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Diplomarbeit-ErhardRank

  1. 1. Diplomarbeit Simulation von Musikinstrumenten mit nichtlinearen dynamischen Systemen ausgeführt am Institut für Nachrichtentechnik und Hochfrequenztechnik der Technischen Universität Wien von Erhard Rank Hansalgasse 6/6A 1030 WIEN ................................................. .................................................
  2. 2. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK – 2 – Betreuender Assistent: Univ. Ass. Dr. Gernot Kubin Professor: o.Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr. Wolfgang Mecklenbräuker Ich möchte mich an dieser Stelle herzlich bei meinen Eltern bedanken, die mir ein von existentiellen Sorgen freies Studium ermöglicht haben, sowie bei meiner Freundin Theresa und meinem Sohn Julian, denen ich vor allem in der letzten Arbeitsphase nicht genug Zeit geschenkt habe und die mich trotzdem immer angespornt haben. Für die fachliche Unterstützung bedanke ich mich bei Prof. Gregor Widholm und Mag. Matthias Bertsch vom Institut für Wiener Klangstil und bei Wiltrud Fauler für die Einführung in den Geigenbau und dafür, daß sie mir eine ihrer Geigen zur Verfügung gestellt hat. Nicht zuletzt danke ich meinen Betreuern, im besonderen Gernot Kubin dafür, daß er mich auf die Thematik des "Physical Modelling" aufmerksam gemacht hat. Erhard
  3. 3. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK – 3 – Kurzfassung Die Diplomarbeit beschäftigt sich mit der künstlichen Erzeugung (Synthese) musikalischer Signale, die sich an den physikalischen Vorgängen bei natürlichen Instrumenten orientiert, der englische Begriff dafür ist "Physical Modelling". Es werden Instrumentenmodelle aus der Literatur für Streichinstrumen- te, Holzblasinstrumente mit einem Blatt, Flöte/Orgelpfeife und gezupfte Saiten (Gitarre, auch mit Verzerrung) vorgestellt und ein neues Modell für Slapbaß1 erarbeitet. Die Modelle sind alle aus wenigen Bestandteilen, die jeweils einen physikalischen Vorgang des realen Instrumentes darstellen, zusammen- gesetzt (z. B.: schwingende Saite, Reibungskontakt mit dem Bogen, Schallübertragung durch den Reso- nanzkörper). Die einzelnen Teile werden idealisiert und durch Gleichungen beschrieben und miteinander verkoppelt. In allen Instrumentenmodellen sind nichtlineare Teile enthalten: bei den Instrumenten mit konstanter Anregung (Streich- und Blasinstrumente) sind diese verantwortlich dafür, daß überhaupt ein Tonsignal entstehen kann und aufrechterhalten wird, bei Gitarre und Slapbaß beeinflussen sie entschei- dend den Klang. Die Modelle für Streichinstrumente und Slapbaß werden in zeitdiskreter Form behandelt und in der Simulationsumgebung MATLAB implementiert und analysiert. Bei geeigneter Einstellung der Parame- ter lassen sich damit Signale erzeugen, die in Eigenschaften und Klang echten Instrumenten sehr ähnlich sind. Beim Streichinstrumentmodell müssen dazu allerdings einige Parameter, die auch der Musiker beim Spiel verändert, während der Simulation variiert werden. Außerdem wird der Klang durch Einbe- ziehen von Rauschen verbessert. Das Rauschen wird abhängig vom Zustand am nichtlinearen Element, das den Reibungskontakt zwischen Bogen und Saite darstellt, zugesetzt und wird als Modell für die Ungleichförmigkeit der Bogenhaare gesehen. Interessant ist, daß mit dem Modell auch Artefakte, wie das "Kratzen" bei falscher Relation zwischen Bogennormalkraft und Bogengeschwindigkeit, erzeugt werden können. 1 Bei der "Slap & Pop" Technik am E-Baß werden die Saiten mit dem Knöchel des rechten Daumens angeschlagen oder mit Zeige- oder Mittelfinger angerissen. Die Saite wird dabei so stark angeregt, daß sie auf die Bundstäbchen am Griff- brett anschlägt.
  4. 4. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK – 4 – Inhaltsverzeichnis KURZFASSUNG ............................................................................................................................................3 EINLEITUNG.................................................................................................................................................5 1 ÜBERBLICK ÜBER INSTRUMENTENMODELLE................................................................................7 1.1 STREICHINSTRUMENTE .................................................................................................................................7 1.1.1 Die ideale Helmholtz-Bewegung...........................................................................................................7 1.1.2 Das Raman-Modell...............................................................................................................................8 1.1.2.1 Der Wellenleiter ............................................................................................................................................ 8 1.1.2.2 Reflexionen ................................................................................................................................................... 9 1.1.2.3 Die Reibungskraft.......................................................................................................................................... 9 1.1.2.4 Lösungsvorgang............................................................................................................................................12 1.1.3 Weiterentwicklung des Modells..........................................................................................................13 1.1.3.1 Impulsverbreiterung bei der Reflexion ..........................................................................................................14 1.1.3.2 Verluste und Dispersion von nicht idealen Saiten..........................................................................................15 1.1.3.3 Auskopplung über die Stegkraft ....................................................................................................................17 1.1.3.4 Der Resonanzkörper......................................................................................................................................18 1.1.3.5 Torsion der Saite...........................................................................................................................................20 1.2 BLASINSTRUMENTE ....................................................................................................................................22 1.2.1 Die Klarinette.....................................................................................................................................22 1.2.1.1 Der Wellenleiter ...........................................................................................................................................22 1.2.1.2 Reflexion und Abstrahlung............................................................................................................................22 1.2.1.3 Das Blatt ......................................................................................................................................................23 1.2.2 Flöte und Orgelpfeife..........................................................................................................................26 A 1 ANMERKUNG ZU DEN STREICH- UND BLASINSTRUMENTMODELLEN..............................................................28 A 1.1 Bezug zu Zweipoloszillatoren............................................................................................................28 A 1.2 Rauschen...........................................................................................................................................29 1.3 GEZUPFTE UND GESCHLAGENE SAITE...........................................................................................................31 1.3.1 Gitarre................................................................................................................................................31 1.3.1.1 Lineares Gitarrenmodell ...............................................................................................................................31 1.3.1.2 Verzerrungen und Rückkoppelungen.............................................................................................................33 1.3.2 Slapbaß ..............................................................................................................................................34 1.3.3 Klavier...............................................................................................................................................36 2 ZEITDISKRETE MODELLE...................................................................................................................37 2.1 BEHANDLUNG DES VIOLINMODELLS............................................................................................................37 2.1.1 Teile des zeitdiskreten Modells...........................................................................................................37 2.1.1.1 Der Wellenleiter ...........................................................................................................................................37 2.1.1.2 Nicht ganzzahlige Verzögerung.....................................................................................................................37 2.1.1.3 Gaußfunktion................................................................................................................................................39 2.1.1.4 Filter für den Resonanzkörper.......................................................................................................................40 2.1.1.5 Nichtlinearität und Rauschen ........................................................................................................................43 2.1.2 Gleichungen.......................................................................................................................................43 2.1.3 Dynamisches Variieren der Parameter................................................................................................45 2.1.4 Signalbeispiele ...................................................................................................................................47 2.2 SLAPBASS ..................................................................................................................................................48 2.2.1 Modell................................................................................................................................................48 2.2.2 Signalbeispiele ...................................................................................................................................50 3 BESCHREIBUNG DER MATLAB-PROGRAMME...............................................................................53 4 ZUSAMMENFASSUNG............................................................................................................................54 ANHANG A: HÜLLKURVE DER HELMHOLTZ-BEWEGUNG............................................................55 ANHANG B: LÖSUNG DER NICHTLINEARITÄT..................................................................................58
  5. 5. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK – 5 – Einleitung Die Beschäftigung mit den physikalischen Vorgängen, die bei Naturinstrumenten zur Tonerzeugung führen, geht natürlich in erster Linie von der Liebe zur Musik und zum Instrument aus. Ein besseres Verständnis der tonerzeugenden Mechanismen bietet dem Musiker und Instrumentenbauer die Möglich- keit, gezielte Verbesserungen der Spieltechnik und der Bauweise vorzunehmen. Ein für den Elektro- techniker und eventuell auch kommerziell interessanter Anreiz ist die Entwicklung eines künstlichen Instruments und die Synthese von Musiksignalen nach denselben Prinzipien, die beim Naturinstrument zur Klangerzeugung führen. Bei den heute gebräuchlichen Musiksynthesizern werden zur Signalerzeugung im wesentlichen zwei unterschiedliche Verfahren benutzt: Einerseits digital aufgenommene Signalformen (Samples) von echten Instrumenten und andererseits Algorithmen zur Kopplung mehrerer Oszillatoren (also Synthese im Frequenzbereich, z. B. FM). Bei ersterem werden die Tonsignale von echten Instrumenten digitali- siert (abgetastet und quantisiert) und in einem Halbleiterspeicher gelagert. Um unterschiedliche Tonhö- hen zu erzeugen, muß das Signal bei der Wiedergabe verschieden schnell ausgelesen werden, bzw. es muß zwischen Signalwerten interpoliert werden. Da hierbei eine Zeitkompression/-expansion stattfindet wird auch das Spektrum entsprechend gedehnt/komprimiert und die Klangfarbe entspricht bei größerem Tonintervallen nicht mehr der des Orginalinstruments. Für ein Instrument müssen daher mehrere "Samples" aufgenommen werden, z. B. eines pro Oktave; im Grenzfall kann für jeden Halbton (für jede einzelne Klaviertaste) eine eigene Aufnahme gemacht werden. Beim zweiten Verfahren, das auch schon bei den frühen Analog-Synthesizern verwendet wurde, wird davon ausgegangen, daß ein musikalischer Ton aus einer endlichen Zahl diskreter Sinusschwingungen besteht, die bestimmte Amplitudenverläufe zeigen. Es werden also Sinusgeneratoren (üblicherweise auch Rechteck- und Dreieckgeneratoren) mit von Hüllkurvengeneratoren erzeugten Amplitudensignalen moduliert, wobei typische Parameter aus der musikalischen Sicht gewählt werden: Anschlag (attack), Haltezeit(hold), Abklingzeit(decay), usw. Mit diesem Verfahren und einer entsprechend guten Analyse ließe sich theoretisch jeder Naturklang beliebig genau reproduzieren. Aufgrund der begrenzten Anzahl an Sinus- und Hüllkurvengeneratoren in Synthesizern kann aber im Besonderen der Einschwingvorgang beim Anschlag nicht exakt rekonstruiert werden. Beide Verfahren zeigen also gewisse Schwächen; bei der Samplingtechnik ist die hohe Klangqualität mit einem enormen Speicheraufwand verbunden, vor allem wenn viele unterschiedliche Klangnuancen (z.B.: "piano" bis "forte") verfügbar sein sollen. Mit gekoppelten Oszillatoren und Filtern läßt sich zwar ein dem Original im Spektralbereich entsprechendes Signal erzeugen, das Zeitsignal ist aber meist entstellt; und die subjektive Klangqualität hängt besonders bei so transienten Signalen wie Musiksignalen auch von den Phasenbeziehungen – und somit von der Zeitsignalform ab. Das physikalische Modellieren eines Instrumentes verspricht indes einerseits eine bessere Zeitsignalre- konstruktion und somit bessere subjektive Klangqualität und andererseits geringeren Speicheraufwand, da das Signal nach dem Physikalischen Modell laufend (im Zeitbereich) berechnet wird – was aber große Rechenleistung bei der Wiedergabe impliziert. Weil im Modell im wesentlichen dieselben Parame- ter wie beim Spielen des physischen Instrumentes (Anblas- und Lippendruck bzw. Bogendruck, Bogen- geschwindigkeit, …) verwendet werden, kann der Klang entsprechen vielfältig beeinflußt werden. Die Steuerung der Parameter kann für den Musiker ein gewisses Problem darstellen, erfordert aber auf jeden Fall eine gegenüber anderen Synthesizer-Keyboards erweiterte Mensch-Maschine Schnittstelle. Das kann durch Steuerräder und Hebel erreicht werden, wie z. B. beim "Prophecy"-Synthesizer von Korg, der drei Arten von "Physical Modelling" Instrumenten, nämlich Blechblasinstrumente, Holzblasinstru- mente und "Plucked String"–Instrumente im Repertoire hat [1]. Hier wird mit der rechten Hand auf einer Klaviatur die Tonhöhe vorgegeben (der Synthesizer ist monophon, d. h. es können nicht mehrere Töne gleichzeitig erzeugt werden), während mit den Fingern der linken Hand über drei Steuerräder und einen "Ribbon-Controller", ein Widerstandsband, vier Parameter beeinflußt werden können.
  6. 6. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK – 6 – Ausgehend von physikalischen Modellen realer Instrumente kann auch eine neue Art künstlicher Instru- mente entworfen werden, die auf dem gleichen Prinzip (Rückkopplung zwischen linearem Wellenleiter und nichtlinearer Funktion zwischen Zustandsvariablen) basiert und ganz neuartige Klangstrukturen realisiert. Für die Analyse von Spieltechnik und Bauweise können in den Instrumentenmodellen einzelne Parame- ter, die in der Realität vom Musiker und Instrumentenbauer beeinflußt werden, verändert und die Aus- wirkung auf den Klang beobachtet werden.
