1. Diplomarbeit
Simulation von Musikinstrumenten mit
nichtlinearen dynamischen Systemen
ausgeführt am Institut für
Nachrichtentechnik und Hochfrequenztechnik der
Technischen Universität Wien
von
Erhard Rank
Hansalgasse 6/6A
1030 WIEN
................................................. .................................................
2. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK
– 2 –
Betreuender Assistent:
Univ. Ass. Dr. Gernot Kubin
Professor:
o.Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr. Wolfgang Mecklenbräuker
Ich möchte mich an dieser Stelle herzlich bei meinen Eltern bedanken, die mir ein von existentiellen Sorgen
freies Studium ermöglicht haben, sowie bei meiner Freundin Theresa und meinem Sohn Julian, denen ich vor
allem in der letzten Arbeitsphase nicht genug Zeit geschenkt habe und die mich trotzdem immer angespornt
haben.
Für die fachliche Unterstützung bedanke ich mich bei Prof. Gregor Widholm und Mag. Matthias Bertsch vom
Institut für Wiener Klangstil und bei Wiltrud Fauler für die Einführung in den Geigenbau und dafür, daß sie
mir eine ihrer Geigen zur Verfügung gestellt hat.
Nicht zuletzt danke ich meinen Betreuern, im besonderen Gernot Kubin dafür, daß er mich auf die Thematik
des "Physical Modelling" aufmerksam gemacht hat.
Erhard
3. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK
– 3 –
Kurzfassung
Die Diplomarbeit beschäftigt sich mit der künstlichen Erzeugung (Synthese) musikalischer Signale, die
sich an den physikalischen Vorgängen bei natürlichen Instrumenten orientiert, der englische Begriff
dafür ist "Physical Modelling". Es werden Instrumentenmodelle aus der Literatur für Streichinstrumen-
te, Holzblasinstrumente mit einem Blatt, Flöte/Orgelpfeife und gezupfte Saiten (Gitarre, auch mit
Verzerrung) vorgestellt und ein neues Modell für Slapbaß1
erarbeitet. Die Modelle sind alle aus wenigen
Bestandteilen, die jeweils einen physikalischen Vorgang des realen Instrumentes darstellen, zusammen-
gesetzt (z. B.: schwingende Saite, Reibungskontakt mit dem Bogen, Schallübertragung durch den Reso-
nanzkörper). Die einzelnen Teile werden idealisiert und durch Gleichungen beschrieben und miteinander
verkoppelt. In allen Instrumentenmodellen sind nichtlineare Teile enthalten: bei den Instrumenten mit
konstanter Anregung (Streich- und Blasinstrumente) sind diese verantwortlich dafür, daß überhaupt ein
Tonsignal entstehen kann und aufrechterhalten wird, bei Gitarre und Slapbaß beeinflussen sie entschei-
dend den Klang.
Die Modelle für Streichinstrumente und Slapbaß werden in zeitdiskreter Form behandelt und in der
Simulationsumgebung MATLAB implementiert und analysiert. Bei geeigneter Einstellung der Parame-
ter lassen sich damit Signale erzeugen, die in Eigenschaften und Klang echten Instrumenten sehr ähnlich
sind. Beim Streichinstrumentmodell müssen dazu allerdings einige Parameter, die auch der Musiker
beim Spiel verändert, während der Simulation variiert werden. Außerdem wird der Klang durch Einbe-
ziehen von Rauschen verbessert. Das Rauschen wird abhängig vom Zustand am nichtlinearen Element,
das den Reibungskontakt zwischen Bogen und Saite darstellt, zugesetzt und wird als Modell für die
Ungleichförmigkeit der Bogenhaare gesehen. Interessant ist, daß mit dem Modell auch Artefakte, wie
das "Kratzen" bei falscher Relation zwischen Bogennormalkraft und Bogengeschwindigkeit, erzeugt
werden können.
1
Bei der "Slap & Pop" Technik am E-Baß werden die Saiten mit dem Knöchel des rechten Daumens angeschlagen oder
mit Zeige- oder Mittelfinger angerissen. Die Saite wird dabei so stark angeregt, daß sie auf die Bundstäbchen am Griff-
brett anschlägt.
4. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK
– 4 –
Inhaltsverzeichnis
KURZFASSUNG ............................................................................................................................................3
EINLEITUNG.................................................................................................................................................5
1 ÜBERBLICK ÜBER INSTRUMENTENMODELLE................................................................................7
1.1 STREICHINSTRUMENTE .................................................................................................................................7
1.1.1 Die ideale Helmholtz-Bewegung...........................................................................................................7
1.1.2 Das Raman-Modell...............................................................................................................................8
1.1.2.1 Der Wellenleiter ............................................................................................................................................ 8
1.1.2.2 Reflexionen ................................................................................................................................................... 9
1.1.2.3 Die Reibungskraft.......................................................................................................................................... 9
1.1.2.4 Lösungsvorgang............................................................................................................................................12
1.1.3 Weiterentwicklung des Modells..........................................................................................................13
1.1.3.1 Impulsverbreiterung bei der Reflexion ..........................................................................................................14
1.1.3.2 Verluste und Dispersion von nicht idealen Saiten..........................................................................................15
1.1.3.3 Auskopplung über die Stegkraft ....................................................................................................................17
1.1.3.4 Der Resonanzkörper......................................................................................................................................18
1.1.3.5 Torsion der Saite...........................................................................................................................................20
1.2 BLASINSTRUMENTE ....................................................................................................................................22
1.2.1 Die Klarinette.....................................................................................................................................22
1.2.1.1 Der Wellenleiter ...........................................................................................................................................22
1.2.1.2 Reflexion und Abstrahlung............................................................................................................................22
1.2.1.3 Das Blatt ......................................................................................................................................................23
1.2.2 Flöte und Orgelpfeife..........................................................................................................................26
A 1 ANMERKUNG ZU DEN STREICH- UND BLASINSTRUMENTMODELLEN..............................................................28
A 1.1 Bezug zu Zweipoloszillatoren............................................................................................................28
A 1.2 Rauschen...........................................................................................................................................29
1.3 GEZUPFTE UND GESCHLAGENE SAITE...........................................................................................................31
1.3.1 Gitarre................................................................................................................................................31
1.3.1.1 Lineares Gitarrenmodell ...............................................................................................................................31
1.3.1.2 Verzerrungen und Rückkoppelungen.............................................................................................................33
1.3.2 Slapbaß ..............................................................................................................................................34
1.3.3 Klavier...............................................................................................................................................36
2 ZEITDISKRETE MODELLE...................................................................................................................37
2.1 BEHANDLUNG DES VIOLINMODELLS............................................................................................................37
2.1.1 Teile des zeitdiskreten Modells...........................................................................................................37
2.1.1.1 Der Wellenleiter ...........................................................................................................................................37
2.1.1.2 Nicht ganzzahlige Verzögerung.....................................................................................................................37
2.1.1.3 Gaußfunktion................................................................................................................................................39
2.1.1.4 Filter für den Resonanzkörper.......................................................................................................................40
2.1.1.5 Nichtlinearität und Rauschen ........................................................................................................................43
2.1.2 Gleichungen.......................................................................................................................................43
2.1.3 Dynamisches Variieren der Parameter................................................................................................45
2.1.4 Signalbeispiele ...................................................................................................................................47
2.2 SLAPBASS ..................................................................................................................................................48
2.2.1 Modell................................................................................................................................................48
2.2.2 Signalbeispiele ...................................................................................................................................50
3 BESCHREIBUNG DER MATLAB-PROGRAMME...............................................................................53
4 ZUSAMMENFASSUNG............................................................................................................................54
ANHANG A: HÜLLKURVE DER HELMHOLTZ-BEWEGUNG............................................................55
ANHANG B: LÖSUNG DER NICHTLINEARITÄT..................................................................................58
5. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK
– 5 –
Einleitung
Die Beschäftigung mit den physikalischen Vorgängen, die bei Naturinstrumenten zur Tonerzeugung
führen, geht natürlich in erster Linie von der Liebe zur Musik und zum Instrument aus. Ein besseres
Verständnis der tonerzeugenden Mechanismen bietet dem Musiker und Instrumentenbauer die Möglich-
keit, gezielte Verbesserungen der Spieltechnik und der Bauweise vorzunehmen. Ein für den Elektro-
techniker und eventuell auch kommerziell interessanter Anreiz ist die Entwicklung eines künstlichen
Instruments und die Synthese von Musiksignalen nach denselben Prinzipien, die beim Naturinstrument
zur Klangerzeugung führen.
Bei den heute gebräuchlichen Musiksynthesizern werden zur Signalerzeugung im wesentlichen zwei
unterschiedliche Verfahren benutzt: Einerseits digital aufgenommene Signalformen (Samples) von
echten Instrumenten und andererseits Algorithmen zur Kopplung mehrerer Oszillatoren (also Synthese
im Frequenzbereich, z. B. FM). Bei ersterem werden die Tonsignale von echten Instrumenten digitali-
siert (abgetastet und quantisiert) und in einem Halbleiterspeicher gelagert. Um unterschiedliche Tonhö-
hen zu erzeugen, muß das Signal bei der Wiedergabe verschieden schnell ausgelesen werden, bzw. es
muß zwischen Signalwerten interpoliert werden. Da hierbei eine Zeitkompression/-expansion stattfindet
wird auch das Spektrum entsprechend gedehnt/komprimiert und die Klangfarbe entspricht bei größerem
Tonintervallen nicht mehr der des Orginalinstruments. Für ein Instrument müssen daher mehrere
"Samples" aufgenommen werden, z. B. eines pro Oktave; im Grenzfall kann für jeden Halbton (für jede
einzelne Klaviertaste) eine eigene Aufnahme gemacht werden.
Beim zweiten Verfahren, das auch schon bei den frühen Analog-Synthesizern verwendet wurde, wird
davon ausgegangen, daß ein musikalischer Ton aus einer endlichen Zahl diskreter Sinusschwingungen
besteht, die bestimmte Amplitudenverläufe zeigen. Es werden also Sinusgeneratoren (üblicherweise
auch Rechteck- und Dreieckgeneratoren) mit von Hüllkurvengeneratoren erzeugten Amplitudensignalen
moduliert, wobei typische Parameter aus der musikalischen Sicht gewählt werden: Anschlag (attack),
Haltezeit(hold), Abklingzeit(decay), usw. Mit diesem Verfahren und einer entsprechend guten Analyse
ließe sich theoretisch jeder Naturklang beliebig genau reproduzieren. Aufgrund der begrenzten Anzahl
an Sinus- und Hüllkurvengeneratoren in Synthesizern kann aber im Besonderen der Einschwingvorgang
beim Anschlag nicht exakt rekonstruiert werden.
Beide Verfahren zeigen also gewisse Schwächen; bei der Samplingtechnik ist die hohe Klangqualität mit
einem enormen Speicheraufwand verbunden, vor allem wenn viele unterschiedliche Klangnuancen (z.B.:
"piano" bis "forte") verfügbar sein sollen. Mit gekoppelten Oszillatoren und Filtern läßt sich zwar ein
dem Original im Spektralbereich entsprechendes Signal erzeugen, das Zeitsignal ist aber meist entstellt;
und die subjektive Klangqualität hängt besonders bei so transienten Signalen wie Musiksignalen auch
von den Phasenbeziehungen – und somit von der Zeitsignalform ab.
Das physikalische Modellieren eines Instrumentes verspricht indes einerseits eine bessere Zeitsignalre-
konstruktion und somit bessere subjektive Klangqualität und andererseits geringeren Speicheraufwand,
da das Signal nach dem Physikalischen Modell laufend (im Zeitbereich) berechnet wird – was aber
große Rechenleistung bei der Wiedergabe impliziert. Weil im Modell im wesentlichen dieselben Parame-
ter wie beim Spielen des physischen Instrumentes (Anblas- und Lippendruck bzw. Bogendruck, Bogen-
geschwindigkeit, …) verwendet werden, kann der Klang entsprechen vielfältig beeinflußt werden. Die
Steuerung der Parameter kann für den Musiker ein gewisses Problem darstellen, erfordert aber auf jeden
Fall eine gegenüber anderen Synthesizer-Keyboards erweiterte Mensch-Maschine Schnittstelle. Das
kann durch Steuerräder und Hebel erreicht werden, wie z. B. beim "Prophecy"-Synthesizer von Korg,
der drei Arten von "Physical Modelling" Instrumenten, nämlich Blechblasinstrumente, Holzblasinstru-
mente und "Plucked String"–Instrumente im Repertoire hat [1]. Hier wird mit der rechten Hand auf
einer Klaviatur die Tonhöhe vorgegeben (der Synthesizer ist monophon, d. h. es können nicht mehrere
Töne gleichzeitig erzeugt werden), während mit den Fingern der linken Hand über drei Steuerräder und
einen "Ribbon-Controller", ein Widerstandsband, vier Parameter beeinflußt werden können.
6. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK
– 6 –
Ausgehend von physikalischen Modellen realer Instrumente kann auch eine neue Art künstlicher Instru-
mente entworfen werden, die auf dem gleichen Prinzip (Rückkopplung zwischen linearem Wellenleiter
und nichtlinearer Funktion zwischen Zustandsvariablen) basiert und ganz neuartige Klangstrukturen
realisiert.
Für die Analyse von Spieltechnik und Bauweise können in den Instrumentenmodellen einzelne Parame-
ter, die in der Realität vom Musiker und Instrumentenbauer beeinflußt werden, verändert und die Aus-
wirkung auf den Klang beobachtet werden.
7. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK
– 7 –
1 Überblick über Instrumentenmodelle
1.1 Streichinstrumente
Eine Violine mit Bezeichnung der Teile ist in Abbildung 1 gezeichnet.
