Limitet

1. 1) lim
x 9
x 3
x 3 x 3
x9
1
1
 lim

 lim
 lim

x 9 x  9
x 9
x  3 x 9 ( x  9)( x  3) x 9 x  3 6
4  x2
4  x2
3  x2  5
4  x 2 (3  x 2  5)
4  x2
2) lim
 lim 

 lim
 6  lim
 6 1  6
x 2
x 2 4  x 2
9  x2  5
3  x 2  5 x 2 3  x 2  5 3  x 2  5 x 2
9  x2
9  x2
3x  3
9  x2
x2  9
( x  3)( x  3)
66
3) lim
 lim

 6 lim
 6 lim
 6 lim

 12
x 3
x 3 3 x  9
x 3
3( x  3)
3
3 x  3 x 3 3 x  3 3 x  3 x 3 3 x  9
x2  4x  3
( x  1)( x  3)
x  1 3  1
 lim
 lim

 1
x 3
x 3 2
2x  6
2( x  3)
2
x 3
x
x
x
x
x
x
x
sin 2
sin sin
sin
sin
sin
sin
3
3  lim
3  lim
3  1  1 lim
3  lim
3 1
5) lim 2 3  lim
x 0
x 0
x 0 3 x
x 0 3 x
x
x
x
3 3 x 0 x x 0 x
9
3
3
3
3
sin 7 x  sin 2 x
sin 7 x sin 2 x
sin 7 x
sin 2 x
6) lim
 lim

 lim
 lim
725
x 0
x 0
x 0
x 0
7x
2x
x
x
x
7
2
1 y 1
sin 2 y
sin 2 y
sin 2 y
sin 2 y
7) lim
 lim

 2 lim
 2 lim
 22  4
y 0 1  y  1
y 0
y 0 1  y  1
y 0
2y
1  y 1 1  y 1
2
sin( x  1)
sin( x  1)
1
sin( x  1)
1
sin( x  1)
1
8) lim
 lim
 lim
  lim

3
2
2
x 1
x 1 (1  x )(1  1  x  x )
1 x
3 x 1 1  x
3 x 1 x  1
3
4) lim
 e x   1  lim  e x   1 
e ax  ebx
e ax  1  (ebx  1)
e ax  1
ebx  1
9) lim
 lim
 lim
 lim
 lim
x 0
x 0
x 0
x 0
x 0
x 0
x
x
x
x
x
x
a
b
 ln e  ln e  a ln e  b ln e  a  b
a
ex 1
VETI : lim
 ln e...
x 0
x
sin px
px
sin px
sin px
p
p
p
px
10) lim
 lim
 lim

x 0 sin qx
x 0 sin qx
q x 0 sin qx q
qx
qx
q
b

2. 1
x
11) lim 1  x  / / zv..
x 0
1
1
 t , x  0,, t  ... x 
x
t
x
t
 1
 1
Nga vetia lim 1    e , kemi : lim 1    e
x 
t 
 x
 t
sin 2 x  sin 2 a
(sin x  sin a)(sin x  sin a)
sin x  sin a
12) lim
 lim
 2sin a lim
2
2
2
2
x a
x a
x  a ( x  a )( x  a )
x a
x a
xa
xa
xa
xa
2 cos
sin
sin
sin
2
2  2sin a 2 cos a lim
2
2
2sin a lim
 2sin a 2 cos a lim
xa
x  a ( x  a )( x  a )
x  a 2( x  a )
( x  a )( x  a )
( x  a)
2
xa
sin
2sin a cos a
2 / / pas zv. te x  a  t , ku x  a, atehere t  0 fitojme :

lim
xa
xa
2a
2
2
2sin a cos a
sin t 2sin a cos a sin 2a

lim


.
t 0
2a
t
2a
2a
* Duke ditur se sin 2  2sin  cos 
2  1  cos x
2  1  cos x 2  1  cos x
1
2  1  cos x
 lim


lim

x 0
x 0
x 0
sin 2
sin 2 x
sin 2 x
2  1  cos x 2 2
1
1  cos x
1
1  cos x 1  cos x
1 1
1  cos 2 x
1 1
sin 2 x
lim

lim


 lim

 lim 2 
2
2
2
2 2 x 0 sin x
2 2 x 0 sin x 1  cos x 2 2 2 x 0 sin x
2 2 2 x 0 sin x
13) lim
1
1
1
1
2
2
 



