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Limiti i Funksionit USHTRIME

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Limitet

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Limiti i Funksionit USHTRIME

  1. 1. 1) lim x 9 x 3 x 3 x 3 x9 1 1  lim   lim  lim  x 9 x  9 x 9 x  3 x 9 ( x  9)( x  3) x 9 x  3 6 4  x2 4  x2 3  x2  5 4  x 2 (3  x 2  5) 4  x2 2) lim  lim    lim  6  lim  6 1  6 x 2 x 2 4  x 2 9  x2  5 3  x 2  5 x 2 3  x 2  5 3  x 2  5 x 2 9  x2 9  x2 3x  3 9  x2 x2  9 ( x  3)( x  3) 66 3) lim  lim   6 lim  6 lim  6 lim   12 x 3 x 3 3 x  9 x 3 3( x  3) 3 3 x  3 x 3 3 x  3 3 x  3 x 3 3 x  9 x2  4x  3 ( x  1)( x  3) x  1 3  1  lim  lim   1 x 3 x 3 2 2x  6 2( x  3) 2 x 3 x x x x x x x sin 2 sin sin sin sin sin sin 3 3  lim 3  lim 3  1  1 lim 3  lim 3 1 5) lim 2 3  lim x 0 x 0 x 0 3 x x 0 3 x x x x 3 3 x 0 x x 0 x 9 3 3 3 3 sin 7 x  sin 2 x sin 7 x sin 2 x sin 7 x sin 2 x 6) lim  lim   lim  lim 725 x 0 x 0 x 0 x 0 7x 2x x x x 7 2 1 y 1 sin 2 y sin 2 y sin 2 y sin 2 y 7) lim  lim   2 lim  2 lim  22  4 y 0 1  y  1 y 0 y 0 1  y  1 y 0 2y 1  y 1 1  y 1 2 sin( x  1) sin( x  1) 1 sin( x  1) 1 sin( x  1) 1 8) lim  lim  lim   lim  3 2 2 x 1 x 1 (1  x )(1  1  x  x ) 1 x 3 x 1 1  x 3 x 1 x  1 3 4) lim  e x   1  lim  e x   1  e ax  ebx e ax  1  (ebx  1) e ax  1 ebx  1 9) lim  lim  lim  lim  lim x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x x x x x x a b  ln e  ln e  a ln e  b ln e  a  b a ex 1 VETI : lim  ln e... x 0 x sin px px sin px sin px p p p px 10) lim  lim  lim  x 0 sin qx x 0 sin qx q x 0 sin qx q qx qx q b
  2. 2. 1 x 11) lim 1  x  / / zv.. x 0 1 1  t , x  0,, t  ... x  x t x t  1  1 Nga vetia lim 1    e , kemi : lim 1    e x  t   x  t sin 2 x  sin 2 a (sin x  sin a)(sin x  sin a) sin x  sin a 12) lim  lim  2sin a lim 2 2 2 2 x a x a x  a ( x  a )( x  a ) x a x a xa xa xa xa 2 cos sin sin sin 2 2  2sin a 2 cos a lim 2 2 2sin a lim  2sin a 2 cos a lim xa x  a ( x  a )( x  a ) x  a 2( x  a ) ( x  a )( x  a ) ( x  a) 2 xa sin 2sin a cos a 2 / / pas zv. te x  a  t , ku x  a, atehere t  0 fitojme :  lim xa xa 2a 2 2 2sin a cos a sin t 2sin a cos a sin 2a  lim   . t 0 2a t 2a 2a * Duke ditur se sin 2  2sin  cos  2  1  cos x 2  1  cos x 2  1  cos x 1 2  1  cos x  lim   lim  x 0 