Schnecke
Wirbelkasten
Wirbel
¡
Obersattel
¢
Hals mit
Griffbrett
£
Steg
Baßbalken
F-Löcher
Saitenhalter
Querschnitt beim Steg
¤
Baßbalken
Stimmstock
Korpusdeckel
Zargen
¥
Korpusboden
Steg
Saiten
Saiten
Abbildung 1: Violine mit Bezeichnung der einzelnen Teile (nach [2]).
1.1.1 Die ideale Helmholtz-Bewegung
Schon im vorigen Jahrhundert beschäftigte sich Helmholtz [3] unter anderem mit den Schwingungen
einer gestrichenen Violinsaite und erkannte, daß die Saite den Großteil einer Schwingungsperiode an
einer Stelle der Bogenhaare haftet und mit dem Bogen fortbewegt wird und dann in einem kürzeren
Bruchteil der Periodendauer entgegen der Bogenbewegung gleitet. Die Geschwindigkeit beim Gleiten
wird dabei als konstant angenommen. Das Verhältnis der Zeit für Gleiten und Haften entspricht dem
Verhältnis, in das die Saite durch die Position des Bogen geteilt wird, ebenso wie das Verhältnis von
Bogengeschwindigkeit zu Gleitgeschwindigkeit bei einer stabilen Schwingung.
Die Bewegung der Saite ist annähernd die einer freischwingenden Saite, wobei ein relativ scharfes "Eck"
– der „Helmholtz-Corner“ – auf der Saite hin- und herläuft und als sichtbare Hüllkurve der Schwin-
gung eine Parabel (siehe Anhang A) erzeugt (Abbildung 2). Dabei löst das Vorbeilaufen des Helmholtz-
Corners am Bogen (Position β·L) einerseits die Gleitphase aus, andererseits nach der invertierenden
Reflexion am Saitenende die Phase des Haftens am Bogen. Die Saite besteht zu jedem Zeitpunkt aus
zwei Geradenstücken.
Eine Folgerung aus diesen Beobachtungen ist, daß die Amplitude der Schwingung bei gegebener Bogen-
position proportional der Bogengeschwindigkeit vB ist. Auch bei allen folgenden Violinmodellen zeigt
sich in der Simulation dieser Zusammenhang.
8. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK
– 8 –
t
(b)
(a)
vB
x=0 x=Lβ·L
v
y
Abbildung 2: Die ideale Helmholtz-Bewegung: (a) Momentaufnahme einer gestrichenen Saite; das
Eck bewegt sich entlang der gepunkteten Hüllkurve. (b) Zeitverlauf der Saitengeschwindigkeit
bei der Bogenposition β·L.
1.1.2 Das Raman-Modell
Aufbauend auf dem Prinzip der idealen Saite formulierte Raman [4] 1918 als erster ein physikalisches
Modell für die Bewegung einer gestrichenen Saite. Die ideale Saite ist eine unendlich dünne Saite endli-
cher Masse m, die an zwei Stellen x=0 und x=L unter Zug fest eingespannt ist und die keine Wider-
standsmomente gegen Biegung aufbringt [5]. Sie kann als eine Anordnung aus infinitesimalen Massen
und Federn angesehen werden und wirkt bei Annahme eines kleinen Saitensanstiegs als eindimensionaler
linearer Wellenleiter (Abbildung 3). Auf diesem können sich Anregungen, z. B. Auslenkungen aus der
Ruheposition, in beide Richtungen mit konstanter Geschwindigkeit ausbreiten. An den beiden Saitenen-
den kann die Saite nicht von der Position y=0 abweichen und die sich in Richtung Saitenende ausbrei-
tenden Auslenkungswellen werden invertiert reflektiert. Dasselbe gilt auch bei Betrachtung von Ge-
schwindigkeits- oder Beschleunigungswellen [6]. Die ideale Saite ist eine gute Näherung für lange,
dünne und stark gespannte Saiten [7].
1.1.2.1 Der Wellenleiter
Der eindimensionale ideale lineare Wellenleiter wird durch die Wellengleichung beschrieben:
( ) ( )Ky x t y x t′′ =,
¦ ¦
,ε . (1)
y ist hier die transversale Auslenkung der Saite, ε=m/L die lineare Massendichte mit m…Masse der
Saite zwischen den Einspannstellen bei x = 0 und x = L, und K die Zugkraft entlang der Saite. y´´
bezeichnet die zweifache räumliche Ableitung: ( ) ( )′′ =y x t
y
x
x t, ,
∂
∂
2
2
und ÿ die zweifache zeitliche
Ableitung von y: ( ) ( )
¦ ¦
, ,y x t
y
t
x t=
∂
∂
2
2
.
Die Wellengleichung ist auch für die transversale Geschwindigkeit v und Beschleunigung a gültig. Ort,
Geschwindigkeit und Beschleunigung sind über Differentiation bzw. Integration bezüglich der Zeit t
ineinander umrechenbar – die Wahl der Zustandsvariablen ist also frei und es kann die für die jeweilige
Problemstellung günstigste Variable ausgesucht werden.
9. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK
– 9 –
Die Lösungen der Wellengleichung sind beliebige Funktionen der Form:
y x t y x c t y x c t( , ) ( ) ( )= − ⋅ + + ⋅+ − , (2)
die sich in positive und negative x-Richtung mit der Geschwindigkeit c K= /ε ausbreitende transversa-
le Wellen beschreiben. Die Form der beiden Wellen ist dabei beliebig, man beachte aber, daß bei der
Ableitung der Wellengleichung von der Voraussetzung y' « 1 ausgegangen wird.
dm
K Kdm dm dm
dx dxdx
K/cos(ββ)K/cos(αα)
dm=m/L·dx
ββ
αα
K·(tan(αα)–tan(ββ))=
K·(y´(x)–y´(x+dx))=
K·y´´(x)·dx
m
L
y Ky
§ §
= ′′
x
y
Abbildung 3: Modell einer idealen Saite als linearer Wellenleiter. m und L sind die Masse bzw. die
Länge der Saite, K ist die Kraft, mit der die Saite gespannt ist. Die Wellengleichung ergibt sich
aus dem dynamischen Grundgesetz der Mechanik (2. Newton'sches Axiom) für die differentielle
Masse dm. Voraussetzung ist, daß sich die Zugkraft in den Federelementen bei Schräglage nicht
wesentlich verändert; die lineare Wellengleichung ist somit nur für kleine Winkel α,β « π/2 bzw.
für y' « 1 gültig.
Dieser ideale Wellenleiter kann als zwei gegenläufige Verzögerungsleitungen betrachtet werden. Der
Zustand der Größe y(x,t) ist dabei die Summe der y-Wellen y+ (x,t) und y– (x,t) in den beiden Verzöge-
rungsleitungen.
1.1.2.2 Reflexionen
Da die betrachtete Saite in den Punkten x = 0 und x = L fest eingespannt ist, kann hier keine Auslen-
kung zustande kommen und die Randbedingung ist y(0,t) = y(L,t) = 0. Auch für Geschwindigkeit und
Beschleunigung gilt dieselbe Randbedingung. Es muß daher die Summe der Wellen in den beiden Ver-
zögerungsleitungen gleich Null sein, d. h. die Wellen werden invertiert reflektiert.
x = β·L
x=0 x=L
–1 –1
Abbildung 4: Die Saite im Raman-Modell: idealer Wellenleiter mit deltaförmigen Reflexionsfunktio-
nen.
Raman nimmt die Reflexionen auch als ideal an, d. h. wenn ein Delta-Impuls gegen das eingespannte
Saitenende hin geschickt wird, kehrt er als verzögerter negativer Delta-Impuls wieder zurück. Wenn nun
10. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK
– 10 –
an einer Stelle β·L auf der Saite eine Störung auftritt – zum Beispiel durch einen Bogenstrich – dann
trifft sie nach einer Verzögerung von β·T bzw. nach (1–β)·T als invertiert reflektierte Welle vom Steg
(engl.: "bridge", x = 0) bzw. vom Finger am Griffbrett oder vom Obersattel (x = L) wieder im Punkt x0
= β·L ein (Abbildung 4). Wobei T = 2·L/c die gesamte Umlaufzeit entlang der Saite ist (Englisch:
"roundtrip-time") und somit gleich der Periodendauer der Eigenschwingungen der Saite. Die Frequenz
der Grundschwingung ist also f0 = 1/T = c/(2·L) und ihre Wellenlänge auf der Saite λ0 = 2·L.
Man kann also einen Zusammenhang zwischen den im Punkt x0 eintreffenden Wellen und den zu einem
früheren Zeitpunkt ausgegangenen Wellen herstellen, im Raman-Modell eine einfache Verzögerung und
Inversion. Die ideale Reflexion entspricht nicht der Realität, genauere Modelle der Reflexion werden im
weiteren noch behandelt.
1.1.2.3 Die Reibungskraft
Für die Zusammenhänge am Bogen ist es günstig, als Wellengröße die transversale Geschwindigkeit
v x t y x t
y x t
t
( , )
¨
( , )
( , )
= =
∂
∂
zu verwenden, da bei der idealisierten Betrachtung die Reibungskraft nur
von der Relativgeschwindigkeit zwischen Bogen und Saite abhängt. Dabei muß bekanntlich zwischen
der Haftreibungskraft bei Relativgeschwindigkeit Null und der Gleitreibungskraft unterschieden werden.
Die Haftreibungskraft tritt als Reaktion auf äußere Kräfte auf und kann beliebige Werte bis zum Betrag
von µS⋅fB annehmen (µS…Haftreibungskoeffizient (S von statisch), fB…Normalkraft am Bogen). Die
Gleitreibungskraft ist kleiner als der maximale Wert der Haftreibung und nimmt mit größer werdender
Relativgeschwindigkeit ab.
Um die Reibungskraft formal zu beschreiben wird in [8] und [9] eine Kurve verwendet, die aus einer
Gerade für die Haftreibung und zwei Hyperbelstücken für die Geschwindigkeitsabhängigkeit der
Gleitreibung besteht, die Formel für die linke (+) und rechte (–) Hyperbel in Abbildung 5 ist:
f F v f
v
v v
b
S D B
B
D= = ⋅
− ⋅ ⋅
± ⋅ −
±
( )
( )
( )
µ µ γ
γ
µ
1
. (3)
Diese Gleichung ist nicht allgemein, insbesondere für vB < 0 (Strichumkehr) kann sie nicht in dieser
Form verwendet werden. Eine allgemeine Gleichung für die Reibungsnichtlinearität ist im Anhang B zu
finden.
Die Reibungskraft ist mit f, die Geschwindigkeit der Saite mit v bezeichnet. fB ist die Normalkraft auf
den Bogen (umgangssprachlich, aber physikalisch inkorrekt: der "Bogendruck"), vB ist die Bogenge-
schwindigkeit, µS der Haftreibungskoeffizient, µD der Gleitreibungskoeffizient (Verhältnis Reibungs- zu
Normalkraft für |v – vB| → ∞, D von dynamisch) und die Stelle (1 ± γ)⋅vB bezeichnet die Stelle der
senkrechten Asymptoten der Hyperbelstücke auf der Abszisse.
Eine andere Approximation für die Reibungskurve wäre ([10], Seite 184):
( )
( )f F v
v v
v vD S D
B
B= = − + +
⋅ −
⋅ ⋅ −( ) ( )
cosh ( )
tanh ( )µ µ µ
β
α
1
. (4)
Hier ist die maximale Haftreibungskraft aber nicht durch µS allein bestimmt und die Lösung der Mo-
dellgleichungen ungleich schwieriger als mit Gleichung (3).
11. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK
– 11 –
f...Reibungskraft
v...Saitengeschw.
vB
fmax=µS⋅fB
µD⋅fB
qh
(1+γ)⋅ vB
(1–γ)⋅ vB
Abbildung 5: Zusammenhang zwischen Saitengeschwindigkeit v und Reibungskraft f bei konstanter
Bogengeschwindigkeit vb, (Gleichung (3)), der senkrechte Teil der Kennlinie entspricht dem
Haften, die beiden hyperbolischen Linien gelten für Gleiten der Saite auf den Bogenhaaren
(µS…Haftreibungskoeffizient, µD…Gleitreibungskoeffizient). Die Gerade repräsentiert Glei-
chung (13).
Der Zusammenhang zwischen den Geschwindigkeitswellen und einer im Punkt x0 angreifenden Rei-
bungskraft wird über den Wellenwiderstand der Saite Z K K c= ⋅ =ε / hergestellt [6]:
[ ]f t x Z v x c t v x c t( , ) ( ) ( )0 0 0= ⋅ − ⋅ − + ⋅+ − . (5)
Die Kraft ist proportional zur Differenz der Geschwindigkeitswellen (der Proportionalitätsfaktor Z
bedeutet bei einer gegebenen Saite mit konstantem Querschnitt über die Länge nur einen Normierungs-
faktor für f ). Solange die Kraft f an einer Stelle x0 auf der Saite identisch Null ist, laufen die beiden
Wellen v+ und v– ungestört an x0 vorbei. Wenn andererseits die Saite in Ruhe ist (v+ und v– gleich Null),
wird durch eine angreifende Kraft eine Störung verursacht, die sich in Form von Wellen in beide Rich-
tungen ausbreitet. Dabei wird in jede Richtung die halbe Energie abgegeben. Nach dem Superposi-
tionsprinzip wird also im allgemeinen Fall beiden vorbeilaufenden Wellen die halbe Energie von f zuge-
fügt, so daß gilt (x0
–
und x0
+
bezeichnen die Stelle gleich links und rechts von x0 – zur Berechnung der
Grenzwerte):
v x c t v x c t
Z
f t x
v x c t v x c t
Z
f t x
+
+
+
−
−
−
−
+
− ⋅ = − ⋅ +
⋅
+ ⋅ = + ⋅ +
⋅
( ) ( ) ( , )
( ) ( ) ( , ).
