1. x
Calculul unor sume in gimnaziu
Exercitii in care se cere calcularea unei sume de mai multi termeni sunt intalnite
chiar in manualele de clasa a-IV-a sau a-V-a.Am considerat necesara demonstrarea
unor formule de calcul pentru acestea ,altele decat cele ce folosesc inductia
matematica sau o pseudo-inductie matematica,in ideea de a le folosi in rezolvarea
unor probleme propuse pentru diferite concursuri.
Calculul unor sume de numere
1. S= 1 +2 +3 + …+(n-2) +(n-1) +n
S=n +(n-1)+(n-2)+… + 3 +2 +1
2S=n+1+n+1+n+1+…+n+1+n+1+n+1
2S=n(n+1)
n( n +1)
S=
2
2. S=1 + 3 + 5 +…..+(2n-5)+(2n-3)+(2n-1)
S=(2n-1)+(2n-3)+(2n-5)+…+ 5 + 3 + 1
2S=2n + 2n +2n +…+ 2n + 2n + 2n
2S=2n.n
2
S= n
2 n −2 x n −1 n
3. S=1 + x + x +…+ x + x + x
x + x2 + x
3 n −1 n
Sx= + ... + . x +x
n +1
Sx-S = x −1
n +1
S(x-1) = x −1
n +1
S=( x -1)/( x -1)
2 2 2 2
4. S=
1 2 + 3 +…+ n
+
Folosind suma primelor n numere naturale impare putem scrie:
2
1 =1
1

2. 2
2 =1+3
2
3 =1+3+5
…………………………….
2
k =1+3+5+…+(2k-1)
…………;…………………..
2
n =1+3+5+…+(2k-1)+…+(2n-1)
Adunand membru cu membru obtinem:
S=n.1+(n-1).3+(n-2).5+…+(n-k+1).(2k-1)+…+2.(2n-3)+(2n-1)
Termenul general are forma:(2k-1).(n-k+1) si poate fi scris:
2
k +k,atunci:
(2k-1).(n-k+1)=(n+1).(2k-1)-2
2 2 2 2
S=(n+1).(1+3+5+…+2n-1)-2(
1 + 2 + 3 +…+ n )+(1+2+3+…+n)
2
3S=(n+1). n +n(n+1)/2
2
6S=2.(n+1). n +n.(n+1)
6S=n(n+1)(2n+1)
n(n +1)(2n +1)
S=
6
1 1 1 1
5. S= + + +…+ n( n +1)
1.2 2.3 3.4
1 1 1
Se demonstreaza usor ca: n( n +1) = - ⇒
n n +1
1 1 1 1 1 1 1 1 n
S= - + - +…+ - = - =
1 2 2 3 n n +1 1 n +1 n +1
k 1 1
Generalizare: n(n + k ) = -
n n +k
Aplicatii:
a) Calculati suma cifrelor numarului:
x=9+99+999+…+99..99,unde ultimul termen are 2008 cifre.
Numarul x se mai poate scrie:
2 3 2008 2 3 2008
x=10-1+10 -1+10 -1+…+10 -1=(10+10 +10 +…+10 -1=
2 3 2008 2 2007
=(10+10 +10 +…+10 )-2008=10(1+10+10 +…+10 )-2008=
2008
=10. 10
−1 999..99
-2008=10. -2008=10.111…11-2008=111…1109102.In
9
10 − 1
rezultat apare de 2004 ori,deci suma cifrelor va fi :2016.
Generalizare:
Pentru a calcula: S=a+ aa + aaa +…+ aa...aa se calculeaza:
2

3. a
(9+99+999+…+99…9)
9
3 5 7 85
b)Calculati: S= + + +…+
1.4 4.9 9.16 1764.1849
k 1 1
Se foloseste relatia: n(n + k ) = - si avem:
n n +k
1 1 1 1 1 1 1 1 1848
S= - + - + - +…+ - =
1 4 4 9 9 16 1764 1849 1849
c)Sa se calculeze:
1 1 1 1
S= 1.( k +1) + ( k +1)(2k +1) + (2k +1)(3k +1) +…+ [(n −)k +1](nk +1)
Se observa ca diferenta dintre factorii de la numitor este k,deci vom inmulti cu k si
obtinem:
k k k k
Sk= 1.( k +1) + (k +1)(2k +1) + (2k +1)(3k +1) +…+ [(n −1) k +1](nk +1) =
1 1 1 1 1 1 1 1
= - + - + - +…+ ( n −1) k +1 - =
1 k +1 k +1 2k +1 2k +1 3k +1 nk +1
1 1 nk +1 −1 nk n
= - = = ,de unde:S= .
1 nk +1 nk +1 nk +1 nk +1
d)Aratati ca numarul :
2 3 2006
N=1+2+
2 +2 2 nu este patrat perfect.
+…+
2007
Calculand N obtinem: N=
2 -1
2007 2007
U(
2 -1)=U(U( 2 )-1)=7.Cum nici un patrat perfect nu se termina in 2,3,7,8
rezulta N nu este patrat perfect.
e)Sa se calculeze suma:
(2n − )
2 2 2
1
2
S=
1 3 5 + + +…+
Se porneste de la (2n − ) =4. n -4.n+1 avem:
2 2
1
2 2
1 =4.1 -4.1+1
2 2
3 =4. 2 -4.2+1
2 2
5 =4. 3 -4.3+1
…………………….
(2n − )
2 2
1 =4. n -4n+1
Adunand membru cu membru obtinem:
2 2 2 2
S=4(
1 + 2 +3 +…+ n )-4(1+2+3+…+n)+n=
n( n + 1)(2n + 1) n( n +1) 2n( n +1)(2n + 1)
= 4. -4. +n= -2n(n+1)+n=
6 2 3
3