x 0 x 0 sin 2 sin 2 x sin 2 x 2  1  cos x 2 2 1 1  cos x 1 1  cos x 1  cos x 1 1 1  cos 2 x 1 1 sin 2 x lim  lim    lim   lim 2  2 2 2 2 2 x 0 sin x 2 2 x 0 sin x 1  cos x 2 2 2 x 0 sin x 2 2 2 x 0 sin x 13) lim 1 1 1 1 2 2      8 2 2 2 4 2 4 2 2 ex 1 ex 1 lim ex 1 x 0 x  ln e  ln e  1 14) lim  lim x  x  0 sin x x  0 sin x sin x 1 lim x 0 x x
  3. 3. 1  sin 2 x sin 2 x  cos 2 x  2sin x cos x sin 2 x  2sin x cos x  cos 2 x  lim  lim     1  cos 4 x 1  cos 4 x x  1  cos 4 x x x 15. lim 4  lim x 4  sin x  cos x  4 2 1  cos 4 x  4 x 1  cos x  / / e ngrismi n ' katror 2 2 x 1  cos x x cos 2   2 cos 2  1  cos x 2 2 2 cos 4x 1  cos 4 x  2 cos 2 2 x 2  1  cos x atehere Pasi vertetuam se: 2cos 2 2  1  cos 4 x  2 cos 2 x  sin x  cos x   lim x  2 cos 2 x 4  lim x 2  4 2 / / pasi qe cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x, atehere kemi :  sin x  cos x  2 2  cos 2 x  sin 2 x   sin x  cos x   lim 2 2  x  2  cos x  sin x   cos x  sin x  4 2 2 1 1 1 1 1       2 2 2  2 2 2 2 2 2      2 2  2    1  2 2  lim x 2  cos x  sin x  4  1 1 1    2 2 4 x3  1 ( x  1)( x 2  x  1) ( x  1) 16. lim  lim  1  lim x 1 sin( x  1) x 1 x 1 sin( x  1) sin( x  1) zv. x  1  t ,,,, kur x  1; t  0 dhe kemi : t 1 lim  1 1  1 t 0 sin t x 3 3 x 3 3 x3 3 x 39  lim 2   lim 2 x 6 x 6 x  36 x  36 x  3  3 x6 ( x  6)( x  6)  x  3  3 1 x6 1 1 1 1 1 lim  lim    6 x 6 ( x  6)( x  6) 6 x 6 x  6 6 12 72 17. lim 1 2
  4. 4. 1  4x 4x 1 ln(1  t )   lim / / zv. 4 x  1  t  4 x  t  1/ (ln)  x ln(4)  ln(1  t )  x  x 0 x 0 x x ln(4) t 1 1 1   lim   ln 4 lim / / zv.  u,, t  0; u  ... t  1 t 0 ln(1  t ) t 0 t u ln 1  t  t ln(4) 1 1   ln 4 lim   ln 4    ln 4 u u  ln e 1  ln 1    u 18. lim 36  x 2 6  6 x (6  x)(6  x) (6  x)(6  x) (6  x) 19. lim   12  lim  12 lim  12 lim x 6 6  6 x 6  6 x x 6 x 6 x 6 36  6 x 6(6  x) 6 12  12   24 6 sin 2 x  sin 2 m (sin x  sin m)(sin x  sin m) sin x  sin m  lim  2sin m lim 2 2 2 2 x m x m x m x m x m ( x  m)( x  m) xm xm xm xm 2 cos sin sin sin 2 2  2sin m2 cos m lim 2 2 2sin m lim  2sin m2 cos m lim x m x  m ( x  m)( x  m) x  m 2( x  m) ( x  m)( x  m) ( x  m) 2 xm sin 2sin m cos m 2 / / pas zv. te x  m  t , ku x  m, atehere t  0 fitojme :  lim x m xm 2m 2 2 2sinm cos m sin t 2sinm cos m sin 2m  lim   . t 0 2m t 2m 2m * Duke ditur se sin 2  2sin  cos  20. lim 11 21. lim x 11  x7 2 121  x 2     1 lim 11( x  11)   1 lim 11( x  11)   1 lim 11( x  11) 121  x 4 x  121 4 ( x  11)( x  11) x  7  2 4 x7 2 1 11 1 11 1   lim    4 x 11 ( x  11) 4 22 8 x 11 2 x 11 2 x 11