0 0 0
0 0 0
1
2
1
2
(6)
Die Lösung der Wellengleichung Gleichung (2) für die Geschwindigkeit v(x, t) und Gleichung (5) geben
also Summe (Geschwindigkeit) und Differenz (Kraft) der Wellengrößen in den beiden Verzögerungslei-
tungen an. Das ist äquivalent zu Spannung und Strom bei der Betrachtung von Wellengrößen a
(ausgehende Welle) und b (einfallende Welle) in der Hochfrequenztechnik (HFT)[11].
Wenn nur in einem Punkt auf der Saite eine Kraft wirksam ist, d. h. wenn der Bogen als unendlich dünn
angenommen wird, kann die Ortsabhängigkeit wie in der HFT durch die Einführung einer Bezugsebene
(eines Bezugspunktes) eliminiert werden. Es können dann die Werte der Wellen im Punkt x0 allein
betrachtet werden: Die Wellenausbreitung kann durch den Zusammenhang zwischen eintreffender und
12. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK
– 12 –
ausgehender Welle im Punkt x0 beschrieben werden (der Wellenleiter kann als LTI2
-System angesehen
werden – siehe 1.1.3), und zwischen der Summe und der Differenz der Wellen besteht der nichtlineare
Zusammenhang der Reibungskurve (3), die somit einem nichtlinearen konzentrierten Bauelement ent-
spricht.
1.1.2.4 Lösungsvorgang
Um die Verallgemeinerung der Instrumentenmodelle zu ermöglichen, wird in den folgenden Formeln die
transversale Saitengeschwindigkeit v des Streichinstrumentenmodells durch die Variable q repräsentiert.
Durch Einführen von nicht ortsabhängigen Variablen, die den Grenzwerten der Transversalgeschwin-
digkeit in Gleichung (6) entsprechen,
q v x t
q v x t
q v x t
q v x t
iL
oL
iR
oR
=
=
=
=
+
−
−
−
−
+
+
+
( , )
( , )
( , )
( , ),
0
0
0
0
(7)
läßt sich die Aufgabe mit nur mehr zeitabhängigen Variablen in 4 Modellgleichungen formulieren
(wobei die Zeitabhängigkeit aus Gründen der Übersichtlichkeit nicht mehr explizit angegeben wird).
Aus Gleichung (2) wird im Punkt x0:
q q q q qiL oL iR oR= + = + . (8)
Wirkung der Bogenkraft, Gleichung (6), mit Y=1/Z … Admittanz der Saite:
1
2 Y f q q q qoL iR oR iL⋅ = − = − . (9)
Der Zusammenhang zwischen ausgehender und einfallender Welle wird mit Hilfe von Reflexionsfunk-
tionen r(t) ausgedrückt, die im weiteren auch die Behandlung von nicht ideal deltaförmigen Reflexionen
ermöglichen. In die Reflexionsfunktionen gehen später auch die (frequenzabhängigen) Verluste bei den
Reflexionen und die Verluste und Dispersion (frequenzabhängige Wellenausbreitungsgeschwindigkeit)
des Wellenleiters ein. Im Fall des Raman-Modells ist rL(t) = –δ(t–β·T) (Reflexion bei x = 0) und rR(t) =
–δ(t–(1–β)·T)) (Reflexion bei x = L); der Stern bezeichnet im folgenden die Faltung:
q q r q q riL oL L iR oR R= ∗ = ∗; . (10)
Zwischen Kraft und Geschwindigkeit besteht die nichtlineare Beziehung Gleichung (3), oder allgemein:
f F q= ( ) . (11)
Für rationale Verhältnisse β/(1–β) = n/m und ideale Reflexionen ergeben die Gleichungen (8) bis (11)
ein nichtlineares Differenzengleichungssystem. Mit diesen berechnete Raman Anfang dieses Jahrhun-
derts – für n + m < 24 – (händisch) Zeitsignale und konnte bereits typische Eigenschaften von Streich-
instrumenten (z. B. die Tonhöhenabsenkung bei stärkerer Bogennormalkraft) erklären.
Die Gleichungen (8) bis (11) beschreiben das Modell vollständig, sind aber nicht unabhängig voneinan-
der. Für die numerische Lösung kann ein unabhängiges System von Gleichungen erstellt werden, das in
2
Linear Time Invariant: lineares, zeitinvariantes System.
13. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK
– 13 –
zwei Schritten lösbar ist. Dafür werden zuerst die beiden Variablen für die ausgehenden Wellen qoL und
qoR aus (10) eliminiert:
( ) ( )q r q Y f q r q Y fiL L iR iR R iL= ∗ + ⋅ = ∗ + ⋅1
2
1
2, . (12)
Damit können für kausale Reflexionsfunktionen die aktuellen Werte der am Bogenpunkt eintreffenden
Wellen qiL und qiR allein aus vergangenen Werten der Kraft f und ihrer selbst berechnet werden. Glei-
chungen (8) und (9) ergeben subtrahiert:
( )q q q Y fiL iR= + + ⋅1
2 . (13)
Diese Gleichung beschreibt die Gerade in Abbildung 5, wobei qh = qiL + qiR gilt. Sie muß zusammen mit
der Nichtlinearität Gleichung (11) gelöst werden: es muß also der Schnittpunkt der beiden Kurven
gefunden werden und dessen Koordinaten sind dann die neuen Werte für f und q. Rechnerisch bedeutet
das im Fall einer Reibungskurve nach Gleichung (3) für den Bereich der Haftreibung die Lösung einer
linearen, für die beiden Gleitbereiche die Lösung einer quadratischen Gleichung.
f
q1
2
3
qh1qh2
Abbildung 6: Mehrdeutigkeit bei der Schnittpunktsuche: Punkt 2 ist instabil, und zwischen Punkt 1
und 3 wird nach der Hystereseregel (siehe Text) entschieden.
Für den Fall, daß mehrere Schnittpunkte der beiden Kurven auftreten, muß nach folgenden Hysterese-
Regeln vorgegangen werden [8], [12]:
• Schnittpunkte, wo die Gerade von der nichtlinearen Kurve von links unten nach rechts oben geschnit-
ten wird (Punkt 2 in Abbildung 6) ergeben keine gültigen Werte f und q.3
• Wenn zwei stabile Schnittpunkte (Punkt 1 und 3) auftreten, wird jener ausgewählt, der auf demsel-
ben Kurventeil der Nichtlinearität (Gerade oder Hyperbel) liegt wie der zeitlich vorhergehende Punkt,
d. h. der Zustand des Haftens bzw. des Gleitens wird solange wie möglich beibehalten.
Diese Regel muß für alle qh zwischen qh2 und qh1 für den linken Teil der Hyperbel angewendet werden.
Für "normale" Töne treten bei positivem vB keine Schnittpunkte mit der rechten Hyperbel auf, bei
allgemeiner Betrachtung muß der entsprechende Bereich für die rechte Hyperbel genauso behandelt
werden.
1.1.3 Weiterentwicklung des Modells
Für eine realistisches Modell muß zumindest eine der Reflexionsfunktionen rL(t) und rR(t) von der
Deltafunktion abweichen, sonst könnten sich auf der Saite je nach Anfangsbedingungen periodische
Schwingungen ausbilden, die aber (innerhalb der Periode) beliebige Kurvenform besitzen. Außerdem
3
Wenn zu einem Zeitpunkt t ein Wertepaar f und q entsprechend Punkt 2 auftreten würde, wird bei Annnahme einer
kleinen zusätzlichen Störung schnell der Bereich der Reibungskurve zwischen Punkt 2 und 1 (bzw. 3, je nach Richtung
der Störung) durchlaufen [13, Anhang].
14. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK
– 14 –
sitzt der Steg auf dem Resonanzkörper des Instruments, der wie sein Name schon besagt, Resonanz-
schwingungen ausführen kann, und für die Wellen auf der Saite dann sicher keine ideale Reflexionsstelle
darstellt. Das bringt uns zu einem weiteren Detail, das bis jetzt nicht betrachtet wurde: Die Schwingun-
gen der Saite werden über der Steg auf den Resonanzkörper übertragen, der sie dann als Luftschall
abgibt. Das eigentliche "Ausgangssignal" des Instruments ist ja der Schall, der vom Resonanzkörper
abgestrahlt und vom Zuhörer dann als Tonempfindung aufgenommen wird. Der Übertragungsweg Steg–
Resonanzkörper–Luftschall wird in den Modellen als lineares System ohne Rückwirkung angesehen.
1.1.3.1 Impulsverbreiterung bei der Reflexion
Um die Einführung von allgemeinen Reflexionsfunktionen zu ermöglichen wurden schon in Gleichung
(10) für das Raman-Modell zur Darstellung der Verzögerungen die Funktionen rL(t) und rR(t) verwen-
det. Diese Notation ermöglicht es, beliebige Reflexionsfunktionen zu verwenden, um die auftretende
Impulsverbreiterung zu beschreiben. Eine äquivalente Behandlung ist auch im Frequenzbereich mit
Hilfe der Fouriertransformierten4
RL(ω) und RR(ω) möglich, da die Berechnungen aber im Zeitbereich
durchgeführt werden, wird von Zeitfunktionen ausgegangen.
Als Reflexionsfunktion wird in der Literatur [9] eine verzögerte Gaußfunktion (Abbildung 7) vorge-
schlagen:
( )
r t a e b t T
( ) = ⋅ − −
2
. (14)
Diese ist akausal, bei genügend großem Parameter b (schmale Gaußfunktion) und großer Verzögerung
T kann die Reflexionsfunktion aber auf die zeitliche Umgebung von T beschränkt und damit kausal
gemacht werden, ohne daß größere Fehler auftreten. Der Vorteil der Verwendung von zwei Reflexions-
funktionen, jeweils für einen Teil der Saite, gegenüber der Faltung mit der gesamten "Impulsantwort"
oder Green-Funktion (zeitlicher Verlauf der Saitenamplitude nach Anregung mit einem Geschwindig-
keitsimpuls an der Anregungsstelle [13]), die aus einer theoretisch unendlichen Folge von Reflexionen
besteht und mit der das Verhalten der Saite genausogut beschrieben wird [12], ergibt sich daraus, daß
die Reflexionsfunktionen auf einen kleinen Zeitbereich um T beschränkt sind und die Faltung auf diesen
kleinen Bereich beschränkt werden kann. Die Gaußfunktion bietet hier den Vorteil, daß sie rasch ab-
klingt, und daher außerhalb eines Bereiches T – ∆t bis T + ∆t gleich Null gesetzt werden kann.
Fläche = –1
( )
r t a e b t T
( ) = ⋅ − −
2
T t
r(t)
w
Abbildung 7: Gaußförmige Reflexionsfunktion mit Impulsverbreiterung nach [9], die Verzögerung T
bestimmt die Frequenz. Durch die symmetrische Form (linearer Phasengang) wird eine konstan-
te Ausbreitungsgeschwindigkeit am Wellenleiter modelliert.
4
Die Fouriertransformierten der Reflexionsfunktionen enthalten natürlich auch die Verzögerung T. Um eine bessere
Vorstellung der Vorgänge im Modell zu bieten, sind in den folgenden Abbildungen trotzdem immer auch Verzögerungs-
leitungen bzw. ein Wellenleiter eingezeichnet.
16. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK
– 16 –
Für eine kreiszylindrische Saite ergibt sich der Koeffizient κ = Eπa4
/4 aus dem Elastizitätsmodul E des
Materials und dem Radius a der Saite. In erster Näherung führt das zu einer Lösung mit zwei gegenläu-
figen, nicht gedämpften Wellen mit frequenzabhängiger Ausbreitungsgeschwindigkeit (dispersive Wel-
len):
( ) ( )y x t y x c t y x c t
c c
Kc
( , ) ( ) ( )
( ) .
≅ − ⋅ + + ⋅
≅ +
+ −ω ω
ω
κω
0
2
0
2
1
2
(20)
Durch die Biegesteifigkeit breiten sich hochfrequente Schwingungen schneller aus als niederfrequente –
die Welle behält bei der Ausbreitung ihre Form nicht bei. Ein anderer Aspekt ist, daß eine steife Saite
eine inharmonische Obertonreihe erzeugt, d. h. die Oberschwingungen sind nicht mehr ganzzahlige
Vielfache der Grundschwingung, sondern höher. Bei Klavieren werden deshalb mitunter die Saiten in
den höchsten Lagen etwas höher als nach ihren Notenwerten vorgesehen gestimmt, damit sie in Akkor-
den mit den Obertönen der tieferen Saiten gut zusammenklingen.
Für Teile der Saite, in denen keine äußere Kraft angreift und wo nicht ausgekoppelt wird (also hier die
beiden Saitenstücke zwischen Steg und Bogenposition und zwischen Bogen und Finger), können Verlu-
ste und Dispersion an einer einzigen Stelle zu einem LTI-Filter zusammengefaßt und der restliche Teil
als einfache Verzögerungsleitung angesehen werden [6].
So kann dasselbe Modell mit geeigneten Reflexionsfunktionen auch für eine nicht ideale Saite verwendet
werden, wenn diese nicht nur die Impulsverbreiterung bei den Reflexionen, sondern auch die Verluste
und Dispersion entlang der Saite beinhalten. Die Werte der Wellengrößen in den Verzögerungsleitungen
können dann aber nicht mehr als Wert der physikalischen Größe auf der entsprechenden Stelle der Saite
interpretiert werden. Wenn man z. B. an der Saitengeschwindigkeit an der Stelle x interessiert ist, muß
in beide Verzögerungsleitungen vor x ein passendes Filter gesetzt werden, das die Verluste und Disper-
sion des vorhergehenden Saitenabschnitts erzeugt.