4. 2n( n + 1)(2n + 1) − 6n(n + 1) + 3n
= =
3
2 2
n(4 n + 2n + 4n + 2 − 6n − 6 + 3) n(4 n − 1)
= = .
3 3
f) Calculati:
2 2 2 2
S=
2 4 6 + + +…+ 2008 .Suma mai poate fi scrisa:
2 2 2 2
(2.1) + (2.2) + (2.3) (2.1004) = 2 .1
2 2
S= +…+ +
2 2 2 2
2 2 2 3 +…+
. + .
2 2 2 2 2 2 2 4.1004.1005.2009
+
2 .1004 = 2 (1 + 2 + 3 +…+ 1004 )=
6
=
=1004.670.2009.
2 2 2 2
g) Calculati: S=
2 6 +10 + +…+ 4014 .Suma se mai scrie:
2 2 2 2
(2.1) (2.3) + (2.5) (2.2007) = 2 .1
2 2
S= + +…+ +
2 2 2 2 2 2 2
2 3 . + …+ +
2 2007 . =4(
1 3 + +…+ 2007 )=
2
4.1004(4.1004 − 1)
=
3
2
4.1004(2008 − 1) 4.1004.2007.2009
= = =4.1004.669.2009
3
3
1 1 1
h) S=1+ + +…+ =
1+2 1+ 2 +3 1 + 2 + 3 + ... + 2008
1 1 1
=1+ ( 2.3) / 2 + (3.4) / 2 +…+ ( 2008.2009) / 2 =
2 2 2 1 1 1
=1+ + +…+ =1+2( + +…+ )=
2.3 3.4 2008.2009 2. 3 3.4 2008.2009
1 1 1 1 1 1 1 1 2007 4016
=1+2( - + - +…+ - )=1+2( - )=1+ = .
2 3 3 4 2008 2009 2 2009 2009 4009
1 1 1 1
i) S=1+ + 2 + 3 +…+ n . Suma se mai poate scrie:
x
x x x
n n−1 n +1
S=
x x + + ... + x + 1
n
=
x −1
n
x x ( x − 1)
Aratati ca numarul:
4

5. 2 2
x= n
2
− 2n + 1 2
-
n − 4n + 2
2
-…-
2 n − 4n + 2
10
este patrat perfect.
3 3 3
2 (n − ) 2 (n − )
2 2
Numarul poate fi scris: x= (n − )
1
2
-
1 -…-
1 =
2 10
3 3 3
1 2 2 1 2 1 1
(n − ) (n − )
2 2
= 1 ( - 2 -…- 10 )= 1 )[ - 2 (1+ + 2 +…+
3
3 3 3
3 3
3
1
8 )]=
3
9 9
= (n − )
1
2 1
( -
2
2 .
3 −1
)= (n − )
1
2 1 3 −1
( − )= (n − ) .
1
2
3
3 2. 3
8
3 310
1
10 =patrat perfect.
3
j) Calculati :S=3+7+11+…+8035.
Se observa ca diferenta intre factori este 4,ne gandim la teorema impartirii cu rest
si constatam:
3=4.0+3
7=4.1+3
11=4.2+3
……………….
8035=4.2008+3
S=4.0+3+4.1+3+4.2+3+…+4.2008+3=4(1+2+3+….+2008)+
4.2008.2009
+2009.3= +6027=4016.2009+6027=2009.4019
2
Concluzionand in calculul unei sume de mai multi termeni sunt necesare
parcurgerea urmatoarelor etape:
_stabilirea numarului de termeni ai sumei;
_identificarea termenului general sau a regulii dupa care sunt construiti termenii
sumei;
_identificarea formulei sau lucru pe termenul general si repetarea pe fiecare
termen in parte
Prof. Glaje Nicolae
Scoala Generla Polovragi
5

6. 6