  7. 7. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK – 7 – 1 Überblick über Instrumentenmodelle 1.1 Streichinstrumente Eine Violine mit Bezeichnung der Teile ist in Abbildung 1 gezeichnet. Schnecke   Wirbelkasten Wirbel ¡ Obersattel ¢ Hals mit Griffbrett £ Steg   Baßbalken F-Löcher Saitenhalter   Querschnitt beim Steg ¤ Baßbalken Stimmstock   Korpusdeckel Zargen ¥ Korpusboden Steg   Saiten   Saiten   Abbildung 1: Violine mit Bezeichnung der einzelnen Teile (nach [2]). 1.1.1 Die ideale Helmholtz-Bewegung Schon im vorigen Jahrhundert beschäftigte sich Helmholtz [3] unter anderem mit den Schwingungen einer gestrichenen Violinsaite und erkannte, daß die Saite den Großteil einer Schwingungsperiode an einer Stelle der Bogenhaare haftet und mit dem Bogen fortbewegt wird und dann in einem kürzeren Bruchteil der Periodendauer entgegen der Bogenbewegung gleitet. Die Geschwindigkeit beim Gleiten wird dabei als konstant angenommen. Das Verhältnis der Zeit für Gleiten und Haften entspricht dem Verhältnis, in das die Saite durch die Position des Bogen geteilt wird, ebenso wie das Verhältnis von Bogengeschwindigkeit zu Gleitgeschwindigkeit bei einer stabilen Schwingung. Die Bewegung der Saite ist annähernd die einer freischwingenden Saite, wobei ein relativ scharfes "Eck" – der „Helmholtz-Corner“ – auf der Saite hin- und herläuft und als sichtbare Hüllkurve der Schwin- gung eine Parabel (siehe Anhang A) erzeugt (Abbildung 2). Dabei löst das Vorbeilaufen des Helmholtz- Corners am Bogen (Position β·L) einerseits die Gleitphase aus, andererseits nach der invertierenden Reflexion am Saitenende die Phase des Haftens am Bogen. Die Saite besteht zu jedem Zeitpunkt aus zwei Geradenstücken. Eine Folgerung aus diesen Beobachtungen ist, daß die Amplitude der Schwingung bei gegebener Bogen- position proportional der Bogengeschwindigkeit vB ist. Auch bei allen folgenden Violinmodellen zeigt sich in der Simulation dieser Zusammenhang.
  8. 8. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK – 8 – t (b) (a) vB x=0 x=Lβ·L v y Abbildung 2: Die ideale Helmholtz-Bewegung: (a) Momentaufnahme einer gestrichenen Saite; das Eck bewegt sich entlang der gepunkteten Hüllkurve. (b) Zeitverlauf der Saitengeschwindigkeit bei der Bogenposition β·L. 1.1.2 Das Raman-Modell Aufbauend auf dem Prinzip der idealen Saite formulierte Raman [4] 1918 als erster ein physikalisches Modell für die Bewegung einer gestrichenen Saite. Die ideale Saite ist eine unendlich dünne Saite endli- cher Masse m, die an zwei Stellen x=0 und x=L unter Zug fest eingespannt ist und die keine Wider- standsmomente gegen Biegung aufbringt [5]. Sie kann als eine Anordnung aus infinitesimalen Massen und Federn angesehen werden und wirkt bei Annahme eines kleinen Saitensanstiegs als eindimensionaler linearer Wellenleiter (Abbildung 3). Auf diesem können sich Anregungen, z. B. Auslenkungen aus der Ruheposition, in beide Richtungen mit konstanter Geschwindigkeit ausbreiten. An den beiden Saitenen- den kann die Saite nicht von der Position y=0 abweichen und die sich in Richtung Saitenende ausbrei- tenden Auslenkungswellen werden invertiert reflektiert. Dasselbe gilt auch bei Betrachtung von Ge- schwindigkeits- oder Beschleunigungswellen [6]. Die ideale Saite ist eine gute Näherung für lange, dünne und stark gespannte Saiten [7]. 1.1.2.1 Der Wellenleiter Der eindimensionale ideale lineare Wellenleiter wird durch die Wellengleichung beschrieben: ( ) ( )Ky x t y x t′′ =, ¦ ¦ ,ε . (1) y ist hier die transversale Auslenkung der Saite, ε=m/L die lineare Massendichte mit m…Masse der Saite zwischen den Einspannstellen bei x = 0 und x = L, und K die Zugkraft entlang der Saite. y´´ bezeichnet die zweifache räumliche Ableitung: ( ) ( )′′ =y x t y x x t, , ∂ ∂ 2 2 und ÿ die zweifache zeitliche Ableitung von y: ( ) ( ) ¦ ¦ , ,y x t y t x t= ∂ ∂ 2 2 . Die Wellengleichung ist auch für die transversale Geschwindigkeit v und Beschleunigung a gültig. Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung sind über Differentiation bzw. Integration bezüglich der Zeit t ineinander umrechenbar – die Wahl der Zustandsvariablen ist also frei und es kann die für die jeweilige Problemstellung günstigste Variable ausgesucht werden.
  9. 9. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK – 9 – Die Lösungen der Wellengleichung sind beliebige Funktionen der Form: y x t y x c t y x c t( , ) ( ) ( )= − ⋅ + + ⋅+ − , (2) die sich in positive und negative x-Richtung mit der Geschwindigkeit c K= /ε ausbreitende transversa- le Wellen beschreiben. Die Form der beiden Wellen ist dabei beliebig, man beachte aber, daß bei der Ableitung der Wellengleichung von der Voraussetzung y' « 1 ausgegangen wird. dm K Kdm dm dm dx dxdx K/cos(ββ)K/cos(αα) dm=m/L·dx ββ αα K·(tan(αα)–tan(ββ))= K·(y´(x)–y´(x+dx))= K·y´´(x)·dx m L y Ky § § = ′′ x y Abbildung 3: Modell einer idealen Saite als linearer Wellenleiter. m und L sind die Masse bzw. die Länge der Saite, K ist die Kraft, mit der die Saite gespannt ist. Die Wellengleichung ergibt sich aus dem dynamischen Grundgesetz der Mechanik (2. Newton'sches Axiom) für die differentielle Masse dm. Voraussetzung ist, daß sich die Zugkraft in den Federelementen bei Schräglage nicht wesentlich verändert; die lineare Wellengleichung ist somit nur für kleine Winkel α,β « π/2 bzw. für y' « 1 gültig. Dieser ideale Wellenleiter kann als zwei gegenläufige Verzögerungsleitungen betrachtet werden. Der Zustand der Größe y(x,t) ist dabei die Summe der y-Wellen y+ (x,t) und y– (x,t) in den beiden Verzöge- rungsleitungen. 1.1.2.2 Reflexionen Da die betrachtete Saite in den Punkten x = 0 und x = L fest eingespannt ist, kann hier keine Auslen- kung zustande kommen und die Randbedingung ist y(0,t) = y(L,t) = 0. Auch für Geschwindigkeit und Beschleunigung gilt dieselbe Randbedingung. Es muß daher die Summe der Wellen in den beiden Ver- zögerungsleitungen gleich Null sein, d. h. die Wellen werden invertiert reflektiert. x = β·L x=0 x=L –1 –1 Abbildung 4: Die Saite im Raman-Modell: idealer Wellenleiter mit deltaförmigen Reflexionsfunktio- nen. Raman nimmt die Reflexionen auch als ideal an, d. h. wenn ein Delta-Impuls gegen das eingespannte Saitenende hin geschickt wird, kehrt er als verzögerter negativer Delta-Impuls wieder zurück. Wenn nun
  10. 10. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK – 10 – an einer Stelle β·L auf der Saite eine Störung auftritt – zum Beispiel durch einen Bogenstrich – dann trifft sie nach einer Verzögerung von β·T bzw. nach (1–β)·T als invertiert reflektierte Welle vom Steg (engl.: "bridge", x = 0) bzw. vom Finger am Griffbrett oder vom Obersattel (x = L) wieder im Punkt x0 = β·L ein (Abbildung 4). Wobei T = 2·L/c die gesamte Umlaufzeit entlang der Saite ist (Englisch: "roundtrip-time") und somit gleich der Periodendauer der Eigenschwingungen der Saite. Die Frequenz der Grundschwingung ist also f0 = 1/T = c/(2·L) und ihre Wellenlänge auf der Saite λ0 = 2·L. Man kann also einen Zusammenhang zwischen den im Punkt x0 eintreffenden Wellen und den zu einem früheren Zeitpunkt ausgegangenen Wellen herstellen, im Raman-Modell eine einfache Verzögerung und Inversion. Die ideale Reflexion entspricht nicht der Realität, genauere Modelle der Reflexion werden im weiteren noch behandelt. 1.1.2.3 Die Reibungskraft Für die Zusammenhänge am Bogen ist es günstig, als Wellengröße die transversale Geschwindigkeit v x t y x t y x t t ( , ) ¨ ( , ) ( , ) = = ∂ ∂ zu verwenden, da bei der idealisierten Betrachtung die Reibungskraft nur von der Relativgeschwindigkeit zwischen Bogen und Saite abhängt. Dabei muß bekanntlich zwischen der Haftreibungskraft bei Relativgeschwindigkeit Null und der Gleitreibungskraft unterschieden werden. Die Haftreibungskraft tritt als Reaktion auf äußere Kräfte auf und kann beliebige Werte bis zum Betrag von µS⋅fB annehmen (µS…Haftreibungskoeffizient (S von statisch), fB…Normalkraft am Bogen). Die Gleitreibungskraft ist kleiner als der maximale Wert der Haftreibung und nimmt mit größer werdender Relativgeschwindigkeit ab. Um die Reibungskraft formal zu beschreiben wird in [8] und [9] eine Kurve verwendet, die aus einer Gerade für die Haftreibung und zwei Hyperbelstücken für die Geschwindigkeitsabhängigkeit der Gleitreibung besteht, die Formel für die linke (+) und rechte (–) Hyperbel in Abbildung 5 ist: f F v f v v v b S D B B D= = ⋅ − ⋅ ⋅ ± ⋅ − ±      ( ) ( ) ( ) µ µ γ γ µ 1 . (3) Diese Gleichung ist nicht allgemein, insbesondere für vB < 0 (Strichumkehr) kann sie nicht in dieser Form verwendet werden. Eine allgemeine Gleichung für die Reibungsnichtlinearität ist im Anhang B zu finden. Die Reibungskraft ist mit f, die Geschwindigkeit der Saite mit v bezeichnet. fB ist die Normalkraft auf den Bogen (umgangssprachlich, aber physikalisch inkorrekt: der "Bogendruck"), vB ist die Bogenge- schwindigkeit, µS der Haftreibungskoeffizient, µD der Gleitreibungskoeffizient (Verhältnis Reibungs- zu Normalkraft für |v – vB| → ∞, D von dynamisch) und die Stelle (1 ± γ)⋅vB bezeichnet die Stelle der senkrechten Asymptoten der Hyperbelstücke auf der Abszisse. Eine andere Approximation für die Reibungskurve wäre ([10], Seite 184): ( ) ( )f F v v v v vD S D B B= = − + + ⋅ −       ⋅ ⋅ −( ) ( ) cosh ( ) tanh ( )µ µ µ β α 1 . (4) Hier ist die maximale Haftreibungskraft aber nicht durch µS allein bestimmt und die Lösung der Mo- dellgleichungen ungleich schwieriger als mit Gleichung (3).