Die Messung der Reflexionsfunktionen für ein bestimmtes Instrument mit bestimmten Saiten sind ein
Punkt, auf dem noch Forschung notwendig ist. Eine Schätzung der Reflexionsfunktionen ist durch die
Aufnahme der "Green-Funktion" oder "Impulsantwort" möglich. Diese ist der zeitliche Geschwindig-
keitsverlauf der Saite an der Bogenstelle nach einer Anregung mit einem Kraftimpuls an der Bogenstel-
le. Die ersten beiden negativen Impulse sind die direkten Reflexionen vom kurzen bzw. vom langen
Teilstück der Saite. Eine einfache Methode, um näherungsweise einen Kraftimpuls aufzubringen, ist, die
Saite mit einem dünnen Drahtstück seitwärts zu ziehen, bis das Drahtstück abreißt. Der sich ergebende
Geschwindigkeitsverlauf kann dann mit einem magnetischen Tonabnehmer aufgenommen werden. Wenn
genaue Messungen gefordert sind, sollten allerdings aufwendigere Methoden, wie Laserdoppler Ge-
schwindigkeitsmessungen erwogen werden, da ein magnetischer Tonabnehmer die Geschwindigkeit nicht
nur von einer Stelle der Saite abnimmt. Ein Beispiel für eine gemessene "Impulsantwort" ist in [13,
Fig.2b] gegeben.
17. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK
– 17 –
1.1.3.3 Auskopplung über die Stegkraft
Bei Instrumenten der Geigenfamilie werden die Saitenschwingungen über der Steg auf den Resonanz-
körper übertragen. Die Auskopplung am anderen Ende der Saite – am Obersattel – ist um mindestens 10
dB kleiner und wird bei gegriffenen Tönen noch geringer [15] und wird daher im Modell vernachlässigt.
Der Resonanzkörper gibt dann Schallwellen an die umgebende Luft ab. Der Resonanzkörper bietet eine
gewisse Anpassung des Wellenwiderstandes der Saite an den der Luftschallwellen (die unmittelbare
Abstrahlung der Saite ist sehr gering). Der "Wirkungsgrad" (die Anpassung) dieser Übertragungskette
ist dabei aber nicht besonders gut (ansonsten würde der Saite rasch ihre Energie entzogen und die Töne
würden schnell abklingen). Die Schallwellen in der Luft sind dann das eigentliche Ausgangssignal des
Instrumentes.
Wenn man ein elektrisches Ausgangssignal direkt vom Instrument benötigt, wird meist ein piezoelektri-
scher Tonabnehmer in (unter) den Steg eingebaut, das elektrische Signal ist damit proportional der Kraft
im Steg und die Filterwirkung des Resonanzkörpers wird umgangen.5
In beiden Fällen erfolgt die Auskopplung der Saitenschwingung über die Stegkraft. Diese ergibt sich aus
der Steigung der Saite bei x = 0 (siehe Abbildung 8). Bei Streichinstrumenten treten Schwingungen in
der Ebene auf, die durch Saite und Bogen aufgespannt wird. Dabei wird abhängig vom Winkel, den das
Saitenende mit dem Steg einnimmt, eine resultierende Kraft FB – zusätzlich zur Spannkraft K und
normal zu dieser – auf den Steg wirken. Diese wird über ein Kippmoment auf die Korpusoberfläche
übertragen (Kräftegleichgewicht am Steg).
FB FBK
K/cos(αα)
αα
Steg
schwingende
Saite
F1
F2
Kräftegleichge-
wicht am Steg
Resultierende Kraft:
FB = K⋅tan(αα)
= K⋅y'
Abbildung 8: Stegkraft FB als Ausgangssignal der schwingenden Saite eines Streichinstrumentes;
Voraussetzung ist wie bei Ableitung der linearen Wellengleichung α « π/2 bzw. y' « 1. Die Kraft
FB wird über ein Kippmoment des Stegs auf den Resonanzkörper übertragen wo die beiden
Kräfte F1 und F2 wirken.
Wenn als Wellenvariable die transversale Geschwindigkeit verwendet wird, kann der Saitenanstieg
direkt aus den beiden Werten in den Verzögerungsleitungen berechnet werden:
′ = = ′ + ′ = − ⋅ + ⋅+ − + −y
y
x
y y
c
v
c
v
∂
∂
1 1
. (21)
Die Stegkraft FB kann dann durch Subtraktion der reflektierten Welle von der eintreffenden Welle im
Punkt x = 0 (Steg) berechnet werden (Abbildung 9a). Alternativ dazu kann auch ein eigenes Filter
HSteg(ω) eingesetzt werden, das aus der eintreffenden Welle das Ausgangssignal erzeugt (Abbildung 9b).
Mit HSteg(ω) = 1 – R'L(ω) wird ein Ausgangssignal proportional zu FB erzeugt, wenn R'L(ω) nur die
Impulsverbreiterung bei der Reflexion (und nicht die entlang der Saite) beschreibt.
5
Manchmal wird allerdings zusätzlich auch ein magnetischer Tonabnehmer wie bei elektrischen Gitarren verwendet (siehe
1.3.1).
18. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK
– 18 –
Für die ideale Reflexion, bei der R'L(ω) = –1 ist, ergibt sich HSteg(ω) = 2 und die Stegkraft ist proportio-
nal zu der eintreffenden Welle v–. Wenn für R'L(ω)eine Gaußfunktion angenommen wird ist HSteg(ω) ein
Filter mit Hochpaßcharakter.
R'L(ω)
v–
v+
R'L(ω)
–
K/c
FB
(a) (b)
v–
v+
HSteg(ω)
c/K⋅FB
Abbildung 9: Erzeugen der Stegkraft als Ausgangssignal des Saitenmodells (a) durch Subtraktion
der Wellengrößen. (b) mit Hilfe eines eigenen Filters HSteg(ω).
1.1.3.4 Der Resonanzkörper
Der Klang eines Saiteninstruments ist nicht gleich der Vibration seiner Saiten. Der Frequenzgang des
Resonanzkörpers ist ein unverkennbares Charakteristikum eines Instruments. Für das Erkennen eines
bestimmten Instruments sind wie bei den einzelnen Lauten der menschlichen Sprache auch die Forman-
ten des Resonanzkörpers verantwortlich. Bei Streichinstrumenten der Geigenfamilie sind vor allem die
zwei tiefsten Resonanzen wichtig: die Hohlraum- oder Helmholtz-Resonanz ist die Resonanz der
Schallwellen im Korpus. Sie erzeugt den ersten Formanten im Frequenzgang, dessen genaue Position im
Verlauf der Jahrhunderte von den Geigenbauern immer wieder verändert wurde. Sie liegt für die Violine
aber jedenfalls im Bereich 230 – 280 Hz [15]. Wenn man den Boden des Resonanzkörpers mit einem
Finger antippt, schwingt er mit der Frequenz der Hohlraumresonanz (engl.: "tap-tone"). Die zweite
Resonanz tritt für das Feder-Masse-System, das von Boden- und Deckplatte und der eingeschlossenen
Luft gebildet wird, auf. Sie wird Korpusresonanz genannt und liegt zwischen 520 und 600 Hz.
Im Geigenbau ist zur Bestimmung des Frequenzgangs eines Resonanzkörpers folgende Methode ge-
bräuchlich [15]: Das Instrument wird am Steg künstlich angeregt, und zwar mit einer Nadel, so daß
dieser wie durch die Saiten in Bewegung versetzt wird, und der Schalldruck außerhalb des Instruments
wird aufgenommen. Einen Mittelwert über Frequenzkurven verschiedener Geigen zeigt Abbildung 10. In
Abbildung 11 ist als Beispiel die Frequenzkurve einer bestimmten Geige aufgezeichnet. Man erkennt,
daß vor allem im oberen Frequenzbereich viele Spitzen und Einbrüche im Frequenzgang vorhanden sind,
die den ganzen Streubereich aus Abbildung 10 überstreichen. Im oberen Frequenzbereich ist die genaue
Lage der Resonanzspitzen und Einschnitte nicht wesentlich für den Klang, der zerklüftete Charakter des
Frequenzganges dürfte aber eine wesentliche Rolle bei Tönen mit Vibrato spielen, da mit der Frequen-
zänderung dann auch eine Lautstärkenänderung einhergeht [16]. Der Resonanzkörper wird in den
Modellen als lineares Filter angesehen, das die Stegkraft als Eingangsgröße und den abgestrahlten
Schall als Ausgangsgröße besitzt.
19. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK
– 19 –
200 400 800 1600 3200
-10
0
10
20
Mittelwert der Frequenzkurven verschiedener Geigen
Frequenz in Hz
dB
Helmholtzresonanz
Korpusresonanz
Abbildung 10: Mittelwert der Frequenzkurven verschiedener Geigen und Streubereich (nach [15]).
Die Frequenzkurve einer Geige gibt den abgegebenen Schallpegel bei künstlicher Erregung des
Resonanzkörpers am Steg an.
200 400 800 1600 3200
-10
0
10
20
Frequenzgang einer Geige
Frequenz in Hz
dB
Abbildung 11: Beispiel eines gemessenen Frequenzgangs für den Resonanzkörper einer bestimmten
Geige (nach [15]).
Das gesamte Modell für Streichinstrumente, mit Nichtlinearität durch die Reibung beim Bogenkontakt,
Wellenausbreitung entlang der Saite, verallgemeinerten Reflexionen und Auskopplung auf den Reso-
nanzkörper am Steg (wobei die Filter zur Erzeugung der Stegkraft und für den Resonanzkörper zu
einem einzigen Filter A(ω) zusammengefaßt sind), ist in Abbildung 12 dargestellt.
20. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK
– 20 –
RR(ω)RL(ω)
Ausgang
f=F(q)
A(ω)
Verzögerung
VerzögerungVerzögerung
Verzögerung
Abbildung 12: Modell für Streichinstrumente
1.1.3.5 Torsion der Saite
Bei der Simulation mit einer Reibungskurve nach Gleichung (3) und gaußförmigen Reflexionsfunktio-
nen ergibt sich oft eine Instabilität, die daraus resultiert, daß bestimmte Frequenzen durch die negative
Impedanz in der Reibungskurve (siehe: Anmerkungen zu den Streich- und Blasinstrumentmodellen)
mehr verstärkt werden als bei den Reflexionen gedämpft. Im Zeitbereich läßt sich das anhand der Bewe-
gung einer Störung auf der Saite illustrieren: Wenn diese kurz nach dem "Helmholtz-Corner" am Bogen
vorbeikommt, wo dieser die Gleitphase ausgelöst hat, wird sie durch die negative Impedanz der Rei-
bungskurve verstärkt. Wenn sie von der Brücke reflektiert zurückkommt, haftet die Seite wieder am
Bogen, und wegen der unendlichen Steigung im entsprechenden Teil der Reibungskurve wird sie dort
(solange sie nicht die maximale Haftreibungskraft übersteigt) vollkommen reflektiert. Nun gibt es
abhängig von der Bogenposition β für bestimmte Frequenzen – nämlich Subharmonische mit einer
Periodendauer von T⋅floor(1/β) und T⋅ceil6
(1/β) – einen Pfad, auf dem sie einige Male zwischen Bogen
und Brücke und zwischen Bogen und Bund hin und her pendeln, und dazwischen durch ein "Loch", eine
Gleitphase, am Bogen vorbeilaufen, wobei sie verstärkt werden. Wenn nun die Verluste bei den Refle-
xionen gering genug sind, baut sich eine instabile Schwingung mit einer Frequenz kleiner als die Eigen-
frequenz der Saite auf und wächst exponentiell an [17].
Saitenquerschnitt
r
M=FB⋅r
FB
FB
Abbildung 13: Kopplung zwischen transversalen Wellen und Torsionswellen am Bogen. Die Bogen-
kraft wirkt an der Oberfläche, die Kraft der Massenelemente auf der Saitenachse. Dadurch ent-
steht ein Drehmoment, daß zu Torsionswellen führt, die sich wie transversale Wellen entlang der
Saite fortbewegen.
In der Realität wird diese Instabilität durch Verluste und durch nichtlineare Effekte (z. B. der Saite)
begrenzt und die Subharmonischen sind in echten Violintönen nur temporär vorhanden. Um im Modell
mit linearer Saite stabile Schwingungen zu erhalten, müssen aber irgendwo im Pfad dieser Störung
Verluste eingebaut werden, die größer als die Verstärkung durch die Nichtlinearität sind, z. B. passende
6
floor(x) … größte ganze Zahl kleiner als x; ceil(x) … kleinste ganze Zahl größer als x (von engl.: "ceiling")
21. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK
– 21 –
Reflexionsfunktionen. Aber auch das Einbeziehen der Torsion der Saite in das Modell kann das Problem
beseitigen.
Die Reibungskraft tritt ja im Kontaktpunkt zwischen Bogen und Saite an deren Oberfläche auf, wohin-
gegen die Kraft der Massenelemente der Saite (siehe Abbildung 3) auf der Saitenachse (dem Massenmit-
telpunkt) wirkt. Dadurch entsteht ein von der Kraft abhängiges Drehmoment, das einen Teil der Energie
in Torsionswellen überführt (Abbildung 13). Diese bewegen sich mit einer anderen Geschwindigkeit fort
als die transversalen Wellen (Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung), abhängig von Material
und Stärke der Saite mit ca. der vierfachen [8], und auch die Impedanz der Saite für Torsionswellen ist
eine andere. Um sie vollkommen in das Modell einzubeziehen, müßte man also zwei weitere Verzöge-
rungsleitungen mit einer anderen Geschwindigkeit (also bei zeitdiskreter Simulation mit fixem Abtastin-
tervall: mit anderer Länge) und Reflexionsfunktionen einbauen. Wenn allerdings davon ausgegangen
wird, daß die Torsionswellen an den Saitenenden vollkommen absorbiert werden, kann die Kopplung
von transversalen auf Torsionswellen durch eine einfache Scherung der Reibungskurve (Abbildung 14)
einbezogen werden ohne die Modellgleichungen zu verändern.
f...Reibungskraft
q...Saitengeschw.
f=F(q+½·Yt·f)
f=F(q)
½Y·f=(q–qh)
qh
½(Y+Yt)·f=(q–qh)
Abbildung 14: Scherung der Reibungskurve: durch die endliche Steigung im geraden Teil der Kurve
F(q), der dem Haften entspricht, wird eine Bewegung des Saitenmittelpunktes auch während des
Haftens ermöglicht. Dadurch kann die Kopplung in Torsionswellen in das Modell einbezogen
werden, ohne die Modellgleichungen zu verändern. Durch die mögliche Kopplung auf Torsi-
onswellen steigt die Admittanz der Saite von Y auf Y + Yt und damit sinkt die Steigung der Ge-
raden nach Gleichung (13).
