยูกับหนาตัดของรูปนั้น ๆ เชน หนาตัดเปนรูปสามเหลี่ยม เรียกปริซึม

สามเหลี่ยม หนาตัดเปนรูปหาเหลี่ยม เรียกปริซึมหาเหลียม เปนตน
่
ปริซึมทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก ปริซึมหนาตัดสามเหลี่ยม ปริซึมหนาตัดหาเหลี่ยม
พื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึม = พื้นที่ผิวขาง + พื้นที่หนาตัดหัวทาย
พื้นที่ผิวขางของปริซึม = ความยาวเสนรอบฐาน × ความสูง
ปริมาตรของปริซึม = พื้นที่ฐาน × สูง
พีระมิด (Pyramid) คือทรงสามมิติที่มีฐานเปนรูปเหลียมใด ๆ มียอดแหลมซึ่งไมอยูบนระนาบ
่ 
เดียวกับฐาน และหนาทุกหนาเปนรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดรวมกันทียอดแหลมนัน
่ ้
นิยมเรียกชื่อของพีระมิดตามลักษณะของฐาน เชน พีระมิดฐานสามเหลี่ยม พีระมิดฐาน
สี่เหลี่ยมผืนผา พีระมิดฐานหกเหลี่ยมดานเทา เปนตน
ยอด ยอด
สัน สัน
สัน
สวนสูง
สูงเอียง
สัน
สวนสูง สัน
สัน ฐาน
ฐาน พีระมิดฐานรูปสามเหลี่ยม พีระมิดฐานรูปหกเหลี่ยม
C:คูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคณิตไมมีรั้วกลุมที่ 2 พื้นที่ผิวกรอบแนวคิด (23ก.ย.47).doc23กย.47

4. 4
พีระมิดแบงออกเปน 2 ลักษณะคือ พีระมิดตรงและพีระมิดเอียง
พีระมิดตรง หมายถึงพีระมิดที่มีฐานเปนรูปเหลี่ยมดานเทามุมเทา มีสันยาวเทากันทุกเสน
จะมีสูงเอียงทุกเสนยาวเทากัน และสวนสูงตั้งฉากกับฐานที่จุดซึ่งอยูหางจากจุดยอดมุมของรูปเหลี่ยม
 
ที่เปนฐานเปนระยะเทากันมีหนาทุกหนาเปนรูปสามเหลี่ยมหนาจัว สวนกรณีที่สนทุกสันยาวไมเทากัน
่ ั
สูงเอียงทุกเสนยาวไมเทากัน เรียกวา พีระมิดเอียง
ยอด
ยอด
สัน
สัน
สวนสูง
หนา หนา
สูงเอียง สวนสูง
ฐาน สูงเอียง
ฐาน
พีระมิดตรง พีระมิดเอียง
พื้นที่ผิวของพีระมิด (Surface area of pyramid)
พื้นที่ของหนาทุกหนาของพีระมิดรวมกันเรียกวา พื้นที่ผวขางของพีระมิด และพืนทีผิวขาง
ิ ้ ่
ของพีระมิดรวมกับพื้นที่ฐานของพีระมิดเรียกวา พื้นที่ผิวของพีระมิด
สูตรการหาพืนที่ผิวของพีระมิด
้
พื้นที่ผิวขาง 1 ดาน = 1
2
× ฐาน × สูงเอียง
พื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ฐาน + พืนที่ผวขางทุกดาน
้ ิ
ในกรณีที่เปนพีระมิดตรงและมีฐานเปนรูปเหลี่ยมดานเทาทุกเทา
พื้นที่ผิวขางทุกดาน = 1
2
× ความยาวเสนรอบฐาน × สูงเอียง
ปริมาตรของพีระมิด = 1
3
× พื้นที่ฐาน × สูง
C:คูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคณิตไมมีรั้วกลุมที่ 2 พื้นที่ผิวกรอบแนวคิด (23ก.ย.47).doc23กย.47

5. 5
ทรงกระบอก
ทรงกระบอก (Cylinder) คือ ทรงสามมิติที่มีฐานเปนรูปวงกลมที่เทากันทุกประการ และอยูใน
ระนาบที่ขนานกัน เมื่อตัดทรงสามมิตินี้ดวยระนาบทีขนานกับฐานแลว จะไดรอยตัดเปนวงกลมที่เทากัน
่
ทุกประการกับฐานเสมอ
หนาตัดหรือฐาน
แกน
สวนสูง
หนาตัดหรือฐาน
รัศมี
พื้นที่ผิวของทรงกระบอก (Surface area of cylinder)
พื้นที่ผิวของทรงกระบอก ประกอบดวยพืนที่ผิวขางของทรงกระบอก และพื้นทีฐานทั้งสองของ
้ ่
ทรงกระบอก
พื้นที่ฐาน πr 2 2 πr 2
h h
คลี่ออก พื้นที่ผิวขาง
พื้นที่ฐาน πr 2
พื้นที่ผิวของทรงกระบอก = พื้นที่ผิวขางของทรงกระบอก + พื้นที่ฐานของทรงกระบอก
ถาทรงกระบอกมีสวนสูงยาว h หนวย
ฐานมีรัศมียาว r หนวย จะได
พื้นที่ผิวขางของทรงกระบอก = 2πrh
พื้นที่ฐานทั้งสองของทรงกระบอก = 2 πr 2
ดังนั้น พื้นที่ผิวของทรงกระบอก = 2πrh + 2πr 2 ตารางหนวย
หรือ = 2πr (h + r ) ตารางหนวย
r แทนรัศมีของฐานของทรงกระบอก
h แทนความสูงของทรงกระบอก
C:คูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคณิตไมมีรั้วกลุมที่ 2 พื้นที่ผิวกรอบแนวคิด (23ก.ย.47).doc23กย.47