  11. 11. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK – 11 – f...Reibungskraft v...Saitengeschw. vB fmax=µS⋅fB µD⋅fB qh (1+γ)⋅ vB (1–γ)⋅ vB Abbildung 5: Zusammenhang zwischen Saitengeschwindigkeit v und Reibungskraft f bei konstanter Bogengeschwindigkeit vb, (Gleichung (3)), der senkrechte Teil der Kennlinie entspricht dem Haften, die beiden hyperbolischen Linien gelten für Gleiten der Saite auf den Bogenhaaren (µS…Haftreibungskoeffizient, µD…Gleitreibungskoeffizient). Die Gerade repräsentiert Glei- chung (13). Der Zusammenhang zwischen den Geschwindigkeitswellen und einer im Punkt x0 angreifenden Rei- bungskraft wird über den Wellenwiderstand der Saite Z K K c= ⋅ =ε / hergestellt [6]: [ ]f t x Z v x c t v x c t( , ) ( ) ( )0 0 0= ⋅ − ⋅ − + ⋅+ − . (5) Die Kraft ist proportional zur Differenz der Geschwindigkeitswellen (der Proportionalitätsfaktor Z bedeutet bei einer gegebenen Saite mit konstantem Querschnitt über die Länge nur einen Normierungs- faktor für f ). Solange die Kraft f an einer Stelle x0 auf der Saite identisch Null ist, laufen die beiden Wellen v+ und v– ungestört an x0 vorbei. Wenn andererseits die Saite in Ruhe ist (v+ und v– gleich Null), wird durch eine angreifende Kraft eine Störung verursacht, die sich in Form von Wellen in beide Rich- tungen ausbreitet. Dabei wird in jede Richtung die halbe Energie abgegeben. Nach dem Superposi- tionsprinzip wird also im allgemeinen Fall beiden vorbeilaufenden Wellen die halbe Energie von f zuge- fügt, so daß gilt (x0 – und x0 + bezeichnen die Stelle gleich links und rechts von x0 – zur Berechnung der Grenzwerte): v x c t v x c t Z f t x v x c t v x c t Z f t x + + + − − − − + − ⋅ = − ⋅ + ⋅ + ⋅ = + ⋅ + ⋅ ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ). 0 0 0 0 0 0 1 2 1 2 (6) Die Lösung der Wellengleichung Gleichung (2) für die Geschwindigkeit v(x, t) und Gleichung (5) geben also Summe (Geschwindigkeit) und Differenz (Kraft) der Wellengrößen in den beiden Verzögerungslei- tungen an. Das ist äquivalent zu Spannung und Strom bei der Betrachtung von Wellengrößen a (ausgehende Welle) und b (einfallende Welle) in der Hochfrequenztechnik (HFT)[11]. Wenn nur in einem Punkt auf der Saite eine Kraft wirksam ist, d. h. wenn der Bogen als unendlich dünn angenommen wird, kann die Ortsabhängigkeit wie in der HFT durch die Einführung einer Bezugsebene (eines Bezugspunktes) eliminiert werden. Es können dann die Werte der Wellen im Punkt x0 allein betrachtet werden: Die Wellenausbreitung kann durch den Zusammenhang zwischen eintreffender und
  12. 12. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK – 12 – ausgehender Welle im Punkt x0 beschrieben werden (der Wellenleiter kann als LTI2 -System angesehen werden – siehe 1.1.3), und zwischen der Summe und der Differenz der Wellen besteht der nichtlineare Zusammenhang der Reibungskurve (3), die somit einem nichtlinearen konzentrierten Bauelement ent- spricht. 1.1.2.4 Lösungsvorgang Um die Verallgemeinerung der Instrumentenmodelle zu ermöglichen, wird in den folgenden Formeln die transversale Saitengeschwindigkeit v des Streichinstrumentenmodells durch die Variable q repräsentiert. Durch Einführen von nicht ortsabhängigen Variablen, die den Grenzwerten der Transversalgeschwin- digkeit in Gleichung (6) entsprechen, q v x t q v x t q v x t q v x t iL oL iR oR = = = = + − − − − + + + ( , ) ( , ) ( , ) ( , ), 0 0 0 0 (7) läßt sich die Aufgabe mit nur mehr zeitabhängigen Variablen in 4 Modellgleichungen formulieren (wobei die Zeitabhängigkeit aus Gründen der Übersichtlichkeit nicht mehr explizit angegeben wird). Aus Gleichung (2) wird im Punkt x0: q q q q qiL oL iR oR= + = + . (8) Wirkung der Bogenkraft, Gleichung (6), mit Y=1/Z … Admittanz der Saite: 1 2 Y f q q q qoL iR oR iL⋅ = − = − . (9) Der Zusammenhang zwischen ausgehender und einfallender Welle wird mit Hilfe von Reflexionsfunk- tionen r(t) ausgedrückt, die im weiteren auch die Behandlung von nicht ideal deltaförmigen Reflexionen ermöglichen. In die Reflexionsfunktionen gehen später auch die (frequenzabhängigen) Verluste bei den Reflexionen und die Verluste und Dispersion (frequenzabhängige Wellenausbreitungsgeschwindigkeit) des Wellenleiters ein. Im Fall des Raman-Modells ist rL(t) = –δ(t–β·T) (Reflexion bei x = 0) und rR(t) = –δ(t–(1–β)·T)) (Reflexion bei x = L); der Stern bezeichnet im folgenden die Faltung: q q r q q riL oL L iR oR R= ∗ = ∗; . (10) Zwischen Kraft und Geschwindigkeit besteht die nichtlineare Beziehung Gleichung (3), oder allgemein: f F q= ( ) . (11) Für rationale Verhältnisse β/(1–β) = n/m und ideale Reflexionen ergeben die Gleichungen (8) bis (11) ein nichtlineares Differenzengleichungssystem. Mit diesen berechnete Raman Anfang dieses Jahrhun- derts – für n + m < 24 – (händisch) Zeitsignale und konnte bereits typische Eigenschaften von Streich- instrumenten (z. B. die Tonhöhenabsenkung bei stärkerer Bogennormalkraft) erklären. Die Gleichungen (8) bis (11) beschreiben das Modell vollständig, sind aber nicht unabhängig voneinan- der. Für die numerische Lösung kann ein unabhängiges System von Gleichungen erstellt werden, das in 2 Linear Time Invariant: lineares, zeitinvariantes System.
  13. 13. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK – 13 – zwei Schritten lösbar ist. Dafür werden zuerst die beiden Variablen für die ausgehenden Wellen qoL und qoR aus (10) eliminiert: ( ) ( )q r q Y f q r q Y fiL L iR iR R iL= ∗ + ⋅ = ∗ + ⋅1 2 1 2, . (12) Damit können für kausale Reflexionsfunktionen die aktuellen Werte der am Bogenpunkt eintreffenden Wellen qiL und qiR allein aus vergangenen Werten der Kraft f und ihrer selbst berechnet werden. Glei- chungen (8) und (9) ergeben subtrahiert: ( )q q q Y fiL iR= + + ⋅1 2 . (13) Diese Gleichung beschreibt die Gerade in Abbildung 5, wobei qh = qiL + qiR gilt. Sie muß zusammen mit der Nichtlinearität Gleichung (11) gelöst werden: es muß also der Schnittpunkt der beiden Kurven gefunden werden und dessen Koordinaten sind dann die neuen Werte für f und q. Rechnerisch bedeutet das im Fall einer Reibungskurve nach Gleichung (3) für den Bereich der Haftreibung die Lösung einer linearen, für die beiden Gleitbereiche die Lösung einer quadratischen Gleichung. f q1 2 3 qh1qh2 Abbildung 6: Mehrdeutigkeit bei der Schnittpunktsuche: Punkt 2 ist instabil, und zwischen Punkt 1 und 3 wird nach der Hystereseregel (siehe Text) entschieden. Für den Fall, daß mehrere Schnittpunkte der beiden Kurven auftreten, muß nach folgenden Hysterese- Regeln vorgegangen werden [8], [12]: • Schnittpunkte, wo die Gerade von der nichtlinearen Kurve von links unten nach rechts oben geschnit- ten wird (Punkt 2 in Abbildung 6) ergeben keine gültigen Werte f und q.3 • Wenn zwei stabile Schnittpunkte (Punkt 1 und 3) auftreten, wird jener ausgewählt, der auf demsel- ben Kurventeil der Nichtlinearität (Gerade oder Hyperbel) liegt wie der zeitlich vorhergehende Punkt, d. h. der Zustand des Haftens bzw. des Gleitens wird solange wie möglich beibehalten. Diese Regel muß für alle qh zwischen qh2 und qh1 für den linken Teil der Hyperbel angewendet werden. Für "normale" Töne treten bei positivem vB keine Schnittpunkte mit der rechten Hyperbel auf, bei allgemeiner Betrachtung muß der entsprechende Bereich für die rechte Hyperbel genauso behandelt werden. 1.1.3 Weiterentwicklung des Modells Für eine realistisches Modell muß zumindest eine der Reflexionsfunktionen rL(t) und rR(t) von der Deltafunktion abweichen, sonst könnten sich auf der Saite je nach Anfangsbedingungen periodische Schwingungen ausbilden, die aber (innerhalb der Periode) beliebige Kurvenform besitzen. Außerdem 3 Wenn zu einem Zeitpunkt t ein Wertepaar f und q entsprechend Punkt 2 auftreten würde, wird bei Annnahme einer kleinen zusätzlichen Störung schnell der Bereich der Reibungskurve zwischen Punkt 2 und 1 (bzw. 3, je nach Richtung der Störung) durchlaufen [13, Anhang].
  14. 14. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK – 14 – sitzt der Steg auf dem Resonanzkörper des Instruments, der wie sein Name schon besagt, Resonanz- schwingungen ausführen kann, und für die Wellen auf der Saite dann sicher keine ideale Reflexionsstelle darstellt. Das bringt uns zu einem weiteren Detail, das bis jetzt nicht betrachtet wurde: Die Schwingun- gen der Saite werden über der Steg auf den Resonanzkörper übertragen, der sie dann als Luftschall abgibt. Das eigentliche "Ausgangssignal" des Instruments ist ja der Schall, der vom Resonanzkörper abgestrahlt und vom Zuhörer dann als Tonempfindung aufgenommen wird. Der Übertragungsweg Steg– Resonanzkörper–Luftschall wird in den Modellen als lineares System ohne Rückwirkung angesehen. 1.1.3.1 Impulsverbreiterung bei der Reflexion Um die Einführung von allgemeinen Reflexionsfunktionen zu ermöglichen wurden schon in Gleichung (10) für das Raman-Modell zur Darstellung der Verzögerungen die Funktionen rL(t) und rR(t) verwen- det. Diese Notation ermöglicht es, beliebige Reflexionsfunktionen zu verwenden, um die auftretende Impulsverbreiterung zu beschreiben. Eine äquivalente Behandlung ist auch im Frequenzbereich mit Hilfe der Fouriertransformierten4 RL(ω) und RR(ω) möglich, da die Berechnungen aber im Zeitbereich durchgeführt werden, wird von Zeitfunktionen ausgegangen. Als Reflexionsfunktion wird in der Literatur [9] eine verzögerte Gaußfunktion (Abbildung 7) vorge- schlagen: ( ) r t a e b t T ( ) = ⋅ − − 2 . (14) Diese ist akausal, bei genügend großem Parameter b (schmale Gaußfunktion) und großer Verzögerung T kann die Reflexionsfunktion aber auf die zeitliche Umgebung von T beschränkt und damit kausal gemacht werden, ohne daß größere Fehler auftreten. Der Vorteil der Verwendung von zwei Reflexions- funktionen, jeweils für einen Teil der Saite, gegenüber der Faltung mit der gesamten "Impulsantwort" oder Green-Funktion (zeitlicher Verlauf der Saitenamplitude nach Anregung mit einem Geschwindig- keitsimpuls an der Anregungsstelle [13]), die aus einer theoretisch unendlichen Folge von Reflexionen besteht und mit der das Verhalten der Saite genausogut beschrieben wird [12], ergibt sich daraus, daß die Reflexionsfunktionen auf einen kleinen Zeitbereich um T beschränkt sind und die Faltung auf diesen kleinen Bereich beschränkt werden kann. Die Gaußfunktion bietet hier den Vorteil, daß sie rasch ab- klingt, und daher außerhalb eines Bereiches T – ∆t bis T + ∆t gleich Null gesetzt werden kann. Fläche = –1 ( ) r t a e b t T ( ) = ⋅ − − 2 T t r(t) w Abbildung 7: Gaußförmige Reflexionsfunktion mit Impulsverbreiterung nach [9], die Verzögerung T bestimmt die Frequenz. Durch die symmetrische Form (linearer Phasengang) wird eine konstan- te Ausbreitungsgeschwindigkeit am Wellenleiter modelliert. 4 Die Fouriertransformierten der Reflexionsfunktionen enthalten natürlich auch die Verzögerung T. Um eine bessere Vorstellung der Vorgänge im Modell zu bieten, sind in den folgenden Abbildungen trotzdem immer auch Verzögerungs- leitungen bzw. ein Wellenleiter eingezeichnet.
  15. 15. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK – 15 – Die Konstante a muß, um Reflexionen am fest eingespannten Ende zu beschreiben, auf jeden Fall nega- tiv sein, außerdem muß sie so gewählt werden, daß die Bedingung R r d( ) ( )ω τ τ= = = − ∞ ∫0 1 0 (15) erfüllt ist [9]. Sie stellt sicher, daß eine (hypothetische) Gleichanregung der Saite ausgeglichen wird und nicht zu Instabilität führt. Physikalisch wird damit ein kontinuierliches Bewegen der Saite in eine Rich- tung verhindert (es werden hier aber nicht die nichtlinearen Kräfte einbezogen, die auftreten, wenn die Bedingungen für die Ableitung der Wellengleichung (1) nicht mehr erfüllt sind). Statt der Konstante b wird im weiteren die Breite w der Gaußfunktionen verwendet, die sich aus b folgendermaßen ergibt: w b = ⋅2 2ln( ) . (16) Sie ist die Zeitspanne zwischen den beiden Punkten r(t) = ½a, und wird typisch zwischen 5% und 40% der Umlaufzeit T angenommen. Je breiter die Gaußfunktion im Zeitbereich ist, desto schmäler ist ihre Fouriertransformierte im Frequenzbereich und desto mehr werden bei der Reflexion hohe Frequenzen im Verhältnis zu tiefen bedämpft. Eine starke Resonanz des Korpus, bei dessen Frequenz viel Energie von der Saite auf den Resonanzkör- per übertragen und abgestrahlt wird, beeinflußt die Reflexionsfunktionen. Die Resonanz kann als expo- nentiell abklingende Sinuskomponente zusätzlich zum Hauptimpuls in die Reflexionsfunktionen einge- hen (siehe [9], [13] und [14], Beschreibung der "Wolf-Note"). 1.1.3.2 Verluste und Dispersion von nicht idealen Saiten In der Reflexionsfunktion kann weiters das nicht ideale Verhalten der Saite einbezogen werden. Wenn z. B. entlang des Wellenleiters Verluste auftreten gehen diese in die Differentialgleichung als ein Term mit einfacher Ableitung nach der Zeit ein: Ky x t y x t y x t′′ = +( , ) © © ( , ) © ( , )ε δ . (17) Diese Gleichung wird (homogene) Telegrafengleichung genannt, da sie erstmals bei der Untersuchung von verlustbehafteten Leitungen auftrat [24]. Die Lösungen sind wieder zwei gegenläufige Wellen mit konstanter Ausbreitungsgeschwindigkeit, die aber exponentiell gedämpft sind [6]: y x t e y x c t e y x c t x c x c ( , ) ( ) ( )= ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ − + − δ ε δ ε2 2 . (18) Die nicht verschwindende Biegesteifigkeit von realen Saiten führt zu einem Term mit vierter räumlichen Ableitung: Ky x t y x t y x t′′ + ′′′′ =( , ) ( , ) © © ( , )κ ε . (19)
  16. 16. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK – 16 – Für eine kreiszylindrische Saite ergibt sich der Koeffizient κ = Eπa4 /4 aus dem Elastizitätsmodul E des Materials und dem Radius a der Saite. In erster Näherung führt das zu einer Lösung mit zwei gegenläu- figen, nicht gedämpften Wellen mit frequenzabhängiger Ausbreitungsgeschwindigkeit (dispersive Wel- len): ( ) ( )y x t y x c t y x c t c c Kc ( , ) ( ) ( ) ( ) . ≅ − ⋅ + + ⋅ ≅ +       + −ω ω ω κω 0 2 0 2 1 2 (20) Durch die Biegesteifigkeit breiten sich hochfrequente Schwingungen schneller aus als niederfrequente – die Welle behält bei der Ausbreitung ihre Form nicht bei. Ein anderer Aspekt ist, daß eine steife Saite eine inharmonische Obertonreihe erzeugt, d. h. die Oberschwingungen sind nicht mehr ganzzahlige Vielfache der Grundschwingung, sondern höher. Bei Klavieren werden deshalb mitunter die Saiten in den höchsten Lagen etwas höher als nach ihren Notenwerten vorgesehen gestimmt, damit sie in Akkor- den mit den Obertönen der tieferen Saiten gut zusammenklingen. Für Teile der Saite, in denen keine äußere Kraft angreift und wo nicht ausgekoppelt wird (also hier die beiden Saitenstücke zwischen Steg und Bogenposition und zwischen Bogen und Finger), können Verlu- ste und Dispersion an einer einzigen Stelle zu einem LTI-Filter zusammengefaßt und der restliche Teil als einfache Verzögerungsleitung angesehen werden [6]. So kann dasselbe Modell mit geeigneten Reflexionsfunktionen auch für eine nicht ideale Saite verwendet werden, wenn diese nicht nur die Impulsverbreiterung bei den Reflexionen, sondern auch die Verluste und Dispersion entlang der Saite beinhalten. Die Werte der Wellengrößen in den Verzögerungsleitungen können dann aber nicht mehr als Wert der physikalischen Größe auf der entsprechenden Stelle der Saite interpretiert werden. Wenn man z. B. an der Saitengeschwindigkeit an der Stelle x interessiert ist, muß in beide Verzögerungsleitungen vor x ein passendes Filter gesetzt werden, das die Verluste und Disper- sion des vorhergehenden Saitenabschnitts erzeugt. Die Messung der Reflexionsfunktionen für ein bestimmtes Instrument mit bestimmten Saiten sind ein Punkt, auf dem noch Forschung notwendig ist. Eine Schätzung der Reflexionsfunktionen ist durch die Aufnahme der "Green-Funktion" oder "Impulsantwort" möglich. Diese ist der zeitliche Geschwindig- keitsverlauf der Saite an der Bogenstelle nach einer Anregung mit einem Kraftimpuls an der Bogenstel- le. Die ersten beiden negativen Impulse sind die direkten Reflexionen vom kurzen bzw. vom langen Teilstück der Saite. Eine einfache Methode, um näherungsweise einen Kraftimpuls aufzubringen, ist, die Saite mit einem dünnen Drahtstück seitwärts zu ziehen, bis das Drahtstück abreißt. Der sich ergebende Geschwindigkeitsverlauf kann dann mit einem magnetischen Tonabnehmer aufgenommen werden. Wenn genaue Messungen gefordert sind, sollten allerdings aufwendigere Methoden, wie Laserdoppler Ge- schwindigkeitsmessungen erwogen werden, da ein magnetischer Tonabnehmer die Geschwindigkeit nicht nur von einer Stelle der Saite abnimmt. Ein Beispiel für eine gemessene "Impulsantwort" ist in [13, Fig.2b] gegeben.