Die endliche Steigung des Geradenteils der Kurve F(q) im Bereich für Haften ermöglicht eine Bewegung
des Saitenmittelpunktes relativ zum Bogen. So kann ein Teil der Kraftwirkung in Torsionswellen umge-
setzt werden. Gleichzeitig verändert sich aber die Wellenadmittanz der Saite von Y auf Y+Yt, und damit
sinkt die Steigung der Geraden nach Gleichung (13); damit wird der Bereich mit mehreren Schnittpunk-
ten größer – die Hysterese zwischen Gleiten und Haften erhöht sich.
Bei der praktischen Berechnung der Schnittpunkte wird zuerst mit einer Nichtlinearität mit senkrechter
Gerade geschnitten, wobei die Gerade noch durch q*
= q + ½Yt⋅f nach rechts geschert wird. Damit kann
die Fallunterscheidung für die Hystereseregel einfach durchgeführt werden. Die so gefundene Variable
q*
wird danach mit –½Yt⋅f korrigiert (siehe Anhang B).
22. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK
– 22 –
1.2 Blasinstrumente
Auch für einige Blasinstrumente kann bei geeigneten Voraussetzungen ein einfaches Wellenleitermodell
mit nichtlinearem Zusammenhang zwischen Summe und Differenz der Wellengrößen abgeleitet werden.
Die wesentlichen Unterschiede zu den Streichinstrumenten sind, daß die Nichtlinearität nicht in der
Mitte, sondern am Ende des Instruments liegt – nämlich am Mundstück – und daß sich der Wellenleiter
somit nur nach einer Seite hin erstreckt, und in der Art der Nichtlinearität, die hier den Zusammenhang
zwischen Druckdifferenz und Volumendurchsatz am Blatt widerspiegelt. Man beachte, daß die Größen
q und f für jedes Instrument eine andere Bedeutung hat.
1.2.1 Die Klarinette
Die Klarinette ist das im technischen Sinne einfachste Holzblasinstrument. Ihr Tubus ist nahezu zylin-
drisch, das rechtfertigt die Gültigkeit der eindimensionalen Wellengleichung, und sie besitzt nur ein Blatt
(die Oboe hat zwei), das relativ (im Vergleich zu den Lippen des Musikers bei Blechblasinstrumenten)
leicht ist und daher als gedächtnislos betrachtet werden kann.
1.2.1.1 Der Wellenleiter
Als Wellenleiter wirkt bei Blasinstrumenten der Tubus; die Wellengleichung (1) ergibt sich für den
Idealfall der dünnen, zylindrischen Luftsäule [16]. Diese Näherung ist für die Klarinette akzeptabel, für
andere Blasinstrumente kann sie eine zu grobe Vereinfachung darstellen. Allerdings kann man auch für
andere Instrumente (z. B. Saxophon) dieselben Modellgleichungen verwenden, wenn die Nichtlinearität
näherungsweise punktförmig räumlich konzentriert ist und das restliche Instrument durch eine Refle-
xionsfunktion beschrieben werden kann. Man kann z. B. ein dreidimensionales Instrumentenmodell mit
der Nichtlinearität an einem Punkt erstellen und dafür eine Reflexionsfunktion berechnen, die dann in
die Modellgleichungen des eindimensionalen Instrumentenmodells eingesetzt wird [18].
Für Holzblasinstrumente ist es vorteilhaft, als Wellengröße den Druck anzunehmen, der dann durch die
Variable q repräsentiert wird. Für diese gilt dann wiederum Gleichung (2). Die Geschwindigkeit c ist die
Schallgeschwindigkeit in der Luft. Als zweite Zustandsgröße wird der Volumenstrom7
f (Einheit: m3
/s)
durch den Zylinderquerschnitt verwendet. Dieser ist wieder proportional der Differenz der Wellengrößen
f = Z·(q+ – q–), Gleichung (9); der Proportionalitätsfaktor Z ist aber hier nicht der Wellenwiderstand
sondern der Wellenleitwert
Z Y
A
c
Klar= =
⋅ρ
. (22)
Mit: A…Querschnittsfläche des Zylinders, ρ…Luftdichte und c…Schallgeschwindigkeit. Der Wellen-
leitwert entspricht aber wiederum nur einem Normierungsfaktor.
1.2.1.2 Reflexion und Abstrahlung
Am offenen Ende des Tubus geht der Wellenwiderstand auf den Wellenwiderstand der Freiraumschall-
ausbreitung ZFrei über, dieser ist wesentlich größer als der Wellenwiderstand im Instrument – im freien
Raum treten viel kleinere Druckschwankungen auf, als im Tubus des Instruments, das elektrotechnische
Pendant ist die leerlaufende Leitung mit einer geringen elektromagnetischen Abstrahlung. Wie bei der
leerlaufenden Leitung die Stromwellen, so werden hier die Druckwellen unter Vernachlässigung des
statischen Anteils – des atmosphärischen Luftdrucks, der nicht zum Klangempfinden beiträgt – nahezu
vollständig mit dem Reflexionsfaktor ρ ≈ –1 reflektiert. Es wird dieselbe Notation wie beim Streichin-
7
Volumenstrom = Luftvolumen, daß pro Zeiteinheit durch den Querschnitt A verschoben wird, bzw. Integral der Normal-
geschwindigkeit der Luft über die Querschnittsfläche
23. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK
– 23 –
strumentenmodell (siehe Gleichung (10)) verwendet, allerdings gibt es nur eine einzige Reflexionsfunk-
tion.
Bei den meisten Blasinstrumenten ist das Tubusende besonders geformt: der zylindrischen Tubus wird
am Ende erweitert. Das begünstigt die Schallabstrahlung und formt auch den Klang des Instruments. Im
technischen Sinn ist eine stetige Erweiterung eines Zylinders eine kontinuierliche Veränderung des
Wellenwiderstandes und das Endstück somit eine Anpassung des Instruments an den Wellenwiderstand
des freien Raumes. Dadurch wird aber eine verteilte Reflexion bewirkt, die Reflexionsfunktion kann
nicht mehr als einzelner Deltaimpuls angenommen werden – es findet auch hier eine Impulsverbreite-
rung statt. Im Frequenzbereich gilt: tiefe Frequenzen werden vorwiegend reflektiert, hohe werden eher
als Luftschall abgestrahlt. Die Reflexionsfunktion muß also ein verbreiterter Impuls sein und Tiefpaß-
charakter haben: Die häufig verwendete Form [9] ist wieder ein verschobener gaußförmiger Impuls mit
der Fläche –1 (Abbildung 7). Die Bedingung über die Fläche stellt sicher, daß im Inneren der Klarinette
kein statischer Druckunterschied zur Umgebung bestehen kann (Gleichübertragungsfunktion = –1: der
Gleichdruck im Inneren wird durch die Reflexion vollständig ausgeglichen). Es besteht natürlich die
Möglichkeit, empirisch ermittelte Reflexionsfunktionen in die Modelle einzubringen.
Die Reflexionsfunktion r(t) beschreibt den Zusammenhang zwischen vom Mundstück ausgehender
Druckwelle qo(t) und zurückkehrender Welle qi(t) und somit das lineare Verhalten von Tubus und
Endstück. Um die Abstrahlung von Schall zu beschreiben wird wieder eine weitere Filterfunktion A(ω)
benötigt, die die Welle qo(t) mit der abgestrahlten Schallwelle verknüpft. Da die Impulsverbreiterung auf
die Reflexion beschränkt ist und nicht auch entlang des Wellenleiters (wie bei Saiteninstrumenten)
auftritt, und da der abgestrahlte Schall keinen Filter (wie den Resonanzkörper eines Streichinstruments)
mehr durchläuft, kann der Zusammenhang A(ω) + R(ω) = 1 postuliert werden. Er entspricht dem
Zusammenhang zwischen dem Filter zur Erzeugung der Stegkraft HSteg(ω) und der Impulsverbreiterung
bei der Reflexion am Steg R'L(ω).
R(ω)
A(ω)
q+(x–ct)
q-(x+ct)
qo(t)
qi(t)
Schall-
abstrahlung
Reflexion
qi(t)=qo(t)∗r(t)Mundstück
Wellenleiter
Abbildung 15: Reflexion und Abstrahlung beim Klarinettenmodell.
Da die Klarinette ein offenes und ein geschlossenes Ende hat entsteht an einem ein Knoten der Druck-
wellen und am anderen ein Wellenbauch. Die tiefste Eigenfrequenz des Tubus hat daher eine Wellenlän-
ge von λ0 = 4L, die Grundfrequenz ist f0 = c/4L = 1/2T. Die Verzögerung T der Reflexionsfunktion
muß daher auf die halbe Periodendauer eingestellt werden.
1.2.1.3 Das Blatt
Die Nichtlinearität bei der Klarinette ist der Zusammenhang zwischen Druckdifferenz p – q am Blatt
und Volumenstrom f unter dem Blatt. Bei einem Anblasdruck p (im Mund des Musikers) und einem
gegebenen Druck im Mundstück q = qo + qi bewirkt der Druckunterschied einen bestimmten Volumen-
strom, dieser ist aber nicht proportional zur Druckdifferenz, da erstens die Druckdifferenz auch zwi-
schen Blattunter- und Blattoberseite anliegt und zweitens durch die Luftbewegung ein Unterdruck
entsteht (Bernoulli-Effekt [19]). Ersteres drückt das Blatt gegen die Auflage am Mundstück wenn p > q
oder von ihr weg wenn p < q, zweiteres bewirkt immer ein Schließen des Blattes wenn eine Luftbewe-
gung stattfindet. Der Durchsatz steigt also zunächst mit der Druckdifferenz p – q an, nimmt dann aber
24. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK
– 24 –
wieder ab bis zu dem Punkt, wo das Blatt aufliegt und keine Luftbewegung mehr möglich ist. Ab einer
gewissen Druckdifferenz p – q = p – qc ist also f = 0.
Die Größe p – qc ändert sich mit der Ruhelage des Blatts, welche durch den Druck der Unterlippe gegen
das Blatt variiert werden kann. Die dynamisch (vom Spieler) veränderlichen Parameter sind jeweils p
und qc, aber nicht der maximale Volumenstrom!
Blatt
q
p
Abbildung 16: Mundstück einer Klarinette. Der Druck im Mund des Spielers p wird als gegeben an-
genommen, der Druck im Mundstück q ergibt sich aus der Summe der beiden Druckwellen q+
und q–.
Die einfachste mathematische Beschreibung ist eine Kurve zweiter Ordnung mit negativer Krümmung
und für den Blattschluß eine Gerade bei f = 0:
F q k p q q q q q
q q
c c
c
( ) ( ) ( )
.
= ⋅ − ⋅ −
=
>
<0
(23)
pqc q
f=F(q)
kubisch
quadratisch
f
Abbildung 17: Quadratische (Gleichung 23) und kubische (Gleichung 24) Kurve für die Nichtlinea-
rität eines Holzblasinstruments mit einem Blatt.
Simulationen mit dieser Nichtlinearität ergeben relativ schnelles Anschwingen und harte Klangcharak-
teristik. Schuld daran ist die Symmetrie der Parabel [9], für Schwingungen im Regime kleiner Amplitu-
den ist eine realistischere Kurve mit kleinerer Steigung im Punkt q = qc als bei q = p notwendig – z. B.
eine Kurve dritter Ordnung:
F q K p q q q q p q q q
q q
c c c
c
( ) ( ) ( ) ( )
.
= ⋅ − ⋅ − ⋅ + − ⋅
=
2
0
(24)
25. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK
– 25 –
Mit diesen Kurven ist die rechnerische Lösung der Modellgleichungen relativ einfach. Zur Schwin-
gungsberechnung ist die Lösung einer Gleichung derselben Ordnung wie der Blattkurve nötig (siehe
unten).
Die Modellgleichungen für die Klarinette ergeben sich also zu:
q q qi o= + , (25)
Z f q qKlar o i⋅ = − , (26)
q q ri o= ∗ . (27)
Diese Gleichungen entsprechen den Gleichungen (8) – (10) für Streichinstrumente mit qoL → qo, qiL →
qi, und rl → r, rR = δ(t). Letzteres bedeutet eine nichtinvertierende Reflexion (Reflexion am abgeschlos-
senen Mundstückende des Tubus) an der Stelle gleich hinter dem Blatt und bedingt qiR = qoR.
Durch Einsetzen von qh = 2qi können diese drei auf folgende zwei Gleichungen reduziert werden:
q q Z fh Klar= + ⋅ , (28)
( )q r q Z fh Klar= ∗ + ⋅ . (29)
Für eine kausale Reflexionsfunktion r ist Gleichung (29) nur von vergangenen Werten von q und f
abhängig und es kann damit der aktuelle Wert von qh berechnet werden. Dann müssen Gleichung (28)
und die Nichtlinearität
f F q= ( ) (30)
gleichzeitig gelöst werden. Es muß also der Schnittpunkt zwischen einer Geraden mit Anstieg 1/ZKlar und
Nullstelle bei qh und der nichtlinearen Blattkurve gefunden werden (Abbildung 18).
f
q
f=(q–qh) /ZKlar
f=F(q)
Abbildung 18: Graphische Lösung der Gleichungen (28) und (30), der Schnittpunkt der beiden Kur-
ven ergibt die aktuellen Werte von q und f.