8
2 2 2 4 2 4 2 2
ex 1
ex 1
lim
ex 1
x 0
x  ln e  ln e  1
14) lim
 lim x 
x  0 sin x
x  0 sin x
sin x
1
lim
x 0
x
x

3. 1  sin 2 x
sin 2 x  cos 2 x  2sin x cos x
sin 2 x  2sin x cos x  cos 2 x
 lim
 lim




1  cos 4 x
1  cos 4 x
x  1  cos 4 x
x
x
15. lim
4
 lim
x
4
 sin x  cos x 
4
2
1  cos 4 x

4
x
1  cos x

/ / e ngrismi n ' katror
2
2
x 1  cos x
x
cos 2 
 2 cos 2  1  cos x
2
2
2
cos
4x
1  cos 4 x  2 cos 2
2 x
2
 1  cos x atehere
Pasi vertetuam se: 2cos
2
2
 1  cos 4 x  2 cos 2 x
 sin x  cos x 
 lim
x

2 cos 2 x
4
 lim
x
2

4
2
/ / pasi qe cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x, atehere kemi :
 sin x  cos x 
2
2  cos 2 x  sin 2 x 
 sin x  cos x 
 lim
2
2

x  2  cos x  sin x   cos x  sin x 
4
2
2
1
1
1
1
1
 
 
 
2
2
2  2
2 2 2
2
2





2
2 
2 


1
 2
2
 lim
x
2  cos x  sin x 
4

1 1 1
  
2 2 4
x3  1
( x  1)( x 2  x  1)
( x  1)
16. lim
 lim
 1  lim
x 1 sin( x  1)
x 1
x 1 sin( x  1)
sin( x  1)
zv. x  1  t ,,,, kur x  1; t  0 dhe kemi :
t
1 lim
 1 1  1
t 0 sin t
x 3 3
x 3 3 x3 3
x 39
 lim 2

 lim
2
x 6
x 6
x  36
x  36
x  3  3 x6 ( x  6)( x  6)  x  3  3
1
x6
1
1
1 1
1
lim
 lim
  
6 x 6 ( x  6)( x  6) 6 x 6 x  6 6 12 72
17. lim
1
2

4. 1  4x
4x 1
ln(1  t )
  lim
/ / zv. 4 x  1  t  4 x  t  1/ (ln)  x ln(4)  ln(1  t )  x 
x 0
x 0
x
x
ln(4)
t
1
1
1
  lim
  ln 4 lim
/ / zv.  u,, t  0; u  ... t 
1
t 0 ln(1  t )
t 0
t
u
ln 1  t  t
ln(4)
1
1
  ln 4 lim
  ln 4 
  ln 4
u
u 
ln e
1

ln 1  
 u
18. lim
36  x 2 6  6 x
(6  x)(6  x)
(6  x)(6  x)
(6  x)
19. lim

 12  lim
 12 lim
 12 lim
x 6 6  6 x 6  6 x
x 6
x 6
x 6
36  6 x
6(6  x)
6
12
 12   24
6
sin 2 x  sin 2 m
(sin x  sin m)(sin x  sin m)
sin x  sin m
 lim
 2sin m lim
2
2
2
2
x m
x m
x m
x m
x m
( x  m)( x  m)
xm
xm
xm
xm
2 cos
sin
sin
sin
2
2  2sin m2 cos m lim
2
2
2sin m lim
 2sin m2 cos m lim
x m
x  m ( x  m)( x  m)
x  m 2( x  m)
( x  m)( x  m)
( x  m)
2
xm
sin
2sin m cos m
2 / / pas zv. te x  m  t , ku x  m, atehere t  0 fitojme :

lim
x m
xm
2m
2
2
2sinm cos m
sin t 2sinm cos m sin 2m

lim


.
t 0
2m
t
2m
2m
* Duke ditur se sin 2  2sin  cos 
20. lim
11
21. lim
x 11

x7 2
121  x 2


  1 lim 11( x  11)   1 lim 11( x  11)   1 lim 11( x  11)
121  x
4
x  121
4
( x  11)( x  11)
x  7  2 4
x7 2
1
11
1 11
1
  lim
 