  17. 17. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK – 17 – 1.1.3.3 Auskopplung über die Stegkraft Bei Instrumenten der Geigenfamilie werden die Saitenschwingungen über der Steg auf den Resonanz- körper übertragen. Die Auskopplung am anderen Ende der Saite – am Obersattel – ist um mindestens 10 dB kleiner und wird bei gegriffenen Tönen noch geringer [15] und wird daher im Modell vernachlässigt. Der Resonanzkörper gibt dann Schallwellen an die umgebende Luft ab. Der Resonanzkörper bietet eine gewisse Anpassung des Wellenwiderstandes der Saite an den der Luftschallwellen (die unmittelbare Abstrahlung der Saite ist sehr gering). Der "Wirkungsgrad" (die Anpassung) dieser Übertragungskette ist dabei aber nicht besonders gut (ansonsten würde der Saite rasch ihre Energie entzogen und die Töne würden schnell abklingen). Die Schallwellen in der Luft sind dann das eigentliche Ausgangssignal des Instrumentes. Wenn man ein elektrisches Ausgangssignal direkt vom Instrument benötigt, wird meist ein piezoelektri- scher Tonabnehmer in (unter) den Steg eingebaut, das elektrische Signal ist damit proportional der Kraft im Steg und die Filterwirkung des Resonanzkörpers wird umgangen.5 In beiden Fällen erfolgt die Auskopplung der Saitenschwingung über die Stegkraft. Diese ergibt sich aus der Steigung der Saite bei x = 0 (siehe Abbildung 8). Bei Streichinstrumenten treten Schwingungen in der Ebene auf, die durch Saite und Bogen aufgespannt wird. Dabei wird abhängig vom Winkel, den das Saitenende mit dem Steg einnimmt, eine resultierende Kraft FB – zusätzlich zur Spannkraft K und normal zu dieser – auf den Steg wirken. Diese wird über ein Kippmoment auf die Korpusoberfläche übertragen (Kräftegleichgewicht am Steg). FB FBK K/cos(αα) αα Steg schwingende Saite F1 F2 Kräftegleichge- wicht am Steg Resultierende Kraft: FB = K⋅tan(αα) = K⋅y' Abbildung 8: Stegkraft FB als Ausgangssignal der schwingenden Saite eines Streichinstrumentes; Voraussetzung ist wie bei Ableitung der linearen Wellengleichung α « π/2 bzw. y' « 1. Die Kraft FB wird über ein Kippmoment des Stegs auf den Resonanzkörper übertragen wo die beiden Kräfte F1 und F2 wirken. Wenn als Wellenvariable die transversale Geschwindigkeit verwendet wird, kann der Saitenanstieg direkt aus den beiden Werten in den Verzögerungsleitungen berechnet werden: ′ = = ′ + ′ = − ⋅ + ⋅+ − + −y y x y y c v c v ∂ ∂ 1 1 . (21) Die Stegkraft FB kann dann durch Subtraktion der reflektierten Welle von der eintreffenden Welle im Punkt x = 0 (Steg) berechnet werden (Abbildung 9a). Alternativ dazu kann auch ein eigenes Filter HSteg(ω) eingesetzt werden, das aus der eintreffenden Welle das Ausgangssignal erzeugt (Abbildung 9b). Mit HSteg(ω) = 1 – R'L(ω) wird ein Ausgangssignal proportional zu FB erzeugt, wenn R'L(ω) nur die Impulsverbreiterung bei der Reflexion (und nicht die entlang der Saite) beschreibt. 5 Manchmal wird allerdings zusätzlich auch ein magnetischer Tonabnehmer wie bei elektrischen Gitarren verwendet (siehe 1.3.1).
  18. 18. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK – 18 – Für die ideale Reflexion, bei der R'L(ω) = –1 ist, ergibt sich HSteg(ω) = 2 und die Stegkraft ist proportio- nal zu der eintreffenden Welle v–. Wenn für R'L(ω)eine Gaußfunktion angenommen wird ist HSteg(ω) ein Filter mit Hochpaßcharakter. R'L(ω) v– v+ R'L(ω) – K/c FB (a) (b) v– v+ HSteg(ω) c/K⋅FB Abbildung 9: Erzeugen der Stegkraft als Ausgangssignal des Saitenmodells (a) durch Subtraktion der Wellengrößen. (b) mit Hilfe eines eigenen Filters HSteg(ω). 1.1.3.4 Der Resonanzkörper Der Klang eines Saiteninstruments ist nicht gleich der Vibration seiner Saiten. Der Frequenzgang des Resonanzkörpers ist ein unverkennbares Charakteristikum eines Instruments. Für das Erkennen eines bestimmten Instruments sind wie bei den einzelnen Lauten der menschlichen Sprache auch die Forman- ten des Resonanzkörpers verantwortlich. Bei Streichinstrumenten der Geigenfamilie sind vor allem die zwei tiefsten Resonanzen wichtig: die Hohlraum- oder Helmholtz-Resonanz ist die Resonanz der Schallwellen im Korpus. Sie erzeugt den ersten Formanten im Frequenzgang, dessen genaue Position im Verlauf der Jahrhunderte von den Geigenbauern immer wieder verändert wurde. Sie liegt für die Violine aber jedenfalls im Bereich 230 – 280 Hz [15]. Wenn man den Boden des Resonanzkörpers mit einem Finger antippt, schwingt er mit der Frequenz der Hohlraumresonanz (engl.: "tap-tone"). Die zweite Resonanz tritt für das Feder-Masse-System, das von Boden- und Deckplatte und der eingeschlossenen Luft gebildet wird, auf. Sie wird Korpusresonanz genannt und liegt zwischen 520 und 600 Hz. Im Geigenbau ist zur Bestimmung des Frequenzgangs eines Resonanzkörpers folgende Methode ge- bräuchlich [15]: Das Instrument wird am Steg künstlich angeregt, und zwar mit einer Nadel, so daß dieser wie durch die Saiten in Bewegung versetzt wird, und der Schalldruck außerhalb des Instruments wird aufgenommen. Einen Mittelwert über Frequenzkurven verschiedener Geigen zeigt Abbildung 10. In Abbildung 11 ist als Beispiel die Frequenzkurve einer bestimmten Geige aufgezeichnet. Man erkennt, daß vor allem im oberen Frequenzbereich viele Spitzen und Einbrüche im Frequenzgang vorhanden sind, die den ganzen Streubereich aus Abbildung 10 überstreichen. Im oberen Frequenzbereich ist die genaue Lage der Resonanzspitzen und Einschnitte nicht wesentlich für den Klang, der zerklüftete Charakter des Frequenzganges dürfte aber eine wesentliche Rolle bei Tönen mit Vibrato spielen, da mit der Frequen- zänderung dann auch eine Lautstärkenänderung einhergeht [16]. Der Resonanzkörper wird in den Modellen als lineares Filter angesehen, das die Stegkraft als Eingangsgröße und den abgestrahlten Schall als Ausgangsgröße besitzt.
  19. 19. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK – 19 – 200 400 800 1600 3200 -10 0 10 20 Mittelwert der Frequenzkurven verschiedener Geigen Frequenz in Hz dB Helmholtzresonanz Korpusresonanz Abbildung 10: Mittelwert der Frequenzkurven verschiedener Geigen und Streubereich (nach [15]). Die Frequenzkurve einer Geige gibt den abgegebenen Schallpegel bei künstlicher Erregung des Resonanzkörpers am Steg an. 200 400 800 1600 3200 -10 0 10 20 Frequenzgang einer Geige Frequenz in Hz dB Abbildung 11: Beispiel eines gemessenen Frequenzgangs für den Resonanzkörper einer bestimmten Geige (nach [15]). Das gesamte Modell für Streichinstrumente, mit Nichtlinearität durch die Reibung beim Bogenkontakt, Wellenausbreitung entlang der Saite, verallgemeinerten Reflexionen und Auskopplung auf den Reso- nanzkörper am Steg (wobei die Filter zur Erzeugung der Stegkraft und für den Resonanzkörper zu einem einzigen Filter A(ω) zusammengefaßt sind), ist in Abbildung 12 dargestellt.