Die Lösung ist für alle qh eindeutig, wenn der maximale Anstieg von F(q) kleiner ist als der Anstieg der
Geraden. Bei der quadratischen Nichtlinearität ist das für k⋅Z⋅(p – qc) ≤ 1 gewährleistet (vorausgesetzt
k, Z 0 und p qc).
Mit einem Klarinettenmundstück mit Blatt alleine (ohne Tubus) können auch Schwingungen erzeugt
werden, was bei einer gedächtnislosen Nichtlinearität nicht möglich ist. Um diese Schwingungen zu
simulieren, ist es notwendig, für das Blatt selbst eine Differentialgleichung aufzustellen. In [20] wird
26. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK
– 26 –
deshalb ein Feder-Masse Modell entwickelt, das mit empirischen Daten (der Druckverteilung unter dem
Blatt) arbeitet und mit dem diese autonomen Schwingungen des Blatts erklärt werden.
1.2.2 Flöte und Orgelpfeife
Die Anregung einer Flöte oder Orgelpfeife erfolgt auf ganz andere Art als die der Klarinette. Ein dünner
Luftstrahl trifft auf eine Kante und wird abhängig von den Verhältnissen am Beginn des Strahles nach
außen oder in den Tubus gelenkt. Dennoch kann auch hier eine nichtlineare Funktion für den Zusam-
menhang von Summe und Differenz der Wellengrößen am Mundstück verwendet werden [9], [21],
allerdings gibt sie den Zusammenhang zwischen zeitlich versetzten Werten f und q an.
Als Wellengröße wird für q die akustische Volumenverschiebung (Einheit: m3
) durch den Tubusquer-
schnitt A verwendet. Positives Vorzeichen gilt für Verschiebung vom Anblasloch zum Ende der Flöte.
Die Fläche unter der Reflexionsfunktion r(t) für Reflexion am offenen Flötenende muß dann gleich +1
sein, da die Volumenverschiebung am offenen Ende beliebig ist und dort daher einen Wellenbauch
auftritt. Durch die offenen Tubusenden (auch das Anblasloch ist offen) kann an beiden Enden ein Wel-
lenbauch entstehen und die Wellenlänge der Grundschwingung ist somit λ0 = 2L. Die Grundfrequenz ist
daher um eine Oktave höher8
(doppelte Frequenz) als bei einer Klarinette derselben Länge, nämlich f0 =
c/2L.
Die zweite Wellengröße f ist der akustische Volumenstrom (Einheit: m3
/s) – der gesamte Volumenstrom
abzüglich des Mittelwertes, der die durchströmende Luft darstellt – also Schallschnelle9
mal Quer-
schnittsfläche: f = vS⋅A . In [21] ist f der Schalldruck zugeordnet, er ist für verlustfreie Medien propor-
tional zur Schallschnelle, mit Proportionalitätsfaktor ρ⋅c (Schallkennimpedanz).
Der nichtlineare Zusammenhang zwischen Volumenverschiebung q in den Tubus durch das Anblasloch
und Druck f innerhalb des Anblasloches ist aber nicht mehr instantan. Eine Störung, die durch die
eintreffende q-Welle auf den Anfang des Luftstrahles wirkt, benötigt eine gewisse Zeit, um den Luft-
strahl entlang zu laufen. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit dieser Störung, die schon von Rayleigh im
Zusammenhang mit Kerzenflammen untersucht wurde, ist dabei kleiner als die Luft(partikel)ge-
schwindigkeit oder die Schallgeschwindigkeit, und beträgt etwa die Hälfte der Luftgeschwindigkeit im
Strahl. Erst wenn diese Störung zum Ende des Strahles gelaufen ist, beeinflußt sie die Richtung des
Strahles an der Kante und somit f. Die Störungen, die im Verlauf des Strahles bewirkt werden, haben
vernachlässigbare Wirkung gegenüber denen am Strahlbeginn. Dadurch muß eine Verzögerung in die
Nichtlinearität einbezogen werden:
( )f t F q t( ) ( )= − τ . (31)
Die Konstante τ repräsentiert die Laufzeit der Störung im Luftstrahl. Sie ist aufgrund der kleineren
Ausbreitungsgeschwindigkeit größer als die Laufzeit einer normalen Schallwelle über die Länge des
Luftstrahls und abhängig von der Luftgeschwindigkeit und somit von der Anblasstärke.
8
Für geschlossene Orgelpfeifen gilt weiterhin: Fläche(r(t)) = –1, am geschlossenen Ende ist hier ein Knoten. Geschlossene
(gedeckte) Orgelpfeifen ergeben deshalb einen um eine Oktave niedrigerenTon (Knoten am geschlossenen Ende,
Bauch am offenen Anblasende) als gleich lange offene Pfeifen.
9
Die Schallschnelle ist die Verschiebungsgeschwindigkeit der Teilchen in einer Schallwelle bei der Schwingung um ihre
Ruhelage.
27. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK
– 27 –
Eine passende Funktion für F(q) ist eine monoton fallende Kurve mit waagrechten Tangenten im Un-
endlichen, z. B.:
( ) ( )F q t h k l q t( ) tanh ( )− = − ⋅ ⋅ −τ τ , (32)
mit positiven Konstanten k und l [9], [22].
Die Gleichungen (28) und (29) bleiben gültig. Der Proportionalitätsfaktor Z hat aber nicht die Bedeu-
tung einer Wellenimpedanz: Er hat die Dimension Zeit und hängt mit der Laufzeit der Störungswellen
im Luftstrahl zusammen. Damit ist er abhängig von der Geschwindigkeit des Luftstrahles und eigentlich
keine Konstante. Das gesamte Modell ist in Abbildung 19 dargestellt.
R(ω)
A(ω)
q+(x–ct)
q–(x+ct)
qo(t)
qi(t)
τ
q(t)
q(t–τ)
f(t)=
F(q(t–τ))
Abbildung 19: Modell für Flöte und Orgelpfeife. Die nichtlineare Funktion hat als Argument einen
verzögerten Wert der Wellengröße q.
28. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK
– 28 –
A 1 Anmerkung zu den Streich- und Blasinstrumentmodellen
A 1.1 Bezug zu Zweipoloszillatoren
Die bisher behandelten Modelle gehören alle zur Gruppe der selbsterregten Oszillatoren: Ein lineares
und ein nichtlineares Teilsystem stehen in Wechselwirkung miteinander, dabei entstehen Oszillationen,
ohne daß als Anregung eine Eingangswechselgröße vorhanden ist. Die Energiezufuhr zur Aufrechterhal-
tung der Schwingungen trotz der vorhandenen Verluste (Reflexionsfunktion und Abstrahlung) erfolgt
dabei durch die Form der Nichtlinearität. Sie muß die Möglichkeit bieten, daß Energie entnommen wird,
also daß die Größen f und q positiv korreliert sind, muß also durch den ersten oder dritten Quadranten
verlaufen, und andererseits muß sie die Verluste, die die Wellengrößen erfahren, durch negative diffe-
rentielle Impedanz ausgleichen.
Wie in [8] bzw. [17] gezeigt wird, entspricht die negative differentielle Abhängigkeit des Betrages der
Reibungskraft von der Relativgeschwindigkeit – also die positive Steigung der Reibungskurve – einer
negativen differentiellen Impedanz für die Wellengrößen. Der Unterschied zur Hochfrequenztechnik
(HFT), wo negative differentielle Impedanz mit negativer Steigung assoziiert wird, resultiert aus der
Tatsache, daß die Geschwindigkeit q der Spannung und die Kraft f dem Strom entspricht, wobei für den
Strom in der HFT bei der Betrachtung eines konzentrierten Elements in Wechselwirkung mit einem
Wellenleiter üblicherweise ([11], [23]) die hereinkommende Welle positiv und die ausgehende negativ
genommen wird (Verbraucherbezugssystem): i = a – b (Abbildung 20), in Gleichung (6) aber die umge-
kehrten Vorzeichen auftreten. Die Wahl des Bezugssystems für Kraft und Geschwindigkeit entspricht
somit dem Erzeugerbezugssystem in der Elektrotechnik.
konzentriertes
Bauelement Wellenleiter
u
i
b
a
Zi=i(u)
Abbildung 20: In der HFT übliche Bezugsrichtungen für die Wellengrößen a…einfallende Welle,
b…ausgehende Welle, die normierten Spannung u = U/√Z = a + b und den normierten Strom i
= I⋅√Z = a – b an der Schnittstelle zwischen einem konzentrieren Bauelement und einem Wellen-
leiter. Die Kombination der Bezugsrichtungen von u und i (im Bezug auf das konzentrierte
Bauelement) wird Verbraucherbezugssystem genannt.
Auf demselben Prinzip basieren die Zweipoloszillatoren in der Hochfrequenztechnik [24]: Bei Gunn-
Dioden und Tunnel-Dioden Oszillatoren wird auch die negative diffentielle Impedanz dieser Bauteile
ausgenutzt, um mit einem angekoppelten frequenzbestimmenden Resonator selbsterregte Schwingungen
zu erzeugen. Als einzige Eingangsgröße ist dabei die Gleichspannungsversorgung der Dioden vorhan-
den, aus welcher die Energie entzogen wird, um die Verluste zu kompensieren.
Die aktiven Bauelemente, also die Dioden, entsprechen somit den Nichtlinearitäten, die durch die Rei-
bung bzw. das Verhalten des Blatts entstehen und der Resonator entspricht dem Wellenleiter (Abbildung
21). Die Frequenz wird im wesentlichen durch das passive Element bestimmt und ändert sich mit der
Resonatorlänge, die mit Hilfe eines verschiebbaren Kurzschlusses bzw. bei Musikinstrumenten durch
den Spieler variiert werden kann.
29. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK
– 29 –
Kennlinie des konzentrierten
nichtlinearen Bauelements
(inklusive Stromversorgung)
im Erzeugerbezugssystem
(b)
u = U/√Z = b + a ↔ q = qo + qi
i = I⋅√Z = b – a ↔ f = qo – qi
i(u) = i0 – u/r – id(u) …r = R/Z
…i0 = I0⋅√Z
i0 ir
Wellenleiter
r u
i
Z
b
a
id
TunneldiodeStromquelle
konzentriertes nicht-
lineares Bauelement im
Erzeugerbezugssystem
(a)
Reflexion
(c)
u
i
i0
Kennlinie der Tunneldiode
u
id
negative diff.
Impedanz
entsprechender
Bereich
Abbildung 21: Tunneldioden–Oszillator (a): Schaltbild mit Stromversorgung und Resonator als
Wellenleiter. (b): Entsprechungen mit den Instrumentenmodellen. (c): Nichtlineare Kennlinie der
Tunneldiode im Verbraucherbezugssystem und der Gesamtschaltung im Erzeugerbezugssystem.
A 1.2 Rauschen
Im Schall von natürlichen Instrumenten ist auch im eingeschwungenen Zustand neben den Sinuskompo-
nenten des Grundtones und der Obertöne Rauschen enthalten. Wird bei der Simulation konstantes
weißes oder gefiltertes Gauß'sches Rauschen zugesetzt, so wirkt dieses für den Zuhörer als nicht im
Klangbild des Instrumentes integriert. Es können deutlich die beiden Signalquellen deterministisches
Instrument(enmodell) und Rauschen unterschieden werden. Bei genauerer Betrachtung ist stationäres
Rauschen bei der Klangentstehung im Instrument auch nicht plausibel. Bei Blasinstrumenten entsteht
das Rauschen durch die Turbulenzen der Luftströmung an engen Stellen, also bei der Klarinette an-
30. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK
– 30 –
nahmsweise vorwiegend am Blatt. Wenn dieses allerdings geschlossen ist, kann gar keine Luftströmung
vorhanden sein. Das Rauschsignal muß also am Blatt zugesetzt und mit der Strömungsgeschwindigkeit
(diese ist proportional zum Volumenstrom f) unter dem Blatt moduliert werden. Ebenso ist bei Streich-
instrumenten die Entstehung von Rauschen während des Haftens von Saite und Bogen unmöglich, viel
plausibler sind statistische Variationen der Gleitreibungskraft durch die Ungleichförmigkeit der Bogen-
haare. Dann muß ebenfalls Rauschen abhängig vom Zustand der Variablen q und f am Bogen zugesetzt
werden.
31. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK
– 31 –
1.3 Gezupfte und geschlagene Saite
Die gezupfte oder geschlagene Saite einer Gitarre stellt eigentlich eine rein lineare Anfangsrandwertauf-
gabe dar, wenn die Saite und die Randbedingungen ideal angenommen werden. Für die ideale Saite gilt
wiederum die Wellengleichung (1). Die Randwerte sind wie bei der Geige durch die fest eingespannten
Endpunkte der Saite festgelegt und die Anfangsbedingungen (Anfangsposition y0 und Anfangsge-
schwindigkeit v0 der Saite für t = 0) ergeben sich aus der Art der Anregung – beim Zupfen kann z. B.
eine dreieckförmige Anfangslage angenommen werden, aus der sich die Saite mit Anfangsgeschwindig-
keit Null heraus bewegt. Für die Lösung werden die Amplituden der Eigenfunktionen der Randwertauf-
gabe den Anfangsbedingungen angepaßt [25]. Es ergibt sich eine Funktion y = y(x,t), die die Position
jedes Punktes auf der Saite zu jedem Zeitpunkt t 0 angibt.
Der wesentliche Unterschied zu Streich- und Blasinstrumenten ist, daß nur zu Beginn eines Tones
Energie zugeführt wird – durch das Zupfen oder Anschlagen der Saite – und nicht dauernd wie durch
Streichen oder Anblasen.
