Ejercicios de cálculo integral de 2o bachillerato

PROFESOR JANO MATEMÄTICAS
profesorjano@gmail.com – 668805224 Prof. VÄCTOR M. VITORIA
Bachillerato - Universidad
EJERCICIOS DE EXAMEN DE C€LCULO INTEGRAL
2 bachillerato
A continuaci‚n se presentan un conjunto de ejercicios de examen de cƒlculo integral
correspondiente a la asignatura de matemƒticas I de 2 de bachillerato. La correcci‚n
estƒ en las pƒginas siguientes.
1) Encuentra la funci‚n primitiva de
x
2
 
 que vale 2 en x = 0.
f(x) 2
x 3x 2

2
 
2) Calcula: 
0
sen3x dx
2
dx
3) Calcula:  

0
x2 4
1
  
4) Calcula: 
0
x e2x dx
5) Calcula el ƒrea limitada por f(x) = x2, g(x) = 2x2 y h(x) = 2x
6) El rectƒngulo de v„rtices A(0,0), B (A, 0), C (A, -A2) y D (0, -A2) queda dividido en dos partes
por f(x) = x2 – Ax. Haz un dibujo y calcula el ƒrea de los dos recintos.
7) Calcula el valor de A si el ƒrea comprendida entre f(x) = 2x – x2 y g(x) = Ax, vale 1/6,
siendo A > 0.
8) Define suma superior y suma inferior de una funci‚n en un intervalo y correspondiente a
una partici‚n. Apl†calo a f(x) = x2 – 4 en [-3, 2] para P = {-3, -1, 1, 2}.
RESOLUCIÄN
Al principio de cada soluci‚n hay unas pistas. Si no sabes c‚mo empezar cons‡ltalas pero ten
en cuenta que eso significa que tienes a‡n mucho por estudiar y aprender.
Si ya has hecho el ejercicio, es el momento de comprobarlos consultando las respuestas.
1) Encuentra la funci‚n primitiva de
x
2
 
 que vale 2 en x = 0.
f(x) 2
x 3x 2
Se trata de una funci€n que es un cociente
de polinomios. Como el grado del
numerador es igual al del denominador,
primero se efecta la divisi€n y se aplica
la relaci€n que dice que el esa divisi€n es
igual al cociente m‚s el resto entre el
divisor.
A continuaci€n quedar‚ un fracci€n que habr‚ que
descomponer en otras m‚s simples para que su funci€n
primitiva sea de tipo logaritmo neperiano.
Para terminar habrƒa que aplicar el teorema
fundamental del c‚lculo (Regla de Barrow)
CLCULO INTEGRAL Ej. ex‚menes – 2ƒ bach. - 1 -

Se efect‡a la divisi‚n x2 : (x2 + 3x + 2). El cociente es 1 y el resto (-3x-
2).
Por lo tanto:
  
3x 2
2
 
2 2
 
x 3x 2
1
x
x 3x 2
x2 + 3x + 2 = 0 ]
  
 
x 2
 
       
1
x 1
3 1
2
3 9 8
2
x
2

    

3x 2
B
2 2  
 
   
3x 2
    x 3x 2
A x 1 B x 2
  
x 2 x 1

x 1
A

(x 2)
 
x 3x 2




Para X = -1 -1 = B
Para x = - 2 -4 = -A ; A = 4

As† 2

Hay varios m„todos para calcular A y B.
Uno de ellos es dar tantos valores a “x” como
coeficientes haya. Se obtienen asƒ las
ecuaciones suficientes para el c‚lculo de A, B,
... Se procura elegir valores que faciliten el
c‚lculo.
  
4
  


1


 

3x 2
 
dx
x 1
dx
x 2
dx
x 3x 2
La integral pedida serƒ: (observa que se ha cambiado el signo del resto, por eso se ha indicado
con un signo menos
dx x 4 Lnx 2 Lnx 1 C
1
  
 

I dx  dx

       x 
1
4

x 2

 
Ahora aplicamos las condiciones del problema: para x = 0, I(x) = 2
2 = 0 – 4 . Ln 2 + Ln 1 + C  C = 2 + 4 . Ln 4 – Ln 3
I(x) = x – 4. Ln (x+2) + Ln (x+1) + 2 + 4 . Ln 4 – Ln 3

2
 
2) Calcula: 
0
sen3x dx
Una integral se puede resolver de
varias maneras. Un camino es el de
convertir esta integral en
inmediata, sabiendo que
sen3x = sen2x . sen x.
sen2x = 1 – cos2x
La integral resultante se dividir‚ en dos
inmediatas, siendo una de ellas del tipo un.u’.
Ya ves que conviene que tengas en la memoria
las relaciones trigonom„tricas b‚sicas.