  20. 20. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK – 20 – RR(ω)RL(ω) Ausgang f=F(q) A(ω) Verzögerung VerzögerungVerzögerung Verzögerung Abbildung 12: Modell für Streichinstrumente 1.1.3.5 Torsion der Saite Bei der Simulation mit einer Reibungskurve nach Gleichung (3) und gaußförmigen Reflexionsfunktio- nen ergibt sich oft eine Instabilität, die daraus resultiert, daß bestimmte Frequenzen durch die negative Impedanz in der Reibungskurve (siehe: Anmerkungen zu den Streich- und Blasinstrumentmodellen) mehr verstärkt werden als bei den Reflexionen gedämpft. Im Zeitbereich läßt sich das anhand der Bewe- gung einer Störung auf der Saite illustrieren: Wenn diese kurz nach dem "Helmholtz-Corner" am Bogen vorbeikommt, wo dieser die Gleitphase ausgelöst hat, wird sie durch die negative Impedanz der Rei- bungskurve verstärkt. Wenn sie von der Brücke reflektiert zurückkommt, haftet die Seite wieder am Bogen, und wegen der unendlichen Steigung im entsprechenden Teil der Reibungskurve wird sie dort (solange sie nicht die maximale Haftreibungskraft übersteigt) vollkommen reflektiert. Nun gibt es abhängig von der Bogenposition β für bestimmte Frequenzen – nämlich Subharmonische mit einer Periodendauer von T⋅floor(1/β) und T⋅ceil6 (1/β) – einen Pfad, auf dem sie einige Male zwischen Bogen und Brücke und zwischen Bogen und Bund hin und her pendeln, und dazwischen durch ein "Loch", eine Gleitphase, am Bogen vorbeilaufen, wobei sie verstärkt werden. Wenn nun die Verluste bei den Refle- xionen gering genug sind, baut sich eine instabile Schwingung mit einer Frequenz kleiner als die Eigen- frequenz der Saite auf und wächst exponentiell an [17]. Saitenquerschnitt r M=FB⋅r FB FB Abbildung 13: Kopplung zwischen transversalen Wellen und Torsionswellen am Bogen. Die Bogen- kraft wirkt an der Oberfläche, die Kraft der Massenelemente auf der Saitenachse. Dadurch ent- steht ein Drehmoment, daß zu Torsionswellen führt, die sich wie transversale Wellen entlang der Saite fortbewegen. In der Realität wird diese Instabilität durch Verluste und durch nichtlineare Effekte (z. B. der Saite) begrenzt und die Subharmonischen sind in echten Violintönen nur temporär vorhanden. Um im Modell mit linearer Saite stabile Schwingungen zu erhalten, müssen aber irgendwo im Pfad dieser Störung Verluste eingebaut werden, die größer als die Verstärkung durch die Nichtlinearität sind, z. B. passende 6 floor(x) … größte ganze Zahl kleiner als x; ceil(x) … kleinste ganze Zahl größer als x (von engl.: "ceiling")
  21. 21. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK – 21 – Reflexionsfunktionen. Aber auch das Einbeziehen der Torsion der Saite in das Modell kann das Problem beseitigen. Die Reibungskraft tritt ja im Kontaktpunkt zwischen Bogen und Saite an deren Oberfläche auf, wohin- gegen die Kraft der Massenelemente der Saite (siehe Abbildung 3) auf der Saitenachse (dem Massenmit- telpunkt) wirkt. Dadurch entsteht ein von der Kraft abhängiges Drehmoment, das einen Teil der Energie in Torsionswellen überführt (Abbildung 13). Diese bewegen sich mit einer anderen Geschwindigkeit fort als die transversalen Wellen (Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung), abhängig von Material und Stärke der Saite mit ca. der vierfachen [8], und auch die Impedanz der Saite für Torsionswellen ist eine andere. Um sie vollkommen in das Modell einzubeziehen, müßte man also zwei weitere Verzöge- rungsleitungen mit einer anderen Geschwindigkeit (also bei zeitdiskreter Simulation mit fixem Abtastin- tervall: mit anderer Länge) und Reflexionsfunktionen einbauen. Wenn allerdings davon ausgegangen wird, daß die Torsionswellen an den Saitenenden vollkommen absorbiert werden, kann die Kopplung von transversalen auf Torsionswellen durch eine einfache Scherung der Reibungskurve (Abbildung 14) einbezogen werden ohne die Modellgleichungen zu verändern. f...Reibungskraft q...Saitengeschw. f=F(q+½·Yt·f) f=F(q) ½Y·f=(q–qh) qh ½(Y+Yt)·f=(q–qh) Abbildung 14: Scherung der Reibungskurve: durch die endliche Steigung im geraden Teil der Kurve F(q), der dem Haften entspricht, wird eine Bewegung des Saitenmittelpunktes auch während des Haftens ermöglicht. Dadurch kann die Kopplung in Torsionswellen in das Modell einbezogen werden, ohne die Modellgleichungen zu verändern. Durch die mögliche Kopplung auf Torsi- onswellen steigt die Admittanz der Saite von Y auf Y + Yt und damit sinkt die Steigung der Ge- raden nach Gleichung (13). Die endliche Steigung des Geradenteils der Kurve F(q) im Bereich für Haften ermöglicht eine Bewegung des Saitenmittelpunktes relativ zum Bogen. So kann ein Teil der Kraftwirkung in Torsionswellen umge- setzt werden. Gleichzeitig verändert sich aber die Wellenadmittanz der Saite von Y auf Y+Yt, und damit sinkt die Steigung der Geraden nach Gleichung (13); damit wird der Bereich mit mehreren Schnittpunk- ten größer – die Hysterese zwischen Gleiten und Haften erhöht sich. Bei der praktischen Berechnung der Schnittpunkte wird zuerst mit einer Nichtlinearität mit senkrechter Gerade geschnitten, wobei die Gerade noch durch q* = q + ½Yt⋅f nach rechts geschert wird. Damit kann die Fallunterscheidung für die Hystereseregel einfach durchgeführt werden. Die so gefundene Variable q* wird danach mit –½Yt⋅f korrigiert (siehe Anhang B).
  22. 22. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK – 22 – 1.2 Blasinstrumente Auch für einige Blasinstrumente kann bei geeigneten Voraussetzungen ein einfaches Wellenleitermodell mit nichtlinearem Zusammenhang zwischen Summe und Differenz der Wellengrößen abgeleitet werden. Die wesentlichen Unterschiede zu den Streichinstrumenten sind, daß die Nichtlinearität nicht in der Mitte, sondern am Ende des Instruments liegt – nämlich am Mundstück – und daß sich der Wellenleiter somit nur nach einer Seite hin erstreckt, und in der Art der Nichtlinearität, die hier den Zusammenhang zwischen Druckdifferenz und Volumendurchsatz am Blatt widerspiegelt. Man beachte, daß die Größen q und f für jedes Instrument eine andere Bedeutung hat. 1.2.1 Die Klarinette Die Klarinette ist das im technischen Sinne einfachste Holzblasinstrument. Ihr Tubus ist nahezu zylin- drisch, das rechtfertigt die Gültigkeit der eindimensionalen Wellengleichung, und sie besitzt nur ein Blatt (die Oboe hat zwei), das relativ (im Vergleich zu den Lippen des Musikers bei Blechblasinstrumenten) leicht ist und daher als gedächtnislos betrachtet werden kann. 1.2.1.1 Der Wellenleiter Als Wellenleiter wirkt bei Blasinstrumenten der Tubus; die Wellengleichung (1) ergibt sich für den Idealfall der dünnen, zylindrischen Luftsäule [16]. Diese Näherung ist für die Klarinette akzeptabel, für andere Blasinstrumente kann sie eine zu grobe Vereinfachung darstellen. Allerdings kann man auch für andere Instrumente (z. B. Saxophon) dieselben Modellgleichungen verwenden, wenn die Nichtlinearität näherungsweise punktförmig räumlich konzentriert ist und das restliche Instrument durch eine Refle- xionsfunktion beschrieben werden kann. Man kann z. B. ein dreidimensionales Instrumentenmodell mit der Nichtlinearität an einem Punkt erstellen und dafür eine Reflexionsfunktion berechnen, die dann in die Modellgleichungen des eindimensionalen Instrumentenmodells eingesetzt wird [18]. Für Holzblasinstrumente ist es vorteilhaft, als Wellengröße den Druck anzunehmen, der dann durch die Variable q repräsentiert wird. Für diese gilt dann wiederum Gleichung (2). Die Geschwindigkeit c ist die Schallgeschwindigkeit in der Luft. Als zweite Zustandsgröße wird der Volumenstrom7 f (Einheit: m3 /s) durch den Zylinderquerschnitt verwendet. Dieser ist wieder proportional der Differenz der Wellengrößen f = Z·(q+ – q–), Gleichung (9); der Proportionalitätsfaktor Z ist aber hier nicht der Wellenwiderstand sondern der Wellenleitwert Z Y A c Klar= = ⋅ρ . (22) Mit: A…Querschnittsfläche des Zylinders, ρ…Luftdichte und c…Schallgeschwindigkeit. Der Wellen- leitwert entspricht aber wiederum nur einem Normierungsfaktor. 1.2.1.2 Reflexion und Abstrahlung Am offenen Ende des Tubus geht der Wellenwiderstand auf den Wellenwiderstand der Freiraumschall- ausbreitung ZFrei über, dieser ist wesentlich größer als der Wellenwiderstand im Instrument – im freien Raum treten viel kleinere Druckschwankungen auf, als im Tubus des Instruments, das elektrotechnische Pendant ist die leerlaufende Leitung mit einer geringen elektromagnetischen Abstrahlung. Wie bei der leerlaufenden Leitung die Stromwellen, so werden hier die Druckwellen unter Vernachlässigung des statischen Anteils – des atmosphärischen Luftdrucks, der nicht zum Klangempfinden beiträgt – nahezu vollständig mit dem Reflexionsfaktor ρ ≈ –1 reflektiert. Es wird dieselbe Notation wie beim Streichin- 7 Volumenstrom = Luftvolumen, daß pro Zeiteinheit durch den Querschnitt A verschoben wird, bzw. Integral der Normal- geschwindigkeit der Luft über die Querschnittsfläche
  23. 23. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK – 23 – strumentenmodell (siehe Gleichung (10)) verwendet, allerdings gibt es nur eine einzige Reflexionsfunk- tion. Bei den meisten Blasinstrumenten ist das Tubusende besonders geformt: der zylindrischen Tubus wird am Ende erweitert. Das begünstigt die Schallabstrahlung und formt auch den Klang des Instruments. Im technischen Sinn ist eine stetige Erweiterung eines Zylinders eine kontinuierliche Veränderung des Wellenwiderstandes und das Endstück somit eine Anpassung des Instruments an den Wellenwiderstand des freien Raumes. Dadurch wird aber eine verteilte Reflexion bewirkt, die Reflexionsfunktion kann nicht mehr als einzelner Deltaimpuls angenommen werden – es findet auch hier eine Impulsverbreite- rung statt. Im Frequenzbereich gilt: tiefe Frequenzen werden vorwiegend reflektiert, hohe werden eher als Luftschall abgestrahlt. Die Reflexionsfunktion muß also ein verbreiterter Impuls sein und Tiefpaß- charakter haben: Die häufig verwendete Form [9] ist wieder ein verschobener gaußförmiger Impuls mit der Fläche –1 (Abbildung 7). Die Bedingung über die Fläche stellt sicher, daß im Inneren der Klarinette kein statischer Druckunterschied zur Umgebung bestehen kann (Gleichübertragungsfunktion = –1: der Gleichdruck im Inneren wird durch die Reflexion vollständig ausgeglichen). Es besteht natürlich die Möglichkeit, empirisch ermittelte Reflexionsfunktionen in die Modelle einzubringen. Die Reflexionsfunktion r(t) beschreibt den Zusammenhang zwischen vom Mundstück ausgehender Druckwelle qo(t) und zurückkehrender Welle qi(t) und somit das lineare Verhalten von Tubus und Endstück. Um die Abstrahlung von Schall zu beschreiben wird wieder eine weitere Filterfunktion A(ω) benötigt, die die Welle qo(t) mit der abgestrahlten Schallwelle verknüpft. Da die Impulsverbreiterung auf die Reflexion beschränkt ist und nicht auch entlang des Wellenleiters (wie bei Saiteninstrumenten) auftritt, und da der abgestrahlte Schall keinen Filter (wie den Resonanzkörper eines Streichinstruments) mehr durchläuft, kann der Zusammenhang A(ω) + R(ω) = 1 postuliert werden. Er entspricht dem Zusammenhang zwischen dem Filter zur Erzeugung der Stegkraft HSteg(ω) und der Impulsverbreiterung bei der Reflexion am Steg R'L(ω). R(ω) A(ω) q+(x–ct) q-(x+ct) qo(t) qi(t) Schall- abstrahlung Reflexion qi(t)=qo(t)∗r(t)Mundstück Wellenleiter Abbildung 15: Reflexion und Abstrahlung beim Klarinettenmodell. Da die Klarinette ein offenes und ein geschlossenes Ende hat entsteht an einem ein Knoten der Druck- wellen und am anderen ein Wellenbauch. Die tiefste Eigenfrequenz des Tubus hat daher eine Wellenlän- ge von λ0 = 4L, die Grundfrequenz ist f0 = c/4L = 1/2T. Die Verzögerung T der Reflexionsfunktion muß daher auf die halbe Periodendauer eingestellt werden. 1.2.1.3 Das Blatt Die Nichtlinearität bei der Klarinette ist der Zusammenhang zwischen Druckdifferenz p – q am Blatt und Volumenstrom f unter dem Blatt. Bei einem Anblasdruck p (im Mund des Musikers) und einem gegebenen Druck im Mundstück q = qo + qi bewirkt der Druckunterschied einen bestimmten Volumen- strom, dieser ist aber nicht proportional zur Druckdifferenz, da erstens die Druckdifferenz auch zwi- schen Blattunter- und Blattoberseite anliegt und zweitens durch die Luftbewegung ein Unterdruck entsteht (Bernoulli-Effekt [19]). Ersteres drückt das Blatt gegen die Auflage am Mundstück wenn p > q oder von ihr weg wenn p < q, zweiteres bewirkt immer ein Schließen des Blattes wenn eine Luftbewe- gung stattfindet. Der Durchsatz steigt also zunächst mit der Druckdifferenz p – q an, nimmt dann aber