Im Hinblick auf eine zeitdiskrete Realisierung werden in den Grafiken gleich zeitdiskrete Filter und
Verzögerungen verwendet. Dabei bedeutet z–1
die Verzögerung um ein Abtastintervall, z–N
(mit N
ganzzahlig) die Verzögerung um N Abtastintervalle und R(z) gibt ein zeitdiskretes Filter R mit dem
Frequenzgang R(Θ) = R(z=e–jΘ
) an, wobei Θ = 2πf/fS die normierte (Kreis-)Frequenz ist.
1.3.1 Gitarre
1.3.1.1 Lineares Gitarrenmodell
Um nicht ideales Verhalten, wie die Verbreiterung der Impulse bei der Reflexion und das Verhalten von
nicht idealen Saiten zu berücksichtigen, ist es vorteilhaft, wiederum das Zeitbereichsmodell zu verwen-
den. Im Beispiel der gezupften Saite etwa werden die beiden Verzögerungsleitungen mit je der halben
Anfangspositionsamplitude (Dreieck) initialisiert, die Differenz ist dabei Null, was einer Anfangsge-
schwindigkeit Null entspricht. Nach Start der Simulation laufen die dreieckförmigen Positionswellen in
entgegengesetzte Richtungen und werden wie beim Geigenmodell invertiert reflektiert.
VerzögerungsleitungTiefpaß
½(1+z-1
) z–2N
Ausgang
Abbildung 22: Karplus-Strong plucked string Algorithmus. Die Verzögerungsleitung wird am
Beginn mit Zufallszahlen gefüllt, was einer zufälligen Anfangsamplitude und -geschwindigkeit
gleichkommt.
Das bei idealen Randbedingungen entstehende Signal ist streng periodisch und musikalisch als uninter-
essant zu bezeichnen – es gleicht auch vielmehr dem Klang einer billigen elektronischen Orgel als einer
Gitarre. Um einen gitarreähnlichen Klang zu erhalten, muß die strenge Randbedingung y = 0 zumindest
an einem Ende der Seite durch eine Reflexionsfunktion ungleich der Deltafunktion ersetzt werden. Im
klassischen Beispiel – dem Karplus-Strong plucked string Algorithmus [26], wird als Reflexions-
funktion an einem Ende ein einfacher linearphasiger FIR10
Tiefpaß mit zwei Koeffizienten und Gleichü-
bertragungsfunktion –1 verwendet: h0 = h1 = –0,5. Wenn die beiden Verzögerungsleitungen zu einer
einzigen zusammengefaßt und die Multiplikation mit –1 am zweiten Ende in das Filter gezogen wird,
10
Finite Impulse Response: nichtrekursive Transversalfilterstruktur.
32. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK
– 32 –
ergibt sich das Modell in Abbildung 22. Die Verzögerungsleitungen werden hier mit Zufallszahlen
initialisiert, also mit zufälliger Anfangsposition und -geschwindigkeit. Durch das Durchlaufen des
Filters einmal pro Umlauf wird das Signal exponentiell gedämpft, wobei aufgrund des Tiefpaßcharak-
ters hohe Frequenzen schneller abklingen als tiefe. Es ergibt sich ein Signal, das überraschend gut der
Gitarre zugeordnet werden kann, vor allem wenn die Anfangsbedingungen durch einen oder mehrere
Umläufe über die Saite tiefpaßgefiltert werden und dann erst ein Ausgangssignal abgenommen wird.
Von der schwingenden Saite kann durch einen Tonabnehmer (englisch pickup) an einer bestimmten
Stelle x0 ein Ausgangssignal y = y+(x0) + y–(x0) gewonnen werden. Die magnetischen Tonabnehmer, die
bei elektrischen Gitarren verwendet werden, wandeln jedoch die Saitengeschwindigkeit in elektrische
Spannung, welche an den Verstärker weitergegeben wird, so daß das Ausgangssignal noch differenziert
werden muß. Effekte, die durch den nicht idealen Aufbau realer Tonabnehmer verursacht werden,
werden hier vernachlässigt.
J. O. Smith [27] nimmt statt der Zufallszahlen als Anfangsbedingungen eine dreieckförmige Lage und
Geschwindigkeit Null (gezupfte Saite) an und verwendet als Filter einen einpoligen rekursiven Tiefpaß
(mit Pol bei z = –0,5) am einen (linken) Ende und eine ideale Reflexion am anderen (rechten) Ende der
Verzögerungsleitungen. Das Ausgangssignal wird durch einen imaginären Tonabnehmer gewonnen
(Abbildung 23).
Ausgang
z–k
z–k
z–(N–k)
z–(N–k)
RL(z) RR(z)
y→v
Abbildung 23: Plucked String-Modell mit Tonabnehmerausgang. Das Ausgangssignal wird als
Summe der Verzögerungsleitungen an einer bestimmten Stelle auf der Saite abgenommen; die
magnetischen Tonabnehmer in elektrischen Gitarren nehmen ein Signal proportional zur Sai-
tengeschwindigkeit ab, so daß eine Differentiation des Ausgangssignales vorgesehen werden
muß.
Eine allgemeine Anfangslage y0(x) und -geschwindigkeit v0(x) der Saite, die durch die Art der Anregung
(zupfen, schlagen) gegeben ist, geht in die Anfangswerte in den Verzögerungsleitungen folgendermaßen
ein:
y x y x
c
v d
y x y x
c
v d
x
x
+
−
= − ⋅
= + ⋅
∫
∫
0
1
2 0 0
0
0
1
2 0 0
0
1
1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) .
ζ ζ
ζ ζ
(33)
Das Suffix 0 kennzeichnet im weiteren den Anfangszustand einer Variable. Eine dreieckförmige An-
fangslage beim Zupfen erfordert also eine Initialisierung der Verzögerungsleitungen mit ebenfalls drei-
eckförmigen Funktionen mit jeweils der halben Amplitude.
Das Ausgangssignal erinnert an eine ohne Verzerrungen durch den Verstärker (clean) gespielte elek-
trische Gitarre mit lang anhaltendem Ton. Wenn der Pol näher an den Ursprung herangebracht wird (bei
gleichbleibender Gleichübertragung –1) klingt der Ton langsamer ab und auch die höheren Frequenzen
33. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK
– 33 –
sind länger vorhanden, wenn der Pol näher zum Punkt z = 1 wandert ergibt sich schnelleres Abklingen,
und der Klang erinnert mehr an eine gezupfte akustische Gitarre.
Das Modell kann durch geeignetes Umformen in eine sequentielle Struktur gebracht werden. Zum einen
kann die Auskopplung an zwei Stellen durch einen Tonabnehmer auf eine Auskopplung durch ein Filter
reduziert werden, zum anderen ist es möglich, die Anregung durch Zupfen oder Schlagen nicht auf
einmal in die Verzögerungsleitungen als Anfangslage und Position einzuspeichern, sondern ein passen-
des Signal additiv an einem Ende einzukoppeln und die Verzögerungsleitungen sozusagen sequentiell zu
laden. Das Ergebnis dieser Umformungen zeigt Abbildung 24.
R(z) z–2N Ausgang
z–2(N–k)
y→vAnregung
RR(z)
Saitenmodell Auskopplung
Abbildung 24: Plucked String–Modell mit sequentieller Anregung und herausgezogenem Tonab-
nehmer–Filter.
1.3.1.2 Verzerrungen und Rückkoppelungen
Bei elektrischen Gitarren beeinflußt die Übertragungscharakteristik des Verstärkers und die Rückkopp-
lungen des Lautsprecherschalls auf die Saiten entscheidend den Klang. Der Verstärker wird meist
bewußt übersteuert, um mittels Verzerrungen (engl.: distortion) das Klangspektrum zu beeinflussen,
dabei entstehen durch die Nichtlinearität der Verstärkerkennlinie bei Einzeltönen zusätzliche Oberwellen
und bei Akkorden Kombinationsfrequenzen. Die einzelnen Frequenzlinien können speziell für unortho-
doxe Akkorde so dicht liegen, daß praktisch nur mehr ein spektral geformtes Geräusch wahrgenommen
wird. Die Form der Verstärkerkennlinie ist bei Transistorverstärkern und Röhrenverstärkern unter-
schiedlich: Bei Transistorverstärkern ist die Verstärkung konstant, solange die maximale Ausgangs-
spannung (~Versorgungsspannung) nicht überschritten wird. Bei größerer Aussteuerung wird die Aus-
gangsspannung aber auf diesen Wert begrenzt (hard clipping). Der Zusammenhang zwischen Ein-
gangs- und Ausgangsspannung kann durch die Verstärkerkennlinie in Abbildung 25(a) ausgedrückt
werden. Wenn der Verstärker übersteuert wird, ergibt sich für einen einzelnen Ton ein obertonreicher
(fuzzy) Klang. Mit Akkorden kann leicht das erwähnte Geräusch produziert werden. Ein Nachteil ist,
daß bis zu einer gewissen Aussteuerung gar keine, dann aber schnell ganz extreme Verzerrungen auftre-
ten; dadurch ist es schwierig, den gewünschten Grad an Verzerrungen einzustellen und auch bei dyna-
mischem Spiel beizubehalten. Hier haben Röhrenverstärker – die von den Gitarristen oft bevorzugt
werden – den Vorteil, daß die Kennlinie keinen Knick aufweist, sondern kontinuierlich von linearer
Verstärkung auf Begrenzung übergeht (soft clipping, Abbildung 25(b)) [28]. Dadurch treten auch
schon bei kleinerer Aussteuerung Verzerrungen auf und die Amplituden der Obertöne eines Einzeltones
nehmen schneller ab als bei Transistorverstärkern. Der Klang von Akkorden wird als ausgewogener und
wärmer empfunden. Bei manchen Transistorverstärkern wird versucht [29], diese Übersteuerungcha-
rakteristik eines Röhrenverstärkers durch Verwendung von Funktionsnetzwerken [30] nachzuahmen.
Die Rückkopplung von Lautsprecherschall auf die Saitenschwingung (feedback) tritt meistens als
unangenehme, weil instabile (erst durch die Verstärkungskennlinie beschränkte) Schwingung auf, be-
einflußt aber zweifellos auch den Klang von regulären Tönen und wird von geübten Gitarristen bewußt
(kontrolliert) eingesetzt.
34. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK
– 34 –
(a)
(b)
Eingangs–
Spannung
Eingangs–
Spannung
Ausgangs–
Spannung
Ausgangs–
Spannungua = –1 ...ue –1
ua = ue ...–1ue1
ua = 1 ...ue 1
ua = –2/3 ...ue –1
ua = ue–1/3ue
3
...–1ue1
ua = 2/3 ...ue 1
Abbildung 25: Idealisierte Verstärkerkennlinien für (a) Transistorverstärker mit harter Begrenzung
(hard clipping) und (b) Röhrenverstärker mit kontinuierlichen Übergang zwischen linearer
Verstärkung und Begrenzung (soft clipping).
Bei einem Modell mit Eingang für die Anregung kann nichtlineare Verstärkung und Rückkopplung
problemlos eingebaut werden [31]. Dabei werden die verschiedenen Signalwege durch den Verstärker
auf die Lautsprecher und der Rückkopplungspfad zu den Saiten mit einstellbaren Verstärkungen und
einer Verzögerung versehen, die den Einstellungen am (Vor)-Verstärker bzw. den Ausbreitungsverlusten
und der Verzögerung aufgrund der räumlichen Abstände zwischen Gitarre und Verstärker entsprechen
(Abbildung 26).
z-k
Saitenmodell
Auskopplung
gdist pre
gdist postgclean
gfeedback
Ausgang
Rückkoppelverzögerung
Verstärker-
Kennlinie
Abbildung 26: Distortion und Feedback im Modell einer elektrischen Gitarre.
1.3.2 Slapbaß
Bei der Slap Pop Technik am E-Baß werden die Saiten mit dem Knöchel des rechten Daumens
angeschlagen oder mit Zeige- oder Mittelfinger angerissen. Die Saite wird dabei so stark angeregt, daß
sie auf die Bundstäbchen am Griffbrett anschlägt (Abbildung 27). Dadurch entsteht ein brillanter An-
schlagton mit stark perkussivem Charakter [32]. Das Anschlagen an den Bundstäbchen ist eine
(einseitige) Amplitudenbegrenzung der Schwingung der Saite. Eine ähnliche Situation besteht bei der
Tanpura, einem indischen Saiteninstrument, bei dem der Steg so geformt ist, daß eine Amplitudenbe-
grenzung auf Werte y 0 am ersten Stück der schwingenden Saite nahe dem Steg wirkt [7].
35. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK
– 35 –
Das Anreißen (popping) kann wiederum durch eine näherungsweise dreieckförmige Anfangslage der
Saite modelliert werden. Für die geschlagene Saite (slapping) wird als Anfangsbedingung ein Ge-
schwindigkeitsimpuls an der Stelle des Daumens angenommen. Dieser Impuls kann aber aufgrund der
Masse der Saite nicht in unendlich kurzer Zeit aufgebracht werden. Die folgende Impulsform wurde für
die Simulation von Klaviersaiten verwendet [32], wo in den tieferen Lagen qualitativ gleiche Verhältnis-
se herrschen (dicke Saiten, und Anschlag mit einem schweren, weichen Hammer, der ähnliche dynami-
sche und elastische Eigenschaften wie ein mit Hornhaut bedeckter Fingerknöchel haben dürfte):
( )v x t k e et t
( , ) ( ) ( )
0 = ⋅ −− − ⋅ − + ⋅χ δ χ δ
. (34)
Diese Impulsform kann in ein Modell mit Geschwindigkeit als Wellengröße einfach an der Stelle x0 in
beide Verzögerungsleitungen eingespeist werden. Wenn aber die transversale Auslenkung y als Wellen-
größe verwendet wird – und das ist für die Amplitudenbegrenzung günstiger – muß der Anfangsge-
schwindigkeitsimpuls unter Zuhilfenahme von Gleichung (33) in die Anfangswerte der Verzögerungslei-
tungen eingehen. Dabei werden zwei gespiegelte Impulse als Anfangsgeschwindigkeiten
v x x t v x t
v x x t v x t
c I
c I
+
−
= − ⋅ =
= + ⋅ =
0 0
1
0
0 0
1
0
( ) ( , )
( ) ( , )
(35)
für die beiden Verzögerungsleitungen verwendet.