4 x 11 ( x  11)
4 22
8
x 11
2
x 11
2
x 11

5. 22) lim
x 9
x 3
x 3 x 3
x 9
1
1
 lim

 lim
 lim

x  9 x 9 x  9
x  3 x 9 ( x  9)( x  3) x 9 x  3 6
4  x2
4  x2
3  x2  5
4  x 2 (3  x 2  5)
4  x2
23) lim
 lim 

 lim
 6  lim
 6 1  6
x 2
x 2 4  x 2
9  x2  5
3  x 2  5 x 2 3  x 2  5 3  x 2  5 x 2
9  x2
9  x2
3x  3
9  x2
x2  9
( x  3)( x  3)
66
24) lim
 lim

 6lim
 6lim
 6lim

 12
x 3 3 x  3
x 3 3 x  3
x 3 3 x  9
x 3
3( x  3)
3
3 x  3 x 3 3 x  9
x2  4x  3
( x  1)( x  3)
x  1 3  1
25) lim
 lim
 lim

 1
x 3
x 3 2
2x  6
2( x  3)
2
x 3
x
x
x
x
x
x
x
sin 2
sin sin
sin
sin
sin
sin
1 1
1
26) lim 2 3  lim 3  3  lim 3  lim 3   lim 3  lim 3 
x 0
x 0
x 0 3 x
x 0 3 x
x
x
x
3 3 x 0 x x 0 x
9
3
3
3
3
sin 7 x  sin 2 x
sin 7 x sin 2 x
sin 7 x
sin 2 x
27) lim
 lim

 lim
 lim
72 5
x 0
x 0
x 0 7 x
x 0 2 x
x
x
x
7
2
1 y 1
sin 2 y
sin2 y
sin 2 y
sin 2 y
28) lim
 lim

 2lim
 2lim
 22  4
y 0 1  y  1
y 0 1  y  1
y 0 1  y  1
y 0 2 y
1 y 1
2
sin( x  1)
sin( x  1)
1
sin( x  1)
1
sin( x  1)
1
29) lim
 lim
 lim
  lim

3
2
2
x 1 1  x
x 1 (1  x )(1  1  x  x )
3 x1 1  x
3 x1 x  1
3
e 
1
 lim
e e
e  1  (e  1)
e 1
e
 lim
 lim
 lim
x 0
x 0
x 0
x 0
x
x
x
x
a
b
 ln e  ln e  a ln e  b ln e  a  b
ax
bx
ax
bx
ax
30) lim
ex 1
VETI : lim
 ln e...
x 0
x
sin px
px
sin px
sin px
p
p
p
px
31) lim
 lim
 lim

x 0 sin qx
x 0 sin qx
q x0 sin qx q
qx
qx
q
bx
x a
x 0
x
1
e 
 lim
x b
x 0
x
1


6. x 2

x2
x x  lim
32) lim
/ / pjestojme me x dhe kemi : lim
x  x  2
x  x
2 x

x x
x
1
2
x
x  1 0  1
x
1 1 0
2
x
x
1
VEREJTJE: p  0, ku p  1
x
sin 3x
sin 3x
sin 3x
sin u
 lim
 3lim
/ / zv. 3 x  t / / dhe kemi 3lim
 3 1  3
x 0
x 0 3 x
x 0 3 x
u 0 u
x
3
sin x
VEREJTJE : lim
1
x 0
x
sin( x  1)
sin( x  1)
sin( x  1)
1
sin( x  1)
1
sin t
x
34) lim 2
 lim 2 2  lim
 lim
/ / zv.kur1t1, t 0 / / dhe kemi : lim

x
x 1
x 1 x  1
x 1 ( x  1)( x  1)
x 1
2 x1 x  1
2 t 0 t
1
1
1 
2
2
3x 2  6 x
3x( x  2)
3x( x  2)
3x
3 2
6 1
35) lim 3
 lim 3 3  lim
 lim 2
 2
 
2
2
x 2 x  8
x 2 x  2
x  2 ( x  2)( x  2 x  2 )
x 2 x  2 x  4
2  2  2  4 12 2
33) lim