  24. 24. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK – 24 – wieder ab bis zu dem Punkt, wo das Blatt aufliegt und keine Luftbewegung mehr möglich ist. Ab einer gewissen Druckdifferenz p – q = p – qc ist also f = 0. Die Größe p – qc ändert sich mit der Ruhelage des Blatts, welche durch den Druck der Unterlippe gegen das Blatt variiert werden kann. Die dynamisch (vom Spieler) veränderlichen Parameter sind jeweils p und qc, aber nicht der maximale Volumenstrom! Blatt q p Abbildung 16: Mundstück einer Klarinette. Der Druck im Mund des Spielers p wird als gegeben an- genommen, der Druck im Mundstück q ergibt sich aus der Summe der beiden Druckwellen q+ und q–. Die einfachste mathematische Beschreibung ist eine Kurve zweiter Ordnung mit negativer Krümmung und für den Blattschluß eine Gerade bei f = 0: F q k p q q q q q q q c c c ( ) ( ) ( ) . = ⋅ − ⋅ − = > <0 (23) pqc q f=F(q) kubisch quadratisch f Abbildung 17: Quadratische (Gleichung 23) und kubische (Gleichung 24) Kurve für die Nichtlinea- rität eines Holzblasinstruments mit einem Blatt. Simulationen mit dieser Nichtlinearität ergeben relativ schnelles Anschwingen und harte Klangcharak- teristik. Schuld daran ist die Symmetrie der Parabel [9], für Schwingungen im Regime kleiner Amplitu- den ist eine realistischere Kurve mit kleinerer Steigung im Punkt q = qc als bei q = p notwendig – z. B. eine Kurve dritter Ordnung: F q K p q q q q p q q q q q c c c c ( ) ( ) ( ) ( ) . = ⋅ − ⋅ − ⋅ + − ⋅ = 2 0 (24)
  25. 25. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK – 25 – Mit diesen Kurven ist die rechnerische Lösung der Modellgleichungen relativ einfach. Zur Schwin- gungsberechnung ist die Lösung einer Gleichung derselben Ordnung wie der Blattkurve nötig (siehe unten). Die Modellgleichungen für die Klarinette ergeben sich also zu: q q qi o= + , (25) Z f q qKlar o i⋅ = − , (26) q q ri o= ∗ . (27) Diese Gleichungen entsprechen den Gleichungen (8) – (10) für Streichinstrumente mit qoL → qo, qiL → qi, und rl → r, rR = δ(t). Letzteres bedeutet eine nichtinvertierende Reflexion (Reflexion am abgeschlos- senen Mundstückende des Tubus) an der Stelle gleich hinter dem Blatt und bedingt qiR = qoR. Durch Einsetzen von qh = 2qi können diese drei auf folgende zwei Gleichungen reduziert werden: q q Z fh Klar= + ⋅ , (28) ( )q r q Z fh Klar= ∗ + ⋅ . (29) Für eine kausale Reflexionsfunktion r ist Gleichung (29) nur von vergangenen Werten von q und f abhängig und es kann damit der aktuelle Wert von qh berechnet werden. Dann müssen Gleichung (28) und die Nichtlinearität f F q= ( ) (30) gleichzeitig gelöst werden. Es muß also der Schnittpunkt zwischen einer Geraden mit Anstieg 1/ZKlar und Nullstelle bei qh und der nichtlinearen Blattkurve gefunden werden (Abbildung 18). f q f=(q–qh) /ZKlar f=F(q) Abbildung 18: Graphische Lösung der Gleichungen (28) und (30), der Schnittpunkt der beiden Kur- ven ergibt die aktuellen Werte von q und f. Die Lösung ist für alle qh eindeutig, wenn der maximale Anstieg von F(q) kleiner ist als der Anstieg der Geraden. Bei der quadratischen Nichtlinearität ist das für k⋅Z⋅(p – qc) ≤ 1 gewährleistet (vorausgesetzt k, Z 0 und p qc). Mit einem Klarinettenmundstück mit Blatt alleine (ohne Tubus) können auch Schwingungen erzeugt werden, was bei einer gedächtnislosen Nichtlinearität nicht möglich ist. Um diese Schwingungen zu simulieren, ist es notwendig, für das Blatt selbst eine Differentialgleichung aufzustellen. In [20] wird
  26. 26. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK – 26 – deshalb ein Feder-Masse Modell entwickelt, das mit empirischen Daten (der Druckverteilung unter dem Blatt) arbeitet und mit dem diese autonomen Schwingungen des Blatts erklärt werden. 1.2.2 Flöte und Orgelpfeife Die Anregung einer Flöte oder Orgelpfeife erfolgt auf ganz andere Art als die der Klarinette. Ein dünner Luftstrahl trifft auf eine Kante und wird abhängig von den Verhältnissen am Beginn des Strahles nach außen oder in den Tubus gelenkt. Dennoch kann auch hier eine nichtlineare Funktion für den Zusam- menhang von Summe und Differenz der Wellengrößen am Mundstück verwendet werden [9], [21], allerdings gibt sie den Zusammenhang zwischen zeitlich versetzten Werten f und q an. Als Wellengröße wird für q die akustische Volumenverschiebung (Einheit: m3 ) durch den Tubusquer- schnitt A verwendet. Positives Vorzeichen gilt für Verschiebung vom Anblasloch zum Ende der Flöte. Die Fläche unter der Reflexionsfunktion r(t) für Reflexion am offenen Flötenende muß dann gleich +1 sein, da die Volumenverschiebung am offenen Ende beliebig ist und dort daher einen Wellenbauch auftritt. Durch die offenen Tubusenden (auch das Anblasloch ist offen) kann an beiden Enden ein Wel- lenbauch entstehen und die Wellenlänge der Grundschwingung ist somit λ0 = 2L. Die Grundfrequenz ist daher um eine Oktave höher8 (doppelte Frequenz) als bei einer Klarinette derselben Länge, nämlich f0 = c/2L. Die zweite Wellengröße f ist der akustische Volumenstrom (Einheit: m3 /s) – der gesamte Volumenstrom abzüglich des Mittelwertes, der die durchströmende Luft darstellt – also Schallschnelle9 mal Quer- schnittsfläche: f = vS⋅A . In [21] ist f der Schalldruck zugeordnet, er ist für verlustfreie Medien propor- tional zur Schallschnelle, mit Proportionalitätsfaktor ρ⋅c (Schallkennimpedanz). Der nichtlineare Zusammenhang zwischen Volumenverschiebung q in den Tubus durch das Anblasloch und Druck f innerhalb des Anblasloches ist aber nicht mehr instantan. Eine Störung, die durch die eintreffende q-Welle auf den Anfang des Luftstrahles wirkt, benötigt eine gewisse Zeit, um den Luft- strahl entlang zu laufen. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit dieser Störung, die schon von Rayleigh im Zusammenhang mit Kerzenflammen untersucht wurde, ist dabei kleiner als die Luft(partikel)ge- schwindigkeit oder die Schallgeschwindigkeit, und beträgt etwa die Hälfte der Luftgeschwindigkeit im Strahl. Erst wenn diese Störung zum Ende des Strahles gelaufen ist, beeinflußt sie die Richtung des Strahles an der Kante und somit f. Die Störungen, die im Verlauf des Strahles bewirkt werden, haben vernachlässigbare Wirkung gegenüber denen am Strahlbeginn. Dadurch muß eine Verzögerung in die Nichtlinearität einbezogen werden: ( )f t F q t( ) ( )= − τ . (31) Die Konstante τ repräsentiert die Laufzeit der Störung im Luftstrahl. Sie ist aufgrund der kleineren Ausbreitungsgeschwindigkeit größer als die Laufzeit einer normalen Schallwelle über die Länge des Luftstrahls und abhängig von der Luftgeschwindigkeit und somit von der Anblasstärke. 8 Für geschlossene Orgelpfeifen gilt weiterhin: Fläche(r(t)) = –1, am geschlossenen Ende ist hier ein Knoten. Geschlossene (gedeckte) Orgelpfeifen ergeben deshalb einen um eine Oktave niedrigerenTon (Knoten am geschlossenen Ende, Bauch am offenen Anblasende) als gleich lange offene Pfeifen. 9 Die Schallschnelle ist die Verschiebungsgeschwindigkeit der Teilchen in einer Schallwelle bei der Schwingung um ihre Ruhelage.
  27. 27. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK – 27 – Eine passende Funktion für F(q) ist eine monoton fallende Kurve mit waagrechten Tangenten im Un- endlichen, z. B.: ( ) ( )F q t h k l q t( ) tanh ( )− = − ⋅ ⋅ −τ τ , (32) mit positiven Konstanten k und l [9], [22]. Die Gleichungen (28) und (29) bleiben gültig. Der Proportionalitätsfaktor Z hat aber nicht die Bedeu- tung einer Wellenimpedanz: Er hat die Dimension Zeit und hängt mit der Laufzeit der Störungswellen im Luftstrahl zusammen. Damit ist er abhängig von der Geschwindigkeit des Luftstrahles und eigentlich keine Konstante. Das gesamte Modell ist in Abbildung 19 dargestellt. R(ω) A(ω) q+(x–ct) q–(x+ct) qo(t) qi(t) τ q(t) q(t–τ) f(t)= F(q(t–τ)) Abbildung 19: Modell für Flöte und Orgelpfeife. Die nichtlineare Funktion hat als Argument einen verzögerten Wert der Wellengröße q.
  28. 28. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK – 28 – A 1 Anmerkung zu den Streich- und Blasinstrumentmodellen A 1.1 Bezug zu Zweipoloszillatoren Die bisher behandelten Modelle gehören alle zur Gruppe der selbsterregten Oszillatoren: Ein lineares und ein nichtlineares Teilsystem stehen in Wechselwirkung miteinander, dabei entstehen Oszillationen, ohne daß als Anregung eine Eingangswechselgröße vorhanden ist. Die Energiezufuhr zur Aufrechterhal- tung der Schwingungen trotz der vorhandenen Verluste (Reflexionsfunktion und Abstrahlung) erfolgt dabei durch die Form der Nichtlinearität. Sie muß die Möglichkeit bieten, daß Energie entnommen wird, also daß die Größen f und q positiv korreliert sind, muß also durch den ersten oder dritten Quadranten verlaufen, und andererseits muß sie die Verluste, die die Wellengrößen erfahren, durch negative diffe- rentielle Impedanz ausgleichen. Wie in [8] bzw. [17] gezeigt wird, entspricht die negative differentielle Abhängigkeit des Betrages der Reibungskraft von der Relativgeschwindigkeit – also die positive Steigung der Reibungskurve – einer negativen differentiellen Impedanz für die Wellengrößen. Der Unterschied zur Hochfrequenztechnik (HFT), wo negative differentielle Impedanz mit negativer Steigung assoziiert wird, resultiert aus der Tatsache, daß die Geschwindigkeit q der Spannung und die Kraft f dem Strom entspricht, wobei für den Strom in der HFT bei der Betrachtung eines konzentrierten Elements in Wechselwirkung mit einem Wellenleiter üblicherweise ([11], [23]) die hereinkommende Welle positiv und die ausgehende negativ genommen wird (Verbraucherbezugssystem): i = a – b (Abbildung 20), in Gleichung (6) aber die umge- kehrten Vorzeichen auftreten. Die Wahl des Bezugssystems für Kraft und Geschwindigkeit entspricht somit dem Erzeugerbezugssystem in der Elektrotechnik. konzentriertes Bauelement Wellenleiter u i b a Zi=i(u) Abbildung 20: In der HFT übliche Bezugsrichtungen für die Wellengrößen a…einfallende Welle, b…ausgehende Welle, die normierten Spannung u = U/√Z = a + b und den normierten Strom i = I⋅√Z = a – b an der Schnittstelle zwischen einem konzentrieren Bauelement und einem Wellen- leiter. Die Kombination der Bezugsrichtungen von u und i (im Bezug auf das konzentrierte Bauelement) wird Verbraucherbezugssystem genannt. Auf demselben Prinzip basieren die Zweipoloszillatoren in der Hochfrequenztechnik [24]: Bei Gunn- Dioden und Tunnel-Dioden Oszillatoren wird auch die negative diffentielle Impedanz dieser Bauteile ausgenutzt, um mit einem angekoppelten frequenzbestimmenden Resonator selbsterregte Schwingungen zu erzeugen. Als einzige Eingangsgröße ist dabei die Gleichspannungsversorgung der Dioden vorhan- den, aus welcher die Energie entzogen wird, um die Verluste zu kompensieren. Die aktiven Bauelemente, also die Dioden, entsprechen somit den Nichtlinearitäten, die durch die Rei- bung bzw. das Verhalten des Blatts entstehen und der Resonator entspricht dem Wellenleiter (Abbildung 21). Die Frequenz wird im wesentlichen durch das passive Element bestimmt und ändert sich mit der Resonatorlänge, die mit Hilfe eines verschiebbaren Kurzschlusses bzw. bei Musikinstrumenten durch den Spieler variiert werden kann.
  29. 29. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK – 29 – Kennlinie des konzentrierten nichtlinearen Bauelements (inklusive Stromversorgung) im Erzeugerbezugssystem (b) u = U/√Z = b + a ↔ q = qo + qi i = I⋅√Z = b – a ↔ f = qo – qi i(u) = i0 – u/r – id(u) …r = R/Z …i0 = I0⋅√Z i0 ir Wellenleiter r u i Z b a id TunneldiodeStromquelle konzentriertes nicht- lineares Bauelement im Erzeugerbezugssystem (a) Reflexion (c) u i i0 Kennlinie der Tunneldiode u id negative diff. Impedanz entsprechender Bereich Abbildung 21: Tunneldioden–Oszillator (a): Schaltbild mit Stromversorgung und Resonator als Wellenleiter. (b): Entsprechungen mit den Instrumentenmodellen. (c): Nichtlineare Kennlinie der Tunneldiode im Verbraucherbezugssystem und der Gesamtschaltung im Erzeugerbezugssystem. A 1.2 Rauschen Im Schall von natürlichen Instrumenten ist auch im eingeschwungenen Zustand neben den Sinuskompo- nenten des Grundtones und der Obertöne Rauschen enthalten. Wird bei der Simulation konstantes weißes oder gefiltertes Gauß'sches Rauschen zugesetzt, so wirkt dieses für den Zuhörer als nicht im Klangbild des Instrumentes integriert. Es können deutlich die beiden Signalquellen deterministisches Instrument(enmodell) und Rauschen unterschieden werden. Bei genauerer Betrachtung ist stationäres Rauschen bei der Klangentstehung im Instrument auch nicht plausibel. Bei Blasinstrumenten entsteht das Rauschen durch die Turbulenzen der Luftströmung an engen Stellen, also bei der Klarinette an-
  30. 30. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK – 30 – nahmsweise vorwiegend am Blatt. Wenn dieses allerdings geschlossen ist, kann gar keine Luftströmung vorhanden sein. Das Rauschsignal muß also am Blatt zugesetzt und mit der Strömungsgeschwindigkeit (diese ist proportional zum Volumenstrom f) unter dem Blatt moduliert werden. Ebenso ist bei Streich- instrumenten die Entstehung von Rauschen während des Haftens von Saite und Bogen unmöglich, viel plausibler sind statistische Variationen der Gleitreibungskraft durch die Ungleichförmigkeit der Bogen- haare. Dann muß ebenfalls Rauschen abhängig vom Zustand der Variablen q und f am Bogen zugesetzt werden.