6. 6
ปริมาตรทรงกระบอก
ปริมาตรทรงกระบอก = พื้นที่ฐาน × สูง
ปริมาตรทรงกระบอก = πr 2 h
กรวย (Cone)
กรวย (Cone) คือทรงสามมิติที่มีฐานเปนรูปวงกลม มียอดแหลมที่ไมอยูบนระนาบเดียวกับฐาน
และเสนที่ตอระหวางจุดยอดและจุดใด ๆ บนขอบของฐานเปนสวนของเสนตรงที่ยาวเทากัน เรียก สูงเอียง
และกรวยที่มสูงเอียงยาวเทากันเรียกวา กรวยตรง
ี
ยอด
สูงเอียง
สวนสูง
แกน
ฐาน
รัศมี
กรวยตรง กรวยเอียง
พื้นที่ผิวของกรวย (Surface area of cone)
พื้นที่ผิวของกรวย เปนพื้นทีของรูปสามเหลี่ยมฐานโคง ประกอบดวยพื้นที่ผิวขางกับพื้นที่ฐาน
่
ของกรวย
พื้นที่ผิวของกรวย = พื้นที่ผิวขางของกรวย + พืนที่ฐานของกรวย
้
ถากรวยมีสวนสูงเอียง l หนวย และรัศมีที่ฐานของกรวยยาว r หนวย
จะได พื้นที่ผิวขางของกรวย = πrl ตารางหนวย
พื้นที่ฐานของกรวย = πr 2 ตารางหนวย
ดังนั้น พื้นที่ผิวของกรวย = πrl + πr 2 ตารางหนวย
เมื่อ r แทนรัศมีของฐานกรวย และ l แทนความสูงเอียงของกรวย
C:คูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคณิตไมมีรั้วกลุมที่ 2 พื้นที่ผิวกรอบแนวคิด (23ก.ย.47).doc23กย.47

7. 7
ปริมาตรของกรวย (Volume of cone)
ปริมาตรของกรวย = 1 ของปริมาตรของทรงกระบอกซึ่งมีพื้นที่ฐานและความสูงเทากับกรวย
3
ปริมาตรของกรวย = 1 2
3
πr h ลูกบาศกหนวย
เมื่อ r แทนรัศมีของฐานกรวย และ h แทนความสูงของกรวย
ทรงกลม (Sphere)
ทรงกลม (Sphere) คือทรงสามมิติที่มีผิวเรียบโคงและจุดทุกจุดบนผิวโคงอยูหางจากจุดคงที่จุดหนึง
่
เปนระยะเทากัน จุดคงที่นนเรียกวา จุดศูนยกลางของทรงกลม และระยะที่เทากันนั้นเรียกวา รัศมีของทรงกลม
ั้
วงกลมใหญ
ผิวโคงเรียบ
เสนผานศูนยกลางวงกลมใหญ
จุดศูนยกลาง
รัศมี
พื้นที่ผิวของทรงกลม (Surface area sphere)
พื้นที่ผิวของทรงกลม เปนสี่เทาของพื้นที่รูปวงกลม ซึ่งมีรัศมีเทากับรัศมีของทรงกลมนั้น
ดังนั้น พืนที่ผิวของทรงกลม =
้ 4πr 2 ตารางหนวย
เมื่อ r แทนรัศมีของทรงกลม
C:คูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคณิตไมมีรั้วกลุมที่ 2 พื้นที่ผิวกรอบแนวคิด (23ก.ย.47).doc23กย.47

8. 8
ปริมาตรของทรงกลม (Volume of sphere)
ปริมาตรของทรงกลม = 4 3
3
πr ลูกบาศกหนวย
เมื่อ r แทนรัศมีของทรงกลม
วิธีการนําเสนอ
ตัวอยาง ถังน้ําสี่เหลี่ยมมุมฉากกวาง 3 เมตร ยาว 7 เมตร มีน้ําบรรจุอยู 105 ลูกบาศกเมตร
ระดับน้ําจะสูงกี่เมตร
แนวคิด ปริมาตร = กวาง × ยาว × สูง
ปริมาตร
สูง =
กวาง × ยาว
105
ระดับน้ําสูง = 3×7
= 5 เมตร
ตอบ 5 เมตร
C:คูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคณิตไมมีรั้วกลุมที่ 2 พื้นที่ผิวกรอบแนวคิด (23ก.ย.47).doc23กย.47