Quelques exemples de calcul d'incertitudes (GUM et GUMS1)

Incertitude de mesure
Application du GUM et du GUM S1
Jean-Michel POU – Delta Mu
5th International Metrology Conference
CAFMET 2014 – Pretoria

Contexte
5th International Metrology Conference CAFMET 2014 – Pretoria
Afin de développer quelques calculs à titre d’exemples, nous allons développer
l’exemple suivant :
Détermination d’un volume d’eau au cours d’une journée par la mesure à différents
moments du débit instantané d’un canal rectangulaire.
Le débit du canal est déterminé par la mesure d’une hauteur d’eau et d’une vitesse,
suivant la formule :
Débit = Surface x Vitesse (1)
La quantité d’eau déversée se calcule, quant à elle, en déterminant la surface sous
la courbe construite à partir des mesures de débits instantanés :

Contexte
Pour l’équation (1), nous avons besoin :
De la « surface d’eau » du canal :
•La largeur est déterminée une fois pour toute
•La hauteur d’eau est mesurée à chaque détermination du débit instantané
De la vitesse instantanée :
La vitesse d’écoulement de l’eau dans le canal est déterminée en mesurant les
temps de passage d’une balle de ping pong devant 4 marques par 4 opérateurs
différents. Chaque marque est distance de 5 mètres de la précédente. La vitesse
est alors définie à partir de la pente de la droite des moindres carrés qui décrit les
points :

Contexte
A partir des résultats expérimentaux :
Quel est le résultat de la mesure quant au mesurande recherché :
la quantité d’eau déversée « Q » ?
X
Q calculé
Ensemble des
valeurs
possibles de
« Q vraie »

Solution : le G.U.M et le G.U.M S1
Rappels :
Le G.U.M (NF ENV 13005) définit la méthode d’évaluation des incertitudes de
mesure :
1 : Ecrire le modèle de mesure
2 : Evaluer les incertitudes (variations et biais) sur les paramètres du modèle
3 : Appliquer la loi de propagation des incertitudes
Analyse des processus de mesure
Application de la loi de propagation

Rappels :

Rappels :
Evaluation des écarts-types :
Méthode de type A :
-Attention au nombre de valeurs (Loi du Khi Deux)
-Calcul de l’écart-type après avoir exclu d’éventuelles valeurs douteuses
-Vérifier d’éventuelles tendances dans les séries de données.
Méthode de type B :
-Evaluer une erreur maximale (Bibliographie, documents et connaissances
scientifiques diverses)
-Attribuer une loi de distribution de l’erreur (Corriger si systématique)
Loi Uniforme : Erreur Max / Racine (3)
Loi Normale : Erreur Max / ?
Loi Dérivée d’Arc-Sinus : Erreur Max / Racine (2)

Rappels :
Le G.U.M S1 propose une approche différente pour de la loi de propagation des
incertitudes : la simulation numérique
Dans le cas de la mesure de la vitesse par exemple, la simulation numérique
consiste à faire varier chaque point de mesure dans l’ensemble de ses valeurs
possibles et de recalculer la droite des moindres carrés. On obtient ainsi plusieurs
évaluations possibles de la vitesse, plusieurs valeurs qui proviennent de la
propagation des incertitudes sur les données d’entrée dans le résultat final

Applications numériques
1 : Mesure de la largeur du canal et de la hauteur d’eau à l’aide d’un réglet
Evaluation de la répétabilité : 5 opérateurs mesurent 15 fois la largeur du canal
Pour la répétabilité, nous retenons la moyenne des écarts-types (0,169 mm)
La dispersion des moyennes obtenues par les opérateurs représente l’effet « inter-
opérateurs » : 0,433 mm.
2 : Mesure de la hauteur d’eau dans le canal
Le niveau de l’eau n’est pas régulier (vaguelettes). Une série de 15 mesures
réalisées par 1 opérateurs donne un écart-type de 0,514 mm

3 : Exploitation des résultats d’étalonnage du réglet fois la largeur du canal
Quelle valeur retenir ?
L’erreur la plus grande : 0,19 mm mais quelle loi de distribution ?
•Uniforme ? 0,19 / Racine (3) : 0,110 mm
•Normale à 95% : 0,095 mm
L’écart-type des écarts : 0,102 mm

Bilan des causes d’incertitude sur L :

Bilan des causes d’incertitude sur H :

Loi de propagation pour la détermination de la surface :
La surface est égale au produit de la largeur du canal par la hauteur d’eau :
S = L x H
D’où :
Pour des paramètres mesurés L = 300 mm et H = 100 mm, on obtient :

Evaluation de la vitesse instantanée :
La vitesse est évalué en mesurant les temps de passage d’une balle de ping pong
devant 4 marques, par 4 opérateurs. Le départ de la balle est donné en un point 0.
La position des marques est déterminée à partir du point « 0 » à l’aide du réglet
(longueur 2 mètres).
1 : Bilan sur l’incertitude sur la position des marques

1 : Bilan sur l’incertitude sur la position des marques
Et ainsi de suite pour les marques 3 et 4 …

2 : Bilan sur l’incertitude sur la mesure des temps de passage

3 : Evaluation de l’incertitude sur la vitesse par simulation numérique

Evaluation du débit instantané:
Les hydrologues considèrent que la vitesse réelle (Vm) est différente de la vitesse
de surface (Vs mesurée précédemment). Les2 vitesses sont liées par un simple
coefficient

Evaluation de la quantité d’eau déversée
Des relevés de vitesse et de hauteur sont faits sur une période de 1é heures et
donnent les résultats suivants :

Evaluation de la quantité d’eau déversée
Soit le profil de débit ci-dessous :
La quantité d’eau déversée V est estimée en calculant la surface (méthode des
trapèzes) sous la courbe définie par les points expérimentaux, l’incertitude par
simulation numérique.
V = (3031 ± 22695%) m3

Contexte
Merci pour votre attention
Jean-Michel POU
•Président Fondateur de la société Delta Mu
•Président du Cluster d’Excellence « Auvergne Efficience Industrielle »
•Membre des commissions Métrologie et Méthodes Statistiques de
l’AFNOR
•Blog : http://www.lametrologieautrement.com
•Animateur du groupe « Pour une métrologie différente » sur Viadeo
•Animateur du groupe « The Lean Metrology » sur LinkedIn
Site : www.deltamu.fr
Mail : jmpou@deltamu.fr

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