003 DSKP KSSR SEMAKAN 2017 BAHASA CINA TAHUN 3.pdf
Kinetics_Math_ver1.0
1. 速度論の数学的基礎
1. 変数分離形積分法 (同時方程式)
2. 定数係数1階線形微分方程式の公式
3. 零次反応
4. 一次反応
5.二次反応
6. 二成分反応
7. 可逆一次反応Ⅰ
8. 可逆一次反応Ⅱ
9. 半減期
Presented by S. Kume
140326 ver 1.0
2. 1. 変数分離形積分法 (同時方程式)
ネイピア数
e ≅ 2.718
ex = exp(x)
ln(ex) = x
!
dy
dx
= f (x) " g(y) #
dy
g(y)
= f (x)dx
dy
g(y)
$ = f (x)dx$ + C
!
dy
g(y)
" = ln y
例題
!
dy
dt
= "ay #
dy
y
= "adx
dy
y
$ = "a dx$ + C
変数分離形積分法により
!
dy
y
" = ln y,#a dx" + C = #ax + C
!
dy
y
" = ln y ,#a dx" + C = #ax + C
ln y = "ax + C # y = e"ax+C
3. 2. 定数係数1階線形微分方程式の公式
!
dy
dx
+ ay = Q(x)
"y = e#ax
eax
Q(x)dx$ + C{ }
導入方法
!
dy
dx
+ ay = Q(x)
" eax dy
dx
+ aeax
y = eax
Q(x)
" eax dy
dx
+
d
dx
eax
#
$
%
&
'
(y = eax
Q(x) eax の微分はaeaxとなる性質を利用して
!
d
dx
f (x)g(x) =
df (x)
dx
g(x) + f (x)
dg(x)
dx
積の微分公式より
!
eax dy
dx
+
d
dx
eax
"
#
$
%
&
'y =
d
dx
eax
y( )
!
d
dx
eax
y( ) = eax
Q(x)
つまり
両辺を x で積分すると
eax
y = eax
Q(x)dx" + C # y = e$ax
eax
Q(x)dx" + C{ }
4. !
A k
" #" P
零次反応: 実験的な反応速度が濃度に比例しない
!
v =
d[P]
dt
= "
d[A]
dt
= k
!
"
d[A]
dt
= k # d[A] = "kdt
d[A] =$ " k dt + C #$ [A] = "kt + C
t = 0ならば、[A] = [A]0
!
[A] = "kt + C # [A]0 = "k $ 0 + C # C = [A]0
すなわち
[A] = [A]0 " kt
3. 零次反応
5. !
A
k
" #" P
一次反応: 実験的な反応速度が濃度の1乗に比例する
!
v =
d[P]
dt
= "
d[A]
dt
= k[A]
!
"
d[A]
dt
= k[A] # d[A] = "k[A]dt #
d[A]
[A]
= "kdt
!
ln[A] = "kt + C # [A] = e"kt+C
変数分離形積分法により
!
d[A]
[A]
" = #k dt" + C $ ln[A] = #kt + C
!
log M = P " M = eP
ex+y
= ex
# ey
t = 0ならば、[A] = [A]0
!
[A]0 = e"k#0+C
$ [A]0 = eC
[A] = e"kt +C
# [A] = e"kt
eC
# [A] = [A]0e"kt
# [A] = [A]0 exp "kt( )
すなわち
4. 一次反応
6. 二次反応: 実験的な反応速度が濃度の2乗に比例する
!
A
k
" #" P
!
v =
d[P]
dt
= "
d[A]
dt
= k[A]2
"
d[A]
dt
= k[A]2
# "
d[A]
[A]2 = kdt
変数分離形積分法により
!
"
d[A]
[A]2# = k dt# + C $ " "
1
[A]
%
&
'
(
)
* = kt + C
t = 0ならば、[A] = [A]0
すなわち
!
" "
1
[A]0
#
$
%
&
'
( = k ) 0 + C *
1
[A]0
= C
" "
1
[A]
#
$
%
&
'
( = kt + C )
1
[A]
= kt +
1
[A]0
) [A] =
1
kt +
1
[A]0
5. 二次反応
12. 実験的な反応速度において逆反応が無視できない場合
!
A
!
B
!
k1
!
k"1
!
v =
d[B]
dt
= "
d[A]
dt
= k1[A] " k"1[B]
時間 t 後に、[A]が x mol/dm3に変化したとすると
!
dx
dt
= k1 [A] " x( ) " k"1 [B]+ x( ) #
dx
dt
= k1[A] " k"1[B] " x k1 + k"1( )
#
dx
dt
= k1 + k"1( )
k1[A] " k"1[B]
k1 + k"1
" x
$
%
&
'
(
)
!
m =
k1[A] " k"1[B]
k1 + k"1
とおく
!
dx
dt
= k1 + k"1( ) m " x( ) #
dx
m " x
= k1 + k"1( )dt
変数分離形積分法により
dx
m " x
# = k1 + k"1( ) dt# + C $ "ln m " x( ) = k1 + k"1( )t + C
8. 可逆一次反応Ⅱ
13. !
"ln m " x( ) = k1 + k"1( )t + C # "ln m " 0( ) = k1 + k"1( )$ 0 + C # C = "ln m( )
時間 t = 0ならば、 x = 0 となる
!
ln m( ) " ln( ) = k1 + k"1( )t # ln
m
m " x
$
%
&
'
(
) = k1 + k"1( )t
#
m
m " x
= e k1 +k"1( )t
#
m " x
m
= e" k1 +k"1( )t
# m " x = me" k1 +k"1( )t
# x = m + me" k1 +k"1( )t
C = -ln (m)を代入すると
!
kobs = k1 + k"1 とおく
!
"x = m + me#kobs t
$ x = m + m % exp #kobst( )