Griffbrett
Gitarrenkörper
Ausgangslage der Saite
Momentaufnahmen der ungestörten
Schwingung der Saite
Abbildung 27: Querschnitt einer Baßgitarre. Angedeutet ist die hypothetische Schwingung einer an-
gerissenen Saite, wenn sie nicht durch die Bünde am Griffbrett begrenzt würde.
Die Amplitudenbegrenzung kann auf einfache Weise durch amplitudenabhängige Reflexionsstellen
realisiert werden. Wenn die Summe der Amplitudenwerte beider Verzögerungsleitungen einen bestimm-
ten Wert über- oder unterschreitet, werden die Samples in den Verzögerungsleitungen nicht weitergelei-
tet sondern in die jeweils andere Leitung reflektiert. Die Randbedingung ist dabei aber nicht y(x,t) = 0,
sondern y(x,t) = yBund(x), also die Auslenkung bei der das Bundstäbchen berührt wird.
Es zeigt sich, daß eine einzige Amplitudenbegrenzung an der Stelle des letzten Bundes nicht ausreichend
ist: Die Saite schwingt dann auch in den Bereich, wo das Griffbrett liegt (siehe Abbildung 27). Außer-
dem fehlt im Zeitsignal im Vergleich mit echten Pop-Tönen ein gepulster hochfrequenter Anteil, der
durch das Anschlagen der Saite an die anderen Bünde entlang des Griffbretts in den ersten Perioden
entsteht (Englisch: fret-noise) und der durch einige folgende Perioden als hochfrequenter Puls erhalten
bleibt. Es ist daher eine Amplitudenbegrenzung bei allen Bünden über den ganzen Bereich des Griff-
bretts notwendig.
36. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK
– 36 –
Außerdem fällt auf, daß die hochfrequenten Anteile wesentlich stärker sind als im gemessenen Signal.
Das kann mit der vernachlässigten Biegesteifigkeit der Saite oder der unrealistischen Annahme, daß der
Tonabnehmer nur an einem Punkt die Saitenschwingung auskoppelt, zusammenhängen. Die Wirkung
der Biegesteifigkeit, die sich in einem Term mit vierter räumlicher Ableitung in der Differentialgleichung
der Saite ausdrückt, ist ja in den Reflexionsfunktionen am Ende der Saite zusammengefaßt (siehe
1.1.3.1). Die Werte in den Verzögerungsleitungen spiegeln daher eine ideale Saite wider. Man müßte
auch vor dem Tonabnehmer in beide Verzögerungsleitungen ein Filter einbauen. Das gleiche muß man
tun, um die endliche Breite des Tonabnehmers zu berücksichtigen – nämlich mehrere Werte aus den
Verzögerungsleitungen gewichtet auskoppeln. Hier geht als Filterfunktion des Tonabnehmers wieder
eine Gaußfunktion ein.
1.3.3 Klavier
Im Klavier wird beim Drücken einer Taste die Saite mit einem Hammer angeschlagen. Es kann daher
wiederum ein Geschwindigkeitsimpuls in den Anfangsbedingungen der Saite an der Stelle des Hammers
angenommen werden, der Geschwindigkeitsimpuls wird aber nicht in unendlich kurzer Zeit aufgebracht.
Die Schwingungsamplitude ist nicht begrenzt. Durch die Massenträgheit des Hammers bleibt dieser
aber solange in einer Position nahe der Ruhelage der Saite, daß er von dem ersten, vom kurzen Teilstück
der Saite reflektierten Impuls getroffen wird [33]. Er stellt dann eine (Teil-)Reflexionsstelle für die
Welle dar und erzeugt zusätzliche Impulse in den Wellen und dem Ausgangssignal. Die Auskopplung
der Schwingung erfolgt ähnlich wie bei der Geige, aber an beiden Enden der Saite.
Die Simulation der Saite eines Klaviers und der Anregung durch den Hammer ist derzeit ein For-
schungsthema am 'Center for Computer Research in Music and Acoustics (CCRMA)' in Stanford, CA,
USA [34].
37. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK
– 37 –
2 Zeitdiskrete Modelle
Die Modelle für Violine und Slapbaß werden in zeitdiskreter Form behandelt.
2.1 Behandlung des Violinmodells
2.1.1 Teile des zeitdiskreten Modells
2.1.1.1 Der Wellenleiter
Die Lösung der Wellengleichung geht für zeitdiskrete Signale über in
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
y t x y t x c y t x c
y nT mX c y nT mX c
y n m T y n m T
n m n m n m
S S S S
S S
, / /
/ /
( ) ( ) ,
= − + +
= − + +
= − + +
+ −
+ −
+ −
(36)
wo TS = 1/fS das (zeitliche) Abtastintervall ist, XS das räumliche Abtastintervall, das sinnvollerweise
gleich der Entfernung gewählt wird, die die Wellen in der Zeit TS zurücklegen, also XS = TS⋅c. c ist
wieder die Phasengeschwindigkeit der Wellen, n ist der diskrete Zeitindex, m der diskrete räumliche
Index. y+ bezeichnet die sich in positive x–Richtung (bzw. m–Richtung), y– die sich in entgegengesetzte
Richtung ausbreitende Welle.
Da TS ein Multiplikand aller Argumente ist, kann er, wie in der zeitdiskreten Signalverarbeitung üblich,
in den Gleichungen weggelassen werden. Argumente von zeitdiskreten Gleichungen, in denen TS unter-
drückt ist, werden im folgenden in eckige Klammern gesetzt. Gleichung (36) geht dann über in
[ ] [ ] [ ]y n m y n m y n m, = − + ++ − . (37)
Die Ausbreitung der Wellen y+ und y– kann durch zwei gegenläufige zeitdiskrete Verzögerungsleitungen
realisiert werden.
Der Wellenleiter wird durch den Bogenstrichpunkt in zwei Teile geteilt, wo sich die Wellen ohne Ein-
wirkung einer Kraft ausbreiten können. Am Saitenende werden sie dann reflektiert und damit in den
anderen Wellenleiter eingekoppelt, wo sie zurück zum Bogen laufen. Im zeitdiskreten Modell werden die
beiden Verzögerungsleitungen auf einer Saite des Bogens in eine zusammengefaßt und das Reflexionsfil-
ter an die Stelle direkt vor dem Bogen geschoben.
Die Verluste und die Dispersion, die in Wirklichkeit über den ganzen Wellenleiter verteilt wirken,
werden wieder aus den Abschnitten des Wellenleiters, wo kein Signal aus- oder eingekoppelt wird, in ein
Filter am Ende des jeweiligen Abschnitts gezogen.
2.1.1.2 Nicht ganzzahlige Verzögerung
Der Übergang von zeitkontinuierlichen Wellenleitern auf zeitdiskrete Verzögerungsleitungen erfordert
ein räumliches Abtasten mit der Rate XS = TS⋅c, abhängig von der Wellenausbreitungsgeschwindigkeit
im Medium. Anders ausgedrückt muß für einen Wellenleiter der Länge L eine zeitdiskrete Verzöge-
rungsleitung mit der Länge N = L/XS = L/(TS⋅c) Abtastwerten verwendet werden. Hier ergibt sich ein
ernstes Problem: nur für spezielle Fälle ergibt sich eine ganzzahlige Verzögerung. Anders herum gese-
hen, ist es mit ganzzahligen Verzögerungen besonders bei hohen Tönen nicht möglich, genau die Fre-
quenz einzustellen, die zu einer bestimmte Note gehört (siehe Abbildung 28). Aufgrund der Teilung der
Saite durch den Bogen bei Streichinstrumenten wird dieses Problem noch verschärft, wenn beide Verzö-
38. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK
– 38 –
gerungsleitungen auf ganzzahlige Verzögerung gerundet werden und in Summe ein noch größerer Fehler
auftritt.
10
2
10
3
10
4
Frequenz in Hz
Halbton Skala (A2 bis g6)
Mögliche Frequenzen bei ganzzahligen Delay (fs=44.1kHz)
Abbildung 28: Vergleich der Frequenzen, die sich mit ganzzahligen Verzögerungsleitungen ergeben,
mit der temperierten Halbtonskala.
Es ist also erforderlich, Ausgangswerte aus einer Verzögerungsleitung auch an Stellen zwischen Ab-
tastwerten zu berechnen. Wenn alle Signale Tiefpaßsignale mit einer Grenzfrequenz fg fS/2 sind11
, ist
diese Interpolation mit Hilfe der sinc-Funktion
sinc( )
sin( )
x
x
x
=
π
π
(38)
möglich. Ein Filter mit der Impulsantwort
h n n Did [ ] ( )= −sinc (39)
ergibt eine nicht ganzzahlige Verzögerung des Eingangssignals um D Samples und entspricht einer
Verzögerungszeit von td = D⋅TS bzw. einer Länge von xd = D⋅XS. Dieses Filter ist allerdings akausal.
Es gibt eine große Zahl von verschiedenen, kausalen Annäherungen an die ideale Interpolation [35]. Die
einfachste FIR-Realisierung12
ist die Interpolation mit Hilfe von Lagrange-Polynomen. Dabei wird mit
einem Filter der Ordnung NI (Länge NI + 1) mit der Impulsantwort
h n
D k
n k
n NI
k
k n
N
I
I
[ ] =
−
−
≤ ≤
=
≠
∏0
0
(40)
eine Näherung für Verzögerungen (NI – 1)/2 D (NI + 1)/2 bei ungerader Ordnung erzielt. Der
Betragsfrequenzgang und die Phasenlaufzeit, die die Verzögerung von einzelnen Sinuskomponenten im
Eingangssignal darstellt, sind in Abbildung 29 für Verzögerungen D von 1 bis 1,5 mit einem Lagrange-
Interpolationsfilter der Länge 4 (Ordnung NI = 3) dargestellt.
Vorteil der Lagrange Interpolation ist, daß die Koeffizienten in geschlossener Form zu berechnen sind
und daß nicht wie bei anderen Methoden Filterprototypen oder Signaleigenschaften in den Filterentwurf
eingehen.
11
Diese Eigenschaft wird den vom Instrumentenmodell erzeugten Signalen zugeordnet; sie muß aber bei den veränderli-
chen Parametern und den abgetasteten Anfangsbedingungen (wichtig bei Gitarre) gegeben sein.
12
Die IIR-Realisierung mit einem Allpaß hat den Vorteil des konstanten Betragsfrequenzganges, aber den Nachteil, daß bei
einer Änderung der Verzögerung D die Inhalte der Verzögerungsglieder des rekursiven Teiles nachträglich neu berech-
net werden müssen.
39. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK
– 39 –
Nachteilig ist, daß sich die korrekte Verzögerung und der korrekte Betrag der Übertragungsfunktion
(der gleich 1 sein sollte) nur für tiefe Frequenzen f « fS/2 ergibt und außerdem abhängig vom Nach-
kommateil fract(D) der Verzögerung D ist (siehe Abbildung 29). Die Filter haben für fract(D) = 0
konstanten Betrag 1, für fract(D) = 0.5 Tiefpaßcharakter und bei geradzahliger Länge eine Nullstelle
bei fS/2.
Das Lagrange-Interpolationsfilter der Ordnung NI = 1 (Länge 2) entspricht der linearen Interpolation
zwischen zwei Abtastwerten. Wegen der symmetrischen Koeffizienten bei geradzahliger Länge des
Filters und einer Verzögerung von NI/2 (fract(D) = 0.5) kann mit Filtern gerader Länge (ungerader
Ordnung) diese Phasenverzögerung exakt eingestellt werden. Filter ungerader Länge zeigen bei fract(D)
= 0.5 die größten Fehler in der Phasenverzögerung, dafür weisen sie keine Nullstelle im Betragsfre-
quenzgang auf.
0 1 2 3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Betragsfrequenzgang
normierte Kreisfrequenz
D=1.0
D=1.5
0 1 2 3
1
1.2
1.4
1.6
Phasenlaufzeit
normierte Kreisfrequenz
D=1.0
D=1.1
D=1.2
D=1.3
D=1.4
D=1.5
Abbildung 29: Betragsfrequenzgang und Phasenlaufzeit eines Lagrange-Interpolationsfilters der
Ordnung NI = 3 (Länge 4). Die Betragsfrequenzgänge für D = 1.6 bis 1.9 entsprechen denen
von D = 1.4 bis 1.1, die Phasenlaufzeiten sind spiegelbildlich zu jenen für D = 1.4 bis 1.1 be-
züglich der Linie für D = 1.5.
Für den Einsatz in den Instrumentenmodellen, wo die Reflexionsfunktionen ohnehin Tiefpaßcharakter
haben, sind die Nachteile der Lagrange-Interpolation nicht störend, vorteilig ist, daß der Betrag der
Übertragungsfunktion, im Gegensatz zu anderen Annäherungen, immer auf |HI| ≤ 1 beschränkt ist,
wodurch eine Kreisverstärkung 1 im Modell nicht durch die Interpolationsfilter verursacht werden
kann.
Das Lagrange-Interpolationsfilter gerader Länge hat zusätzlich zum Nachkommateil (0 ≤ fract(D) 1)
eine Verzögerung von (NI – 1)/2, der von der Verzögerungszeit der eingangsseitigen Verzögerungslei-
tung geborgt werden muß.
2.1.1.3 Gaußfunktion
Beim Übergang von zeitkontinuierlichen auf abgetastete Reflexionsfunktionen muß darauf geachtet
werden, daß die Gaußfunktion (14), die die Impulsverbreiterung bei der Wellenausbreitung auf der Saite