  31. 31. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK – 31 – 1.3 Gezupfte und geschlagene Saite Die gezupfte oder geschlagene Saite einer Gitarre stellt eigentlich eine rein lineare Anfangsrandwertauf- gabe dar, wenn die Saite und die Randbedingungen ideal angenommen werden. Für die ideale Saite gilt wiederum die Wellengleichung (1). Die Randwerte sind wie bei der Geige durch die fest eingespannten Endpunkte der Saite festgelegt und die Anfangsbedingungen (Anfangsposition y0 und Anfangsge- schwindigkeit v0 der Saite für t = 0) ergeben sich aus der Art der Anregung – beim Zupfen kann z. B. eine dreieckförmige Anfangslage angenommen werden, aus der sich die Saite mit Anfangsgeschwindig- keit Null heraus bewegt. Für die Lösung werden die Amplituden der Eigenfunktionen der Randwertauf- gabe den Anfangsbedingungen angepaßt [25]. Es ergibt sich eine Funktion y = y(x,t), die die Position jedes Punktes auf der Saite zu jedem Zeitpunkt t 0 angibt. Der wesentliche Unterschied zu Streich- und Blasinstrumenten ist, daß nur zu Beginn eines Tones Energie zugeführt wird – durch das Zupfen oder Anschlagen der Saite – und nicht dauernd wie durch Streichen oder Anblasen. Im Hinblick auf eine zeitdiskrete Realisierung werden in den Grafiken gleich zeitdiskrete Filter und Verzögerungen verwendet. Dabei bedeutet z–1 die Verzögerung um ein Abtastintervall, z–N (mit N ganzzahlig) die Verzögerung um N Abtastintervalle und R(z) gibt ein zeitdiskretes Filter R mit dem Frequenzgang R(Θ) = R(z=e–jΘ ) an, wobei Θ = 2πf/fS die normierte (Kreis-)Frequenz ist. 1.3.1 Gitarre 1.3.1.1 Lineares Gitarrenmodell Um nicht ideales Verhalten, wie die Verbreiterung der Impulse bei der Reflexion und das Verhalten von nicht idealen Saiten zu berücksichtigen, ist es vorteilhaft, wiederum das Zeitbereichsmodell zu verwen- den. Im Beispiel der gezupften Saite etwa werden die beiden Verzögerungsleitungen mit je der halben Anfangspositionsamplitude (Dreieck) initialisiert, die Differenz ist dabei Null, was einer Anfangsge- schwindigkeit Null entspricht. Nach Start der Simulation laufen die dreieckförmigen Positionswellen in entgegengesetzte Richtungen und werden wie beim Geigenmodell invertiert reflektiert. VerzögerungsleitungTiefpaß ½(1+z-1 ) z–2N Ausgang Abbildung 22: Karplus-Strong plucked string Algorithmus. Die Verzögerungsleitung wird am Beginn mit Zufallszahlen gefüllt, was einer zufälligen Anfangsamplitude und -geschwindigkeit gleichkommt. Das bei idealen Randbedingungen entstehende Signal ist streng periodisch und musikalisch als uninter- essant zu bezeichnen – es gleicht auch vielmehr dem Klang einer billigen elektronischen Orgel als einer Gitarre. Um einen gitarreähnlichen Klang zu erhalten, muß die strenge Randbedingung y = 0 zumindest an einem Ende der Seite durch eine Reflexionsfunktion ungleich der Deltafunktion ersetzt werden. Im klassischen Beispiel – dem Karplus-Strong plucked string Algorithmus [26], wird als Reflexions- funktion an einem Ende ein einfacher linearphasiger FIR10 Tiefpaß mit zwei Koeffizienten und Gleichü- bertragungsfunktion –1 verwendet: h0 = h1 = –0,5. Wenn die beiden Verzögerungsleitungen zu einer einzigen zusammengefaßt und die Multiplikation mit –1 am zweiten Ende in das Filter gezogen wird, 10 Finite Impulse Response: nichtrekursive Transversalfilterstruktur.
  32. 32. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK – 32 – ergibt sich das Modell in Abbildung 22. Die Verzögerungsleitungen werden hier mit Zufallszahlen initialisiert, also mit zufälliger Anfangsposition und -geschwindigkeit. Durch das Durchlaufen des Filters einmal pro Umlauf wird das Signal exponentiell gedämpft, wobei aufgrund des Tiefpaßcharak- ters hohe Frequenzen schneller abklingen als tiefe. Es ergibt sich ein Signal, das überraschend gut der Gitarre zugeordnet werden kann, vor allem wenn die Anfangsbedingungen durch einen oder mehrere Umläufe über die Saite tiefpaßgefiltert werden und dann erst ein Ausgangssignal abgenommen wird. Von der schwingenden Saite kann durch einen Tonabnehmer (englisch pickup) an einer bestimmten Stelle x0 ein Ausgangssignal y = y+(x0) + y–(x0) gewonnen werden. Die magnetischen Tonabnehmer, die bei elektrischen Gitarren verwendet werden, wandeln jedoch die Saitengeschwindigkeit in elektrische Spannung, welche an den Verstärker weitergegeben wird, so daß das Ausgangssignal noch differenziert werden muß. Effekte, die durch den nicht idealen Aufbau realer Tonabnehmer verursacht werden, werden hier vernachlässigt. J. O. Smith [27] nimmt statt der Zufallszahlen als Anfangsbedingungen eine dreieckförmige Lage und Geschwindigkeit Null (gezupfte Saite) an und verwendet als Filter einen einpoligen rekursiven Tiefpaß (mit Pol bei z = –0,5) am einen (linken) Ende und eine ideale Reflexion am anderen (rechten) Ende der Verzögerungsleitungen. Das Ausgangssignal wird durch einen imaginären Tonabnehmer gewonnen (Abbildung 23). Ausgang z–k z–k z–(N–k) z–(N–k) RL(z) RR(z) y→v Abbildung 23: Plucked String-Modell mit Tonabnehmerausgang. Das Ausgangssignal wird als Summe der Verzögerungsleitungen an einer bestimmten Stelle auf der Saite abgenommen; die magnetischen Tonabnehmer in elektrischen Gitarren nehmen ein Signal proportional zur Sai- tengeschwindigkeit ab, so daß eine Differentiation des Ausgangssignales vorgesehen werden muß. Eine allgemeine Anfangslage y0(x) und -geschwindigkeit v0(x) der Saite, die durch die Art der Anregung (zupfen, schlagen) gegeben ist, geht in die Anfangswerte in den Verzögerungsleitungen folgendermaßen ein: y x y x c v d y x y x c v d x x + − = − ⋅       = + ⋅       ∫ ∫ 0 1 2 0 0 0 0 1 2 0 0 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ζ ζ ζ ζ (33) Das Suffix 0 kennzeichnet im weiteren den Anfangszustand einer Variable. Eine dreieckförmige An- fangslage beim Zupfen erfordert also eine Initialisierung der Verzögerungsleitungen mit ebenfalls drei- eckförmigen Funktionen mit jeweils der halben Amplitude. Das Ausgangssignal erinnert an eine ohne Verzerrungen durch den Verstärker (clean) gespielte elek- trische Gitarre mit lang anhaltendem Ton. Wenn der Pol näher an den Ursprung herangebracht wird (bei gleichbleibender Gleichübertragung –1) klingt der Ton langsamer ab und auch die höheren Frequenzen
  33. 33. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK – 33 – sind länger vorhanden, wenn der Pol näher zum Punkt z = 1 wandert ergibt sich schnelleres Abklingen, und der Klang erinnert mehr an eine gezupfte akustische Gitarre. Das Modell kann durch geeignetes Umformen in eine sequentielle Struktur gebracht werden. Zum einen kann die Auskopplung an zwei Stellen durch einen Tonabnehmer auf eine Auskopplung durch ein Filter reduziert werden, zum anderen ist es möglich, die Anregung durch Zupfen oder Schlagen nicht auf einmal in die Verzögerungsleitungen als Anfangslage und Position einzuspeichern, sondern ein passen- des Signal additiv an einem Ende einzukoppeln und die Verzögerungsleitungen sozusagen sequentiell zu laden. Das Ergebnis dieser Umformungen zeigt Abbildung 24. R(z) z–2N Ausgang z–2(N–k) y→vAnregung RR(z) Saitenmodell Auskopplung Abbildung 24: Plucked String–Modell mit sequentieller Anregung und herausgezogenem Tonab- nehmer–Filter. 1.3.1.2 Verzerrungen und Rückkoppelungen Bei elektrischen Gitarren beeinflußt die Übertragungscharakteristik des Verstärkers und die Rückkopp- lungen des Lautsprecherschalls auf die Saiten entscheidend den Klang. Der Verstärker wird meist bewußt übersteuert, um mittels Verzerrungen (engl.: distortion) das Klangspektrum zu beeinflussen, dabei entstehen durch die Nichtlinearität der Verstärkerkennlinie bei Einzeltönen zusätzliche Oberwellen und bei Akkorden Kombinationsfrequenzen. Die einzelnen Frequenzlinien können speziell für unortho- doxe Akkorde so dicht liegen, daß praktisch nur mehr ein spektral geformtes Geräusch wahrgenommen wird. Die Form der Verstärkerkennlinie ist bei Transistorverstärkern und Röhrenverstärkern unter- schiedlich: Bei Transistorverstärkern ist die Verstärkung konstant, solange die maximale Ausgangs- spannung (~Versorgungsspannung) nicht überschritten wird. Bei größerer Aussteuerung wird die Aus- gangsspannung aber auf diesen Wert begrenzt (hard clipping). Der Zusammenhang zwischen Ein- gangs- und Ausgangsspannung kann durch die Verstärkerkennlinie in Abbildung 25(a) ausgedrückt werden. Wenn der Verstärker übersteuert wird, ergibt sich für einen einzelnen Ton ein obertonreicher (fuzzy) Klang. Mit Akkorden kann leicht das erwähnte Geräusch produziert werden. Ein Nachteil ist, daß bis zu einer gewissen Aussteuerung gar keine, dann aber schnell ganz extreme Verzerrungen auftre- ten; dadurch ist es schwierig, den gewünschten Grad an Verzerrungen einzustellen und auch bei dyna- mischem Spiel beizubehalten. Hier haben Röhrenverstärker – die von den Gitarristen oft bevorzugt werden – den Vorteil, daß die Kennlinie keinen Knick aufweist, sondern kontinuierlich von linearer Verstärkung auf Begrenzung übergeht (soft clipping, Abbildung 25(b)) [28]. Dadurch treten auch schon bei kleinerer Aussteuerung Verzerrungen auf und die Amplituden der Obertöne eines Einzeltones nehmen schneller ab als bei Transistorverstärkern. Der Klang von Akkorden wird als ausgewogener und wärmer empfunden. Bei manchen Transistorverstärkern wird versucht [29], diese Übersteuerungcha- rakteristik eines Röhrenverstärkers durch Verwendung von Funktionsnetzwerken [30] nachzuahmen. Die Rückkopplung von Lautsprecherschall auf die Saitenschwingung (feedback) tritt meistens als unangenehme, weil instabile (erst durch die Verstärkungskennlinie beschränkte) Schwingung auf, be- einflußt aber zweifellos auch den Klang von regulären Tönen und wird von geübten Gitarristen bewußt (kontrolliert) eingesetzt.
  34. 34. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK – 34 – (a) (b) Eingangs– Spannung Eingangs– Spannung Ausgangs– Spannung Ausgangs– Spannungua = –1 ...ue –1 ua = ue ...–1ue1 ua = 1 ...ue 1 ua = –2/3 ...ue –1 ua = ue–1/3ue 3 ...–1ue1 ua = 2/3 ...ue 1 Abbildung 25: Idealisierte Verstärkerkennlinien für (a) Transistorverstärker mit harter Begrenzung (hard clipping) und (b) Röhrenverstärker mit kontinuierlichen Übergang zwischen linearer Verstärkung und Begrenzung (soft clipping). Bei einem Modell mit Eingang für die Anregung kann nichtlineare Verstärkung und Rückkopplung problemlos eingebaut werden [31]. Dabei werden die verschiedenen Signalwege durch den Verstärker auf die Lautsprecher und der Rückkopplungspfad zu den Saiten mit einstellbaren Verstärkungen und einer Verzögerung versehen, die den Einstellungen am (Vor)-Verstärker bzw. den Ausbreitungsverlusten und der Verzögerung aufgrund der räumlichen Abstände zwischen Gitarre und Verstärker entsprechen (Abbildung 26). z-k Saitenmodell Auskopplung gdist pre gdist postgclean gfeedback Ausgang Rückkoppelverzögerung Verstärker- Kennlinie Abbildung 26: Distortion und Feedback im Modell einer elektrischen Gitarre. 1.3.2 Slapbaß Bei der Slap Pop Technik am E-Baß werden die Saiten mit dem Knöchel des rechten Daumens angeschlagen oder mit Zeige- oder Mittelfinger angerissen. Die Saite wird dabei so stark angeregt, daß sie auf die Bundstäbchen am Griffbrett anschlägt (Abbildung 27). Dadurch entsteht ein brillanter An- schlagton mit stark perkussivem Charakter [32]. Das Anschlagen an den Bundstäbchen ist eine (einseitige) Amplitudenbegrenzung der Schwingung der Saite. Eine ähnliche Situation besteht bei der Tanpura, einem indischen Saiteninstrument, bei dem der Steg so geformt ist, daß eine Amplitudenbe- grenzung auf Werte y 0 am ersten Stück der schwingenden Saite nahe dem Steg wirkt [7].