  5. 5. 22) lim x 9 x 3 x 3 x 3 x 9 1 1  lim   lim  lim  x  9 x 9 x  9 x  3 x 9 ( x  9)( x  3) x 9 x  3 6 4  x2 4  x2 3  x2  5 4  x 2 (3  x 2  5) 4  x2 23) lim  lim    lim  6  lim  6 1  6 x 2 x 2 4  x 2 9  x2  5 3  x 2  5 x 2 3  x 2  5 3  x 2  5 x 2 9  x2 9  x2 3x  3 9  x2 x2  9 ( x  3)( x  3) 66 24) lim  lim   6lim  6lim  6lim   12 x 3 3 x  3 x 3 3 x  3 x 3 3 x  9 x 3 3( x  3) 3 3 x  3 x 3 3 x  9 x2  4x  3 ( x  1)( x  3) x  1 3  1 25) lim  lim  lim   1 x 3 x 3 2 2x  6 2( x  3) 2 x 3 x x x x x x x sin 2 sin sin sin sin sin sin 1 1 1 26) lim 2 3  lim 3  3  lim 3  lim 3   lim 3  lim 3  x 0 x 0 x 0 3 x x 0 3 x x x x 3 3 x 0 x x 0 x 9 3 3 3 3 sin 7 x  sin 2 x sin 7 x sin 2 x sin 7 x sin 2 x 27) lim  lim   lim  lim 72 5 x 0 x 0 x 0 7 x x 0 2 x x x x 7 2 1 y 1 sin 2 y sin2 y sin 2 y sin 2 y 28) lim  lim   2lim  2lim  22  4 y 0 1  y  1 y 0 1  y  1 y 0 1  y  1 y 0 2 y 1 y 1 2 sin( x  1) sin( x  1) 1 sin( x  1) 1 sin( x  1) 1 29) lim  lim  lim   lim  3 2 2 x 1 1  x x 1 (1  x )(1  1  x  x ) 3 x1 1  x 3 x1 x  1 3 e  1  lim e e e  1  (e  1) e 1 e  lim  lim  lim x 0 x 0 x 0 x 0 x x x x a b  ln e  ln e  a ln e  b ln e  a  b ax bx ax bx ax 30) lim ex 1 VETI : lim  ln e... x 0 x sin px px sin px sin px p p p px 31) lim  lim  lim  x 0 sin qx x 0 sin qx q x0 sin qx q qx qx q bx x a x 0 x 1 e   lim x b x 0 x 1 
  6. 6. x 2  x2 x x  lim 32) lim / / pjestojme me x dhe kemi : lim x  x  2 x  x 2 x  x x x 1 2 x x  1 0  1 x 1 1 0 2 x x 1 VEREJTJE: p  0, ku p  1 x sin 3x sin 3x sin 3x sin u  lim  3lim / / zv. 3 x  t / / dhe kemi 3lim  3 1  3 x 0 x 0 3 x x 0 3 x u 0 u x 3 sin x VEREJTJE : lim 1 x 0 x sin( x  1) sin( x  1) sin( x  1) 1 sin( x  1) 1 sin t x 34) lim 2  lim 2 2  lim  lim / / zv.kur1t1, t 0 / / dhe kemi : lim  x x 1 x 1 x  1 x 1 ( x  1)( x  1) x 1 2 x1 x  1 2 t 0 t 1 1 1  2 2 3x 2  6 x 3x( x  2) 3x( x  2) 3x 3 2 6 1 35) lim 3  lim 3 3  lim  lim 2  2   2 2 x 2 x  8 x 2 x  2 x  2 ( x  2)( x  2 x  2 ) x 2 x  2 x  4 2  2  2  4 12 2 33) lim

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