   
         I sen3x dx sen x 1 cos2 x dx sen x dx sen x cos2 x dx



   

C
2
cos x
   
3
cos x
2
3
2
3
1
3


     

0 0 1
2
cos x
3
cos x
2
0

 
  





2
dx
3) Calcula:  

0
x2 4
Siempre que veas un x2 en el denominador fuera de una raƒz
sumado a un nmero y otro nmero en el numerador, tienes
que pensar que puede tratarse de un arcotangente. Para ello
habr‚ que operar con constantes hasta llegar a la expresi€n
de la integral inmediata.
Se comienza operando para obtener un “1” en vez del 4, para lo que dividimos entre “4”
numerador y denominador.
1
1

     1
  arctg 1
0
  2
2
2 4 8
2
2


dx x
2
2
   1

arctg
2
dx
2
x
2
1
1
1
 
2
dx
4
x
2
4
4
1
 2
 

x 4
0
  

0
2
  

0
2
0




 




 

1
  
4) Calcula: 
0
x e2x dx
x = u  dx = du

e2x.dx = dv 
Se trata de una tƒpica integral por partes. En este caso es importante asignar
correctamente qu„ es lo que hay que derivar y qu„ es lo que habr‚ que integrar de
cada parte. Derivaremos “x”, porque si derivamos e2x la expresi€n no se va a
simplificar.
         e v
e2x dx dv 2x 2x

1
2
2 e dx
1
2

1
 

1
1
1
            
1
x
1
  x
  1
 
1
2x e

2x 2x 2x 2x

  
0
2x 2x
0
0
0
4
e
2
2 e dx
4
e
2
e dx
2
e
2
x e dx x
=
1





2x        

   
1 2 2
e 1
4
1

   4
e
4
1
2
1
1
2
1
2
1
e
2
1
2

e x
2
2x
0







5) Calcula el ƒrea limitada por f(x) = x2, g(x) = 2x2 y h(x) = 2x
 
  

x 0

En estos ejercicios es fundamental hacer la
representaci€n gr‚fica. Para ello hay que
calcular los puntos de corte que tendr‚n mucho
que ver con los lƒmites de integraci€n.
         
  

f(x) x

2 2 1
x 2
x 2x x 2x 0 x x 2 0
2
h(x) 2x
2
 

 
  

x 0

     

g(x) 2x

2 1
x 1
2x 2x 2x x 1
h(x) 2x
2
2
1
1
3



   
   
  x
1
2
dx x dx x x 2 A  
1 u
0
0
2
1
0
2 2
3
3


2
2 2 3


     

   
  2x
x
8
1
2
2
dx x x 2 A  

  
2 u
1
1
2
3
3
1
3
4
3
2

2
1
A  A   
A = 2
1 2 1 u
3
3
En este caso, el ‚rea resultante habr‚ que
obtenerla calculando ‚reas parciales y luego
operando con ellas para conseguir la superficie
pedida.
6) El rectƒngulo de v„rtices A(0,0), B (A, 0), C (A, -A2) y D (0, -A2) queda dividido en dos partes
por f(x) = x2 – Ax. Haz un dibujo y calcula el ƒrea de los dos recintos.
De nuevo la representaci€n gr‚fica es imprescindible y habr‚ que hacerla en funci€n del
par‚metro A. No ser‚ exacta pero si posible. Te recuerdo que cuando una funci€n polin€mica
de segundo grado tiene el coeficiente de “x2” > 0, sus ramas est‚n hacia arriba. Si es <0, sus
ramas estar‚n hacia abajo.
Hagamos unos cƒlculos previos para poder representar la grƒfica de la parƒbola.
M†nimo de f(x)
2 2 2
f’(x) = 2x – A = 0 ; x = A/2 ;  
A
2
A
   
2
A
4
2
f A

Cortes con los ejes (y = 0)
 
  

x 0

     
2 1
x A
0 x Ax x x A
2
 
3 2



     
2
 
 