  35. 35. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK – 35 – Das Anreißen (popping) kann wiederum durch eine näherungsweise dreieckförmige Anfangslage der Saite modelliert werden. Für die geschlagene Saite (slapping) wird als Anfangsbedingung ein Ge- schwindigkeitsimpuls an der Stelle des Daumens angenommen. Dieser Impuls kann aber aufgrund der Masse der Saite nicht in unendlich kurzer Zeit aufgebracht werden. Die folgende Impulsform wurde für die Simulation von Klaviersaiten verwendet [32], wo in den tieferen Lagen qualitativ gleiche Verhältnis- se herrschen (dicke Saiten, und Anschlag mit einem schweren, weichen Hammer, der ähnliche dynami- sche und elastische Eigenschaften wie ein mit Hornhaut bedeckter Fingerknöchel haben dürfte): ( )v x t k e et t ( , ) ( ) ( ) 0 = ⋅ −− − ⋅ − + ⋅χ δ χ δ . (34) Diese Impulsform kann in ein Modell mit Geschwindigkeit als Wellengröße einfach an der Stelle x0 in beide Verzögerungsleitungen eingespeist werden. Wenn aber die transversale Auslenkung y als Wellen- größe verwendet wird – und das ist für die Amplitudenbegrenzung günstiger – muß der Anfangsge- schwindigkeitsimpuls unter Zuhilfenahme von Gleichung (33) in die Anfangswerte der Verzögerungslei- tungen eingehen. Dabei werden zwei gespiegelte Impulse als Anfangsgeschwindigkeiten v x x t v x t v x x t v x t c I c I + − = − ⋅ = = + ⋅ = 0 0 1 0 0 0 1 0 ( ) ( , ) ( ) ( , ) (35) für die beiden Verzögerungsleitungen verwendet. Griffbrett Gitarrenkörper Ausgangslage der Saite Momentaufnahmen der ungestörten Schwingung der Saite Abbildung 27: Querschnitt einer Baßgitarre. Angedeutet ist die hypothetische Schwingung einer an- gerissenen Saite, wenn sie nicht durch die Bünde am Griffbrett begrenzt würde. Die Amplitudenbegrenzung kann auf einfache Weise durch amplitudenabhängige Reflexionsstellen realisiert werden. Wenn die Summe der Amplitudenwerte beider Verzögerungsleitungen einen bestimm- ten Wert über- oder unterschreitet, werden die Samples in den Verzögerungsleitungen nicht weitergelei- tet sondern in die jeweils andere Leitung reflektiert. Die Randbedingung ist dabei aber nicht y(x,t) = 0, sondern y(x,t) = yBund(x), also die Auslenkung bei der das Bundstäbchen berührt wird. Es zeigt sich, daß eine einzige Amplitudenbegrenzung an der Stelle des letzten Bundes nicht ausreichend ist: Die Saite schwingt dann auch in den Bereich, wo das Griffbrett liegt (siehe Abbildung 27). Außer- dem fehlt im Zeitsignal im Vergleich mit echten Pop-Tönen ein gepulster hochfrequenter Anteil, der durch das Anschlagen der Saite an die anderen Bünde entlang des Griffbretts in den ersten Perioden entsteht (Englisch: fret-noise) und der durch einige folgende Perioden als hochfrequenter Puls erhalten bleibt. Es ist daher eine Amplitudenbegrenzung bei allen Bünden über den ganzen Bereich des Griff- bretts notwendig.
  36. 36. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK – 36 – Außerdem fällt auf, daß die hochfrequenten Anteile wesentlich stärker sind als im gemessenen Signal. Das kann mit der vernachlässigten Biegesteifigkeit der Saite oder der unrealistischen Annahme, daß der Tonabnehmer nur an einem Punkt die Saitenschwingung auskoppelt, zusammenhängen. Die Wirkung der Biegesteifigkeit, die sich in einem Term mit vierter räumlicher Ableitung in der Differentialgleichung der Saite ausdrückt, ist ja in den Reflexionsfunktionen am Ende der Saite zusammengefaßt (siehe 1.1.3.1). Die Werte in den Verzögerungsleitungen spiegeln daher eine ideale Saite wider. Man müßte auch vor dem Tonabnehmer in beide Verzögerungsleitungen ein Filter einbauen. Das gleiche muß man tun, um die endliche Breite des Tonabnehmers zu berücksichtigen – nämlich mehrere Werte aus den Verzögerungsleitungen gewichtet auskoppeln. Hier geht als Filterfunktion des Tonabnehmers wieder eine Gaußfunktion ein. 1.3.3 Klavier Im Klavier wird beim Drücken einer Taste die Saite mit einem Hammer angeschlagen. Es kann daher wiederum ein Geschwindigkeitsimpuls in den Anfangsbedingungen der Saite an der Stelle des Hammers angenommen werden, der Geschwindigkeitsimpuls wird aber nicht in unendlich kurzer Zeit aufgebracht. Die Schwingungsamplitude ist nicht begrenzt. Durch die Massenträgheit des Hammers bleibt dieser aber solange in einer Position nahe der Ruhelage der Saite, daß er von dem ersten, vom kurzen Teilstück der Saite reflektierten Impuls getroffen wird [33]. Er stellt dann eine (Teil-)Reflexionsstelle für die Welle dar und erzeugt zusätzliche Impulse in den Wellen und dem Ausgangssignal. Die Auskopplung der Schwingung erfolgt ähnlich wie bei der Geige, aber an beiden Enden der Saite. Die Simulation der Saite eines Klaviers und der Anregung durch den Hammer ist derzeit ein For- schungsthema am 'Center for Computer Research in Music and Acoustics (CCRMA)' in Stanford, CA, USA [34].
  37. 37. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK – 37 – 2 Zeitdiskrete Modelle Die Modelle für Violine und Slapbaß werden in zeitdiskreter Form behandelt. 2.1 Behandlung des Violinmodells 2.1.1 Teile des zeitdiskreten Modells 2.1.1.1 Der Wellenleiter Die Lösung der Wellengleichung geht für zeitdiskrete Signale über in ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y t x y t x c y t x c y nT mX c y nT mX c y n m T y n m T n m n m n m S S S S S S , / / / / ( ) ( ) , = − + + = − + + = − + + + − + − + − (36) wo TS = 1/fS das (zeitliche) Abtastintervall ist, XS das räumliche Abtastintervall, das sinnvollerweise gleich der Entfernung gewählt wird, die die Wellen in der Zeit TS zurücklegen, also XS = TS⋅c. c ist wieder die Phasengeschwindigkeit der Wellen, n ist der diskrete Zeitindex, m der diskrete räumliche Index. y+ bezeichnet die sich in positive x–Richtung (bzw. m–Richtung), y– die sich in entgegengesetzte Richtung ausbreitende Welle. Da TS ein Multiplikand aller Argumente ist, kann er, wie in der zeitdiskreten Signalverarbeitung üblich, in den Gleichungen weggelassen werden. Argumente von zeitdiskreten Gleichungen, in denen TS unter- drückt ist, werden im folgenden in eckige Klammern gesetzt. Gleichung (36) geht dann über in [ ] [ ] [ ]y n m y n m y n m, = − + ++ − . (37) Die Ausbreitung der Wellen y+ und y– kann durch zwei gegenläufige zeitdiskrete Verzögerungsleitungen realisiert werden. Der Wellenleiter wird durch den Bogenstrichpunkt in zwei Teile geteilt, wo sich die Wellen ohne Ein- wirkung einer Kraft ausbreiten können. Am Saitenende werden sie dann reflektiert und damit in den anderen Wellenleiter eingekoppelt, wo sie zurück zum Bogen laufen. Im zeitdiskreten Modell werden die beiden Verzögerungsleitungen auf einer Saite des Bogens in eine zusammengefaßt und das Reflexionsfil- ter an die Stelle direkt vor dem Bogen geschoben. Die Verluste und die Dispersion, die in Wirklichkeit über den ganzen Wellenleiter verteilt wirken, werden wieder aus den Abschnitten des Wellenleiters, wo kein Signal aus- oder eingekoppelt wird, in ein Filter am Ende des jeweiligen Abschnitts gezogen. 2.1.1.2 Nicht ganzzahlige Verzögerung Der Übergang von zeitkontinuierlichen Wellenleitern auf zeitdiskrete Verzögerungsleitungen erfordert ein räumliches Abtasten mit der Rate XS = TS⋅c, abhängig von der Wellenausbreitungsgeschwindigkeit im Medium. Anders ausgedrückt muß für einen Wellenleiter der Länge L eine zeitdiskrete Verzöge- rungsleitung mit der Länge N = L/XS = L/(TS⋅c) Abtastwerten verwendet werden. Hier ergibt sich ein ernstes Problem: nur für spezielle Fälle ergibt sich eine ganzzahlige Verzögerung. Anders herum gese- hen, ist es mit ganzzahligen Verzögerungen besonders bei hohen Tönen nicht möglich, genau die Fre- quenz einzustellen, die zu einer bestimmte Note gehört (siehe Abbildung 28). Aufgrund der Teilung der Saite durch den Bogen bei Streichinstrumenten wird dieses Problem noch verschärft, wenn beide Verzö-
  38. 38. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK – 38 – gerungsleitungen auf ganzzahlige Verzögerung gerundet werden und in Summe ein noch größerer Fehler auftritt. 10 2 10 3 10 4 Frequenz in Hz Halbton Skala (A2 bis g6) Mögliche Frequenzen bei ganzzahligen Delay (fs=44.1kHz) Abbildung 28: Vergleich der Frequenzen, die sich mit ganzzahligen Verzögerungsleitungen ergeben, mit der temperierten Halbtonskala. Es ist also erforderlich, Ausgangswerte aus einer Verzögerungsleitung auch an Stellen zwischen Ab- tastwerten zu berechnen. Wenn alle Signale Tiefpaßsignale mit einer Grenzfrequenz fg fS/2 sind11 , ist diese Interpolation mit Hilfe der sinc-Funktion sinc( ) sin( ) x x x = π π (38) möglich. Ein Filter mit der Impulsantwort h n n Did [ ] ( )= −sinc (39) ergibt eine nicht ganzzahlige Verzögerung des Eingangssignals um D Samples und entspricht einer Verzögerungszeit von td = D⋅TS bzw. einer Länge von xd = D⋅XS. Dieses Filter ist allerdings akausal. Es gibt eine große Zahl von verschiedenen, kausalen Annäherungen an die ideale Interpolation [35]. Die einfachste FIR-Realisierung12 ist die Interpolation mit Hilfe von Lagrange-Polynomen. Dabei wird mit einem Filter der Ordnung NI (Länge NI + 1) mit der Impulsantwort h n D k n k n NI k k n N I I [ ] = − − ≤ ≤ = ≠ ∏0 0 (40) eine Näherung für Verzögerungen (NI – 1)/2 D (NI + 1)/2 bei ungerader Ordnung erzielt. Der Betragsfrequenzgang und die Phasenlaufzeit, die die Verzögerung von einzelnen Sinuskomponenten im Eingangssignal darstellt, sind in Abbildung 29 für Verzögerungen D von 1 bis 1,5 mit einem Lagrange- Interpolationsfilter der Länge 4 (Ordnung NI = 3) dargestellt. Vorteil der Lagrange Interpolation ist, daß die Koeffizienten in geschlossener Form zu berechnen sind und daß nicht wie bei anderen Methoden Filterprototypen oder Signaleigenschaften in den Filterentwurf eingehen. 11 Diese Eigenschaft wird den vom Instrumentenmodell erzeugten Signalen zugeordnet; sie muß aber bei den veränderli- chen Parametern und den abgetasteten Anfangsbedingungen (wichtig bei Gitarre) gegeben sein. 12 Die IIR-Realisierung mit einem Allpaß hat den Vorteil des konstanten Betragsfrequenzganges, aber den Nachteil, daß bei einer Änderung der Verzögerung D die Inhalte der Verzögerungsglieder des rekursiven Teiles nachträglich neu berech- net werden müssen.
  39. 39. DIPLOMARBEIT ERHARD RANK – 39 – Nachteilig ist, daß sich die korrekte Verzögerung und der korrekte Betrag der Übertragungsfunktion (der gleich 1 sein sollte) nur für tiefe Frequenzen f « fS/2 ergibt und außerdem abhängig vom Nach- kommateil fract(D) der Verzögerung D ist (siehe Abbildung 29). Die Filter haben für fract(D) = 0 konstanten Betrag 1, für fract(D) = 0.5 Tiefpaßcharakter und bei geradzahliger Länge eine Nullstelle bei fS/2. Das Lagrange-Interpolationsfilter der Ordnung NI = 1 (Länge 2) entspricht der linearen Interpolation zwischen zwei Abtastwerten. Wegen der symmetrischen Koeffizienten bei geradzahliger Länge des Filters und einer Verzögerung von NI/2 (fract(D) = 0.5) kann mit Filtern gerader Länge (ungerader Ordnung) diese Phasenverzögerung exakt eingestellt werden. Filter ungerader Länge zeigen bei fract(D) = 0.5 die größten Fehler in der Phasenverzögerung, dafür weisen sie keine Nullstelle im Betragsfre- quenzgang auf. 0 1 2 3 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Betragsfrequenzgang normierte Kreisfrequenz D=1.0 D=1.5 0 1 2 3 1 1.2 1.4 1.6 Phasenlaufzeit normierte Kreisfrequenz D=1.0 D=1.1 D=1.2 D=1.3 D=1.4 D=1.5 Abbildung 29: Betragsfrequenzgang und Phasenlaufzeit eines Lagrange-Interpolationsfilters der Ordnung NI = 3 (Länge 4). Die Betragsfrequenzgänge für D = 1.6 bis 1.9 entsprechen denen von D = 1.4 bis 1.1, die Phasenlaufzeiten sind spiegelbildlich zu jenen für D = 1.4 bis 1.1 be- züglich der Linie für D = 1.5. Für den Einsatz in den Instrumentenmodellen, wo die Reflexionsfunktionen ohnehin Tiefpaßcharakter haben, sind die Nachteile der Lagrange-Interpolation nicht störend, vorteilig ist, daß der Betrag der Übertragungsfunktion, im Gegensatz zu anderen Annäherungen, immer auf |HI| ≤ 1 beschränkt ist, wodurch eine Kreisverstärkung 1 im Modell nicht durch die Interpolationsfilter verursacht werden kann. Das Lagrange-Interpolationsfilter gerader Länge hat zusätzlich zum Nachkommateil (0 ≤ fract(D) 1) eine Verzögerung von (NI – 1)/2, der von der Verzögerungszeit der eingangsseitigen Verzögerungslei- tung geborgt werden muß. 2.1.1.3 Gaußfunktion Beim Übergang von zeitkontinuierlichen auf abgetastete Reflexionsfunktionen muß darauf geachtet werden, daß die Gaußfunktion (14), die die Impulsverbreiterung bei der Wellenausbreitung auf der Saite

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