3 3 3 3 3
A
6
S 0 x Ax
2A 3A
6
A
   
2
A
3
Ax
2
x
3
A
0
1


Como S es un rectƒngulo, para calcular S2 sustraemos
S1 al ƒrea total del rectƒngulo.
Este ƒrea serƒ: S = A . A2 = A3
3 3
5A
A
A  
S = S1 + S2 ; S2 = S – S1 = 3 u
2
6
6
Seg‡n el profesor, igual te pide que S2 lo obtengas
tambi„n mediante cƒlculo integral. En ese caso:
  
    

2 2
    S x Ax A dx
cqd
 
3 3 3 3
5A
6
2A 3A 6A
6


   A 3
 0
 A 3 3
A
2
A
3
2
A x
3 2
x
A
2
x
3
0
2




7) Calcula el valor de A si el ƒrea comprendida entre f(x) = 2x – x2 y g(x) = Ax, vale 1/6,
siendo A > 0.
De nuevo hay que hacer la gr‚fica, s€lo que en este caso es abierta ya
que depende del par‚metro A. Esto significa que haremos una
representaci€n gr‚fica posible pero puede que no sea la exacta. Esto no
debe preocuparte ya que cuando conozcas el par‚metro A podr‚s
hacer la representaci€n correcta.
Vamos a hacer los cƒlculos previos para conseguir la aproximaci‚n grƒfica.
Mƒximo de f(x): f’(x) = 2 – 2x = 0 ;  
  

x 0
1 ; f(1) = 1 ; M (1, 1)

   
x 1
2 1 x 0
2
Cortes con OX: f(x) = 0 2x – x2 = 0   
  

x 0

   
1
x 2
x 2 x 0
2

Cortes con g(x):
  
 
y Ax
y 2x x2

Ax =2x – x2
0 = x . (2 – A) – x2
 
  

x 0
 
    
1
x 2 A
0 x 2 A x
2
Por lo tanto, el ƒrea amarilla pedida serƒ:
  


   x
2
  3

x 1
3 2
x
2


   A
 x
3
x
0 2 3 2
x
2
   

   A
 x
3
2x
2
2
2x x Ax dx
0
   
2 A
2
0
2 A



 




 
     





   
     


 


  2   6 4 2A 3A
2  4 A 2
4A



  3  2
  
A 6A 12A 9 0
6
1
6
4 A 4A

  

   


    


2 3 2 3 2
A 6A 12A 8
6
A
2
2 A
3
2 A
0 2 A 1
8 2A 8A 4A A 4A
6
0
2 A
2 A
6
A
2


  


Habr‚s observado que he puesto como valor del ‚rea -1/6
y no 1/6. Eso es debido a que tal y como he planteado el
dibujo el ‚rea queda por debajo del eje OX. El dibujo
provisional tambi„n ha condicionado el orden de los lƒmites
de integraci€n.
1 -6 12 -9
3 3 -9 9
1 -3 3 0 . Por lo tanto A = 3
Se resuelve: x2 -  3  9 
12
3x + 3 = 0 ;  x ... soluciones imaginarias.
2
Pero supongamos que la grƒfica previa fuese:
‰C€mo resolver la ecuaci€n de
tercer grado?. En primer lugar
no asustarse, y en segundo
aplicar Ruffini.

Resolvamos de nuevo el problema pero cambiando de estrategia algebraica de modo que el
cƒlculo resulte mƒs sencillo (se podr†a haber utilizado este mismo m„todo en el caso anterior)
     2  A    

2 3
2x  x 2
 Ax 
dx  2  x  x  x 2
 dx   2  A

       1
 2  A  1  A 


1
6
3 3

2 A
3
2 A
0

2 A
2
x
3
x
2
2 A

 
0
0


8) Define suma superior y suma inferior de una funci‚n en un intervalo y correspondiente a
una partici‚n. Apl†calo a f(x) = x2 – 4 en [-3, 2] para P = {-3, -1, 1, 2}.
La definici€n de suma superior e inferior la puedes encontrar en cualquier
libro de texto o en internet.
[ -3,2] para P = { -3, -1, 1, 2 }
Hallamos el Mƒximo y el m†nimo para cada partici‚n o subintervalo, fijƒndonos en la grƒfica:
[-3,1] Mƒx = 5 ; m†n = -3 Suma superior = la suma de los rectƒngulos de base
[-1,1] Mƒx = -3 ; m†n = -4 la longitud del intervalo y de
[1, 2] Mƒx = 0 ; m†n = -3 altura el Mƒximo
Suma inferior = las alturas el m†nimo
Suma superior = 2.5 + 2.(-3) + 1.0 = 4
Suma inferiror = 2.(-3) + 2.(-4) + 1.(-3) = -17

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